Nekoečé řady sbírka řešeých a eřešeých příkladů Ifiity series collectio of solved ad usolved examples Lucie Jaoušková Bakalářská práce 9
ABSTRAKT Cílem práce bylo vytvořit sbírku řešeých příkladů, která bude sloužit jako pomůcka studetům k předmětu Matematika III. Teoretická část sezamuje se základími matematickými pojmy, které se týkají daé problematiky. Praktická část je tvořea řešeými příklady s popisem postupu, a eřešeými příklady k procvičeí. Klíčová slova: ekoečá číselá řada, součet řady, kovergece řady, kritéria kovergece, mociá řada, Fourierova řada ABSTRACT Theaimofthisworkwastocreateacollectioofsolvedexamples,whichisgoigto serve as help for studets of Mathematics III. The theoretical part explais basic mathematical terms, which are applied to these problems. The practical part is formed from solved examples with a procedure descriptio ad usolved examples to practise. Keywords: Ifiity umber series, sum of series, covergece of series, criteria of covergece, power series, Fourier series
Děkuji vedoucí bakalářské práce Mgr. Jaě Řezíčkové, Ph.D. za pedagogickou a odborou pomoc během vypracováváí bakalářské práce.
Prohlašuji, že beru a vědomí, že odevzdáím bakalářské práce souhlasím se zveřejěím své prácepodlezákoač./998sb.ovysokýchškoláchaozměěadoplěí dalších zákoůzáko o vysokých školách, ve zěí pozdějších právích předpisů, bez ohledu a výsledek obhajoby; beru a vědomí, že bakalářská práce bude uložea v elektroické podobě v uiverzitím iformačím systému dostupá k prezečímu ahlédutí, že jede výtisk bakalářské práce bude ulože v příručí kihově Fakulty aplikovaé iformatiky Uiverzity Tomáše Bati ve Zlíě a jede výtisk bude ulože u vedoucího práce; byl/ajsemsezáme/astím,žeamojibakalářskoupráciseplěvztahujezáko č. / Sb. o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změě ěkterých zákoůautorský záko ve zěí pozdějších právích předpisů,zejm. 5odst.; beruavědomí,žepodle 6odst.autorskéhozákoamáUTBveZlíě právoauzavřeílicečísmlouvyoužitíškolíhodílavrozsahu odst.4 autorského zákoa; beruavědomí,žepodle 6odst.aautorskéhozákoamohuužítsvédílo - bakalářskou práci ebo poskytout liceci k jejímu využití je s předchozím písemým souhlasem Uiverzity Tomáše Bati ve Zlíě, která je oprávěa v takovém případě ode me požadovat přiměřeý příspěvek a úhradu ákladů, které byly Uiverzitou Tomáše Bati ve Zlíě a vytvořeí díla vyaložeyaž do jejich skutečé výše; beru a vědomí, že pokud bylo k vypracováí bakalářské práce využito softwaru poskytutého Uiverzitou Tomáše Bati ve Zlíě ebo jiými subjekty pouze ke studijím a výzkumým účelůmtedy pouze k ekomerčímu využití, elze výsledky bakalářské práce využít ke komerčím účelům; beru a vědomí, že pokud je výstupem bakalářské práce jakýkoliv softwarový produkt, považují se za součást práce rověž i zdrojové kódy, popř. soubory, ze kterých se projekt skládá. Neodevzdáí této součásti může být důvodem k eobhájeí práce. Prohlašuji, že jsem a bakalářské práci pracovala samostatě a použitou literaturu jsem citovala. V případě publikace výsledků budu uvedea jako spoluautorka. VeZlíě... podpis diplomata
OBSAH ÚVOD... 8 I TEORETICKÁČÁST... 8 SOUČETČÍSELNÉŘADY... KRITÉRIA KONVERGENCE PRO ŘADY S NEZÁPORNÝMI ČLENY ŘADYABSOLUTNĚANEABSOLUTNĚKONVERGENTNÍ... 4 MOCNINNÉŘADY... 4 5 FOURIEROVYŘADY... 6 II PRAKTICKÁČÁST... 7 6 SOUČETČÍSELNÉŘADY... 9 6. Parciálízlomky... 9 6. Geometrickářada... 7 KRITÉRIAKONVERGENCE... 7 7. Podílovékritérium... 7 7. Odmociovékritérium... 9 7. Raabeovokritérium... 7.4 Itegrálíkritérium... 4 8 ŘADYABSOLUTNĚANEABSOLUTNĚKONVERGENTNÍ... 7 9 MOCNINNÉŘADY... 4 9. Poloměr, obor kovergece a obor absolutí kovergece... 4 9. Součetmociéřady... 45 9. TaylorovaaMaclauriovařada... 47 FOURIEROVYŘADY... 5. Fourierovyřadyvzhledemksystému {cos x,si x}... 5 APLIKACENEKONEČNÝCHŘAD... 6. Užitímociýchřad... 6 ZÁVĚR... 7 CONCLUSION... 7 SEZNAMPOUŽITÉLITERATURY... 7 SEZNAMPOUŽITÝCHSYMBOLŮAZKRATEK... 7 SEZNAMOBRÁZKŮ... 74
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 8 ÚVOD Matematika je vědí disciplía, která se uplatňuje v ejrůzějších oborech lidské čiosti. Mezi jiými vědami se vyzačuje ejvyšší mírou abstrakce a přesosti. Hlaví klasické disciplíy matematiky se vyviuly ze čtyř praktických lidských potřeb- potřeby počítat při obchodováí, porozumět vztahům mezi číselě vyjádřeými možstvími, vyměřováím pozemků a staveb a předpovídáí astroomických jevů. Patří sem aritmetika, algebra, geometrie a matematická aalýza. Tato práce se zabývá ekoečými řadami, které patří k základům matematické aalýzy. Je určea studetům fakulty aplikovaé iformatiky a Uiverzitě Tomáše Bati ve Zlíě jako pomůcka do cvičeí z předmětu Matematika III. Cílem práce je podat studetům základí pozatky z teorie ekoečých řad. Tato práce je více zaměřea a podrobější popis příkladů. Teoretická část je tvořea pěti kapitolami, ve kterých jsou stručě vysvětley pojmy související s daým tématem. V prví kapitole je defiová pojem ekoečé číselé řady a její vlastostikovergece a součet řady. Druhá kapitola sezamuje s kritérii kovergece pro řady s ezáporými čley. Ve třetí kapitole se zavádí pojem alterující řada, Leibizovo kritérium a absolutí a eabsolutí kovergece řady. Defiice mocié řady, poloměr kovergece, Taylorova a Maclauriova řada jsou vysvětley v předposledí kapitole teoretické části. Posledí kapitola se zabývá Fourierovými řadami, kokrétě řadami trigoometrickými, kde je defiice této řady, Dirichletovy podmíky pro rozvoj ve Fourierovu řadu a Fourierovy koeficiety. Praktická část avazuje a část teoretickou. Ke každé kapitole v teoretické části jsou uvedey řešeé příklady s popisem postupu výpočtu a eřešeé příklady, které slouží k procvičeí daé látky. V této části je avíc uvedea kapitola s příklady využití ekoečých řad- určeí přibližé hodoty výrazu, limity či itegrálu.
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 9 I. TEORETICKÁ ČÁST
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 SOUČET ČÍSELNÉ ŘADY Defiice. Nekoečá číselá řada Nechť {a } jeposloupostreálýchčísel.potom a a + a + a + azývámeekoečoučíselouřadou.posloupost {s },kde s a, s a + a,..., s a + a + +a azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice. Kovergece a divergece Jestliže existuje vlastí limita lim s s,pakřadakovergujeamásoučet s. Jestliže eexistuje vlastí limita lim s s,pakřadadiverguje. Věta. Součet geometrické řady Geometrická řada má tvar a+aq+ +aq + aq, a,q, kde ajeprvíčleřadyaqjejíkvociet.jestližeje q <,můžemeříct,žedaářada koverguje a pro její součet platí aq a q. Věta. Nutá podmíka kovergece řady Jestliže řada koverguje, pak platí lim a. Uvedeé pojmy jsou čerpáy z[]
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 KRITÉRIA KONVERGENCE PRO ŘADY S NEZÁPORNÝMI ČLENY Řada a seazývářadasezáporýmičley,jestližeje a provšecha N. Věta. Limití podílové kritérium- d Alembertovo Nechť a jeřadasezáporýmičleyaexistujelimita Pak platí:.je-li q <,řadakoverguje,.je-li q >,řadadiverguje, a + lim q, q R. a. je-li q, elze rozhodout tímto kritériem o kovergeci řady. Věta 4. Limití odmociové kritérium- Cauchyovo Nechť a jeřadasezáporýmičleyaexistujelimita lim a q, q R. Pak platí:.je-li q <,řadakoverguje,.je-li q >,řadadiverguje,. je-li q, elze rozhodout tímto kritériem o kovergeci řady. Věta 5. Limití Raabeovo kritérium Nechť a jeřadasezáporýmičleyaexistujelimita lim a + q, q R. a Pak platí:.je-li q >,řadakoverguje,.je-li q <,řadadiverguje,. je-li q, elze rozhodout tímto kritériem o kovergeci řady.
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 Věta 6. Itegrálí kritérium Nechť a jeřadasezáporýmičleyafjefukcedefiovaáaitervalu,, kterájeatomtoitervaluezáporáaerostoucí.nechť fa pro N.Pak řada a kovergujeprávětehdy,kdyžkovergujeevlastíitegrál fxdx,tj. fxdx <. Uvedeé pojmy jsou citováy z[]
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 ŘADY ABSOLUTNĚ A NEABSOLUTNĚ KONVERGENTNÍ Defiice. Alterující řada Nekoečářada c seazýváalterující,právěkdyžplatí sgc + sg c, N. Zapisujeme ji ve tvaru a ebo a kde a >provšecha N. Pro určeí kovergece se používá Leibizovo kritérium Věta 7. Leibizovo kritérium kovergece Nechť je dáa alterující řada, která má vlastosti:.odurčitéhoidexuplatíprokaždé N a a +. je splěa utá podmíka kovergece lim a. Potom daá alterující řada koverguje. Defiice 4. Absolutí a eabsolutí kovergece Jestližekovergujeřada c,potomřada c kovergujeabsolutě. Jestližedivergujeřada c akovergujeřada c,potomřada c koverguje eabsolutě. Řada c jeřadasezáporýmičley,protoseprourčeíabsolutíkovergece mohou použít kritéria uvedeá v předchozí kapitole. Jedotlivé pojmy jsou čerpáy z[]
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 4 4 MOCNINNÉ ŘADY Defiice 5. Mociá řada Mociouřadousestředemvbodě x Rakoeficiety a Rrozumímeřadufukcí ve tvaru a + a x x +a x x + +a x x + a x x. Věta 8. Poloměr kovergece a kovergečí iterval Kekaždémociéřaděexistujetakovéčíslo r,žeprovšecha x x r,x + r tatořadakoverguje,atoabsolutě,zatímcopro xležícívěitervalu x r,x + r diverguje. Hodotu rpakazývámepoloměrkovergece aitervalx r,x +razýváme kovergečí iterval. Věta 9. Je dáa mociá řada a existuje limitakoečá ebo ekoečá lim a + a ρ, resp. lim a ρ, potom se poloměr kovergece r mocié řady určí jako r ρ. Rozlišujeme ásledující případy:.je-li ρ,pakjepoloměrkovergece r ařadakovergujeabsolutěpro všecha x R. Kovergečí iterval zapisujeme ve tvaru,..je-li ρ,pakjepoloměrkovergece rařadadivergujeprovšecha x x..je-li<ρ<,pakjepoloměrkovergece r ařadakovergujeabsolutěprovšecha x,prokteráplatí x x < radivergujeprovšecha x,proěž ρ x x > r.kovergečíitervalzapisujemevetvarux r,x + r.
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 5 Defiice 6. Taylorova a Maclauriova řada Nechťfukce fmávbodě x derivacevšechřádů.mociouřadu f x x x! azývámetaylorovouřadoufukce fvbodě x. Je-li x,mluvímeomaclauriověřadě,kterájetvaru f x.! Maclauriovy řady elemetárích fukcí e x + x! + x! + + x! + x!, x R, si xx x! + x + + +! + x + +!, x R, cos x x! x + +! + x!, x R, l+xx x + + +x + +x, x,, +x a + a x+ + a x + a x, x,,a Račíslo a aa a...a +! je biomický koeficiet. Všechy uvedeé pojmy jsou citováy z[]
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 6 5 FOURIEROVY ŘADY Defiice 7. Trigoometrická řada Nekoečou fukčí řadu ve tvaru a + a cos x+b si x, 4 kde a,b jsoukostaty,azývámetrigoometrickouřadou. Dirichletovy podmíky pro rozvoj fukce ve Fourierovu řadu:.fukce fxjevitervalu a,b ohraičeá..iterval a,b jemožorozdělitakoečýpočetitervalů,vichžjefukce fx spojitá a mootóí.. V každém bodě espojitosti existují koečé jedostraé limity. Věta.Určeíkoeficietů a,b řady4operioděπ Koeficiety a,b aitervalu π,π určímeásledově: a π π π fxdx, a π π π fxcos xdx, b π π π fxsi xdx, kde,,,... Pro Fourierovy koeficiety vzhledem k obecé periodě t při základím itervalu periodicity t, t platí a t t t fxdx, a t t t fxcos π t xdx, b t t t fxsi π t xdx,
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 7 Věta. Rozvoj fukce v kosiovou řadu Nechť fjeitegrovateláaitervalu,t.položíme-lipro x t,fxf x, dostaeme sudé rozšířeí fukce f a iterval t, t. Fourierově řadě sudého rozšířeífukce fříkámerozvojfukce fvkosiovouřadu aitervalu,t.pro její koeficiety platí a, a, b t t fxsi π t xdx. Věta. Rozvoj fukce v siovou řadu Nechť f jeitegrovateláaitervalu,t.položíme-lipro x t,f, fx f x,dostaemelichérozšířeífukce f aiterval t,t.fourierověřadělichéhorozšířeífukce fříkámerozvojfukce f vsiovouřadu a itervalu, t. Pro její koeficiety platí b, a t t fxdx, a t t fxcos π t xdx. Uvedeé pojmy jsou čerpáy z[]
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 8 II. PRAKTICKÁ ČÁST
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 9 6 SOUČET ČÍSELNÉ ŘADY 6. Parciálí zlomky Příklad 6.. Určete součet řady: a +. Řešeí.Čle a rozložímeaparciálízlomky + +. Poté určíme posloupost částečých součtů s a + +a +. + + + + + Součet řady získáme výpočtem limity poslouposti částečých součtů s lim s lim. + b +. Řešeí. Provedeme rozklad a parciálí zlomky + A + B +. ZroviceA +B+dostaeme A 4 a B 4,tj. Potom + 4. + s a + +a [ + 4 5 + 7 5 + 9 + 5 + + + + 4 +, + 7 + + + ]
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 aproto s lim s lim + 4 + +. c +7. Řešeí. Podobě jako u předchozích příkladů provedeme rozklad a parciálí zlomky +7 A + B +7. ZroviceA +B+7dostaeme A 9 a B 9,tj. Potom +7 9. +7 s a + +a [ + 9 4 + 7 + 6 + + 6 + + 5 + + 8 + + 5 + +4 + 9 4 + 7 + +4, +7 aproto + 9 +7 s lim s lim + 9 4 + 7 + +4 9 +7 5. ] d + +. Řešeí. Nejprve ajdeme kořey jmeovatele a poté postupujeme obdobě jako u předchozího příkladu, tj. ++ ++ A + B + + C +. ZroviceA+++B++C+dostaeme A, B a
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 C,tj. ++ Pak + +. + s a + +a [ + + + + 4 4 + + 5 + 4 5 + + + 6 + + + + + + + + ] + + + + + + + + +, + aproto s lim s lim + + + 4. e +. Řešeí.Čle a rozložímeaparciálízlomky A + + B C + + + D +. Rovici A + +B+ +C+ +D upravímea A8 +4 +B4 +4++C8 4 ++D4 4+ a výpočtem získáme : 4B B 8 : 4D D 8 : 8A+8C A C : : 4A+4B 4C+4D A+4B C 4D Dopředposledírovicedosadíme A C, B 8 a D 8
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 4C+ 4C 8C C,A Po dosazeí dostáváme Potom + 8 + s [ 8 + + 5 5 + + 7 5 + ] + +, + 8 +. aproto s lim 8 + 8. Cvičeí 6.. Určete součet řady: a + [ ] s d + [ ] s 8 b + [ ] s e +5 [ ] s 9 c + + [ ] s 8 f + + [s] 6. Geometrická řada Příklad 6.. Určete součet geometrické řady: a 5. 4 Řešeí.Nejprvezjistímeprvíčle atak,žedo -téhočleudosadíme a 5 4
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 akvociet q q a + 5 + 4 a 5 4 4 4 4. 4 Tatořadajekovergetíplatí q <,aprotomůžemeurčitjejísoučetpomocívzorce s a 5 q 4 4 5. b +5 6. Řešeí. Zadaou řadu rozdělíme a dvě řady a dokážeme, že kovergují +5 6 Nejdříve určíme prví čle a kvociet prví řady 5 6 +. 6 a 6, q 6 + 6 6. Řada je kovergetí, proto můžeme získat její součet s I 6 6 5. Totéž provedeme pro druhou řadu + a 5 5 6, q 6 5 6 5 6, s II 5 6 5 6 5. Oběřadykovergují,aprotokovergujeizadaářadaajejísoučetjerove ss I + s II 5 +57 5. c +4. Řešeí. Postupujeme obdobě jako u předchozího příkladu, tz. rozdělíme a dvě řady
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 4 +4 + Určíme prví čle a kvociet pro prví řadu 4 4 +. a, q 4, řada koverguje, a proto můžeme vypočítat její součet s I 4. Při zjišťováí součtu druhé řady postupujeme obdobě a, q, s II 4. Nyí obě řady sečteme ss I + s II + 4 7. d 5 4. + Řešeí. Provedeme rozklad a dvě řady a drobými úpravami je zjedodušíme 5 4 + Pak zjistíme součty těchto řad 5 4 + 4. s I 5 4, s II 9. Nakoec odečteme druhou řadu od prví a dostaeme výsledek ss I s II 9.
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 5 e Řešeí. Rozložíme a dvě řady a upravíme 4 + 9 5 6 + Zjistíme součty řad s I 4 4 5 6 6 45 4 + 9 5 6 +. 5, s II 9 5 6 6 6 Koečý výsledek získáme odečteím druhé řady od prví ss I s II 5. 45. 6. Řešeí. Po úpravě dostáváme f Nyí určíme prví čle řady a její kvociet 6 5 +. 5. a, q5. Tato řada je divergetí a její -tý částečý součet je s a q q 5 5 5 [ ] 5 5 [ 5 ]. Součetřadyjepak s lim s 5 [ 5 ].
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 6 Cvičeí 6.. Určete součet geometrické řady: a 5 [ ] s 4 d [ ] s b + [s4] e + [s5] c 5 5 [s ] f 5 4 + [s7] 4 6
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 7 7 KRITÉRIA KONVERGENCE 7. Podílové kritérium Příklad 7.. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí. Užijeme podílové kritérium, platí a!. q lim a + a lim +! + lim ++ >, +! lim! +! lim +! +! z toho plye, že řada diverguje. b Řešeí. Podle podílového kritéria dostáváme q lim a + a lim 4. + 4 4 +4 +6 +4+ + lim 4 + 4 lim 4 +4 +6 +4+ 4 <, tj. daá řada koverguje. c +. Řešeí. K vyšetřeí opět použijeme podílové kritérium. Platí q lim a + a lim lim +4 9+ <, z toho plye, že řada koverguje. ++ + + lim d Řešeí. Použijeme podílové kritérium. Platí +4 + + lim 4 5+ 5 4. +4 +
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 8 q lim a + a lim tj. daá řada diverguje. 4 5++ 5 4+ 4 5+ 5 4 lim 4 5+6 5 4 4 5+ 5 e 4.! Řešeí. Aplikujeme podílové kritérium. Platí q lim + + 4 + +! 4! lim 4 + 4+ lim + + 4 +! lim +! 4 + 4e >, lim 4 eboťplatí,želim + e,tz.daářadadiverguje. f!. Řešeí. Pomocí podílového kritéria dostáváme q lim [+ ]! +! lim + 7 lim lim 8 z toho plye, že daá řada diverguje. Řešeí. Platí 4 5 4 6 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 65 >, lim + + 4 4! +! 4 +! +! lim +!! g!!. 8 lim 9 >, q lim [+]! [+!] +!! lim! [+!]! lim! lim ++ + lim 4 +6+ ++ 4>, ++!! [+!]! tj. daá řada diverguje.
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 9 Řešeí. Platí q lim lim 8 + [+!] [+]! 8!! h 8!.! lim 8 + [+!]! 8! +! 8 8 +!! 8! ++! lim 4 lim + <, tj. daá řada koverguje. 8+ ++ Cvičeí 7.. Rozhoděte o kovergeci řady: a [koverguje] d! [diverguje] b c [koverguje] e e! [koverguje] f!! [koverguje] [koverguje] 7. Odmociové kritérium Příklad 7.. Rozhoděte o kovergeci řady a Řešeí. Užijeme odmociové kritérium, platí 4. q lim 4 lim 4 lim 4 4 <, podlel Hospitalovapravidlajelim.Protodaářadakoverguje. b. 5 Řešeí. Podle odmociového kritéria dostáváme
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 q lim 5 z toho vyplývá, že daá řada koverguje. c lim +. 5 5 <, Řešeí. K vyšetřeí opět použijeme odmociové kritérium. Platí q lim + lim + lim + <, eboťpodlel Hospitalovapravidlajelim.Daářadatedykoverguje. d 4+. Řešeí. Použijeme odmociové kritérium. Platí tz. daá řada koverguje. q lim 4+ lim 4+ 4+ lim 4 <, e l. Řešeí. Aplikujeme odmociové kritérium. Platí proto daá řada koverguje. q lim l lim l <, f arcsi. Řešeí. Pomocí odmociového kritéria dostáváme q lim z toho plye, že daá řada koverguje. arcsi lim arcsi <,
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 g +. Řešeí. Platí q lim + lim + e >, eboť platí vzorec lim + e,tj.daářadajedivergetí. h si. Řešeí. Platí q lim si lim si. Dostáváme eurčitý výraz typu, který upravíme a podíl, abychom mohli použít L Hospitalovo pravidlo lim si lim si, yídostávámeeurčitývýraztypu amůžemepoužítl Hospitalovopravidlo daá řada tedy diverguje. q lim cos lim cos >, Cvičeí 7.. Rozhoděte o kovergeci řady: a b [koverguje] d e + + [diverguje] e [koverguje] + 5 + [koverguje] c [koverguje] f l + arctg + [diverguje]
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 7. Raabeovo kritérium Příklad 7.. Rozhoděte o kovergeci řady a +. K vyšetřeí kovergece či divergece daé řady použijeme Raabeovo kritérium. Platí q lim a + lim a lim ++ +4+4 z toho plye, že daá řada koverguje. b lim + + lim + + + +4+4 ++6. >, Pomocí Raabeova kritéria zjistíme kovergeci resp. divergeci daé řady. Platí q lim lim tz. daá řada koverguje. ++7+ ++6 +6 +9+4 Podle Raabeova kritéria dostáváme q lim lim 5 + +! 5 +! 5 + c lim ++6 +++7 lim 5 +! lim!5+ +!5 + lim To zameá, že daá řada koverguje. d Použitím Raabeova kritéria získáme 4 + +4 +9+4. >. ++. >,!5 lim +!
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 q lim lim + ++ ++ + + z toho plye, že daá řada diverguje. Podle Raabeova kritéria platí q lim lim lim lim lim lim tz. daá řada koverguje. lim + ++ ++ + lim <, + e ++5 5+ ++ +5 5 + +5 5 +. +75 + [5 + +++ ++]+5 4 +6 +5 + 5 +5 +5+5+ +6++5 4 +4 + 5 +8 ++8+5 4 +4 + 4 +6 + ++4 + ++4 >, 4 +6 + ++4 Cvičeí 7.. Rozhoděte o kovergeci řady: a b [koverguje] d + [koverguje] e +! +!!! 4 [koverguje] [diverguje] c + + [diverguje]
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 4 7.4 Itegrálí kritérium Příklad 7.4. Rozhoděte o kovergeci řady a. Řešeí.Užijemeitegrálíkritérium.Fukce fx x jeerostoucíaezáporáa itervalu,. Výpočtem itegrálu zjistíme kovergeci resp. divergeci q dx x lim t t [ ] t x dx lim x t t lim, t tz. daá řada diverguje. b +4. Řešeí.Použijemeitegrálíkritérium,položíme fx x +4.Tatofukcejeaitervalu, erostoucí a ezáporá. Výpočtem itegrálu dostáváme t dx q x +4 lim dx [ t x + lim arctg x ] t t lim arctg t t arctg π arctg <, což zameá, že daá řada koverguje. c 4. Řešeí. Opět použijeme itegrálí kritérium, postupujeme obdobě jako u předchozích příkladů q Provedeme rozklad a parciálí zlomky dx t x 4 lim dx t x 4. x 4 A x + B x+. ZroviceAx++Bx získáváme A, B,tj.
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 5 q lim t lim t l 5 <, t x dx x+ lim [ ] t l x l x+ t [ ] x t x+ [ ] lim l t t t+ l + l 5 tj. daá řada koverguje. d + 5. Řešeí. Aplikujeme itegrálí kritérium. Fukce fx x+ 5 jeezáporáaerostoucí a itervalu,. Platí q dx x+ 5 lim t t x+ 5 dx sub.: x+ s meze: xt st+ dx ds x s5 dx ds [ ] t+ 9 lim t s 5 9 lim t t+ 5 9 45 5 <, z toho plye, že daá řada koverguje. e 4 +. lim t t+ 5 5 s 5 ds Řešeí.Pomocíitegrálíhokritéria,kdyfukce fx x x 4 + jeerostoucíaezáporá a itervalu,, dostáváme q 4 x dx t x 4 + lim x dx t x 4 + sub.: x 4 + s meze: xt st 4 + [ l s 4x dx ds x s x dx ] t 4 + tj. daá řada diverguje. ds 4 4 lim l t 4 + l l, t 4 t 4 + 4 lim ds t s
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 6 f l. Řešeí.Fukce fx l x x je erostoucí a ezáporá a itervalu,. Platí q l x t x dxlim l x t x dx sub.: l x s meze: xt sl t dx ds x s lim x ] l t [s 4 lim 4 t 4 lim l 4 t, t tz. daá řada diverguje. t l t s ds Cvičeí 7.4. Rozhoděte o kovergeci řady: a [koverguje] d + arctg + [koverguje] b [koverguje] 4+4 e l! 4 [diverguje] c [diverguje] c + l [koverguje]
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 7 8 ŘADY ABSOLUTNĚ A NEABSOLUTNĚ KONVERGENTNÍ Příklad 8.. Rozhoděte, zda daá řada koverguje absolutě či eabsolutě a 4. Řešeí. Nejprve zjistíme, zda daá řada vůbec koverguje. Pokud ao, budeme vyšetřovat kovergeci absolutí či eabsolutí. Kovergeci vyšetříme Leibizovým kritériem, které má dvě podmíky:.podmíka a a +,, 4 + 4. podmíka lim a, lim. 4 Obě podmíky jsou splěy, a proto daá řada koverguje. Nyí rozhodeme o absolutí či eabsolutí kovergeci. Vezmeme řadu s absolutími hodotami, tj. 4 4, 5 a apř. itegrálím kritériem rozhodeme, zda řada5 koverguje či diverguje q dx t [ ] t dx x 4lim t x 4 lim [ ] t x lim t t <, řada koverguje. To zameá, že daá alterující řada koverguje absolutě. b + +. Řešeí. Podle Leibizova kritéria zjistíme kovergeci řady.. podmíka Leibizova kritéria se dá ověřit i ásledujícím způsobem. Čle + budemeuvažovatjakofukci y x x + aověřímepomocíprvíderivace,zdajetato fukce klesající. Platí y x x + x x x < pro x >. x + x + x + Prví derivace je záporá, proto je fukce klesající a itervalu,, a tedy posloupost { +} jeklesající.. podmíka je splěa, eboť
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 8 lim +. Obě podmíky jsou splěy, což zameá, že daá řada koverguje. Nyí vyšetříme kovergeci řady + + +. 6 Pomocí itegrálího kritéria určíme, zda je řada6 kovergetí či divergetí q xdx t [ ] t x + lim xdx t x + lim l x + t lim l t + l t l, řada6 diverguje, a proto daá alterující řada koverguje eabsolutě. c. 5 + Řešeí. Leibizovým kritériem zjistíme kovergeci řady. Platí. podmíka 5 + + 5 +,. podmíka lim. 5 + Obě podmíky jsou splěy, proto daá řada koverguje. Poté vyšetříme kovergeci řady 5 +. 7 5 + Použitím podílového kritéria pro řady s kladými čley q lim a + 5 lim a lim + 5 + 5 + 5 + 5 + lim lim + 5 + + 5 5 5 5 dostáváme, že řada7 koverguje, tz. daá alterující řada tedy koverguje absolutě.
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 9 d l. Řešeí. Pomocí Leibizova kritéria určíme kovergeci řady. Platí. podmíka l +l+,. podmíka lim l. Obě podmíky jsou splěy, řada tedy koverguje. Nyí zjistíme kovergeci řady a Pro vyšetřeí kovergece řady použijeme itegrálí kritérium q lim t dx xl x lim t [ l s ] l t l t dx xl x sub. l x dx x lim t l l t l l. l. 8 s lim ds t Řada8 diverguje, a proto daá alterující řada koverguje eabsolutě. l t l ds s e +. Řešeí. Kovergeci alterující řady zjistíme použitím Leibizova kritéria, ejprve ověříme. podmíku lim +. Tato podmíka eí splěa, a proto daá řada diverguje. f.! Řešeí. Zadaou řadu přepíšeme do ásledujícího tvaru!.
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 4 Nyí stačí vyšetřit absolutí kovergeci řady pomocí podílového kritéria pro řady s ezáporými čley q lim a + a lim lim + <, + +!! tj. daá řada koverguje absolutě. g +! lim +! lim! +!. Řešeí. Pomocí Leibizova kritéria zjistíme kovergeci řady. Pro ověřeí. podmíky použijeme prví derivaci x x x x x x l x x x x l x x x l x < pro x. Fukcejeklesajícíaitervalu,,aprotojeklesajícíiposloupost { }.. podmíka platí, eboť lim lim l l lim l lim Obě podmíky jsou splěy, proto daá řada koverguje. Nyí vyšetříme kovergeci řady pomocí podílového kritéria. Platí 6 l l lim 6 l. 9 q lim a + a lim lim + + + + ++ lim lim + + ++ <. Řada9 koverguje, což zameá, že daá alterující řada koverguje absolutě. Řešeí. Platí h si π+ π.
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 4 si π+ π siπ+ π +siπ+ π +siπ+ π + + +. Nyí určíme kovergeci či divergeci řady pomocí Leibizova kritéria. Nejprve ověříme platost.podmíky lim lim lim e l lim e l e lim e. Nutá podmíka kovergece eí splěa, a proto daá řada diverguje. Cvičeí 8.. Rozhoděte, které řady kovergují absolutě, které kovergují eabsolutě, a které divergují: a b + + [kov.abs.] d + [diverguje] e + l + l [kov.abs.] [kov. eabs.] c! [diverguje] c + + [kov.abs.]
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 4 9 MOCNINNÉ ŘADY 9. Poloměr, obor kovergece a obor absolutí kovergece Příklad 9.. Určete poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece mocié řady a x. Řešeí.Středemmociéřadyje x.nyízjistímepoloměrkovergece ρ lim a + a lim + lim + r. Dostáváme iterval,, jehož krají body je uté vyšetřit. Pro xzískávámeřadu.pomocíitegrálíhokritéria dx x lim t t [ ] t x dx lim x t lim t t zjišťujeme, že tato řada diverguje. Pro x dostávámealterujícířadu,jejížkovergecivyšetřímeleibizovým kritériem. Prví i druhá podmíka tohoto kritéria je splěa a řada s absolutími čley diverguje,protodaáalterujícířadakovergujeeabsolutě. Dostáváme tedy, že oborem kovergece je iterval, a oborem absolutí kovergece iterval,. b 4 4 x. Řešeí.Středemmociéřadyje x apropoloměrkovergeceplatí ρ lim a + a lim Dostávámekovergečíiterval 4, 4. 4 + + 4 4 + 4 4 4 lim 4 + 44lim 4 + 44 r 4. Vbodě x 4 jeřada 4 4 4 4.Itegrálímkritériemvyšetřímekovergeci či divergeci řady dx x 4lim t t x 4 dx [ ] t lim t x lim t t <, to zameá, že daá řada koverguje, a to absolutě. Vbodě x jeřada 4 4 4 4 4 4 4,kterákoverguje 4
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 4 absolutě. Oboremkovergeceaabsolutíkovergecejeiterval 4,. 4 c x+4. Řešeí.Středmociéřadyje x 4.Poloměrkovergecejerove ρ lim a lim lim r. Ztohoplye,žedaářadakovergujejevesvémstředu,tj.vx 4. d x 5. Řešeí.Středemmociéřadyje x apropoloměrkovergeceplatí ρ lim a + a lim 5 + 5 lim 5 5 + 5 5 lim + 5 r5. Dostáváme kovergečí iterval, 7. Vbodě x7jeřada 5 5 5,kterádiverguje. Vbodě x řada 5 5 5 kovergujeeabsolutě. Oborem kovergece je iterval, 7 a oborem absolutí kovergece je iterval,7. e x+5. Řešeí.Středmociéřadyje x 5apoloměrkovergecejerove ρ lim a + a lim + r. Získáváme kovergečí iterval 6, 4. Vbodě x 4dostávámeřadu,kterádiverguje,protožeeísplěautá podmíka kovergece, jelikož lim. Vbodě x 6dostávámeřadu,kterátakédiverguje. Oborem kovergece a zároveň i absolutí kovergece je iterval 6, 4. f!! x. Řešeí.Středemmociéřadyje x.propoloměrkovergeceplatí
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 44![+!]![+!] ++ ρ lim lim +!! ++!! lim 4 +6+ 4 r4. Kovergečí iterval je, 5. Vbodě x5dostávámeřadu! 4!, jejíž kovergeci vyšetříme Raabeovým kritériem. Platí q lim a + lim a lim 4 +8+4 4 +6+ to zameá, že daá řada diverguje. [+!] 4 +!! 4 +! lim 4 +6+ <, Vbodě x dostávámeřadu 4!!! 4!, která diverguje. Oborem kovergece a zároveň i absolutí kovergece je iterval, 5. g x +. Řešeí.Středemmociéřadyje x.poloměrkovergeceje + ρ lim + + lim + lim ++ r. Kovergečí iterval je tedy,. Pro xdostávámeřadu +,jejížkovergecivyšetříme 9 apříklad pomocí itegrálího kritéria. Platí dx 9x 9 lim t t x dx [ 9 lim t x ] t 9 lim t t 9 <, daá řada koverguje. Pro x dostávámeřadu + 9,která koverguje absolutě. Oborem kovergece a zároveň i oborem absolutí kovergece je iterval,. h α x, < α <. Řešeí.Středmociéřadyje x apropoloměrkovergeceplatí
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 45 ρ lim a lim α lim α r. To zameá, že daá mociá řada vždy koverguje. Obor kovergece i obor absolutí kovergece je iterval,. Cvičeí 9.. Určete poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece: a x b x [r,okoak, ] [r,okoak,] c d x 8 5 [r5,ok,,oak,] x 7 [r7,okoak 7,7] e x +! [r, OKOAK, ] f + x [r,ok,,oak,] 9. Součet mocié řady Příklad 9.. Určete součet číselých řad pomocí součtu mocié řady a. Řešeí.Nejprvesečtememociouřadu x.tatořadajegeometrickáskvocietem q x,kde x <.Dostáváme Platí x +x+x + +x x. x x a x dx x.protomůžemeapsat,že x dx.
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 46 Nyí zjistíme součet zadaé číselé řady l x dx x dx +l l l. [ ] dx x l x b +. 5 Řešeí.Uvažujmemociouřaduvetvaru +x.součetřadyurčíme zrovostix + +x.dostáváme +x x + x +. Tatořadajegeometrickáskvocietem q x,kde x <aplatí Proto můžeme apsat, že x + x x + x 5 + +x + x +x. x + x +x x x x +x +x +x. Dosazeímza x 5 dostaemehledaýsoučetřady.platí + 5 5 + 5 5 + 5 4 5 5 6 5 69. Cvičeí 9.. Určete součet číselých řad pomocí součtu mocié řady a [ ] 4 l 4 c + [ 8 ] 7 b [ 8 ] 4 7
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 47 9. Taylorova a Maclauriova řada Příklad 9.. Rozviňte ásledující fukce v Maclauriovu řadu afxcosx. Řešeí.Nejprvepoložíme x t.dostávámefukcicost,jejížrozvojje cos t t! + t4 4! t6 t + + 6!! t Potédosazeímza tx dostávámepožadovaoumaclauriovuřadu cosx x4! + x8 4! x + + x4 6!!!, t R. x4!, x R. bfxarcsix. Řešeí. Nejprve zadaou fukci zderivujeme. Platí arcsix x x, x, Položíme-li x t,dostaemefukci+t,jejížrozvojdobiomickéřadyje +t + t+ Dosazeímza t x dostáváme a itegrací daé řady máme arcsi x x t + t+! t + x + x +! x4 + s ds x x+ x + x5! 5 + + s +! s4 + ds Řešeí. Nejprve zadaou fukci upravíme cfx x.
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 48 x x x. Potépoložíme xtadostaemefukci +t.jejírozvojdobiomickéřady je +t [ + t+ t + + Podosazeíza t xzískámemaclauriovuřadu + x+! x. t + ] t, x [ + x + + ] x + + x + +! x +! [ x + +!! x + ] t,. dfxe cos x. Řešeí.ProvedemerozvojevMaclauriovuřaduprofukcee x acos x e x + x! + x! + x! + x4 4! + x5 5! + Po dosazeí dostáváme e cos x e e x! e x4 4!+ e x! + cos x x! + x4 4! + x!! + + x4 4! + x 4 4!! + e + x + x4 8 + x4 4 + x8 4 + e x + x4 6 +. efxe x si x. Řešeí.Maclauriovařadaprofukcie x vizpředchozípříkladasixje
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 49 si xx x! + x5 5! + NyíoběřadyavzájemvyásobímeadostaemeMaclauriovuřaduprofukcie x si x e x si x + x + x x!! + x! + x4 4! + x5 5! + x! + x5 5! + x x 6 + x5 + x x4 6 + x x5 + x4 6 + x5 4 + x+x + x x5 + Cvičeí 9.. Rozviňte ásledující fukce v Maclauriovu řadu [ ] afxe x x + x4 + x!+ +!+ bfxsix cfx x [ ] x 8x + x5 +! 5! [ + x + 4 x6 + 5 4 6 x9 + ] dfx+xe x [ +x+! x + 4! x + ] efxl+e x [ l+ x + x 8 x4 9 + ] Příklad 9.4. Rozložte v Taylorovu řadu ásledující fukce Řešeí. Platí afx x vbodě x. f x x f, f x x f, f x x f. Dosazeím do Taylorovy řady dostáváme fx + x +! x! x + + ] x x [x + +.!!
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 5 Řešeí. Platí bfx x vbodě x. f x x f, f x x f, f x 6 x 4 f 6 4. Po dosazeí dostáváme Taylorovu řadu ve tvaru fx x +! x 6 4! x + [ x ] x x + +. Cvičeí 9.4. Rozložte v Taylorovu řadu ásledující fukce afx x vbodě x [ ] fx + x+ + x+ + + x+ + 4 bfxlxvbodě x ] [fxx x + x + + + x + [ cfxsi xπ 4 vbodě x fx π x + π 4 x 4 + + ] π x + 4! 4 4! 4!
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 5 FOURIEROVY ŘADY. Fourierovy řady vzhledem k systému {cos x, si x} Příklad.. Rozviňte ve Fourierovu řadu v daém základím itervalu periodicity fukci: afx x 4, x π,π. Řešeí.Daáfukcejepočástechmootóíaspojitáaitervalu π,π,vtomto itervalujeohraičeá.tatofukcejesudá,aproto b,pro Na a π π x 4 dx π x dx [ ] π x π 6π π 6π π 6, a π π x cos xdx x cos xdx u cos x u si x π 4 π v x v x [ ] x π si x π xsi xdx u six u cos x π v x v [ ] x π si x+x π cos x π cos xdx [ x si x+x π cos x ] π si x cos π. Dostáváme jedotlivé koeficiety a, a 4, a 9,... Nyí můžeme určit rozvoj fukce. Platí x 4 a + a cos x π cos x+ 4 cosx 9 cosx+ y 4Π Π Π Π Π Π Π 4Π x Obr..Periodickérozšířeífukce x,x π,π 4
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 5, x π,, bfx x, x,π. Řešeí. Obě zadaé fukce jsou mootóí, spojité a ohraičeé a daých itervalech. Provedeme itegraci v itervalech π, a, π a dostaeme jedotlivé koeficiety. Platí a π π dx+ π xdx + π [ x ] π π, a π π cos xdx+ π cos π π xcos xdx [ x + π si x+ cos x cos π π π [ ], ] π aproto a π, a, a 9π, a 4,... b π si xdx+ xsi xdx [ + x π π π cos x+ ] π si x π π cos π cos π, b, b, b,... Poté získaé koeficiety dosadíme a dostaeme hledaý rozvoj fx a + a cos x+b si x π 4 + π cos x 9π cosx+ + si x six+ six+. y 4Π Π Π Π Π Π Π 4Π x Obr.. Periodické rozšířeí daé fukce
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 5 cfx π x, x,π. Řešeí. Fourierovy koeficiety jsou a π π π π xdx π, π 4π π π xdx π ] π [πx x a π π π π π π xcos xdx π xcos xdx π [ ] π π x si x + π si xdx [ π x si x ] π cos x, b π π π π π xsi xdx π [ π x ] π cos x [ π x cosx si x π π ] π π xsi xdx cos xdx π π + π. b, b, b,... Hledaý Fourierův rozvoj je fx b si xsi x+ six+ six+ y 4Π Π Π Π Π Π Π 4Π x Obr..Periodickérozšířeífukce π x,x,π
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 54, x,π, dfx, x π,π, x,π,π. Řešeí. Pro jedotlivé koeficiety Fourierovy řady platí a π dx+ π a π cos xdx+ π π π π π dx [ ] π x, π cos xdx [ ] π si x, π b π si xdx+ π. π π π si xdx [ ] π cos x cos π cos π π b π, b, b π, b 4, b 5 5π,... Fourierův rozvoj zadaé periodické fukce je fx a + a cos x+b si x + π si x+ π six+ 5π si5x+ efxsi x, x,π. Řešeí. Pro Fourierovy koeficiety platí a π π a π si xdx π π [ ] π cos x π cos π+cos4 π, si xcos π π xdx π si xcosxdx π Provýpočetpoužijemevzorecsiαcos β [siα β+siα+β]
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 55 π a [ ] si x+si+x dx π [ ] π cos x π + cos+x [ cos π + cos+π π + ] + [ ] + π + π + + 4 π 4. a 4 π, a 4 5π, a 4 5π,... b π π si xsixdx Použijemevzorecsi αsi β [cosα β cosα+β]adostaeme π b [ ] cos x cos+x dx π [ si x π + si+x ] π. Fourierův rozvoj daé fukce je fx a + a cosx+b six π 4 π cosx 4 5π cos4x 4 5π cos6x+ y 4Π Π Π Π Π Π Π 4Π x Obr.4.Periodickérozšířeífukcesix,x,π ffx x, x t,t. Řešeí. Daá fukce je lichá a itervalu t, t, a proto její koeficiety jsou a, a,
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 56 b t x t t si π t xdx u si πx u t cos πx t π t v x v [ xt t π cos π ] t t x + t t cos π t π t t xdx [ xt t π cos π t x+ π ] t t π si t x t t t t t t cos π+ π πsi π t π t π t π cos π t π t π si π t π. Výsledý Fourierův rozvoj fukce je fx b si πx t b t π, b t π, b t π,... t π si πx t siπx + t siπx +. t Cvičeí.. Rozviňte ve Fourierovu řadu v daém základím itervalu periodicity fukci afxx v π,π [ fx si x six+six si4x+ ] 4 π, v π,, bfx x, v,π. [ fx π 4 π cos x cosx+ cos5x+ +si x six 9 5 six+ ] 5 si x, v,π, cfx, v π,π. [ fx π +si x cosx + cos4x + cos6x + ] π 5 5 7 dfxx v,π
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 57 [ fx 4 π +4 cos x+ cosx+ 4π si x+ si x+ ] 4 [ fx 4a π a, v,t, efx a, vt,t. si π t x+ siπ t x+ 5 si5π x+ ] t Příklad.. Rozviňte daou fukci v itervalu, π ve Fourierovu řadu siovou a kosiovou afxx. Řešeí. Nejprve provedeme rozvoj ve Fourierovu řadu siovou. Pro pomocou fukci Fxplatí x, x,π, Fx xx, x π,. Výpočtem dostáváme Fourierovy koeficiety b π xsi xdx [ x ] π π π cos x + π cos xdx [ x π cos x+ ] π si x π π cos π++. b, b, b,... Rozvojvsiovouřadujetedy fxsi x six+ six+,pro x,π.
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 58 y 4Π Π Π Π Π Π Π 4Π x Obr.5.Lichéperiodickérozšířeífukce x,x,π Nyí provedeme rozvoj ve Fourierovu řadu kosiovou. Pomocá fukce je ve tvaru x, x,π, Fx x, x π,. Pro Fourierovy koeficiety platí a π π xdx π [ x ] π π π π, a π xcos xdx [x ] π π π si x π si xdx [ x π si x+ ] π cosx + π cos π [ ]. π a 4 π, a, a 4 9π,... Po dosazeí dostáváme Fourierovu řadu kosiovou fx π 4 π cos x 4 cosx+,pro x,π. 9π y 4Π Π Π Π Π Π Π 4Π x Obr.6.Sudéperiodickérozšířeífukce x,x,π
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 59 bfxxsi x. Řešeí. Provedeme ejprve rozvoj ve Fourierovu řadu siovou. Pro pomocou fukci platí xsi x, x,π, Fx [ xsi x ] xsi x, x π,. Koeficiety hledaé řady jsou b π π xsi xsi xdx [ ] xcos x xcos+x dx π π [ xsi x cos x + si+x cos+x ] π π + + [ cos π + cos+π π + ++ + [ ] + π + 4 π + +. ] b 6 9π, b, b 4 5π,... Pro emádaývýsledeksmysl,protojeutépoužítprovýpočet b itegrálve tvaru π π b xsi xsi xdx π π [ x π x six 4 cosx Hledaý rozvoj v siovou řadu je fx π ] π xsi xdx π π π x xcosx dx π. π ++ si x 6six si4x+,pro x,π. 9π 5π y 4Π Π Π Π Π Π Π 4Π x Obr.7.Lichéperiodickérozšířeífukce xsi x,x,π
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 6 Nyí provedeme rozvoj v kosiovou řadu, pro jejíž pomocou fukci platí xsi x, x,π, Fx xsi xxsi x, x π,. Fourierovy koeficiety jsou a π π xsi xcos xdx [ ] xsi x+xsi+x dx π π [ xcos x si x + xcos+x + si+x ] π π + + [ πcos π + πcos+π ] ++ + π + ] [ π + π + + π + +. a, a, a 4,... Koeficiet a získámevýpočtempříslušéhoitegrálu.platí π π a xsi xcos xdx π π π π ++. xsixdx π Dosazeím dostaeme Fourierovu řadu kosiovou [ x cosx 4 six ] π fx cos x cosx+ cosx+,pro x,π. 4 y 4Π Π Π Π Π Π Π 4Π x Obr.8.Sudéperiodickérozšířeífukce xsi x,x,π Cvičeí..Rozviňtedaoufukcivitervalu,πveFourierovuasiovouab kosiovou řadu afx π x [ a six+ 4 si4x+ si6x+ v,π] 6
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 6 [ b π cos x+ cosx+ cos5x+ 5 v,π ] bfxxcos x. [ afx si x+ six six+ v,π ] 4 [ bfx + πcos x 4 5 cosx+ 7 π π 5 cos4x+ v,π ]
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 6 APLIKACE NEKONEČNÝCH ŘAD. Užití mociých řad Příklad.. Určete přibližou hodotu výrazu s chybou meší ež je uvedeo asi [ 8 ]. Řešeí. Použijeme Maclauriovu řadu fce si x Potédosadímeza x π 8 si xx x! + x5 5! + si π 8 π π 8 π 5 8! + 8 5! + V rozvoji vezmeme třetí čle, který splňuje daou podmíku. Platí Nyí určíme přibližou hodotu výrazu si π 8 π 5 8 5! < 8.. π π 8 π 5 8! + 8 5!., 7454. b arctg [ 5 ]. Řešeí. Derivací získáme arctg x +x +x Dostávámegeometrickouřadu,jejížkoeficietje q x.řadumůžemeapsatve tvaru arctg x x dt +t x x x + x5 5 x7 7 + x9 9 x + x + t + t 4 t 6 + t 8 t + t + dt V rozvoji vezmeme sedmý čle, který splňuje daou podmíku
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 6 < 5. Přibližá hodota výrazu je arctg. 5 7 9 + 5 7 + 9 +.,56. Cvičeí.. Určete přibližou hodotu výrazu s chybou meší ež je uvedeo acos 4 [,9848] ce [7,89] bsi 6 [,764] darcsi,45 [,466] Příklad.. Určete přibližou hodotu výrazu pomocí prvích čleů a 4 e [4]. Řešeí.Položíme-li 4 xdostávámefukciex.prví4čleyrozvojetétofukcejsou e x + x! + x! + x! + Dosazeímza x 4 určímepřibližouhodotuzadaéhovýrazu e 4. 4 + 4 + 4.,779 b,5 []. Řešeí.Nejprveupravímezadaývýrazdotvaru+x a,kde x,,5 +,5+,5. Pro prví tři čley rozvoje v Maclauriovu řadu platí
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 64 +x + x+ x + x 9 x. Dosazeím za x, 5 určíme přibližou hodotu výrazu.,5 +,5. 9,5,4975. cl [6]. Řešeí.Provýpočethodotylpoužijemerozvojfukcel +x,kde x,.nejprve odvodíme rozvoj v Maclauriovu řadu pro tuto fukci. Vycházíme z x předpokladu Prol+xdostáváme l +x x l+x l x. l+xx x + x + + +x + +x, x,, aprol xplatí l x x x x + + + x + x, x,. Potom můžeme apsat l +x x Pro prvích šest čleů rozvoje platí x x + x + x x x + + x+ x + x + +, x,. l +x x+ x x + x5 5 + x7 7 + x9 9 + x +. Zrovicel +x x ldostáváme x apodosazeídorozvojeurčímepřibližou hodotu výrazu l. + + 5 5 + 7 7 + 9 9 +.,986.
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 65 dl 5 6 [5]. Řešeí. Pro zjištěí hodoty výrazu využijeme rozvoje v Maclauriovu řadu fukce l+x.platí l+xx x + x x4 4 + x5 5 + Zrovicel+xl 5 6 dostáváme x 6.Podosazeíurčímepřibližouhodotu daého výrazu l 5 6. 6 6 + 6 4 6 4 + 5 6 5.,8. Cvičeí.. Určete přibližou hodotu výrazu pomocí prvích čleů a e [,678] cl5 9 [,694] b,5 [,5] dl [,69] Příklad.. Určete ásledující limity alim x x +x. x Řešeí.Provyjádřeíodmocipoužijemebiomickýrozvojfukcí xa +x. Platí x + x+ x + x x 8 + +x + x + + x + Poté dosadíme do limity jedotlivé rozvoje a dostaeme lim x x +x x x x lim [ x x lim x x x x 4 + 8 +. ] + x +
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 66 [ blim x x x l + x ]. Řešeí. Použijeme rozvoj v Maclauriovu řadu fukce l + x. Platí Po dosazeí do limity dostáváme l + x x x 4+ x 6+ [ lim x x x x ] x 4+ x 6+ lim x x + x x 4+. Cvičeí.. Určete ásledující limity alim +x 5 x x x [ ] [ clim x x l [ + ] x x] cos x e x x blim [ ] x 4 [ e dlim x si x x+x ] x x Příklad.4. Vyjádřete mociou řadou x e t a t dt. Řešeí.Provedemerozvojfukcee t vmaclauriovuřadu.platí e t + t! + t! + t t + + +, t,.!! Poté získaou řadu dosadíme do itegrálu a po itegraci dostaeme požadovaou mociou řadu x e t t dt x t + t +! + t! + dt ] x t t [ +l t + + t!! + x +l x + x! + x! + + x +! +
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 67 x b Řešeí. Maclauriův rozvoj fukce l + t je l+t dt. t l+tt t + t t4 4 + + +t + Dosazeím do itegrálu dostáváme x l+t dt t x [t t + t t4 + + t + + t4 + t9 t4 6 + + t + + + x x 4 + x 9 x4 6 + + x + + + dt ] x x dt c t 9. Řešeí. Provedeme biomický rozvoj fukce t 9.Platí t 8 + t 9 t 9 + +t 9 + t 8 + +t 9 + t 9 + Itegrací dostáváme x dt t 9 x x+ x +t 9 + +t 9 + dt + + x9+ 9+ + [t+ t ] x t9+ + + 9+ +
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 68 Cvičeí.4. Vyjádřete mociou řadou a x e t t dt [ l x +x+ x! + x! + ] b x dt t 4 [ + x5 5 + x9 8 + 5x 6 + ] x c x d si t dt l +t t dt [ x x7 7! + x 5! + ] [ ] x x + x x4 + 4 Příklad.5. Určete přibližou hodotu výrazu pomocí prvích čleů ebo se zadaou přesostí Řešeí.Maclauriůvrozvojfukcee x je e x a dx [6]., x e x + x! + x! + x! + x4 4! + x5 5! + Dosazeím do itegrálu zjistíme přibližou hodotu výrazu, e x x dx.., x ++ x! + x! + x 4! + x4 dx. 5! [l x +x+ x! + x! + x4 4 4! + x5 5 5! ],.,58.,5 dx b +x 4 [a tisíciy]. Řešeí. Nejprve určíme biomický rozvoj daé fukce. Platí +x 4 + x 4 + x4 + Druhý čle rozvoje splňuje daou podmíku Po dosazeí do itegrálu dostaeme 4 <.
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 69,5 dx +x 4.,5 x4 dx. ],5 [x x5.,497. Cvičeí.5. Určete přibližou hodotu výrazu pomocí prvích čleů ebo se zadaou přesostí a b,,,5,5 e x dx [,8] c x cos x dx atisíciy [,5] d 4 dx 4 [,494] +x 4 e x dx 4 [,84]
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 7 ZÁVĚR Úkolem této práce bylo vytvořeí sbírky příkladů sloužící studetům jako pomocý materiál k předmětu Matematika III. Pro vytvořeí sbírky byl využit profesioálí systéml A TEX,kterýjeurčepropsaívědeckýchamatematickýchdokumetůvysoké typografické kvality a růzých jiých druhů dokumetů, od jedoduchých dopisů po složité kihy. Teoretická část je rozdělea a pět kapitol. V jedotlivých kapitolách jsou defiováy ejdůležitější pojmy související s daým tématem. Praktická část avazuje a pozatky popsaé v teoretické části. Pro každou kapitolu v teoretické části jsou v části praktické vypracováy vzorové příklady a uvedey i eřešeé příklady a procvičeí. Prví kapitola je rozdělea a dvě podkapitoly- určeí součtu řady pomocí rozkladu a parciálí zlomky a součet geometrické řady. Další kapitola je zaměřea a určováí kovergece resp. divergece řady s ezáporými čley pomocí růzých kritérií. Jedotlivá kritéria tvoří podkapitoly. Patří sem limití podílové, limití odmociové, limití Raabeovo a itegrálí kritérium. Řady alterující jsou popsáy ve třetí kapitole. Vyšetřuje se jejich absolutí či eabsolutí kovergece. Nejprve se pomocí Leibizova kritéria zjistí kovergece řady a poté kritérii pro řady s absolutími čley se určí, zda je absolutí či eabsolutí. Následující kapitola se zabývá mociými řadami a je dělea a podkapitoly. V prví podkapitole jsou uvedey příklady a určeí poloměru, oboru kovergece a oboru absolutí kovergece. Další část je zaměřea a součet číselé řady pomocí součtu mocié řady. Posledí podkapitola se zabývá rozvojem řad v Maclauriovu řadu a rozložeím v řadu Taylorovu. Tématem páté kapitoly jsou Fourierovy řady vzhledem k systému {cos x, si x}. Příklady jsou zaměřey a rozvoj fukce v zadaém itervalu periodicity do Fourierovy řady. Dále jsou zde uvedey příklady a rozvoj fukce ve Fourierovu řadu siovou a kosiovou. V posledí kapitole jsou uvedey příklady a využití mociých řad v matematice. Jsou zde řešey příklady a určeí přibližé hodoty výrazuapř. přirozeého logaritmu, odmociy, aj., a zjištěí limity, a vyjádřeí itegrálu pomocí mocié řady či a určeí hodoty itegrálu. Byla tedy vytvořea sbírka řešeých a eřešeých příkladů dle požadavků zadáí. Sbírka je spíše zaměřeá a praktickou část, ve které jsou podrobě vysvětley postupy řešeí příkladů. V teoretické části jsou zmíěy je ejdůležitější pojmy, které stačí k porozuměí daé problematiky.
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 7 CONCLUSION Theaimofthisworkwastocreateacollectioofexamples,whichisgoigtoserve asauxiliarymaterialtomathematicsiii.theprofessioalsysteml A TEXwasusedto create this collectio. This system is iteded for writtig scietific ad mathematic documets or aother types of documets, from simple letters to difficult books. The theoretical part is divided ito five chapters. There are defied the most importat terms i idividual chapters. The practical part cotiues to pieces of kowledge, that are described i theoretical part. Model examples ad usolved examples are show for every chapter i theoretical part. The first chapter is divided ito two subchapters- evaluatio sum of series through decompositio of partial fractio ad sum of geometric series. The ext chapter is aimed at idetificatio covergece or divergece of series with o-egative terms usig differet criteria of covergece. The subchapters are formed by idividual criteria. There are the limit ratio test, the limit radical test, the limit Raabe test ad the itegral test. Alteratig series are described i the third chapter. It is searched if they are absolutely or coditioally coverget. Firstly it is fouded out covergece of series by Leibiz criterio. The it is idetified if series with absolute terms are absolutely or coditioally coverget. The ext chapter explais power series ad it is divided ito two subchapters. I the first subchapters there are show examples to evaluatio radius of covergece, covergece regio ad absolutely covergece regio. The ext part is aimed at sum of umber series usig sum of power series. Last subchapter is egaged i fuctio expasio i Maclauri series ad decompositio i Taylor series. Subject of the fifth chapter are Fourier series. The examples are aimed at expasio i Fourier series i the give iterval. There are show examples of expasio i Fourier sie ad cosie series. I the last chapter there are show examples of usig power series i mathematics. There are solved examples of fidig approximate value of termse.g. atural logarithm, square root, of fidig limit, of expressio the itegral ad of fidig value of itegral. It was created the collectio of solved ad usolved examples accordig to the requiremets of task. This collectio is focused o practical part, i which there are explaied the methods of solvig examples. I the theoretical part there are metioed oly the most importat terms, which are eough for uderstadig of this problem.
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 7 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY [] Došlá Z.; Plch R.; Sojka P. Nekoečé řady. Bro,. ISBN 8--5-4. [] Dubčák F. Cvičeí z matematiky. Bro, VUT, 987. [] Ostravský J. Difereciálí počet fukce více proměých. Nekoečé číselé řady. UTB Zlí, 7. ISBN 978-8-78-567-. [4] Retorys K. Přehled užité matematiky I. Prometheus,. ISBN 8-796-8-9. [5] Medelso E. Shaum s Outlie of Calculus. McGraw-Hill. 749776. [6] Tomica R. Cvičeí z matematiky II. Bro, VUT, 974. [7] Řezíčková J. Podklady pro předmět Matematika III. Nekoečé řady. [8]LomtatidzeL.;PlchR.SázímevL A TEXudiplomovouprácizmatematiky.Bro,. ISBN 8--8-6.
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 7 SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK R možia všech reálých čísel R možiavšechreálýchčíselrozšířeáo,+ N možia všech přirozeých čísel {a } ekoečáposloupost a -týčleposlouposti a ekoečáčíselářada {s } posloupostčástečýchsoučtů lim a limitaposlouposti {a } s součet ekoečé řady q a kvociet geometrické řady alterujícířada c řadasezáporýmičley a x x r mociářada poloměr kovergece mocié řady
UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 9 74 SEZNAM OBRÁZKŮ Obr.. Periodickérozšířeífukce x,x π,π... 5 4 Obr.. Periodickérozšířeídaéfukce... 5 Obr.. Periodickérozšířeífukce π x,x,π... 5 Obr.4. Periodickérozšířeífukcesix,x,π... 55 Obr.5. Lichéperiodickérozšířeífukce x,x,π... 58 Obr.6. Sudéperiodickérozšířeífukce x,x,π... 58 Obr.7. Lichéperiodickérozšířeífukce xsi x,x,π... 59 Obr.8. Sudéperiodickérozšířeífukce xsi x,x,π... 6