MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY MB202. Diferenciální a integrální počet B
|
|
- Leoš Beneš
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY Sbírka příkladů do cvičeí MB0 Difereciálí a itegrálí počet B jaro 08 Mgr. Jakub Juráek
2 Obsah Polyomy, racioálí lomeé fukce, iterpolace Limity a spojitost fukce Derivace fukce a Taylorův polyom 5 4 L Hospitalovo pravidlo a lokálí etrémy 7 5 Průběh fukce 8 6 Globálí etrémy sloví úlohy 9 7 Neurčitý itegrál 0 8 Neurčitý itegrál 9 Určitý a evlastí itegrál 0 Aplikace itegrálího počtu Nekoečé řady 5 Mocié řady 7 Výsledky i Polyomy, racioálí lomeé fukce, iterpolace i Limity a spojitost fukce ii Derivace fukce a Taylorův polyom iii 4 L Hospitalovo pravidlo a lokálí etrémy v 5 Průběh fukce vi 6 Globálí etrémy sloví úlohy i 7 Neurčitý itegrál ii 8 Neurčitý itegrál iii 9 Určitý a evlastí itegrál iv 0 Aplikace itegrálího počtu v Nekoečé řady vi Mocié řady viii
3 . Polyomy, racioálí lomeé fukce, iterpolace Příklad.. Určete všechy kořey polyomu a apište jeho rozklad a kořeové čiitele v R p () = 4 p () = + 0 p () = p 4 () = p 5 () = p 6 () = Příklad.. Rozložte a parciálí zlomky. R () = 6 +. R () = R () = R 4 () = R 5 () = R 6 () = R 7 () = ( )( + )( + ) Příklad. Najděte Lagrageův iterpolačí polyom fukce daé tabulkou a pomocí ěj odhaděte hodotu fukce v bodě 0 =... f () 9 0 f () 5 0 f () f 4 () Příklad. Najděte Hermiteův iterpolačí polyom fukce daé tabulkou a pomocí ěj odhaděte hodotu prví derivace v bodě 0 =.
4 . f () f (). 0 f () 0 0 f () f () 4 0 f () Příklad. Uvažujte ásledující krátký eperimet. Měřeá veličia byla do okamžiku začátku eperimetu (tj. do času ula včetě) kostatí s hodotou Jakmile byl eperimet zaháje, probíhalo měřeí každou miutu a byly aměřey postupě hodoty 5 a 8. Posledím uvedeým měřeím byl eperimet ukoče a bylo zjištěo, že měřeá veličia se dále samovolě měí rychlostí +8 jedotky za miutu (tuto rychlost změy lze považovat za směrodatou i pro okamžik posledího měřeí). Získejte z popisu eperimetu dostatek iformací a amodelujte jeho průběh pomocí polyomu čtvrtého řádu. Polyom řádě zapište v základím tvaru. Dále pomocí získaého modelu odhadete hodotu měřeé veličiy a rychlost její změy půl miuty po zahájeí eperimetu. Tyto hodoty zapište jako jedoduché zlomky. Příklad.6. Určete přirozeý kubický splaj fukce daé tabulkou. f () 4 Příklad.7. Napište sadu rovic, pomocí kterých lze získat úplý kubický splaj fukce daé tabulkou, přičemž v levém krajím bodě je požadováa rychlost změy +, v pravém -. Kolik je potřeba rovic pro kolik ezámých? Rovice eřešte. 4 5 f () 0 0 0
5 . Limity a spojitost fukce Příklad.. Přímo z defiice limity poslouposti dokažte. ( ) +. lim = 0. lim = + 4 lim = Příklad.. Vypočtěte lim. lim lim + 8 lim si! l lim 6. lim ( ) + 7. lim 8. ( ) lim 9. lim ( + ( lim + ) 6 ( 0. lim + ) lim + Před dalšími limitami připomeňme Stirligovu formuli:! ( ) π s relaticí chybou cca e.! lim! lim lim + 5 Příklad. Vypočtěte ( + )( + 4)( + 5). lim. lim, pro,m N lim + m ( ) lim lim + + lim lim lim + si lim tg() arcsi(4) (e )(si5) 0. lim. lim. lim cos cos + tg ( ) + lim 0 lim lim 0 si ( ) 6. lim ( 4) cos )
6 Příklad. Najděte body espojitosti a určete jejich typ.. f () = ( + ). f () = + + f () = + f 4 () = + f 5 () = si { Q 6. χ() = 4π 0 R \ Q Příklad. Jak je třeba dodefiovat fukci f () = si cos si spojitá? v bodě = π, aby v ěm byla 6 4
7 Derivace fukce a Taylorův polyom Příklad. Z defiice odvod te derivace fukcí v libovolém bodě 0.. f : y =, N. g: y = h: y = e i: y = si() Příklad. Určete f (), je-li f () = si( ). Příklad Spočtete derivace ásledujících fukcí a upravte je do co ejjedoduššího tvaru.. f () = e. f () = ltg f () = tg f 4 () = arccos f 5 () = lll 6. f 6 () = f 7 () = + 8. f 8 () = (sil cosl) si cos 9. f 9 () = ( ) ( + ) 0. f 0 () = cos + si (l)si + cos. f () =. f () = arctg + f () = arcsi + f 4 () = l Příklad Zderivujte a dále eupravujte. log π () si + si f () = lsiarctg( 4 ) arcsi e + tg( ) Příklad Určete 759. derivaci fukce f () = + +. Příklad 6. Určete rovici tečy a ormály ke grafu fukce f () = e cos v bodě T [0;?]. Příklad 7. Určete všechy body, ve kterých je teča ke grafu fukce f : y = + rovoběžá. s osou ;. s osou prvího kvadratu. Příklad 8. Je dáa fukce f : y = l a přímka p: y + = 0. Určete rovici ormály ke grafu fukce f rovoběžé s přímkou p. Příklad 9. Určete difereciály daých fukcí v libovolém bodě 0.. f () = e. f () = l 5
8 Příklad 0. Určete přibližou hodotu arctg, pomocí difereciálu a porovejte ji s přesější hodotou a kalkulačce. Příklad. Rozviňte polyom P() = do Taylorova polyomu se středem. Příklad. Pomocí vhodého Taylorova polyomu třetího stupě přibližě určete 0,98. Příklad Určete Taylorův polyom řádu se středem v 0 = fukce f () = l. Poté pomocí ěj odhaděte hodotu f (,) a určete, s jakou přesostí je odhad provede. (Polyom vypočítejte pomocí derivací, eí uté ho rozásobovat. Výsledou hodotu i chybu apište jako jedoduché zlomky.) Příklad Pomocí co ejjedoduššího Maclauriova polyomu (tj. Taylorova polyomu se středem v ule co ejižšího řádu) fukce f () = e odhaděte hodotu Eulerova čísla e s chybou meší ež. Výsledek zapište jako jede jedoduchý 00 zlomek. 6
9 L Hospitalovo pravidlo a lokálí etrémy Příklad. Vypočtěte. lim +. lim 8 lim cos tg lim e lim 0 si 6. lim π tg ( lim 0 ) ( 7. e lim l ) lim(e ) 0. lim ll( ). lim 0 a l, kde a > 0. lim lim lim (tg) tg lim π 4 6. lim lim 0 +(cotg)si 0 9. lim 0 ( arctg ) Příklad. Najděte lokálí etrémy daých fukcí. 0 + ( l ) ( ) ( si 7. tg 8. lim 0. f () = +. f () = + f () = l f 4 () = e si ) 7
10 Průběh fukce Při vyšetřováí průběhu fukce f můžeme postupovat podle ásledujícího schématu: f : defiičí obor D( f ), parita, periodicita, průsečíky s osami a zaméka fukce; f : itervaly mootoie, lokálí etrémy; f : zakřiveí, ifleí body; asymptoty bez směrice, se směricí; (limity do ±), graf, globalita etrémů, obor hodot H( f ). Příklad. Vyšetřete průběh fukce f () = f () = 4 f () = + f () = arctg f () =, D( f ) = R + f () = l f () = si f () = e 8
11 6. Globálí etrémy sloví úlohy Příklad 6.. Ze všech obdélíků, které mají obsah S, určete te s ejmeším obvodem. Příklad 6.. Pro jaký poloměr podstavy r a výšku v bude mít válec s daým objemem V ejmeší povrch. Příklad 6. Do koule o poloměru r vepište válec s co možá ejvětším objemem. Určete poloměr ρ tohoto válce. Příklad 6. Kužel má vrchol ve středu kulové plochy s poloměrem r a podstavá kružice leží a povrchu koule. Určete, jaký ejvětší objem může teto kužel mít. Příklad 6. Drát délky a máme rozdělit a dvě části. Z prví části chceme vyrobit čtverec, ze druhé kruh. Jak velkou část máme použít a čtvrec, aby součet ploch obou útvarů co možá ejmeší. Určete teto součet obsahů. Jak se změí situace, budeme-li chtít součet ploch co možá ejvětší. Příklad 6.6. Z ostrova vzdáleého 5 km od rového břehu jezera se chceme dostat v ejkratší době do města a břehu jezera. Ve kterém místě a břehu máme lodí přistát, je-li rychlost lodě 4 km/h a rychlost chodce 6 km/h. Příklad 6.7. Určete vzdáleost bodu A = [,] od paraboly p: y =. Příklad 6.8. Určete rozměry pravoúhelíku, který je vepsá do elipsy o rovici 9 + 4y = 7 tak, aby měl maimálí možý obsah. Vypočtěte i teto obsah. Příklad 6.9. Z obdélíkového plechu o velikosti 80 cm 50 cm se má po odstřižeí stejě velkých čtverců v rozích plechu vyrobit krabice bez víka. Jak velké čtverce je třeba odstřihout, aby vziklá krabice měla maimálí objem, a jak velký bude teto objem? Příklad 6.0. Hodláme koupit obdélíkovou parcelu o rozloze 00 m, jejíž jeda straa bude ohraičea již hotovou zdí, zatímco ze zbývajících tří stra bude uté parcelu oplotit. Dokažte, že obdélík lze zvolit tak, aby plot měl miimálí délku, a ajděte délky příslušých stra. Příklad 6.. Obdélíková parcela o rozměrech 5a b se má oplotit a pak ještě ploty kolmými a prví strau rozdělit a 5 (shodých) parcel o rozměrech a b. Dokažte, že při daé celkové délce plotů c lze a a b zvolit tak, že rozloha P = 5ab parcely je maimálí. Určete takové rozměry a, b a P. Příklad 6.. Dokažte, že do trojúhelíka, jehož ejdelší straou je straa c, lze vepsat obdélík se základou obsažeou v c a s maimálím obsahem. Najděte vztah mezi obsahem trojúhelíka a vepsaého obdélíka. 9
12 7. Neurčitý itegrál Příklad 7.. Zitegrujte parciálí zlomky ( ) d. d d d ( + 4) d 6. + d + 7. d 8. d ( + ) ( ) d. d Před dalšími itegrály připomeňme rekurettí vzorec [ J (,a) = d ( + a ) = ( )a d ] ( + a ) + ( )J. ( + ) d 5 + ( + ) d Příklad 7.. Zitegrujte substituce. (tg + cotg) d. ( + ) d d [( 5) + 4] d si d + d 6. e d e l 7. + e d 8. d 9. a + a d, a > 0 0. l d. 6 4 d 0
13 8. Neurčitý itegrál Příklad 8.. Zitegrujte per-partes. e d. e d sid 7. e cos4d arctgd l(si) 0. si d Příklad 8.. Zitegrujte R(si, cos ) e ( + ) d 6. ld 8. arcsid cos d. si + cos d. si cos d si + si d si cos + si d 6. Příklad 8. Zitegrujte substituce, odmociy e. d. arctg d cos si d si cos + 5 d l d d 4 + d + d , d
14 9. Určitý a evlastí itegrál Příklad 9.. Vyčíslete 8. d. d + d 00π + + d l cosd 6. e d arctgd d 9. l 0 e d 0. b a sgd, a < 0,b > 0 Příklad 9.. Vyčíslete. a 0 a d, a > 0. Příklad 9. Vhodou úvahou zitegrujte d + d.. e+4π e si d d si sicos + cos 5 si 4 cos + si 4 + si d, víte-li, že jmeovatel emá reálý koře cos + 6 Příklad 9. Vyčíslete. d, a > 0 a. α d d, a > 0 a α d ld d 7. d 8. + d 9. sid 0. 0 e d 0 e 8. d. d
15 0. Aplikace itegrálího počtu Příklad 0.. Vypočtěte obsah roviých ploch vymezeých daými křivkami... y = a + y = 0 y = a y = + si y = log, y = 0, = 0, a = 0 y =, y =, a = 0 Příklad 0.. Spočtěte délku křivky.. y =, 0 4 = 4 y ly, y e Příklad 0. Vypočtěte obsah rovié plochy vymezeé jedím kopečkem cykloidy (a osou ). Cykloida je křivka, kterou opíše bod a kružici, která se kotálí po ose. Ozačíme-li poloměr kružice a, a je-li áš sledovaý bod ěkdy (pro t = 0) v počátku, má cykloida parametrické vyjádřeí = a(t sit),y = a( cost), 0 t π. Dále určete délku této části cykloidy. y (πa, a) y a ϕ = a(ϕ siϕ) y = a( cosϕ) aϕ πa Příklad 0. Vypočtěte obsah a obvod kruhu o poloměru r (zkuste parametricky i eparametricky zadaý). Příklad 0. Vypočtěte obvod a obsah asteroidy, tj. křivky, kterou opíše bod a kružici, která se kotálí po vitří straě ehybé kružice čtyřásobého poloměru. Ozačíme-li poloměr větší kružice a, má asteroida parametrické vyjádřeí = acos t,y = asi t, 0 t π. Využijte jedak parametrického vyjádřeí, jedak ekvivaletí rovice + y = a.
16 y = acos t y = asi t y ϕ Příklad 0.6. Vypočtěte objemy těles ohraičeých plochami, které vzikou rotací ásledujících křivek ( ). y = b, 0 a, kolem osy a. y = a y = 0 (a) kolem osy (b) kolem osy y y = e, y = 0, 0 < (a) kolem osy (b) kolem osy y Příklad 0.7. Vypočtěte objem a povrch pláště.. rotačího kužele výšky v a poloměrem podstavy r koule o poloměru r auloidu, který vzike rotací kruhu o poloměru r kolem přímky vzáleé R od jeho středu, 0 < r < R 4
17 . Nekoečé řady Příklad.. Určete, pro která R kovergují daé ekoečé geometrické řady. Pro tato určete součet příslušé řady.. = = ( ) (log + ). = ( + 7) si = = Příklad.. Řešte rovice s ezámou R = = + log + ( + log) + ( + log) + = 6log l + l + l 4 + l 8 + = si + si + si + = Příklad. Určete součet ekoečé řady.. = = = + ( )( + 5) ( 4 + ) = + + = = Příklad. Rozhoděte o kovergeci či divergeci ásledujících řad.. l =. = arctg = + = l = ( + Před dalšími příklady připomeňme zámou limitu lim )! = e. 6. ( = π arccos ) 5
18 7. 0. =! (!) = = + 8..! = = =tg 9.. ( )! = = α = l Příklad. Rozhoděte o kovergeci, resp. absolutí kovergeci, ásledujících alterujících řad.. 7. = = = ( ) ( ) ( ) + ( ) +. =( ) = ( ) l 6. = = ( ) + ( ) + l ( + ) 6
19 . Mocié řady Příklad.. Určete obor kovergece, resp. absolutí kovergece, ásledujících mociých řad.. = = = = (!) ()! Příklad.. Určete součet mocié řady =. Příklad. Určete součet mocié řady =. 7. =! = 8. ( ) ( + ) = + =! ()! a pomocí této řady určete součet číselé řady = = a pomocí této řady určete součet číselé řady Příklad. Pomocí zaměitelosti pořadí sumace a derivace/itegrace určete součet ásledujících mociých řad. Určete i poloměry kovergece.. ( + ) = = ( ) ( + ). ( + ) = = ( + ) Příklad. Rozložte v Taylorovu řadu fukci f () = v bodě 0 =. Dále určete, pro jaká alezeý rozvoj platí. Příklad.6. Rozložte v Maclauriovu řadu fukci f () = l( + ) a určete, pro jaká alezeý rozvoj platí. Dále pomocí í určete součet číselé řady + ( ) = Příklad.7. S využitím Maclauriovy řady pro e určete součet řady. =0 ( + ).! Příklad.8. Pomocí Maclauriových řad elemetárích fukcí určete součet ásledujících mociých řad. Vyzkoušejte i přes zaměitelost pořadí sumace a derivace/itegrace.. = 4 4. = 4 4 7
20 Polyomy, racioálí lomeé fukce, iterpolace Výsledky... p () = ( )( + )( + ). p () = ( )( ) p () = ( + )( + )( + )( 4) p 4 () = ( + )( + )(4 ) p 5 () = ( + ) ( )( + ) 6. p 6 = ( + )( )( + 4)( + + ) Výsledky... R () = + ( ). R () = + + R () = + + R 4 () = R 5 () = R 6 () = ( + ) 7. R 7 () = ( + ) Výsledky... L () = + 7, f ( L () = + 6 +, f ( ).= 4 ).= 5 8 L () = , f ( ).= 8 L 4 () = , f 4 ( Výsledky. ( ) H () = +, f.=. ( ) H () = , f.=. 6 ( ) H () =, f.= 5 Výsledky. P() = , f ( ).= 7 6, f 0 f () f () 0 8 ( ).= 5 4 ).= 47 8 Výsledky.6. S () = ,S () = Výsledky.7. 6 rovic pro 6 ezámých 4 polyomy po 4 koeficietech (i)
21 Limity a spojitost fukce Výsledky... > > l K. > ε ε + Výsledky.. l e 0. e. e 7. Výsledky e. 0 4 m Výsledky v = ekoečá espojitost v = odstraitelá espojitost v = a = ekoečá espojitost v = 0 a = odstraitelá espojitost, v = ekoečá espojitost v = 4π odstraitelá espojitost, lim 4π f 5() = 6. ve všech bodech R espojitost. druhu ( π ) Výsledky. f = 4 6 (ii)
22 Derivace fukce a Taylorův polyom Výsledky. Dosazeím do defiičí limity f ( 0 ) := lim 0 f () f ( 0 ) 0. Výsledky. f () = si( ) + cos( ), f () = 4 Výsledky. f () = e. f () = si f () = tg l ( ) f 4() = cos + f 5() = f ll l 6() = f 7() = + 8. f + 8() = sil f 9() = ( ) ( + ) 4 f 0() 0. = (cos + si) f () = ( + l )si.. f () = + f () = sg + f 4() = cos Výsledky [ log π () f () = lsiarctg( 4 ) arcsi e + tg( )] cosarctg( 4 ) siarctg( 4 ) arcsi logπ() e + tg( ) + lsiarctg(4 ) log π () e +tg( ) log π () l [log π () + ] lπ e + tg( ) log π () e cos ( ) e +tg( ) e + tg( ) ( Výsledky f (759) () = d759 d ) ( ) = 759! + ( + ) 760 ( + ) 760 Výsledky 6. t : + y = 0, : y + = 0 Výsledky 7. [, 9 ].. [0,] 4 (iii)
23 Výsledky 8. : y e = 0 Výsledky 9.. d f ( 0 ) = ( 0 + )e 0 d d f ( 0 ) = l 0 0 l l 0. d Výsledky 0. arctg(,). = π 4 + 0,05. = 0,85. = Výsledky. P() = 5 + 0( ) + ( ) + 8( ) + ( ) 4 Výsledky. f () =, 0 =, 0,98. = Výsledky f (,) =. T (,) = , R (,) < Výsledky e. = M 5 () = (iv)
24 4 L Hospitalovo pravidlo a lokálí etrémy Výsledky e e e 6 8. e 9. e Výsledky... lokálí maimum v [, ], lokálí miimum v [,] lokálí miimum v [, ], lokálí maimum v [,] lokálí miimum v [,0], lokálí maimum v [ e,4e ] lokálí miima v lokálí maima v [ π ] 4 + kπ, e π 4 +kπ, k Z, [ ] π 4 + kπ, e π 4 +kπ, k Z (v)
25 5 Průběh fukce Výsledky.. f () = D( f ) = R, ai sudá ai lichá, eí periodická, P = [ 4,0], P = [0,0] = P y, kladá a (, 4) (0, ), záporá a ( 4, 0); f () = +, klesající a (, ], rostoucí a [,), lokálí miimum [, 7 4 ] ; f () = 6 +, koveí a (, ) a (0,), kokáví a (,0), ifleí body [, 4] a [0,0]; ABS: emá, ASS: emá; lim f () =, globálí miimum ± [ H( f ) = 7 ) 4,. [, 7 ], globálí maimum emá, 4 y f () = /4. f () = 4 D( f ) = R \ {±}, sudá, eí periodická, P = [0,0] = P y, kladá a (, ) (,), záporá a (, 0) (0, ); f () = 8 (, rostoucí a (, ) a (,0), klesající a (0,) a (,), lokálí 4) miimum [0,0]; f () = 4 + (, koveí a (, ) a (,), kokáví a (,), ifleí body 4) emá; ABS: = a =, ASS: y = pro i ; globálí etrémy emá, H( f ) = (,0] (,). (vi)
26 y f () = f () = + D( f ) = R\{ }, ai sudá ai lichá, eí periodická, P = [0,0] = P y, P = [,0], záporá a (, ), kladá a (,); f () = + ( + ), rostoucí a (, ) a ( +,), klesající a (, ) a (, + ), lokálí maimum [, ], lokálí miimum [ +, + ]; f 4 () =, koveí a (,), kokáví a (, ), ifleí body emá; ( + ) ABS: =, ASS: y = pro i ; globálí maimum [, ], globálí miimum [ +, + ], H( f ) = (, ] [ +,). y f () = (vii)
27 f () = arctg D( f ) = R \ {0}, ai sudá ai lichá, eí periodická, P = [,0], P y emá, kladá a (,0) (,) záporá a (0,); f () =, rostoucí a (,0) a (0,), lokálí etrémy emá; + ( f 4 + () = (, koveí a (,0) a, ), kokáví a + ) [ ] bod, π ; 4 ABS: emá, ASS: y = π pro i ; 4 ( globálí etrémy emá, H( f ) = π, π ) { π } \. 4 y (, ), ifleí f () = arctg π π π 4 π f () =, D( f ) = R + D( f ) = (0,), ai sudá ai lichá, eí periodická, P ai P y emá, kladá a (0,); f () = ( + l), rostoucí a ( e, ), klesající a ( 0,e ), lokálí miimum [e,e e ] f () = ( + ( + l) ), koveí a (0,), ifleí body emá; ABS: emá, ASS: emá; lim f () =, globálí miimum ( ) H( f ) = e e,. y 4 [ e,e e ], globálí maimum emá, f () = e e 0 e (viii)
28 6. f () = l D( f ) = R + \ {}, f () = l l, rostoucí a (e,), klesající a (0,) a (,e), lokálí miimum [e,e]; f () = l l, koveí a (,e ), kokáví a (0,) a (e,), ifleí bod [e, ] e ; ABS: =, ASS: emá; lim f () =, globálí etrémy emá, H( f ) = (,0) (e,). e e y f () = l 0 e e 7. f () = si D( f ) = R\{kπ,k Z}, lichá, periodická se základí periodou π, P ai P y emá, kladá a (kπ,π + kπ), záporá a + kπ,kπ); k Z k Z( π f () = cos ( si, rostoucí a π + kπ, π ) ( π ) + kπ a + kπ,π + kπ, k Z, klesající a ( π ) + kπ,kπ a (kπ, π ) + kπ, k Z, lokálí maima [ π ] k Z, lokálí miima + kπ,, k Z; [ π + kπ, ], f () = + cos si, koveí a (kπ,π + kπ), k Z, kokáví a ( π + kπ,kπ), k Z, ifleí body emá; ABS: = kπ, k Z, ASS: emá; lim f () eeistují, globálí etrémy emá, H( f ) = (, ] [,). ± y f () = si π π 0 π π (i)
29 8. f () = e D( f ) = R \ {0}, ai sudá ai lichá, eí periodická, P, P y emá, kladá a R \ {0}; f () = e, klesající a (,0) a (0,), lokálí etrémy emá; f () = + 4 e, koveí a ( ),0 a (0,), kokáví a [ ],e ; ABS: = 0 zprava, ASS: y = pro i ; globálí etrémy emá, H( f ) = (0,) \ {}. y (, ), ifleí bod f () = e e ()
30 6 Globálí etrémy sloví úlohy Výsledky 6.. Čtverec o straě S. Výsledky 6.. r = v, tj. výška rova průměru podstavy Výsledky 6. ρ = r Výsledky 6. V ma = π 7 r Výsledky 6. Pro ejmeší se a čtverec použije Pro ejvětší se čtverec vůbec evyrobí, S ma = a 4π. 4a π + 4 délky drátu, S a mi = 4(π + 4). Výsledky 6.6. Je-li vzdáleost města od kolmého průmětu ostrova a břeh větší ež 5 km, přistaeme právě 5 km od tohoto kolmého průmětu směrem k městu. Je-li meší, přistaeme přímo ve městě. ( ) + Výsledky 6.7. v(a, p) = Výsledky 6.8. Jde o obdélík s jedím vrcholem [, ] a straami rovoběžými se souřadými osami. Jeho rozměry jsou 4 j a 6 j, obsah 4 j. Výsledky 6.9. Čtverce o straě 0 cm, objem krabice 8 l (8 000 cm ). Výsledky m straa přiléhající ke zdi, 0 m straa k í kolmá. Výsledky 6.. a = c 0, b = c, P = c 48 Výsledky 6.. Mj. s využitím stejolehlosti dostaeme, že hledaý obdélík má mít strau obsažeou v c délky c, druhou strau délky poloviy výšky a strau c, a jeho obsah je rove poloviě obsahu trojúhelíka. (i)
31 7 Neurčitý itegrál Výsledky 7... l + + c. + + c c l + c ( + 4) ( ) 6. arctg + c 6 l c 8. l + c 9. 8 arctg + arctg + c 0. l + ( ) +. arctg + c. l 6 l( + + ) + ( ) + + arctg + c 5 ( + ) + [ arctg ] + c 5 48 [( 5) + 4] ( 5) Výsledky 7.. arctg 5. l tg + c. arctg + c + c cos + c + c l c 6. e + c l c 7. l( + e ) + c 8. l + c 9.. la ( + a ) + a + c 6 l c 0. l l + c (ii)
32 8 Neurčitý itegrál Výsledky e ( ) + c. ( 4 e + + ) + c cos + ( 4 4 si + c 5 si4 + )e 5 cos4 + c e + + c 6. (l ) + c arctg 7. l( + ) + c 8. arcsi + + c 9. tg + l cos + c 0. cotg[ + l(si)] + c Výsledky 8... l( + cos) + c. cos + 5 cos5 + c si + si + l( si) + c 4 l + cos + c cos 6. l tg l( tg tg + ) + arctg tg + + c 5 5 (tg ) arctg + c Výsledky ( )e + c ( + )arctg + c ( l 4 l ) + c 4 4 4l c l c + l + l + arctg ( ) 5 4 ( ) + c c (iii)
33 9 Určitý a evlastí itegrál Výsledky l π 00. π 6 6. π l e π a + b π 6 Výsledky 9... a 4 π 6 [ l ( + )( ) Výsledky 9. ] l( ). 0 sius a třetí má stejě jako sius periodu π, přičemž a půlce periody abývá kladých a a půlce stejých záporých hodot, takže itegrál ze siu přes iterval délky jedé periody, či jako tu dvou period, je ulový. 0 jde o itegrál z liché spojité (jmeovatel emá reálý koře) fukce přes symetrický iterval 0 jde o itegrál z liché spojité fukce přes symetrický iterval Výsledky 9.. a 6. π 7. π 9. itegrál osciluje pro α >, pro α α α 4 l pro α <, pro α.. 9 (iv)
34 0 Aplikace itegrálího počtu Výsledky Výsledky (0 0 ) Výsledky 0. S = πa, l = 8a Výsledky 0. S = πr, o = πr Výsledky 0. o = 6a, S = 8 πa π. ( = ) 9,9 8,loge l. 4 (e + ) Výsledky πab. (a) 6 5 π (b) 8 π (a) π Výsledky V = πr v, S pl = πr r + v (b) π. V = 4 πr, S pl = 4πr V = π Rr, S pl = 4π rr (v)
35 Nekoečé řady Výsledky... (0,), s() =. /0, tedy vždy diverguje R,, s() = (0,0; 0,), s() = log + log + ( π 6 + kπ, π ) 6 + kπ, s() = si si k Z Výsledky.. { }. K =. K = /0 K = 0 { } 7π π K = {e} K = + kπ, kπ; k Z Výsledky.. Výsledky určitě diverguje k +, utá podmíka kovergece určitě diverguje k +, utá podmíka kovergece určitě diverguje k +, utá podmíka kovergece určitě diverguje k +, utá podmíka kovergece koverguje, odmociové kritérium koverguje, odmociové kritérium určitě diverguje k +, podílové, či lépe odmociové kritérium koverguje, podílové, či lépe odmociové kritérium koverguje, podílové, či lépe odmociové kritérium koverguje, podílové kritérium koverguje, itegrálí kritérium { 0 } koverguje pro α >, určitě diverguje k + pro α, itegrálí kritérium koverguje, srovávací kritérium s = určitě diverguje k +, srovávací kritérium s určitě diverguje k +, itegrálí kritérium (vi) =
36 Výsledky. S využitím Leibizova kritéria koverguje absolutě, itegrálí kritérium koverguje relativě, itegrálí kritérium osciluje, utá podmíka kovergece koverguje absolutě, odmociové kritérium koverguje relativě, srovávací kritérium s koverguje absolutě, odmociové kritérium = koverguje absolutě, podílové, či lépe odmociové kritérium (vii)
37 Mocié řady Výsledky... OK =,), OAK = (,). OK = OAK =, OK = OAK = R OK = (,, OAK = (, ) OK = OAK = (,) 6. OK = OAK = ( 4,4) ( ) 7. OK = OAK =, 8. OK = OAK = R Výsledky.. s() = ( ), = = s Výsledky. s() = l, Výsledky. = = s ( ) = ( ) = l. s() = ( ), r =. s() = ( ), r = s() = ( + ) ( + ), r = s() = ( + )l( + ), r = Výsledky. f () = T () = 4 (+) 8 (+) = Výsledky.6. l( + ) = M() = = = = + ( ) = M() = l Výsledky.7. e ( + ) Výsledky.8. =0 + (+) pro ( 4,0). + ( ) pro (,,. 4 l( + ) 4 l( ) arctg. 4 l( + ) 4 l( ) + arctg (viii)
I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
Více(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci
... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
VíceWikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 1. října 2019
Matematika II - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ig. Radek Fučík, Ph.D. verze:. říja 9 Obsah Pokročilé techiky itegrace a zobecěý Riemaův itegrál. Racioálí fukce.................................... Pokročilé
VíceMatematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta
Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.
VíceO Jensenově nerovnosti
O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)
Více1 Nekonečné řady s nezápornými členy
Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
Více3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo
Vícek(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln
Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =
Více= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f
D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (
VícePřijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
VíceMocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
Vícemnožina všech reálných čísel
/6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,
VíceMasarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
Více1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy
1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá
VíceMATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.
MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...
Více1. Písemka skupina A...
. Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =
NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:
Více1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti
Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
VíceIterační výpočty projekt č. 2
Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
Více7. Analytická geometrie
7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceWikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017
Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
VíceŘešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,
Řešeí písemé zkoušky z Matematické aalýzy a ZS008-09009 Příklad : Spočtěte itu poslouposti + 3 +) 4+3 4+ 5 bodů) Řešeí: Díky tvaru jmeovatele budeme zlomek + 3 +) Z : 4+3 4+ rozšiřovatvýrazem 4+3+ 4+Přepíšemečitatele:
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
Více( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.
.. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f
Vícezákladním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
VícePlochy počítačové grafiky
II Iterpolačí plochy Bezierovy pláty ad obdélíkovou a trojúhelíkovou sítí Recioálí Bezierovy pláty B-splie NURBS Kostrukce a zadáí plochy hraičí křivky sítí bodů Kiematicky vytvořeé křivky rotačí plochy
VíceAritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti
8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VíceS polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické
5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
Vícejsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.
.7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou
VíceSIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY (ČASOVÉ ŘADY)
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY (ČASOVÉ ŘADY) prof. Ig. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.mui.cz, Kameice 3, 4. patro, dv.č.424 INVESTICE Istitut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a aalýz IV. FREKVENČNÍ TRASFORMACE
VíceZákladní požadavky a pravidla měření
Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
VíceI. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0
8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n
Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte
VíceČíselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1
Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet
Vícef x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )
DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce
VíceSTATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson
STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
VíceMatematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
Vícef B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]
6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost
VíceZkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3
Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VícePro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
Více1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limity - 7 - Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost
VícePružnost a pevnost. 9. přednáška, 11. prosince 2018
Pružost a pevost 9. předáška, 11. prosice 2018 1) Krouceí prutu s kruhovým průřezem 2) Volé krouceí prutu s průřezem a) masivím b) otevřeým tekostěým c) uzavřeým tekostěým 3) Ohybové (vázaé) krouceí Rovoměré
VíceKatedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.
SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné
Více; c) lim. 1 3x C x 2 x 2 x 6 x 5 6. tg.sin x/ sin.tg x/ x n : e) lim. x a sin x b tg x. ; f) n. sin 1 p n. log 1 C 3p 1. b) 1 C 2.x.
. TAYLORŮV POLYNOM. Nalezěte Talorov olom řádu k v bodě a ro ásledující fukce: a) arctg, k D, a D b) tg, k D, a D c) e, k D 5, a D. Vočtěte: a) cos.;/ s chbou meší ež. b) log.;/ s chbou meší ež. c) e s
VíceFunkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
VíceTržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.
Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
VíceZákladní elementární funkce.
6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou
VíceSoubor příkladů z Matematické analýzy 1 (M1100) 1
Soubor příkladů z Matematické analýzy (M00). Opakování. Upravte následující výrazy: 3 3 +3 3 3 6+ (+) 3 [ a+b a b ] ( b ) (a a b a+b b a b a b ) (a b) 3 [(a b) 4 (a+b) 5 ] 6 3 a 4 a 3 a 3 aa 3 (f) 3 +
Vícea) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x
FSI VUT v Brě zdáí č.. str. Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vžd právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li 0, pk 0 c) e) ) Výrz lze uprvit tvr c) e) ) Nerovice má řešeí c) e) ) Rovice 0 má právě jedo
Více3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele
Více3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a fx x 5x+4 4 x b fx x x +4x+ c fx 3x 9x+ x +6x 0. Řešeí a Nulové body čitatele a jmeovatele jsou { 4}. Aby vše bylo
VíceKomplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1
Komplexí čísla, komplexě sdružeá čísla, opačá komplexí čísla, absolutí hodota (modul) komplexího čísla Defiice komplexího čísla Komplexí číslo je uspořádaá dvojice reálých čísel = (, ) (, ). je reálá,
VíceOkruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava
Okruhy z učiv sředoškolské memiky pro příprvu ke sudiu Fkulě ezpečosího ižeýrsví VŠB TU Osrv I Úprvy lgerických výrzů, zlomky, rozkld kvdrického rojčleu, mociy se záporým epoeem, mociy s rcioálím epoeem,
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
Více