na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy



Podobné dokumenty
naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

KMA Písemná část přijímací zkoušky - MFS 2o16

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016

9.1 Definice a rovnice kuželoseček

Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

Podrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

Přijímací zkouška - matematika

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

Analytická geometrie v E 3 - kvadriky

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

Matematická analýza III.

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

Program SMP pro kombinované studium

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,

Rychlotest-internet. Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně. 14. května 2007

Požadavky ke zkoušce

5. Lokální, vázané a globální extrémy

1.13 Klasifikace kvadrik

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

17 Kuželosečky a přímky

Q(y) dy = P(x) dx + C.

Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně. 14. května 2007

Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů... Varianta A

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

Základy matematiky kombinované studium /06

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

Matematika B101MA1, B101MA2

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

Elementární křivky a plochy

Extrémy funkce dvou proměnných

1 Polynomiální interpolace

Základní vlastnosti ploch

0.1 Úvod do lineární algebry

Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2017/18 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ

19 Hilbertovy prostory

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

1 Topologie roviny a prostoru

Cvičení z Lineární algebry 1

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

----- Studijní obory. z matematiky. z matematiky. * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce jedné proměnné

Bakalářská matematika I

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematická analýza III.

Deg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ZADÁNÍ NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a a 2 2 1

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Interpolace pomocí splajnu

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transkript:

Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají 2 body. U otázek s možností volby odpovědi, je vždy správná právě jedna možnost. Správnou odpověd zřetelně zakroužkujte. V případě, že nebude jednoznačně zřejmé, která z variant je zakroužkována, či pokud nebude zakroužkována žádná nebo naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.. Stanovte všechna a R tak, aby rovnice měla (a) řešení, (b) 2 řešení, (c) 3 řešení, Svoje odpovědi zdůvodněte! x 3 3x = a Řešení: (a) a (, 2) (2, + ); (b) a = 2 a = 2, (c) a ( 2, 2). 2. Uved te příklad posloupnosti {a n } n=, která je omezená a není konvergentní. Načrtněte graf. Řešení: Např. a n = ( ) n 3. Uved te funkční předpis a načrtněte graf libovolné ostře klesající funkce f : R R tak, aby platilo: Svoji odpověd zdůvodněte. Řešení: Např. f(x) = 6x + 6. 0 f(x) dx = 8.

4. Uved te funkční předpis a načrtněte graf libovolné fce f takové, že definiční obor D f = R, f je spojitá na D f a f nemá derivaci v bodě -2. Řešení: Např. f(x) = x + 2. 5. Pro která q R řada (a) konverguje? (b) diverguje? (4q) n n= Řešení: (a) q ( 4, 4), (b) q (, 4 4, ). 6. Určete matici X tak, aby platila rovnost 3 [ ] 3X 2 0 0 2 = 3 2 3 2 Řešení: X = 0 0 2. 3 0 0 2 0 2 2 0 7. V prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) je dána podmnožina V = {(a + c)x 3 + (3a + b)x 2 + (c a)x + (a b) ; a, b, c R }. Z možných odpovědí vyberte jediné tvrzení, které je pravdivé. (a) V je podprostor dimenze dim(v) = 3 ; (b) V není podprostor prostoru P 3 ; (c) V je podprostor dimenze dim(v) = 4 ; (d) V je podprostor dimenze dim(v) = 2. Správná odpověd : (a), protože jednu možnou bázi tvoří polynomy x 3 + 3x 2 x +, x 2, x 3 x, které jsou lineárně nezávislé. 8. Je dána čtvercová matice A = [ 3 3 Z možných odpovědí vyberte jediné tvrzení, které je pravdivé. ]..

(a) vlastní čísla matice A jsou 4, 0, 2; (b) vlastní čísla matice A jsou 2, 4; (c) vlastním vektorem k vlastnímu číslu 2 matice A je vektor [, ] T ; (d) vlastním vektorem k vlastnímu číslu 4 matice A je nulový vektor [0, 0] T. Správná odpověd : (c) - čtvercová matice řádu 2 má právě dvě vlastní čísla 2, 4, vlastním vektorem je vždy vektor nenulový. 9. Pomocí pravé, levé a centrální poměrné diference určete přibližnou hodnotu f (x 0 ) v bodě x 0 = 0 při použití kroku h =. Který z použitých vzorců bude přesnější než ostatní? (a) pravá poměrná diference (b) levá poměrná diference (c) centrální poměrná diference (d) žádný Správná odpověd : (d) 0. Určete přirozený kubický spline pro funkci danou dvěma body: [0, ] a [2, 3]. (a) x 3 x 2 x + (b) x 2 x + (c) x + (d) 2 Správná odpověd : (c). Pomocí složeného obdélníkového pravidla přibližně určete výsledek, pokud budeme volit krok h = 2? 5 dx. Jaký dostaneme x (a) 4 3 (b),5 (c) 28 5 (d) ln 5

Správná odpověd : (b) 2. Napište vektorové (parametrické) vyjádření parabolické válcové plochy, jejíž řídící křivkou je parabola y = 2x 2 (ležící v rovině xy) a površky jsou rovnoběžné s přímkou x(t) = ( + t, 2 t, 3t), t (, ). Řešení: například P (u, v) = ((u + v, 2u 2 v, 3v), u, v R.. 3. Určete typy bodů na rotačním paraboloidu. Rotační paraboloid má (zakroužkujte správnou odpověd ) a) všechny body parabolické, b) všechny body eliptické, c) body eliptické, parabolické a hyperbolické, d) žádná z předchozích odpovědí není správná. Správná odpověd : (b) 4. Roviny α : a x+b y+c z+d = 0, β : a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 = 0, γ : a 3 x+b 3 y+c 3 z+d 3 = 0, δ : a 4 x + b 4 y + c 4 z + d 4 = 0 procházejí právě jedním společným bodem (tj. náležejí témuž trsu), právě když pro hodnosti matic h = hod a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 a 3 b 3 c 3 d 3 a 4 b 4 c 4 d 4 platí (zakroužkujte správnou odpověd ) a) h = h = 4, b) h = h = 3, c) h = h = 2. Řešení: správná odpověd b) a h = hod a b c a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 a 4 b 4 c 4 5. Napište rovnici hyperboly, která má střed v bodě S = [3, 2], poloosy a = 5 a b = 3 a její hlavní osa je rovnoběžná s osou y. Řešení: (x 3)2 9 + (y+2)2 25 = 6. Mezi středové kvadriky nepatří (zakroužkujte správnou odpověd ) a) jednodílný hyperboloid, b) dvojdílný hyperboloid, c) hyperbolický paraboloid.

Správná odpověd c) 7. Kolika způsoby lze z 2 pracovníků vybrat čtyřčlennou komisi, pokud musí být splněny obě následující podmínky: je-li v komisi pan Novák, nesmí tam být pan Svoboda, je-li v komisi pan Dvořák, musí tam být i jeho manželka. Řešení: 338. Všech čtveřic je ( ) ( 2 4, první podmínku porušuje 0 ) ( 2, druhou 0 ) 3, obě 8, takže výsledek je ( ) ( 2 4 0 ) ( 2 0 ) 3 + 8 = 338. 8. Najděte minimální kostru v následujícím ohodnoceném grafu a určete její váhu: 3 2 7 6 2 7 Řešení: Váha je 4, řešením je libovolná kostra s hranami váhy,, 2, 3, 7 (a žádná jiná). 9. Necht náhodné jevy A, B splňují P (A) = 0,4, P (B) = 0,5, P (A B) = 0,8. Určete P (A B) a podmíněnou pravděpodobnost P (A B). Řešení: P (A B) = P (A B) P (B) = 0,8 0,5 = 0,3. P (A B) = P (A B) = P (A B) = 0,3 = 0,6 P (B) P (B) 0,5 20. Uvažujme náhodnou veličinu X s konečným rozptylem. Rozptyl náhodné veličiny Y definované předpisem Y = X + 3 je (a) větší než rozptyl veličiny X; (b) menší než rozptyl veličiny X; (c) roven rozptylu veličiny X;

(d) nelze bez dalších informací jednoznačně rozhodnout, Řešení: (c)

Příklad Hodnocení Podpis 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 Součet