Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají 2 body. U otázek s možností volby odpovědi, je vždy správná právě jedna možnost. Správnou odpověd zřetelně zakroužkujte. V případě, že nebude jednoznačně zřejmé, která z variant je zakroužkována, či pokud nebude zakroužkována žádná nebo naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.. Stanovte všechna a R tak, aby rovnice měla (a) řešení, (b) 2 řešení, (c) 3 řešení, Svoje odpovědi zdůvodněte! x 3 3x = a Řešení: (a) a (, 2) (2, + ); (b) a = 2 a = 2, (c) a ( 2, 2). 2. Uved te příklad posloupnosti {a n } n=, která je omezená a není konvergentní. Načrtněte graf. Řešení: Např. a n = ( ) n 3. Uved te funkční předpis a načrtněte graf libovolné ostře klesající funkce f : R R tak, aby platilo: Svoji odpověd zdůvodněte. Řešení: Např. f(x) = 6x + 6. 0 f(x) dx = 8.
4. Uved te funkční předpis a načrtněte graf libovolné fce f takové, že definiční obor D f = R, f je spojitá na D f a f nemá derivaci v bodě -2. Řešení: Např. f(x) = x + 2. 5. Pro která q R řada (a) konverguje? (b) diverguje? (4q) n n= Řešení: (a) q ( 4, 4), (b) q (, 4 4, ). 6. Určete matici X tak, aby platila rovnost 3 [ ] 3X 2 0 0 2 = 3 2 3 2 Řešení: X = 0 0 2. 3 0 0 2 0 2 2 0 7. V prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) je dána podmnožina V = {(a + c)x 3 + (3a + b)x 2 + (c a)x + (a b) ; a, b, c R }. Z možných odpovědí vyberte jediné tvrzení, které je pravdivé. (a) V je podprostor dimenze dim(v) = 3 ; (b) V není podprostor prostoru P 3 ; (c) V je podprostor dimenze dim(v) = 4 ; (d) V je podprostor dimenze dim(v) = 2. Správná odpověd : (a), protože jednu možnou bázi tvoří polynomy x 3 + 3x 2 x +, x 2, x 3 x, které jsou lineárně nezávislé. 8. Je dána čtvercová matice A = [ 3 3 Z možných odpovědí vyberte jediné tvrzení, které je pravdivé. ]..
(a) vlastní čísla matice A jsou 4, 0, 2; (b) vlastní čísla matice A jsou 2, 4; (c) vlastním vektorem k vlastnímu číslu 2 matice A je vektor [, ] T ; (d) vlastním vektorem k vlastnímu číslu 4 matice A je nulový vektor [0, 0] T. Správná odpověd : (c) - čtvercová matice řádu 2 má právě dvě vlastní čísla 2, 4, vlastním vektorem je vždy vektor nenulový. 9. Pomocí pravé, levé a centrální poměrné diference určete přibližnou hodnotu f (x 0 ) v bodě x 0 = 0 při použití kroku h =. Který z použitých vzorců bude přesnější než ostatní? (a) pravá poměrná diference (b) levá poměrná diference (c) centrální poměrná diference (d) žádný Správná odpověd : (d) 0. Určete přirozený kubický spline pro funkci danou dvěma body: [0, ] a [2, 3]. (a) x 3 x 2 x + (b) x 2 x + (c) x + (d) 2 Správná odpověd : (c). Pomocí složeného obdélníkového pravidla přibližně určete výsledek, pokud budeme volit krok h = 2? 5 dx. Jaký dostaneme x (a) 4 3 (b),5 (c) 28 5 (d) ln 5
Správná odpověd : (b) 2. Napište vektorové (parametrické) vyjádření parabolické válcové plochy, jejíž řídící křivkou je parabola y = 2x 2 (ležící v rovině xy) a površky jsou rovnoběžné s přímkou x(t) = ( + t, 2 t, 3t), t (, ). Řešení: například P (u, v) = ((u + v, 2u 2 v, 3v), u, v R.. 3. Určete typy bodů na rotačním paraboloidu. Rotační paraboloid má (zakroužkujte správnou odpověd ) a) všechny body parabolické, b) všechny body eliptické, c) body eliptické, parabolické a hyperbolické, d) žádná z předchozích odpovědí není správná. Správná odpověd : (b) 4. Roviny α : a x+b y+c z+d = 0, β : a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 = 0, γ : a 3 x+b 3 y+c 3 z+d 3 = 0, δ : a 4 x + b 4 y + c 4 z + d 4 = 0 procházejí právě jedním společným bodem (tj. náležejí témuž trsu), právě když pro hodnosti matic h = hod a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 a 3 b 3 c 3 d 3 a 4 b 4 c 4 d 4 platí (zakroužkujte správnou odpověd ) a) h = h = 4, b) h = h = 3, c) h = h = 2. Řešení: správná odpověd b) a h = hod a b c a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 a 4 b 4 c 4 5. Napište rovnici hyperboly, která má střed v bodě S = [3, 2], poloosy a = 5 a b = 3 a její hlavní osa je rovnoběžná s osou y. Řešení: (x 3)2 9 + (y+2)2 25 = 6. Mezi středové kvadriky nepatří (zakroužkujte správnou odpověd ) a) jednodílný hyperboloid, b) dvojdílný hyperboloid, c) hyperbolický paraboloid.
Správná odpověd c) 7. Kolika způsoby lze z 2 pracovníků vybrat čtyřčlennou komisi, pokud musí být splněny obě následující podmínky: je-li v komisi pan Novák, nesmí tam být pan Svoboda, je-li v komisi pan Dvořák, musí tam být i jeho manželka. Řešení: 338. Všech čtveřic je ( ) ( 2 4, první podmínku porušuje 0 ) ( 2, druhou 0 ) 3, obě 8, takže výsledek je ( ) ( 2 4 0 ) ( 2 0 ) 3 + 8 = 338. 8. Najděte minimální kostru v následujícím ohodnoceném grafu a určete její váhu: 3 2 7 6 2 7 Řešení: Váha je 4, řešením je libovolná kostra s hranami váhy,, 2, 3, 7 (a žádná jiná). 9. Necht náhodné jevy A, B splňují P (A) = 0,4, P (B) = 0,5, P (A B) = 0,8. Určete P (A B) a podmíněnou pravděpodobnost P (A B). Řešení: P (A B) = P (A B) P (B) = 0,8 0,5 = 0,3. P (A B) = P (A B) = P (A B) = 0,3 = 0,6 P (B) P (B) 0,5 20. Uvažujme náhodnou veličinu X s konečným rozptylem. Rozptyl náhodné veličiny Y definované předpisem Y = X + 3 je (a) větší než rozptyl veličiny X; (b) menší než rozptyl veličiny X; (c) roven rozptylu veličiny X;
(d) nelze bez dalších informací jednoznačně rozhodnout, Řešení: (c)
Příklad Hodnocení Podpis 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 Součet