STUDIJNÍ TEXT PRO DOKTORSKÉ STUDIUM

TF: TEORETICKÁ MECHANIKA STUDIJNÍ TEXT PRO DOKTORSKÉ STUDIUM PETR KULHÁNEK PRAHA doplněné vydání FEL ČVUT

Mechania (687) Eletricé jevy Magneticé jevy Teoreticá mechania (788) Teorie elmg pole (873) Speciální relativita (95) Kvantová mechania (95) 3 4 Obecná relativita (96) Kvantová eletrodynamia (949) Teorie slabé interace (3 léta) Teorie silné interace (3 léta) Kvantová teorie pole (6léta) Teorie eletroslabé interace (967) GUT (velé sjednocení) TOE (Theory Of Everything)

OBSAH TEORETICKÁ MECHANIKA 7 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY 7 ZÁKLADNÍ POJMY Z MECHANIKY 7 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY 8 3 HAMILTONŮV PRINCIP NEJMENŠÍ AKCE 9 4 LAGRANGEOVY ROVNICE 5 JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY 6 DALŠÍ PŘÍKLADY 3 ZÁKONY ZACHOVÁNÍ V PŘÍRODĚ 6 TEORÉM EMMY NOETHEROVÉ 6 ZÁKON ZACHOVÁNÍ HYBNOSTI 6 3 ZÁKON ZACHOVÁNÍ ENERGIE 8 3 HAMILTONOVY KANONICKÉ ROVNICE 3 HAMILTONOVY ROVNICE 3 HARMONICKÝ OSCILÁTOR 3 33 POISSONOVA FORMULACE HAMILTONOVÝCH ROVNIC 6 34 NUMERICKÉ ŘEŠENÍ HAMILTONOVÝCH ROVNIC 7 4 VYBRANÉ ÚLOHY Z TEORETICKÉ MECHANIKY 9 4 POHYB NABITÉ ČÁSTICE V ELEKTROMAGNETICKÉM POLI 9 4 POHYB V ROTUJÍCÍ SOUSTAVĚ 3 43 PROBLÉM DVOU TĚLES KEPLEROVA ÚLOHA 36 44 LAGRANGEOVY BODY 4 45 DISIPACE ENERGIE 45 46 INVERZNÍ ÚLOHA 47 47 ADIABATICKÉ INVARIANTY 5 48 KANONICKÉ TRANSFORMACE 53 5 NELINEÁRNÍ DYNAMICKÉ SYSTÉMY 56 5 MATICE STABILITY A FÁZOVÝ PORTRÉT SYSTÉMU 58 5 METODA POTENCIÁLU 6 53 BIFURKACE 64 54 LJAPUNOVSKÁ STABILITA LIMITNÍ CYKLUS ATRAKTOR 66 55 EVOLUČNÍ ROVNICE 73 6 LAGRANGEOVY ROVNICE PRO POLNÍ PROBLÉMY 77 6 LAGRANGEOVY ROVNICE SKALÁRNÍ POLE 77 6 KANONICKY SDRUŽENÉ POLE 8 63 MAXWELLOVY ROVNICE ELEKTROMAGNETICKÉ POLE 8 DODATEK A EINSTEINOVA SUMAČNÍ KONVENCE 86 A EINSTEINOVA SUMAČNÍ KONVENCE 86 A DÉLKOVÝ ELEMENT 88 DODATEK B LIEOVA ALGEBRA 9 B VEKTOROVÝ PROSTOR 9 B LIEOVA ALGEBRA 9 B3 STRUKTURNÍ KOEFICIENTY LIEOVY ALGEBRY 9

Teoreticá mechania Úvod DODATEK C TENZORY 93 C KOVARIANTNÍ A KONTRAVARIANTNÍ INDEXY 93 C SKALÁRNÍ SOUČIN ZVYŠOVÁNÍ A SNIŽOVÁNÍ INDEXŮ 94 C3 ČTYŘVEKTORY MINKOWSKÉHO METRIKA 95 DODATEK D KUŽELOSEČKY 97 D ELIPSA 97 D HYPERBOLA 98 D3 PARABOLA 98 REJSTŘÍK OSOBNOSTÍ LITERATURA 4 4

Teoreticá mechania Úvod PŘEDMLUVA Tento text představuje sylabus přednášy Teoreticá fyzia Důraz je laden zejména na pochopení fyziálních záonitostí a jejich matematicého popisu Potřebná matematia je přesunuta do dodatů Tyto apitoly je třeba chápat jen jao nutný přehled terý si nelade nároy na matematicou přesnost ani úplnost Text je první částí čtyřdílného sylabu: teoreticá mechania vantová teorie 3 statisticá fyzia 4 teorie plazmatu Fyzia století je poznamenána vzniem dvou oddělených fyziálních směrů obecné teorie relativity a vantové teorie Každý z těchto směrů popisuje svým způsobem pojem síly ve fyzice V současné době známe čtyři silové interace gravitační eletromagneticou silnou a slabou Obecná teorie relativity (geometricá teorie gravitace) popisuje gravitační interaci za pomoci zařivené geometrie prostoru a času: aždé těleso svou přítomností zařivuje prostoročas olem sebe aždé těleso se v tomto zařiveném prostoročase pohybuje po nejrovnějších možných drahách tzv geodetiách (reprezentují sutečné trajetorie gravitačně ovládaných těles) Kvantová teorie pole s úspěchem popisuje interaci eletromagneticou silnou a slabou za pomoci intermediálních (výměnných) částic: [] Každá částice olem sebe vysílá obla intermediálních částic teré si může vyměňovat s ostatními částicemi a tím mezi nimi dochází vzájemnému silovému působení Tato výměna nesplňuje Heisenbergovy relace neurčitosti proto je nepozorovatelná a příslušné výměnné částice nazýváme při procesu interace virtuální Intermediální částice jsou : eletromagneticá interace foton silná interace gluony (8 druhů) slabá interace W + W Z o Pro gravitační interaci předpoládá vantová teorie existenci zatím hypoteticých intermediálních částic: gravitonů Eletromagneticá interace působí jen na částice s eletricým nábojem silná interace působí na hadrony (hadros = silný) hadrony dělíme na mezony složené z varu a antivaru a baryony složené ze tří varů Slabá interace působí na leptony a hadrony Gravitační interace působí na všechny částice bez výjimy V průběhu let dochází ve fyzice e vzniu mnoha nových odvětví fyzia se diferencuje Současně vša probíhá integrační proces snaha o jednotný popis fyziálních jevů Ta byla v minulém století pochopena společná podstata jevů eletricých a magneticých (Öersted Faraday Maxwell) a vnila teorie eletromagneticého pole Po vzniu vantové teorie se objevila příslušná vantová analogie vantová eletrodynamia a vantová teorie eletromagneticého pole V době relativně nedávné se podařilo spojit eletromagneticou a slabou interaci v teorii eletroslabé interace (Weinberg Salam) Nyní probíhají intenzivní pousy připojit teorii eletroslabé interace ještě interaci silnou (tzv velé sjednocení) a gravitační (teorie všeho) Následuje přehled významných objevů a událostí ve fyzice teré přispěly tomuto integračnímu procesu 5

Teoreticá mechania Úvod INTEGRAČNÍ TENDENCE VE FYZICE Isaac Newton (643 77) záladní záony optiy a mechaniy (676) Joseph Louis Lagrange (736 83) analyticá mechania (788) Hans Christian Öersted (777 85) eletricý proud má magneticé účiny (8) Michael Faraday (79 867) jev eletromagneticé induce (83) James Cler Maxwell (83 879) teorie eletromagneticého pole (873) Max Planc (858 947) záření absolutně černého tělesa (9) Albert Einstein (879 955) fotoeletricý jev (95) speciální teorie relativity (95) obecná teorie relativity (96) Niels Bohr (885 96) planetární model atomu (93) Louis de Broglie (89 987) dualismus vln a částic Erwin Schrödinger (887 96) vlnová vantová mechania (96) Wolfgang Pauli (9 958) teorie spinu - Pauliho rovnice teorie slabé interace (3 léta) Paul Adrien M Dirac (9 984) Diracova rovnice předpověď pozitronu (98) vantová eletrodynamia (949) spoluautor vantové teorie pole Werner Heisenberg (9 976) maticová vantová mechania (95) relace neurčitosti Hidei Yuawa (97 98) teorie silné interace (3 léta) Richard Philips Feynman (98 988) spoluautor vantové teorie pole Feynmanovy diagramy dráhový integrál v vantové mechanice Steven Weinberg (933) teorie eletroslabé interace (967) Abdul Salam (96) teorie eletroslabé interace Rubbia Wheeler Hawing Thorne Misner Sylabus terý se právě chystáte číst je čtvrtým vydáním V textu přibyla apitola věnovaná Lagrangeovým rovnicím spojitých systémů zejména pro eletromagneticé pole Budu vděčný za všechny připomíny a objevené chyby a nedostaty Objevíte-li cooli co Vám vhání adrenalin do žil napište mi na adresu: ulhane@aldebarancz Na tuto adresu směřujte i Vaše dotazy a ostatní připomíny Něteré zajímavé informace naleznete na adrese http://wwwaldebarancz Zde je taé možné stáhnout poslední atuální verzi tohoto sylabu Přeji hodně radosti z objevených záonitostí přírody pocitu moci pochopíte-li hloubu úvah Vašich předchůdců a pocitu bezmoci terý Vás bude pohánět upředu v oamžicích váhání Těm studentům a pedagogům teří zjistí že na této šole nemají co dělat blahopřeji bystrému úsudu a přeji důstojný odchod Petr Kulháne v Praze 3 6

Teoreticá mechania Integrální principy TEORETICKÁ MECHANIKA INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY V teoreticé mechanice a vlastně v celé teoreticé fyzice se používá Einsteinova sumační onvence pojem diferenciálu a Lagrangeova věta o přírůstu Poud s těmito matematicými zálady čtenář není seznámen měl by si nejprve důladně pročíst Dodate A Záladní pojmy z mechaniy Mechanicý systém: jaáoli soustava částic nebo těles teré se rozhodneme popisovat (eletron atom Zeměoule planetární systém ) Kartézsé souřadnice: pro souřadnice a síly používáme označení: x r (x x x 3 ) (x y z) resp F (F F F 3 ) (F x F y F z ) Pohybová rovnice hmotného bodu má tvar m d x / = F Zobecněné souřadnice: jaéoli parametry popisující pohyb (úhly vzdálenosti plochy) Označujeme je q = (q q ) Přílad : Pohyb planety olem Slunce q = r(t) vzdálenost od Slunce q = φ (t) úhel průvodiče a zadané polopřímy q 3 = S(t) plocha opsaná průvodičem Zobecněné rychlosti: časové změny zobecněných souřadnic Přílad : v r = dr/ radiální rychlost v φ = dφ/ úhlová rychlost v S = ds/ plošná rychlost v x = dx / x-ová složa rychlosti Vazby: těleso nebo něteré jeho části se nemusí pohybovat zcela libovolně Pa říáme že v systému jsou vazby Přílad vazeb je na následujícím obrázu: Těleso na naloněné rovině Dvě tělesa spojená tyčí Kyvadlo SL r S Stupeň volnosti: počet nezávislých údajů (parametrů) terými lze zcela popsat pohyb systému (značíme f ) Přílad 3: volný hmotný bod f = 3 N volných hmotných bodů f = 3N hmotný bod na naloněné rovině f = hmotné body spojené tyčí f = 5 prostorové yvadlo f = rovinné yvadlo f = Pro systém N hmotných bodů s R vazbami platí f = 3N R Zobecněné souřadnice volíme vždy jao množinu nezávislých parametrů teré zcela popisují systém tj je jich právě f : q (q q q f ) 7

Teoreticá mechania Integrální principy Konfigurační prostor: f rozměrný prostor do terého zobrazujeme hodnoty zobecněných souřadnic Bod onfiguračního prostoru nazýváme onfigurací Časový vývoj onfigurace systému q(t) nazýváme trajetorie Stav systému: v lasicé mechanice je v daném čase t stav systému zcela určen onfigurací q (q q q f ) a tendencí (zobecněnými rychlostmi) v (v v v f ) Reálná a virtuální trajetorie: q t reálná trajetorie trajetorie sutečně realizovaná v přírodě trajetorie virtuální (nerealizovaná) - proč? t q Integrální principy Přílad 4: Představme si že v rybníu se topí člově Mezi zachráncem a rybníem je bažinatý pás ve terém se velmi těžo pohybuje pás oraniště a pole Zachránce musí volit optimální cestu aby se tonoucímu dostal co nejrychleji (taovou cestou nemusí být nejratší spojnice mezi tonoucím a zachráncem): Celový čas po terý se bude pohybovat zachránce určíme tato: dl dl v v tb tb xb dl dx dy y T v v( xy ) v( xy ) ta ta xa Předpoládáme že známe prostorovou závislost rychlosti v (x y) Ta je dána typem terénu (pole oraniště bažina) Nyní hledáme taovou řivu y (x ) aby předchozí integrál měl minimální hodnotu Řešením úloh tohoto typu se zabývá variační počet dx 8

Teoreticá mechania Integrální principy Přílad 5: Brachystochrona Řešme následující úlohu Těleso má louzat po naloněné rovině obecného tvaru mezi dvěma body A a B teré jsou v různé výšce Úolem je nalézt rovnici tvaru naloněné roviny ta aby se těleso do bodu B dostalo za nejratší čas Výpočet je obdobný předchozímu: dl dl v v tb tb xb dl dx dy y T v( y) v( y) v( y) ta ta xa dx Rychlost určíme ze záona zachování energie mgy mv mgh Výsledná doba pohybu je T x B y dx () gh ( y) x A Nyní je nutné nalézt řivu y(x) pro terou nabývá integrál () svého minima jde opět o typicou úlohu variačního počtu Doončení řešení naleznete na onci apitoly 3 Variačně lze zformulovat i záladní záony mechaniy teorie eletromagneticého pole i dalších fyziálních disciplín V této apitole se budeme zabývat jedním z integrálních principů mechaniy tzv Hamiltonovým principem 3 Hamiltonův princip nejmenší ace Oba dva úvodní přílady vedly na optimalizaci integrálu typu xb T( x x ) F x y( x) y( x) dx () A B x A Integrand je funcí nezávislé proměnné x hledané funce y(x) a její první derivace y'(x) Výsledem optimalizace by měla být hledaná trajetorie či řiva y(x) V úvodním příladu zachránce volil trajetorii ta aby celový čas byl nejratší Všechny ostatní trajetorie (tzv virtuální nerealizované) jsou sice v principu možné ale zachránce se po nich bude pohybovat delší dobu Obdobně je tomu v příladu s louzajícím tělesem Integrály výše uvedeného typu se nazývají funcionály Funcionál je zobrazení při terém funci přiřadíme číslo (v našem případě celový čas) Záladní myšlena integrálních principů mechaniy je velmi podobná Ze všech možných trajetorií systému se realizovala jen ta terá je nějaým způsobem výhodnější než ostatní Hlediso výhodnosti se uvažuje obdobné úvodnímu příladu jen je ale nezávislou proměnnou čas protože hledáme řivu q(t): Hamiltonův princip: Budeme předpoládat že existuje funce času t zobecněných souřadnic a jejich prvních derivací (tj stavu) L( t q q f q q f ) 9

Teoreticá mechania Integrální principy taová že ze všech možných závislostí q (t ) = f (t ) se v přírodě realizuje ta pro terou má integrál tb A B f f t A St ( t ) Ltq ( q q q ) (3) extrém (minimum) Funci L(t q dq/) nazýváme Lagrangeova funce (lagranžián) a integrál S (t A t B ) integrál ace 4 Lagrangeovy rovnice Zaveďme virtuální posunutí q q () t q () t resp virt real qq () t q () t virt real (4) jao infinitezimální rozdíl virtuální (myšlené) trajetorie a reálné (usutečněné) trajetorie Body na obou trajetoriích si odpovídají ve stejném čase (tzv isochronní variace) Uveďme záladní vlastnosti virtuálních posunutí: ) q( t ) q ( t ) (5) A d ) q q B (6) První vlastnost vyjadřuje že virtuální i reálné trajetorie začínají a ončí ve stejném bodě onfiguračního prostoru Druhá vlastnost vyjadřuje záměnnost operací derivace d/ a variace δ Poznáma: Vazby jsou v daném systému zahrnuty volbou zobecněných souřadnic jejich celový počet je roven počtu stupňů volnosti Virtuální posunutí jsou posunutí ve shodě s vazbami v daném čase Odvoďme nyní nutné podmíny extremálnosti integrálu ace: tb t A tb t A tb t A Lt ( qq ) Lt ( qq ) L L q q q q

Teoreticá mechania Integrální principy de jsme z důvodu isochronnosti vynechali diferenciaci podle času Druhý člen nyní za pomoci (6) integrujeme per partes: tb L d L L q q q q q q t A tb t A Poslední člen je vzhledem (5) nulový a proto tb t A L d L q q q Tato rovnost musí platit pro aždé dva časy t A t B a pro aždé virtuální posunutí δq Vzhledem tomu že δq jsou nezávislá (počet zobecněných souřadnic je roven počtu stupňů volnosti systému) musí být závora v předchozím vztahu pro aždé nutně nulová tj d L q L q f (7) Tyto rovnice představují nutné podmíny extremálnosti integrálu ace a nazývají se Lagrangeovy rovnice Z matematicého hledisa jde o obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu pro extremální trajetorii q (t ) = f terá je realizována v přírodě Poznámy: ) Lagrangeovy rovnice jsou pohybovými rovnicemi našeho systému v zobecněných souřadnicích Jejich tvar nezávisí na volbě souřadnicové soustavy Newtonovy rovnice musí být speciálním případem v artézsém souřadnicovém systému ) Rovnice je třeba doplnit o počáteční podmíny q( t) q q( t) q tj zadat stav v nějaém počátečním čase t (8) 3) Lagrangeova funce není jednoznačně určitelná liší-li se napřílad dvě Lagrangeovy funce o úplnou časovou derivaci libovolné funce potom pro obě Lagrangeovy funce vyjdou stejné rovnice a tedy i stejné fyziální řešení: L L df / f f ( q q ) t t t B B B B df L L df f ( B) f ( A) t t t A A A A (9) Tedy splňuje-li Hamiltonův variační princip původní Lagrangeova funce splňuje ho i nová (posunutá o df/) Toho lze využít při úpravě hledaného L (viz apitola 46) 4) Hamiltonův princip v uvedené podobě platí jen pro nedisipativní systémy tj systémy ve terých nedochází tepelným ztrátám 5) Lagrangeovy rovnice jsou jen nutnými podmínami extremálnosti integrálu ace nioli postačujícími 6) V případě úvodních dvou příladů dy nejde o hledání časové závislosti trajetorie ale obecné řešení extremálnosti funcionálu () jsou nutnými podmínami Eulerovy rovnice d F F dx y y

Teoreticá mechania Integrální principy 7) V matematice se nutné podmíny minima funcionálu nazývají Eulerovy rovnice ve fyzice nutné podmíny extremálnosti integrálu ace Lagrangeovy rovnice Nědy se těmto rovnicím jednoduše říá Eulerovy-Lagrangeovy rovnice Nejdůležitější úlohou daného vědního oboru je volba správné Lagrangeovy funce Zvolímeli určitý tvar Lagrangeovy funce můžeme řešit příslušné Lagrangeovy rovnice a tato řešení porovnat s experimentálním průběhem trajetorií Nesouhlasí-li je vybraná Lagrangeova funce špatná Volba Lagrangeovy funce patří mezi záladní axiomy budované teorie Zpravidla se za L vybírá vhodná salární funce (její hodnota nezávisí na volbě souřadnic) Pro jednoduché mechanicé problémy známe dvě důležité salární funce: ineticou a potenciální energii V nejjednodušším případě by Lagrangeova funce mohla být jejich lineární ombinací L = αt + βv Sutečně lze uázat že pro volbu α = β = dostáváme správné pohybové rovnice v artézsém souřadnicovém systému rovnice Newtonovy viz přílad 6 v následující apitole Proto L( t q q ) T ( q q ) V ( t q) () Potenciální energie závisí na poloze (potence poloha) Pro ompliovanější systémy je rozdělení Lagrangeovy funce na ineticou a potenciální energii značně obtížné a navíc zbytečné Jedinou úlohou mechaniy je volba správné Lagrangeovy funce pro daný systém ta aby řešení příslušných Lagrangeových rovnic odpovídalo pozorovaným trajetoriím Naopa ja uvidíme později na záladě různých symetrií systému lze za pomoci Lagrangeovy funce definovat taové veličiny jao je energie hybnost moment hybnosti systému atd Vhodnou Lagrangeovu funci lze nalézt i pro relativisticou mechaniu pohyby nabitých částic v eletricých a magneticých polích pro teorii eletromagneticého pole pro obecnou teorii relativity i pro další fyziální obory Vždy z ní potom plynou rovnice popisující daný problém např v teorii eletromagneticého pole Maxwellovy rovnice 5 Jednoduché přílady Přílad 6: Hmotný bod v potenciálním poli V(x y z ) Hmotný bod má tři stupně volnosti za zobecněné souřadnice zvolíme q = x q = y q 3 = z potom T( x y z) m x y z V( x y z) daná funce L( xx ) T V m x y z V( x y z) Příslušné Lagrangeovy rovnice mají tvar d L L d V ( mx ) x x x m x d L L y y d V ( my ) y m y V x V y d L L d V V ( mz ) m z z z z z Všechny tři pohybové rovnice můžeme přepsat do běžného tvaru m x F F V

Teoreticá mechania Integrální principy 3 Přílad 7: Rovinné yvadlo y x l m Rovinné yvadlo má jediný stupeň volnosti Za zobecněnou souřadnici zvolíme úhel φ Potom cos cos ) ( sin cos ) ( cos ) ( ) ( sin ) ( mgl ml V T L mgl mgy V ml y x m T l y l x t l t y t l t x Odpovídající Lagrangeova rovnice je sin l g L L d Pro malé úhly je sin φ φ a rovnice přechází v běžnou rovnici pro matematicé yvadlo Přílad 8: Pohyb po naloněné rovině x z y x s Pohyb po naloněné rovině má dva stupně volnosti Za zobecněné souřadnice budeme volit vzdálenosti od hran naloněné roviny x (t ) a s (t ) Standardním postupem máme: sin ) ( ) ( sin ) ( ) ( cos ) ( ) ( ) ( ) ( mgs mgz V s x m z y x m T t s t z t s t y t x t x sin ) ( ) ( mgs s x m V T s x s L a pohybové rovnice jsou sin g s s L s L d x x L x L d 6 Další přílady Přílad 9: LC obvod Za zobecněnou souřadnici budeme volit náboj Q (t ) oelý z ondenzátorové baterie Příslušnou zobecněnou rychlostí je eletricý proud I = dq/

Teoreticá mechania Integrální principy L C Označíme-li indučnost L a apacitu C potom Lagrangeova funce posytne správnou rovnici LC obvodu: d L L Q Q Q L( Q Q ) L Q C Q Q L C Povšimněte si že první člen v Lagrangeově funci je energie vázaná v magneticém poli cívy a druhý člen energie ondenzátorové baterie Přílad : Pohyb hmotného bodu po uželové ploše v gravitačním poli y a proto d d z L L r r r x Trr ( ) mr ( r sin ) V() r mgz mgrcos Pohyb má dva stupně volnosti Za zobecněné souřadnice budeme volit vzdálenost částice od vrcholu užele r a polární úhel φ Využijeme tedy dvě ze sféricých souřadnic třetí odlon θ od osy z je na uželové ploše onstantní Za použití (A5) příp (A6) snadno odvodíme xt () rt ()cos ()sin t yt () rt ()sin ()sin t zt () rt ()cos Lrr ( ) mr ( r sin ) mgrcos L L m r mr sin d ( mr sin ) mg cos Povšimněte si že v rovnici pro r na pravé straně vystupuje součet síly odstředivé a příslušné omponenty síly gravitační Rovnice pro úhel φ není nic jiného než záon zachování momentu hybnosti 4

Teoreticá mechania Integrální principy Přílad : Rovinné yvadlo s vodorovně pohyblivým závěsem Vodorovně pohyblivý závěs můžeme realizovat např vozíčem na olejničce Systém má dva stupně volnosti Za zobecněné souřadnice zvolíme vodorovnou polohu x (t ) vozíču a úhel φ(t ) yvadla Kartézsé souřadnice vozíču budeme značit indexem a a artézsé souřadnice yvadla indexem b Další postup je již standardní: y M a l x x () t x() t x () t x() t lsin () t a b y () t y () t lcos () t a b L( x ) Ma xa ya Mb xb yb Magya Mbgyb Ma x Mbx l lx cos Mb glcos M b 5

Teoreticá mechania Záony zachování ZÁKONY ZACHOVÁNÍ V PŘÍRODĚ Teorém Emmy Noetherové Objev aždé veličiny terá se v průběhu časového vývoje systému nemění (zachovává) je pro fyziu velmi důležitý Tyto veličiny v mechanice nazýváme integrály pohybu Připomeňme něteré záony zachování: záon zachování hybnosti momentu hybnosti energie v vantové teorii záon zachování eletricého náboje spinu isospinu baryonového čísla parity atd Je třeba vyjasnit jaá je podstata těchto záonů zachování a za jaých podmíne jsou splněny To se teoreticy podařilo Emmě Noetherové v roce 96: S aždou symetrií v přírodě souvisí nějaá zachovávající se fyziální veličina Tato veličina je danou symetrií definována a zachovává se jen tehdy doud výchozí symetrie platí Při pozorování jevů olem nás je tedy velmi důležité vyhledávat nejrůznější symetrie Uveďme nyní přílady něterých symetrií: ) Na pracovním stole jsme zonstruovali nějaý mechanicý stroj Stroj spustíme a budeme sledovat jeho chování Jestliže stejný experiment provedeme na stejném psacím stole v sousední místnosti výslede bude stejný Provedeme-li ale tentýž experiment na stole v místnosti o patro výše může dopadnout jina protože gravitační pole Země má na tomto stole jinou hodnotu Tato fyziální situace je symetricá vzhledem vodorovnému posunutí ale není symetricá vzhledem svislému posunutí ) Vodičem teče onstantní proud Kolem vodiče se vytvořilo časově neproměnné (stacionární) magneticé pole Do tohoto pole vypustíme eletron a budeme sledovat jeho trajetorii Vypustímeli eletron o minutu později (počáteční rychlost a poloha eletronu musí být stejná) bude výsledná trajetorie totožná Zde hovoříme o symetrii vzhledem časovému posunutí Kdyby proud nebyl onstantní tato symetrie bude porušena magneticé pole v různých časech různé a trajetorie eletronů odlišné 3) Při silné interaci (drží pohromadě atomové jádro) se neutron i proton chovají stejně při eletromagneticé interaci různě (proton je nabitý) Výměna neutronu za proton nebo protonu za neutron je symetricou operací při silné interaci nesymetricou při eletromagneticé 4) Přílady dalších symetrií: rotační symetrie zrcadlová symetrie (záměna levého a pravého) výslede experimentů je stejný ve všech souřadnicových systémech pohybujících se vůči sobě rovnoměrně přímočaře (Lorentzova symetrie) V teoreticé mechanice se seznámíme se záonem zachování hybnosti momentu hybnosti a energie a se symetriemi teré těmto záonům zachování odpovídají V vantové teorii se seznámíme s celou řadou dalších důležitých symetrií teré vedou zachování eletricého náboje spinu izospinu parity barvy a vůně varů a dalších vantových čísel Záon zachování hybnosti Představme si že Lagrangeova funce nezávisí na něteré zobecněné souřadnici onrétně q : L L L( t q q q q f q q f ) () q Zobecněnou souřadnici terá se nevysytuje v Lagrangeově funci nazýváme cylicou Na q potom nezávisí ani pohybové rovnice a tím ani výslede experimentu Situace je 6

Teoreticá mechania Záony zachování symetricá vůči prostorovému posunutí v zobecněné souřadnici q (viz první přílad symetrií) Z pohybové rovnice pro tuto souřadnici q máme d L q L q d L L const q q Nalezli jsme tedy příslušnou zachovávající se veličinu Definice: Zobecněnou hybností odpovídající zobecněné souřadnici q nazveme p L f () q Tato veličina se zachovává je-li zobecněná souřadnice q cylicá (nevysytuje se v L) tj fyziální situace je symetricá vzhledem prostorovému posunutí v zobecněné souřadnici q Určeme nyní zobecněné hybnosti příladům 6 až z apitol 5 a 6 Přílad 6 (doončení): p x L x m x L L p m y y pz m z y z Zachování či nezachování těchto veličin bude záviset na tvaru potenciální energie V (x y z ) Přílad 7 (doončení): p L ml Fyziální situace není symetricá vzhledem pootočení o úhel δφ (změní se gravitační pole) proto se souřadnice φ vysytuje v L a tato zobecněná hybnost se nezachovává Zobecněná hybnost úhlové proměnné se nědy nazývá moment hybnosti Přílad 8 (doončení): p x L x m x L ps m s s Situace je symetricá vzhledem posunutí v souřadnici x souřadnice x je cylicá a hybnost p x se zachovává Při posunutí v souřadnici s se mění gravitační pole L závisí na s a hybnost p s se nezachovává Přílad 9 (doončení): p Q L Q L Q Zobecněná hybnost p Q (magneticý induční to) se nezachovává Q není cylicá souřadnice 7

Teoreticá mechania Záony zachování Přílad (doončení): L L pr mr p mr sin r Radiální hybnost p r se nezachovává (při posunutí v r se mění gravitační pole) moment hybnosti p φ se zachovává situace je symetricá vzhledem pootočení v úhlu φ φ je cylicá souřadnice Přílad (doončení): L L px ( Ma Mb) xmbl cos p Mb l Mbxl cos x Zachovává se hybnost soustavy p x nezachovává se moment hybnosti p φ Proč? 3 Záon zachování energie Nechť Lagrangeova funce nezávisí explicitně na čase (postačí aby něteré z neonečně mnoha evivalentních vyjádření Lagrangeovy funce nezáviselo na čase) tj L L L q q q f q f ) (3) t ( To odpovídá situaci symetricé vůči časovému posunutí Najděme úplnou časovou derivaci Lagrangeovy funce: dl L L t q q L q d ( q ) Vzhledem předpoladu je první člen na pravé straně nulový L/ q vyjádříme z Lagrangeovy rovnice (7) a máme dl d L q q L q d ( q ) Členy napravo upravíme za pomoci vztahu pro derivaci součinu dvou funcí dl d L q q a po převedení na jednu stranu rovnosti zjistíme že d L q q L L q L q const Opět jsme tedy našli zachovávající se veličinu Definice: Zobecněnou energií nazveme E L q q L (4) Tato veličina se zachovává nezávisí-li Lagrangeova funce explicitně na čase tj je-li fyziální situace symetricá vzhledem časovému posunutí 8

Teoreticá mechania Záony zachování V příladech 6 až se energie zachovává Lagrangeovy funce nezávisí explicitně na čase všechny situace jsou symetricé vůči časovému posunutí Postupně máme: L L L E6 x y zl m( x y z ) V( x y z) x y z L E7 L ml mglcos L L E8 x sl m x s mgs x s L Q E9 Q L LQ Q C ( ) sin L L E r L m ( r r sin ) mgr co s r L L E x L Max Mb( x l lx cos ) Mbglcos x Povšimněte si že ve všech těchto jednoduchých příladech je E T V (5) Tato relace ale platí jen pro speciální tvary Lagrangeovy funce V obecném případě nelze Lagrangeovu funci ani energii rozdělit na ineticou a potenciální část Energie je vša i nadále vždy definována vztahem (4) Uveďme na závěr přílad dy se energie nezachovává Uvažujme yvadlo jehož závěs je velmi pomalu namotáván pomocným motorem v místě úchytu (jeřáb se zavěšeným břemenem) Déla závěsu se s časem zracuje l l ct c je rychlost navíjení Lagrangeova funce yvadla L m ( l ct) mg ( l ct) cos nyní explicitně závisí na čase a energie se nezachovává Rozhoupejme yvadlo a sledujme jeho mity Udělejme totéž o minutu později Experiment dopadne jina protože závěs se mezitím poněud zrátil Fyziální situace není symetricá vzhledem časovému posunutí Důvod nezachování energie je zde zřejmý přídavný motore terý není započten do našeho systému Vidíme tedy že záladní záony zachování v mechanice jsou přímým důsledem vlastností prostoru a času olem nás Je-li prostor homogenní (stejný ve všech svých bodech) zachovává se hybnost je-li prostor isotropní (stejný ve všech směrech) zachovává se moment hybnosti je-li prostor neměnný v čase zachovává se energie homogenita prostoru zachování hybnosti isotropie prostoru zachování momentu hybnosti neměnnost v čase zachování energie 9

Teoreticá mechania Záony zachování Přílad 5 (doončení): Brachystrochrona Nyní máme dostatečné matematicé znalosti na vyřešení příladu na brachystochronu z úvodu apitoly Úolem bylo nalézt řivu mezi dvěma body po teré se těleso dostane za nejratší dobu samovolným louzáním z bodu A do bodu B jejichž výšový rozdíl je H Úloha vedla na hledání minima funcionálu () T xb x A y dx gh ( y) Nezávislou proměnnou v této úloze není čas ale prostorová souřadnice x Eulerovy- Lagrangeovy rovnice proto budou mít tvar: d F F y F dx y y g( H y) Přímé řešení by bylo značně nevýhodné Poud si povšimneme že nezávislá proměnná x není ve funcionálu zastoupena musí se zachovávat energie F y y E yf y E y gh ( y) y g( H y) Jde o první integrál Eulerových-Lagrangeových rovnic a tedy o diferenciální rovnici prvního řádu Povšimněte si že energie není v tomto případě rozdělitelná na ineticou část s derivacemi hledané funce a potenciální bez derivací Po jednoduché úpravě máme Výraz umocníme na druhou E g( H y) y E g( H y)( y ) K H y K y E g Nejjednodušší integrace je parametricá tj substituce y' = tg φ Parametricé řešení pro y potom je K H y y H Kcos tg (6) Zbývá nalézt řešení pro x z definičního vztahu pro substituci dy/dφ vyjádříme z (6): y tg dy d sin d sin Ksincos d dx cos dx cos Separací máme dx K cos d po integraci x K K(sin )/ L (7) Integrační onstanty K a L ve vztazích (6) (7) lze určit z toho že řešení musí procházet body ( H) a (l ) Pro naše účely postačí jen obecné řešení teré je částí cyloidy: x K K(sin )/ L y H Kcos

Teoreticá mechania Hamiltonovy anonicé rovnice 3 HAMILTONOVY KANONICKÉ ROVNICE V této apitole se seznámíme s jiným tvarem pohybových rovnic Hamiltonovými rovnicemi Na rozdíl od Lagrangeových rovnic (diferenciální rovnice řádu) jsou Hamiltonovy rovnice diferenciální rovnice řádu ale je jich dvojnásobné množství ) Pro řešení diferenciálních rovnic prvního řádu je vypracováno velé množství numericých metod a ta Hamiltonovy rovnice bývají většinou pro numericé řešení vhodnější než rovnice Lagrangeovy ) Za pomoci Hamiltonových rovnic lze snadno zapsat časový vývoj libovolné dynamicé proměnné tj nejenom zvolených zobecněných souřadnic 3) Hamiltonovy rovnice lze přepsat do velmi jednoduchého tvaru s pomocí tzv Poissonových závore teré z matematicého hledisa představují Lieovu algebru Vlastnosti Lieovy algebry jsou určeny nezávisle na objetech teré ji tvoří Proto bude možné tuto struturu snadno přenést do vantové mechaniy 3 Hamiltonovy rovnice S pomocí definice zobecněné hybnosti () můžeme Lagrangeovy rovnice (7) přepsat do tvaru L d L L L p p (8) q q q q terý silně připomíná Newtonovy rovnice v artézsých souřadnicích Najděme nyní diferenciál energie za pomoci jejího definičního vztahu (4) de q dp E p p q dq L( t q q ) L L t q dq L q V předposledním členu vyjádříme L/ q z pohybové rovnice (8) v posledním členu využijeme definici zobecněné hybnosti: de q dp p dq L p t Členy s diferenciály zobecněných rychlostí se odečtou a zbývá de Funci jejíž diferenciál jsme právě nalezli označíme dq p dq dq L p dq q dp (9) t E H ( t q p) () Koeficienty v diferenciálu (9) musí být příslušné parciální derivace funce H: L H t t H H p q () q p Funce H se nazývá Hamiltonova funce Hamiltonova funce je energie přepsaná do proměnných t q p V (9) se odečetly diferenciály rychlostí proto lze vždy nalézt taovou transformaci t q q t q p ()

Teoreticá mechania Hamiltonovy anonicé rovnice aby energie byla funcí zobecněných souřadnic a zobecněných hybností Tato transformace se nazývá Legendreova duální transformace Poslední dvě rovnice z relace () jsou Hamiltonovy anonicé rovnice (anos záon souhrn pravidel): H H q p (3) p q Při řešení problému Hamiltonovými rovnicemi a) určíme z Lagrangeovy funce zobecněné hybnosti a zobecněnou energii b) ze zobecněné energie vyloučíme zobecněné rychlosti vyjádříme je za pomoci zobecněných hybností tj provedeme Legendreovu duální transformaci c) napíšeme Hamiltonovy rovnice d) řešíme je Hamiltonovy rovnice jsou rovnice pro určení časového vývoje proměnných q (t ) p (t ) Jsou diferenciálními rovnicemi prvního řádu je jich ale dvojnásobné množství než Lagrangeových rovnic řádu Soustavu Hamiltonových rovnic musíme doplnit počátečními podmínami q t ) q p ( t ) p (4) ( Přílad : Rovinný pohyb planety (hmotnost m) olem Slunce (hmotnost M) Předpoládáme M >> m tj Slunce se nepohybuje Pohyb má dva stupně volnosti za zobecněné souřadnice zvolíme polární souřadnice q = r (t) q = φ(t) vzdálenost planety od Slunce a úhel spojnice planeta Slunce od zvolené polopřímy Z (A6) a z gravitačního záona víme že ( mm T m r r ) V G tj r mm Lrr ( ) TV mr ( r ) G (5) r Kdybychom řešili úlohu z Lagrangeových rovnic měli bychom d d L L r r L L M r r G r r r r Povšimněme si že pohybové rovnice nezávisí na hmotnosti sledované planety m To je pro gravitaci typicé tělesa se v daném gravitačním poli pohybují po stejných trajetoriích Proto je možné gravitaci popisovat za pomoci zařivených prostorů Určeme nyní zobecněné hybnosti a zobecněnou energii systému: L L p r mr p mr r L L mm E r L mr mr G r r Tr T V Zachovává se moment hybnosti p φ (φ je cylicá souřadnice) a zobecněná energie E Energie se rozpadá na tři členy radiální ineticou energii úhlovou energii (souvisící s oběhem planety) a potenciální energii Zobecněné rychlosti vyjádříme ze zobecněných hybností

Teoreticá mechania Hamiltonovy anonicé rovnice r pr m p mr a dosadíme do zobecněné energie (provedeme Legendreovu duální transformaci) Tím zísáme Hamiltonovu funci p p H ( r p p ) r r m mr Hamiltonovy anonicé rovnice jsou H p r r pr m H p p mr mm G r H p mm p r G r 3 mr r H p Tyto rovnice je třeba doplnit počátečními podmínami r(t ) φ (t ) p r (t ) p φ (t ) Jde o soustavu čtyř diferenciálních rovnic pro funce r ( t ) φ ( t ) p r ( t ) p φ ( t ) Definice: Fázový prostor f rozměrný prostor do terého zobrazujeme hodnoty zobecněných souřadnic a zobecněných hybností Bod fázového prostoru nám reprezentuje stav systému Časový vývoj q(t ) p(t ) stavu systému se ve fázovém prostoru zobrazí jao fázová trajetorie Konfigurační prostor je podprostorem fázového prostoru V dalším paragrafu si uážeme fázovou trajetorii harmonicého oscilátoru 3 Harmonicý oscilátor Harmonicý oscilátor je jedním z nejdůležitějších fyziálních systémů Lze jím v prvním přiblížení nahradit chování částice v potenciálním poli s minimem setáme se s ním v vantové teorii i v vantové teorii pole Ja uvidíme později lze si jaéoli pole (napřílad eletromagneticé) představit jao soustavu harmonicých oscilátorů Proto se budeme harmonicým oscilátorem zabývat podrobněji Představme si částici v poli potenciální energie s minimem v bodě x a hodnotou minima V = V (x ) Proveďme Taylorův rozvoj funce V (x ) v oolí minima do druhého řádu: V minimu je V ( x ) a proto V V ( x) V ( x) V ( x) ( x x) V ( x) ( x x) x) V ( x ) V ( x ) ( x x ) V ( x x ) de V ( x ) (6) ( Potenciální energii jsme tedy nahradili parabolicou závislostí viz obráze V V + / ( x x ) Vx () x 3

Teoreticá mechania Hamiltonovy anonicé rovnice Harmonicým oscilátorem nazýváme systém s parabolicou závislostí potenciální energie (6) Dosti přesně tuto závislost splňuje napřílad těleso zavěšené na pružině v gravitačním poli Veličina V (x ) se nazývá tuhost oscilátoru Volme pro jednoduchost souřadnicový systém ta aby minimum potenciální energie bylo v počátu (x = ) a zvolme V(x ) = (potenciální energii můžeme změnit o aditivní onstantu síla F = dv/dx se nezmění) průběh potenciální energie je potom V (x ) = / x Řešme nejprve harmonicý oscilátor za pomoci Lagrangeových rovnic: d L L L mx x x x (7) x x m Obecné řešení této rovnice je x( t) c cos t c sin t de (8) m Pro následující počáteční podmíny plyne řešení: x( ) A x () x( t) Acos t (9) V oolí minima potenciální energie oná částice mitavý pohyb úhlovou frevencí ω = (/m) / Jao parametr oscilátoru se častěji používá úhlová frevence ω než jeho tuhost Lagrangeova funce potom je L mx m x (3) Řešme nyní úlohu za pomoci Hamiltonových rovnic: L p mx x L E x L x mx x Po vyloučení rychlosti z E dostáváme Hamiltonovu funci a Hamiltonovy rovnice H x p p m m x p H ( x p) m x m p m (3) H p m x Řešení této soustavy se stejnými počátečními podmínami vede x( t) Acos t p( t) m A sin t mx x (3) Vyloučíme-li z (3) čas (na pravých stranách ponecháme jen trigonometricé funce rovnice umocníme na druhou a sečteme) zísáme rovnici trajetorie ve fázových proměnných x p: p ma Fázovou trajetorií harmonicého oscilátoru je elipsa x A (33) 4

Teoreticá mechania Hamiltonovy anonicé rovnice p ma A A x ma Na závěr určeme lasicou hustotu pravděpodobnosti w ( x ) výsytu částice mezi rajními polohami A A Pro pravděpodobnost že se částice nachází v oolí Δx bodu x platí: x A x + A Δt Δ x v( x) P Δ x T v( x) de T je perioda pohybu a Δt je doba po terou částice pobývá v oolí bodu x Oolím prolétá za periodu T částice dvarát (tam a zpět) proto je v čitateli Δt Hustota pravděpodobnosti je Závislost v (x ) určíme ze záona zachování energie Konečný vztah má tvar dp wx ( ) (34) dx v ( x) mv m x m A v ( x) A x (35) wx ( ) A x 3 5 5 w x /A (36) Hustota pravděpodobnosti výsytu částice je nejvyšší v bodech obratu A A a nejnižší v místě minima potenciální energie V vantové teorii poznáme modifiaci tohoto průběhu pro částice mirosvěta Poznamenejme ještě že Celová pravděpodobnost výsytu částice v oblasti ( A A ) je rovna jedné A A w( x) dx A A A x dx arcsin x A A A (37) 5

Teoreticá mechania Hamiltonovy anonicé rovnice 33 Poissonova formulace Hamiltonových rovnic Uvažujme obecnou dynamicou proměnnou A (q p) terá je funcí zobecněných souřadnic a zobecněných hybností (souřadnice hybnost potenciální energie součin potenciální a ineticé energie ) Její časový vývoj je dán vztahem da A A A H A H A q p q p q p p q (38) de jsme časové derivace fázových proměnných q p vyjádřili z Hamiltonových rovnic Definice: Nechť f (q p) g (q p) jsou dvě funce fázových proměnných q p Funci f g f g { f g} (39) q p p q nazýváme Poissonovou závorou funcí f g Časový vývoj (38) obecné dynamicé proměnné je vzhledem definici (39) dán jao Poissonova závora příslušné dynamicé proměnné a Hamiltonovy funce: A { A H } (4) Poznáma: Pro A = A (t q p) bude da/ = A/ t + { A H } tento případ je vša vzácný Vlastnosti Poissonových závore: ) { f g} { g f} ) { f gh } { f h} { gh } { f h} { f h} 3) { f{ g h}} { g{ h f}} { h{ f g}} 4) { fgh } f{ gh } { f h} g 5) { f gh} g{ f h} { f g} h (4) Důaz všech těchto vztahů je triviální a plyne přímo z definice Poissonovy závory (39) Poissonovy závory tvoří Lieovu algebru na prostoru funcí Velmi důležité je znát Poissonovy závory mezi zobecněnými souřadnicemi a hybnostmi q q i j q q i j { qi qj} i j q p p q p p i j p p i j { pi pj} j i q p p q q p i j q p i j { qi pj} i j ij q p p q Poissonova závora je nenulová jedině pro zobecněnou souřadnici a jí odpovídající hybnost potom je rovna jedné { qi q j} { pi p j} { qi p j} ij (4) Těmito relacemi je určena celá Lieova algebra Poissonových závore Známe-li jejich vlastnosti (4) a relace (4) můžeme řešit problémy mechaniy aniž bychom potřebovali definici (39) 6

Teoreticá mechania Hamiltonovy anonicé rovnice Přílad 3: Harmonicý oscilátor p p T V m x H m x m m x H x H H p x { x H} x p p x p m p H p H H p { p H} m x x p p x x Snadno určíme i časový vývoj jaéoli dynamicé proměnné napřílad potenciální energie: V H V H V { V H} xp x p p x Časový vývoj můžeme ale určit i z vlastností Lieovy algebry Poissonových závore (4) a (4) bez znalosti jejich definice Uažme to na příladu zobecněné hybnosti: x H x H H p x { x H} x p p x p m (39) p p { p H} p m x { p p } m { p x } m m (4) p{ p p} { p p} p m x{ p x} { p x} x m (39) (4) p p { p p} m x{ p x} { p p} m x{ x p} m x m m Analogicy bychom postupovali u dalších dynamicých proměnných V vantové teorii zůstane tato strutura zachována jen objety se terými budeme pracovat budou jiné 34 Numericé řešení Hamiltonových rovnic Jen ve výjimečných případech lze nalézt explicitní řešení Zpravidla jsme odázáni na numericé řešení problému V dosavadním textu jsme se naučili problém zformulovat za pomoci soustavy diferenciálních rovnic doplněných vhodnými počátečními podmínami Většina matematicých programů (např Mathematica Reduce Maple ) doáže tato zformulovanou úlohu numericy a nědy i analyticy vyřešit Uveďme zde přesto alespoň jednu numericou metodu (Runge-Kutta 4 řádu) vhodnou pro numericé vyhledání řešení Označme ξ = (q p) množinu zobecněných souřadnic a hybností Nechť množina hledaných funcí ξ (t ) = f splňuje soustavu rovnic f ( t ) Časovou osu rozdělíme na díly s intervalem Δt Předpoládejme že známe řešení v nějaém čase t (napřílad v t počáteční podmína) Potom určíme K f ( t ) f K f t t ( t) K t f ( t) K f t 7

Teoreticá mechania Hamiltonovy anonicé rovnice K3 f t t ( t) K t f ( t) K f t K f tt ( t) K t ( t) K t 4 3 f 3 f a přibližné řešení v čase t + Δt dostaneme ze vztahů ( t t) ( t) ( K K K3 K4 ) t f 6 Tím známe řešení v čase t + Δt a postup můžeme opaovat Otázy přesnosti výpočtu onvergence a případně další metody lze nalézt v literatuře Další metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic jsou uvedeny ve volně navazující učebnici [] 8

Teoreticá mechania Vybrané úlohy z teoreticé mechaniy 4 VYBRANÉ ÚLOHY Z TEORETICKÉ MECHANIKY 4 Pohyb nabité částice v eletromagneticém poli Pohyb částic v eletromagneticém poli je podrobně probrán v učebnici [] terá volně navazuje na tento učební text Nyní jen pro úplnost uvedeme záladní vztahy v nerelativisticém případě Lagrangeova funce popisující interaci eletromagneticého pole s nabitou částicí je odvozena v apitole 5 Omezíme na pohyb nerelativisticé částice v předem daném eletromagneticém poli Eletricá a magneticá pole můžeme popsat buď eletricou intenzitou E a magneticou inducí B nebo za pomoci čtyřpotenciálu (ϕ A) Převodní vztahy jsou A E (43) t x B rot A (44) Předpoládáme že ϕ(t x) a A(t x) jsou předem dané funce Problém pohybu nabité částice v onzervativním eletrostaticém poli je dán Lagrangeovou funcí ve tvaru L= T V tj L mv Q (45) Poud je přítomno magneticé pole systém již není onzervativní (neexistuje potenciální energie) a Lagrangeova funce má tvar L mv Q QAv (46) První člen je ineticá energie volné částice zbylé dva členy reprezentují interaci částice s eletricým a magneticým polem Odvození naleznete v apitole 5 Zde budeme předpoládat že jsme správnou Lagrangeovu funci uhodli Pa ale musíme doázat že z ní plynoucí pohybové rovnice jsou ve shodě s přírodou Uážeme že příslušné Lagrangeovy rovnice jsou totožné s dobře známou Lorentzovou pohybovou rovnicí Ve složách máme L mvv j j Q ( t x) QAj( t x) v j d L L vi xi d Aj ( m vi QA i) Q Q vj xi xi d A dx i Ai j Aj ( m vi) Q Q Q Q vj t x j xi xi d A A i j Ai ( m vi) Q vj t x i xi x j 9 d A ( m v) Q rot v A t x d ( m v) Q EvB (47) což je známá Lorentzova pohybová rovnice Nyní standardním postupem odvodíme hybnost energii a Hamiltonovu funci částice:

Teoreticá mechania Vybrané úlohy z teoreticé mechaniy L p m v Q A v (48) L E v L mv Q v (49) ( p Q A) H m Q Pozn : Energii v této apitole značíme E abychom ji odlišili od intenzity eletricého pole E (5) Pozn : Povšimněte si že E T + V Energie nezávisí na vetorovém potenciálu A To je důsledem toho že magneticé pole nemění energii ale pouze směr rychlosti Hybnost již taé není rovna svému mechanicému protějšu p mv Přílad 4: Konstantní homogenní eletricé pole Předpoládejme že na částici působí onstantní homogenní eletricé pole E Pohybovou rovnici částice můžeme zapsat ve tvaru m r QE (5) Přímou integrací postupně dostaneme Q v() t tev (5) m Q r() t t Evtr (53) m Na první pohled je patrné že se rychlost s rostoucím časem zvětšuje nade všechny meze Pro vyšší rychlosti je nutné použít relativisticou Lagrangeovu funci Výpočet je v [] Urychlování probíhá jen ve směru pole napříč pole se částice pohybuje volně Poud pole míří v ose x tj E = (E ) a částice je v počátu souřadnic s počáteční rychlostí v = ( v ) tj olmou na pole má nalezené řešení tvar QE x t y t z m Vyloučíme-li z řešení čas zísáme rovnici paraboly: QE x mv v (54) y (55) Nabitá částice se v přítomnosti homogenního eletricého pole pohybuje po parabole Ve směru pole je pohyb rovnoměrně zrychlený Poud bychom provedli relativisticý výpočet (viz []) bude sutečnou řivou hyperbolicý osinus Přílad 5: Konstantní homogenní magneticé pole E () B ( B) počáteční podmíny: x() ( ) v() ( v ) 3

Teoreticá mechania Vybrané úlohy z teoreticé mechaniy Uvažujme nyní druhou nejjednodušší situaci pohyb nabité částice v homogenním magneticém poli Pro určitost budeme předpoládat že pole míří v ose z a částice má počáteční rychlost ve směru osy y (viz obráze) Pohybovou rovnici mdv/ = Q v B rozepíšeme do slože: mx QB y my QB x (56) mz Řešení třetí rovnice je jednoduché v případě našich počátečních podmíne nulové tj pohyb se bude dít jen v rovině (x y) Soustavu prvních dvou rovnic budeme řešit v omplexním oboru První rovnici budeme chápat jao reálnou část druhou jao imaginární: mx imy QB y i QB x Tato operace je vratná dyoli můžeme oddělit reálnou a imaginární část a dostat zpět původní rovnice Po jednoduché úpravě a označení ombinace QB/m jao ω c (později zjistíme význam této veličiny) dostaneme QB xi y i c( x i y ) c (57) m Nyní zavedeme omplexní polohu ξ x + i y pro terou má rovnice jednoduchý tvar i x i y (58) c Samozřejmě bude dyoli možné se vrátit původním proměnným x a y Řešení této lineární rovnice bez pravé strany budeme hledat v exponenciálním tvaru exp(λt) Po dosazení zísáme charateristicou rovnici i i (59) c c Obecné řešení je lineární ombinací obou nalezených modů: i t () t c c e c i t () t ic e c c Integrační onstanty nalezneme snadno z počátečních podmíne () x() i y() () x() i y() i v Dosadíme-li tyto počáteční podmíny do rovnic (6) dostaneme cc c v/ c ic i v c v / Výsledné řešení má proto tvar c c i t L L L c (6) (6) (6) () t R R e c R v / mv / QB (63) Po oddělení reálné a imaginární části zísáme obě souřadnice pohybující se částice x() t R R cos t L L c yt () R sin t L c (64) Rovnici trajetorie nalezneme po vyloučení času z (64): 3

Teoreticá mechania Vybrané úlohy z teoreticé mechaniy L L ( x R ) y R (65) Vidíme že pohyb se děje po ružnici s poloměrem R L se středem S = [ R L ] a s úhlovou frevencí oběhu ω c Veličinu R L nazýváme Larmorův (gyrační) poloměr R L a veličinu ω c cylotronní (gyrační) frevence Podle náboje částice může mít Larmorův poloměr ladnou i zápornou hodnotu stejně ta může mít obě znaména cylotronní frevence (záporná hodnota znamená oběh proti směru hodinových ručiče) Magneticé pole nepůsobí na pohyb částice ve směru podél pole Kolmo na směr pole působí Lorentzova síla terá zařivuje trajetorii částice na ružnici Při nenulové počáteční rychlosti v z () je pohyb částice složen z rovnoměrného přímočarého pohybu podél pole a Larmorovy rotace (gyrace) tím vzniá pohyb po šroubovici Samotné eletricé pole naopa nepůsobí na pohyb částice napříč pole (v nerelativisticém případě) nebo jen velmi málo (v relativisticém případě) Ve směru pole dochází urychlování y y Q < Q > v v z v y Q > x R L R L x z Složitější případy pohybů nabitých částic v eletricých a magneticých polích jsou řešeny (z Hamiltonových rovnic) v navazující učebnici [] 4 Pohyb v rotující soustavě K nalezení pohybové rovnice v neinerciální rotující soustavě potřebujeme znát něteré vetorové identity: ( ab) c( bc) a( ca) b (66) a( bc) b( ac) c( ab ) (67) ( ab) ( cd) ( ac )( bd ) ( ad )( bc ) (68) Jejich odvození je snadné za pomoci definice vetorového součinu přes Leviho-Civitův tenzor (viz dodate A v []) První identita uazuje že v součinu (a b) c lze jednotlivé součinitele cylicy zaměňovat Druhá identita je známé bác cáb pravidlo Důaz třetí identity lze provést (stejně jao u prvních dvou) pouhým rozepsáním levé strany z definice vetorového součinu přes Leviho-Civitův tenzor Pro určitost předpoládejme že budeme sledovat pohyby na rotující Zemi Jedna souřadnicová soustava je pevná v prostoru (inerciální) a druhá rotuje spolu se Zemí (rotující neinerciální) Obě soustavy mají počáte ve středu Země a polohový vetor sledovaného tělesa je v obou soustavách shodný tj r r r (69) in rot 3

Teoreticá mechania Vybrané úlohy z teoreticé mechaniy Rychlosti tělesa o hmotnosti m (viz obráze) budou v obou soustavách různé budou se lišit o rychlost v způsobenou rotací Země Ta je úměrná veliosti úhlové rychlosti vzdálenosti od středu Země a sinu polárního úhlu θ (na pólu je rychlost nulová na rovníu maximální) tj Směr této rychlosti je olmý na vetory ω i r tedy platí v r sin (7) v r (7) Mezi rychlostí tělesa v inerciální a rotující soustavě proto platí jednoduchý vztah v v r (7) in rot To je vše co potřebujeme vědět sestavení Lagrangeovy funce V inerciální soustavě bude Lagrangeova funce rovna L mvin V( r in ) (73) Do vztahu dosadíme za rychlost z (7) a za polohový vetor z (69) L mv rot r V() r (74) Rychlost v rotující soustavě terá nás zajímá přeznačíme na v Výsledná Lagrangeova funce pro pohyb v neinerciální rotující soustavě je ( ) ( ) L m v r V r (75) K nalezení hybnosti energie a sestavení pohybové rovnice budeme potřebovat parciální derivace L/ r L/ v Za tím účelem najdeme diferenciál Lagrangeovy funce (úhlovou rychlost předpoládáme onstantní) U prvního členu budeme diferencovat nejprve vnitřní funci a poté derivovat vadraticou funci: V d L m(dvd r) ( vr) dr r V dl mvd vm( r) d vm( d r) vm( d r) ( r) d r r Za pomoci vetorových identit (67) a (68) přesupíme třetí a čtvrtý člen ta aby diferenciál d r stál samostatně ve salárním součinu: 33

Teoreticá mechania Vybrané úlohy z teoreticé mechaniy 34 V dl mvd vm( r) d vm( v) drm rd rm( r)( d r) d r r Čtvrtý a pátý člen na pravé straně upravíme za pomoci vetorové identity (67): V dl mvd vm( r) d vm( v) d rm( r ) dr d r r Vzhledem tomu že dl = ( L/ r) d r + ( L/ v) d v snadno nalezneme hledané derivace: L V m( v) m( r ) (76) r r L mv m( r) (77) v Nyní již můžeme vypočítat hybnost a energii v neinerciální soustavě L p mvm( r) (78) v L ( ) E vl mv m r V ( r ) (79) v Hybnost se sládá z lasicé mechanicé hybnosti m v a neinerciálního rotačního členu mω r Energie je součtem ineticé energie rotační energie a potenciální energie Rotační energie je z hledisa pozorovatele v inerciální soustavě záporná Pro predici pohybu těles je nejdůležitější znát pohybovou rovnici terou nyní již snadno odvodíme: d d L L v r V mvm( r) m( v) m( r) r dmv V m( v) m( r ) (8) r Rovnice (8) je hledaná pohybová rovnice tělesa pohybujícího se v rotující neinerciální soustavě Nalevo je časová změna mechanicé hybnosti první člen napravo je síla působící na částici (v potenciálním poli) druhý člen je Coriolisova síla a třetí odstředivá síla Coriolisova síla je zodpovědná za směr roztáčení víru ve výlevce (na aždé poloouli je jiný) za stáčení roviny yvadla i za další jevy Coriolisova síla nepůsobí na tělesa pohybující se paralelně se zemsou rotační osou Odstředivá síla je nulová na pólech a maximální na rovníu de dosáhne hodnoty mrω Přílad 6: Padající ámen Představte si že pustíte ámen z výšy 65 metrů (odpovídá Petřínsé rozhledně) Jaou odchylu od olmice bude mít ámen po dopadu na zem vlivem Coriolisovy síly? Jaým směrem se ámen odchýlí od olmice při pádu? Počítejte pro Prahu (zeměpisná šířa λ = 5 ) Řešení: Budeme řešit pohybovou rovnici s tíhovou a Coriolisovou silou dmv mg m( v )