Statitika (004) - Kába, Svatošová Cvičeí ze tatitiky - Prášilová, Svatošová Matematická tatitika I předášky SAS (Statitical Aalyi Sytem) - tatitický oftware (v dalším emetru) Základí tatitické pojmy - údaje hromadého charakteru - apř. údaje o uchazečích hláících e a školu - jou v ich určité zákoitoti - důležité pro rozhodováí - tatitika je vědecká diciplía, která e zabývá oubory hromadého pozorováí, jejich běrem, aalýzou a využitím pro racioálí rozhodováí a předpovědi Statitický oubor (tudeti) Statitická jedotka (jede tudet) Statitický zak (údaje o tudetovi apř. zámky, adrea, předchozí vzděláí atd.) Statitický oubor - koečá eprázdá možia prvků, které mají určité polečé vlatoti - tatitická jedotka je oučátí tatitického ouboru - vyšetřovaé vlatoti tatitické jedotky e azývá tatitický zak Statitický oubor - bude á zajímat počet jedotek, které obahuje - rozah ouboru a) základí tatitický oubor - obahuje všechy tatitické jedotky, které by á mohli zajímat při tatitickém zpracováí (všichi zapaí tudeti) - jou rozáhlé, ebo i ekoečé - jejich zpracováí je velmi ákladé b) výběrový - do určité míry by měl ahrazovat (reprezetovat) základí oubor - zmešeia základího ouboru - teto výběr louží ke zkouškách abychom mohli ěco říci o celku - jak právě zvolit teto výběrový oubor? - áhodý - je zde maximálí pravděpodobot pro výběr právých vzorků (loováí, tabulky áhodých číel, geerátor áhodých číel) - záměrý - ubjektiví úvaha, a základě logických důvodů Statitický zak a) kvatitativí - číelý zak (apř. výška, váha, teplota atd.) - dikrétí - pojité b) kvalitativí - loví popi (apř. barva očí, adrea atd.) - alterativí - mohou abývat pouze dvou variat (apř. pohlaví) - možé - mohou abývat moho variat (apř. barva očí, kvalifikace, typ SŠ) - orietačí čleěí: do 30 - malé oubory 30-00 - tředě velké tatitické oubory více ež 00 - velké Základí tatitické zpracováí X, Y, Z rozah ouboru X: x, x,..., x variačí řada - eřazeí podle velikoti x () x ()... x (-) x () Rozděleí četotí a) proté rozděleí četotí b) itervalové rozděleí četotí pef-ifo.wz.cz - - Chrity
Proté rozděleí - pro malé oubory Hodoty zaku Četoti četot x i i Matematická tatitika I předášky ------------------------------------------- x - polygo x.... x k k ------------------------------------------- celkem hodoty zaku Itevalové rozděleí Itervaly hodot Četoti i četot ------------------------------------------- 0-0 3 - hitogram 0-30 9 30-40 7.... itervaly hodot - kolik tam volit itervalů? - emí jich být moc, ai málo (eí jedozačý ávod) počet itervalů ---------------------------------------- < 50 5-6 50-00 6-8 > 00 8-0 Sturgeovo pravidlo - počet tříd (K) K + 3,3 log (K ) Délka tříd R h K, kde R x max - x mi - variačí rozpětí - zařadit do itervalu e udým čílem (. 0-0. 0-30 - 0 e zařadí do. itervalu) Statitické charakteritiky - připomíají číelé charakteritiky - číla, která ve tručé a kocetrovaé formě popiují hlaví vlatoti tatitického ouboru a) charakteritiky polohy (úrově) (locatio) - iformují o tředové (typické) hodotě daého ouboru b) charakteritiky variability - iformují o kolíavoti ad. a) aritmetický průměr - X x i - protý aritmetický průměr (imple) (protá forma arit. průměru) - u etříděých xi i X i - vážeý aritmetický průměr (weighted) (vážeá forma arit. průměru) - u tříděých - výhody: ejúplější - evýhody: extrémí hodota zkrelí průměr (3,, 4, 50) - (average, mea) pef-ifo.wz.cz - - Chrity
Matematická tatitika I předášky mediá - protředí hodota ouboru eřazeého podle velikoti a) rozah je udé čílo - 4, 3, 4, 50 > 3 + 4 x 3, 5 b) rozah je liché čílo - 5, 3, 4, 7, 50 > mediá 4 - mediá předtavuje robutí charakteritiku polohy - eí zkrelová extrémy modu - ejčetější hodota daého ouboru xˆ ad. b) variačí rozpětí - (rage) R x max - x mi - muíme i být jiti, že je oubor bezchybý, jiak i tam zaeeme chybu ( xi x) rozptyl (variace) - i - protá forma x) i ( xi - vážeá forma - průměrá čtvercová odchylka od průměru měrodatá odchylka (tadard deviatio) - variačí koeficiet - relativí charakteritika variability V 00[ %] x - použití pro rovávací účely (růzé měré jedotky) - do 60% přiměřeé, ad 60% vyoká kolíavot Kvatily - číla, která dělí oubor eřazeý podle velikoti, a určitý počet tejě obazeých (početích) čátí - kvartily - rozdělí oubor a 4 tejě početé čáti - jou to 3 číla -> ~ x ~ 0, 5 x ~ 0, 50 x 0, 75 dolí kvartil (. kvartil) mediá horí kvartil (3. kvartil) - pod dolím kvartilem leží 5% - pod horím kvartilem leží 75% -decily - rozdělí eřazeý oubor a 0 tejě početých čátí -> x ~ 0,x0,... ~ 0, 9 - percetily - rozdělí oubor a 00 tejě početých čátí x mi, ~ x, ~ x, ~ x 0,5 0,75, xmax - pětičíelý ouhr (five-umber ummary) Joh Tukey - průzkumová aalýza dat (Exploratory Data Aalyi) - zaměřuje e a popáí ejdůležitějších vlatotí, ale hlavě zvláštotí daého ouboru (etypické hodoty) - boxplot - box-ad-whiker plot - krabička vouy (vouatá krabička) - mediá miimum maximum. kvartil 3. kvartil ººº odlehlá pozorováí (outlier) úečky vybíhají maximálě do velikoti,5 áobku kvartilového rozpětí,5/qr pef-ifo.wz.cz - 3 - Chrity
Matematická tatitika I předášky IQR ~ x ~ 0,75 x0, 5 (kvaritlové rozpětí) (iterquartile rage),5/qr - 3/QR - odlehlá pozorováí leží-li za jou to extrémy (extreme) - obvykle e do ouboru dotali omylem, měli bychom to důkladě prověřit boxplot - mediáem iformuje o tředu - kvartilovým rozpětím iformuje o variabilitě - iformuje o tom, zda e objevily hodoty, které ejou v pořádku - iformuje o tom, zda jou hodoty kolem tředové hodoty rozmítěy ouměrě ebo e - etejá délka úeček, mediá eí uprotřed - grafické vyjádřeí pětičíelého ouhru tem-ad-leaf diplay - toek lity - kombiuje jedoduchou grafickou podobu ouboru oučaě jeho číelým vyjádřeím V áhodém výběru 5 tudetů, byli tudeti dotazovái a dobu, kterou potřebovali a zpracováí určitého domácího úkolu. Výledky v miutách jou áledující: 3 6 45 8 49 9 38 4 63 46 4 4 37 40 64 47 34 30 45 8 33 45 6 4 30 9 8 8 9 6 8 4 4 6 8 3 8 7 4 0 3 0 3 0 0 3 4 7 8 4 5 9 6 0 7 5 5 4 0 5 5 5 6 7 9 5 5 - emigrafický protředek 6 3 4 6 3 4 výhoda: mám grafickou předtavu a oučaě vidím všechy hodoty (arozdíl od hitogramu) Statitická idukce - předtavuje oubor metod, které protředictvím zkoumáí výběrového ouboru umožňují formulovat úudky o vlatotech základího ouboru výběrový základ. oubor - teorie odhadu - tetováí tatitických hypotéz Typy áhodého výběru: - protý áhodý výběr - základí, ejjedodušší typ - vlatoti: - je to přímý výběr (vybíráme přímo tatitické jedotky, e jejich oubory) - provádíme ho z etříděého základího ouboru - všechy jedotky mají tejou pravděpodobot výběru - způob: - loováí - tabulky áhodých číel - geerátory áhodých číel - výběr opakováím - vybraá jedotka e vrací zpět do ouboru - výběr bez opakováí - vybraá jedotka zůtává trvale mimo oubor pef-ifo.wz.cz - 4 - Chrity
Matematická tatitika I předášky - ložeé výběry - jou charakteritické tím, že e ze základího ouboru vytvoří určité dílčí oubory a zjišťováí e provádí v rámci těchto dílčích ouborů - tratifikovaé (oblatí) - výběry počívají v tom, že celý základí oubor rozdělíme podle určitého hledika a ěkolik dílčích ouborů, které e azývají oblati (trata) a z těchto kupi e pořídí ezávilé áhodé výběry - používají e tehdy, když celý základí oubor je začě eourodý a odhady prováděé protým áhodým výběrem by měli malou přeot - rozděleí a oblati provádíme tak, aby každá oblat byla homogeějším celkem tz. aby měla meší variabilitu ledovaého tatitického zaku, ež celý základí oubor - vícetupňové - výběry e používají tehdy, jetliže pracujeme e základími oubory jejichž jedotky jou začě protorově rozptýleé, tuto protorovou rozptýleot omezujeme tím, že tatitické jedotky evybíráme přímo, ale v ěkolika tupích, ejčatěji ve dvou tupích (dvoutupňový výběr), méě čato ve třech tupích (trojtupňový výběr), a velmi zřídka ve čtyřech tupích (čtyřtupňový) - dvoutupňový - vybíráme v. tupi áhodě přirozeé kupiy tatitických jedotek - primárí jedotky - ve vybraých jedotkách primárích, pak vybíráme jedotky. tupě - ekudárí jedotky, které předtavují vlatí jedotky šetřeí Teorie odhadu - bodový odhad - itervalový odhad - ze základího ouboru o rozahu N, který má průměr μ a rozptyl δ, byl vybrá áhodý výběr x, x,... x - charakteritiky základího ouboru tz. průměr μ a rozptyl δ jou kotaty, jejichž hodoty ezáme a chceme je odhadout pomocí uvedeého áhodého výběru - začeí: základí oubor výběrový oubor rozah N arit. průměr μ x rozptyl δ Bodový odhad - aha odhadout jedím čílem - charakteritiky základího ouboru - parametry (kotaty) N N! N 00 0!( N )! - výběrové charakteritiky (apř. průměr, rozptyl, měrodatá odchylka atd.) jou áhodé veličiy - charakteritiky základího ouboru (parametry) e ouborě ozačují řeckým pímeem Θ (théta) - charakteritiky výběrového ouboru (áhodé veličiy) e ozačují ymbolem T a azývají e tatitiky T f(x, x,..., x ) - výběrové hodoty (Statitika T předtavuje fukci výběrových hodot) bodový odhad charakteritiky Θ Θ ~ T - aby tatitika T dával kvalití bodový odhad parametru Θ, muí plňovat určité vlatoti, základím a miimálím požadavkem, jemuž by měla vyhovovat je tzv. etraot odhadu - tatitika T dává etaý (ezkreleý) odhad parametru základího ouboru Θ, jetliže platí E(T) Θ Θ - T - chyba odhadu E(Θ-T) 0 - požadavek zameá, že e chyby v odhadu vyruší (elimiují) - Θ kotata, T áhodá veličia E(Θ-T) Θ - E(T) 0 > E(T) Θ - požadavek etraoti odhadu vyjadřuje kutečot, že tatitika T edává při odhadu parametru Θ ytematické chyby, ale že při tomto pef-ifo.wz.cz - 5 - Chrity
etraý odhad průměru základího ouboru μ μ ~ x x i i? E ( x) μ i i i Matematická tatitika I předášky odhadu vzikají pouze epodtaté áhodé chyby, které e ve vém průměru vyruší E( x ) E( xi ) ( μ + μ +... + μ) μ μ > výběrový arit. průměr x je kotata etraý odhad rozptylu základího ouboru δ μ etraým odhadem průměr zákl. ouboru μ δ ~ ( x i x) - výběrový rozptyl i? E ( ) δ E( ) E( ( x i x) )... δ i ( x i x) i E ( xi x) ) i - popi ( δ δ -> eí etraým odhadem zákl. ouboru je zkreleým - odhad > tímto e budeme zabývat Itervalový odhad parametrů základího ouboru iterval polehlivoti (T, T ) (cofidece iterval) tatitiky (áhodé veličiy, jejichž kokrétí hodoty jou vypočtey z výledků přílušého áhodého výběru) - budeme chtít odhadou parametr Θ základího ouboru P(T < Θ < T ) - α α - hladia výzamoti (igificace level, probability level) α 0,05 - pětiprocetí hladia výzamoti α 0,0 - jedoprocetí hladia výzamoti α 0,05-95% iterval polehlivoti α 0,0-99% iterval polehlivoti - α - koeficiet polehlivoti (polehlivot) - polehlivot je pravděpodobot, že iterval dobře vytihe parametr základího ouboru přeot odhadu - čím bude iterval kratší, tím bude mít větší přeot - budeme-li ižovat polehlivot, bude e iterval zkracovat a aopak pef-ifo.wz.cz - 6 - Chrity
Matematická tatitika I předášky Itervalový odhad průměru základího ouboru μ - je dá áhodý výběr x, x,..., x, který byl poříze ze základího ouboru rozděleím ormálím N(μ, δ ) x - tatitický zak a) odhad průměru μ při zámém rozptylu δ - μ - ezámá kotata - δ - zámá hodota - iterval polehlivoti pro μ ( x Δ, x + Δ ) - příputá chyba δ Δ uα u α - kritická hodota ormálího rozděleí, kterou hledáme v tabulkách kritických hodot ormovaého ormálího rozděleí N(0;) pro zvoleou hladiu výzamoti α u 0,05,96 u 0,0,58 u 0,,645 b) odhad průměru základího ouboru μ při ezámém rozptylu δ - je dá áhodý výběr x, x,..., x, který byl poříze ze základího ouboru rozděleím N(μ, δ ) - průměr μ a rozptyl δ jou ezámé kotaty - protředictvím uvedeého áhodého výběru chceme zkotruovat itervalový odhad průměru základího ouboru μ - iterval polehlivoti ( x Δ, x + Δ ) - příputá chyba Δ tα ( ) ke je výběrová měrodatá odchylka tz. i ( x i x) t α(-) je kritická hodota Studetova t-rozděleí, kterou hledáme v tabulkách pro zvoleou hladiu výzamoti α pro f - tupňů voloti Balicí automat určitých potraviových porcí je eříze a hodotu 50g, pro poouzeí kvality eřízeí bylo áhodě odebráo 6 vzorků a a jejich základě byly vypočtey: výběrový průměr - x 50, 9g výběrová měrodatá odchylka - 0,4707g Na základě těchto výledků je třeba zkotruovat 95% iterval polehlivoti pro průměrou hmotot všech baleých porcí. 6 α 0,05 ( x Δ, x + Δ ) t 0,05 (5),3 0,4707 Δ,3 0,508 0,5 6 (50,9-0,5; 50,9 + 0,5) (49,968; 50,470) - 95% iterval polehlivoti - teto iterval 95% pravděpodobotí pokrývá hodotu základího ouboru μ - oboutraý iterval polehlivoti ( x Δ, x + Δ ) - jedotraé itervaly polehlivoti: - pravotraý iterval polehlivoti (-, x + ) - levotraý iterval polehlivoti ( x, + ) δ Δ u α, jetliže záme δ Δ tα ( ), jetliže ezáme δ pef-ifo.wz.cz - 7 - Chrity
Matematická tatitika I předášky Pravotraý iterval polehlivoti pro průměrou hmotot automaticky dávkovaých balíčků 6 x 50,9 0,4707 α 0,05 t α(-) t 0,(5),753 0,4707 Δ,753 0,06 6 x + 50,9 + 0,06 50,45g - vymezuje ejpravděpodobější maximálí průměrou hodotu ( ) ( ), χ α χ α ( ) ( ) - výběrový rozptyl - tabulkové kritické hodoty rozděleí χ (chí-kvadrát) příputá chyba itervalového odhadu průměru základ. ouboru u δ α, v případě zámého rozptylu δ t ( ) α, v případě ezámého rozptylu δ - předepaá (daá hodota) δ Δ uα > Určováí rozahu výběru u β δ Δ Δ α ( ) t Metoda dvoufázového áhodého výběru. fáze (. etapa) - provedeí předvýběru, tz. provedeí malého áhodého výběru o rozahu m a a základě tohoto áhodého výběru určíme výběrovou měrodatou odchylku v tabulkách Studetova rozděleí ajdeme kritickou hodotu t α ( m ) m i ( x i x) tα Určíme hodotu : Δ a) > m >. fáze, která počívá o doplěí velikoti předvýběru o dalších - m jedotek a požadovaý rozah b) m 6 x 50,9 0,4707 0,508 t 0,05(5),3 95% it. polehlivoti pro průměr μ (49,968 ; 50,470) / 0,54? a pef-ifo.wz.cz - 8 - Chrity
Matematická tatitika I předášky,3 0,4707 64 0,54 64-6 48 Δ α ( ) t Při výrobě žárovek, byly provedey laboratorí zkoušky živototi 0 žárovek. Z výledků zkoušek byl vypočte průměr x 050 hod 453 Odhaděte rozptyl základího ouboru pomocí 95% itervalu polehlivoti. 0 ( ) ( ) iterval polehlivoti pro rozptyl δ χ α χ ( ) α ( ) α 0,05 χ 0,05(9) 9,03 χ 0,975(9),7 9 453 9 453 ; 9,03,7 (9649,7;38440) 95% it. pol. pro rozptyl δ 95% iterval polehlivoti pro měrodatou odchylku δ (40,8;37,08) Iterval polehlivoti pro průměr, rozptyl, případě měrodatou odchylku, kotruujeme jetliže pracujeme e zaky kvatitativími. V případě zaků kvalitativích jejichž jedotlivé variaty, jou vyjádřey lově, ikoliv číelě eí možé průměr případě rozptyl počítat. Hlaví tatitickou charakteritikou kvalitativích zaků je relativí četot výkytu ledovaé variaty kvalitativího zaku. Itervalový odhad relativí četoti - je dá áhodý výběr o rozahu, ve kterém jme a jeho jedotkách ledovali ějaký kvalitativí zak A. Jetliže teto zak e vykytl u m jedotek, předtavuje podíl m/ výběrovou relativí četot (podíl, proceto) výkytu zaku A. Výběrová relativí četot m/ předtavuje hotový odhad relativí četoti v základím ouboru p (π) m m Δ; + Δ oboutraý iterval polehlivoti pro relativí četot - příputá chyba m m ( ) Δ u α u α - krit. hodota ormál. rozděleí N(0,) Jedotraé itervaly polehlivoti pro relta. četoti a) pravotraý iterval (-, m/ + ) b) levotraý iterval (m/ -, ) pef-ifo.wz.cz - 9 - Chrity
Matematická tatitika I předášky u Δ α m m ( ) Při kotrole data potřeby maové kozervy ve kladech produktů maého průmylu bylo áhodě vybráo 30 kozerv a zjištěo, že 59 z ich má prošlou záručí lhůtu. a) taovte 95% oboutraý iterval polehlivoti, pro odhad proceta kozerv prošlou záručí lhůtou b) jaký je ejmeší podíl kozerv prošlou záručí lhůtou c) jetliže ve kladu je celkem 30000 kozerv, jaké bude miimálí možtví kozerv prošlou záručí lhůtou 30 m 59 m/ 59/30 0,84 (t.j. 8,4%) a) α 0,05 u α,96 0,84 0,86 Δ,96 0,04 30 (0,84-0,04;0,84 + 0,04) (0,4;0,6) t. j. (4,%;,6%) b) m/ - m Δ Δ u 0, m m ( ) 0,84 0,86 Δ,645 0,0356 30 0,84 0,0356 0,48 t. j. 4,8% c) N 30000 30000 0,48 4440 Itervalové odhady v případě výběrů bez opakováí N x m/ Itervalový odhad průměru v případě výběrů bez opakováí ( x Δ, x + Δ) δ N Δ uα, jetliže záme δ N Δ N α ( ), jetliže ezáme δ N t Itervalový odhad relativí četoti v případě výběrů bez opakováí m m ( Δ, + Δ) pef-ifo.wz.cz - 0 - Chrity
Matematická tatitika I předášky Δ u α m m ( ) N N Př.: Při kotrole jakoti bylo z velké érie áhodě vybráo 00 výrobků a mezi imi bylo alezeo vadých a) etrojte 95% iterval polehlivoti pro podíl vadých výrobků v celé érii b) jak e změí meze itervalu polehlivoti jetliže vybíráme 00 výrobků ze érie, která obahuje 000 kuů a) 00 m m/ /00 0,06 (6%) α 0,05 (m/ -, m/ + ) u 0,05,96 Δ u α m m ( ),96 (0,06-0,033; 0,06 + 0,033) (0,07; 0,093) tz. (,7%; 9,3%) 0,06 0,94 00 0,033 b) N 000 00 m/ /00 0,06 m 0,06 0,94 000 00 Δ,96 00 000 (0,09;0,09) tz. (,9%; 9,%) 0,03 Tetováí tatitických hypotéz Statitická idukce - teorie odhadu - tetováí tatitických hypotéz - předtavuje oubor metod, pomocí ichž můžeme pomocí áhodého výběru formulovat určité závěry o vlatotech základího ouboru Statitická hypotéza - je určité tvrzeí o charakteritikách ebo tvaru pravděpodobotího rozděleí základího ouboru - hypotézy které e týkají charakteritik základího ouboru e azývají parametrické, hypotézy o tvaru pravděpodobotího rozděleí základího ouboru e azývají eparametrické - tetem tatitické hypotézy budeme azývat potup, kterým a základě výběrového ouboru budeme ověřovat platot zformulovaé hypotézy Nulová hypotéza H 0 Alterativí hypotéza H 0 : Θ Θ 0 - předpokládaá (teoretická) hodota charakteritiky základ. ouboru parametr (ta. charakteritika) základího ouboru A: Θ Θ 0 oboutraá alterativa A: Θ > Θ 0 pravotraá alterativa A: Θ < Θ 0 levotraá alterativa jedotraé alterativy Chyby při tetováí tatitických hypotéz a) chyba. druhu - počívá v zamítutí ulové hypotézy, která je ve kutečoti prává b) chyba. druhu - počívá v přijetí ulové hypotézy, která je ve kutečoti eprává Pravděpodobot chyby. druhu e azývá hladia výzamoti a začí e α pef-ifo.wz.cz - - Chrity
Pravděpodobot chyby. druhu e začí β - β íla tetu Tetové kritérium T f(x, x,..., x ) Kritický obor Obor přijetí Matematická tatitika I předášky - jetliže vypočteá hodota tetového kritéria pade do tzv. kritického obvodu, bude e ulová hypotéza zamítat a přijímat hypotéza alterativí - jetliže aopak pade do oboru přijetí, bude to zameat, že výběrová data ejou v rozporu tetovaou hypotézou Jedovýběrový t-tet - je dá áhodý výběr x, x,..., x, který byl vybrá ze základího oboru rozděleím ormálím N(μ,δ ). Na základě tohoto áh. výběru je třeba tetovat ulovou hypotézu H 0 : μ μ 0 a) záme rozptyl základího ouboru δ Tetové kriterium x μ U 0 δ Rozhodovací pravidla: jetliže U > u α > zamítáme H 0: μ μ 0 a přijímáme A: μ μ 0 jetliže U > u α > zamítáme H 0: μ μ 0 a přijímáme A: μ > μ 0 jetliže U < -u α > zamítáme H 0: μ μ 0 a přijímáme A: μ < μ 0 x μ t 0 Rozhodovací pravidla: jetliže t > t α(-) > zamítáme H 0: μ μ 0 a přijímáme A: μ μ 0 jetliže t > t α(-) > zamítáme H 0: μ μ 0 a přijímáme A: μ > μ 0 jetliže t < -t α(-) > zamítáme H 0: μ μ 0 a přijímáme A: μ < μ 0 Př.: Společot, která doručuje záilky tvrdí, že doručí záilku v průměru za 8 miut. Pro ověřeí tohoto tvrzeí bylo áhodě zkotrolováo 00 záilek a zazameá ča dodáí. Z těchto výběrových výledků bylo vypočteo: x 3,5 mi - 00 5mi H 0 : μ μ 0, kde μ 0 8 t: μ μ 0 x μ0 3,5 8 t 00 7 5 jetliže t > t α(-) > zamítáme H 0: μ μ 0 a přijímáme A: μ μ 0 t 7 > t 0,05(99), 99 zamítáme H 0 : μ 8 a přijímáme A: μ 8 Tet hypotézy o hodotě rozptylu základího ouboru δ - je dá áhodý výběr x, x,..., x, který byl poříze ze základího ouboru rozděleím ormálím N (μ,δ ) - průměr μ základího ouboru a rozptyl δ jou ezámé kotaty. Na základě uvedeého výběru je třeba tetovat ulovou hypotézu H 0 : δ δ 0, kde δ 0 je předpokládaá (teoretická) hodota rozptylu δ - tetové kriterium χ ( ) δ 0 rozhodovací pravidlo: jetliže χ > χ α(-) > zamítáme H 0 : δ δ 0 a přijímáme alterativí hypotézu A: δ > δ 0 pef-ifo.wz.cz - - Chrity
Matematická tatitika I předášky Variabilita teploty vzduchu a určitém pracovišti je charakterizováa měrodatou odchylkou 3 C. Bylo provedeo 30 kotrolích měřeí teploty a ze zjištěých údajů byl vypočte výběrový rozptyl 0,7. Je třeba pooudit, zda tato hodota eigalizuje zvýšeí variability teploty vzduchu. 30 0,7 ( 3,7 C) δ 0 3 C δ 0 9 H 0 : δ δ 0 9 A: δ > δ 0 ( ) χ δ α 0,05 χ 0,05(9) 0 4,557 χ 34,478 < χ 9 0,7 34,478 9 0,05(9) 4,557 > ulovou hypotézu H0: δ 9 ezamítáme - to zameá kotrolí měřeí eprokázala zvýšeí variability teploty vzduchu Tet hypotézy o hodotě relativí četoti - uvedeý tet e používá v těch ituacích, kdy a jedotkách tatitického výběrového ouboru ledujeme ějaký kvalitativí tatitický zak - výběrová relativí četot m/ H 0 : p p 0 p... relativí četot v základím ouboru p 0... předpokládaá (teoretická) hodota relativí četoti u m p0 p ( p 0 0) - rozhodovací pravidla: jetliže u > u α > zamítáme H 0 : p p 0 a přijímáme A: p p 0 jetliže u > u α > zamítáme H 0 : p p 0 a přijímáme A: p > p 0 jetliže u <-u α > zamítáme H 0 : p p 0 a přijímáme A: p < p 0 uα, uα jou kritické hodoty ormálího rozděleí N(0;), hledáme je v tabulkách Výrobce předpokládá, že o jeho ový výrobek bude mít zájem 40% poteciálích zákazíků, pro ověřeí tohoto předpokladu byl provede průzkum, kde ze 70% áhodě oloveých repodetů o výrobek projevilo zájem 5 dotázaých. Je třeba rozhodout zda tato data jou v ouladu předpokladem výrobce. H 0 : p p 0, kde p 0 0,4 relativí četot (proceto) zákazíků v základím ouboru 70 m 5 m/ 5/70 0,357 (35,7%) 0,357 0,4 u 0,734 0,4 0,6 70 u 0,734 < u 0,05,96 > H 0 ezamítáme - tet eprokázal, že by proceto zájemců bylo jié ež předpokládá výrobce Dvouvýběrový t-tet - jou dáy dva ezávilé výběry x,x,..., x y, y,..., y, které byly pořízey ze základích ouborů rozděleím ormálím N(μ, δ ) repektive N(μ, δ ). pef-ifo.wz.cz - 3 - Chrity
Matematická tatitika I předášky Průměry μ a μ základích ouborů jou ezámé kotaty. Pomocí uvedeých áhodých výběrů chceme tetova ulovou hypotézu H 0 : μ μ a) tet při zámých rozptylech základích ouborů δ a δ x y - tetové kriterium U δ δ + m - rozhodovací pravidla: jetliže U > u α > zamítáme H 0 : μ μ a přijímáme A: μ μ jetliže U > u α > zamítáme H 0 : μ μ a přijímáme A: μ > μ jetliže U < -u α > zamítáme H 0 : μ μ a přijímáme A: μ < μ b) tet při ezámých rozptylech δ a δ - je uto ejprve ověřit dodatečý předpoklad, že δ δ. Teto předpoklad e ověřuje pomocí tzv. F-tetu. - tetové kriterium pro F -tet: F, kde ( a jou výběrové rozptyly uvažovaých áhodých výběrů) jetliže F < F α[m-;-] > dodatečý předpoklad δ δ budeme považovat za platý. F α[m-;-] - tabulkové kritické hodoty, které hledáme v tabulkách tzv. F-rozděleí pro hladiu výzamoti α a pro f m - a f - tupňů voloti x y - tet hypotézy H 0 : μ μ e pak provádí pomocí tetového kriteria t, kde + m [( m ) + ( ) ] m + - rozhodovací pravidla: jetliže t > t α(m+-) > zamítáme H 0 : μ μ a přijímáme A: μ μ jetliže t > t α(m+-) > zamítáme H 0 : μ μ a přijímáme A: μ > μ jetliže t < -t α(m+-) > zamítáme H 0 : μ μ a přijímáme A: μ < μ t α(m+-) kritické t α(m+-) hodoty Studetova rozděleí pro zvoleou hladiu výzamoti α a pro f m + - tupňů voloti (hledáme je v tabulkách) Je třeba pooudit, zda dva typy automobilů e výzamě liší v průměré potřebě bezíu. Bylo áhodě vybráo po 0 automobilech každého typu a při rychloti 90 km/h aměřey áledující hodoty potřeby (v litrech/00 km). typ: 6, 7,3 6,3 5,5 6,8 6,5 6,3 6,6 7, 6,5. typ: 5,7 5,0 5,3 5,6 6, 5,3 5,8 5,7 5,4 5,5 H 0 : μ μ A 0 : μ μ ezávilé výběry rozptyly δ a δ základího ouboru ezáme Vylovíme dodatečý předpoklad δ δ a teto předpoklad ověříme F-tetem m 0 0 x 6,5 y 5, 54 0,5 0,096 F, pef-ifo.wz.cz - 4 - Chrity
0,5 F,65 0,096 F,65 < F (9;9) 0, 05 3,8 Matematická tatitika I předášky > předpoklad δ δ jme ezamítli a můžeme hypotézu H 0 : μ μ tetovat dvouvýběrovým t-tetem Tetové kriterium x y t + m [( m ) + ( ) ] [ 9 0,5 + 9 0,096] 0, 47 m + 8 6,5 5,54 t 5,0 0,47 0 t 5,0 > t 0,05 (8),0 > H 0 : μ μ zamítáme a přijímáme A: μ μ a) tet hypotézy H 0 : μ μ při zámých rozptylech δ a δ b) tet hypotézy H 0 : μ μ při ezámých rozptylech δ a δ, jetliže δ δ c) tet hypotézy H 0 : μ μ při ezámých rozptylech δ a δ, jetliže δ δ (t-tet při etejých rozptylech, t-tet při heterogeí variaci, Welchův tet) Tetové kriterium t x y m + t α (f) jetliže t > t α (f) > zamítáme H 0 : μ μ a přijímáme A: μ μ jetliže t > t α (f) > zamítáme H 0 : μ μ a přijímáme A: μ > μ jetliže t < -t α (f) > zamítáme H 0 : μ μ a přijímáme A: μ < μ + m f m + m d) t-tet pro závilé (párové) výběry (párový t-tet) Dva závilé (párové) výběry xi yi x y x y : : x y H 0 : μ μ Tetové kriterium d t d pef-ifo.wz.cz - 5 - Chrity
Matematická tatitika I předášky Rozhodovací pravidla: jetliže t > t α(-) > zamítáme H 0 : μ μ a přijímáme A: μ μ jetliže t > t α(-) > zamítáme H 0 : μ μ a přijímáme A: μ > μ jetliže t < -t α(-) > zamítáme H 0 : μ μ a přijímáme A: μ < μ Př.: V 0-ti áhodě vybraých vzorcích povrchové vody byl dvěma metodami určová obah duičaů. Je třeba pooudit, zda obě metody vedou ke tejým výledkům. Metoda A Metoda B xi yi di xi - yi 47 53-6 47,5 5-4,5 53 48 5 46,5 54-7,5 46 53-7 54 47 7 54 47,5 6,5 47 53-6 46 5-6 48 53-5 [mg/l] H 0 : μ μ A: μ μ d,35 d 5,958 d,35 t 5,958 d 0,47 t,47 < t 0,05 (9),6 > H 0 : μ μ ezamítáme záme δ a δ - variata a) ezávilé výběry δ δ (F-tet) - b) H 0 : μ μ ezáme δ a δ závilé výběry - párový t-tet - d) δ δ (F-tet) - c) Tet hypotézy rovoti dvou relativích četotí H 0 : p p - p jou relativí četoti v. repektive. základím ouboru Tetové kriterium m m u p( p) ( + ) m + m p + m m - výběrové relativí četoti jetliže u > u α > zamítáme H 0 : p p a přijímáme A: p p jetliže u > u α > zamítáme H 0 : p p a přijímáme A: p > p jetliže u <-u α > zamítáme H 0 : p p a přijímáme A: p < p Ověřovala e účiot dvou chemických potřiků proti určité chorobě tabáku. Z 00 rotli ošetřeých potřikem A jich bylo chorobou potižeo 3 z 300 rotli u kterých byl apliková potřik B, jich bylo zaažeo 7. Je třeba pooudit, zda tyto údaje vědčí o vyšší účioti potřiku B. 00 300 m 3 m 7 m / 3/00-0,5 (,5%) m / 7/300 0,09 (9%) H 0 : p p A: p > p pef-ifo.wz.cz - 6 - Chrity
m m u p( p) + m + m 3 + 7 p 0, + 00 + 300 0,5 0,09 u 0,93 0, 0,9( + ) 00 300 α 0,05 u α u 0,,645 u 0,93 < u 0,,645 Matematická tatitika I předášky hypotézu H 0 : p p ezamítáme, tz., že a základě zjištěých údajů e eprokázala vyšší účiot potřiku B Aalýza rozptylu (Aalyi of Variace ANOVA) H 0 : μ μ... μ m, m> m ezávilých áhodých výběrů Pokuý plá Výběr Řádkové Řádkové oučty xi. průměry *xi. x x... xj... x x. x. x x... xj... x x. x. i xi xi... xij... xi xi. xi. m xm xm... xmj... xm xm. xm. * V celém loupečku jou průměry a proto jou všecha x pruhem. Tečkový způob zápiu oučtů a průměrů x. x + x +... + x x j j x. j x j Vyvážeý (ortogoálí) pokuý plá Nevyvážeý pokuý plá - alepoň jede z výběrových ouborů má jiý rozah ež otatí H 0 : μ μ... μ m R. Fiher matematický model aalýzy rozptylu x ij μ + a i + e ij, i,...,m μ i μ... obecá tředí hodota j,..., a i... efekt i-tého řádku e ij... áhodé chyby Ekvivaletí zápi ulové hypotézy: H 0 : a a... a 0 pef-ifo.wz.cz - 7 - Chrity
Matematická tatitika I předášky Tetováí ulové hypotézy H 0 : μ μ... μ m probíhá v určité logické poloupoti, jejíž jedotlivé etapy jou hruty do tzv. tabulky aalýzy rozptylů Tabulka aalýzy rozptylu Variabilita Součet čtverců Stupě voloti Rozptyl Tetové kriterium m Mezi třídami S x i. C m - Uvitř tříd (reziduálí) S r i S S m ( - ) S m Sr r m( ) F S x Celkové ij C m - i, j r x.. C m x.. - celkový oučet všech hodot v pokuém pláu r - reziduálí rozptyl Rozhodovací pravidlo: Jetliže F > F α [m - ; m( - )] > zamítáme ulovou hypotézu H 0 : μ μ... μ m. F α [m - ; m( - )] - kritická hodota F-rozděleí, hledáme ji v tab. pro zvoleou hladiu výzamoti α a pro f m - a f m( - ) tupňů voloti Aalýza rozptylu kočí pouze tehdy, jetliže ulová hypotéza ebyla zamítuta, pokud ulová hypotéza byla zamítuta, je třeba pokračovat detailějším vyhodoceím výledkům užitím ěkteré z metod tzv. mohoáobého porováváí. Metody mohoáobého porováváí (multiple compariou) S-metoda (Scheffé) x x > kritická hodota pro S-metodu i. j. kritická hodota + ( m ) mi j - rozah. výběru - rozah. výběru... m - rozah m. výběru r F α Nevyvážeý pokuý plá Pozorovaé hodoty xij Řádkové oučty Řádkové průměry x x...... x x. x. x x...... x x. x. xm xm...... xmm xm. xm. Výpočetí tvary oučtů čtverců v tabulce aalýzy rozptylu i začeí tupňů voloti e oproti tabulce aalýzy rozptylu užívaé u vyvážeého pokuého pláu poěkud pozměí pef-ifo.wz.cz - 8 - Chrity
Součty čtverců S S r m i x i. i C m - S - m S S ij C i j Stupě voloti m - Matematická tatitika I předášky + +... + m V rámci určitého marketigového průzkumu byly ze tří věkových kupi (A: 6-5 let, B: 6-45 let, C: 46-60 let) áhodě vybrái vždy 4 repodeti a dotázái kolik by byli ochoti zaplatit za určitý typ luečích brýlí. Zíkáy byly áledující výledky: Věková kupia Výledky Součet xi. Průměr xi. A 600 650 650 700 600 650 B 500 550 550 500 00 55 C 550 600 550 600 300 575 Je třeba pooudit, zda tyto tři kupiy e tatiticky výzamě liší ve vých odpovědích? H 0 : μ A μ B μ C pokuý plá je vyvážeý m 3 4 Tabulka aalýzy rozptylu Variabilita Součet čtverců Stupeň voloti Rozptyl Tetové kriterium mezi třídami S3666,7 5833,3 F4,5 rezidualí Sr0000 9, celkové S4666,7-7000 S xi. C (600 + 00 + 300 ) 3666,7 4 3 4 X.. C - korekčí faktor m 7000 S x ij C (600 + 650 +... + 600 ) 4666, 7 i ij 3 4 S S 4666,7 3666,7 0000 S r F 4,5 > F 0,05[,9] 4,6 > ulovou hypotézu H 0 : μ A μ B μ C zamítáme a hladiě výzamoti α 0,05 S-metoda Průměry B C A A - B 5 A - C 75 B - B - C 50 Kritická hodota pro S-metodu: +, 4,6 68,8 4 4 pef-ifo.wz.cz - 9 - Chrity
Matematická tatitika I předášky - S-metoda je uiverzálí metoda, mohoáobého rováváí, která e dá používat pro libovolý typ pokuého pláu (tz. pro vyvážeý i evyvážeý pokuý plá), ale tato uiverzalita je provázeá též určitou evýhodou vlatotí, která počívá v poměrě malé íle S-metody T-metoda Kritická hodota pro T-metodu q [ m; f r ] r α - tejý rozah výběrů ve vyvážeém pokuém pláu a α - tabelovaé kritické hodoty tudetizovaého rezpěti q [ m; fr ], 4 0,05[3;9] Podmíky použiteloti aalýzy rozptylu:. ezávilot porovávaých výběrů. ormalita rozděleí aalyzovaých výběrů 3. hodé rozptyly aalyzovaých výběrů H 0 : δ A δ B δ C m - počet výběrů f r - počet tupňů voloti pro reziduálí rozptyl, 3,95 65,83 Cochramův tet max 666,67 G 0,5 A + B + C 666,67 + 833,33 + 833,33 G 0,5 < G α[m;-] G 0,05[3;3] 0,798 A 666,67 B 833,33 C 833,33 Parametrické tety Parametrické hypotézy Neparametrické tety Další důležitou vlatotí eparametrických tetů je jejich větší uiverzálot ve rováí parametrickými tety (mohou být používáy jak pro zaky kvatitativí tak pro zaky kvalitativí) a jitou předotí je i kutečot, že po výpočetí tráce jou velmi jedoduché, rychlé a eáročé pořadí (pořadová číla) xi 0, 5, 9, 00, 50 pořadí Ri, 3,, 5, 4 (rak) 0, 5, 9, 9, 00, 50 Dvouvýběrový Wilcoxoův tet (eparametrická obdoba dvouvýběrového t-tetu pro ezávilé výběry) Dva ezávilé výběry x, x,..., xm y, y,..., y Rx, Rx,..., Rxm Ry, Ry,..., Ry Vytvoříme oučty: Tx Rx + Rx +... + Rxm Ty Ry + Ry +... + Ry pef-ifo.wz.cz - 0 - Chrity
Vypočteme pomocé veličiy Ux a Uy podle vzorců: m( m + ) Ux m + Tx ( + ) Uy m + Ty Tetové kriterium: U mi (Ux, Uy) Rozhodovací pravidlo Jetliže U < Uα > zamítáme ulovou hypotézu Matematická tatitika I předášky Uα - kritická hodota pro dvouvýběrový Wilcoxoův tet (hledáme v tabulkách) Je třeba pooudit, zda životot určitých výrobků od dvou růzých výrobců e liší tatiticky výzamě ebo pouze áhodě. Náledující výledky předtavují životot výrobků v hodiách Výrobce A (xi) 340 440 30 358 40 Pořadí Rxi 4 6 9 Tx 3 Výrobce B (yi) 350 35 405 339 374 380 Pořadí Ryi 5 0 3 3 8 Ty 35 m 5 6 5 6 Ux 5 6 + 3 4 6 7 Uy 5 6 + 35 6 Tetové kriterium: U mi (Ux, Uy) mi (4, 6) 4 Pro α 0,05 a pro m 5, 6 ajdeme v tab. kritickou hodotu U 0,05 3 U 4 > U 0,05 3 > H 0 ezamítáme Wilcoxoův tet (eparametrická obdoba párového t-tetu pro závilé výběry) dva závilé výběry pořadí di xi yi di xi - yi + - x y d x - y x y d x - y......... x y d x - y W+ W- Tetové kriterium: W mi (W +, W - ) Rozhodovací pravidlo: Jetliže W < Wα > zamítáme H 0 Wα - kritická hodota pro Wilcoxoův tet, hledáme ji v tab. pro zvoleou hl. výz. α a pro - počet eulových diferecí Je třeba pooudit, zda dvě metody určováí obahu duičaů ve vzorcích povrchové vody vede ke tejým výledkům. pef-ifo.wz.cz - - Chrity
Matematická tatitika I předášky Metoda A Metoda B Pořadí di di xi - yi xi yi + - 47 53-6 5 47,5 5-4,5 53 48 5,5 46,5 54-7,5 0 46 53-7 8,5 54 47 7 8,5 54 47,5 6,5 7 47 53-6 5 46 5-6 5 48 53-5,5 W+ 8 W- 37 W 8 > W 0,05 8 > H 0 ezamítáme pef-ifo.wz.cz - - Chrity