Vysoké ueí techcké v Br Fakulta strojího žeýrství STATISTICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Zdek Karpíšek, CSc. Pehledový uebí tet pro doktorské studum BRNO 008
Pedášející: Doc. RNDr. Zdek Karpíšek, CSc. Cetrum pro jakost a spolehlvost ve výrob Odbor statstky a optmalzace Ústav matematky FSI VUT v Br E-mal: karpsek@fme.vutbr.cz Zdek Karpíšek 008 - -
OBSAH PEDMLUVA (4). NÁHODNÝ VÝBR A JEHO CHARAKTERISTIKY (5) Kotrolí otázky (9). ODHADY PARAMETR (0) Bodové a tervalové odhady (0) Odhady parametr ormálího rozdleí () Odhady parametru bomckého rozdleí (4) Píklady k procveí (5) Kotrolí otázky (7) 3. TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ (8) Statstcká hypotéza a její test (8) Testy hypotéz o parametrech ormálího rozdleí () Testy hypotéz o parametru bomckého rozdleí (6) Testy hypotéz o rozdleí (8) Neparametrcké testy hypotéz (3) Píklady k procveí (39) Kotrolí otázky (44) 4. REGRESNÍ ANALÝZA (45) Regresí fukce (45) Leárí regresí model (46) Píklady k procveí (53) Kotrolí otázky (57) 5. ANALÝZA ROZPTYLU (58) Motvace a základí pojmy (58) Aalýza rozptylu jedoduchého tídí (ANOVA ) (58) Píklady k procveí (64) Kotrolí otázky (66) 6. KATEGORIÁLNÍ ANALÝZA (67) Motvace (67) Pearsov test ezávslost a homogety (67) Píklady k procveí (70) Kotrolí otázky (7) - 3 -
LITERATURA (7) STATISTICKÉ TABULKY (75) DODATEK Základy popsé statstky (86) DODATEK teore pravdpodobost (00) PEDMLUVA Uebí tet obsahuje pehled metod ejastj používaých metod matematcké statstky a je pouze základí pomckou pro studum. Pro dvduálí pípravu ke zkoušce jsou do každé kaptoly zaazey eešeé píklady k procveí a kotrolí otázky. K prohloubeí zalostí se doporuuje lteratura ctovaá v tetu a uvedeá v závreé ást. Tabulková ást má sloužt k ešeí úloh a odhady parametr a testováí statstckých hypotéz. Dodatky a doplují uebí tet o základí formace z popsé statstky a teore pravdpodobost. Dkuj všem, kteí m pomohl ppomíkam a radam k píprav tohoto vydáí uebího tetu. Rád pjmu všechy podty a doporueí k jeho obsahu zpracováí. Bro, íje 008 Zdek Karpíšek - 4 -
ELEMENTY MATEMATICKÉ STATISTIKY NÁHODNÝ VÝBR A JEHO CHARAKTERISTIKY Matematcká (fereí, dukí) statstka poskytuje metody pro pops vel áhodého charakteru pomocí jejch pozorovaých hodot. Jedá se vlast o ureí vlastostí rozdleí pravdpodobost áhodé vely ebo áhodého vektoru a základ jejch pozorovaých hodot a v podstat jde o ešeí dvou základích úloh matematcké statstky: odhady parametr a rozdleí, testováí statstckých hypotéz o parametrech a rozdleích. Tyto úlohy se dle poteby kombují, když ap. odhadujeme ebo testujeme íselé charakterstky rozdleí, vyšetujeme závslost áhodých vel apod. Metody matematcké statstky jsou založey a ásledujících pojmech. Opakujeme-l -krát ezávsle pokus, jehož výsledkem je hodota áhodé vely X s dstrbuí fukcí F,, kde je reálý parametr (pípad vektor parametr aebo jejch fukce) daého rozdleí pravdpodobost, pozorujeme vlast áhodý vektor X X,..., X X X,..., X a pedpokládáme, že jeho složky jsou ezávslé áhodé vely X se stejou dstrbuí fukcí jakou má pozorovaá áhodá vela X. Náhodý vektor F se azývá áhodý výbr (z áhodé vely X ebo z jejího rozdleí pravdpodobost) a íslo je rozsah áhodého výbru. Aalogcky defujeme áhodý výbr z áhodého vektoru. Náhodý výbr má smultáí dstrbuí fukc ; F,..., ; F ;. íselý vektor,..., pozorovaá hodota složky X, soubor, který získáme p realzac áhodého výbru, kde je,...,, je statstcký soubor s rozsahem. Statstcký,..., je jak eeo pozorovaá hodota áhodého výbru X X X,...,, což zameá, že p opakovaých realzacích áhodého výbru obdržíme obec (a áhod) rzé statstcké soubory. Moža všech hodot áhodého výbru, tj. moža všech statstckých soubor, tvoí tzv. výbrový prostor. Fukce áhodého výbru T X,..., X je výbrová charakterstka ebo statstka. Její hodota a statstckém souboru t T je emprcká charakterstka ebo,..., pozorovaá hodota statstky T. Výbrovou charakterstku (statstku) T (a tím také - 5 -
emprckou charakterstku t) volíme tak, abývala a výbrovém prostoru s velkou pravdpodobostí hodot blízkých ezámé ebo pedpokládaé teoretcké charakterstce, ap. parametru pozorovaé áhodé vely X. Z toho vyplývá základí prcp statstcké dukce v matematcké statstce, který je schematcky vyjáde a obr... Náhodá vela X Teoretcká charakterstka Náhodý výbr (X,, X ) Výbrová charakterstka T(X,, X ) Statstcký soubor (,, ) Emprcká charakterstka t = T(,, ) Obr.. Používáme zejméa tyto výbrové charakterstky: ) výbrový prmr X X, ) výbrový rozptyl S X X, 3) výbrová smrodatá odchylka S S, 4) výbrový koefcet korelace R X XY Y SY S X pro áhodý výbr z áhodého vektoru (X, Y), kde S(X) a S(Y) jsou výbrové smrodaté odchylky áhodých vel X a Y. Základí vlastost výbrového prmru X a výbrového rozptylu S jsou: a) Jestlže pozorovaá áhodá vela X má stedí hodotu EX, pak EX EX. b) Jestlže pozorovaá áhodá vela X má rozptyl DX, pak DX D X X, X, ES DX. Hodoty výbrových charakterstk jsou emprcké charakterstky, které získáme po zpracováí statstckého souboru. Nap. artmetcký prmr je pozorovaá hodota - 6 -
výbrového prmru X apod. Tyto hodoty jsou však áhodé, jak eeo, emprcké charakterstky se p opakovaých realzacích áhodého výbru áhod mí. Avšak z pedcházejícího plye, že ap. pro rozptyl výbrového prmru DX 0, takže pro dostate velké je takka jst artmetcký prmr blízký ezámé stedí hodot EX 0 /. Ptom ale X pouze s rychlostí, což zameá, že ap. pro dosažeí dvojásobé pesost apromace ezámé stedí hodoty E X artmetckým prmrem musíme zvýšt rozsah áhodého výbru tykrát atd. Ve statstcké lteratue se hovoí o tzv. statstcké kletb. Protože, je ES D X D X hodot) od D X. Proto se mohdy defuje výbrový rozptyl Ŝ ve tvaru Sˆ S a pro teto výbrový rozptyl je ESˆ D sˆ s X X Statstka Ŝ má však vtší rozptyl ež statstka, ale pro velká (ádov 00 a více) je odchylku Ŝ a smrodatou odchylku statstckého souboru ŝ. Rzé defce uvedeých a) X má ormálí rozdleí N( ; ),, takže emprcké hodoty s se vzhledem ke skuteému (a obvykle ezámému) rozptylu astj vychylují doleva (do meších pak je X. Odpovídající rozptyl statstckého souboru rozdíl mez tmto statstkam zaedbatelý. Aalogcky defujeme výbrovou smrodatou charakterstk je uto respektovat p zpracováí statstckého souboru a PC pomocí statstckých program a také ve vzorcích jak pro odhady parametr, tak pro testováí statstckých hypotéz. Nejastj ešeé úlohy p aplkacích metod matematcké statstky se týkají pozorovaých áhodých vel s ormálím rozdleím pravdpodobost. Jestlže pozorovaá áhodá vela X má ormálí rozdleí N(; ), pak statstka: b) X má ormálí rozdleí N(0;), S. - 7 -
X c) má tzv. Studetovo rozdleí S( ) s stup volost, S azývaé též t-rozdleí, d) S má tzv. Pearsoovo rozdleí chí-kvadrát rozdleí. s stup volost, azývaé též Jestlže pozorovaá áhodá vela X má ormálí rozdleí N ( X ); ( X ) pozorovaá áhodá vela Y má ormálí rozdleí N ( Y); ( Y) a také áhodé výbry a) X X,,..., X Y ( X) ( Y) ( X) ( Y) a, X a Y jsou ezávslé Y,..., Y jsou ezávslé, pak statstka: má ormálí rozdleí N(0;), b) ( ) ( ) X Y X Y S ( X) S ( Y) Studetovo rozdleí S, má pro stejé rozptyly ( X ) ( Y ) c) S ( X) S ( Y) má pro stejé rozptyly ( X ) ( Y ) tzv. Fsherovo-Sedecorovo rozdleí F(, ) s a stup volost. Jestlže X, X,... je posloupost ezávslých áhodých vel s lbovolým stejým rozdleím pravdpodobost (ap. asymetrckým ebo dskrétím), které má stedí hodotu 0 a smrodatou odchylku 0, pak posloupost áhodých vel X 0 koverguje (v dstrbuc) k áhodé vel U s ormovaým ormálím rozdleím N(0;). Odtud plye, že p dostate velkém rozsahu áhodého výbru mžeme rozdleí pravdpodobost výbrového artmetckého prmru 0 X pro lbovolou pozorovaou áhodou velu X se stedí hodotou 0 a rozptylem 0 apromovat - 8 -
0 ormálím rozdleím N( 0; ). To také zameá, že p dostate velkém rozsahu mžeme staovt tervalový odhad ap. stedí hodoty 0 pozorovaé áhodé vely X s jým ež ormálím (dokoce ezámým) rozdleím pravdpodobost. Teto terval zkostruujeme ze získaého statstckého souboru a jeho spolehlvost (tj. pravdpodobost zachyceí 0 ) pak vyjádíme pomocí ormálího rozdleí pravdpodobost. Výše uvedeá tzv. statstcká rozdleí pravdpodobost jsou tabelováa (vz Statstcké tabulky a koc tohoto uebího tetu) a je také možo urt jejch hodoty pomocí Ecelu, profesoálích statstckých softwar a statstckých aplet a Iteretu. Detalí formace o výše uvedeých a dalších používaých statstkách, jejch rozdleích pravdpodobost a asymptotckých vlastostech lze alézt ap. v [], [3], [8], [5], [7], [30]. Kotrolí otázky. Jaké dv základí úlohy se eší v matematcké statstce? Uvete kokrétí píklady.. Defujte áhodý výbr a jeho realzac. 3. Defujte výbrovou charakterstku a emprckou charakterstku. 4. Popšte prcp statstcké dukce. 5. Popšte základí vlastost výbrového prmru a výbrového rozptylu. 6. Jaká základí tzv. statstcká rozdleí pravdpodobost používáme? 7. Jaké rozdleí pravdpodobost má výbrový prmr, jestlže pozorovaá áhodá vela má ormálí rozdleí? 8. Jakým rozdleím pravdpodobost mžeme pro dostate velký rozsah áhodého výbru apromovat rozdleí výbrového prmru? - 9 -
ODHADY PARAMETR Bodové a tervalové odhady Pedpokládáme, že pozorovaá áhodá vela X (pípad áhodý vektor) má dstrbuí fukc F(,) zámého tvaru, kde je parametr (reálé íslo ebo reálý vektor) rozdleí pravdpodobost X. Skuteou hodotu parametru obvykle ezáme a odhadujeme j pomocí získaého statstckého souboru. Parametrem mže také být íselá charakterstka áhodé vely (áhodého vektoru), ap. stedí hodota E(X), rozptyl D(X), koefcet korelace (X,Y) apod., pípad tzv. parametrcká fukce, tj. fukce parametr rozdleí. Moža všech uvažovaých hodot parametru se azývá parametrcký prostor. Podle zpsobu provedeí rozdlujeme odhady a odhady bodové a tervalové. Odhadem T parametru je statstka T(X,..., X ), která a celém parametrckém prostoru abývá hodot blízkých parametru. Používáme zejméa tyto odhady:. Odhad T parametru je estraý (evychýleý), jestlže jeho stedí hodota E(T) =. Pokud je E(T), jde o straý (vychýleý) odhad.. Je-l rozptyl estraého odhadu T ejmeší z rozptyl všech estraých odhad téhož parametru, je T ejlepší estraý odhad. 3. Odhad T je kozstetí, jestlže Platí: lm P T pro lbovolé reálé íslo 0. a) X je estraý kozstetí odhad stedí hodoty E(X), b) S je estraý kozstetí odhad rozptylu D(X), c) odhady a) a b) jsou pro ormálí rozdleí X také ejlepší. Další typy odhad (ap. mamál vrohodé odhady) jsou popsáy v [], [3], [8], [5], [7], [30]. Bodový odhad parametru je pozorovaá hodota t T,..., odhadu T a statstckém souboru,...,. Bodové odhady základích íselých charakterstk jsou kde EX, DX s, X s, X, Y r,, s, s, r jsou emprcké charakterstky získaé ze statstckého souboru,...,,, y,,, y, a zaméko = vyjaduje pouze odhad a kol rovost hodot. resp. - 0 -
kde Iterval spolehlvost (kofdeí terval) pro parametr se spolehlvostí, 0;, je dvojce takových statstk ; T T, že PT T pro každou hodotu parametru. Itervalový odhad parametru se spolehlvostí je terval t; t a píšeme t; t souboru, resp.,,,...,, kde t, t jsou hodoty statstk T, T a daém statstckém y,, y. Spolehlvost volíme blízkou jedé, podle kovece obvykle 0,95 ebo 0,99, a uvádíme j také v %. Spolehlvost zameá, že p moha opakovaých výbrech s kostatím rozsahem z daého základího souboru zhruba ( )00 % všech tervalových odhad obsahuje skuteou hodotu parametru a aopak 00 % jch tuto hodotu eobsahuje. Stuac lustruje poítaov smulovaý píklad a obr.., kde = 0 a tu jsou vyzaey pípady odpovídající rzku chybého odhadu, tj. tervalové odhady, které ezachytly hodotu parametru. 4 tervalové odhady z 50 provedeých tervalových odhad se spolehlvostí 0,95 eobsahují odhadovaou hodotu 0, tj. pozorovaá spolehlvost odhad je 0,9 Obr.. Sížeí rzka, tedy zvýšeí spolehlvost, vede p zachováí rozsahu výbru ke zvtšeí velkost tervalového odhadu. Pro = 0, tedy pro 00 % spolehlvost, je tervalovým odhadem celý parametrcký prostor a to emá v aplkacích rozumý výzam. Zmešt velkost tervalového odhadu je možo: a) sížeím spolehlvost, což eí vhodé, protože se tím vlast epesost odhadu zvtší, b) zvýšeím rozsahu výbru, ovšem s ohledem a "kletbu statstky", ebo velkost tervalového odhadu se zmeší vícemé úmr /, c) volbou jého a souas "užšího" tervalu spolehlvost pro daý parametr, pokud takovou statstku T záme. Na druhé stra je zejmé, že bodový odhad má spolehlvost ulovou aebo blízkou ule (pro - -
dskrétí rozdleí pravdpodobost pozorovaé áhodé vely X). Itervalové odhady proto poskytují výzam dokoalejší pohled a vlastost pozorovaé áhodé vely ež odhady bodové a avíc bodový odhad obsahují. Itervalové odhady dlíme a dvoustraé (oboustraé) a jedostraé podle toho, zda je ohraujeme oboustra aebo jedostra. asto volíme statstky T, T ve tvaru T T a T T, kde 0 a 0 jsou vhodá reálá ísla (závsející a spolehlvost a rozsahu áhodého výbru ) a T je jaký odhad parametru. Pozameejme, že z pedem daé délky dvoustraého odhadu tervalového odhadu a spolehlvost je možo urt potebý rozsah výbru. Odhady parametr ormálího rozdleí Pedpokládáme, že pozorovaá áhodá vela X, resp. áhodý vektor X, Y, má ormálí rozdleí pravdpodobost s parametry,, resp.. Bodové odhady jsou, s, s, r. Itervalový odhad stedí hodoty p ezámém rozptylu je s s t t ;, kde t je - kvatl Studetova rozdleí S(k) s k = stup volost. Kvatly tohoto rozdleí jsou uvedey v tabulce T. Itervalový odhad rozptylu je s s ;, kde je P - kvatl Pearsoova rozdleí ( k) s k = stup volost. Kvatly tohoto P rozdleí jsou uvedey v tabulce T3. Z uvedeého tervalového odhadu získáme po odmocí jeho mezí tervalový odhad smrodaté odchylky. Píklad. Meím délky 0 válek byl získá statstcký soubor s emprckým charakterstkam 5, 37 mm, s = 0,009 mm a s = 0,044 mm (vz píklad. z uebího tetu MME ). Urete bodové odhady stedí hodoty, rozptylu a smrodaté odchylky. Za pedpokladu, že - -
ameá délka X má ormálí rozdleí pravdpodobost, urete tervalové odhady tchto íselých charakterstk se spolehlvostí 0,95. e š e í: Bodové odhady jsou: stedí délka váleku = 5,37 mm, rozptyl délky váleku = 0 0,009 = 0,00 mm 9, smrodatá odchylka délky váleku = 0,00 0,046 mm. Itervalový odhad stedí délky váleku se spolehlvostí 0,95 je, ebo t 0,975 =,6 pro 9 stup volost z tabulky T, <5,37,6 0,009 0 ; 5,37 +,6 0,009 0 > <5,337; 5,403> mm. Itervalový odhad rozptylu délky váleku se spolehlvostí 0,95 je, ebo =,700 a 0,975 = 9,03 pro 9 stup volost z tabulky T3, < 0.0,009 0.0,009 ; 9, 03, 700 > <0,0000; 0,00704> mm, takže tervalový odhad smrodaté odchylky délky váleku je kde z < 0,0000 ; 0,00704 > <0,036; 0,0839> mm. Itervalový odhad koefcetu korelace pro 0 a r je w u, 3 z w u, 3 tgh z; tgh z, r r w l, r 0,05 e e e tgh z e e e z z z z z z, a u je - kvatl ormovaého ormálího rozdleí N(0;), jehož hodoty lze získat z tabulky T s hodotam dstrbuí fukce (u). Pro = 0,95 je u0,975,960 a pro = 0,99 je u 0,995,576. Uvedeý odhad je pouze pblžý, avšak jeho pesost je v praktckých úlohách zcela postaující (pesý odhad eí zám). Píklad. Sledováím áklad X a cey stejého výrobku Y u 0 výrobc byl získá dvourozmrý statstcký soubor s koefcetem korelace r = 0,848 (vz píklad.3 z uebího tetu - 3 -
MME ). Urete bodový odhad a tervalový odhad se spolehlvost 0,99 koefcetu korelace základího souboru. e š e í: Bodový odhad koefcetu korelace áklad a cey je 0,848. Po dosazeí je 0,848 0,848 w l, 753 0,848 0. Z tabulky T je u 0,995 =,576, takže,576,576 z, 753 0, 4397, z, 753,90 0 3 0 3 a tervalový odhad koefcetu korelace áklad a cey se spolehlvostí 0,99 je tgh 0, 4397; tgh,90 0, 394; 0,97533. Odhady parametru bomckého rozdleí Pedpokládáme, že pozorovaá áhodá vela X má alteratví rozdleí pravdpodobost s parametrem p, tedy bomcké rozdleí B(; p). P odhadu parametru p jde vlast o odhad velkost podílu prvk základího souboru majících sledovaou vlastost. Ptom X abývá hodotu =, resp. 0, jestlže -tý áhod vybraý prvek má, resp. emá, sledovaou vlastost, =,,. Nech je poet prvk se sledovaou vlastostí z áhod vybraých prvk, tedy. Bodový odhad je p. Itervalový odhad p je pro > 30 u / ; u /, kde u je - kvatl ormovaého ormálího rozdleí, jehož hodoty lze získat z tabulky T. Uvedeý odhad je pouze pblžý, avšak jeho pesost je pro velká v praktckých úlohách obvykle postaující. Píklad.3 P przkumu zájmu o ový výrobek odpovdlo ze 400 dotázaých zákazík supermarketu - 4 -
STAMET klad a otázku, zda s ový výrobek koupí, 80 zákazík. Urete bodový a tervalový odhad podílu zákazík p ze základího souboru všech zákazík supermarketu STAMET. e š e í: 80 Protože = 80 a = 400, je bodový odhad p 0,, tedy 0 % všech zákazík 400 supermarketu STAMET s chce koupt ový výrobek. Z tabulky T pro spolehlvost 0,95 je u 0,975 =,960, takže tervalový odhad podílu zákazík p se spolehlvostí 0,95 je p 80 80 80 80 80 400 400 80 400 400, 960 ;, 960 0,608; 0,39. 400 400 400 400 Pro spolehlvost 0,99 obdržíme aalogckým zpsobem tervalový odhad p 0,485; 0,55. Se spolehlvostí 0,95, resp. 0,99, s ový výrobek koupí pblž 6 až 4 %, resp. 5 až 5 %, všech zákazík supermarketu STAMET. Pokud má STAMET celkem 0 000 zákazík, lze vícemé oekávat, že prodá cca 000 ových výrobk. Z tervalového odhadu mžeme pak se spolehlvostí 0,95 usuzovat, že STAMET prodá pblž 0 0000,6 = 600 až 0 0000,4 = 400 ových výrobk. Píklady k procveí Píklad.4 Urete bodový a tervalový odhad se spolehlvostí 0,99 parametr a ormálího rozdleí, jestlže realzací áhodého výbru byl získá statstcký soubor o rozsahu = 8 s artmetckým prmrem = 50, a s rozptylem s = 7,64. V ý s l e d e k: = 50,; = 8,678; <47,09; 53,0>; <8,894; 55,705> Píklad.5 Statstcký soubor o rozsahu = má artmetcký prmr = 77,55 a rozptyl s = 045,65. Urete bodový a tervalový odhad a základího souboru se spolehlvostí 0,99. V ý s l e d e k: = 77,55; = 33,78; <47,67; 07,833>; <,638; 69,47> - 5 -
Píklad.6 U sta áhod vybraých pracovík stejé kategore byla zjšta hodová tarfí mzda (K) a vypotey emprcké charakterstky = 98,64 K a s =,979 K. Urete bodové a tervalové odhady stedí hodové tarfí mzdy a smrodaté odchylky se spolehlvostí 99% za pedpokladu, že základí soubor má ormálí rozdleí. V ý s l e d e k: = 98,64 K; =,0 K; <98,35; 98,93> K; <0,93;,34> K Píklad.7 Z patáct ezávslých pozorováí byl vypote bodový odhad stedí hodoty 44,7 ms - a smrodaté odchylky 8,7 ms - mamálí rychlost letadla. Urete tervalový odhad stedí hodoty a smrodaté odchylky mamálí rychlost se spolehlvostí 95% za pedpokladu ormálího rozdleí mamálí rychlost. V ý s l e d e k: <49,88; 49,5> ms - ; <6,37; 3,7> ms - Píklad.8 Bylo provedeo 5 ezávslých a stej pesých meí ke staoveí objemu ádoby: 4,78; 4,79; 4,795; 4,779; 4,769 (v ltrech). Staovte tervalový odhad stedí hodoty objemu ádoby se spolehlvostí 0,99 za pedpokladu ormálího rozdleí. V ý s l e d e k: <4,76; 4,805> l Píklad.9 P kotrole záruích lst urtého druhu masové kozervy ve skladu hypermarketu bylo áhod vybráo 30 kozerv a zjšto, že 59 jch má prošlou záruí lhtu. Staovte bodový a tervalový odhad se spolehlvostí 95% proceta kozerv s prošlou záruí lhtou ve skladech hypermarketu frmy. Totéž urete pro roí sklad hypermarketu s potem 0 000 kozerv. V ý s l e d e k: p = 0,84 = 8,4 %; p <0,4; 0,6> = <4,;,6> %; N = 3680; N <840; 450> Píklad.0 P áhodém výbru peumatk vyrábých velkou evropskou adárodí spoleostí 0% peumatk evyhovlo ové orm. Pro rozsah výbru (a) = 00, (b) = 400, (c) = 600 urete 95%-í terval spolehlvost pro podíl p peumatk vyrábých touto spoleostí, které evyhovují ové orm. V ý s l e d e k: (a) <0,04; 0,59>; (b) <0,07; 0,9>; (c) <0,085; 0,5> - 6 -
Kotrolí otázky. Defujte pojem odhadu parametru a jeho druhy.. Defujte bodový odhad a uvete bodové odhady základích íselých charakterstk. 3. Popšte terval spolehlvost a tervalový odhad parametr. 4. Jaký výzam má spolehlvost tervalového odhadu? 5. Jaké druhy tervalových odhad používáme? 6. Jaký vlv má zma spolehlvost a velkost tervalového odhadu p zachováí rozsahu áhodého výbru? 7. Jaký obecý vlv má zma rozsahu áhodého výbru a velkost tervalového odhadu p zachováí jeho spolehlvost? 8. Jakou spolehlvost má bodový odhad? - 7 -
3 TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ Statstcká hypotéza a její test P sledováí áhodých vel a áhodých vektor jsme asto uce ovt urté pedpoklady domky o jejch vlastostech pomocí jejch pozorovaých hodot. Jedá se ap. o rozhodutí, zda ová techologe, seízeí stroje, reklama, zma facováí, ízeí frmy apod. vedly ke zm ve sledovaých parametrech výrobku, obratu, zsku apod., aebo zda jakost dodávky výrobk surov má dohodutou úrove. Statstcká hypotéza H je tvrzeí o vlastostech rozdleí pravdpodobost pozorovaé áhodé vely X s dstrbuí fukcí F, ebo áhodého vektoru (X, Y) se smultáí dstrbuí fukcí F(,y,) apod. Postup, jímž ovujeme daou hypotézu, se azývá test statstcké hypotézy. Prot testovaé hypotéze H, azývaé také ulová hypotéza, stavíme tzv. alteratví hypotézu H, kterou volíme dle požadavk úlohy. Jestlže H je hypotéza, že parametr má hodotu 0, píšeme H : 0. Pípad H : 0 je dvoustraá alteratví hypotéza a H : 0, resp. H : 0, je jedostraá alteratví hypotéza. Hypotéza mže být jedoduchá, jestlže uvažujeme jedou hypotetckou hodotu 0 aebo aopak složeá, ap. 0. Dále rozdlujeme hypotézy a parametrcké, kdy jde tvrzeí o parametrech pozorovaé áhodé vely X, a a eparametrcké, kdy jde o tvrzeí o kvaltatvích vlastostech této áhodé vely. Testovaá hypotéza H se kdy v lteratue, resp. aplkacích a PC, ozauje symbolem H 0, resp. H0, a alteratví hypotéza H symbolem H, H A, resp. HA. Pro testováí hypotézy H : 0 prot jaké zvoleé alteratví hypotéze H se kostruuje vhodá statstka T X,..., X, tzv. testové krtérum. Obor hodot testového krtéra T X,..., X se za pedpokladu, že platí hypotéza H : 0, rozdlí a dv dsjuktí podmožy: krtcký obor W a jeho doplk W (vz obr. 8.). Krtcký obor W se vzhledem k alteratví hypotéze H staoví tak, aby pravdpodobost toho, že testové krtérum T X,..., X abude hodotu z krtckého oboru W, byla (pesj pro dskrétí áhodou velu T ejvýše ). íslo 0; je hlada výzamost testu a volíme j blízkou ule, obvykle 0,05 aebo 0,0. Hlada výzamost se kdy uvádí také v % (ap. v kterých softwarových aplkacích pro PC), tedy obvykle 5 % aebo %. - 8 -
Rozhodutí o hypotéze H pomocí pozorovaých hodot áhodé vely X je pak založeo a ásledující kovec. Jestlže tzv. pozorovaá hodota testového krtéra t T,..., a získaém statstckém souboru,..., pade do krtckého oboru, tedy t W, zamítáme hypotézu H a souas ezamítáme hypotézu H a hlad výzamost. Jestlže aopak epade t do krtckého oboru, tedy t W, ezamítáme hypotézu H a souas zamítáme hypotézu H a hlad výzamost. Nezamítutí hypotézy H, resp. H, ezameá ješt prokázáí její platost, ebo jsme a základ realzace áhodého výbru získal pouze formace, které estaí a její zamítutí. Je-l to možé, je vhodé ped pjetím daé hypotézy zvtšt rozsah statstckého souboru a zovu hypotézu H testovat. P testováí hypotézy H mohou astat ty možost zázoré a obr. 3.. Jestlže zamítáme eplatou hypotézu aebo ezamítáme platou hypotézu, je vše v poádku, avšak p rozhodutí o hypotéze H a základ testu se mžeme dopustt jedé ze dvou chyb:. Chyba prvího druhu astae, jestlže hypotéza H platí, avšak t W, takže hypotézu H zamítáme. Pravdpodobost této chyby je hlada výzamost W H P T.. Chyba druhého druhu astae, jestlže hypotéza H eplatí, avšak t W (tj. t W ), takže hypotézu H ezamítáme. Pravdpodobost této chyby je PT W H pravdpodobost PT W H je tzv. síla testu. a H PLATÍ NEPLATÍ ZAMÍTÁME CHYBA. DRUHU ------- NEZAMÍTÁME ------- CHYBA. DRUHU Obr. 3. Hlada výzamost, tj. pravdpodobost chyby prvího druhu má te praktcký výzam, že p moha opakovaých realzacích áhodého výbru (ap. ádov v tsících) a souasé platost testovaé hypotézy H se v pblž 00 % testech této hypotézy zmýlíme, tedy zamíteme platou hypotézu. Podob když hypotéza H eplatí, tak se v pblž 00 % testech zmýlíme a ezamíteme j. Avšak sížeím hlady výzamost se p ezmém rozsahu statstckého souboru zvýší a aopak, takže pro zvoleou hladu výzamost zajšujeme sížeí zvýšeím rozsahu. Rzko chyb prvího druhého druhu elze v reálých úlohách elmovat, pouze je mžeme sížt. Vztah mez a - 9 -
je lustrová a obr. 3., kde pro jedoduchost je alteratví hypotéza H jedoduchá. Na tomto obrázku kvky vlevo odpovídají hustot (pravdpodobostí fukc) testového krtéra T p platost hypotézy H a kvky vpravo odpovídají hustot (pravdpodobostí fukc) testového krtéra T p platost hypotézy H. W W W W Obr. 3. Vzhledem k tomu, že testové krtérum T je áhodá vela, bývá obor W ve tvaru tervalu, ap. t; t, kde t, t jsou kvatly statstky T stej jako u tervalových odhad. P testováí statstckých hypotéz se jm také íká krtcké hodoty. Pozameejme, že tervalové odhady lze pímo použít k testováí statstckých hypotéz. Nap. p testu hypotézy H : 0 prot alteratv H : 0 a hlad spolehlvost, mžeme místo testového krtéra vzít oboustraý tervalový odhad parametru se spolehlvostí.. Jestlže teto tervalový odhad obsahuje hodotu 0, hypotézu H ezamítáme a hlad výzamost a aopak. Více o statstckých hypotézách a jejch testech lze alézt ap. v [], [3], [8], [5], [7], [30]. P testováí statstckých hypotéz a PC pomocí statstckého software se místo krtckého oboru W obvykle používá ásledující tzv. P-hodota. Jestlže ap. testujeme hypotézu H : 0 prot dvoustraé alteratví hypotéze H : 0, pak pro pozorovaou hodotu t testového krtéra T je P-hodotou je íslo Pt T t. Výše - 0 -
uvedeé kovec rozhodutí o daých hypotézách pomocí krtckého oboru, resp. oboru ezamítutí, odpovídá ásledující adekvátí postup. Jestlže P, pak zamítáme hypotézu H a souas ezamítáme hypotézu H a hlad výzamost. Jestlže aopak P pak ezamítáme hypotézu H a souas zamítáme hypotézu H a hlad výzamost., Testy hypotéz o parametrech ormálího rozdleí Pedpokládáme, že áhodé vely X a Y, resp. áhodý vektor (X, Y), mají ormálí rozdleí pravdpodobost. Pedpoklad o ormálím rozdleí pravdpodobost lze testovat pomocí test popsaých v dalším odstavc této kaptoly. Dále uvádíme pouze testová krtéra pro dvoustraé alteratví hypotézy, ap. H : apod. Testy hypotéz H pro jedostraé alteratví hypotézy H : 0 a H : se provádjí pomocí stejých testových krtérí a odlšují se pouze jedostraým krtckým obory, resp. obory ezamítutí, a odpovídajícím krtckým hodotam - vz ap. [], [3], [8], [5], [7], [30]. krtéra je Test hypotézy H : 0 a W t t 0 0 p ezámém rozptylu. Pozorovaá hodota testového t s 0 ;, kde t je -kvatl Studetova rozdleí S(k) s k = stup volost. Kvatly tohoto rozdleí jsou uvedey v tabulce T. Jedá se o tzv. t - test ebo Studetv test pro jede výbr. Píklad 3. Meím délky 0 válek byly získáy emprcké charakterstky = 5,37 mm s = 0,009 mm (vz píklad.). Na hlad výzamost 0,05 testujeme hypotézu, že stedí ameá délka váleku je 5,40 mm, tedy H : = 5,40. e š e í: Pozorovaá hodota testového krtéra je 5,37 5, 40 t 0 =,0647. 0, 009 Pro 0 = 9 stup volost je t 0,975 =,6 z tabulky T, takže W 0,05 = <,6;,6>. Protože t W 0,05, hypotézu ezamítáme. Pro testováí této hypotézy bylo možo použít také tervalový odhad se spolehlvostí 0,95 z píkladu.. Protože teto odhad obsahuje a - -
hypotetckou hodotu 5,40, ezamítáme daou hypotézu a hlad výzamost 0,95 = = 0,05. Test hypotézy H :. Pozorovaá hodota testového krtéra je 0 s t 0 a ;, kde W je P-kvatl Pearsoova rozdleí ( k) s k = stup P volost. Kvatly tohoto rozdleí jsou uvedey v tabulce T3. Jedá se o tzv. Pearsov test. Píklad 3. Na hlad výzamost 0,05 testujte hypotézu, že rozptyl ameé délky váleku z píkladu. je 0,005 mm, tedy H : = 0,005. e š e í: Pozorovaá hodota testového krtéra je 0 0, 009 t = 7,6. 0, 005 Pro 0 = 9 stup volost je =,700 a = 9,03 z tabulky T3, takže 0,05 W 0,05 = <,700; 9,03>. Protože t W 0,05 0,975, hypotézu ezamítáme. Test hypotézy H : 0. Pozorovaá hodota testového krtéra pro 0, r a je 0 a W u ; u r 0 0 3 t l l r 0, kde u je -kvatl ormálího rozdleí N(0; ), jehož hodoty lze získat z tabulky T. Píklad 3.3 Sledováím áklad X a cey Y stejého výrobku u deset výrobc byl získá dvourozmrý statstcký soubor s koefcetem korelace r = 0,848 (vz ešeý píklad.). Na hlad výzamost 0,0 testujte hypotézu, že vely X a Y jsou ekorelovaé (tj. vzhledem k ormálímu rozdleí ezávslé), tedy H : = 0. e š e í: Pozorovaá hodota testového krtéra je - -
0,848 0 0 0 3 t l l 0,848 0 0 3,00. Pro daou hladu výzamost je u 0,995 =,576 z tabulky T, takže W 0,0 = <,576;,576 >. Protože t W 0,0, hypotézu zamítáme a považujeme X, Y za závslé. Test hypotézy H : X Y 0 pro dvojce X, Y za pedpokladu, rozdíl X má ormálí rozdleí pravdpodobost. Ozame pro pozorovaé dvojce y, kde =,,, jejch rozdíly Pozorovaá hodota testového krtéra je, Y d y a odpovídající emprcké charakterstky d a s d. t d s d, kde t je -kvatl Studetova rozdleí S(k) s k = a W t ; t stup volost. Kvatly tohoto rozdleí jsou uvedey v tabulce T. Uvedeý test se také azývá t - test (Studetv test) pro párové hodoty. Píklad 3.4 Meím teploty dvma pístroj byly bhem osm d získáy dvojce (, y) = (5,8; 49,5), (54,9; 53,3), (5,; 50,6), (53,3; 5,0), (5,6; 46,8), (54,; 50,5), (54,; 5,), (53,3; 53,0) ( o C). Na hlad výzamost % testujte hypotézu, že stedí hodota rozdílu pozorovaých dvojc teplot rozdíl stedích hodot je evýzamý, tedy H : (X) = (Y). e š e í: Pro d = y, =,..., 8, dostaeme d =, o C a s(d) =,37 o C. Pozorovaá hodota testového krtéra je, t 8 4,490., 37 Pro 8 = 7 stup volost je t 0,995 = 3,499 z tabulky T, takže W 0,0 = <3,499; 3,499>. Protože t W 0,0, hypotézu zamítáme a hlad výzamost % a považujeme rozdíl ameých hodot za statstcky výzamý. U dalších test pedpokládáme, že pozorováím dvou ezávslých áhodých vel X a Y s ormálím rozdleím s parametry realzace ezávslých áhodých výbr s rozsahy a. X, X a Y, Y byly získáy - 3 -
Test hypotézy H : X Y 0 p ezámých rozptylech X Y Pozorovaá hodota testového krtéra je a W t ; t t y s s y 0., kde t je -kvatl Studetova rozdleí S(k) s k = = stup volost. Kvatly tohoto rozdleí jsou uvedey v tabulce T. Jedá se o tzv. t - test ebo Studetv test pro dva výbry p stejých rozptylech. Píklad 3.5 Zkouškam pevost drát vyrobeých dvma rzým techologem byly získáy dva statstcké soubory s charakterstkam = 33, = 5,4637 kn, s () = 0,330 kn, = 8, y = 6,79 kn, s (y) = 0,45 kn. Na hlad výzamost 0,05 testujte hypotézu, že rozdílé techologe emají vlv a stedí pevost drátu (za pedpokladu stejých rozptyl ( X ) a ( Y ), tedy H : (X) (Y) = 0. e š e í: Pozorovaá hodota testového krtéra je 5, 4637 6,79 0 t 330, 330 8 0, 45 338 33 8 33 8 4,030. Pro 33 + 8 = 59 stup volost je t 0,975 =,00 terpolací z tabulky T, takže W 0,05= = <,00;,00>. Protože t W 0,05, hypotézu zamítáme. Rozdílé techologe mají vlv a stedí pevost drátu. Test hypotézy H : X Y 0 p ezámých rozptylech X Y. Pozorovaá hodota testového krtéra je t y 0 s s y a ; t W t, kde t s ( ) s ( y) t ( ) ty ( ) s ( ) s ( y) / - 4 -
a t(), resp. t(y), je -kvatl Studetova rozdleí S(k) s k =, resp., stup volost. Kvatly tohoto rozdleí jsou uvedey v tabulce T. Jedá se o tzv. t - test ebo Studetv test pro dva výbry p rzých rozptylech. Píklad 3.6 P vyšetováí žvotost výrobk v rzých systémech etrémích provozích podmíek byly získáy dva statstcké soubory s charakterstkam =, = 3,58, s () = 0,4, = 3, y = 3,974, s ( y) = 0,04 (žvotost výrobk je v hodách). Za pedpokladu rzých rozptyl ( X ) a ( Y ) testujte a hlad výzamost 0,05, že druhý systém etrémích provozích podmíek zvyšuje oprot prvímu systému etrémích provozích podmíek stedí žvotost výrobku o 0,5 hod., tedy hypotézu H : (X) (Y) = 0,5. e š e í: Pozorovaá hodota testového krtéra je 3,58 3, 974 ( 0,5) t,303. 0,4 0, 04 3 Z tabulky T pro / = 0,975 je t() =,086 pro = 0 stup volost a t(y) =,074 pro 3 = stup volost, takže a 0,05 t 0,975 0,4 0, 04,086,074 3,083. 0,4 0, 04 3 W = <,083;,083>. Protože t W 0,05, hypotézu o zvýšeí stedí žvotost o 0,5 hod. ezamítáme. Test hypotézy H : X Y. Pozorovaá hodota testového krtéra je t s ( ) s ( y) ma ;, s ( ) s ( y) m ; kde klademe W ;F / a F / je -kvatl Fsherova - Sedecorova rozdleí F(k, k ) se stup volost k a k pro s ( ) s ( y) aebo k - 5 -
a k pro s ( ) s ( y). Kvatly tohoto rozdleí jsou uvedey v tabulce T4. Jedá se o tzv. F - test ebo Fsherv test. Pomocí ho lze testovat pedpoklady o rozptylech v obou pedcházejících testech. Píklad 3.7 Na hlad výzamost 0,05 ovte pedpoklad o rzých rozptylech v ešeém píkladu 3.6, tedy že ( X ) ( Y ), kde s () = 0,4, =, s ( y) = 0,04, = 3. e š e í: Testujeme aopak hypotézu H : ( X ) = ( Y ). Pozorovaá hodota testového krtéra je.0,4 3.0, 04 ma ; 3 ma 0,970; 0, 0486 0,970 t,798..0,4 3.0, 04 m 0,970; 0, 0486 0, 0486 m ; 3 Z tabulky T4 je pro k = = 0 a k = 3 = stup volost F 0,975 =,389, takže W 0,05 = <;,389>. Protože t W 0,05 v píkladu 3.6 považujeme za správý., hypotézu zamítáme a pedpoklad o rzých rozptylech Testy hypotéz o parametru bomckého rozdleí Pedpokládáme, že pozorovaá áhodá vela X má alteratví rozdleí pravdpodobost s parametrem p, tedy bomcké rozdleí B(; p). P testováí hypotézy H : p = p 0 jde vlast o test hypotézy, že podíl prvk p 0 základího souboru má sledovaou vlastost a základ zjští, že prvk z áhod vybraých prvk ze základího souboru má sledovaou vlastost. Dále uvádíme pouze testová krtéra pro dvoustraé alteratví hypotézy, ebo testy hypotéz pro jedostraé alteratví hypotézy se odlšují pouze tím, že mají jedostraé krtcké obory a odpovídající krtcké hodoty. Testy o parametru bomckého rozdleí se používají asto v jakost (test podílu eshodých výrobk ebo zmetk v celkové produkc) a p przkumu zájmu o výrobek, služby apod. Test hypotézy H : p = p 0. Pozorovaá hodota testového krtéra pro 30 je p0 t p0( p0) W u, kde u je -kvatl ormálího rozdleí N(0; ), jehož a ; u - 6 -
hodoty lze získat z tabulky T. Uvedeý test je pouze pblžý, avšak jeho pesost je pro velká v praktckých úlohách obvykle postaující. Píklad 3.8 Podle epertího pedpokladu bude mít zájem o ový výrobek 0 % zákazík. Ze 400 dotázaých zákazík projevlo zájem 6 zákazík. Na hlad výzamost 0,05 testujme hypotézu o reálost pedpokladu, tedy H : p = 0,. e š e í: Rozsah obou výbru je dostate velký a pro = 6 a = 400 je pozorovaá hodota testového krtéra 6 0, 0,045 t = 400, 5. 0, ( 0, ) 0, 0 400 Z tabulky T je u 0,975 =,960. Protože t =,5 W 0,05 = <,960;,960>, hypotézu o pedpokladu 0 % zájmu zamítáme a hlad výzamost 0,05. Skuteý zájem bude pravdpodob meší. Na hlad výzamost 0,0 však hypotézu ezamítáme, ebo u 0,995 =,576. U dalšího testu pedpokládáme, že pozorováím dvou ezávslých áhodých vel X, Y s alteratvím rozdleím s parametry p, p byly získáy realzace vzájem ezávslých áhodých výbr s rozsahy, a poty, y prvk se sledovaou vlastostí. 50 a Test hypotézy H : p = p. Pozorovaá hodota testového krtéra za pedpokladu 50 je t y f( f ) y pro f W u, kde u je -kvatl ormálího rozdleí a ; u N(0; ), jehož hodoty lze získat z tabulky T. Uvedeý test je pouze pblžý, avšak jeho pesost je pro velké rozsahy a v praktckých úlohách obvykle postaující. Píklad 3.9 Obchodí spekce provedla 50 kotrolích ákup potraváského zboží a 00 kotrolích ákup prmyslového zboží. Zjstla ptom edostatky u 08 ákup potraváského zboží a u 73 ákup prmyslového zboží. Na hlad výzamost 0,05 testujme, zda kvalta ákup - 7 -
je stejá u obou druh zboží, tedy hypotézu H : p = p, kde p, p jsou teoretcké podíly (pravdpodobost) ákup s edostatky u daých druh zboží. e š e í: Rozsahy obou výbr jsou dostate velké a pro = 08, = 50, y = 73, = 00 je 08 73 f = 0,40, 50 00 takže pozorovaá hodota testového krtéra je 08 73 50 00 50 00 0, 067 0, 5409 t, 4403. 0, 40( 0, 40) 50 00 0, 49035 Z tabulky T je u 0,975 =,960. Protože t =,4403 W 0,05 = <,960;,960>, hypotézu o rovost podíl ákup s edostatky ezamítáme a hlad výzamost 0,05 a považujeme prodej obou druh zboží za stej ekvaltí. Testy hypotéz o rozdleí Vzhledem k tomu, že testy o parametrech rozdleí (a také tervalové odhady parametr) závsejí a tvaru pozorovaých rozdleí, je zapotebí testovat, zda pozorovaá áhodá vela (áhodý vektor) má pedpokládaé rozdleí pravdpodobost. Nejastj se užívají ásledující testy hypotéz o rozdleí (testy dobré shody). Grafcká metoda je oretaí test pomocí tzv. pravdpodobostího papíru, který obsahuje sí dvou avzájem kolmých soustav rovobžých pímek. Mítko ve svslém smru (souadá osa y) je zvoleo vzhledem k mítku ve vodorovém smru (souadá osa ) tak, aby grafem uvažovaé dstrbuí fukce F(,) byla pro lbovolé (v ašem pípad obvykle ezámé) hodoty pímka. Na osu y se vyáší hodoty dstrbuí fukce, kdy v % a kdy jsou a této ose vyzaey také hodoty odpovídající stedí hodot a celoíselým ásobkm smrodaté odchylky základího souboru. Na pravdpodobostím papíru zázorujeme graf tzv. emprcké dstrbuí fukce statstckého souboru (,..., ) ásledujícím zpsobem. Uspoádáme pvodí statstcký soubor podle velkost, takže získáme uspoádaý soubor ( (),..., ( ) ), kde () ( ) pro =,...,. Do souadého systému pak vyeseme body ();( 0,5)/, resp. () ; /( ), pro =,...,. Je-l statstcký soubor realzací áhodého výbru ze základího souboru s rozdleím pravdpodobost pro daý pravdpodobostí papír, leží výše uvedeé body pblž a pímce a aopak. V souasé dob se obvykle epoužívá pravdpodobostí papír, ale - 8 -
metoda se realzuje a PC. Na obr. 3.3 je ukázka grafckého výstupu z PC pro ormálí rozdleí pravdpodobost. Z grafu usuzujeme, že pozorovaá áhodá vela má ormálí rozdleí pravdpodobost. Obr. 3.3 Test chí-kvadrát (Pearsov test) o rozdleí, tj. hypotézy H, že pozorovaá áhodá vela X má dstrbuí fukc F(), prot alteratví hypotéze H, že X emá dstrbuí fukc F(). Roztídíme získaý statstcký soubor (,..., ) do m tíd s etostm f j a vypoteme teoretcké absolutí etost f ˆj, j =,...,m, resp. jejch odhady, pro hypotetcké rozdleí. Statstcký soubor roztídíme tak, aby ve všech tídách byly dostate velké teoretcké absolutí etost - obvykle požadujeme, aby fˆ j 5. Toho lze p dostate velkém rozsahu dosáhout vhodou volbou tíd ebo sloueím jž získaých sousedích tíd. Pozorovaá hodota testového krtéra je m ( f ˆ ) m j f j f j t ˆ ˆ j f j j f j a W 0;, kde je ( )-kvatl Pearsoova rozdleí ( k) s k mq stup volost. Kvatly tohoto rozdleí jsou uvedey v tabulce T3. íslo q je poet parametr hypotetckého rozdleí áhodé vely X, které jsme uce odhadout z roztídého statstckého souboru pro ureí hodot dstrbuí fukce F(). Uvedeý test je asymptotcký (tj. vhodý pro dostate velké rozsahy výbru, ádov aspo desítky) a zjedodušeou, ale obvykle používaou varatou pesého testu chí-kvadrát, který se realzuje pomocí statstckého softwaru a PC. Více o tomto a dalších testech dobré shody v [], [3], [8], [5], [7], [30]. - 9 -
Píklad 3.0 Bylo provedeo 0 hod se šeststou hrací kostkou se stam oíslovaým od do 6. Získaé výsledky jsou v ásledující tabulce: * j 3 4 5 6 f j 8 5 4 3 Na hlad výzamost 0,05 testujte hypotézu, že kostka eí falešá, tj. pravdpodobost padutí každého ze všech 6 ísel jsou stejé. e š e í: Testujeme hypotézu H, že pozorovaá áhodá vela X má tzv. klascké (uformí) rozdleí pravdpodobost s pravdpodobostí fukcí pípad je v tabulce: j a j j p pro,, 6. V ašem 6 ˆ f p 0 0 pro j,,6. Další potebé výpoty jsou 6 j f j fˆj ( f ˆ j f j) fˆ j 3 4 5 6 8 5 4 3 0 0 0 0 0 0 4,05 0,0,5 0,05 0,80 6,05 0 0,40 Podmíka fˆ 5 je pro všecha j spla a hodota testového krtéra je t, 40. j Neodhadujeme žádý parametr rozdleí pravdpodobost, takže q 0 a poet stup volost je k 605. Z tabulky T3 je pro hladu výzamost 0,05 a daý poet stup volost kvatl,070. Protože 0,95 t, 40 W 0;,070 0,05, zamítáme a hlad výzamost 0,05 hypotézu, že kostka eí falešá. Na hlad výzamost 0,0 ale tuto hypotézu ezamítáme, ebo 5,086. Oba zdálv protchdé závry mžeme 0,99 také získat z Phodoty 0,0969946, kterou vypoteme ap. pomocí statstcké fukce CHIDIST v Ecelu. - 30 -
Neparametrcké testy hypotéz Neparametrcké testy statstckých hypotéz se používají v pípadech, kdy ezáme rozdleí pozorovaé áhodé vely X, resp. áhodého vektoru X, Y, aebo pro zámé rozdleí emáme potebá testová krtéra. Omezeím eparametrckých metod je obvykle požadavek, že pozorovaé áhodé vely mají spojtá rozdleí, avšak v kterých pípadech staí zát pouze poadí uspoádaých hodot daého statstckého souboru, tj. hodoty odpovídajícího ordálího statstckého zaku. Slabší pedpoklady o rozdleí (a rozdíl od parametrckých test - vz ap. výše uvedeé testy parametr ormálího a bomckého rozdleí) mají za ásledek, že eparametrcké metody ejsou tak slé, jako jejch parametrcké protjšky. Základím prcpem eparametrckých test je ahrazeí pvodích pozorovaých hodot jejch poadím co do velkost a proto se také v lteratue hovoí o poadových testech. Jestlže pozorovaý statstcký soubor,..., sestává pouze z avzájem rzých reálých ísel, pak poadím statstckého souboru, jejchž hodota je meší ebo rova poadím R prvku,,...,, rozumíme poet prvk z daého. Nahrazeím prvku jeho R tak získáme soubor poadí R,..., R. Nap. statstckému souboru,..., 5;8; ; 3;0;; 7 odpovídá uspoádaý statstcký soubor takže soubor poadí je Jestlže ejsou všecha ísla (),..., (7) 3; ;0;;;5;8,,..., 6;7;;;3;5;4 R R. 7 avzájem rzá, pak všem stejým íslm padíme artmetcký prmr takových poadí, jakoby ásledovala ts za sebou. Nap. ve statstckém souboru,..., 5;8; ; 3;0;;0 7 je íslo 0 dvakrát, takže soubor poadí je,..., 6;7;;;3,5;5;3,5 R R. 7 I v pípad shodých prvk je souet všech poadí R. P eparametrckých testech pracujeme s testovým krtér (statstkam), které abývají dskrétích hodot. Jde proto o testy s hladou výzamost ejvýše rovu. Je - 3 -
proto a rozdíl od bžé defce kvatlu vhodé defovat jejch krtcké hodoty pro ezamítutí aebo zamítutí hypotéz tak, že P-kvatlem (krtckou hodotou) daého dskrétího rozdleí je takové mamálí íslo t P, pro které je pravdpodobost áhodého jevu T t meší ebo rova íslu P. V ašem pípad jde o dále používaé bomcké, P Wlcooovo a Maovo-Whteyovo rozdleí (tabulka T5 a T6). Pozameejme ješt, že íže použtá asymptotcká testová krtéra mají ormovaé ormálí rozdleí, které je spojté, takže aše defce P-kvatlu dává tytéž hodoty jako defce bž používaá. Zamékový test H : c. Testujeme hypotézu, že medá 0,5 0.5 spojté áhodé vely X je rove c. Jde o eparametrckou verz odpovídající Studetovu testu stedí hodoty ormálího rozdleí, které je symetrcké a proto má stedí hodotu rovu medáu. Ozame y poet kladých rozdíl c. Pípady c vyecháváme. Jestlže hypotéza H platí, pak má áhodá vela Y abývající hodot y bomcké rozdleí B(;0,5). íslo y je pímo pozorovaá hodota testového krtéra Y a obory ezamítutí hypotézy H jsou: a) W k, k pro alteratví hypotézu H : 0,5 c, / / b) W k, pro alteratví hypotézu H : 0,5 c, c) W 0, k pro alteratví hypotézu : 0,5 H c, kde k P je P-kvatl uvedeého bomckého rozdleí, tj. je mamálí íslo splující k P erovost P k 0 k. Hodoty k P jsou pro 0,05 a 0,0 tabelováy a je možo je také vypoítat pomocí statstcké fukce BINDIST v Ecelu aebo ru. Pro 0 mžeme použít asymptotckou verz testu s testovým krtérem a obory ezamítutí hypotézy H jsou kde a) / / y u W u, u pro alteratví hypotézu H : 0,5 c, b) W u, pro alteratví hypotézu H : 0,5 c, c) W, u pro alteratví hypotézu H : 0,5 c, u P je P-kvatl ormovaého ormálího rozdleí N(0;) vz tabulku T. Zamékový test se asto používá pro tzv. párové hodoty X X, kdy testujeme hypotézu, že medá rozdílu X X X je rove hodot c (ejastj pro c 0 ). Estuje, - 3 -
také obecjší varata zamékového testu (tzv. kvatlový test), když testujeme hypotézu H c, kde : q Píklad 3. q je q-kvatl pozorovaé áhodé vely X. P píprav ové písemé práce pro zkoušku ze statstky chceme ovt správost pedpokladu, že medá získaých bod je rove 60. Vyskytly se ámtky, že písemá práce je tžká a poty získaých bod jsou peváž žší ež 60. K oveí bylo áhod vybráo 5 výsledk z mulé zkoušky a v ch byla zjšta tato bodová hodoceí: 6; 6; 7; 84; 50; 90; 49; 3; 48; 43; 55; 54; 53; 34; 68; 80; 39; 56; 5; 9; 45; 47; 78; 46; 74. Pro test hypotézy zvolme hladu výzamost 0,05. e š e í: Zamékovým testem testujeme ulovou hypotézu H : 0,5 60 prot alteratví hypotéze H : 60. Pípravý výpoet je v tabulce: 0,5 60 Zaméko 60 Zaméko 6 + 4 34-6 - 6 + 5 68 8 + 3 7-33 - 6 80 0 + 4 84 4 + 7 39 - - 5 50-0 - 8 56-4 - 6 90 30 + 9 5-8 - 7 49 - - 0 9 3 + 8 3-8 - 45-5 - 9 48 - - 47-3 - 0 43-7 - 3 78 8 + 55-5 - 4 46-4 - 54-6 - 5 74 4 + 3 53-7 - Z tabulky získáme poet kladých zaméek y 9. Postupým soutem zjstíme, že k0, 5 mamálí íslo k 0.05 splující erovost 05 5 0, je. Nap. pomocí k 0 k,05 k 7 0,05 fukce BINOMDIST v Ecelu sado ovíme, že pro horí mez sumace 7 je levá straa erovost rova 0,06465 a pro 8 je 0,05387607. Kvatl k0,05 7 mžeme také ajít v tabulce T7. Protože y 9 W 0,05 8;5, ezamítáme a hlad výzamost 0,05 hypotézu H : 0,5 60 prot alteratví hypotéze H : 0,5 60 a zamítáme ámtku, že - 33 -
statstcky výzam pevažují písemé práce s hodoceím meším ež 60 bod. Protože rozsah souboru je 5, mžeme použít také asymptotcký test. Dostaeme tetýž závr, ebo 95 u, 4 W 0,05,645;, kde kvatl u 0,95,645 získáme z tabulky T. 5 K pesjšímu závru pomocí obou testových krtérí bychom dospl zvýšeím rozsahu výbru, ebo tak bychom zvtšl sílu testu, tj. sížl pravdpodobost chyby druhého druhu (ezamítutí eplaté ulové hypotézy). Wlcoov jedovýbrový test H : 0,5 c. Testujeme hypotézu, že medá 0,5 spojté áhodé vely X, která má symetrcké rozdleí vzhledem k medáu, je rove c. Jde opt o eparametrckou verz odpovídající Studetovu testu stedí hodoty ormálího rozdleí. Pedpokládáme, že je c pro všecha,...,. Pípady c Vytvome rozdíly a jejch absolutí hodoty a a) R c. Nech c vyecháváme. zaí poadí hodot c, kde respektujeme pípadé shody poadí. Ozame dále souty poadí S R S c0 R. Platí, že S S /. Hypotézu H : 0,5 c ezamítáme, jestlže: c0 S W w /, w / pro alteratví hypotézu H : 0,5 c, b) c) S W w, pro alteratví hypotézu H : 0,5 c, S W 0, w pro alteratví hypotézu H : 0,5 c, kde w P je P-kvatl Wlcooova rozdleí, které je tabelováo vz tabulku T5. Pro velká mžeme také použít asymptotckou verz testu s testovým krtérem a obory ezamítutí hypotézy H jsou a) W u /, u / u S 4 4 pro alteratví hypotézu H : 0,5 c, b) W u, pro alteratví hypotézu H : 0,5 c, c) W, u pro alteratví hypotézu H : 0,5 c, - 34 -
kde u P je P-kvatl ormovaého ormálího rozdleí N(0;) vz tabulku T. Wlcoov jedovýbrový test a také zamékový test se asto používá pro tzv. párové hodoty, hodot c (ejastj pro c 0 ). Píklad 3. X X, kdy testujeme hypotézu, že medá rozdílu X X X je rove Na hlad výzamost 0,05 testujte pomocí Wlcooova jedovýbrového testu hypotézu H : 0,5 60 prot alteratví hypotézu H : 0,5 60 pro data z píkladu 3.. e š e í: Pípravý výpoet je v tabulce: 60 60 R R pro 60 0 R pro 60 0 6 6 3 7-33 33 5 5 4 84 4 4 0 0 5 50-0 0 9 9 6 90 30 30 3 3 7 49-0 0 8 3-8 8 9 48-0 43-7 7 6 6 55-5 5 4 4 54-6 6 5 5 3 53-7 7 6 6 4 34-6 6 5 68 8 8 7,5 7,5 6 80 0 0 8 8 7 39-9 9 8 56-4 4 3 3 9 5-8 8 7,5 7,5 0 9 3 3 4 4 45-5 5 5 5 47-3 3 3 78 8 8 7 7 4 46-4 4 3,5 3,5 5 74 4 4 3,5 3,5 --- --- --- 35 6 99 Z tabulky je S 6 a S 99. Protože S 6 W 0,05 0; 35, kde pro 5 je - 35 -
kvatl w0,05 00 z tabulky T5, ezamítáme hypotézu H : 0,5 60. Naopak zamítáme hypotézu, že pevažují písemé práce s žším bodovým hodoceím. Souet S jsme emusel poítat, ale p ruím výpotu a malém potu hodot kdy vhodé využít toho, že R pro 60 0 je S S /. Protože rozsah souboru je dostate velký, mžeme také aplkovat asymptotcký test daé hypotézy. Dostaeme tetýž závr, ebo z tabulky T. 5 6 6 u 4 980 0,05, 645 5 6 5 0, W ;, pemž kvatl u 0,95, 645 je 4 Wlcoov dvouvýbrový test a Mav-Whteyv test. Pedpokládáme, že jsme pozorováím áhodé vely X se spojtým rozdleím s dstrbuí fukcí F získal statstcký soubor,..., m a pozorováím áhodé vely Y se spojtým rozdleím s dstrbuí fukcí G statstcký soubor y,..., y. Testujeme hypotézu H : F G, tj. X a Y mají stejé rozdleí pravdpodobost, prot alteratví hypotéze H : F G, tj. X a Y emají stejé rozdleí pravdpodobost. Slouíme oba statstcké soubory do jedoho statstckého souboru o rozsahu m, uspoádáme teto soubor vzestup podle velkost a uríme poadí všech m hodot. Ozame souet všech poadí odpovídajících statstckému souboru souboru,..., a T souet všech poadí odpovídajících statstckému m y,..., y. Zejm je T T mm /. Statstka T je testovým krtérem Wlcooova dvouvýbrového testu a její krtcké hodoty jsou tabelováy, ale v souasé dob se pro testováí peváž používá ekvvaletí varata azývaá Mav- Whteyv test. Pro teto test vypoteme hodotu statstky mm U m T a hypotézu H : F G ezamítáme, jestlže U W v, mv, kde v je T / / ( /)-kvatl Maovy-Whteyovy statstky vz tabulku T6. Hodotu statstky U / mžeme také urt bez sloueí pvodích statstckých soubor a výpotu soutu poadí T pímo ze vztahu U m h, j j - 36 -
kde klademe h pro y a h 0pro y. Jestlže m 0 a 0, mžeme také j j j j použít asymptotckou verz testu s testovým krtérem u m U m m. Oborem ezamítutí hypotézy H je pak W u /,u /, kde u / je -kvatl ormovaého ormálího rozdleí N(0;) vz tabulku T. Pozameejme, že v Maovu- Whteyovu testu mžeme také použít místo U druhou statstku U Píklad 3.3 Byly vybráy dv skupy m T. m 3 a frem, které vyrábjí tytéž výrobky. Frmy v prví skup evyužívají statstcké metody ízeí jakost, aopak frmy ve druhé skup tyto metody využívají. U obou skup byl zjšt zsk v K získaý prodejem jedoho výrobku. Na hlad výzamost 0,05 posute, zda aplkace metod ízeí jakost má statstcky výzamý vlv a zsk u daého výrobku. Získaé hodoty jsou tabulce, kde je zsk -té frmy z prví skupy a y j je zsk j-té frmy ze druhé skupy: j y j 66,7 67,7 57,7 67, 3 58,8 3 69,3 4 66, 4 65,8 5 57, 5 6,6 6 6, 6 67,3 7 64,6 7 65,3 8 58,4 8 68,8 9 59,6 9 64, 0 60,5 0 6,3 6,8 67, 59, 63,3 3 66,9-37 -
e š e í: Pomocí Maova-Whteyova testu testujeme hypotézu, že áhodá vela X (zsk frmy z prví skupy) s ezámou dstrbuí fukcí F má stejé rozdleí jako áhodá vela Y (zsk frmy ze druhé skupy) s ezámou dstrbuí fukcí G, tedy H : F G prot alteratví hypotéze m 3 5 H : F G. Slouíme oba soubory do jedoho souboru s rozsahem a uspoádáme jej vzestup podle velkost. Další výpoty jsou v ásledující tabulce, kde podtržeá ísla odpovídají druhému souboru, tj. Y : k Sloueý soubor Uspoádaý sloueý soubor Hodoty prvího souboru Hodoty druhého souboru Poadí pro prví soubor Poadí pro druhý soubor 66,7 57, 57, 57,7 57,7 57,7 3 58,8 58,4 58,4 3 4 66, 58,8 58,8 4 5 57, 59, 59, 5 6 6, 59,6 59,6 6 7 64,6 60,5 60,5 7 8 58,4 6,3 6,3 8 9 59,6 6,6 6,6 9 0 60,5 6,8 6,8 0 6,8 6, 6, 59, 63,3 63,3 3 66,9 64, 64, 3 4 67,7 64,6 64,6 4 5 67, 65,3 65,3 5 6 69,3 65,8 65,8 6 7 65,8 66, 66, 7 8 6,6 66,7 66,7 8 9 67,3 66,9 66,9 9 0 65,3 67, 67, 0 68,8 67, 67, 64, 67,3 67,3 3 6,3 67,7 67,7 3 4 67, 68,8 68,8 4 5 63,3 69,3 69,3 5 --- --- --- --- 7 08 Z tabulky vdíme, že T 7. Odtud U 34 3 7 30 a z tabulky T6 je v0,05 4. Protože U 30 W 0,05 4 ;56 (4 ) 4;4, zamítáme a - 38 -
hlad výzamost 0,05 hypotézu H : F G. Aplkace statstckých metod ízeí jakost má patr vlv a výš zsku a po jejch asazeí mžeme oekávat jeho vyšší úrove, samozejm pokud se evyskytují ve frmách ze druhé skupy další faktory, které zsk poztv ovlvují. Vzhledem k dostate velkým rozsahm obou soubor mžeme také 3 30 použít asymptotcký test. Pak je u,88 a z tabulky T u0,975,960. 3 6 Hypotézu H : F G opt zamítáme, protože 0,05 u,88w, 960;, 960. Wlcoov dvouvýbrový test a také Mav-Whteyv test vychází z porováí medá dvou ezávslých pozorovaých áhodých vel a oba testy jsou eparametrckou obdobou Studetova dvouvýbrového testu rovost stedích hodot tchto vel, kdy ale pedpokládáme, že ob mají ormálí rozdleí. V aplkacích se úspš používá ada dalších eparametrckých test vz ap. [], [3], [4], [6], [0], [], [8]. Píklady k procveí Píklad 3.4 Statstcký soubor o rozsahu = 0 má artmetcký prmr = 3 a rozptyl s = 5. Na hlad výzamost 0,05 testujte hypotézu, že stedí hodota pozorovaé áhodé vely s ormálím rozdleím je = 30. V ý s l e d e k: t =,549; t 0,975 =,6; hypotézu ezamítáme Píklad 3.5 Realzací áhodého výbru z ormálího rozdleí byl po roztídí získá statstcký soubor: j - - 0 3 f j 4 7 3 3 Na hlad výzamost 0,05 testujte hypotézu, že = 0,. V ý s l e d e k: = 0,45; s =,359; t =,4; t 0,975 =,093; hypotézu ezamítáme Píklad 3.6 Požadovaá stedí hodota vlhkost v pražeé káv je 4, % a smrodatá odchylka 0,4 %. Ve 0 vzorcích byly aalýzou zjšty tyto skuteé hodoty vlhkost v %: 4,5; 4,3; 4,; 4,9; 4,6; 3,; 4,4; 5,; 4,8; 4,0; 3,7; 4,4; 3,9; 4,; 4,; 4,; 4,7; 4,3; 4,; 4,4. Na hlad - 39 -