Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde a, b a c jsou daná reálná čísla a x a y jsou neznámé veličiny. Příklady 2x + 3y = 4,... kde a = 2, b = 3 a c = 4.

Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde a, b a c jsou daná reálná čísla a x a y jsou neznámé veličiny. Příklady 2x + 3y = 4,... kde a = 2, b = 3 a c = 4. x 2y = 7,... kde a = 1, b = 2 a c = 7.

Lineární rovnice o n neznámých Lineární rovnice o n neznámých Lineární rovnice o n neznámých x 1, x 2, x 3,..., x n je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... + a n x n = b, kde a 1, a 2,..., a n a b jsou daná reálná čísla a x 1, x 2,... x n jsou neznámé veličiny. Příklad x 1 + 3x 2 7x 3 + 8x 4 = 6 (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 7, a 4 = 8 a b = 6)

Lineární rovnice o n neznámých Lineární rovnice o n neznámých Lineární rovnice o n neznámých x 1, x 2, x 3,..., x n je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... + a n x n = b, kde a 1, a 2,..., a n a b jsou daná reálná čísla a x 1, x 2,... x n jsou neznámé veličiny. Příklad x 1 + 3x 2 7x 3 + 8x 4 = 6 (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 7, a 4 = 8 a b = 6) 3x 1 x 2 + 2x 3 4x 4 + x 5 = 2

Lineární rovnice o n neznámých Lineární rovnice o n neznámých Lineární rovnice o n neznámých x 1, x 2, x 3,..., x n je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... + a n x n = b, kde a 1, a 2,..., a n a b jsou daná reálná čísla a x 1, x 2,... x n jsou neznámé veličiny. Příklad x 1 + 3x 2 7x 3 + 8x 4 = 6 (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 7, a 4 = 8 a b = 6) 3x 1 x 2 + 2x 3 4x 4 + x 5 = 2 (a 1 = 3, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 4, a 5 = 1 a b = 2)

Lineární rovnice o 2 neznámých Odkud se soustavy berou? - Klasická úloha Máte k dispozici 20 Kč. Můžete koupit výrobek A za 2 Kč, nebo výrobek B za 1 Kč. Kolik výrobků A a B můžete koupit, jestliže utratíte všech 20 Kč? Označme písmenem x množství zakoupených výrobků A, písmenem y množství zakoupených výrobků B.

Lineární rovnice o 2 neznámých Odkud se soustavy berou? - Klasická úloha Máte k dispozici 20 Kč. Můžete koupit výrobek A za 2 Kč, nebo výrobek B za 1 Kč. Kolik výrobků A a B můžete koupit, jestliže utratíte všech 20 Kč? Označme písmenem x množství zakoupených výrobků A, písmenem y množství zakoupených výrobků B. Za nákup x kusů výrobku A zaplatíme 2x Kč, za nákup y kusů výrobku B zaplatíme y Kč.

Lineární rovnice o 2 neznámých Odkud se soustavy berou? - Klasická úloha Máte k dispozici 20 Kč. Můžete koupit výrobek A za 2 Kč, nebo výrobek B za 1 Kč. Kolik výrobků A a B můžete koupit, jestliže utratíte všech 20 Kč? Označme písmenem x množství zakoupených výrobků A, písmenem y množství zakoupených výrobků B. Za nákup x kusů výrobku A zaplatíme 2x Kč, za nákup y kusů výrobku B zaplatíme y Kč. Dohromady tedy zaplatíme 2x + y Kč.

Lineární rovnice o 2 neznámých Odkud se soustavy berou? - Klasická úloha Máte k dispozici 20 Kč. Můžete koupit výrobek A za 2 Kč, nebo výrobek B za 1 Kč. Kolik výrobků A a B můžete koupit, jestliže utratíte všech 20 Kč? Označme písmenem x množství zakoupených výrobků A, písmenem y množství zakoupených výrobků B. Za nákup x kusů výrobku A zaplatíme 2x Kč, za nákup y kusů výrobku B zaplatíme y Kč. Dohromady tedy zaplatíme 2x + y Kč. Celkem zaplatíme 20 Kč, platí tedy rovnice 2x + y = 20.

Řešení rovnice Řešení rovnice Řešením lineární rovnice o dvou neznámých je dvojice čísel: hodnota neznámé x, hodnota neznámé y. Tato řešení často uvádíme ve formě uspořádané dvojice čísel (x, y). Řešením rovnice 2x + y = 20 je například uspořádaná dvojice (x, y) = (5, 10), tedy koupě 5 kusů výrobku A a 10 kusů výrobku B.

Řešení rovnice Řešení rovnice Řešením lineární rovnice o dvou neznámých je dvojice čísel: hodnota neznámé x, hodnota neznámé y. Tato řešení často uvádíme ve formě uspořádané dvojice čísel (x, y). Řešením rovnice 2x + y = 20 je například uspořádaná dvojice (x, y) = (5, 10), tedy koupě 5 kusů výrobku A a 10 kusů výrobku B. Další možná řešení: (x, y) = (10, 0) (x, y) = (0, 20) (x, y) = (6, 8)

Řešení rovnice Řešení rovnice Řešením lineární rovnice o dvou neznámých je dvojice čísel: hodnota neznámé x, hodnota neznámé y. Tato řešení často uvádíme ve formě uspořádané dvojice čísel (x, y). Řešením rovnice 2x + y = 20 je například uspořádaná dvojice (x, y) = (5, 10), tedy koupě 5 kusů výrobku A a 10 kusů výrobku B. Další možná řešení: (x, y) = (10, 0) (x, y) = (0, 20) (x, y) = (6, 8) (x, y) = (8, 4) (x, y) = (15, 10) (x, y) = (8.5, 3)

Grafický přístup Je zřejmé, že lineární rovnice o dvou neznámých má nekonečně mnoho řešení. Tato řešení lze znázornit dvěma způsoby. Grafický přístup Na řešení lineární rovnice o dvou neznámých ve tvaru (x, y) lze hledět jako na souřadnice bodů v soustavě souřadnic. Každému konkrétnímu řešení přísluší jeden bod. Pokud graficky znázorníme všechna řešení rovnice, dostaneme přímku. ax + by = c by = ax + c ax b y = a b x + c b y = kx + q

Algebraický přístup Algebraický přístup Rovnici ax + by = c upravíme do tvaru: ax + by = c by = ax + c ax b y = a b x + c b Volbou x snadno dopočítáme příslušnou hodnotu y. Tím opět získáme dvojici (x, y).

Algebraický přístup Úloha Vyjádřeme řešení rovnice 2x + y = 20 pomocí algebraického vyjádření. Je y = 20 2x

Algebraický přístup Úloha Vyjádřeme řešení rovnice 2x + y = 20 pomocí algebraického vyjádření. Je y = 20 2x Pro x = 10 je y = 20 2 10 = 0. Řešením rovnice je tedy (x, y) = (10, 0).

Algebraický přístup Úloha Vyjádřeme řešení rovnice 2x + y = 20 pomocí algebraického vyjádření. Je y = 20 2x Pro x = 10 je y = 20 2 10 = 0. Řešením rovnice je tedy (x, y) = (10, 0). Volbou x = 3 dostaneme y = 20 2 3 = 14. Řešením rovnice je tedy (x, y) = (3, 14).

Algebraický přístup Úloha Vyjádřeme řešení rovnice 2x + y = 20 pomocí algebraického vyjádření. Je y = 20 2x Pro x = 10 je y = 20 2 10 = 0. Řešením rovnice je tedy (x, y) = (10, 0). Volbou x = 3 dostaneme y = 20 2 3 = 14. Řešením rovnice je tedy (x, y) = (3, 14). Obecně, je-li x = t, potom y = 20 2t. Obecným řešením rovnice je tedy (x, y) = (t, 20 2t), kde t R.

Algebraický přístup Úloha Vyjádřete (algebraicky) řešení rovnice 4x + 2y = 24. 2y = 24 4x

Algebraický přístup Úloha Vyjádřete (algebraicky) řešení rovnice 4x + 2y = 24. 2y = 24 4x y = 12 2x

Algebraický přístup Úloha Vyjádřete (algebraicky) řešení rovnice 4x + 2y = 24. 2y = 24 4x y = 12 2x Pro x = t je y = 12 2t.

Algebraický přístup Úloha Vyjádřete (algebraicky) řešení rovnice 4x + 2y = 24. 2y = 24 4x y = 12 2x Pro x = t je y = 12 2t. Řešením je uspořádaná dvojice (x, y) = (t, 12 2t).

Algebraický přístup Úloha Vyjádřete (algebraicky) řešení rovnice 4x + 2y = 24. 2y = 24 4x y = 12 2x Pro x = t je y = 12 2t. Řešením je uspořádaná dvojice (x, y) = (t, 12 2t). Je však možné vyjádřit také x pomocí y. Je:

Algebraický přístup Úloha Vyjádřete (algebraicky) řešení rovnice 4x + 2y = 24. 2y = 24 4x y = 12 2x Pro x = t je y = 12 2t. Řešením je uspořádaná dvojice (x, y) = (t, 12 2t). Je však možné vyjádřit také x pomocí y. Je: 4x = 24 2y, tedy x = 6 y/2.

Algebraický přístup Úloha Vyjádřete (algebraicky) řešení rovnice 4x + 2y = 24. 2y = 24 4x y = 12 2x Pro x = t je y = 12 2t. Řešením je uspořádaná dvojice (x, y) = (t, 12 2t). Je však možné vyjádřit také x pomocí y. Je: 4x = 24 2y, tedy x = 6 y/2. Z toho plyne, že je (x, y) = (6 s/2, s), kde s R.

Soustava lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Přidejme k předchozí úloze podmínku, že výrobků A chceme koupit o jeden více než výrobků B. Kolik jich ted máme koupit? Novou podmínku lze zapsat ve tvaru x = y + 1, resp. x y = 1.

Soustava lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Přidejme k předchozí úloze podmínku, že výrobků A chceme koupit o jeden více než výrobků B. Kolik jich ted máme koupit? Novou podmínku lze zapsat ve tvaru x = y + 1, resp. x y = 1. Chceme, aby obě podmínky platily současně, nalezené řešení proto musí vyhovovat oběma rovnicím. 2x + y = 20 x y = 1

Soustava lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Dvě předchozí rovnice spolu tvoří takzvanou soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Řešením takové soustavy je uspořádaná dvojice čísel (x, y), které vyhovují oběma rovnicím, tj. jejich dosazením do obou rovnic se tyto rovnice změní ve dvě (pravdivé) rovnosti. Řešením je (x, y) = (7, 6), nebot platí 2x + y = 20 2 7 + 6 = 20 x y = 1 7 6 = 1 Jak takové řešení získat (vypočítat)?

Metody výpočtu řešení Metody výpočtu řešení Povolené operace: násobení obou stran rovnice stejným číslem k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo k jedné rovnici přičtu (nenulový) násobek druhé rovnice 2x + y = 20 x y = 1 3x + 0y = 21 + Je tedy x = 7, dosazením dostaneme y = 6.

Zakončení výpočtu Možnosti zakončení Soustava rovnic má jediné řešení (x, y). Soustava rovnic nemá řešení, tj. neexistuje taková dvojice čísel (x, y), která by byla řešením obou rovnic. Soustava má nekonečně mnoho řešení.

Matice Koeficienty rovnice Rovnice 2x + y = 20 je plně určena svými koeficienty. Proto ji můžeme zapsat zkráceně ve tvaru ( 2 1 20 ) Příklad Napište rovnici, jejímž zkráceným tvarem je ( 1 3 2 )

Matice Koeficienty rovnice Rovnice 2x + y = 20 je plně určena svými koeficienty. Proto ji můžeme zapsat zkráceně ve tvaru ( 2 1 20 ) Příklad Napište rovnici, jejímž zkráceným tvarem je ( 1 3 2 ) Jde o rovnici x + 3y = 2.

Matice Matice Podobně soustavu rovnic lze zapsat ve tvaru: ( ) 3 2 6. 2 1 7 O jakou soustavu rovnic jde? 3x + 2y = 6 2x y = 7

Matice Matice Číselná schémata ve tvaru obdélníkového (čtvercového) pole budeme nazývat matice. ( ) ( ) 2 3 1 2 3 1 resp. 1 5 6 1 5 6 Všechny operace, které jsme zmínili pro práci s rovnicemi platí i pro řádky matice. Tím dostaneme tzv. elementární řádkové operace.

Elementární řádkové operace Nahrazení řádku jeho nenulovým násobkem. ( ) ( ) 3 5 2 3 5 2 1 2 4 ( 3) 3 6 12 Nahrazení řádku R i výrazem ar i + br j ( ) ( ) 1 2 4 ( 3) 1 2 4 3 5 2 + 0 1 10

Elementární řádkové operace Nahrazení řádku jeho nenulovým násobkem. ( ) ( ) 3 5 2 3 5 2 1 2 4 ( 3) 3 6 12 Nahrazení řádku R i výrazem ar i + br j ( ) ( ) 1 2 4 ( 3) 1 2 4 3 5 2 + 0 1 10 Změna pořadí řádků v matici. ( ) ( ) 1 2 4 3 5 2 3 5 2 1 2 4

Matice Příklad Vypočtěte řešení soustavy rovnic: 2x 3y + z = 0 x + 2y z = 3 2x + y + z = 12 Maticový zápis má tvar: 2 3 1 0 1 2 1 3 2 1 1 12

Matice Definice matice Maticí typu (m, n) nazýváme schéma m n reálných čísel a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A = (a mn ) =...... a m1 a m2... a mn (1) Příklady matic A = ( 8 6 3 9 2 1 ) B = 2 3 8 11 5 7

Vlastnosti matic Prvky matice Jednotlivá čísla v matici nazýváme prvky matice. Každý prvek matice má své souřadnice, které pomáhají jednoznačně určit polohu prvku v matici. Příklad V dané matici nalezněte prvky a 23, a 31, a 42. 5 9 3 A = 1 4 2 6 7 8

Vlastnosti matic Prvky matice Jednotlivá čísla v matici nazýváme prvky matice. Každý prvek matice má své souřadnice, které pomáhají jednoznačně určit polohu prvku v matici. Příklad V dané matici nalezněte prvky a 23, a 31, a 42. 5 9 3 A = 1 4 2 6 7 8 Řešení:

Vlastnosti matic Prvky matice Jednotlivá čísla v matici nazýváme prvky matice. Každý prvek matice má své souřadnice, které pomáhají jednoznačně určit polohu prvku v matici. Příklad V dané matici nalezněte prvky a 23, a 31, a 42. 5 9 3 A = 1 4 2 6 7 8 Řešení: a 23 = 2,

Vlastnosti matic Prvky matice Jednotlivá čísla v matici nazýváme prvky matice. Každý prvek matice má své souřadnice, které pomáhají jednoznačně určit polohu prvku v matici. Příklad V dané matici nalezněte prvky a 23, a 31, a 42. 5 9 3 A = 1 4 2 6 7 8 Řešení: a 23 = 2, a 31 = 6,

Vlastnosti matic Prvky matice Jednotlivá čísla v matici nazýváme prvky matice. Každý prvek matice má své souřadnice, které pomáhají jednoznačně určit polohu prvku v matici. Příklad V dané matici nalezněte prvky a 23, a 31, a 42. 5 9 3 A = 1 4 2 6 7 8 Řešení: a 23 = 2, a 31 = 6, prvek a 42 v dané matici neexistuje

Vlastnosti matic Řádkové a sloupcové vektory Jednotlivé řádky, resp. sloupce v matici můžeme chápat jako tzv. řádkové, resp. sloupcové vektory. Např. v matici 5 9 3 A = 1 4 2 6 7 8 lze druhý řádek chápat jako vektor r 2 = (1, 4, 2); třetí sloupec jako vektor 3 s 3 = 2. 8

Vlastnosti matic Čtvercová matice Matici typu n n, tj. matici, která má stejný počet řádků jako sloupců, nazýváme čtvercová matice. Příklady čtvercových matic: A = ( 4 5 3 2 ), B = 3 8 1 3 2 4 2 3 9, C = 7 3 8 1 3 1 2 4 2 9 3 9 1 9 4 7

Vlastnosti matic Obdélníková matice Matici typu n m, kde n m, tj. matici, která má jiný počet řádků než sloupců, nazýváme obdélníková matice. Příklady obdélníkových matic: A = 4 5 3 2 1 5, B = ( 3 8 2 3 2 1 ), C = 8 1 2 4 3 9 4 7

Vlastnosti matic Diagonální prvky a diagonála Prvky matice ve tvaru a ii nazýváme diagonální prvky. Všechny diagonální prvky matice vytvářejí tzv. diagonálu. A = 4 5 3 2 1 5, B = ( 3 8 2 3 2 1 ), C = 9 7 8 1 3 5 2 4 6 4 3 9 6 7 4 7 Červeně označené prvky v matici představují příslušné diagonální prvky.

Vlastnosti matic Horní trojúhelníková (lichoběžníková) matice Čtvercovou matici, ve které jsou všechny prvky pod diagonálou rovny nule, nazýváme horní trojúhelníková matice. Obdélníkovou matici, ve které jsou všechny prvky pod diagonálou rovny nule, nazýváme horní lichoběžníková matice.

Vlastnosti matic Horní trojúhelníková (lichoběžníková) matice Čtvercovou matici, ve které jsou všechny prvky pod diagonálou rovny nule, nazýváme horní trojúhelníková matice. Obdélníkovou matici, ve které jsou všechny prvky pod diagonálou rovny nule, nazýváme horní lichoběžníková matice. A = 4 5 4 0 2 7 0 0 9, B = 3 8 2 7 0 3 2 1 0 0 4 7

Vlastnosti matic Jednotková a nulová matice Čtvercovou matici, ve které jsou všechny diagonální prvky rovny jedné, a všechny zbývající prvky jsou rovny nule, nazýváme jednotková matice. Matici, ve které jsou všechny prvky rovny nule, nazýváme nulová matice.

Vlastnosti matic Jednotková a nulová matice Čtvercovou matici, ve které jsou všechny diagonální prvky rovny jedné, a všechny zbývající prvky jsou rovny nule, nazýváme jednotková matice. Matici, ve které jsou všechny prvky rovny nule, nazýváme nulová matice. A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1, B = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Vlastnosti matic Rovnost matic Řekneme, že dvě matice A a B jsou si rovny, jestliže jsou stejného typu (stejný počet řádků a sloupců) a pro všechny indexy i a j platí rovnost a ij = b ij, tj. a 11 = b 11, a 12 = b 12,..., a mn = b mn. 4 3 2 1 9 0 8 7 1 = 4 3 2 1 9 0 8 7 1

Vektory Pojem vektoru Vektorem budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel (x 1, x 2,..., x n ). Definice sčítání vektorů (a 1, a 2,..., a n ) (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n )

Vektory Pojem vektoru Vektorem budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel (x 1, x 2,..., x n ). Definice sčítání vektorů (a 1, a 2,..., a n ) (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ) Definice násobení vektoru reálným číslem α α (a 1, a 2,..., a n ) = (α a 1, α a 2,..., α a n )

Početní operace s vektory z R n Zadání Vypočtěte souřadnice vektoru w, pro který platí: w = 3 (2, 6, 4, 3) 2 ( 3, 1, 2, 4) + 4 (7, 6, 3, 2). Řešení w =3 (2, 6, 4, 3) 2 ( 3, 1, 2, 4) + 4 (7, 6, 3, 2) =(6, 18, 12, 9) + (6, 2, 4, 8) + (28, 24, 12, 8) =(40, 40, 20, 7)

Lineární nezávislost vektorů Lineární kombinace vektorů Řekneme, že vektor U je lineární kombinací skupiny vektorů V 1, V 2,... V n, jestliže existují čísla α 1, α 2,...,α n taková, že Lineární kombinace U = α 1 V 1 + α 2 V 2 +... + α 2 V 2. Zjistěte, zda vektor u = ( 2; 5; 0) je lineární kombinací vektorů v = (2; 1; 3) a w = ( 2; 1; 2). Řešení: Je-li u LK v a w, potom existují koeficienty α a β, které vyhovují rovnici ( 2; 5; 0) = α(2; 1; 3) + β( 2; 1; 2) = (2α; α; 3α) + ( 2β; β; 2β) = (2α 2β; α + β; 3α 2β)

Lineární nezávislost vektorů Lineární kombinace - pokračování Zjistěte, zda vektor u = ( 2; 5; 0) je lineární kombinací vektorů v = (2; 1; 3) a w = ( 2; 1; 2). Řešení: Je-li u LK v a w, potom existují koeficienty α a β, které vyhovují rovnici ( 2; 5; 0) = α(2; 1; 3) + β( 2; 1; 2) = (2α; α; 3α) + ( 2β; β; 2β) = (2α 2β; α + β; 3α 2β) 2 = 2α 2β

Lineární nezávislost vektorů Lineární kombinace - pokračování Zjistěte, zda vektor u = ( 2; 5; 0) je lineární kombinací vektorů v = (2; 1; 3) a w = ( 2; 1; 2). Řešení: Je-li u LK v a w, potom existují koeficienty α a β, které vyhovují rovnici ( 2; 5; 0) = α(2; 1; 3) + β( 2; 1; 2) = (2α; α; 3α) + ( 2β; β; 2β) = (2α 2β; α + β; 3α 2β) 2 = 2α 2β 5 = α + β

Lineární nezávislost vektorů Lineární kombinace - pokračování Zjistěte, zda vektor u = ( 2; 5; 0) je lineární kombinací vektorů v = (2; 1; 3) a w = ( 2; 1; 2). Řešení: Je-li u LK v a w, potom existují koeficienty α a β, které vyhovují rovnici ( 2; 5; 0) = α(2; 1; 3) + β( 2; 1; 2) = (2α; α; 3α) + ( 2β; β; 2β) = (2α 2β; α + β; 3α 2β) 2 = 2α 2β 5 = α + β 0 = 3α 2β

Lineární nezávislost vektorů Lineární kombinace - pokračování Zjistěte, zda vektor u = ( 2; 5; 0) je lineární kombinací vektorů v = (2; 1; 3) a w = ( 2; 1; 2). Řešení: Je-li u LK v a w, potom existují koeficienty α a β, které vyhovují rovnici ( 2; 5; 0) = α(2; 1; 3) + β( 2; 1; 2) = (2α; α; 3α) + ( 2β; β; 2β) = (2α 2β; α + β; 3α 2β) 2 = 2α 2β 5 = α + β 0 = 3α 2β α = 2 β = 3

Lineární nezávislost vektorů Lineární kombinace - pokračování Zjistěte, zda vektor u = ( 2; 5; 0) je lineární kombinací vektorů v = (2; 1; 3) a w = ( 2; 1; 2). Řešení: Je-li u LK v a w, potom existují koeficienty α a β, které vyhovují rovnici ( 2; 5; 0) = α(2; 1; 3) + β( 2; 1; 2) = (2α; α; 3α) + ( 2β; β; 2β) = (2α 2β; α + β; 3α 2β) 2 = 2α 2β 5 = α + β 0 = 3α 2β α = 2 β = 3 Závěr: vektor u je LK vektorů v a w

Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1)

Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β)

Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β)

Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β) (0, 1, 0) = α(1, 0, 0) + β(0, 0, 1)

Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β) (0, 1, 0) = α(1, 0, 0) + β(0, 0, 1) = (α, 0, 0) + (0, 0, β)

Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β) (0, 1, 0) = α(1, 0, 0) + β(0, 0, 1) = (α, 0, 0) + (0, 0, β) = (α, 0, β)

Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β) (0, 1, 0) = α(1, 0, 0) + β(0, 0, 1) = (α, 0, 0) + (0, 0, β) = (α, 0, β) (0, 0, 1) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0)

Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β) (0, 1, 0) = α(1, 0, 0) + β(0, 0, 1) = (α, 0, 0) + (0, 0, β) = (α, 0, β) (0, 0, 1) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) = (α, 0, 0) + (0, β, 0)

Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β) (0, 1, 0) = α(1, 0, 0) + β(0, 0, 1) = (α, 0, 0) + (0, 0, β) = (α, 0, β) (0, 0, 1) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) = (α, 0, 0) + (0, β, 0) = (α, β, 0)

Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β) (0, 1, 0) = α(1, 0, 0) + β(0, 0, 1) = (α, 0, 0) + (0, 0, β) = (α, 0, β) (0, 0, 1) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) = (α, 0, 0) + (0, β, 0) = (α, β, 0) Skupina není lineárně závislá.

Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β) (0, 1, 0) = α(1, 0, 0) + β(0, 0, 1) = (α, 0, 0) + (0, 0, β) = (α, 0, β) (0, 0, 1) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) = (α, 0, 0) + (0, β, 0) = (α, β, 0) Skupina není lineárně závislá. Skupina vektorů je lineárně nezávislá.

Matice Hodnost matice Hodnost matice je číslo, které udává počet lineárně nezávislých řádkových vektorů v matici. Příklad 3 8 1 5 A = 0 3 6 2 0 0 3 4 h(a) = 3

Matice Hodnost matice Hodnost matice je číslo, které udává počet lineárně nezávislých řádkových vektorů v matici. Příklad 3 8 1 5 A = 0 3 6 2 0 0 3 4 h(a) = 3 Dvě matice se nazývají ekvivalentní, jestliže mají stejný počet sloupců a stejnou hodnost. Úpravy, které převádějí matici v matici s ní ekvivalentní nazýváme ekvivalentní úpravy.

Vlastnosti matic Následující operace patří mezi ekvivalentní úpravy: 1 Změna pořadí řádkových vektorů. 2 Vynásobení řádkového vektoru nenulovým číslem.

Vlastnosti matic Následující operace patří mezi ekvivalentní úpravy: 1 Změna pořadí řádkových vektorů. 2 Vynásobení řádkového vektoru nenulovým číslem. 3 K libovolnému řádkovému vektoru přičteme lineární kombinaci zbývajících řádkových vektorů.

Vlastnosti matic Následující operace patří mezi ekvivalentní úpravy: 1 Změna pořadí řádkových vektorů. 2 Vynásobení řádkového vektoru nenulovým číslem. 3 K libovolnému řádkovému vektoru přičteme lineární kombinaci zbývajících řádkových vektorů. 4 Jestliže je některý řádkový vektor lineární kombinací ostatních řádkových vektorů, potom jej vynecháme.

Vlastnosti matic Následující operace patří mezi ekvivalentní úpravy: 1 Změna pořadí řádkových vektorů. 2 Vynásobení řádkového vektoru nenulovým číslem. 3 K libovolnému řádkovému vektoru přičteme lineární kombinaci zbývajících řádkových vektorů. 4 Jestliže je některý řádkový vektor lineární kombinací ostatních řádkových vektorů, potom jej vynecháme. 5 Připojení dalšího řádkového vektoru, který je lineární kombinací řádkových vektorů matice.

Vlastnosti matic Následující operace patří mezi ekvivalentní úpravy: 1 Změna pořadí řádkových vektorů. 2 Vynásobení řádkového vektoru nenulovým číslem. 3 K libovolnému řádkovému vektoru přičteme lineární kombinaci zbývajících řádkových vektorů. 4 Jestliže je některý řádkový vektor lineární kombinací ostatních řádkových vektorů, potom jej vynecháme. 5 Připojení dalšího řádkového vektoru, který je lineární kombinací řádkových vektorů matice. 6 Záměna pořadí sloupcových vektorů.

Vlastnosti matic Gaussův algoritmus výpočtu hodnosti matice Matici převedeme pomocí ekvivalentních úprav na horní lichoběžníkovou matici. Hodnost (tj. počet řádků) této horní lichoběžníkové matice je rovna hodnosti původní matice. 1 5 3 2 7 1 3 12 7... 1 5 3 0 3 5 0 0 1

Vlastnosti matic Gaussův algoritmus výpočtu hodnosti matice Matici převedeme pomocí ekvivalentních úprav na horní lichoběžníkovou matici. Hodnost (tj. počet řádků) této horní lichoběžníkové matice je rovna hodnosti původní matice. 1 5 3 2 7 1 3 12 7... 1 5 3 0 3 5 0 0 1 Gaussova metoda umožňuje rozhodnout o dané skupině vektorů v aritmetickém vektorovém prostoru, zda je či není lineárně závislá, vypočítat dimenzi vektorového prostoru určeného skupinou generátorů, popřípadě stanovit bázi takového podprostoru.

Příklad Úprava matice Gaussovou eliminací Určeme hodnost matice A, kde: A = 1, 3, 2, 2, 4 2, 6, 3, 0, 1 1, 1, 3, 1, 5 2, 2, 13, 2, 1

Příklad Úprava matice Gaussovou eliminací Řešení: Použijeme Gaussův algoritmus. 1 3 2 2 4 2 1 2 6 3 0 1 + 1 1 3 1 5 + 2 2 13 2 1 1 3 2 2 4 0 0 7 4 9 0 4 1 3 9 0 8 9 2 9 2 +

Příklad Úprava matice Gaussovou eliminací 1 3 2 2 4 0 0 7 4 9 0 4 1 3 9 0 8 9 2 9 1 3 2 2 4 0 4 1 3 9 0 0 7 4 9 0 8 9 2 9

Příklad Úprava matice Gaussovou eliminací 1 3 2 2 4 0 4 1 3 9 0 0 7 4 9 0 8 9 2 9 1, 3, 2, 2, 4 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, 9 0, 0, 7, 4, 9 2 +

Příklad Úprava matice Gaussovou eliminací 1, 3, 2, 2, 4 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, 9 0, 0, 7, 4, 9 1, 3, 2, 2, 4 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, 9.

Příklad Úprava matice Gaussovou eliminací 1, 3, 2, 2, 4 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, 9 0, 0, 7, 4, 9 1, 3, 2, 2, 4 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, 9. Získali jsme horní lichoběžníkovou matici, která má hodnost 3. Proto je h(a) = 3.

Soustava lineárních rovnic Soustava rovnic Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2. +. +... +. =. a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m kde a ij, b i jsou reálná čísla a x i neznámé, se nazývá soustava m lineárních algebraických rovnic o n neznámých, stručně soustava lineárních rovnic.

Matice soustavy rovnic Matice a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn je tzv. matice soustavy a matice a 11 a 12... a 1n b 1 a 21 a 22... a 2n b 2....... a m1 a m2... a mn b m se nazývá rozšířená matice soustavy.

Vlastnosti soustav rovnic Řešení soustavy rovnic Řešením soustavy nazýváme každý aritmetický vektor u = (u 1, u 2,..., u n ) R n, jehož složky u i, dosazeny za neznámé x i, přemění soustavu m rovnic v soustavu m rovností. 2x 1 4x 2 + x 3 = 5 u = (5; 2; 3)

Vlastnosti soustav rovnic Řešení soustavy rovnic Řešením soustavy nazýváme každý aritmetický vektor u = (u 1, u 2,..., u n ) R n, jehož složky u i, dosazeny za neznámé x i, přemění soustavu m rovnic v soustavu m rovností. 2x 1 4x 2 + x 3 = 5 u = (5; 2; 3) 2 5 4 2 + 3 = 5

Vlastnosti soustav rovnic Řešení soustavy rovnic Řešením soustavy nazýváme každý aritmetický vektor u = (u 1, u 2,..., u n ) R n, jehož složky u i, dosazeny za neznámé x i, přemění soustavu m rovnic v soustavu m rovností. 2x 1 4x 2 + x 3 = 5 u = (5; 2; 3) 2 5 4 2 + 3 = 5 u = (2; 0; 1)

Vlastnosti soustav rovnic Řešení soustavy rovnic Řešením soustavy nazýváme každý aritmetický vektor u = (u 1, u 2,..., u n ) R n, jehož složky u i, dosazeny za neznámé x i, přemění soustavu m rovnic v soustavu m rovností. 2x 1 4x 2 + x 3 = 5 u = (5; 2; 3) 2 5 4 2 + 3 = 5 u = (2; 0; 1) 2 2 4 0 + 1 = 5

Vlastnosti soustav rovnic Frobeniova věta Soustava lineárních rovnic má alespoň jedno řešení právě tehdy, když matice soustavy a rozšířená matice soustavy mají tutéž hodnost. Jestliže soustava lineárních rovnic o n neznámých má matici soustavy a rozšířenou matici soustavy téže hodnosti rovné číslu h, potom platí: 1 Jestliže h = n, soustava má právě jedno řešení. 2 Jestliže h < n, soustava má nekonečně mnoho řešení. Přitom všechna řešení dostaneme tak, že jistých n h neznámých voĺıme (všemi možnými způsoby) a zbývajících h neznámých (jednoznačně) vypočítáme.

Soustavy homogenních lineárních rovnic Homogenní soustava lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic, jejichž pravé strany jsou rovny nule, se nazývá homogenní soustava lineárních rovnic. Každou takovou soustavu můžeme zapsat ve tvaru: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = 0. +. +... +. =. a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = 0 kde x 1, x 2,..., x n jsou neznámé a prvky a ij jsou příslušné koeficienty u j-té neznámé v i-tém řádku soustavy.

Soustavy homogenních lineárních rovnic Předchozí soustava je pouze speciálním případem soustavy s nenulovou pravou stranou. Má však některé speciální zajímavé vlastnosti. 1 Soustava homogenních lineárních rovnic má vždy řešení. 2 Množina M všech řešení obecné soustavy lineárních rovnic (tj. soustavy rovnic s nenulovou pravou stranou) je rovna součtu m + V libovolného (tzv. partikulárního) řešení m obecné soustavy s vektorovým prostorem V všech řešení příslušné soustavy homogenních rovnic.

Soustava lineárních rovnic Vypočtěte řešení soustavy lineárních rovnic: x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 + 3x 4 = 7 3x 1 + 2x 2 + x 3 + 4x 4 = 4 2x 1 + x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 5 Soustavu zapíšeme v maticovém tvaru: 1 2 3 2 2 2 5 4 3 7 3 2 1 4 4 2 4 6 4 5

Gaussova eliminační metoda Při úpravě matice používáme následující úpravy k tomu, abychom ji převedli do tvaru horní lichoběžníkové matice: změna pořadí řádků matice vynásobení řádku matice nenulovým číslem přičtení nenulového násobku i-tého řádku k j-tému řádku vynechání řádku, který je lineární kombinací zbývajících řádků (zejména pokud obsahuje pouze nuly) Tím soustavu rovnic převedeme na jinou, ekvivalentní, soustavu, která má ovšem stejné řešení jako původně zadaná soustava rovnic.

Počet řešení soustavy rovnic Podle Frobeniovy věty může mít soustava lineárních rovnic celkem tři různé počty řešení: Soustava nemá řešení Toto nastane tehdy, jestliže se hodnost základní a rozšířené matice nerovnají. 1 2 3 2 2 2 5 4 3 7 3 2 1 4 4 2 4 6 4 5 1 2 3 2 2 0 1 2 1 3 0 0 2 1 1 0 0 0 0 1 Uvědomte si, že poslední rovnice v soustavě má tvar 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 1.

Počet řešení soustavy rovnic Soustava lineárních rovnic může mít celkem tři různé počty řešení: Soustava má právě jedno řešení Hodnost základní a rozšířené matice rovnají a tato hodnota je rovna počtu neznámých. 1 2 3 2 2 2 5 4 3 7 3 2 1 4 4 2 1 2 2 0 1 2 3 2 2 0 1 2 1 3 0 0 2 1 1 0 0 0 1 3 Uvědomte si, že poslední rovnice v soustavě má tvar 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 1x 4 = 3, resp. x 4 = 3.

Soustava s jediným řešením Nyní uvažujme třetí řádek v závěrečné matici: řádek (0 0 2 1 1) představuje rovnici tedy rovnici 0x 1 + 0x 2 + 2x 3 + x 4 = 1, 2x 3 + x 4 = 1. Již víme, že hodnota neznámé x 4 je rovna číslu 3. Rovnici upravíme do tvaru Je tedy 2x 3 + ( 3) = 1, resp. 2x 3 3 = 1. 2x 3 = 2, resp. x 3 = 1. Nyní již víme, že x 3 = 1 a x 4 = 3.

Soustava s jediným řešením Nyní uvažujme druhý řádek v závěrečné matici: řádek (0 1 2 1 3) představuje rovnici je tedy 0x 1 + 1x 2 + ( 2)x 3 + ( 1)x 4 = 3, x 2 2x 3 x 4 = 3. Již víme, že x 3 = 1 a x 4 = 3. Tyto hodnoty dosadíme do předchozí rovnice a dostaneme x 2 2 (1) ( 3) = 3, resp. x 2 + 1 = 3. Je tedy x 2 = 2. Nyní již víme, že x 2 = 2, x 3 = 1 a x 4 = 3.

Soustava s jediným řešením Nakonec uvažujme první řádek v závěrečné matici: řádek (1 2 3 2 2) představuje rovnici 1x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2. Víme, že x 2 = 2, x 3 = 1 a x 4 = 3. Tyto hodnoty dosadíme do předchozí rovnice a dostaneme x 1 + 2 2 + 3 1 + 2 ( 3) = 2, resp. x 1 + 1 = 2. Je tedy x 1 = 1. Tím jsme získali hodnoty všech neznámých: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 1 a x 4 = 3. Toto řešení zapíšeme ve vektorovém tvaru: (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (1, 2, 1, 3).

Počet řešení soustavy rovnic Soustava má nekonečně mnoho řešení Hodnost základní a rozšířené matice se rovnají a tato hodnota je menší než počet neznámých. 1 2 3 2 2 2 5 4 3 7 3 2 1 4 4 2 4 6 4 4 1 2 3 2 2 0 1 2 1 3 0 0 2 1 1 0 0 0 0 0 Uvědomte si, že poslední rovnice v soustavě má tvar 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 0.

Soustava s nekonečně mnoha řešeními Poslední rovnice 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 0, resp. 0 = 0 nepřináší žádnou informaci, proto ji vůbec nebereme v úvahu.

Soustava s nekonečně mnoha řešeními Třetí řádek (0 0 2 1 1) v závěrečné matici představuje rovnici 0x 1 + 0x 2 + 2x 3 + x 4 = 1, tedy jednu rovnici s dvěma neznámými: 2x 3 + x 4 = 1. Již víme, jak tyto rovnice řešit. Neznámou x 3 položíme rovnu parametru t a neznámou x 4 vyjádříme pomocí tohoto parametru. Je x 3 = t, kde t R a platí 2t + x 4 = 1, tedy x 4 = 1 2t.

Soustava s nekonečně mnoha řešeními Nyní uvažujme druhý řádek v závěrečné matici: řádek (0 1 2 1 3) představuje rovnici je tedy 0x 1 + 1x 2 + ( 2)x 3 + ( 1)x 4 = 3, x 2 2x 3 x 4 = 1. Již víme, že x 3 = t a x 4 = 1 2t. Tyto hodnoty dosadíme do předchozí rovnice a dostaneme x 2 2t ( 1 2t) = 3, resp. x 2 + 1 = 3. Je tedy x 2 = 2. Nyní již víme, že x 2 = 2, x 3 = t a x 4 = 1 2t, kde t R.

Soustava s nekonečně mnoha řešeními První řádek (1 2 3 2 2) v závěrečné matici představuje rovnici 1x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2. Víme, že x 2 = 2, x 3 = t a x 4 = 1 2t. Tyto hodnoty dosadíme do předchozí rovnice a dostaneme x 1 + 2 2 + 3t + 2( 1 2t) = 2, resp. x 1 + 2 t = 2. Je tedy x 1 = t. Tím jsme získali hodnoty všech neznámých: x 1 = t, x 2 = 2, x 3 = t a x 4 = 1 2t, kde t R. Toto řešení zapíšeme ve vektorovém tvaru: (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (t, 2, t, 1 2t) t R.

Soustava s nekonečně mnoha řešeními Řešení soustavy lze zapsat i v jiném tvaru. Je: (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (t, 2, t, 1 2t) t R = (0, 2, 0, 1) + (t, 0, t, 2t) = (0, 2, 0, 1) + t(1, 0, 1, 2), kde vektor (0, 2, 0, 1) představuje partikulární řešení nehomogenní soustavy rovnic a množina t(1, 0, 1, 2) je obecným řešením příslušné homogenní soustavy rovnic.

Operace s maticemi Označení V následujícím textu bude symbol M(m, n) značit množinu všech matic o rozměrech m n, tedy matici s m řádky a n sloupci. Symbol M(2, 2) tedy např. značí množinu všech čtvercových matic s dvěma řádky a dvěma sloupci. Příklad ( 5 3 1 11 2 5 ) M(2, 3)

Operace s maticemi Označení V následujícím textu bude symbol M(m, n) značit množinu všech matic o rozměrech m n, tedy matici s m řádky a n sloupci. Symbol M(2, 2) tedy např. značí množinu všech čtvercových matic s dvěma řádky a dvěma sloupci. Příklad Příklad ( 5 3 1 11 2 5 5 3 11 2 6 3 ) M(2, 3) M(3, 2)

Operace s maticemi Sčítání matic Necht (a ij ) a (b ij ) jsou libovolné matice z množiny M(m, n). Potom sčítání matic (a ij ) a (b ij ) je definováno vzorcem: (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ), je tedy a 11...a 1n a 21...a 2n..... + b 11...b 1n b 21...b 2n..... = a 11 + b 11... a 1n + b 1n a 21 + b 21... a 2n + b 2n..... a m1...a mn b m1...b mn a m1 + b m1...a mn + b mn Příklad ( 2 6 4 3 2 1 ) ( 2 1 2 + 1 1 2 ) = ( 4 5 6 4 3 3 ).

Operace s maticemi Násobení matic reálným číslem Násobení matice libovolným číslem α R je definováno takto α(a ij ) = (αa ij ). Příklad ( 2 3 1 4 2 1 4 ) = ( 8 12 4 8 4 16 ).

Operace s maticemi Násobení matic reálným číslem Násobení matice libovolným číslem α R je definováno takto α(a ij ) = (αa ij ). Příklad ( 2 3 1 4 2 1 4 ) = ( 8 12 4 8 4 16 ). Lze snadno ověřit, že množina M(m, n) spolu s operacemi sčítání matic a násobení matice reálným číslem tvoří vektorový prostor o dimenzi m n.

Operace s maticemi Skalární součin vektorů Necht u a v jsou dva vektory z aritmetického vektorového prostoru R n, tedy u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ). Skalární součin u v vektorů u a v je roven u v = (u 1,..., u n ) (v 1,..., v n ) = u 1 v 1 +... + u n v n. Příklad (1, 5, 4, 3) (2, 6, 3, 1) = 1 2 + 5 6 + 4 3 + ( 3) 1 = 41

Operace s maticemi Skalární součin vektorů Skalárně můžeme násobit i sloupcové vektory, nebo řádkový vektor se sloupcovým. Příklad 1 5 4 2 6 3 = = 1 2 + 5 6 + 4 3 = 44

Operace s maticemi Skalární součin vektorů Skalárně můžeme násobit i sloupcové vektory, nebo řádkový vektor se sloupcovým. Příklad 1 5 4 2 6 3 = = 1 2 + 5 6 + 4 3 = 44 Příklad (1, 5, 4) 2 6 3 = = 1 2 + 5 6 + 4 3 = 44

Operace s maticemi Násobení matic Necht (a ij ) M(p, q) a (b ij ) M(q, r). Potom součinem matic (a ij ) a (b ij ) rozumíme matici (c ij ) M(p, r), pro jejíž prvky platí c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j +... + a iq b qj, tedy platí, že prvek c ij je skalárním součinem i-tého řádku první matice a j-tého sloupce druhé matice. Příklad ( 2 5 3 1 ) ( 3 4 2 5 ) = = ( 2 3 + 5 2 2 4 + 5 5 3 3 + ( 1) 2 3 4 + ( 1) 5 ( 16 33 7 7 ) )

Operace s maticemi Příklad ( 1 2 3 2 0 2 ) 2 1 1 1 2 1 = ( 10 2 0 0 ). Vlastnosti součinu matic I Dvě matice lze vynásobit, jestliže lze provést příslušné skalární součiny, tj. jestliže první matice má stejný počet sloupců jako druhá matice řádků. Pokud se tyto počty nerovnají, matice nelze násobit.

Operace s maticemi Příklad ( 1 2 3 2 0 2 ) 2 1 1 1 2 1 = ( 10 2 0 0 ). Vlastnosti součinu matic I Dvě matice lze vynásobit, jestliže lze provést příslušné skalární součiny, tj. jestliže první matice má stejný počet sloupců jako druhá matice řádků. Pokud se tyto počty nerovnají, matice nelze násobit. Vlastnosti součinu matic II Násobíme-li dvě matice, potom výsledná matice má stejný počet řádků jako první matice a stejný počet sloupců jako druhá matice.