Kvantily. Problems on statistics.nb 1

Transkript

1 Problems o statistics.b Kvatily 5.. Nechť x a, kde 0 < a <, je a-kvatil rozděleí pravděpodobosti s distribučí fukcí F, tj. číslo charakterizovaé podmíkou x α = if8x» FHxL α<. Dokažte: HaL Fukce G :H0, L Ø defiovaá předpisem GHaL = x a je eklesající a v případě, že fukce F je spojitá, je dokoce rostoucí. HbL Je-li fukce F rostoucí ahabsolutěl spojitá a hustota pravděpodobosti je sudá fukce, potom x -a = -x a. (a) Pro a < b zřejmě 8x»FHxL b< Œ8x»FHxL a< a proto x a x b. Předpokládejme yí, že fukce F je spojitá. Potom, jak sado plye z defiice ifima, FHx a L = a, FHx b L = b, a proto vzhledem k už dokázaé erovosti x a x b erovost a < b implikuje x a < x b. (b) Je-li f hustota pravděpodobosti, potom = x α fh ul u = FH x α L = x α t = u = fhtl t = À t = u À = x α fhul u = To však spolu s ryzí mootoií fukce F implikuje rovost x -a = -x a. x α fhul u = α = FHx α L. 5.. Dělík vyrobí za směu průměrě 6 běžých metrů zdobeé látky se směrodatou odchylkou 4 běžé metry. V dílě je 0 dělíků, deí orma díly je 500 běžých metrů. HaL V kolika dech ze sta ebude průměrě orma díly splěa, jestliže deí výko jedoho dělíka je áhodá veličia s ormálím rozděleím? HbL Při jakém miimálím počtu dělíků bude orma díly plěa s pravděpodobostí 95 %? (a) Nechť X,, X 0 jsou áhodé veličiy zameající deí výkoy 0-ti dělíků díly. Ze zadáí úlohy plye, že každá z těchto veliči má ormálí rozděleí NHm, s L, kde m = 6, s = 4. Kromě toho je zřejmé, že výkoy jedotlivých dělíků, tj. áhodé veličiy X i jsou a sobě ezávislé. Náhodá veličia X D = X X 0 zameající deí výko díly, má tedy ormálí rozděleí NH0 m, 0 s L = NH50, 30L a áhodá veličia X D 0 µ σ è!!!!!! = X D 50 è!!!!!!!!! 0 30 má stadardí (ormovaé) ormálí rozděleí s distribučí fukcí F. Pravděpodobost, že díla esplí deí ormu, je proto rova Ä X P@X D < 500D = P D 50 è!!!!!!!!! 30 < è!!!!!!!!! 0 É 30 ÖÑ = Φi 0 y j è!!!!!!!!! z = Φ i è!!! 5 y j z U k 30 { k { Díla tedy esplí ormu průměrě v dech ze sta U U 3 (b) Je-li v dílě dělíků, potom X D má ormálí rozděleí NH m, s L a proto

2 Problems o statistics.b P@X D 500D 95 Ä É 00 P X D 6 4 è!!! è!!! ÖÑ Ä É X P D 6 4 è!!! 50 3 < è!!! ÖÑ 95 Φ i 50 3 j 00 k è!!! y z 95 { 00 Φ i 50 3 j k è!!! y 50 3 z 0.05 { è!!! u u è!!! Protože u 0.05 = -u 0.95 U , posledí kvadratická erovost pro m = è!!! má v oboru kladých čísel řešeí m 3 Ju "################################## u N U , což implikuje U To zameá, že miimálí počet dělíků zajišťující plěí pláu a 95 % je Výletí člu má osost 5000 kg, váha cestujícího je ormálě rozděleá áhodá veličia se středí hodotou 70 kg a rozptylem 400 kg. HaL Jaká je pravděpodobost, že při 65 cestujících bude člu přetíže? HbL Kolik cestujících může cestovat, aby pravděpodobost přetížeí čluu byla meší ež ê 000? (a) Nechť X, X, jsou áhodé veličiy zameající hmotosti jedotlivých cestujících. Ze zadáí úlohy plye, že každá z těchto veliči má ormálí rozděleí NHm, s L, kde m = 70, s = 0. Kromě toho je zřejmé, že hmotosti jedotlivých cestujících, tj. áhodé veličiy X i, můžeme pokládat za ezávislé. Náhodá veličia X C = X + + X 65 zameající celkovou hmotost 65-ti cestujících, má tedy ormálí rozděleí NH65 m, 65 s L = NH4550, 6000L a áhodá veličia X C 65 µ σ è!!!!!! = X C è!!!!!! 65 má stadardí (ormovaé) ormálí rozděleí s distribučí fukcí F. Pravděpodobost, že člu s 65-ti cestujícími bude přetíže, je proto rova P@X C > 5000D = Ä X = P@X C 4550 > 450D = P C è!!!!!! > è!!!!!! 65 É ÖÑ = = Φ i 9 j $%%%%%%%%% 5 y 3 z U U U 0.6 %. k { (b) Položme X C = X + + X a ozačme u a a-kvatil stadardího ormálího rozděleí. Potom zřejmě platí ekvivalece Ä É X P@X C > 5000D < 0.00 P C 70 0 è!!! > 0 è!!! < 0.00 ÖÑ Ä É Ä É Φ 0 è!!! ÖÑ < 0.00 Φ è!!! > ÖÑ è!!! > u è!!! u < 0. Stačí tedy vyřešit posledí kvadratickou erovost pro m = è!!!!. Protože u U a kvadratická rovice 70 m + 0 m u = 0 má kořey m U , m U 8.06, erovosti vyhovují kladá čísla m < m a tedy kladá čísla < m U To zameá, že pravděpodobost přetížeí bude meší ež 0.%, pokud cestujících bude ejvýše Náhodé veličiy U,, U jsou ezávislé a každá má ormálí rozděleí NH0, L. Určete čísla a, b tak, aby pro áhodou veličiu W = U + + U byly splěy rovice P@W > ad = 0.90, P@W < bd = 0.95.

3 Problems o statistics.b 3 Náhodé veličiy U è = U ë è!!!!,, U è = U ë è!!!! jsou ezávislé a každá z ich má rozděleí NH0, L. Náhodá veličia W = HU U L = U U má proto rozděleí c s -ti stupi volosti a platí ekvivalece P@W > ad = 0.90 PA W > a W E = 0.90 PA a a E = 0.0 = χ 0.0HL, P@W < bd = 0.95 PB W < b F b = χ 0.95HL, kde c a HL je a-kvatil c -rozděleí s stupi volosti. Tedy a = χ 0.0 HL U U.6076, b = χ 0.95 HL U.06 U Náhodé veličiy U,, U 0, V jsou ezávislé, každá z prvích 0 veliči má ormálí rozděleí se středí hodotou m = 0 a rozptylem s = 5 a V má rozděleí NH0, 3L. Určete čísla a, b tak, aby pro áhodou veličiu byly splěy rovice W = V í "############################## U U 0 P@W > ad = 0.90, P@W < bd = Náhodé veličiy U è = U ë è!!!! 5,, U è 0 = U 0 ë è!!!! 5, V è = V ë è!!! 3 jsou ezávislé a každá z ich má stadardí (ormovaé) ormálí rozděleí. Protože 3 W = $%%%%%%%%% 50 V "############################################## IU, U Më0 veličia è!!!!!!!!!!!! 50ê3 W má Studetovo t-rozděleí s 0-ti stupi volosti, a platí P@W > ad = 0.90 PA è!!!!!!!!!!!!! 50ê3 W > a è!!!!!!!!!!!!! 50ê3E = 0.90 PA è!!!!!!!!!!!!! 50ê3 W a è!!!!!!!!!!!!! 50ê3E = 0.0 a è!!!!!!!!!!!!! 50ê3 = t 0.0 H0L = t 0.90 H0L, P@W < bd = 0.95 PA è!!!!!!!!!!!!! 50ê3 W < b è!!!!!!!!!!!!! 50ê3E = 0.95 b è!!!!!!!!!!!!! 50ê3 = t 0.95 H0L, kde t a HL je a-kvatil Studetova t-rozděleí s stupi volosti. Tedy 3 a = t 0.90 H0L $%%%%%%%%% U U , 50 3 b = t 0.95 H0L $%%%%%%%%% U U Náhodé veličiy U,, U 0, V jsou ezávislé, každá z prvích 0 veliči má ormálí rozděleí se středí hodotou m = 0 a směrodatou odchylkou s = a V má rozděleí NH0, 3L. Najděte řešeí a rovice P@U + U U 0 α V D = Má-li daá rovice řešeí, pak toto řešeí je utě kladé, eboť pro a 0 P@U + U + U 0 α V D = P@U + U + U 0 0D =. Můžeme tedy předpokládat, že a > 0. Položíme-li U è i = U i ê pro i =,, 0 a V è = V ë è!!! 3, pak zřejmě Ä É P@U + U U 0 α V D = P è!!! α V "######################################## è!!! = U + U U 0 α ÖÑ Ä 40 P $%%%%%%%%%% 3 α V É 40 "######################################################## IU $%%%%%%%%%%. 3 α + U U 0 Më0 ÖÑ Náhodé veličiy U è,, U è 0, V è jsou ezávislé a každá z ich má rozděleí NH0, L. Náhodá veličia 0

4 4 Problems o statistics.b V W = "######################################################## IU + U U 0 Më0 má proto Studetovo rozděleí s 0-ti stupi volosti a tedy P@U + U + U 0 α V D = F i j $%%%%%%%%%% 40 y 3 α z Fi j $%%%%%%%%%% 40 y 3 α z = Fi j $%%%%%%%%%% 40 y 3 α z i j Fi j $%%%%%%%%%% 40 yy 3 α zz = Fi j $%%%%%%%%%% 40 y 3 α z, k { k { k { k k {{ k { kde F je distribučí fukce tohoto rozděleí. Odtud postupě dostáváme P@U + U + U 0 α V D = 0.95 F i j $%%%%%%%%%% 40 y 3 α z = 0.95 Fi j $%%%%%%%%%% 40 y 40 3 α z = $%%%%%%%%%% 3 α = t H0L, k { k { kde t a HL je a-kvatil Studetova t-rozděleí s stupi volosti. Odtud 40 α = 3 t H0L U U U U Náhodé veličiy U,, U 8, V jsou ezávislé, každá z veliči U,, U 8 má ormálí rozděleí se středí hodotou m = 0 a rozptylem s =, veličia V je ezáporá a veličia V má rozděleí c H4L. Najděte všecha řešeí a rovice PA "###################################### U + U U 8 α VE = Má-li daá rovice řešeí, pak toto řešeí je utě kladé, eboť pro a 0 PA "###################################### U + U U 8 α VE = PA "###################################### U + U U 8 0E =. Můžeme tedy předpokládat, že a > 0. Položíme-li U è i = U i ë è!!! pro i =,, 8, pak zřejmě PA "###################################### U + U U 8 α VE = PB U + U U 8 α F = Ä V = P U É Ä + U U α 8 ÖÑ = P V ê 4 IU + U U 4 É Më8 α. 8 ÖÑ Protože áhodé veličiy U,, U 8, V jsou ezávislé, veličia U è è è + U U 8 má c -kvadrát rozděleí s osmi stupi volosti a je ezávislá a veličiě V, která má podle předpokladu c -kvadrát rozděleí se čtyřmi stupi volosti. Náhodá veličia W = V V ê 4 IU + U U Më8 má proto Fisherovo-Sedecorovo rozděleí FH4, 8L o 4 a 8 stupích volosti, a tedy PA "############################ U + U + U 8 α VE = α = F 0.95H4, 8L, kde F b H4, 8L je b-kvatil tohoto rozděleí. Odtud 4 α = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% F 0.95 H4, 8L U è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! U

5 Problems o statistics.b 5 Odhady parametrů 6.. Jaa a Petr chtěli zát vzdáleost od koleje k zastávce tramvaje. Jaa změřila tuto vzdáleost 0-krát, Petr ji změřil 5-krát, přičemž všecha jejich měřeí byla stejě přesá a eměla systematickou chybu. Každý z ich spočítal ze svých měřeí aritmetický průměr, takže yí mohou za výsledý odhad vzdáleosti prohlásit buď aritmetický průměr těchto svých aritmetických průměrů, ebo aritmetický průměr výsledků všech svých 5 měřeí. Který způsob je z hlediska přesosti výsledého odhadu lepší? Nechť X, X,..., X 0 jsou výsledky měřeí provedeých Jaou a Y, Y,....Y 5 jsou výsledky měřeí provedeých Petrem. Protože všecha měřeí byla stejě přesá a eměla systematickou chybu, jejich výsledky jsou ezávislé áhodé veličiy se stejou směrodatou odchylkou s a středí hodotou m rovou měřeé vzdáleosti. Nechť êêê je aritmetický průměr Jaiých měřeí, êê je aritmetický průměr Petrových měřeí a ê ê je aritmetický průměr všech měřeí. Oba odhady ê ê, H êêê + êê Lê vzdáleosti m jsou zřejmě estraé a proto s hlediska přesosti je lepším odhadem te, který má meší rozptyl. Protože díky ezávislosti všech měřeí varhl = σ + varhl + varhl, varj N = 5 4 lepším odhadem je aritmetický průměr všech 5-ti měřeí. = 4 J σ 0 + σ 5 N = σ 4, 6.. Na základě zjištěých kocetrací 30 vzorků kyseliy, měřeých s přesostí a jedu desetiu proceta a uvedeých v tabulce četostí i vzorků s kocetracemi x i Kocetrace x i Četost i bodově odhaděte středí hodotu, rozptyl a směrodatou odchylku její kocetrace. Výsledek měřeí kocetrace kyseliy je jistá áhodá veličia Z se středí hodotou m a směrodatou odchylkou s a zjištěé kocetrace 30-ti vzorků kyseliy představují realizaci =Hz,..., z 30 L jistého áhodého výběru rozsahu 30 ze základího souboru Z. Středí hodotu m proto můžeme bodově odhadout výběrovým průměrem (přesěji realizací výběrového průměru ê ê ) 30 = 30 z i = i= 8 30 i= i x i = U U a směrodatou odchylku můžeme bodově odhadout výběrovou směrodatou odchylkou (přesěji realizací výběrové směrodaté odchylky S ) 30 s = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 9 Hzi L = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% i= 9 8 i Hx i L = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% U i= 9 U è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! U U Geigerův-Müllerův přístroj zazameával v časových itervalech délky 7.5 sekudy počet vyzářeých a-částic. Výsledky měřeí jsou uvedey v ásledující tabulce: Počet částic Četost itervalů Za předpokladu, že počet a-částic vyzářeých v 7.5 sekudových itervalech se řídí Poissoovým rozděleím, HaL odhaděte bodově parametr l tohoto rozděleí, HbL odhaděte pravděpodobost, že v ásledujícím 7.5 sekudovém itervalu bude počet vyzářeých a-částic větší ež. (a) Ozačíme-li X počet částic vyzářeých v 7.5 sekudovém itervalu, potom podle defiice Poissoova rozděleí je X diskrétí áhodá veličia abývající hodot k = 0,,... s pravděpodobostmi P@X = kd = l k -l ê k! a zázamy přístroje představují realizaci =Hx,..., x 608 L jistého áhodého výběru rozsahu 608 ze základího

6 6 Problems o statistics.b souboru X. Protože EHXL = l, parametr l můžeme bodově odhadout výběrovým průměrem (přesěji realizací výběrového průměru êêê ) = x i = i=0 608 i=0 i i = U (b) Pravděpodobost, že v ásledujícím 7.5 sekudovém itervalu bude počet vyzářeých a-částic větší ež, je dáa vztahem P@X > D = P@X = 0D P@x = D P@X = D = J + λ + λ N λ. Odhademe ji tak, že přesou ezámou hodotu parametru l ahradíme jejím odhadem. Dostaeme P@X > D U i k j ++ y z U { U U Při sledováí doby životosti určitého zařízeí bylo získáo těchto 8 údajů (v hodiách): Za předpokladu, že doba životosti má expoeciálí rozděleí pravděpodobosti, HaL odhaděte bodově středí hodotu doby životosti zařízeí, HbL a základě tohoto odhadu odhaděte pravděpodobost, že zařízeí bude fugovat ještě po 00 hodiách. (a) Doba životosti je podle předpokladu áhodá veličia X s expoeciálím rozděleím pravděpodobosti a získaé údaje představují realizaci =Hx,..., x 8 L jistého áhodého výběru rozsahu 8 z X. Středí hodotu m veličiy X proto můžeme odhadout výběrovým průměrem (přesěji realizací výběrového průměru êêê ) = 8 8 i= x i = 44 8 = (b) Protože hustota pravděpodobosti f áhodé veličiy X je dáa vztahem fhxl = l o 0, x < 0, m o µ xêµ, x 0, pravděpodobost, že zařízeí bude fugovat ještě po 00 hodiách, je rova P@X 00D = µ exph xêµl x = 00êµ. 00 Odhademe ji tak, že přesou ezámou hodotu parametru m ahradíme jejím odhadem. Dostaeme P@X 00D U 00ê U U Jedím přístrojem bylo provedeo 5 ezávislých měřeí úhlu s těmito výsledky: Za předpokladu ormality rozděleí chyb měřeí odhaděte ejlepšími estraými odhady skutečou velikost úhlu a rozptyl přístrojem měřeých veliči. Výsledek měřeí úhlu je podle předpokladu áhodá veličia X s ormálím rozděleím pravděpodobosti NHm, s L a aměřeá data představují realizaci jistého áhodého výběru rozsahu 5 z tohoto rozděleí. Nejlepším estraým odhadem středí hodoty m je proto výběrový průměr (přesěji realizace výběrového průměru êêê ) = H L = a ejlepším estraým odhadem rozptylu s je výběrový rozptyl (přesěji realizace výběrového rozptylu S ) s = 4 H L =

7 Problems o statistics.b Životost brzdové destičky je ormálě rozděleá áhodá veličia se středí dobou životosti km a směrodatou odchylkou 0000 km. HaL Jaká je pravděpodobost, že výběrový průměr životosti 0 vybraých destiček bude vyší ež km? HbL Kolik destiček je třeba vybrat, aby pravděpodobost, že výběrový průměr životosti těchto vybraých destiček bude větší ež 85000, byla meší ež %? (a) Výběrový průměr êêê životosti 0 vybraých destiček je áhodá veličia s rozděleím NH80000, 5 ä0 6 L a proto P@ > 85000D = P@ 85000D = PA 000 è!!! 5 è!!! 5E = Φ I è!!! 5M U U U U.3 %. (b) Ozačíme-li êêê výběrový průměr životosti áhodě vybraých destiček, potom P@ > 85000D < 0 P@ 85000D < 0 P@ 85000D > 99 0 PA ë è!!! ë è!!! E > 99 0 Φ I è!!! ë M > 99 0 è!!! ë > u 0.99 > 4 u 0.99 U U To zameá, že výběrový průměr životosti vybraých destiček bude větší ež km s pravděpodobostí meší ež %, pokud jich bude vybráo alespoň Na dvou letištích A, B byly zazameáy tyto maximálí ročí rychlosti větru v mês: Rok A B Za předpokladu, že maximálí ročí rychlost větru a letišti A a maximálí ročí rychlost větru a letišti B tvoří áhodý vektor s dvourozměrým ormálím rozděleím pravděpodobosti NHm A, m B, s A, s B, rl, odhaděte bodově parametry tohoto rozděleí. Ozačme X a Y maximálí ročí rychlost větru a letišti A resp. B. Z předpokladu o rozděleí pravděpodobosti áhodého vektoru HX, YL vyplývá, že X má rozděleí NHm A, s A L a Y má rozděleí NHm B, s B L. Maximálí ročí rychlosti větru aměřeé a letištích A a B představují realizaci resp. jistého áhodého výběru resp. ze základího souboru X resp. Y. Středí hodoty m A a m B proto můžeme bodově odhadout výběrovým průměrem êê resp. êê a rozptyly s A a s B můžeme bodově odhadout výběrovým průměrem s resp. s : = 3 3 i= x i = s = s = i= U 5.8, = 3 3 i= 3 3 i= Hx i L U Hy i yl U y i = U 8.6, U 4.4. U 5.6, Zbývá odhadout koeficiet korelace r = covhx A, X B LêHs A s B L. Protože středí hodota výběrového koeficietu kovariace S = HX i L HY i L, i= kde je rozsah áhodých výběrů a, je rova covhx, YL, koeficiet r můžeme bodově odhadout pomocí realizace r výběrového koeficietu korelace R = S êhs S L: r = s s s = 3 i= Hx i L Hy i L "################################## 3 Hx i L "################################ U 3 Hy i yl i= i= è!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!! U

8 8 Problems o statistics.b 6.8. Aritmetický průměr výkou 0 testovaých strojů za směu dosáhl hodoty êê = 74 výrobků. Za předpokladu, že výko strojů má ormálí rozděleí pravděpodobosti s rozptylem s = 35, sestrojte oboustraý 95 %-í iterval spolehlivosti pro středí hodotu m výkou strojů. Výkoy testovaých strojů jsou zřejmě ezávislé a proto tvoří áhodý výběr rozsahu = 0 z rozděleí NHm, 35L.Itervalový odhad středí hodoty m o spolehlivosti 95% má při zámém rozptylu s tvar i σ j u è!!! k, + u σ y è!!! z, { kde u a je a-kvatil stadardího (ormovaého) ormálího rozděleí. Po dosazeí = 0, s = è!!!!!! 35, êêê = 74 a u U dostaeme iterval H70.333, L Aritmetický průměr výkou 0 testovaých strojů za směu dosáhl hodoty êê = 74 výrobků, přičemž výběrová směrodatá odchylka měla hodotu s = 6.3. Za předpokladu, že výkoy strojů jsou áhodé veličiy se stejým ormálím rozděleím pravděpodobosti, sestrojte oboustraý itervalový odhad středí hodoty m výkou strojů o spolehlivosti 95 %. Výkoy testovaých strojů jsou zřejmě ezávislé a proto tvoří áhodý výběr rozsahu = 0 z rozděleí NHm, s L. Itervalový odhad středí hodoty m o spolehlivosti 95% má při ezámém rozptylu s tvar i j t H L k S è!!!, + t S y 0.975H L è!!! z, { kde t a HmL je a-kvatil Studetova t-rozděleí o m stupích volosti. Po dosazeí = 0, êêê = 74, S = 6.3 a t H - LU.66 dostaeme iterval H , L Z výsledků pěti měřeí byl vypočte výběrový průměr êê = 0 a výběrový rozptyl s =. S jakou spolehlivostí můžeme tvrdit, že skutečá hodota m základího souboru s rozděleím NHm, s L leží v itervalu H9.344, L, tj. jakou spolehlivost má teto itervalový odhad středí hodoty m? Výsledky měřeí představují realizaci jistého áhodého výběru rozsahu = 5 z rozděleí NHm, s L. Protože áhodá veličia T =H êêê - ml è!!!! ë S má Studetovo t-rozděleí s - stupi volosti a < µ < S ë è!!! < µ S ë è!!! < S ë è!!!, iterval H9.344, L je realizací itervalového odhadu s ë è!!! S è!!! < µ < s ë è!!! S è!!! středí hodoty m o spolehlivosti i y α = F j k s ë è!!! z F i y j { k s ë è!!! z, { kde F - je distribučí fukce Studetova t-rozděleí s - stupi volosti. Po dosazeí za, êê a s dostaeme α U F 4 H L F 4 H.445L = F 4 H L + F 4 H.445L. Hodoty distribučích fukcí F bohužel v základích statistických tabulkách eajdeme. Fukci F 4 však můžeme vyjádřit pomocí elemetárích fukcí, což ám umoží potřebé hodoty vypočítat. Protože Studetovo t-rozděleí se čtyřmi stupi volosti má hustotu pravděpodobosti substitucí x = tg t dostaeme 5ê fhxl = J 4 + x N,

9 Problems o statistics.b 9 Tedy F 4 HxL = 3 arctghxêl 4 cos 3 t t = B 9 πê 6 = 9 6 siiarctg x M + 6 = sih3 tl si t + 6 sii3 arctg x x Hx + 6L Hx + 4L è!!!!!!!!!!!!! x M + = F 4 H L U , F 4 H.445L U , α U U 78.6 %. arctghxêl F = πê Závěr: iterval H9.344, L je realizací itervalového odhadu středí hodoty m o spolehlivosti alespoň 78.6 % a proto se stejou spolehlivostí můžeme tvrdit, že v ěm m leží. 6.. Pro posouzeí rozdílů výkoů dělíků a dvou pracovištích A a B byly zazameáy výkoy x i devíti áhodě vybraých dělíků z pracoviště A a výkoy y i devíti áhodě vybraých dělíků z pracoviště B: x i y i Sestrojte oboustraý 95 %-í iterval spolehlivosti pro rozdíl středích hodot výkoů dělíků a pracovištích A a B za předpokladu, že oba výběry pocházejí z ormálích rozděleí (a) se stejým zámým rozptylem s = 35, (b) se stejým ezámým rozptylem. (a) Výkoy dělíků a pracovišti A představují áhodý výběr z ormálího rozděleí NHm A, s L a výkoy dělíků a pracovišti B představují áhodý výběr z ormálího rozděleí NHm B, s L. Protože výkoy jedotlivých dělíků jsou ezávislé, výběrové průměry êêê, êê êê êêê jsou ezávislé a rozdíl - má rozděleí m+ NHm B - m A, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m s L, kde m je rozsah výběru a je rozsah výběru. Itervalový odhad rozdílu m B - m A o spolehlivosti 95 % má proto tvar i j u $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hm + L σ, +u m $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hm + L σ y m z, k { kde u a je a-kvatil rozděleí NH0, L. Po dosazeí m = = 9, s = è!!!!!! 35, êêê = 78, êê = 85 a u0.975 U dostaeme iterval H.5339,.466L. (b) Rozdíl êê - êêê má opět rozděleí NHmB - m A, s ê L, kde je rozsah výběrů,. Rozptyl s však tetokrát eí zám a proto itervalový odhad rozdílu m B - m A o spolehlivosti 95 % má tvar i j t 0.975Hm + L $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hm + L S, +t m Hm + L $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hm + L S y m z, k { kde t a HmL je a-kvatil Studetova t-rozděleí o m stupích volosti a S = Hm L S +H L S. m + Po dosazeí m = = 9, êêê = 78, êê = 85, S = 39.5, S = 33.5 a t Hm + - LU.99 dostaeme iterval H , 3.07L. 6.. Pro posouzeí rozdílu výkou dělíků před a po ročím zapracováí bylo áhodě vybráo = 8 jediců, jejichž výsledky (hmotost za týde vyrobeých matic vyjádřeá v kg) jsou uvedey v tabulce: Dělík Novák Filip Šikal Prouza Kos Pospíšil Vlk Krejčí Výko před Výko po Za předpokladu, že výko dělíka HX, YL před a po zapracováí má ormálí rozděleí pravděpodobosti, sestrojte oboustraý itervalový odhad rozdílu výkou po a před zapracováím o spolehlivosti 90 %. Nechť =HX,.., X L resp. =HY,..., Y L, je áhodý vektor výkoů dělíků před resp. po zapracováí. Podle předpokladu =H, L T je áhodý výběr rozsahu = 8 ze základího dvourozměrého souboru HX, YL s ormál-

10 0 Problems o statistics.b ím rozděleím pravděpodobosti NHm X, m Y, s X, s Y, rl, kde m X resp. m Y je průměrý výko dělíka před zapracováím resp. po zapracováí a všechy parametry jsou ezámé. Itervalový odhad rozdílu m Y - m X o spolehlivosti 90 % má proto tvar i j t 0.95H L $%%%%%%%%%% S, + t 0.95H L $%%%%%%%%% S y z, k { kde t a HmL je a-kvatil Studetova t-rozděleí o m stupích volosti a = -. Po dosazeí = 8, êêê = 8, S = 494ê7 a t 0.95 H - LU dostaeme iterval H.3793, 3.67L Hmotost kaprů v rybíce má ormálí rozděleí se zámou směrodatou odchylkou s = 0. kg. Na základě hmotostí áhodě vyloveých šesti kaprů ajděte HaL oboustraý 95 % -í iterval spolehlivosti pro středí hodotu m hmotosti kaprů v rybíku, HbL oboustraý a dolí itervalový odhad o spolehlivosti 95 % pro celkový zisk z výlovu, jestliže majitel chová v rybíku k = 800 kaprů a za kg kaprů utrží 60 Kč. (a) Hmotosti áhodě vyloveých kaprů představují realizaci jistého áhodého výběru rozsahu = 6 z ormálího rozděleí NHm, s L, kde s = 0.. Oboustraý 95 % -í iterval spolehlivosti pro středí hodotu m má proto tvar i j u k σ è!!!, + u σ y è!!! z. { kde u a je a-kvatil stadardího (ormovaého) ormálího rozděleí. Po dosazeí = 6, s = 0., êêê = a u U dostaeme iterval H.80664,.67L. (b) Hmotosti kaprů jsou ezávislé áhodé veličiy X, X,, X k s rozděleím NHm, s L. Celkový průměrý zisk Z z výlovu všech kaprů v rybíce je rove středí hodotě áhodé veličiy 60 HX + X + + X k L s rozděleím NH60 k m, 60 k s L, tj. 60 k m. Zisk Z je tedy fukcí parametru m a proto platí: Jestliže Hm D, m H L je oboustraý itervalový odhad středí hodoty m o spolehlivosti 95 % sestrojeý a základě áhodě vyloveých kaprů, potom H60 k m D, 60 k m H L je oboustraý itervalový odhad průměré hodoty zisku Z o stejé spolehlivosti. Protože rozptyl je zám, tyto odhady mají tvar Hµ D, µ H L = i j u k σ è!!!, + u σ y è!!! z, { H60 k µ D, 60 k µ H L = i k j60 k u 60 k σ è!!!, 60 k + u 60 k σ y è!!! z, { kde êêê je výběrový průměr hmotostí áhodě vyloveých kaprů a u a je a-kvatil stadardího ormálího rozděleí. Po dosazeí k = 800, = 6, s = 0., êêê = a u U dostaeme pro celkový průměrý zisk iterval H8678.5, 008.5L. Aalogicky platí: je-li m D levý eboli dolí odhad středí hodoty m o spolehlivosti 95 % sestrojeý a základě áhodě vyloveých kaprů, potom 60 k m D je dolí odhad průměré hodoty zisku Z o stejé spolehlivosti. Protože rozptyl je zám, tyto odhady mají tvar µ D = u 0.95 σ è!!!, 60 k µ D = 60 k u 60 k σ è!!!. Po dosazeí k = 800, = 6, s = 0., êêê = a u 0.95 U dostaeme pro celkový průměrý zisk dolí odhad Při vyšetřováí homogeity pevosti umělých vláke byly u 5 vzorků aměřey tyto hodoty: Za předpokladu, že výběr pochází z ormálího rozděleí, určete (a) oboustraý (b) pravostraý 95%-í iterval spolehlivosti pro rozptyl pevosti.

11 Problems o statistics.b (a) Oboustraý itervalový odhad rozptylu ormálího rozděleí NHm, s L o spolehlivosti 95 % zkostruovaý z áhodého výběru rozsahu má tvar J H L S H L, H L S H L N, χ χ 0.05 kde c a H - L je a-kvatil c -rozděleí s - stupi volosti. Po dosazeí = 5, S = 6.767, χ 0.05 H L = , χ H L = 6.89 dostaeme iterval H3.3086, 5.359L. (b) Pravý eboli horí odhad odhad rozptylu ormálího rozděleí NHm, s L o spolehlivosti 95 % zkostruovaý z áhodého výběru rozsahu má tvar H L S H L. χ 0.05 Po dosazeí = 5, S = a c 0.05 H - L = dostaeme horí odhad 3.5. << Statistics` Testováí hypotéz 7.. U stadardě vyráběého materiálu má mez pevosti R m ormálí rozděleí se středí hodotou 640 Mpa a směrodatou odchylkou 4.5 Mpa. Změou poslouposti tepelých úprav byl připrave ový materiál, u ějž víme, že R m má také ormálí rozděleí se směrodatou odchylkou s = 4.5 Mpa, stejou jako u materiálu stadardího. U deseti vzorků ového materiálu byly aměřey tyto hodoty R m : HaL Na hladiě výzamosti a=0.05 proveďte test hypotézy H 0 :m=640 proti alterativě H :µ 640. HbL Pro uvedeý test a hladiu výzamosti a=0.05 vypočtěte postupě pravděpodobost chyby. druhu pro skutečou hodotu středí hodoty m=64, 64, 643, 644, 645, 646 a ze zjištěých hodot určete přibližě jeho silofukci P HmL. (a) Jedá se o test o středí hodotě ormálího rozděleí pravděpodobosti se zámým rozptylem a základě realizace =H65, 639, 645, 648, 650, 643, 65, 640, 644, 645L jistého áhodého výběru rozsahu = 0. Nulovou hypotézu a daé hladiě výzamosti zamítáme, jestliže R =» 640» 4.5ë è!!!!!! 0 u 0.975, kde u b je b-kvatil stadardího (ormovaého) ormálího rozděleí. Protože pro daou realizaci výběru = 6457 = 645.7, R U , u U.95996, hypotézu m = 640 a základě aměřeých dat a hladiě výzamosti 5 % spolehlivě zamítáme. Pozámka. Nejmeší hodota a, pro kterou test a základě realizace ulovou hypotézu ještě zamítá, je tzv. dosažeá hodota výzamosti (p-hodota, p-value) testu. Protože RUu , dosažeá hodota výzamosti testu pro aměřeé hodoty leží v itervalu X , \, takže ulovou hypotézu bychom zamítli a každé kladiě výzamosti a (b) Předpokládejme, že skutečá středí hodota m eí rova 640. Chyby. druhu se dopustíme, pokud bude platit erovost»r» < u 0.975, takže hypotézu H 0 ezamíteme. Z defiice statistiky R vyplývá, že tato erovost je ekvivaletí erovostem 4.5 u è!!!!!! 0 < 640 < + u è!!!!!! 0, a tudíž také erovostem

12 Problems o statistics.b è!!!!!! 0 H640 µ L 4.5 u < è!!!!!! µ 4.5ë è!!!!!! 0 < H640 µ L u Protože m je podle předpokladu skutečá středí hodota ormálího rozděleí, z ěhož áhodý výběr pochází, áhodá veličia R m = è!!!!!! 0 I - mmë4.5 má rozděleí NH0, L, a proto P R» < u D = Φ i è!!!!!! 0 jh640 µ L k u y 0.975z Φ i è!!!!!! 0 jh640 µ L { k 4.5 u y 0.975z, { kde F je distribučí fukce rozděleí NH0, L. Vypočteme-li R m a tuto pravděpodobost pro hodoty m uvedeé v zadáí příkladu, dostaeme tabulku , a protože, jak se sado ahléde, P 640+ H»R» < u L = P 640- H»R» < u L, dostaeme také tabulku Zázoríme-li graficky fukci m# P m H» R» < u L a silofukci použitého testu m# - P m H» R» < u L, dostaeme teto obrázek, a ěmž jsou červeě zobrazey graf silofukce a jeho body odpovídající vypočteým hodotám: Pro kotrolu správosti astaveí měřicího přístroje bylo provedeo 0 měřeí zkušebího etalou se správou hodotou m 0 = 5.0. Byly získáy tyto výsledky: Je možé připustit, že odchylky od správé hodoty jsou způsobey áhodými chybami měřeí, ebo je možé spolehlivě a hladiě výzamosti a = 0.05 tvrdit, že přístroj má systematickou chybu? Výsledek každého měřeí je áhodá veličia, o íž můžeme a základě zkušeostí předpokládat, že má ormálí rozděleí pravděpodobosti. Protože všecha měřeí byla zřejmě prováděa za stejých podmíek, stejou metodou a ezávisle a sobě, jejich výsledky představují áhodý výběru =HX,..., X 0 L z jistého ormálího rozděleí NHm, s L a data v tabulce představují experimetálě získaou realizaci tohoto výběru. Tvrzeí, že přístroj má systematickou chybu, je ekvivaletí tvrzeí, že m 5.0. Naším úkolem je tedy otestovat a hladiě výzamosti 5 % hypotézu H 0 : m = 5.0 proti alterativě H : m 5.0. Protože rozptyl základího souboru eí zám, jedá se o test o středí hodotě ormálího rozděleí o ezámém rozptylu. Nulovou hypotézu proto zamítáme, jestliže R =» 5.0» Së è!!!!!! t H9L, 0 kde S = S je výběrová směrodatá odchylka a t b HL je b-kvatil Studetova t-rozděleí s stupi volosti. Protože pro daou realizaci výběru = 5.8 = 5.8, S U , S U , R U.38996, t H9L U.657, hypotézu m = 5.0 a základě aměřeých dat a hladiě výzamosti 5 % zamítáme. Protože R = t H9L, tuto hypotézu bychom zamítli také a každé hladiě výzamosti a 0.04.

13 Problems o statistics.b Obsah stříbra byl zjišťová a každém vzorku dvěma metodami - stadardí a ovou, a to s těmito výsledky: Stadardí metoda Nová metoda Zdá se, že ovou metodou dostáváme v průměru větší hodoty ež metodou stadardí. Lze to a základě uvedeých výsledků tvrdit se spolehlivostí 95 %, tj. a hladiě výzamosti 5 %, předpokládáme-li, že se jedá o realizaci áhodého výběru z ormálího rozděleí? Výsledek zjišťováí obsahu stříbra v i-tém vzorku starou a ovou metodou je podle předpokladu áhodý vektor HX i, Y i L s ormálím rozděleím. Protože všechy dvojice měřeí byly zřejmě prováděy za stejých podmíek a ezávisle a sobě, áhodé vektory HX, Y L,..., HX 9, Y 9 L tvoří áhodý výběr z jistého dvourozměrého ormálího rozděleí. Odtud vyplývá, že =HX,..., X 9 L a =HY,..., Y 9 L jsou spárovaé áhodé výběry ze dvou obecě růzých ormálích rozděleí se středími hodotami m X a m Y a = - je áhodý výběr z ormálího rozděleí se středí hodotou m D = m Y - m X. Naším úkolem je rozhodout, zda lze a základě realizací = 87.3, 7.7, 6.37, 7.5, 8.9, 7.73, 7.49, 7.6, 6.87<, = 87.36, 7.64, 6.4, 7.8, 8.5, 7.8, 7.57, 7.69, 6.98< výběrů a a hladiě výzamosti 5 % spolehlivě tvrdit, že m D > 0, tj. zda lze a základě uvedeých realizací a v testu hypotézy H 0 : m D = 0 proti alterativě H : m D > 0 a hladiě výzamosti 5 % ulovou hypotézu spolehlivě zamítout. Protože je áhodý výběr z ormálího rozděleí s ezámým rozptylem, jedá se o test ulovosti středí hodoty ormálího rozděleí při ezámém rozptylu. Nulovou hypotézu proto zamíteme, jestliže R = Së è!!!!!! 0 t 0.95H8L, kde S = S je výběrová směrodatá odchylka a t b HL je b-kvatil Studetova t-rozděleí s stupi volosti. Protože pro realizaci = - výběru = U 0.04, S U , S U , R U.05953, t 0.95 H8L U.85955, ulovou hypotézu můžeme a základě aměřeých dat a hladiě výzamosti 5 % spolehlivě zamítout a tvrdit, že ová metoda dává v průměru větší hodoty ež metoda stará U každého z dvaácti vzorků materiálu z jedé tavby byla provedea tahová zkouška před tepelým zpracováím a po tepelém zpracováí. Zjištěé meze kluzu v Mpa jsou uvedey jsou uvedey v tabulce: Před TZ Po TZ Za obvyklého předpokladu ormality rozhoděte a hladiě výzamosti a = 5 %, zda se mez kluzu po tepelém zpracováí (a) výzamě změila, (b) výzamě zvýšila. Nechť HX i, Y i L je výsledek měřeí meze kluzu u i-tého vzorku před a po tepelém zpracováí. Ze stejých důvodů jako v příkladu 7.3 jsou =HX,..., X L a =HY,..., Y L spárovaé áhodé výběry ze dvou obecě růzých ormálích rozděleí se středími hodotami m X a m Y a = - je áhodý výběr z ormálího rozděleí se středí hodotou m D = m Y - m X. V případě (a) se jedá o test hypotézy H 0 : m D = 0 proti hypotéze H a : m D 0 při ezámém rozptylu. Nulovou hypotézu a hladiě výzamosti 5 % zamítáme, jestliže»» R a = Së è!!!!!! t 0.975HL, kde S = S je výběrová směrodatá odchylka a t b HL je b-kvatil Studetova t-rozděleí s stupi volosti. V případě (b) se jedá o test hypotézy H 0 : m D = 0 proti hypotéze H b : m D > 0 při ezámém rozptylu. Nulovou hypotézu a hladiě výzamosti 5 % zamíteme, jestliže R b = Së è!!!!!! t 0.95HL. Protože pro realizaci = - výběru, kde a jsou realizace výběrů a daé tabulkou,

14 4 Problems o statistics.b = 6ê U , S U 7.905, S U 4.30, R a = R b U 4.693, t HL U.0099, t 0.95 HL U v obou případech a základě dat uvedeých v tabulce přijímáme alterativí hypotézu. Považujeme tedy za prokázaé a hladiě výzamosti 5 %, že mez kluzu se tepelým zpracováím (a) změila, (b) zvýšila Při zkoumáí vlivu dvou katalizátorů a koverzi plyu byl a každý z 5-ti vzorků apliková právě jede z ich. Aalýzou vzorků byly získáy tyto výsledky:. katalyzátor katalyzátor Za obvyklého předpokladu ormality rozhoděte a hladiě výzamosti %, zda vliv zkoumaých katalyzátorů a koverzi plyu je či eí stejý. Výsledky aalýz jedotlivých vzorků jsou áhodé veličiy, které jsou zřejmě ezávislé a mají podle předpokladu ormálí rozděleí pravděpodobosti. Data v. resp.. řádku tabulky proto představují realizaci a ezávislých áhodých výběrů a ze dvou obecě růzých ormálě rozděleých základích souborů se středími hodotami m X a m Y. Naším úkolem je a základě realizací a rozhodout a hladiě výzamosti %, zda tyto středí hodoty jsou či ejsou stejé. Protože aalýzy všech vzorků byly zřejmě provedey za stejých podmíek, stejou metodou a se stejou přesostí, můžeme předpokládat, že áhodé veličiy X a Y mají stejý rozptyl. Pro jistotu však teto předpoklad otestujeme a stejé hladiě výzamosti % pomocí F-testu rovosti rozptylů ezávislých áhodých výběrů z ormálě rozděleých základích souborů. Jestliže test teto předpoklad potvrdí, hypotézu o rovosti středích hodot m X, m Y ověříme pomocí t-testu rovosti středích hodot dvou ezávislých áhodých výběrů z ormálích rozděleí se stejým rozptylem. I. F-test předpoklad var X = var Y a hladiě výzamosti % zamítá, pokud platí jeda z erovostí S S F H6,7L, S S F H6,7L, kde F b Hm, L je b-kvatil Fisherova-Sedecorova F-rozděleí s m a stupi volosti. Pro realizace, však ai jeda z těchto erovostí eplatí, eboť S U , S U , S S U.3094, F H6,7L U , F H6,7L U , a proto a hladiě výzamosti % eí důvod předpoklad var X = var Y zamítout. II. t-test rovosti středích hodot dvou ezávislých áhodých výběrů z ormálích rozděleí se stejým rozptylem hypotézu m X = m Y zamítá, jestliže pro m = 7, = 8 a platí erovost S = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hm L S +H L S m + R =»» m $%%%%%%%%%%%%%% S m + t 0.995Hm + L. Pro daé realizace a však = 4.4, = 3.85, = 0.55, S U , S U , R U.0805, t H3L U 3.08, a proto a hladiě výzamosti % eí důvod hypotézu m X = m Y zamítout. Jiak řečeo, a hladiě výzamosti % eí ve vlivu zkoumaých katalyzátorů a koverzi plyu výzamý rozdíl. Pozámka. Protože hodota distribučí fukce Studetova rozděleí s 3 stupi volosti v bodě RU.0805 je s velkou přesostí , dosažeá hladia testu p-valueu H LU To zameá, že vliv zkoumaých katalyzátorů a koverzi plyu bychom mohli považovat za výzamě rozdílý až a hladiě výzamosti au5 % ebo vyšší.

15 Problems o statistics.b V tabulce jsou aměřeé hodoty meze kluzu v Mpa áhodě odebraých vzorků kovového materiálu ze dvou růzých taveb A a B, přičemž z každé tavby bylo odebráo po deseti vzorcích: Tavba A Tavba B Rozhoděte a hladiě výzamosti a = 5 %, zda se mez kluzu materiálu z tavby A liší od meze kluzu materiálu z tavby B. Postup zdůvoděte. Výsledky měřeí meze kluzu jedotlivých vzorků jsou zřejmě ezávislé áhodé veličiy, a protože se jedá o výsledky měřeí, lze předpokládat, že jsou ormálě rozděleé. Data v. resp.. řádku tabulky proto představují realizaci a ezávislých áhodých výběrů a ze dvou obecě růzých ormálě rozděleých základích souborů se středími hodotami m X a m Y. Naším úkolem je a základě realizací a rozhodout a hladiě výzamosti 5 %, zda tyto středí hodoty jsou či ejsou stejé. Protože aalýzy všech vzorků byly zřejmě provedey za stejých podmíek, stejou metodou a se stejou přesostí, můžeme předpokládat, že áhodé veličiy X a Y mají stejý rozptyl. Pro jistotu však teto předpoklad otestujeme a stejé hladiě výzamosti 5 % pomocí F-testu rovosti rozptylů ezávislých áhodých výběrů z ormálě rozděleých základích souborů. Jestliže test teto předpoklad potvrdí, hypotézu o rovosti středích hodot m X, m Y ověříme pomocí t-testu rovosti středích hodot dvou ezávislých áhodých výběrů z ormálích rozděleí se stejým rozptylem. I. F-test předpoklad var X = var Y a hladiě výzamosti 5 % zamítá, pokud platí jeda z erovostí S S F 0.05 H9,9L, S S F H9,9L, kde F b Hm, L je b-kvatil Fisherova-Sedecorova F-rozděleí s m a stupi volosti. Pro daé realizace, však ai jeda z těchto erovostí eplatí, eboť S U 49.5, S U , S S U.4644, F 0.05 H9,9L U , F H9,9L U , a proto a hladiě výzamosti 5 % eí důvod předpoklad var X = var Y zamítout. II. t-test rovosti středích hodot dvou ezávislých áhodých výběrů z ormálích rozděleí se stejým rozptylem hypotézu m X = m Y zamítá, jestliže pro m = = 0 a platí erovost S = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hm L S +H L S = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%% S + S m + R =»» m $%%%%%%%%%%%%%% S m + =»» m $%%%%%% S t 0.995H m L. Protože pro daé realizace a = 37., = 48.8, =.6, S U , S U , R U , t H8L U.009, hypotézu m X = m Y musíme a hladiě výzamosti 5 % zamítout. To zameá, že se spolehlivostí 95 % lze tvrdit, že mez kluzu materiálu z tavby A se liší od meze kluzu materiálu z tavby B. Pozámka. Protože hodota distribučí fukce Studetova rozděleí s 6 stupi volosti v bodě RU je s velkou přesostí , dosažeá hladia testu p-valueu H LU To zameá, že hypotézu o rovosti mezí kluzu obou materiálu lze a základě realizací a zamítout a každé hladiě výzamosti a, pro kterou platí erovost a Při zkoumáí pevosti dvou druhů bavlěé příze byla změřea pevost devíti vzorků příze prvího druhu a pevost sedmi vzorků příze druhého druhu:. druh druh

16 6 Problems o statistics.b Kvalita příze se posuzuje mimo jié z hlediska variability pevosti - čím meší variabilita, tím kvalitější příze. Lze a základě zjištěých hodot tvrdit se spolehlivostí 95 %, tj. a hladiě výzamosti 5 %, že. druh příze je z hledika variability pevosti kvalitější ež. druh? Za jakých předpokladů je rozhodutí korektí? Výsledky měřeí pevosti jedotlivých vzorků jsou zřejmě ezávislé áhodé veličiy, a protože se jedá o výsledky měřeí, lze předpokládat, že jsou ormálě rozděleé. Data v. resp.. řádku tabulky proto představují realizace a ezávislých áhodých výběrů a ze dvou obecě růzých ormálě rozděleých základích souborů s rozptyly s X a s Y. Naším úkolem je a základě realizací a rozhodout a hladiě výzamosti 5 %, zda platí hypotéza H 0 : s X = s Y ebo alterativa H : s X < s Y. Použít můžeme tzv. F-test rovosti rozptylů ezávislých áhodých výběrů z ormálě rozděleých základích souborů. Teto test hypotézy H 0 proti jedostraé alterativě H ulovou hypotézu a hladiě výzamosti 5 % zamítá, jestliže platí erovost S S F 0.05H8,6L, kde F b Hm, L je b-kvatil Fisherova-Sedecorova F-rozděleí s m a stupi volosti. Pro daé realizace, však tato erovost eplatí, eboť U , U 4.349, S U , S U , S S U , F 0.05H8,6L U To zameá, že a hladiě výzamosti 5% elze tvrdit, že prví druh příze je z hledika variability pevosti kvalitější ež druhý druh.