Kvantily. Problems on statistics.nb 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kvantily. Problems on statistics.nb 1"

Transkript

1 Problems o statistics.b Kvatily 5.. Nechť x a, kde 0 < a <, je a-kvatil rozděleí pravděpodobosti s distribučí fukcí F, tj. číslo charakterizovaé podmíkou x α = if8x» FHxL α<. Dokažte: HaL Fukce G :H0, L Ø defiovaá předpisem GHaL = x a je eklesající a v případě, že fukce F je spojitá, je dokoce rostoucí. HbL Je-li fukce F rostoucí ahabsolutěl spojitá a hustota pravděpodobosti je sudá fukce, potom x -a = -x a. (a) Pro a < b zřejmě 8x»FHxL b< Œ8x»FHxL a< a proto x a x b. Předpokládejme yí, že fukce F je spojitá. Potom, jak sado plye z defiice ifima, FHx a L = a, FHx b L = b, a proto vzhledem k už dokázaé erovosti x a x b erovost a < b implikuje x a < x b. (b) Je-li f hustota pravděpodobosti, potom = x α fh ul u = FH x α L = x α t = u = fhtl t = À t = u À = x α fhul u = To však spolu s ryzí mootoií fukce F implikuje rovost x -a = -x a. x α fhul u = α = FHx α L. 5.. Dělík vyrobí za směu průměrě 6 běžých metrů zdobeé látky se směrodatou odchylkou 4 běžé metry. V dílě je 0 dělíků, deí orma díly je 500 běžých metrů. HaL V kolika dech ze sta ebude průměrě orma díly splěa, jestliže deí výko jedoho dělíka je áhodá veličia s ormálím rozděleím? HbL Při jakém miimálím počtu dělíků bude orma díly plěa s pravděpodobostí 95 %? (a) Nechť X,, X 0 jsou áhodé veličiy zameající deí výkoy 0-ti dělíků díly. Ze zadáí úlohy plye, že každá z těchto veliči má ormálí rozděleí NHm, s L, kde m = 6, s = 4. Kromě toho je zřejmé, že výkoy jedotlivých dělíků, tj. áhodé veličiy X i jsou a sobě ezávislé. Náhodá veličia X D = X X 0 zameající deí výko díly, má tedy ormálí rozděleí NH0 m, 0 s L = NH50, 30L a áhodá veličia X D 0 µ σ è!!!!!! = X D 50 è!!!!!!!!! 0 30 má stadardí (ormovaé) ormálí rozděleí s distribučí fukcí F. Pravděpodobost, že díla esplí deí ormu, je proto rova Ä X D < 500D = P D 50 è!!!!!!!!! 30 < è!!!!!!!!! 0 É 30 ÖÑ = Φi 0 y j è!!!!!!!!! z = Φ i è!!! 5 y j z U k 30 { k { Díla tedy esplí ormu průměrě v dech ze sta U U 3 (b) Je-li v dílě dělíků, potom X D má ormálí rozděleí NH m, s L a proto

2 Problems o statistics.b D 500D 95 Ä É 00 P X D 6 4 è!!! è!!! ÖÑ Ä É X P D 6 4 è!!! 50 3 < è!!! ÖÑ 95 Φ i 50 3 j 00 k è!!! y z 95 { 00 Φ i 50 3 j k è!!! y 50 3 z 0.05 { è!!! u u è!!! Protože u 0.05 = -u 0.95 U , posledí kvadratická erovost pro m = è!!! má v oboru kladých čísel řešeí m 3 Ju "################################## u N U , což implikuje U To zameá, že miimálí počet dělíků zajišťující plěí pláu a 95 % je Výletí člu má osost 5000 kg, váha cestujícího je ormálě rozděleá áhodá veličia se středí hodotou 70 kg a rozptylem 400 kg. HaL Jaká je pravděpodobost, že při 65 cestujících bude člu přetíže? HbL Kolik cestujících může cestovat, aby pravděpodobost přetížeí čluu byla meší ež ê 000? (a) Nechť X, X, jsou áhodé veličiy zameající hmotosti jedotlivých cestujících. Ze zadáí úlohy plye, že každá z těchto veliči má ormálí rozděleí NHm, s L, kde m = 70, s = 0. Kromě toho je zřejmé, že hmotosti jedotlivých cestujících, tj. áhodé veličiy X i, můžeme pokládat za ezávislé. Náhodá veličia X C = X + + X 65 zameající celkovou hmotost 65-ti cestujících, má tedy ormálí rozděleí NH65 m, 65 s L = NH4550, 6000L a áhodá veličia X C 65 µ σ è!!!!!! = X C è!!!!!! 65 má stadardí (ormovaé) ormálí rozděleí s distribučí fukcí F. Pravděpodobost, že člu s 65-ti cestujícími bude přetíže, je proto rova C > 5000D = Ä X = C 4550 > 450D = P C è!!!!!! > è!!!!!! 65 É ÖÑ = = Φ i 9 j $%%%%%%%%% 5 y 3 z U U U 0.6 %. k { (b) Položme X C = X + + X a ozačme u a a-kvatil stadardího ormálího rozděleí. Potom zřejmě platí ekvivalece Ä É X C > 5000D < 0.00 P C 70 0 è!!! > 0 è!!! < 0.00 ÖÑ Ä É Ä É Φ 0 è!!! ÖÑ < 0.00 Φ è!!! > ÖÑ è!!! > u è!!! u < 0. Stačí tedy vyřešit posledí kvadratickou erovost pro m = è!!!!. Protože u U a kvadratická rovice 70 m + 0 m u = 0 má kořey m U , m U 8.06, erovosti vyhovují kladá čísla m < m a tedy kladá čísla < m U To zameá, že pravděpodobost přetížeí bude meší ež 0.%, pokud cestujících bude ejvýše Náhodé veličiy U,, U jsou ezávislé a každá má ormálí rozděleí NH0, L. Určete čísla a, b tak, aby pro áhodou veličiu W = U + + U byly splěy rovice > ad = 0.90, < bd = 0.95.

3 Problems o statistics.b 3 Náhodé veličiy U è = U ë è!!!!,, U è = U ë è!!!! jsou ezávislé a každá z ich má rozděleí NH0, L. Náhodá veličia W = HU U L = U U má proto rozděleí c s -ti stupi volosti a platí ekvivalece > ad = 0.90 PA W > a W E = 0.90 PA a a E = 0.0 = χ 0.0HL, < bd = 0.95 PB W < b F b = χ 0.95HL, kde c a HL je a-kvatil c -rozděleí s stupi volosti. Tedy a = χ 0.0 HL U U.6076, b = χ 0.95 HL U.06 U Náhodé veličiy U,, U 0, V jsou ezávislé, každá z prvích 0 veliči má ormálí rozděleí se středí hodotou m = 0 a rozptylem s = 5 a V má rozděleí NH0, 3L. Určete čísla a, b tak, aby pro áhodou veličiu byly splěy rovice W = V í "############################## U U 0 > ad = 0.90, < bd = Náhodé veličiy U è = U ë è!!!! 5,, U è 0 = U 0 ë è!!!! 5, V è = V ë è!!! 3 jsou ezávislé a každá z ich má stadardí (ormovaé) ormálí rozděleí. Protože 3 W = $%%%%%%%%% 50 V "############################################## IU, U Më0 veličia è!!!!!!!!!!!! 50ê3 W má Studetovo t-rozděleí s 0-ti stupi volosti, a platí > ad = 0.90 PA è!!!!!!!!!!!!! 50ê3 W > a è!!!!!!!!!!!!! 50ê3E = 0.90 PA è!!!!!!!!!!!!! 50ê3 W a è!!!!!!!!!!!!! 50ê3E = 0.0 a è!!!!!!!!!!!!! 50ê3 = t 0.0 H0L = t 0.90 H0L, < bd = 0.95 PA è!!!!!!!!!!!!! 50ê3 W < b è!!!!!!!!!!!!! 50ê3E = 0.95 b è!!!!!!!!!!!!! 50ê3 = t 0.95 H0L, kde t a HL je a-kvatil Studetova t-rozděleí s stupi volosti. Tedy 3 a = t 0.90 H0L $%%%%%%%%% U U , 50 3 b = t 0.95 H0L $%%%%%%%%% U U Náhodé veličiy U,, U 0, V jsou ezávislé, každá z prvích 0 veliči má ormálí rozděleí se středí hodotou m = 0 a směrodatou odchylkou s = a V má rozděleí NH0, 3L. Najděte řešeí a rovice + U U 0 α V D = Má-li daá rovice řešeí, pak toto řešeí je utě kladé, eboť pro a 0 + U + U 0 α V D = + U + U 0 0D =. Můžeme tedy předpokládat, že a > 0. Položíme-li U è i = U i ê pro i =,, 0 a V è = V ë è!!! 3, pak zřejmě Ä É + U U 0 α V D = P è!!! α V "######################################## è!!! = U + U U 0 α ÖÑ Ä 40 P $%%%%%%%%%% 3 α V É 40 "######################################################## IU $%%%%%%%%%%. 3 α + U U 0 Më0 ÖÑ Náhodé veličiy U è,, U è 0, V è jsou ezávislé a každá z ich má rozděleí NH0, L. Náhodá veličia 0

4 4 Problems o statistics.b V W = "######################################################## IU + U U 0 Më0 má proto Studetovo rozděleí s 0-ti stupi volosti a tedy + U + U 0 α V D = F i j $%%%%%%%%%% 40 y 3 α z Fi j $%%%%%%%%%% 40 y 3 α z = Fi j $%%%%%%%%%% 40 y 3 α z i j Fi j $%%%%%%%%%% 40 yy 3 α zz = Fi j $%%%%%%%%%% 40 y 3 α z, k { k { k { k k {{ k { kde F je distribučí fukce tohoto rozděleí. Odtud postupě dostáváme + U + U 0 α V D = 0.95 F i j $%%%%%%%%%% 40 y 3 α z = 0.95 Fi j $%%%%%%%%%% 40 y 40 3 α z = $%%%%%%%%%% 3 α = t H0L, k { k { kde t a HL je a-kvatil Studetova t-rozděleí s stupi volosti. Odtud 40 α = 3 t H0L U U U U Náhodé veličiy U,, U 8, V jsou ezávislé, každá z veliči U,, U 8 má ormálí rozděleí se středí hodotou m = 0 a rozptylem s =, veličia V je ezáporá a veličia V má rozděleí c H4L. Najděte všecha řešeí a rovice PA "###################################### U + U U 8 α VE = Má-li daá rovice řešeí, pak toto řešeí je utě kladé, eboť pro a 0 PA "###################################### U + U U 8 α VE = PA "###################################### U + U U 8 0E =. Můžeme tedy předpokládat, že a > 0. Položíme-li U è i = U i ë è!!! pro i =,, 8, pak zřejmě PA "###################################### U + U U 8 α VE = PB U + U U 8 α F = Ä V = P U É Ä + U U α 8 ÖÑ = P V ê 4 IU + U U 4 É Më8 α. 8 ÖÑ Protože áhodé veličiy U,, U 8, V jsou ezávislé, veličia U è è è + U U 8 má c -kvadrát rozděleí s osmi stupi volosti a je ezávislá a veličiě V, která má podle předpokladu c -kvadrát rozděleí se čtyřmi stupi volosti. Náhodá veličia W = V V ê 4 IU + U U Më8 má proto Fisherovo-Sedecorovo rozděleí FH4, 8L o 4 a 8 stupích volosti, a tedy PA "############################ U + U + U 8 α VE = α = F 0.95H4, 8L, kde F b H4, 8L je b-kvatil tohoto rozděleí. Odtud 4 α = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% F 0.95 H4, 8L U è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! U

5 Problems o statistics.b 5 Odhady parametrů 6.. Jaa a Petr chtěli zát vzdáleost od koleje k zastávce tramvaje. Jaa změřila tuto vzdáleost 0-krát, Petr ji změřil 5-krát, přičemž všecha jejich měřeí byla stejě přesá a eměla systematickou chybu. Každý z ich spočítal ze svých měřeí aritmetický průměr, takže yí mohou za výsledý odhad vzdáleosti prohlásit buď aritmetický průměr těchto svých aritmetických průměrů, ebo aritmetický průměr výsledků všech svých 5 měřeí. Který způsob je z hlediska přesosti výsledého odhadu lepší? Nechť X, X,..., X 0 jsou výsledky měřeí provedeých Jaou a Y, Y,....Y 5 jsou výsledky měřeí provedeých Petrem. Protože všecha měřeí byla stejě přesá a eměla systematickou chybu, jejich výsledky jsou ezávislé áhodé veličiy se stejou směrodatou odchylkou s a středí hodotou m rovou měřeé vzdáleosti. Nechť êêê je aritmetický průměr Jaiých měřeí, êê je aritmetický průměr Petrových měřeí a ê ê je aritmetický průměr všech měřeí. Oba odhady ê ê, H êêê + êê Lê vzdáleosti m jsou zřejmě estraé a proto s hlediska přesosti je lepším odhadem te, který má meší rozptyl. Protože díky ezávislosti všech měřeí varhl = σ + varhl + varhl, varj N = 5 4 lepším odhadem je aritmetický průměr všech 5-ti měřeí. = 4 J σ 0 + σ 5 N = σ 4, 6.. Na základě zjištěých kocetrací 30 vzorků kyseliy, měřeých s přesostí a jedu desetiu proceta a uvedeých v tabulce četostí i vzorků s kocetracemi x i Kocetrace x i Četost i bodově odhaděte středí hodotu, rozptyl a směrodatou odchylku její kocetrace. Výsledek měřeí kocetrace kyseliy je jistá áhodá veličia Z se středí hodotou m a směrodatou odchylkou s a zjištěé kocetrace 30-ti vzorků kyseliy představují realizaci =Hz,..., z 30 L jistého áhodého výběru rozsahu 30 ze základího souboru Z. Středí hodotu m proto můžeme bodově odhadout výběrovým průměrem (přesěji realizací výběrového průměru ê ê ) 30 = 30 z i = i= 8 30 i= i x i = U U a směrodatou odchylku můžeme bodově odhadout výběrovou směrodatou odchylkou (přesěji realizací výběrové směrodaté odchylky S ) 30 s = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 9 Hzi L = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% i= 9 8 i Hx i L = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% U i= 9 U è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! U U Geigerův-Müllerův přístroj zazameával v časových itervalech délky 7.5 sekudy počet vyzářeých a-částic. Výsledky měřeí jsou uvedey v ásledující tabulce: Počet částic Četost itervalů Za předpokladu, že počet a-částic vyzářeých v 7.5 sekudových itervalech se řídí Poissoovým rozděleím, HaL odhaděte bodově parametr l tohoto rozděleí, HbL odhaděte pravděpodobost, že v ásledujícím 7.5 sekudovém itervalu bude počet vyzářeých a-částic větší ež. (a) Ozačíme-li X počet částic vyzářeých v 7.5 sekudovém itervalu, potom podle defiice Poissoova rozděleí je X diskrétí áhodá veličia abývající hodot k = 0,,... s pravděpodobostmi = kd = l k -l ê k! a zázamy přístroje představují realizaci =Hx,..., x 608 L jistého áhodého výběru rozsahu 608 ze základího

6 6 Problems o statistics.b souboru X. Protože EHXL = l, parametr l můžeme bodově odhadout výběrovým průměrem (přesěji realizací výběrového průměru êêê ) = x i = i=0 608 i=0 i i = U (b) Pravděpodobost, že v ásledujícím 7.5 sekudovém itervalu bude počet vyzářeých a-částic větší ež, je dáa vztahem > D = = 0D = D = D = J + λ + λ N λ. Odhademe ji tak, že přesou ezámou hodotu parametru l ahradíme jejím odhadem. Dostaeme > D U i k j ++ y z U { U U Při sledováí doby životosti určitého zařízeí bylo získáo těchto 8 údajů (v hodiách): Za předpokladu, že doba životosti má expoeciálí rozděleí pravděpodobosti, HaL odhaděte bodově středí hodotu doby životosti zařízeí, HbL a základě tohoto odhadu odhaděte pravděpodobost, že zařízeí bude fugovat ještě po 00 hodiách. (a) Doba životosti je podle předpokladu áhodá veličia X s expoeciálím rozděleím pravděpodobosti a získaé údaje představují realizaci =Hx,..., x 8 L jistého áhodého výběru rozsahu 8 z X. Středí hodotu m veličiy X proto můžeme odhadout výběrovým průměrem (přesěji realizací výběrového průměru êêê ) = 8 8 i= x i = 44 8 = (b) Protože hustota pravděpodobosti f áhodé veličiy X je dáa vztahem fhxl = l o 0, x < 0, m o µ xêµ, x 0, pravděpodobost, že zařízeí bude fugovat ještě po 00 hodiách, je rova 00D = µ exph xêµl x = 00êµ. 00 Odhademe ji tak, že přesou ezámou hodotu parametru m ahradíme jejím odhadem. Dostaeme 00D U 00ê U U Jedím přístrojem bylo provedeo 5 ezávislých měřeí úhlu s těmito výsledky: Za předpokladu ormality rozděleí chyb měřeí odhaděte ejlepšími estraými odhady skutečou velikost úhlu a rozptyl přístrojem měřeých veliči. Výsledek měřeí úhlu je podle předpokladu áhodá veličia X s ormálím rozděleím pravděpodobosti NHm, s L a aměřeá data představují realizaci jistého áhodého výběru rozsahu 5 z tohoto rozděleí. Nejlepším estraým odhadem středí hodoty m je proto výběrový průměr (přesěji realizace výběrového průměru êêê ) = H L = a ejlepším estraým odhadem rozptylu s je výběrový rozptyl (přesěji realizace výběrového rozptylu S ) s = 4 H L =

7 Problems o statistics.b Životost brzdové destičky je ormálě rozděleá áhodá veličia se středí dobou životosti km a směrodatou odchylkou 0000 km. HaL Jaká je pravděpodobost, že výběrový průměr životosti 0 vybraých destiček bude vyší ež km? HbL Kolik destiček je třeba vybrat, aby pravděpodobost, že výběrový průměr životosti těchto vybraých destiček bude větší ež 85000, byla meší ež %? (a) Výběrový průměr êêê životosti 0 vybraých destiček je áhodá veličia s rozděleím NH80000, 5 ä0 6 L a proto > 85000D = 85000D = PA 000 è!!! 5 è!!! 5E = Φ I è!!! 5M U U U U.3 %. (b) Ozačíme-li êêê výběrový průměr životosti áhodě vybraých destiček, potom > 85000D < D < D > 99 0 PA ë è!!! ë è!!! E > 99 0 Φ I è!!! ë M > 99 0 è!!! ë > u 0.99 > 4 u 0.99 U U To zameá, že výběrový průměr životosti vybraých destiček bude větší ež km s pravděpodobostí meší ež %, pokud jich bude vybráo alespoň Na dvou letištích A, B byly zazameáy tyto maximálí ročí rychlosti větru v mês: Rok A B Za předpokladu, že maximálí ročí rychlost větru a letišti A a maximálí ročí rychlost větru a letišti B tvoří áhodý vektor s dvourozměrým ormálím rozděleím pravděpodobosti NHm A, m B, s A, s B, rl, odhaděte bodově parametry tohoto rozděleí. Ozačme X a Y maximálí ročí rychlost větru a letišti A resp. B. Z předpokladu o rozděleí pravděpodobosti áhodého vektoru HX, YL vyplývá, že X má rozděleí NHm A, s A L a Y má rozděleí NHm B, s B L. Maximálí ročí rychlosti větru aměřeé a letištích A a B představují realizaci resp. jistého áhodého výběru resp. ze základího souboru X resp. Y. Středí hodoty m A a m B proto můžeme bodově odhadout výběrovým průměrem êê resp. êê a rozptyly s A a s B můžeme bodově odhadout výběrovým průměrem s resp. s : = 3 3 i= x i = s = s = i= U 5.8, = 3 3 i= 3 3 i= Hx i L U Hy i yl U y i = U 8.6, U 4.4. U 5.6, Zbývá odhadout koeficiet korelace r = covhx A, X B LêHs A s B L. Protože středí hodota výběrového koeficietu kovariace S = HX i L HY i L, i= kde je rozsah áhodých výběrů a, je rova covhx, YL, koeficiet r můžeme bodově odhadout pomocí realizace r výběrového koeficietu korelace R = S êhs S L: r = s s s = 3 i= Hx i L Hy i L "################################## 3 Hx i L "################################ U 3 Hy i yl i= i= è!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!! U

8 8 Problems o statistics.b 6.8. Aritmetický průměr výkou 0 testovaých strojů za směu dosáhl hodoty êê = 74 výrobků. Za předpokladu, že výko strojů má ormálí rozděleí pravděpodobosti s rozptylem s = 35, sestrojte oboustraý 95 %-í iterval spolehlivosti pro středí hodotu m výkou strojů. Výkoy testovaých strojů jsou zřejmě ezávislé a proto tvoří áhodý výběr rozsahu = 0 z rozděleí NHm, 35L.Itervalový odhad středí hodoty m o spolehlivosti 95% má při zámém rozptylu s tvar i σ j u è!!! k, + u σ y è!!! z, { kde u a je a-kvatil stadardího (ormovaého) ormálího rozděleí. Po dosazeí = 0, s = è!!!!!! 35, êêê = 74 a u U dostaeme iterval H70.333, L Aritmetický průměr výkou 0 testovaých strojů za směu dosáhl hodoty êê = 74 výrobků, přičemž výběrová směrodatá odchylka měla hodotu s = 6.3. Za předpokladu, že výkoy strojů jsou áhodé veličiy se stejým ormálím rozděleím pravděpodobosti, sestrojte oboustraý itervalový odhad středí hodoty m výkou strojů o spolehlivosti 95 %. Výkoy testovaých strojů jsou zřejmě ezávislé a proto tvoří áhodý výběr rozsahu = 0 z rozděleí NHm, s L. Itervalový odhad středí hodoty m o spolehlivosti 95% má při ezámém rozptylu s tvar i j t H L k S è!!!, + t S y 0.975H L è!!! z, { kde t a HmL je a-kvatil Studetova t-rozděleí o m stupích volosti. Po dosazeí = 0, êêê = 74, S = 6.3 a t H - LU.66 dostaeme iterval H , L Z výsledků pěti měřeí byl vypočte výběrový průměr êê = 0 a výběrový rozptyl s =. S jakou spolehlivostí můžeme tvrdit, že skutečá hodota m základího souboru s rozděleím NHm, s L leží v itervalu H9.344, L, tj. jakou spolehlivost má teto itervalový odhad středí hodoty m? Výsledky měřeí představují realizaci jistého áhodého výběru rozsahu = 5 z rozděleí NHm, s L. Protože áhodá veličia T =H êêê - ml è!!!! ë S má Studetovo t-rozděleí s - stupi volosti a < µ < S ë è!!! < µ S ë è!!! < S ë è!!!, iterval H9.344, L je realizací itervalového odhadu s ë è!!! S è!!! < µ < s ë è!!! S è!!! středí hodoty m o spolehlivosti i y α = F j k s ë è!!! z F i y j { k s ë è!!! z, { kde F - je distribučí fukce Studetova t-rozděleí s - stupi volosti. Po dosazeí za, êê a s dostaeme α U F 4 H L F 4 H.445L = F 4 H L + F 4 H.445L. Hodoty distribučích fukcí F bohužel v základích statistických tabulkách eajdeme. Fukci F 4 však můžeme vyjádřit pomocí elemetárích fukcí, což ám umoží potřebé hodoty vypočítat. Protože Studetovo t-rozděleí se čtyřmi stupi volosti má hustotu pravděpodobosti substitucí x = tg t dostaeme 5ê fhxl = J 4 + x N,

9 Problems o statistics.b 9 Tedy F 4 HxL = 3 arctghxêl 4 cos 3 t t = B 9 πê 6 = 9 6 siiarctg x M + 6 = sih3 tl si t + 6 sii3 arctg x x Hx + 6L Hx + 4L è!!!!!!!!!!!!! x M + = F 4 H L U , F 4 H.445L U , α U U 78.6 %. arctghxêl F = πê Závěr: iterval H9.344, L je realizací itervalového odhadu středí hodoty m o spolehlivosti alespoň 78.6 % a proto se stejou spolehlivostí můžeme tvrdit, že v ěm m leží. 6.. Pro posouzeí rozdílů výkoů dělíků a dvou pracovištích A a B byly zazameáy výkoy x i devíti áhodě vybraých dělíků z pracoviště A a výkoy y i devíti áhodě vybraých dělíků z pracoviště B: x i y i Sestrojte oboustraý 95 %-í iterval spolehlivosti pro rozdíl středích hodot výkoů dělíků a pracovištích A a B za předpokladu, že oba výběry pocházejí z ormálích rozděleí (a) se stejým zámým rozptylem s = 35, (b) se stejým ezámým rozptylem. (a) Výkoy dělíků a pracovišti A představují áhodý výběr z ormálího rozděleí NHm A, s L a výkoy dělíků a pracovišti B představují áhodý výběr z ormálího rozděleí NHm B, s L. Protože výkoy jedotlivých dělíků jsou ezávislé, výběrové průměry êêê, êê êê êêê jsou ezávislé a rozdíl - má rozděleí m+ NHm B - m A, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m s L, kde m je rozsah výběru a je rozsah výběru. Itervalový odhad rozdílu m B - m A o spolehlivosti 95 % má proto tvar i j u $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hm + L σ, +u m $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hm + L σ y m z, k { kde u a je a-kvatil rozděleí NH0, L. Po dosazeí m = = 9, s = è!!!!!! 35, êêê = 78, êê = 85 a u0.975 U dostaeme iterval H.5339,.466L. (b) Rozdíl êê - êêê má opět rozděleí NHmB - m A, s ê L, kde je rozsah výběrů,. Rozptyl s však tetokrát eí zám a proto itervalový odhad rozdílu m B - m A o spolehlivosti 95 % má tvar i j t 0.975Hm + L $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hm + L S, +t m Hm + L $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hm + L S y m z, k { kde t a HmL je a-kvatil Studetova t-rozděleí o m stupích volosti a S = Hm L S +H L S. m + Po dosazeí m = = 9, êêê = 78, êê = 85, S = 39.5, S = 33.5 a t Hm + - LU.99 dostaeme iterval H , 3.07L. 6.. Pro posouzeí rozdílu výkou dělíků před a po ročím zapracováí bylo áhodě vybráo = 8 jediců, jejichž výsledky (hmotost za týde vyrobeých matic vyjádřeá v kg) jsou uvedey v tabulce: Dělík Novák Filip Šikal Prouza Kos Pospíšil Vlk Krejčí Výko před Výko po Za předpokladu, že výko dělíka HX, YL před a po zapracováí má ormálí rozděleí pravděpodobosti, sestrojte oboustraý itervalový odhad rozdílu výkou po a před zapracováím o spolehlivosti 90 %. Nechť =HX,.., X L resp. =HY,..., Y L, je áhodý vektor výkoů dělíků před resp. po zapracováí. Podle předpokladu =H, L T je áhodý výběr rozsahu = 8 ze základího dvourozměrého souboru HX, YL s ormál-

10 0 Problems o statistics.b ím rozděleím pravděpodobosti NHm X, m Y, s X, s Y, rl, kde m X resp. m Y je průměrý výko dělíka před zapracováím resp. po zapracováí a všechy parametry jsou ezámé. Itervalový odhad rozdílu m Y - m X o spolehlivosti 90 % má proto tvar i j t 0.95H L $%%%%%%%%%% S, + t 0.95H L $%%%%%%%%% S y z, k { kde t a HmL je a-kvatil Studetova t-rozděleí o m stupích volosti a = -. Po dosazeí = 8, êêê = 8, S = 494ê7 a t 0.95 H - LU dostaeme iterval H.3793, 3.67L Hmotost kaprů v rybíce má ormálí rozděleí se zámou směrodatou odchylkou s = 0. kg. Na základě hmotostí áhodě vyloveých šesti kaprů ajděte HaL oboustraý 95 % -í iterval spolehlivosti pro středí hodotu m hmotosti kaprů v rybíku, HbL oboustraý a dolí itervalový odhad o spolehlivosti 95 % pro celkový zisk z výlovu, jestliže majitel chová v rybíku k = 800 kaprů a za kg kaprů utrží 60 Kč. (a) Hmotosti áhodě vyloveých kaprů představují realizaci jistého áhodého výběru rozsahu = 6 z ormálího rozděleí NHm, s L, kde s = 0.. Oboustraý 95 % -í iterval spolehlivosti pro středí hodotu m má proto tvar i j u k σ è!!!, + u σ y è!!! z. { kde u a je a-kvatil stadardího (ormovaého) ormálího rozděleí. Po dosazeí = 6, s = 0., êêê = a u U dostaeme iterval H.80664,.67L. (b) Hmotosti kaprů jsou ezávislé áhodé veličiy X, X,, X k s rozděleím NHm, s L. Celkový průměrý zisk Z z výlovu všech kaprů v rybíce je rove středí hodotě áhodé veličiy 60 HX + X + + X k L s rozděleím NH60 k m, 60 k s L, tj. 60 k m. Zisk Z je tedy fukcí parametru m a proto platí: Jestliže Hm D, m H L je oboustraý itervalový odhad středí hodoty m o spolehlivosti 95 % sestrojeý a základě áhodě vyloveých kaprů, potom H60 k m D, 60 k m H L je oboustraý itervalový odhad průměré hodoty zisku Z o stejé spolehlivosti. Protože rozptyl je zám, tyto odhady mají tvar Hµ D, µ H L = i j u k σ è!!!, + u σ y è!!! z, { H60 k µ D, 60 k µ H L = i k j60 k u 60 k σ è!!!, 60 k + u 60 k σ y è!!! z, { kde êêê je výběrový průměr hmotostí áhodě vyloveých kaprů a u a je a-kvatil stadardího ormálího rozděleí. Po dosazeí k = 800, = 6, s = 0., êêê = a u U dostaeme pro celkový průměrý zisk iterval H8678.5, 008.5L. Aalogicky platí: je-li m D levý eboli dolí odhad středí hodoty m o spolehlivosti 95 % sestrojeý a základě áhodě vyloveých kaprů, potom 60 k m D je dolí odhad průměré hodoty zisku Z o stejé spolehlivosti. Protože rozptyl je zám, tyto odhady mají tvar µ D = u 0.95 σ è!!!, 60 k µ D = 60 k u 60 k σ è!!!. Po dosazeí k = 800, = 6, s = 0., êêê = a u 0.95 U dostaeme pro celkový průměrý zisk dolí odhad Při vyšetřováí homogeity pevosti umělých vláke byly u 5 vzorků aměřey tyto hodoty: Za předpokladu, že výběr pochází z ormálího rozděleí, určete (a) oboustraý (b) pravostraý 95%-í iterval spolehlivosti pro rozptyl pevosti.

11 Problems o statistics.b (a) Oboustraý itervalový odhad rozptylu ormálího rozděleí NHm, s L o spolehlivosti 95 % zkostruovaý z áhodého výběru rozsahu má tvar J H L S H L, H L S H L N, χ χ 0.05 kde c a H - L je a-kvatil c -rozděleí s - stupi volosti. Po dosazeí = 5, S = 6.767, χ 0.05 H L = , χ H L = 6.89 dostaeme iterval H3.3086, 5.359L. (b) Pravý eboli horí odhad odhad rozptylu ormálího rozděleí NHm, s L o spolehlivosti 95 % zkostruovaý z áhodého výběru rozsahu má tvar H L S H L. χ 0.05 Po dosazeí = 5, S = a c 0.05 H - L = dostaeme horí odhad 3.5. << Statistics` Testováí hypotéz 7.. U stadardě vyráběého materiálu má mez pevosti R m ormálí rozděleí se středí hodotou 640 Mpa a směrodatou odchylkou 4.5 Mpa. Změou poslouposti tepelých úprav byl připrave ový materiál, u ějž víme, že R m má také ormálí rozděleí se směrodatou odchylkou s = 4.5 Mpa, stejou jako u materiálu stadardího. U deseti vzorků ového materiálu byly aměřey tyto hodoty R m : HaL Na hladiě výzamosti a=0.05 proveďte test hypotézy H 0 :m=640 proti alterativě H :µ 640. HbL Pro uvedeý test a hladiu výzamosti a=0.05 vypočtěte postupě pravděpodobost chyby. druhu pro skutečou hodotu středí hodoty m=64, 64, 643, 644, 645, 646 a ze zjištěých hodot určete přibližě jeho silofukci P HmL. (a) Jedá se o test o středí hodotě ormálího rozděleí pravděpodobosti se zámým rozptylem a základě realizace =H65, 639, 645, 648, 650, 643, 65, 640, 644, 645L jistého áhodého výběru rozsahu = 0. Nulovou hypotézu a daé hladiě výzamosti zamítáme, jestliže R =» 640» 4.5ë è!!!!!! 0 u 0.975, kde u b je b-kvatil stadardího (ormovaého) ormálího rozděleí. Protože pro daou realizaci výběru = 6457 = 645.7, R U , u U.95996, hypotézu m = 640 a základě aměřeých dat a hladiě výzamosti 5 % spolehlivě zamítáme. Pozámka. Nejmeší hodota a, pro kterou test a základě realizace ulovou hypotézu ještě zamítá, je tzv. dosažeá hodota výzamosti (p-hodota, p-value) testu. Protože RUu , dosažeá hodota výzamosti testu pro aměřeé hodoty leží v itervalu X , \, takže ulovou hypotézu bychom zamítli a každé kladiě výzamosti a (b) Předpokládejme, že skutečá středí hodota m eí rova 640. Chyby. druhu se dopustíme, pokud bude platit erovost»r» < u 0.975, takže hypotézu H 0 ezamíteme. Z defiice statistiky R vyplývá, že tato erovost je ekvivaletí erovostem 4.5 u è!!!!!! 0 < 640 < + u è!!!!!! 0, a tudíž také erovostem

12 Problems o statistics.b è!!!!!! 0 H640 µ L 4.5 u < è!!!!!! µ 4.5ë è!!!!!! 0 < H640 µ L u Protože m je podle předpokladu skutečá středí hodota ormálího rozděleí, z ěhož áhodý výběr pochází, áhodá veličia R m = è!!!!!! 0 I - mmë4.5 má rozděleí NH0, L, a proto P R» < u D = Φ i è!!!!!! 0 jh640 µ L k u y 0.975z Φ i è!!!!!! 0 jh640 µ L { k 4.5 u y 0.975z, { kde F je distribučí fukce rozděleí NH0, L. Vypočteme-li R m a tuto pravděpodobost pro hodoty m uvedeé v zadáí příkladu, dostaeme tabulku , a protože, jak se sado ahléde, P 640+ H»R» < u L = P 640- H»R» < u L, dostaeme také tabulku Zázoríme-li graficky fukci m# P m H» R» < u L a silofukci použitého testu m# - P m H» R» < u L, dostaeme teto obrázek, a ěmž jsou červeě zobrazey graf silofukce a jeho body odpovídající vypočteým hodotám: Pro kotrolu správosti astaveí měřicího přístroje bylo provedeo 0 měřeí zkušebího etalou se správou hodotou m 0 = 5.0. Byly získáy tyto výsledky: Je možé připustit, že odchylky od správé hodoty jsou způsobey áhodými chybami měřeí, ebo je možé spolehlivě a hladiě výzamosti a = 0.05 tvrdit, že přístroj má systematickou chybu? Výsledek každého měřeí je áhodá veličia, o íž můžeme a základě zkušeostí předpokládat, že má ormálí rozděleí pravděpodobosti. Protože všecha měřeí byla zřejmě prováděa za stejých podmíek, stejou metodou a ezávisle a sobě, jejich výsledky představují áhodý výběru =HX,..., X 0 L z jistého ormálího rozděleí NHm, s L a data v tabulce představují experimetálě získaou realizaci tohoto výběru. Tvrzeí, že přístroj má systematickou chybu, je ekvivaletí tvrzeí, že m 5.0. Naším úkolem je tedy otestovat a hladiě výzamosti 5 % hypotézu H 0 : m = 5.0 proti alterativě H : m 5.0. Protože rozptyl základího souboru eí zám, jedá se o test o středí hodotě ormálího rozděleí o ezámém rozptylu. Nulovou hypotézu proto zamítáme, jestliže R =» 5.0» Së è!!!!!! t H9L, 0 kde S = S je výběrová směrodatá odchylka a t b HL je b-kvatil Studetova t-rozděleí s stupi volosti. Protože pro daou realizaci výběru = 5.8 = 5.8, S U , S U , R U.38996, t H9L U.657, hypotézu m = 5.0 a základě aměřeých dat a hladiě výzamosti 5 % zamítáme. Protože R = t H9L, tuto hypotézu bychom zamítli také a každé hladiě výzamosti a 0.04.

13 Problems o statistics.b Obsah stříbra byl zjišťová a každém vzorku dvěma metodami - stadardí a ovou, a to s těmito výsledky: Stadardí metoda Nová metoda Zdá se, že ovou metodou dostáváme v průměru větší hodoty ež metodou stadardí. Lze to a základě uvedeých výsledků tvrdit se spolehlivostí 95 %, tj. a hladiě výzamosti 5 %, předpokládáme-li, že se jedá o realizaci áhodého výběru z ormálího rozděleí? Výsledek zjišťováí obsahu stříbra v i-tém vzorku starou a ovou metodou je podle předpokladu áhodý vektor HX i, Y i L s ormálím rozděleím. Protože všechy dvojice měřeí byly zřejmě prováděy za stejých podmíek a ezávisle a sobě, áhodé vektory HX, Y L,..., HX 9, Y 9 L tvoří áhodý výběr z jistého dvourozměrého ormálího rozděleí. Odtud vyplývá, že =HX,..., X 9 L a =HY,..., Y 9 L jsou spárovaé áhodé výběry ze dvou obecě růzých ormálích rozděleí se středími hodotami m X a m Y a = - je áhodý výběr z ormálího rozděleí se středí hodotou m D = m Y - m X. Naším úkolem je rozhodout, zda lze a základě realizací = 87.3, 7.7, 6.37, 7.5, 8.9, 7.73, 7.49, 7.6, 6.87<, = 87.36, 7.64, 6.4, 7.8, 8.5, 7.8, 7.57, 7.69, 6.98< výběrů a a hladiě výzamosti 5 % spolehlivě tvrdit, že m D > 0, tj. zda lze a základě uvedeých realizací a v testu hypotézy H 0 : m D = 0 proti alterativě H : m D > 0 a hladiě výzamosti 5 % ulovou hypotézu spolehlivě zamítout. Protože je áhodý výběr z ormálího rozděleí s ezámým rozptylem, jedá se o test ulovosti středí hodoty ormálího rozděleí při ezámém rozptylu. Nulovou hypotézu proto zamíteme, jestliže R = Së è!!!!!! 0 t 0.95H8L, kde S = S je výběrová směrodatá odchylka a t b HL je b-kvatil Studetova t-rozděleí s stupi volosti. Protože pro realizaci = - výběru = U 0.04, S U , S U , R U.05953, t 0.95 H8L U.85955, ulovou hypotézu můžeme a základě aměřeých dat a hladiě výzamosti 5 % spolehlivě zamítout a tvrdit, že ová metoda dává v průměru větší hodoty ež metoda stará U každého z dvaácti vzorků materiálu z jedé tavby byla provedea tahová zkouška před tepelým zpracováím a po tepelém zpracováí. Zjištěé meze kluzu v Mpa jsou uvedey jsou uvedey v tabulce: Před TZ Po TZ Za obvyklého předpokladu ormality rozhoděte a hladiě výzamosti a = 5 %, zda se mez kluzu po tepelém zpracováí (a) výzamě změila, (b) výzamě zvýšila. Nechť HX i, Y i L je výsledek měřeí meze kluzu u i-tého vzorku před a po tepelém zpracováí. Ze stejých důvodů jako v příkladu 7.3 jsou =HX,..., X L a =HY,..., Y L spárovaé áhodé výběry ze dvou obecě růzých ormálích rozděleí se středími hodotami m X a m Y a = - je áhodý výběr z ormálího rozděleí se středí hodotou m D = m Y - m X. V případě (a) se jedá o test hypotézy H 0 : m D = 0 proti hypotéze H a : m D 0 při ezámém rozptylu. Nulovou hypotézu a hladiě výzamosti 5 % zamítáme, jestliže»» R a = Së è!!!!!! t 0.975HL, kde S = S je výběrová směrodatá odchylka a t b HL je b-kvatil Studetova t-rozděleí s stupi volosti. V případě (b) se jedá o test hypotézy H 0 : m D = 0 proti hypotéze H b : m D > 0 při ezámém rozptylu. Nulovou hypotézu a hladiě výzamosti 5 % zamíteme, jestliže R b = Së è!!!!!! t 0.95HL. Protože pro realizaci = - výběru, kde a jsou realizace výběrů a daé tabulkou,

14 4 Problems o statistics.b = 6ê U , S U 7.905, S U 4.30, R a = R b U 4.693, t HL U.0099, t 0.95 HL U v obou případech a základě dat uvedeých v tabulce přijímáme alterativí hypotézu. Považujeme tedy za prokázaé a hladiě výzamosti 5 %, že mez kluzu se tepelým zpracováím (a) změila, (b) zvýšila Při zkoumáí vlivu dvou katalizátorů a koverzi plyu byl a každý z 5-ti vzorků apliková právě jede z ich. Aalýzou vzorků byly získáy tyto výsledky:. katalyzátor katalyzátor Za obvyklého předpokladu ormality rozhoděte a hladiě výzamosti %, zda vliv zkoumaých katalyzátorů a koverzi plyu je či eí stejý. Výsledky aalýz jedotlivých vzorků jsou áhodé veličiy, které jsou zřejmě ezávislé a mají podle předpokladu ormálí rozděleí pravděpodobosti. Data v. resp.. řádku tabulky proto představují realizaci a ezávislých áhodých výběrů a ze dvou obecě růzých ormálě rozděleých základích souborů se středími hodotami m X a m Y. Naším úkolem je a základě realizací a rozhodout a hladiě výzamosti %, zda tyto středí hodoty jsou či ejsou stejé. Protože aalýzy všech vzorků byly zřejmě provedey za stejých podmíek, stejou metodou a se stejou přesostí, můžeme předpokládat, že áhodé veličiy X a Y mají stejý rozptyl. Pro jistotu však teto předpoklad otestujeme a stejé hladiě výzamosti % pomocí F-testu rovosti rozptylů ezávislých áhodých výběrů z ormálě rozděleých základích souborů. Jestliže test teto předpoklad potvrdí, hypotézu o rovosti středích hodot m X, m Y ověříme pomocí t-testu rovosti středích hodot dvou ezávislých áhodých výběrů z ormálích rozděleí se stejým rozptylem. I. F-test předpoklad var X = var Y a hladiě výzamosti % zamítá, pokud platí jeda z erovostí S S F H6,7L, S S F H6,7L, kde F b Hm, L je b-kvatil Fisherova-Sedecorova F-rozděleí s m a stupi volosti. Pro realizace, však ai jeda z těchto erovostí eplatí, eboť S U , S U , S S U.3094, F H6,7L U , F H6,7L U , a proto a hladiě výzamosti % eí důvod předpoklad var X = var Y zamítout. II. t-test rovosti středích hodot dvou ezávislých áhodých výběrů z ormálích rozděleí se stejým rozptylem hypotézu m X = m Y zamítá, jestliže pro m = 7, = 8 a platí erovost S = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hm L S +H L S m + R =»» m $%%%%%%%%%%%%%% S m + t 0.995Hm + L. Pro daé realizace a však = 4.4, = 3.85, = 0.55, S U , S U , R U.0805, t H3L U 3.08, a proto a hladiě výzamosti % eí důvod hypotézu m X = m Y zamítout. Jiak řečeo, a hladiě výzamosti % eí ve vlivu zkoumaých katalyzátorů a koverzi plyu výzamý rozdíl. Pozámka. Protože hodota distribučí fukce Studetova rozděleí s 3 stupi volosti v bodě RU.0805 je s velkou přesostí , dosažeá hladia testu p-valueu H LU To zameá, že vliv zkoumaých katalyzátorů a koverzi plyu bychom mohli považovat za výzamě rozdílý až a hladiě výzamosti au5 % ebo vyšší.

15 Problems o statistics.b V tabulce jsou aměřeé hodoty meze kluzu v Mpa áhodě odebraých vzorků kovového materiálu ze dvou růzých taveb A a B, přičemž z každé tavby bylo odebráo po deseti vzorcích: Tavba A Tavba B Rozhoděte a hladiě výzamosti a = 5 %, zda se mez kluzu materiálu z tavby A liší od meze kluzu materiálu z tavby B. Postup zdůvoděte. Výsledky měřeí meze kluzu jedotlivých vzorků jsou zřejmě ezávislé áhodé veličiy, a protože se jedá o výsledky měřeí, lze předpokládat, že jsou ormálě rozděleé. Data v. resp.. řádku tabulky proto představují realizaci a ezávislých áhodých výběrů a ze dvou obecě růzých ormálě rozděleých základích souborů se středími hodotami m X a m Y. Naším úkolem je a základě realizací a rozhodout a hladiě výzamosti 5 %, zda tyto středí hodoty jsou či ejsou stejé. Protože aalýzy všech vzorků byly zřejmě provedey za stejých podmíek, stejou metodou a se stejou přesostí, můžeme předpokládat, že áhodé veličiy X a Y mají stejý rozptyl. Pro jistotu však teto předpoklad otestujeme a stejé hladiě výzamosti 5 % pomocí F-testu rovosti rozptylů ezávislých áhodých výběrů z ormálě rozděleých základích souborů. Jestliže test teto předpoklad potvrdí, hypotézu o rovosti středích hodot m X, m Y ověříme pomocí t-testu rovosti středích hodot dvou ezávislých áhodých výběrů z ormálích rozděleí se stejým rozptylem. I. F-test předpoklad var X = var Y a hladiě výzamosti 5 % zamítá, pokud platí jeda z erovostí S S F 0.05 H9,9L, S S F H9,9L, kde F b Hm, L je b-kvatil Fisherova-Sedecorova F-rozděleí s m a stupi volosti. Pro daé realizace, však ai jeda z těchto erovostí eplatí, eboť S U 49.5, S U , S S U.4644, F 0.05 H9,9L U , F H9,9L U , a proto a hladiě výzamosti 5 % eí důvod předpoklad var X = var Y zamítout. II. t-test rovosti středích hodot dvou ezávislých áhodých výběrů z ormálích rozděleí se stejým rozptylem hypotézu m X = m Y zamítá, jestliže pro m = = 0 a platí erovost S = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hm L S +H L S = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%% S + S m + R =»» m $%%%%%%%%%%%%%% S m + =»» m $%%%%%% S t 0.995H m L. Protože pro daé realizace a = 37., = 48.8, =.6, S U , S U , R U , t H8L U.009, hypotézu m X = m Y musíme a hladiě výzamosti 5 % zamítout. To zameá, že se spolehlivostí 95 % lze tvrdit, že mez kluzu materiálu z tavby A se liší od meze kluzu materiálu z tavby B. Pozámka. Protože hodota distribučí fukce Studetova rozděleí s 6 stupi volosti v bodě RU je s velkou přesostí , dosažeá hladia testu p-valueu H LU To zameá, že hypotézu o rovosti mezí kluzu obou materiálu lze a základě realizací a zamítout a každé hladiě výzamosti a, pro kterou platí erovost a Při zkoumáí pevosti dvou druhů bavlěé příze byla změřea pevost devíti vzorků příze prvího druhu a pevost sedmi vzorků příze druhého druhu:. druh druh

16 6 Problems o statistics.b Kvalita příze se posuzuje mimo jié z hlediska variability pevosti - čím meší variabilita, tím kvalitější příze. Lze a základě zjištěých hodot tvrdit se spolehlivostí 95 %, tj. a hladiě výzamosti 5 %, že. druh příze je z hledika variability pevosti kvalitější ež. druh? Za jakých předpokladů je rozhodutí korektí? Výsledky měřeí pevosti jedotlivých vzorků jsou zřejmě ezávislé áhodé veličiy, a protože se jedá o výsledky měřeí, lze předpokládat, že jsou ormálě rozděleé. Data v. resp.. řádku tabulky proto představují realizace a ezávislých áhodých výběrů a ze dvou obecě růzých ormálě rozděleých základích souborů s rozptyly s X a s Y. Naším úkolem je a základě realizací a rozhodout a hladiě výzamosti 5 %, zda platí hypotéza H 0 : s X = s Y ebo alterativa H : s X < s Y. Použít můžeme tzv. F-test rovosti rozptylů ezávislých áhodých výběrů z ormálě rozděleých základích souborů. Teto test hypotézy H 0 proti jedostraé alterativě H ulovou hypotézu a hladiě výzamosti 5 % zamítá, jestliže platí erovost S S F 0.05H8,6L, kde F b Hm, L je b-kvatil Fisherova-Sedecorova F-rozděleí s m a stupi volosti. Pro daé realizace, však tato erovost eplatí, eboť U , U 4.349, S U , S U , S S U , F 0.05H8,6L U To zameá, že a hladiě výzamosti 5% elze tvrdit, že prví druh příze je z hledika variability pevosti kvalitější ež druhý druh.

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p) . Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Tetováí tatitických hypotéz CHEMOMETRIE I, David MILDE Jedá e o jedu z ejpoužívaějších metod pro vyloveí závěrů o základím ouboru, který ezkoumáme celý, ale pomocí áhodého výběru. Př.: Je obah účié látky

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah: Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí... 4. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Kapitola 6. : Neparametrické testy o mediánech

Kapitola 6. : Neparametrické testy o mediánech Kapitola 6 : Neparametrické testy o mediáech Cíl kapitoly Po prostudováí této kapitoly budete umět - provádět testy hypotéz o mediáu jedoho spojitého rozložeí - hodotit shodu dvou ezávislých áhodých výběrů

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Pravděpodobnost vs. statistika. Data. Teorie pravděpodobnosti pracuje s jednou nebo více teoretickými náhodnými

Pravděpodobnost vs. statistika. Data. Teorie pravděpodobnosti pracuje s jednou nebo více teoretickými náhodnými Pravděpodobost vs. Teorie pravděpodobosti pracuje s jedou ebo více teoretickými áhodými veličiami, jejichž je zámo odvozovali jsme y těchto atd. Šárka Hudecová Katedra pravděpodobosti a matematické Matematicko-fyzikálí

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

OVMT Přesnost měření a teorie chyb

OVMT Přesnost měření a teorie chyb Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.

Více

Mod(x) = 2, Med(x) = = 2

Mod(x) = 2, Med(x) = = 2 Pracoví list č.. Při zjišťováí počtu ezletilých dětí ve třiceti vybraých rodiách byly získáy tyto výsledky:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. Uspořádejte získaé údaje do tabulky rozděleí četostí a vyjádřete

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n. Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika České vysoké učeí techické v Praze Fakulta dopraví Semestrálí práce Statistika Čekáí vlaku ve staicích a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží Zouzalová Barbora 2 35 Michálek Tomáš 2 35 sk. 2 35

Více

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,

Více

7. cvičení 4ST201-řešení

7. cvičení 4ST201-řešení cvičící 7. cvičeí 4ST21-řešeí Obsah: Bodový odhad Itervalový odhad Testováí hypotéz Vysoká škola ekoomická 1 Úvod: bodový a itervalový odhad Statistický soubor lze popsat pomocípopisých charakteristik

Více

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí rovoměrosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více