1. Základy počtu pravděpodobnosti:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. Základy počtu pravděpodobnosti:"

Transkript

1 Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých ebo ekotrolovatelých příči. Pokus áhodý realizace určitého komplexu podmíek. Jev hromadý jevy, které mohou být výsledkem opakovaých realizací komplexu základích podmíek. Jev jistý U jev, který za daého komplexu podmíek astává vždy. Jev emožý V jev, který za daého komplexu podmíek emůže astat ikdy. Sjedoceí jev spočívající v zastoupeí alespoň jedoho z jevů A ebo B (A + B). Průik jev spočívající v současé realizaci jak jevu A, tak jevu B (A. B). Jev eslučitelý jevy, jejichž průik je jevem emožým. Diagram Veův grafické zázorěí vztahů mezi áhodými jevy. Jev složeý jestliže jev A můžeme vyjádřit jako sjedoceí dvou jevů B a C, z ichž žádý ebude rove jevu A. Prostor elemetárích (prvotích) jevů možia všech elemetárích jevů. Pravděpodobost klasická může-li určitý pokus vykázat koečý počet růzých výsledků, které jsou stejě možé a jestliže m těchto výsledků má za ásledek astoupeí jevu. Pravděpodobost statistická při malém počtu pokusů má relativí četost do začé míry áhodý charakter, s rostoucím počtem pokusů se však stabilizuje a přibližuje se k určitému kostatímu číslu. Pravděpodobost axiomatická ejobecější defiice pravděpodobosti, zahruje v sobě defiici klasickou i statistickou. Věta o sčítáí pravděpodobostí vyjadřuje pravděpodobost sjedoceí áhodých jevů. Věta o ásobeí pravděpodobostí vyjadřuje pravděpodobost průiku jevů. Pravděpodobost průiků jevů A a B je rova součiu pravděpodobosti jedoho z ich a podmíěé pravděpodobosti druhého z ich, vypočteé za předpokladu, že prvý jev lze realizovat. Pravděpodobost podmíěá charakterizuje závislost áhodých jevů. Jev áhodý charakterizuje výsledek áhodého pokusu kvalitativě (slově). Veličia áhodá charakterizuje výsledek áhodého pokusu kvatitativě. Proměá, která abývá kokrétích hodot v závislosti a áhodě. Veličia áhodá diskrétí (espojitá) veličia, která abývá pouze koečého ebo spočetého možství od sebe avzájem odděleých hodot. Veličia áhodá spojitá může abývat libovolých hodot z koečého či ekoečého itervalu. Záko rozděleí áhodé veličiy každé hodotě ebo možiě hodot z každého itervalu přiřazuje pravděpodobost, že áhodá veličia abude této hodoty ebo hodoty z tohoto itervalu. Řada rozděleí ejjedodušší forma vyjádřeí zákoa rozděleí pro diskrétí veličiy. Je to tabulka, v jejímž prvím řádku sou uvedey všechy možé hodoty diskrétí veličiy X a v druhém jim odpovídající pravděpodobosti. Polygo rozděleí pravděpodobostí grafické zázorěí řady rozděleí. Fukce distribučí euiverzálější forma vyjádřeí zákoa rozděleí, je jí možo použít pro diskrétí i spojité áhodé veličiy. Je to fukce, která každému reálému číslu přiřazuje pravděpodobost, že áhodá veličia abude hodoty meší ež toto číslo. Paradox ulové pravděpodobosti pravděpodobost výskytu libovolé kokrétí spojité áhodé veličiy je rova ule. Fukce distribučí grafické zázorěí grafem diskrétí áhodé veličiy je espojitá schodovitá čára, grafem spojité áhodé veličiy spojitá křivka. Hustota pravděpodobosti = difereciálí záko rozděleí derivace distribučí fukce F(X). Fukce distribučí sdružeá pravděpodobostí chováí systému áhodých veliči. Fukce distribučí margiálí fukce jedotlivých áhodých veliči. Charakteristiky polohy určují střed rozděleí daé áhodé veličiy, kolem ěhož jsou hodoty áhodé veličiy soustředěy. Např. středí hodota áhodé veličiy E(X), rozptyl áhodé veličiy D(X). Charakteristiky variability popisují kolísáí či promělivost jedotlivých hodot áhodé veličiy kolem příslušé středí hodoty. Směrodatá odchylka charakteristika variability, která má týž rozměr jako sledovaá áhodá veličia. - -

2 Rozděleí alterativí tzv. ula-jedičkové veličiy, které lze apříklad využít pro kvatifikaci výsledků pokusů, jež elze číselě vyjádřit. Rozděleí biomické rozděleí diskrétí áhodé veličiy, je rozděleím, které přestavuje počet výskytů jevu A při ezávislých pokusech, přičemž pravděpodobost jevu A je v každém pokusu kostatí. Pokusy ezávislé pokusy, kdy pravděpodobost libovolého výsledku každého pokusu ezávisí a výsledcích předcházejících pokusů. Rozděleí Poissoovo = záko vzácých jevů limití případ biomického rozděleí, kdy počet pokusů je velmi velký a pravděpodobost výskytu jevu A je velmi malá. Záko vzácých jevů jevy, které mají velmi malou pravděpodobost výskytu, takže i v rozsáhlých souborech se vyskytují vzácě. Rozděleí hypergeometrické vztahuje se k modelu, kdy předpokládáme, že v souboru N prvků jich má M určitou vlastost. Ze souboru vybereme áhodě bez vraceí prvků. Lze ho ahradit biomickým (jestliže N a a p zůstávají kostatí) ebo Poissoovým (je-li M/N<0, a /N<0,) Rozděleí ormálí (Gausssovo) ejdůležitější typ rozděleí áhodých veliči, řídí se jím spojité áhodé veličiy. Grafem hustoty je tvz. Gaussova křivka. Rozděleí se zkráceě ozačuje N(µ,σ ). Křivka Gaussova zvoovitá křivka, která je symetrická okolo přímky procházející středí hodotou. Rozděleí ormálí ormovaé pokud µ=0 a σ =. Jeho hustota bývá tabelováa Pravidlo tří sigma v itervalu (µ-3σ, µ+3σ) se acházejí prakticky všechy hodoty této áhodé veličiy. Je téměř emožé, aby se pozorovaé hodoty této veličiy odchylovaly od středí hodoty o více ež 3σ.. Náhodý výběr Statistika vědecká disciplía, která se zabývá soubory hromadých pozorováí, jejich sběrem, aalýzou a využitím pro racioálí rozhodováí a předpovědi. Soubor statistický koečá eprázdá možia prvků, které mají z daého hlediska určité společé vlastosti. Jedotky statistické prvky statistického souboru. Rozsah souboru počet statistických jedotek obsažeých v daém souboru. Zaky statistické veličiy sledovaé a statistických jedotkách = vyšetřovaá vlastost statistického souboru. Soubor statistický jedorozměrý a každé statistické jedotce se zjišťuje pouze jede statistický zak. Soubor statistický vícerozměrý zjišťujeme větší počet statistických zaků a zkoumáme jejich vzájemý vztah. Zaky kvatitativí mohou abývat pouze jedotlivých izolovaých (diskrétích) hodot, dají se vyjádřit číselě. Zaky kvalitativí jejich jedotlivé obměy se musí popsat slově ebo defiicí. Alterativí mohou abývat pouze dvou variat. Možé mohou abývat zaků moho. Soubor statistický modifikovaá defiice koečý soubor zjištěých hodot ěkteré áhodé veličiy. Soubor základí soubor všech statistických jedotek, může být koečý ebo ekoečý; obsahuje všechy jedotky, které by ás v určitém statistickém zpracováí mohly zajímat. Soubor výběrový ahrazuje (reprezetuje) základí soubor, eí-li možé ebo vhodé provést úplé (vyčerpávající) zjišťováí, zkoumáme základí soubor pomocí statistických jedotek, které byly ze základího souboru podle určitých zásad vybráy. Výběr záměrý o výběru určitých statistických jedotek do výběrového souboru rozhodujeme subjektiví úvahou a základě ějakých logických důvodů. Výběr áhodý o zařazeí určitých statistických jedotek do výběrového souboru rozhoduje pouze áhoda, možosti: losováí, tabulky áhodých čísel, geerátory áhodých čísel. Výběr áhodý prostý volbu výběrového souboru provádíme tak, aby každý výběrový soubor o rozsahu měl stejou pravděpodobost, že bude vybrá, apříklad losováí, tabulka áhodých čísel atd. Výběr áhodý prostý s vraceím (s opakováím) vybraou jedotku po provedeém šetřeí statistického zaku opět vrátíme do základího souboru. Výběr áhodý prostý bez vraceí (bez opakováí) statistickou jedotku po zjištěí statistického zaku již do základího souboru evracíme. Prostor výběrový možia všech možých výběrů. Výběr áhodý z jedorozměrého rozděleí a každé statistické jedotce zjišťujeme pouze jede statistický zak. Výběr áhodý z vícerozměrého rozděleí a každé statistické jedotce zjišťujeme hodoty k statistických zaků. - -

3 Charakteristiky statistické ukazatele, jejichž výpočtem lze provést zhuštěí iformací (idividuálí údaje jsou epřehledé). Čísla, která ve stručé a kocetrovaé formě popisují hlaví vlastosti statistického souboru. Charakteristiky polohy reprezetují vhodou středí hodotu daého souboru kolem íž se soustřeďují hodoty tohoto souboru. Charakteristiky variability měří rozptýleí hodot příslušého souboru, určují rozmezí, v ěmž se výběrové údaje vyskytují, iformují ás o kolísavosti souboru. Průměr může být aritmetický, harmoický, geometrický, lze ho vyjádřit formou prostou (eí-li provedeo tříděí) ebo vážeou (je-li provedeo tříděí). Průměr aritmetický x ejdůležitější a ejčastěji počítaá charakteristika polohy. Mediá x ~ prostředí hodota řady pozorováí, uspořádaé podle velikosti. Je-li rozsah vyjádře lichým číslem, je mediá hodota s pořadovým číslem (+)/. Je-li rozsah vyjádře sudým číslem, za mediá se volí průměr dvou prostředích hodot a mediáem je umělá hodota. Modus xˆ ejčetější hodota zaku, hodota ejtypičtější pro daý soubor. Výběrové variačí rozpětí R rozdíl ejvětší a ejmeší hodoty zaku. Charakteristiky variability absolutí měřeo pomocí výběrového rozptylu a výběrové směrodaté odchylky. Charakteristiky variability relativí pro srováí variability statistického zaku dvou ebo více soborů, které se výrazě liší úroví zaku, ebo chceme-li porovat variabilitu ěkolika statistických zaků vyjádřeých v růzých měrých jedotkách. Systematizace setříděí pozorovaých hodot velikosti a zjistíme, kolikrát se která hodota vykytuje. Výsledek se zapisuje do tabulky rozděleí četostí. Četosti udávají, kolikrát se která hodota zaku v souboru vyskytuje. Rozděleí četostí prosté (relativí, kumulativí) sledováí espojitého statistického zaku. Rozděleí četostí itervalové (skupiové) při sledováí spojitého statistického zaku, variačí rozpětí se rozdělí a určitý počet itervalů a zjistí se počty hodot zaku patřících do těchto itervalů. Pravidlo Sturgesovo pravidlo sloužící k určeí počtu tříd itervalů při rozděleí četostí. Histogram četostí grafické zázorěí rozděleí četostí, obrazec tvořeý pravoúhlými rovoběžíky, jejichž základy mají délku zvoleých itervalů a jejichž výšky mají velikost příslušých třídích četostí. Polygo četostí grafické zázorěí rozděleí četostí, lomeá čára, která vzike spojeím středů horích stra jedotlivých rovoběžíků histogramu. Kvatity hodoty, které dělí uspořádaý statistický soubor a určitý počet stejě obsazeých částí. Kvartily dělí uspořádaý soubor a čtyři stejě obsazeé části. Prví kvartil (dolí) odděluje 5% ejmeších hodot. Prostředí kvartil je totožý s mediáem a dělí výběr a dvě stejě obsazeé části. Třetí (horí) kvartil odděluje 5% ejvětších hodot zaku. Decily dělí uspořádaý soubor a deset stejě obsazeých částí. Percetily dělí datový soubor a sto stejě obsazeých částí. Rozpětí kvartilové diferece horího a dolího kvartilu. Odchylka kvartilová polovia kvadrilového rozpětí. Pětičíselý souhr statistik podává rychlou a přehledou iformaci o poloze, variabilitě i případé asymetričosti rozložeí hodot zkoumaého statistického souboru. Zahruje dolí kvartil, mediá, horí kvartil, miimálí hodotu a maximálí hodotu. Boxplot grafické zázorěí pětičíselého souhru statistik. Pozorováí odlehlá hodoty, které jsou od horího ebo dolího kvartilu vzdáley více ež,5 ásobek kvadrilového rozpětí. Pozorováí odlehlá důvody údaje se do souboru dostaly v důsledku ějakých hrubých chyb (měřeí, zápisu atd.), pozorováí epocházejí z téhož základího souboru, správý údaj reprezetovaý mimořádým případem. Aritmetický průměr výběrový áhodá veličia, jejíž středí hodota je rova středí hodotě sledovaého statistického zaku X, ale její rozptyl je -krát meší ež rozptyl tohoto statistického zaku. Rozděleí výběrová rozděleí χ (chí-kvadrát), studetovo t-rozděleí, F-rozděleí (Fischerovo Sedecorovo) 3. Teorie odhadu Idukce statistická souhr metod, které umožňují zkoumat áhodý výběr a čiit závěry o základím souboru. Teorie odhadu určeí typu rozděleí sledovaého zaku respektive ěkterých charakteristik a to a základě výběrových dat. Odhady parametrů možo provést dvěma metodami: bodový odhad, iterval spolehlivosti

4 Odhad bodový a základě zjištěých hodot výběrového souboru vypočteme předem staoveým způsobem jedo číslo, které považujeme za odhad parametru základího souboru. Iterval spolehlivosti uvedeme iterval, který s předem daou pravděpodobostí obsahuje daou hodotu parametru základího souboru. Odhad bodový požadavky odhadová statistika musí být estraá, kozistetí, vydatá, postačující. Odhad bodový estraý statistika T dává estraý odhad charakteristiky θ, jestliže E(T)=θ. Je-li E(T)>θ, statistika T dává pozitivě vychýleý odhad. Je-li E(T)<θ, statistika t dává egativě vychýleý odhad. Odhad bodový kozistetí s rostoucím rozsahem výběru roste pravděpodobost, že hodota odhadu populačí charakteristiky se liší od skutečé hodoty populačí charakteristiky epatrě. Odhad bodový vydatý statistika T dává vydatý (ejlepší estraý) odhad populačí charakteristiky θ, jestliže má ze všech estraých odhadů charakteristiky θ ejmeší rozptyl. Odhad bodový postačující statistika T je postačující, jestliže obsahuje všechy iformace o populačí charakteristice θ => eexistuje-li žádá další statistika, která by obsahovala o odhadovaé populačí charakteristice ějakou další iformaci. Odhad bodový typy bodový odhad průměru základího souboru, bodový odhad rozptylu základího souboru. Odhad itervalový a základě áhodého výběru určíme meze itervalu, který s předem daou pravděpodobostí obsahuje ezámou hodotu populačí charakteristiky. Spolehlivost pravděpodobost, s jakou v daém itervalu spolehlivosti budou kokrétí hodoty obsažeé. Meze spolehlivosti hraice itervalu spolehlivosti. Přesost odhadu délka itervalu daého souboru, maximálí chyba, které se můžeme dopustit při určité pravděpodobosti. Spolehlivost odhadu = koeficiet spolehlivosti pravděpodobost, že iterval spolehlivosti obsahuje ezámou populačí charakteristiku. Ozačuje se α. Hladia výzamosti pravděpodobost α. Iterval spolehlivosti lze udat trojím způsobem omezey pouze shora, omezey pouze zdola, omezey zdola i shora. Iterval spolehlivosti jedostraý omezey pouze shora, omezey pouze zdola. Iterval spolehlivosti dvoustraý omezey zdola i shora. Iterval pravostraý omeze shora. Iterval levostraý omeze zdola. Odhad itervalový typy itervalový odhad průměru základího souboru, itervalový odhad rozptylu σ ormálě rozděleého základího souboru, itervalový odhad parametru p alterativího rozděleí. Odhad itervalový průměru základího souboru Přípustá chyba vyjadřuje se v závislosti a tom, zda je ám rozptyl základího souboru σ zám, či pouze odhad s, zda se jedá o výběr s opakováím ebo bez opakováí, či zda jde o dvoustraý ebo jedostraý iterval spolehlivosti. Náhodý výběr dvoufázový. fáze předvýběr, zkusmo provedeme meší áhodý výběr, z ěhož vypočteme rozptyl a požadovaý rozsah souboru pro výběr s opakováím a bez opakováí.. fáze pokud m< je uté doplit předvýběr o -m jedotek a požadovaý rozsah, jiak již eí uté provádět další šetřeí. Odhad itervalový rozptylu σ ormálě rozděleého základího souboru lze ho určit za dvou podmíek záme parametr µ, ezáme parametr µ. Většiou však parametr zám eí. Odhad itervalový parametru p alterativího rozděleí uto odhadout podíl jedotek s určitou vlastostí v koečém základím souboru, tedy pravděpodobost výskytu jedotky s daou vlastostí. Je-li malý rozsah souboru, vycházíme z toho, že výběrová absolutí četost m má při výběrech s opakováím biomické rozděleí a při výběrech bez opakováí hypergeometrické rozděleí. Je-li velký rozsah soubrou, lez rozděleí výběrové relativí četosti m/ aproximovat ormálím rozděleím se středí hodotou p a směrodatou odchylkou odmocia z: p(-p)/. Odhad eparametrický mediáu základího souboru předpokladem je spojitost áhodé veličiy. Náhodý výběr uspořádáme do řady vzestupým způsobem podle velikosti (variačí řada). 4. Testováí statistických hypotéz Idukce statistická představuje soubor metod, pomocí ichž můžeme pomocí áhodého výběru formulovat určité závěry o vlastostech základího souboru. Hypotéza statistická každé tvrzeí o tvaru ebo charakteristikách rozděleí jedoho či ěkolika statistických zaků.

5 Test statistické hypotézy postup, jímž a základě áhodého výběru ověřujeme, zda tato hypotéza platí či ikoliv. Hypotézy parametrické týkají se hodot parametrů rozděleí. Testy parametrické slouží k ověřováí parametrických hypotéz. Hypotézy eparametrické tvrzeí o zákou rozděleí základího souboru Testy eparametrické slouží k ověřováí eparametrických hypotéz. Hypotéza ulová testovaá statistická hypotéza, ozačuje je H 0. Hypotéza alterativí hypotéza, která popírá platost ulové hypotézy, přijímáme ji tehdy, jestliže jsme ulovou hypotézu zamítli jako esprávou. Hypotéza může být vymezea jako oboustraá alterativa (H : θ θ 0 ) ebo jedostraá, respektive pravostraá a levostraá (H : θ>θ 0 a H : θ<θ 0 ) Kriterium testové = statistika testová iformaci obsažeou v áhodém výběru shreme pomocí ějaké statistiky. Je to míra esouladu výsledků pokusu s testovaou hypotézou. Je-li testové kritérium rovo ule, odpovídají výběrová data ulové hypotéze. Od uly se kriterium odchyluje tím více, čím více se výběrové hodoty odkláějí k H. Obor kritický K obor zamítutí ulové hypotézy. Je tvoře třemi možými hodotami testové statistiky T, jejichž výskyt je za předpokladu platosti ulové hypotézy málo pravděpodobý. Pokud vypočteá hodota statistiky patří do K, zamítáme ulovou hypotézu, protože jev se eměl uskutečit, za platosti ulové hypotézy měl velmi ízkou pravděpodobost, jelikož však astal, je tím platost ulové hypotézy zpochyběa a proto ji zamítáme. Obor přijetí je tvoře těmi možými hodotami testové statistiky T, které ejsou v rozporu s ulovou hypotézou. Pokud vypočteá hodota statistiky patří do oboru přijetí, ezamítáme ulovou hypotézu. Hodoty kritické hodoty, jimiž je odděle obor přijetí od oboru kritického. Chyba. druhu jestliže vypočteá hodota testového kriteria T padal do kritického oboru K a zamíteme tedy ulovou hypotézu, i když ta je správá. Chyba. druhu zameá ezamítutí ulové hypotézy, i když eí správá. Pokud ulová hypotéza eplatí, ale vlivem áhody jsme dostali výsledek kdy testové kriterium T epadlo do K a ulovou hypotézu ezamítáme. Pravděpodobost chyby. druhu = hladia výzamosti ozačuje se α a udává výši rizika, s jakým se ulová hypotéza zamítá, i když platí. Pravděpodobost chyby. druhu = síla testu začí se β. Hodota β vyjadřuje pravděpodobost správého zamítutí testovaé hypotézy. Testy výzamosti statistické testy, které bezprostředě berou v úvahu pouze pravděpodobost chyby. druhu. Hladia výzamosti volba je libovolá, ale čím meší je α, tím je test přísější a ulovou hypotézu je obtížější zamítout. Testy parametrické test hypotézy o rozptylu ormálího rozděleí, test hypotézy o průměru ormálího rozděleí (jedovýběrový t-test), test hypotézy o parametru p alterativího rozděleí, srováí rozptylů dvou ormálích rozděleí (F-test), porováí průměrů dvou ormálích rozděleí, párový t-test, test hypotézy o parametrech p a p dvou alterativích rozděleí, porováí průměrů více ež dvou ormálích rozděleí (aalýza rozptylu), mohoásobé porováváí (podrobější hodoceí výsledků aalýzy rozptylu), porováí rozptylů více ež dvou ormálích rozděleí. Test hypotézy o rozptylu ormálího rozděleí řeší problematiku posouzeí přesosti měřících přístrojů, zařízeí, strojů atd., respektive posouzeí stability techologických procesů. Test hypotézy o průměru ormálího rozděleí = jedovýběrový t-test kdy a základě áhodého výběru o rozsahu, provedeého ze základího souboru s ormálím rozděleím, máme ověřit hypotézu, že průměr µ v základím souboru je rove určité kostatí hodotě. Test hypotézy o parametru p alterativího rozděleí v sérii ezávislých opakováí áhodého pokusu se ějaký áhodý jev A, který má stálou, ale ezámou pravděpobost p, vyskytl m-krát. Výsledek takové skupiy opakováí pokusu lez považovat za áhodý výběr o rozsahu ze základího souboru, který má alterativí rozděleí s parametrem p. Srováí rozptylů dvou ormálích rozděleí = F-test provádíme-li měřeí určité veličiy v růzých podmíkách. Porováí průměrů dvou ormálích rozděleí porováváme apříklad hektarové výosy dvou odrůd určité plodiy, užitkovost dvou růzých pleme krav, spotřebu pohoých hmot u motorů dvou růzých typů, korozi materiálu při dvou růzých způsobech úpravy povrchu atd. Provádí se za předpokladu ezávislosti výběrových souborů. Dvě variaty test hypotézy při stejých rozptylech = Dvouvýběrový t-test, test hypotézy při estejých rozptylech = Welchův test. Dvouvýběrový t-test oba rozptyly jsou stejé.

6 Welchův test předpoklad, že rozptyly se začě liší. Párový t-test je-li předpoklad, že výběrové soubory jsou závislé každý prvek jedoho výběru tvoří pár s určitým prvkem druhého výběru. Například zjišťováí velikosti určitého zaku u téže statistické jedotky ve dvou časových okamžicích. Test hypotézy o parametrech p a p dvou alterativích rozděleí pracujeme-li se dvěma velkými soubory (rozsah řádově větší ež 00). Porováí průměrů více ež dvou ormálích rozděleí = aalýza rozptylu řeší se problém, zda rozdíly mezi m dispoibilími výběrovými soubory jsou pouze áhodé, ebo zda se mezi imi projevují ějaké systematické odchylky. Aalýza rozptylu etapy zpravidla se provádí ve dvou etapách. V prví etapě pomocí aalýzy rozptylu testujeme ulovou hypotézu. Pokud jí ezamíteme, výpočet kočí. Pokud dojde k zamítutí ulové hypotézy, ve druhé etapě je uto vyřešit otázku, které soubory se od sebe výzamě liší. Aalýza rozptylu představuje zobecěí dvouvýběrového t-testu a případ více ež dvou výběrů. Používá se, sledujeme-li vliv jedoho ebo ěkolika faktorů a zkoumaý kvatitativí statistický zak. Aalýza rozptyly při jedoduchém tříděí zkoumáme vliv pouze jediého faktoru a daý statistický zak. Naměřeé hodoty třídíme do skupi podle úroví faktoru. Tečkový způsob zápisu součtů a průměrů umožňuje přehledější vyjádřeí vzorců užívaých v aalýze rozptylu. Mohoásobé porováváí = podrobější hodoceí výsledků aalýzy rozptylu při zamítutí ulové hypotézy v aalýze rozptylu je závěr, že eplatí shoda mezi porovávaými průměry, příliš eurčitý, proto je uté výsledky aalýzy rozptylu doplit podrobějšími iformacemi pomocí metod mohoásobých porováváí. Scheffého metoda = S-metoda jeda z metod mohoásobých porováváí, je uiverzálě použitelá. Tukeyova metoda = T-metoda jeda z metod mohoásobých porováváí, je citlivější a rozdíly mezi středími hodotami, vyžaduje, aby pokusý plá byl vyvážeý. Porováí rozptylů více ež dvou ormálích rozděleí Bartlettův test, Hartleyův test. Testy dobré shody předpoklad, že základí soubor, z ěhož aalyzovaý áhodý výběr pochází, má rozděleí určitého typu, testy ulové hypotézy áhodý výběr pochází z daého rozděleí. Test shody χ jede z ejfrekvetovaějších testů dobré shody, při jeho prováděí se výběrové výsledky ejdříve rozdělí do k disjuktích tříd s četostí a poté se vypočtou teoretické (očekávaé) četosti. Lze ho použít pro ověřováí shody s libovolým typem rozděleí. Četosti empirické výběrové výsledky rozděleé do k disjuktích tříd. Test ormality Davidův jede z testů dobré shody, lze ho použít pro staoveí ulové hypotézy áhodý výběr pochází z ormálího rozděleí. Testy eparametrické situace, kdy se setkáváme s výběrem poměrě malého rozsahu, který pochází z výrazě eormálích souborů ebo ze souborů, o jejichž rozděleí ic evíme. Jejich hlaví předostí je ezávislost a tvaru rozděleí studovaých veliči, jsou použitelé pro studium zaků kvatitativích i kvalitativích a jsou jedoduché a výpočet. Jejich edostatkem je meší síla, která je částečě kompezováa širšími možostmi použití. Test dvouvýběrový Wilcoxoův představuje eparametrickou aalogii dvouvýběrového t-testu. Slouží k testu hypotézy, že dva ezávislé výběry pocházejí ze stejého základího souboru proti alterativě, že se výzamě liší svou polohou. Výběrové hodoty uspořádáme podle velikosti a přiřadíme jim pořadová čísla (očíslujeme od ejmeší k ejvětší, stejě velkým hodotám přiřadíme stejé průměré pořadí). Zjistíme součky a vypočteme veličiy. Test Wilcoxoův je eparametrickou aalogií párového t-testu. Používáme ho tehdy, chceme-li ověřit, zda se dva párové (závislé) výběry výzamě liší svou polohou. Pro každou dvojici závislých pozorováí se vypočte diferece a absolutím hodotám diferecí přiřadíme pořadová čísla (ulové diferece vyecháme). Sečteme pořadová čísla kladých diferecí a záporých diferecí. Test Kruskal-Wallisův eparametrická obdoba jedoduché aalýzy rozptylu. Umožňuje test hypotézy, že m ezávislých výběrů s rozsahy pochází z téhož rozděleí. Hodoty m seřadíme do rostoucí poslouposti, určí se pořadí. Metody mohoásobého porováváí eparametrické jsou obdobou S-metody ebo T-metody v případě aalýzy rozptylu. Při práci s vyvážeým pokusým pláem doplíme Kruskalův-Wallisův test doplit Neméyiho metodou mohoásobého pozorováí. Metoda mohoásobého pozorováí Neméyiho slouží k doplěí Kruskal-Wallisova testu. Test áhodosti předpokladem je áhodost uspořádáí aalyzovaého výběru. Předpoklad musí být ověře ěkterým testem áhodosti, apříklad test založeý a bodech zvratu.

7 5. Korelačí a regresí aalýza statistická aalýza vztahů mezi veličiami Korelace = závislost slouží k určeí míry závislosti. Aalýza korelačí ukazuje, jak je silý vztah mezi sledovaými veličiami. Aalýza korelačí zabývá se vzájemými závislostmi, kdy se klade důraz především a sílu (itezitu) vzájemého vztahu. Aalýza korelačí důvody užitečosti čím jsou určité veličiy těsěji vázáy, s tím větší pravděpodobostí lze očekávat, že změy jedé veličiy budou mít za ásledek změy veličiy s í statisticky vázaé; stupeň vázaosti áhodých veliči charakterizuje, jaká je vypovídací schopost užitého regresího modelu. Korelace ozačuje míru stupě závislosti dvou proměých. Dvě proměé jsou korelovaé, jestliže určité hodoty jedé proměé mají tedeci se vyskytovat společě s určitými hodotami druhé proměé. Koralce formálí když se zjišťuje korelace procetuálích charakteristik, jež se avzájem doplňují do 00%. Nehomogeita populace, kterou studujeme, obsahuje subpopulace, pro ěž se průměré hodoty proměých X a Y liší. Příčia společá vztahy mezi ěkterými mírami těla. Korelace zdálivé jsou způsobeé časovým faktorem ebo faktorem moderizace u dvou řad údajů. Proměé rušivé (matoucí) korelují jak s cílovou proměou, tak s proměou ovlivňující, elze rozlišit vliv matoucí a sledovaé ovlivňující proměé a cílovou proměou. Závislost příčiá (kauzálí) jede jev (příčia) vyvolává existeci (vzik, změu, záik apod.) jevu druhého. Jede jev podmiňuje jev jiý. Výskyt určitého jevu souvisí (má za ásledek, vyvolává) s existecí jiého jevu. Koeficiet korelačí Pearsoův ejdůležitější míra síly vztahu dvou áhodých spojitých proměých X a Y. Vyjadřuje pouze sílu lieárího vztahu, je velmi ovlivě odlehlými hodotami, erozlišuje mezi závisle a ezávisle proměou, eí úplým popisem dat při velmi silém lieárím vztahu. Koeficiet korelačí vlastosti <-, >, pokud r = leží všechy body a ějaké přímce, pokud r = 0 azýváme X a Y ekorelovaé proměé, pokud r < 0 tak se Y v průměru zmešuje. Těsost závislosti r r < 0,3 ízká, 0,3 r < 0,5 mírá, 0,5 r < 0,7 výzačá, 0,7 r < 0,9 velká, 0,9 r < velmi vysoká. Koeficiet determiace druhá mocia koeficietu korelace, udává, jaké proceto rozptýleí empirických hodot závisle proměé je důsledkem rozptylu teoretických hodot závisle proměé odhaduté a základě regresí přímky. Idex determiace udává, jaké proceto rozptýleí empirických hodot závisle proměé je důsledkem rozptylu teoretických hodot závisle proměé odhadutých a základě příslušé regresí fukce. Těsost závislosti r r < 0% ízká, 0% r < 5% mírá, 5% r < 50% výzačá, 50% r < 80% velká, 80% r velmi vysoká. Idex korelace poskytuje stejé iformace o těsosti závislosti jako idex determiace, ale má meší vypovídací schopost. Měří míru těsosti závislosti mezi áhodými veličiami X a Y. Používá se k měřeí těsosti závislosti pro libovolou regresí fukci, jejíž parametry byly odhaduty metodou ejmeších čtverců. Poměr determiace (korelačí) udává, jaké % rozptylu závisle proměé lze vysvětlit vlivem ezávisle proměé X. Je to odmocia z poměru determiace. Korelačí koeficiet výběrový poskytuje bodový odhad korelačího koeficietu základího souboru, eí to odhad estraý, ale je asymptoticky estraý a kozistetí. Koeficiet pořadové korelace Spearmaův eparametrická charakteristika, jeho využití eí vázáo a splěí předpokladu dvourozměré ormality základího souboru ai předpokladu liearity regrese. Měří těsost jakékoliv statistické závislosti, která je mootóí. Přichází v úvahu hlavě při malém počtu pozorováí, je velmi důležité provést test výzamosti koeficietu. Měří sílu vztahu X a Y, když emůžeme předpokládat liearitu očekávaého vztahu ebo ormálího rozděleí proměých X a Y. <-, > Aalýza regresí a korelačí soubor postupů a metod, dovolujících řešeí otázky závislosti dvou ebo většího počtu veliči. Aalýza regresí a korelačí cíle popis statistických vlastostí vztahu dvou ebo více proměých. Aalýza regresí zabývá se jedostraými závislostmi, kdy proti sobě stojí vysvětlují (ezávisle) proměá v úloze příči a vysvětlovaá (závisle) proměá v úloze ásledků. Jde o přesější popis tvaru vztahu mezi proměými X a Y a charakterizováí jeho vhodosti pro predikci hodot závisle proměé pomocí hodot ezávisle proměé. Aalyzujeme vztah mezi jedou proměou zvaou cílová (závislá, Y) a ěkolika dalšími, které azýváme ezávislé (ovlivňující, X). Úloha regresí zjistit formu závislosti a vyjádřit jí matematickou (regresí) fukcí

8 Úloha korelačí určit stupeň síly s jakou se daá závislost projevuje uprostřed růzých rušících vedlejších faktorů. Závislost fukčí a statistická. Závislost fukčí daé hodotě jedoho zaku odpovídá jediá hodota druhého zaku a aopak. Závislost statistická závislost, kdy daé hodotě jedoho zaku odpovídá ěkolik hodot druhého zaku. Závislost jedoduchá závislost pouze mezi dvěma áhodými veličiami X a Y. Závislost víceásobá (mohoásobá) závislost veličiy Y a více jak dvou veličiách X. Proměá vysvětlovaá (závisle), vysvětlující (ezávisle). Prokládáí dat přímkou pokud graf ukáže lieárí vztah mezi proměými, hledáme přímku, jež je experimetálím bodům co možá ejblíže. Odchylka áhodá (reziduálí) = áhodá chyba odchylka i-tého pozorováí veličiy Y. Odchylka reziduálí rozdíl mezi aměřeou a očekávaou hodotou. Parametry staoveí metodou ejmeších čtverců. Koeficiet regresí (teoretický) začí se β, charakterizuje průměrou změu závisle proměé, jež odpovídá změě ezávisle proměé o jedu její jedotku. Je-li kladý, dochází s růstem hodot ezávisle proměé X v průměru také k růstu závisle proměé Y. Je-li záporý, dochází při růstu hodot ezávisle proměé v průměru k poklesu hodot závisle proměé. Závislost pozitiví = přímá s růstem hodot ezávisle proměé X v průměru dochází k růstu závisle proměé Y. Závislost egativí = epřímá při růstu hodot ezávisle proměé dochází v průměru k poklesu hodot závisle proměé. Metoda ejmeších čtverců postup staoveí parametrů u jedoduché lieárí závislosti. Slouží k získáváí bodových odhadů a, b parametrů α, β regresí přímky. Metoda vychází z požadavku, aby součet čtverců odchylek pozorovaých hodot veličiy Y od odhadovaé regresí fukce byl miimálí. Metoda ejmeších čtverců předpoklady regresí parametry β mohou abývat libovolých hodot, regresí model je lieárí v parametrech, vysvětlující proměé jsou eáhodé a bez fukčí lieárí závislosti, rušivé složky jsou ormálě rozděleé ezávislé áhodé veličiy s ulovými středími hodotami a s kostatím rozptylem, áhodé chyby mají ulovou středí hodotu a kostatí a koečý rozptyl a jsou vzájemě ekorelovaé. Přímka odhadu je ejlepším odhadem teoretické regresí přímky α+βx. Rozptýleost bodů kolem přímky charakterizováa zbytkovým (reziduálím) rozptylem ebo směrodatou chybou odhadu při regresi. Hodoty empirické (pozorovaé) zjištěé hodoty proměé Y. Hodoty vyrovaé (teoretické) hodoty vypočteé z rovice regresí přímky. Odchylky odchylka mezi empirickými a vyrovaými hodotami se azývá reziduum. Rezidua odchylka mezi empirickými a vyrovaými hodotami. Přímka regresí popisuje průběh závislosti veličiy Y a veličiy X, tzv. regresi Y a X. Závislost jedostraá veličia X má jedozačě charakter příčiy (ezávisle proměá) a veličia X vystupuje jako ásledek (závisle proměá). Závislost oboustraá elze-li jedozačě rozhodout, která z obou veliči je ezávisle proměá, a která závisle proměá. Má tedy smysl uvažovat závislost v obou směrech. Iterpolace předmětem zájmu je ěkterá z použitých kombiací vysvětlujících proměých. Extrapolace pozorost je upřea a hodotu proměé Y pro předpokládaé budoucí ebo výzkumě zajímavé kombiace hodot proměé Y. Pás kofidečí (spolehlivosti) ohraičují ho dvě větve hyperboly, achází se okolo regresí přímky. Test rovoběžosti zjišťuje, zda obě regresí přímky jsou rovoběžé. To by zamealo, že v obou sledovaých souborech se v důsledku změ ezávisle proměé měí závisle proměá v průměru stejě. Regrese elieárí metody odhadu parametrů jsou umericky velmi zdlouhavé. Některé je možé převést a lieárí tvar. Odhad regresí přímky itervalový iterval spolehlivosti, který s daou pravděpodobostí pokrývá hledaou regresí přímku základího souboru. Model výzamost pokud F-test i všechy t-testy jsou evýzamé, je model považová za evhodý (evystihuje variabilitu proměé y). Pokud F-testi všechy t-testy jsou výzamé, model je vhodý k vystižeí proměé y. Pokud F-test je výzamý a t-testy u ěkterých regresích parametrů evýzamé, model je považová za vhodý a provádí se případé vypouštěí vysvětlujících proměých, pro které jsou parametry β - 8 -

9 evýzamě odlišé od uly. Pokud F-test vychází výzamý a t-testy parametrů β idikují evýzamost všech vysvětlujících proměých, jde o důsledek multikolierarity. Diagostika regresí provádí se v případě, kdy ejsou splěy předpoklady o datech a regresím modelu a kdy eí metoda ejmeších čtverců vhodá ke staoveí regresích parametrů. Obsahuje postupy k idetifikaci kvality dat pro avržeý model, kvality dat pro daá data a splěí předpokladů metody ejmeších čtverců. Aalýza průzkumová využívá se metod pro určeí statistických zvláštostí, k posouzeí párových vztahů, k ověřeí předpokladů o rozděleí. Součástí je staoveí volby rozsahu a rozmezí dat, jejich variability a přítomosti vybočujících pozorováí. Umožňuje idetifikovat evhodost dat, esprávost avržeého modelu, multikoliearitu, eormalitu v případě, kdy jsou vysvětlující proměé áhodé veličiy. Data kvalita výskyt vlivých bodů, zkresleí odhadů a růst rozptylů. Tři skupiy: hrubé chyby způsobeé měřeou veličiou, body s vysokým vlivem, které byly přesě změřey a které obvykle rozšiřují schoposti modelu, zdálivě vlivé body vziklé jako důsledek esprávě avržeého regresího modelu. Pozorováí vybočující a ose y se výrazě liší od ostatích. Extrém liší se v hodotách a ose x ebo v jejich kombiaci. Rezidua základí diagostický ástroj při hodoceí kvality regresí fukce a dat a obecěji i při posuzováí oprávěosti předpokladů zvoleého lieárího regresího modelu. Je to lieárí kombiace všech chyb. Rezidua klasická rozdíly mezi skutečými a odhadutými hodotami vysvětlovaé proměé Y. Jsou korelovaá, s ekostatím rozptylem, jeví se ormálější. Rezidua predikovaá počítaá bez i-tého pozorováí, jsou zbavea vlivu tohoto pozorováí, je vypočteo jako rozdíl skutečé hodoty a takto odhaduté hodoty. Jsou korelovaá, mají ormálí rozděleí s ulovou středí hodotou a s estejým rozptylem. Rezidua ormovaá jsou to ormálě rozděleé veličiy s ulovou středí hodotou a jedotkovým rozptylem. K jejich oceěí se používá pravidlo tří sigma, hodoty větší jsou bráy za vybočující. Rezidua stadardizovaá mají kostatí rozptyl, ulovou středí hodotu a jedotkový rozptyl. Rezidua Jackkife alterativa stadardizovaých reziduí, mají za předpokladu ormality chyb Studetovo rozděleí s -m- stupi volosti, používají se pro odhaleí ezámých příliš vlivých či podezřelých pozorováí. Rezidua ekorelovaá jsou lieárí trasformací klasických reziduí se stejým reziduálím součtem čtverců. Rezidua rekurziví (dopředá ebo zpětá) umožňují idetifikovat estabilitu modelu. Grafická aalýza reziduálích hodot graf závislosti reziduí a idexu i, graf závislosti reziduí a proměé x i, graf závislosti reziduí a predikci y i. Bod odlehlý leží mimo základí kofiguraci bodů v grafu. Pozorováí vlivá body, jejichž vyecháím dochází k zásadí změě regresích charakteristik. Je uté je idetifikovat, protože jsou-li chybé, dochází ke začému zkresleí regresích výsledků. Aalýza regresí lieárí postup ávrh modelu, předběžá aalýza dat, odhadováí parametrů, regresí diagostika, kostrukce zpřesěého modelu, zhodoceí kvality modelu, testováí růzých hypotéz. Model zcela lieárí předpokládá součtový vliv všech čiitelů a regresí fukcí je rovice adroviy Y = β 0 + β X + + β k X k + ε, ve které β 0 je absolutí čle a β, β,, β k jsou strukturí parametry ebo též (dílčí) regresí koeficiety. Model racioálí celistvé a lomeé fukce ejzámější je model regresí paraboly s-tého stupě Y = β 0 + β X + β X + + β s X s + ε a zvláště regresí parabola druhého stupě, kdy s =. Častý je také model regresí hyperboly s-tého stupě Y = β 0 + β X - + β X β s X -s + ε a její speciálí případ, kdy s =. Model lieárí v parametrech je zobecěím jiých modelů, Y = β 0 + β f + + β R f r + ε, každá vysvětlující proměá je zastoupea právě jedím regresorem. Modely převoditelé trasformací a lieárí model předpoklad obecě součiového regresího modelu Y = εη, ve kterém η je regresí fukce (hypotetická) a ε rušivá složka. Časté je použití lieárí expoeciálí regresí fukce η = β 0 β X ebo η = exp(β 0 + β X), modelu kvadratické expoeciály ve tvaru η = exp(β 0 + β X + β X + ε), obecého lieárě-expoeciálího regresího modelu s k vysvětlujícími proměými zapsaého ve tvaru exp(β 0 + β X + + β k X k + ε). Modely elieárí z hlediska parametrů je možé je třídit apříklad podle stupě a formy eliearity, pro jedu vysvětlující proměou bývá zvykem fukce třídit podle tvaru křivky. Model vitřě lieárí elieárí regresí model, který lze vhodou trasformací převést a lieárí. Fukce regresí elieárí typy křivek aditiví kvadratická, kubická, lieárí lomeá, kvadratická lomeá, iracioálí, logaritmická, multiplikativí expoeciálí, mociá. Aalýza v elieárím modelu itervalové odhady parametrů, testy hypotéz o odhadech parametrů, těsost proložeí regresí křivky, statistická aalýza reziduí, grafická aalýza reziduí.

10 Mohoásobá regrese a korelace umožňuje studovat, jak ěkolik faktorů (ezávislých respektive vysvětlujících proměých) ovlivňuje současě závisle proměou Y (vysvětlovaou). Regrese mohoásobá je prostředkem zkoumáí statistické závislosti pomocí modelu, jež zahruje jedu závisle proměou a ěkolik ezávisle proměých. Regresí koeficiety dílčí udávají odhad toho, jak by se změila v průměru vysvětlovaá (závisle) proměá Y při jedotkové změě vysvětlující proměé před tečkou, za předpokladu kostatí úrově proměých uvedeých za tečkou. Koeficiet dílčí regrese udává průměrou změu závisle proměé y odpovídající jedotkové změě ezávisle proměé x za předpokladu, že ostatí sledovaé ezávisle proměé jsou kostatí. Vzorce rekuretí postup, ve kterém se dílčí regresí koeficiet určitého řádu vyjadřuje pomocí ěkolika koeficietů o řád ižších. Tečky v idexu koeficietu dílčí regrese jsou před tečkou uvedey dvě proměé a prvím místě závisle proměá, jejíž změu koeficiet vyjadřuje, a druhém místě ezávisle proměá, u íž je uvažováa změa o příslušou měrou jedotku. Za tečkou jsou uváděy další zúčastěé ezávisle proměé, jejichž vliv je vylouče, přičemž ezáleží a pořadí. Koeficiet víceásobé korelace měří těsost závisle proměé Y a všech vysvětlujících proměých. Koeficiet mohoásobé korelace vyjadřuje společé působeí ezávisle proměých a závisle proměou a určuje spolehlivost regresího odhadu. Je třeba změřit sílu závislosti mezi závisle proměou a jedotlivou ezávisle proměou při vyloučeí vlivu ostatích ezávisle proměých. Koeficiety parciálí (dílčí) korelace slouží ke změřeí síly závislosti mezi závisle proměou a jedotlivými ezávisle proměými při vyloučeí vlivu ostatích ezávisle proměých. Test výzamosti výběrového koeficietu mohoásobé korelace zameá ověřeí hypotézy o ulovém korelačím koeficietu mohoásobé korelace v základím souboru. Průkazost víceásobé regresí fukce je ověřováa pomocí aalýzy rozptylu. Hodoty reziduálí zobrazují se pomocí grafu stoku a listu ebo pomocí ormálího grafu. Body vlivé podstatě ovlivňují odhady regresích koeficietů. Pozorováí vybočující ezvyklé kofigurace hodot týkající se společého rozděleí ezávislých proměých. Hodoty odlehlé ápadě velké reziduálí hodoty upozorňující a špatou predikci závisle proměé. Multikoliearita silá vzájemá závislost vysvětlujících proměých. Multikoliearita idetifikace jedoduché korelačí koeficiety dvojic vysvětlujících proměých, determiat korelačí matice, použití kritéria M, Farrarův-Glauberův test. Multikoliearita důsledky adhodoceí součtu čtverců regresích koeficietů, zvyšuje rozptyly odhadů (=> sižuje přesost odhadů, ízké hodoty, rozpor mezi evýzamými výsledky testů, estabilí odhady regresích koeficietů), komplikuje iterpretaci, způsobuje umerické potíže. Multikoliearita odstraěí pořídit kvalitější data, maximálě využít všechy iformace o regresím modelu a jeho parametrech. Vlivá pozorováí mohou maskovat ebo zakrýt existeci multiokoliearity => idetifikovat a případě vyloučit příliš vlivá pozorováí. Regrese dopředá (forward) proměé se do modelu postupě přidávají Regrese zpětá (backward) proměé se z modelu postupě odebírají. Regrese Stepwisse (stupňovitá) sleduje, co by se stalo, kdyby vysvětlující proměé byly vybíráy do regresí fukce v jiém pořadí. Rovice se postupě slučují a určují se ová rezidua, postup kočí, když žádá závislost rezidua eí statisticky výzamá. Kódováí efektů přiřazujeme všem kódovaým proměým, které reprezetují jedotlivé úrově faktoru A, číslo pro daou úroveň a jiak ulu až a jedu vybraou úroveň, jíž je pro všechy kódovací proměé přiřazea hodota. Kódováí kotrastů používá se za hodoty jedé kódovací proměé jakákoli možia čísel, jejíž součet dává ulu, s další podmíkou, že žádý sloupec (obsahující hodoty pro kódovací proměou) esmí být možé vyjádřit jako kombiaci ostatích sloupců (přesěji lieárí kombiaci ostatích sloupců). Kódováí výhody možost míchat růzé typy proměých, možé pružěji zařazovat ezávisle proměé do aalýzy, zprůhledňuje přístup k aalýze rozptylu. Model obecý lieárí model lieárí regresí aalýzy rozšířeý o idikátorové kódovací proměé a příslušé iterakčí cey. Aalýza kovariace statistická metoda, která kombiuje vlastosti a pricipy aalýzy rozptylu a rozšiřuje ěkteré možosti využití lieárích regresích modelů. Zkoumá závislosti ve složitém souboru proměých Základem je rozšířeí ebo modifikace modelu aalýzy rozptylu. Dalším cílem je očištěí studovaé závislosti vysvětlovaých proměých.

11 Aalýza kovariace typy proměých jeda ebo ěkolik vysvětlujících proměých, jeda ebo ěkolik vysvětlovaých proměých, jeda ebo více doprovodých proměých. Aalýza kovariace předpoklady áhodost výběru, ezávislost výběru, ormálí rozděleí, homoskedasticita, lieárí závislost Y a X, shoda regresích koeficietů (rovoběžost regresích přímek). Homoskedasticita stejé rozptyly ve všech populacích. 6. Aalýza kategoriálích dat Data kategoriálí kvalitativí zaky, apř. zaměstáí, pohlaví, typ auta atd. Data se zachycují pomocí jedo, dvou ebo vícerozměrých tabulek četostí ebo relativích četostí. Závislost kategoriálích proměých zabývá se statistickou aalýzou četostí tabulek, jde o aalogii korelačí aalýzy spojitých proměých a o podobost s aalýzou rozptylu. V případě aalýzy četostích tabulek považujeme obě kategoriálí proměé za áhodé a v aalýze rozptylu posuzujeme vliv faktoru a chováí áhodé závisle proměé. Kotigece zabývá se zkoumáím vztahu mezi možými zaky, které mají větší počet obmě. Tabulka kotigečí hodotíme tabulky dvoudimezioálí, tabulky vziklé tříděím podle dvou proměých. Předpokládáme, že každá jedotka může být klasifikováa podle dvou proměých. V tabulce zkoumáme vzájemý vztah dvou proměých. Hypotéza homogeity předpokládá, že pravděpodobostí rozděleí kategoriálí proměé B je stejé v růzých populacích, které jsou idetifikováy faktorem A. V testech dobré shody ám pak jde o shodu rozděleí kategoriálí proměé Hypotéza ezávislosti obě proměé A a B se považují za áhodé proměé, přičemž předpokládáme jejich úplou ezávislost. Hodota proměé A eovlivňuje podmíěé rozděleí proměé B a aopak. Hypotéza ulová obě proměé jsou a sobě stochasticky ezávislé. Koeficiet kotigece Pearsoův koeficiet průměré čtvercové kotigece C, slouží ke změřei těsosti závislosti. Koeficiet Cramerův (Cramerovo V) měří sílu závislosti. Koeficiet kotigece Čuprovův měří sílu závislosti. Tabulka asociačí tabulka x. Test χ využívá se v asociačí tabulce pokud > 40, ebo pokud 0 < 40 a eí-li žádá očekávaá četost meší ež 5. V kotigečí tabulce ho NElze použít, pokud je více ež 0% teoretických četostí meší ež 5. Test Fischerův využívá se v asociačí tabulce pokud 0 ebo pokud 0 < 40 a ěkterá z teoretických četostí je meší ež 5. Přímka asociačí vyjadřuje závislost podílu prvků s jedím zakem a podílu prvků s druhým zakem. Koeficiet asociace V (rab) výpočtem shodý s korelačím koeficietem v případě jedoduché lieárí závislosti. Koeficiet asociace Yuleův je obdobou koeficietu asociace V (rab). Koeficiet koligace je obdobou koeficietu asociace V (rab). Proměé dichotomické proměé, které jsou zkoumáy dvakrát, před pokusem a po ěm, týká se především osob. Test McNemarův prověřuje homogeitu rozděleí alterativích dat dvou závislých výběrů, je speciálím případem zamékového testu pro dvě závislé skupiy. Vztah výsledků obou měřeí zobrazujeme četostí tabulkou typu x. Test Cochraův prověřuje hypotézu homogeity ve více závislých výběrech alterativích dat. Test podle Bowkera je zobecěím McNemarova testu, jedá se o test symetrie v tabulce typu x. Testuje se, zda alespoň pár pravděpodobostí symetricky položeých políček v tabulce x acházejících se mimo diagoálu se od sebe liší. 7. Aalýza časových řad Řada časová posloupost věcě a prostorově srovatelých pozorováí, která jsou jedozačě uspořádáa z hlediska času ve směru miulost přítomost. Aalýza časových řad soubor metod, které slouží k popisu těchto dyamických systémů (a případě k předvídáí jejich budoucího chováí). Řada časová děleí podle rozhodého časového hlediska, podle periodicity, podle druhu sledovaých ukazatelů, podle způsobou vyjádřeí údajů. Řada časová podle rozhodého časového hlediska itervalové, okamžikové. - -

12 - - Řada časová podle periodicity, s jakou jsou údaje v řadách sledováy ročí (dlouhodobé), krátkodobé. Řada časová podle druhu sledovaých ukazatelů časové řady absolutích ukazatelů, časové řady odvozeých charakteristik (součtové, průměré, poměrové). Řada časová podle způsobu vyjádřeí údajů časové řady aturálích ukazatelů, časové řady peěžích ukazatelů. Řada časová itervalová velikost ukazatele závisí a délce itervalu, za který je sledová, musí se vztahovat ke stejě dlouhým itervalům. Řada časová okamžiková sestavováy z ukazatelů, které se vztahují k určitému okamžiku. Řada časová srovatelost údajů z hlediska věcého (údaje stejě obsahově vymezeé), prostorového (údaje vztahující se ke stejým geografickým územím), časového (údaje se mají vztahovat ke stejě dlouhým itervalům), ceového (použití běžých ebo stálých ce). Diferece prví (absolutí) rozdíl dvou po sobě jdoucích čleů řady, charakterizuje přírůstek hodoty ukazatele časové řady v určitém období proti období bezprostředě předcházejícímu. Diferece druhé (absolutí) určují zrychleí a základě porováváí absolutích přírůstků. Tempo růstu určuje poměr mezi daým a předchozím čleem časové řady. Koeficiet růstu idex růstu vyjádřeý v procetech, udává, o kolik procet vzrostla hodota časové řady v časovém okamžiku t proti období předcházejícímu. Idex růstu průměrý úhrá charakteristika relativích změ pro celou časovou řadu, je geometrickým průměrem z jedotlivých koeficietů růstu. Tempo přírůstku ukazatel zkoumáí dyamiky časové řady, představuje porováí prvího absolutího přírůstku (prví diferece) s příslušou hodotou časové řady. Koeficiet zrychleí vyjádřeí rychlosti změ v časových řadách. Idexy bazické zjišťují, k jakým změám dochází v časové řadě vzhledem k základímu období. Modelováí časových řad jedorozměré (klasický formálí model, Boxova-Jekisova metodologie, spektrálí aalýza), vícerozměré modely. Model jedorozměrý klasický (formálí) jde pouze o popis forem pohybu, vychází z dekompozice řady a čtyři složky (tredovou, periodickou (sezóí ebo cyklickou) a áhodou. Tvar aditiví y t = T t + P t + ε t Tvar multiplikativí y t = T t. P t. ε t Řada časová periodická y t = T t + P t + ε t Řada časová sezóě zatížeá y t = T t + S t + ε t Řada časová eperiodická když P t = 0, S t = 0 Řada časová stacioárí T t = k. Tred hlaví tedece dlouhodobého vývoje hodot aalyzovaého ukazatele v čase (rostoucí, klesající, kostatí). Složka sezóí pravidelě se opakující odchylka od tredu, vyskytující se u časových řad údajů s periodicitou kratší ež jede rok ebo rovou právě jedomu roku. Složka cyklická azývá se kolísáí okolo tredu v důsledku dlouhodobého cyklického vývoje s délkou vly delší ež jede rok. Složka áhodá elze jí popsat žádou fukcí času a která zbývá po vyloučeí tredu, sezóí a cyklické složky, jejím zdrojem jsou drobé, vzájemě ezávislé a v jedotlivostech epostižitelé příčiy. Metodologie Boxova-Jekisova považuje za základí prvek kostrukce modelu časové řady áhodou složku. Aalýza spektrálí časovou řadu považujeme za směs siusovek a kosiusovek o rozličých amplitudách a frekvecích. Vyrováí eperiodických časových řad graficky, mechaicky klouzavými průměry, aalyticky tredovými fukcemi. Průměry klouzavé spočívá v ahrazeí skutečých hodot časové řady průměrem z určitého počtu hodot. Nejpřesější je tehdy, když pro výpočet volíme počet hodot časové řady, který se rová délce daého cyklu. Řada časová eperiodická klouzavé průměry počítáme zpravidla z epárového počtu hodot, apř. tříleté, pětileté, sedmileté atd. Řada časová periodická s cyklickým kolísáím se doporučuje počítat klouzavé průměry z k, respektive (k+) období. Průměry klouzavé cetrovaé počítají se buď jako jedoduchý aritmetický průměr ze dvou sousedích klouzavých průměrů ebo přímo ze zjištěých hodot časové řady jako chroologický průměr. Fukce tredové pro vyrováváí se používají křivky, zejméa lieárí, kvadratická, logaritmická, expoeciálí, mociá, odmociá, kombiovaá, logistická.

13 Fukce výběr porováí absolutích ebo relativích diferecí bezprostředě po sobě ásledujících hodot časové řady. Fukce lieárí absolutí přírůstky jsou kostatí. Fukce expoeciálí pro stejé absolutí přírůstky časové proměé t relativí přírůstky aalyzovaé proměé zůstávají stálé. Fukce logaritmická absolutí přírůstky aalyzovaé proměé jsou přímo úměré relativím přírůstkům časové proměé t. Fukce mociá relativí přírůstky sledovaé proměé jsou přímo úměré relativím přírůstky časové proměé t. Tred lieárí lze jej použít, když je potřeba určit alespoň orietačě základí směr vývoje časové řady ebo může soužit v určitém omezeém časovém itervalu jako vhodá aproximace jiých tredových fukcí. Tred expoeciálí modifikovaý ve vývoji má asymptotu, podíly sousedích hodot prvích diferecí údajů aalyzovaé řady jsou přibližě kostatí. Tred logistický původě odvozea jako křivka vyjadřující biologický růst populací za podmíek omezeých zdrojů, patří mezi tredové fukce s kladou horí asymptotou a jedím iflexím bodem. S-křivka tredová fukce s kladou horí asymptotou a jedím iflexím bodem, vymezuje a časové ose pět základích vývojově odlišých fází cyklu. Křivka Gompertzova patří do skupiy s-křivek, ale je asymetrická. Volba vhodého modelu středí chyba odhadu (ME), středí čtvercová chyba (MSE), RMSE, středí absolutí chyba (MAE), středí procetuálí chyba (MPE), středí absolutí procetuálí chyba (MAPE). Kritéria iterpolačí vhodý model tredu hledáme a základě aalýzy časové řady v miulosti. Kritéria extrapolačí smyslem popisu tredu časové řady je kostrukce extrapolačích progóz budoucího vývoje. Složka sezóí soubor přímých či epřímých příči, které se opakují. Výkyvy sezóí pravidelé výkyvy zkoumaé řady ahoru a dolů vůči určitému esezóímu ormálímu vývoji řady v průběhu let. Model sezóosti kostatí ejjedodušší vyjádřeí sezóosti, předpokládá, že velikost sezóí složky časové řady je v jedotlivých sezóách (měsících) rozdílá, zatímco v jedotlivých za sebou ásledujících letech zůstává kostatí. Model sezóosti proporcioálí předpokládá, že velikost sezóí složky se v daé sezóě j a v jedotlivých letech i měí úměrě s dosažeou úroví tredu, takže sezóí složka je přímo úměrá (proporcioálí) složce tredové. Model sezóosti smíšeé předpokládá, že určitá část sezóích výkyvů je kostatí a část sezóích výkyvů je úměrá velikosti tredu. Test hypotézy o existeci sezóosti procedura, která testuje oprávěost zařazeí sezóího parametru do modelu. Itezita kolísáí sezóího měří se pomocí absolutích sezóích odchylek a sezóích idexů. Odchylky absolutí jsou defiovaé jako rozdíl mezi empirickými hodotami a aritmetickým průměrem. Je možé je použít jako míru pro vyjádřeí velikosti periodického kolísáí. Použijí se když eí závislost mezi vývojem průměrů a kolísáím sezóí složky prokázáa. Hodoty vyrovaé staoveé apříklad pomocí klouzavých průměrů ebo ěkterou metodou aalytického vyrováváí, aritmetickým průměrem, absolutími odchylkami, průměrými sezóími idexy, stadardizací průměrých sezóích idexů (výsledkem jsou sezóí faktory). Idex sezóí používá se a měřeí sezóosti, když je prokázáa kladá závislost mezi sezóí složkou a vyrovaými hodotami (průměry). Idex sezóí průměrý chceme-li odstrait ebo zmešit složku áhodého kolísáí. Faktory sezóí hodoty, které jsou výsledkem stadardizace průměrých sezóích idexů. Hodoty vyrovaé aritmetický průměr skutečých hodot za období celé periody sezóího cyklu, vyrovaé hodoty staoveé pomocí klouzavých průměrů ebo ěkterou metodou aalytického vyrováváí. Očištěí sezóí výpočtem klouzavých průměrů, určeím sezóích idexů, očištěím údajů. Periodogram soupis všech hodot teoretických rozptylů, je založe a vyjádřeí původích hodot časové řady ve formě goiometrických fukcí při zahrutí iterferece vlěí. Metoda zbytku způsob, jak v sezóě očištěé časové řadě rozpozávat cyklické výkyvy, předpokladem použití je alezeí vhodého tredu původích údajů řady a jejich sezóí očištěí. Následuje určeí odchylek sezóě očištěých údajů od tredu a vyjádřeí odchylek v procetech

14 Iterpolace přibližé určeí chybějící hodoty sledovaého ukazatele časové řady za předpokladu, že záme jeho sousedí hodoty. Lze provést prostředictvím použití dvou sousedích hodot (aritmetický průměr sousedích hodot ebo souči předcházející hodoty časové řady a průměrého koeficietu růstu) ebo prostředictvím využití více či všech hodot časové řady, kdy pomocí metody ejmeších čtverců určíme parametry tredové fukce, ze kterých potom odhademe chybějící údaj. Extrapolace kostrukce předpovědí budoucího vývoje zkoumaého ukazatele, určeí hodot časové řady za iterval zámých hodot časové řady. Chyba předpovědi modelová chyba ex ate evíme, jaký vývojový mechaismus bude chováí předvídaé veličiy v budoucu. Chyba vlastího progostického modelu chyba ex post elze získat bezchybou předpověď. Předpověď bodová odhad vyjádřeý jediým číslem a získaý přímým dosazeím časového údaje, pro který má být předpověď provedea, do tredové fukce. Předpověď itervalová zohleděí áhodého kolísáí a vyjádřeí přípusté chyby odhadu. Předpovědí rozpětí kostrukce všechy přijatelé modely časové řady lze uspořádat extrémě v tom smyslu, že část z ich bude představovat optimistické bodové předpovědi a část předpovědi pesimistické. Mezi těmito extrémy se mohou objevit i předpovědi kvalitativě eutrálí. Rozpětí předpovědí obor hodot, který vzike, když se hodoty předpovězeé jedotlivými přijatými modely trasformují tak, aby vycházely ze stejého místa a počátku předpovědi (z referečího bodu, referečí hodoty), a u každého z těchto modelů se převedou jím progózovaé hodoty a tempa růstu, která se aplikují a referečí bod. Chyba předpovědi absolutí jedoduchý způsob hodoceí přesosti odhadů, rozdíl mezi předpovídaou a skutečou hodotou pro daý čas a horizot předpovědi. Předpověď podceňující pokud je absolutí chyba předpovědi meší ež ula. Předpověď adceňující pokud je absolutí chyba předpovědi větší ež ula. Chyba předpovědi čtvercová ezáporá veličia, hraičí ulové hodoty abývá v případě bezchybých předpovědí. Chyba předpovědi průměrá odmocia z čtvercové chyby předpovědi. Koeficiet esouladu Theilův míra variability relativích chyb předpovědi. Chyba předpovědi relativí odmocia z koeficietu esouladu T. Složka áhodá výsledek působeí blíže especifikovaého souboru áhodých (stochastických) vlivů. Jejím zdrojem jsou áhodé vlivy, které se v rámci časové řady vykompezují. Šum bílý pokud áhodé poruchy s ulovými středími hodotami mají kostatí rozptyl a jsou vzájemě lieárě ezávislé. Heteroskedasticita áhodých poruch předpokládá se, že áhodé poruchy s ulovými středími hodotami jsou vzájemě ezávislé s mělivými rozptyly. Porucha áhodá v čase t se skládá ze dvou složek: ze složky závislé a předchozí poruše a z áhodé složky. Test autokorelace Durbi-Watsoův ověřujeme, zda jsou áhodé poruchy ezávislé. Modely adaptiví (s mělivými parametry) eobjasňují kauzálí mechaismus vývoje aalyzovaé proměé, popisují její průběh v čase, epředpokládají stabilitu aalytického tvaru ai strukturálích parametrů v čase ai spojitost tredové fukce. Vychází z předpokladu, že pro kostrukci progózy budoucího vývoje mají ceu ejovější pozorováí časové řady. Nejovějším pozorováím přiřazují ejvětší váhu, berou v úvahu stárutí iformací. Vyrováváí expoeciálí Browovým expoeciálím vyrováváím, Holtovým lieárím expoeciálím vyrováváím, Witersovým sezóím vyrováváím. Vyrováváí expoeciálí Browovo pracuje s vyrovávací kostatou z itervalu (0, ) jedoduché (tred je možo považovat v krátkých úsecích za kostatí), dvojité = lieárí (tred se v časové řadě modeluje po částech přímkou), trojité = kvadratické (tred v časové řadě je popisová po částech parabolou). Vyrováváí expoeciálí lieárí Holtovo odhadují se zde dvě vyrovávací kostaty z itervalu (0, ). Vyrováváí sezóí Witersovo pokrývá vedle tredu rověž sezóí složku, vychází se z multiplikativího modelu. Korelace zdálivá ěkdy je možé pozorovat silou závislost mezi proměými i v případě, kdy mezi proměými ve skutečosti závislost buď skoro ebo vůbec eexistuje. Dochází k í proto, že obě proměé vykazují stejý lieárí tred. Autokorelace korelace mezi sousedími odchylkami od tredu. Korelace opožděá vliv určitého jevu a jiý jev se eprojevuje ve stejých obdobích, ale často až po určité době, tj. po uplyutí jedoho, dvou ebo více období.

15 Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých ebo ekotrolovatelých příči. Pokus áhodý realizace určitého komplexu podmíek. Jev hromadý jevy, které mohou být výsledkem opakovaých realizací komplexu základích podmíek. Jev jistý U jev, který za daého komplexu podmíek astává vždy. Jev emožý V jev, který za daého komplexu podmíek emůže astat ikdy. Sjedoceí jev spočívající v zastoupeí alespoň jedoho z jevů A ebo B (A + B). Průik jev spočívající v současé realizaci jak jevu A, tak jevu B (A. B). Jev eslučitelý jevy, jejichž průik je jevem emožým. Diagram Veův grafické zázorěí vztahů mezi áhodými jevy. Jev složeý jestliže jev A můžeme vyjádřit jako sjedoceí dvou jevů B a C, z ichž žádý ebude rove jevu A. Prostor elemetárích (prvotích) jevů možia všech elemetárích jevů. Pravděpodobost klasická může-li určitý pokus vykázat koečý počet růzých výsledků, které jsou stejě možé a jestliže m těchto výsledků má za ásledek astoupeí jevu. Pravděpodobost statistická při malém počtu pokusů má relativí četost do začé míry áhodý charakter, s rostoucím počtem pokusů se však stabilizuje a přibližuje se k určitému kostatímu číslu. Pravděpodobost axiomatická ejobecější defiice pravděpodobosti, zahruje v sobě defiici klasickou i statistickou. Věta o sčítáí pravděpodobostí vyjadřuje pravděpodobost sjedoceí áhodých jevů. Věta o ásobeí pravděpodobostí vyjadřuje pravděpodobost průiku jevů. Pravděpodobost průiků jevů A a B je rova součiu pravděpodobosti jedoho z ich a podmíěé pravděpodobosti druhého z ich, vypočteé za předpokladu, že prvý jev lze realizovat. Pravděpodobost podmíěá charakterizuje závislost áhodých jevů. Jev áhodý charakterizuje výsledek áhodého pokusu kvalitativě (slově). Veličia áhodá charakterizuje výsledek áhodého pokusu kvatitativě. Proměá, která abývá kokrétích hodot v závislosti a áhodě. Veličia áhodá diskrétí (espojitá) veličia, která abývá pouze koečého ebo spočetého možství od sebe avzájem odděleých hodot. Veličia áhodá spojitá může abývat libovolých hodot z koečého či ekoečého itervalu. Záko rozděleí áhodé veličiy každé hodotě ebo možiě hodot z každého itervalu přiřazuje pravděpodobost, že áhodá veličia abude této hodoty ebo hodoty z tohoto itervalu. Řada rozděleí ejjedodušší forma vyjádřeí zákoa rozděleí pro diskrétí veličiy. Je to tabulka, v jejímž prvím řádku sou uvedey všechy možé hodoty diskrétí veličiy X a v druhém jim odpovídající pravděpodobosti. Polygo rozděleí pravděpodobostí grafické zázorěí řady rozděleí. Fukce distribučí euiverzálější forma vyjádřeí zákoa rozděleí, je jí možo použít pro diskrétí i spojité áhodé veličiy. Je to fukce, která každému reálému číslu přiřazuje pravděpodobost, že áhodá veličia abude hodoty meší ež toto číslo. Paradox ulové pravděpodobosti pravděpodobost výskytu libovolé kokrétí spojité áhodé veličiy je rova ule. Fukce distribučí grafické zázorěí grafem diskrétí áhodé veličiy je espojitá schodovitá čára, grafem spojité áhodé veličiy spojitá křivka. Hustota pravděpodobosti = difereciálí záko rozděleí derivace distribučí fukce F(X). Fukce distribučí sdružeá pravděpodobostí chováí systému áhodých veliči. Fukce distribučí margiálí fukce jedotlivých áhodých veliči. Charakteristiky polohy určují střed rozděleí daé áhodé veličiy, kolem ěhož jsou hodoty áhodé veličiy soustředěy. Např. středí hodota áhodé veličiy E(X), rozptyl áhodé veličiy D(X). Charakteristiky variability popisují kolísáí či promělivost jedotlivých hodot áhodé veličiy kolem příslušé středí hodoty. Směrodatá odchylka charakteristika variability, která má týž rozměr jako sledovaá áhodá veličia. - -

16 Rozděleí alterativí tzv. ula-jedičkové veličiy, které lze apříklad využít pro kvatifikaci výsledků pokusů, jež elze číselě vyjádřit. Rozděleí biomické rozděleí diskrétí áhodé veličiy, je rozděleím, které přestavuje počet výskytů jevu A při ezávislých pokusech, přičemž pravděpodobost jevu A je v každém pokusu kostatí. Pokusy ezávislé pokusy, kdy pravděpodobost libovolého výsledku každého pokusu ezávisí a výsledcích předcházejících pokusů. Rozděleí Poissoovo = záko vzácých jevů limití případ biomického rozděleí, kdy počet pokusů je velmi velký a pravděpodobost výskytu jevu A je velmi malá. Záko vzácých jevů jevy, které mají velmi malou pravděpodobost výskytu, takže i v rozsáhlých souborech se vyskytují vzácě. Rozděleí hypergeometrické vztahuje se k modelu, kdy předpokládáme, že v souboru N prvků jich má M určitou vlastost. Ze souboru vybereme áhodě bez vraceí prvků. Lze ho ahradit biomickým (jestliže N a a p zůstávají kostatí) ebo Poissoovým (je-li M/N<0, a /N<0,) Rozděleí ormálí (Gausssovo) ejdůležitější typ rozděleí áhodých veliči, řídí se jím spojité áhodé veličiy. Grafem hustoty je tvz. Gaussova křivka. Rozděleí se zkráceě ozačuje N(µ,σ ). Křivka Gaussova zvoovitá křivka, která je symetrická okolo přímky procházející středí hodotou. Rozděleí ormálí ormovaé pokud µ=0 a σ =. Jeho hustota bývá tabelováa Pravidlo tří sigma v itervalu (µ-3σ, µ+3σ) se acházejí prakticky všechy hodoty této áhodé veličiy. Je téměř emožé, aby se pozorovaé hodoty této veličiy odchylovaly od středí hodoty o více ež 3σ.. Náhodý výběr Statistika vědecká disciplía, která se zabývá soubory hromadých pozorováí, jejich sběrem, aalýzou a využitím pro racioálí rozhodováí a předpovědi. Soubor statistický koečá eprázdá možia prvků, které mají z daého hlediska určité společé vlastosti. Jedotky statistické prvky statistického souboru. Rozsah souboru počet statistických jedotek obsažeých v daém souboru. Zaky statistické veličiy sledovaé a statistických jedotkách = vyšetřovaá vlastost statistického souboru. Soubor statistický jedorozměrý a každé statistické jedotce se zjišťuje pouze jede statistický zak. Soubor statistický vícerozměrý zjišťujeme větší počet statistických zaků a zkoumáme jejich vzájemý vztah. Zaky kvatitativí mohou abývat pouze jedotlivých izolovaých (diskrétích) hodot, dají se vyjádřit číselě. Zaky kvalitativí jejich jedotlivé obměy se musí popsat slově ebo defiicí. Alterativí mohou abývat pouze dvou variat. Možé mohou abývat zaků moho. Soubor statistický modifikovaá defiice koečý soubor zjištěých hodot ěkteré áhodé veličiy. Soubor základí soubor všech statistických jedotek, může být koečý ebo ekoečý; obsahuje všechy jedotky, které by ás v určitém statistickém zpracováí mohly zajímat. Soubor výběrový ahrazuje (reprezetuje) základí soubor, eí-li možé ebo vhodé provést úplé (vyčerpávající) zjišťováí, zkoumáme základí soubor pomocí statistických jedotek, které byly ze základího souboru podle určitých zásad vybráy. Výběr záměrý o výběru určitých statistických jedotek do výběrového souboru rozhodujeme subjektiví úvahou a základě ějakých logických důvodů. Výběr áhodý o zařazeí určitých statistických jedotek do výběrového souboru rozhoduje pouze áhoda, možosti: losováí, tabulky áhodých čísel, geerátory áhodých čísel. Výběr áhodý prostý volbu výběrového souboru provádíme tak, aby každý výběrový soubor o rozsahu měl stejou pravděpodobost, že bude vybrá, apříklad losováí, tabulka áhodých čísel atd. Výběr áhodý prostý s vraceím (s opakováím) vybraou jedotku po provedeém šetřeí statistického zaku opět vrátíme do základího souboru. Výběr áhodý prostý bez vraceí (bez opakováí) statistickou jedotku po zjištěí statistického zaku již do základího souboru evracíme. Prostor výběrový možia všech možých výběrů. Výběr áhodý z jedorozměrého rozděleí a každé statistické jedotce zjišťujeme pouze jede statistický zak. Výběr áhodý z vícerozměrého rozděleí a každé statistické jedotce zjišťujeme hodoty k statistických zaků. - -

17 Charakteristiky statistické ukazatele, jejichž výpočtem lze provést zhuštěí iformací (idividuálí údaje jsou epřehledé). Čísla, která ve stručé a kocetrovaé formě popisují hlaví vlastosti statistického souboru. Charakteristiky polohy reprezetují vhodou středí hodotu daého souboru kolem íž se soustřeďují hodoty tohoto souboru. Charakteristiky variability měří rozptýleí hodot příslušého souboru, určují rozmezí, v ěmž se výběrové údaje vyskytují, iformují ás o kolísavosti souboru. Průměr může být aritmetický, harmoický, geometrický, lze ho vyjádřit formou prostou (eí-li provedeo tříděí) ebo vážeou (je-li provedeo tříděí). Průměr aritmetický x ejdůležitější a ejčastěji počítaá charakteristika polohy. Mediá x ~ prostředí hodota řady pozorováí, uspořádaé podle velikosti. Je-li rozsah vyjádře lichým číslem, je mediá hodota s pořadovým číslem (+)/. Je-li rozsah vyjádře sudým číslem, za mediá se volí průměr dvou prostředích hodot a mediáem je umělá hodota. Modus xˆ ejčetější hodota zaku, hodota ejtypičtější pro daý soubor. Výběrové variačí rozpětí R rozdíl ejvětší a ejmeší hodoty zaku. Charakteristiky variability absolutí měřeo pomocí výběrového rozptylu a výběrové směrodaté odchylky. Charakteristiky variability relativí pro srováí variability statistického zaku dvou ebo více soborů, které se výrazě liší úroví zaku, ebo chceme-li porovat variabilitu ěkolika statistických zaků vyjádřeých v růzých měrých jedotkách. Systematizace setříděí pozorovaých hodot velikosti a zjistíme, kolikrát se která hodota vykytuje. Výsledek se zapisuje do tabulky rozděleí četostí. Četosti udávají, kolikrát se která hodota zaku v souboru vyskytuje. Rozděleí četostí prosté (relativí, kumulativí) sledováí espojitého statistického zaku. Rozděleí četostí itervalové (skupiové) při sledováí spojitého statistického zaku, variačí rozpětí se rozdělí a určitý počet itervalů a zjistí se počty hodot zaku patřících do těchto itervalů. Pravidlo Sturgesovo pravidlo sloužící k určeí počtu tříd itervalů při rozděleí četostí. Histogram četostí grafické zázorěí rozděleí četostí, obrazec tvořeý pravoúhlými rovoběžíky, jejichž základy mají délku zvoleých itervalů a jejichž výšky mají velikost příslušých třídích četostí. Polygo četostí grafické zázorěí rozděleí četostí, lomeá čára, která vzike spojeím středů horích stra jedotlivých rovoběžíků histogramu. Kvatity hodoty, které dělí uspořádaý statistický soubor a určitý počet stejě obsazeých částí. Kvartily dělí uspořádaý soubor a čtyři stejě obsazeé části. Prví kvartil (dolí) odděluje 5% ejmeších hodot. Prostředí kvartil je totožý s mediáem a dělí výběr a dvě stejě obsazeé části. Třetí (horí) kvartil odděluje 5% ejvětších hodot zaku. Decily dělí uspořádaý soubor a deset stejě obsazeých částí. Percetily dělí datový soubor a sto stejě obsazeých částí. Rozpětí kvartilové diferece horího a dolího kvartilu. Odchylka kvartilová polovia kvadrilového rozpětí. Pětičíselý souhr statistik podává rychlou a přehledou iformaci o poloze, variabilitě i případé asymetričosti rozložeí hodot zkoumaého statistického souboru. Zahruje dolí kvartil, mediá, horí kvartil, miimálí hodotu a maximálí hodotu. Boxplot grafické zázorěí pětičíselého souhru statistik. Pozorováí odlehlá hodoty, které jsou od horího ebo dolího kvartilu vzdáley více ež,5 ásobek kvadrilového rozpětí. Pozorováí odlehlá důvody údaje se do souboru dostaly v důsledku ějakých hrubých chyb (měřeí, zápisu atd.), pozorováí epocházejí z téhož základího souboru, správý údaj reprezetovaý mimořádým případem. Aritmetický průměr výběrový áhodá veličia, jejíž středí hodota je rova středí hodotě sledovaého statistického zaku X, ale její rozptyl je -krát meší ež rozptyl tohoto statistického zaku. Rozděleí výběrová rozděleí χ (chí-kvadrát), studetovo t-rozděleí, F-rozděleí (Fischerovo Sedecorovo) 3. Teorie odhadu Idukce statistická souhr metod, které umožňují zkoumat áhodý výběr a čiit závěry o základím souboru. Teorie odhadu určeí typu rozděleí sledovaého zaku respektive ěkterých charakteristik a to a základě výběrových dat. Odhady parametrů možo provést dvěma metodami: bodový odhad, iterval spolehlivosti

18 Odhad bodový a základě zjištěých hodot výběrového souboru vypočteme předem staoveým způsobem jedo číslo, které považujeme za odhad parametru základího souboru. Iterval spolehlivosti uvedeme iterval, který s předem daou pravděpodobostí obsahuje daou hodotu parametru základího souboru. Odhad bodový požadavky odhadová statistika musí být estraá, kozistetí, vydatá, postačující. Odhad bodový estraý statistika T dává estraý odhad charakteristiky θ, jestliže E(T)=θ. Je-li E(T)>θ, statistika T dává pozitivě vychýleý odhad. Je-li E(T)<θ, statistika t dává egativě vychýleý odhad. Odhad bodový kozistetí s rostoucím rozsahem výběru roste pravděpodobost, že hodota odhadu populačí charakteristiky se liší od skutečé hodoty populačí charakteristiky epatrě. Odhad bodový vydatý statistika T dává vydatý (ejlepší estraý) odhad populačí charakteristiky θ, jestliže má ze všech estraých odhadů charakteristiky θ ejmeší rozptyl. Odhad bodový postačující statistika T je postačující, jestliže obsahuje všechy iformace o populačí charakteristice θ => eexistuje-li žádá další statistika, která by obsahovala o odhadovaé populačí charakteristice ějakou další iformaci. Odhad bodový typy bodový odhad průměru základího souboru, bodový odhad rozptylu základího souboru. Odhad itervalový a základě áhodého výběru určíme meze itervalu, který s předem daou pravděpodobostí obsahuje ezámou hodotu populačí charakteristiky. Spolehlivost pravděpodobost, s jakou v daém itervalu spolehlivosti budou kokrétí hodoty obsažeé. Meze spolehlivosti hraice itervalu spolehlivosti. Přesost odhadu délka itervalu daého souboru, maximálí chyba, které se můžeme dopustit při určité pravděpodobosti. Spolehlivost odhadu = koeficiet spolehlivosti pravděpodobost, že iterval spolehlivosti obsahuje ezámou populačí charakteristiku. Ozačuje se α. Hladia výzamosti pravděpodobost α. Iterval spolehlivosti lze udat trojím způsobem omezey pouze shora, omezey pouze zdola, omezey zdola i shora. Iterval spolehlivosti jedostraý omezey pouze shora, omezey pouze zdola. Iterval spolehlivosti dvoustraý omezey zdola i shora. Iterval pravostraý omeze shora. Iterval levostraý omeze zdola. Odhad itervalový typy itervalový odhad průměru základího souboru, itervalový odhad rozptylu σ ormálě rozděleého základího souboru, itervalový odhad parametru p alterativího rozděleí. Odhad itervalový průměru základího souboru Přípustá chyba vyjadřuje se v závislosti a tom, zda je ám rozptyl základího souboru σ zám, či pouze odhad s, zda se jedá o výběr s opakováím ebo bez opakováí, či zda jde o dvoustraý ebo jedostraý iterval spolehlivosti. Náhodý výběr dvoufázový. fáze předvýběr, zkusmo provedeme meší áhodý výběr, z ěhož vypočteme rozptyl a požadovaý rozsah souboru pro výběr s opakováím a bez opakováí.. fáze pokud m< je uté doplit předvýběr o -m jedotek a požadovaý rozsah, jiak již eí uté provádět další šetřeí. Odhad itervalový rozptylu σ ormálě rozděleého základího souboru lze ho určit za dvou podmíek záme parametr µ, ezáme parametr µ. Většiou však parametr zám eí. Odhad itervalový parametru p alterativího rozděleí uto odhadout podíl jedotek s určitou vlastostí v koečém základím souboru, tedy pravděpodobost výskytu jedotky s daou vlastostí. Je-li malý rozsah souboru, vycházíme z toho, že výběrová absolutí četost m má při výběrech s opakováím biomické rozděleí a při výběrech bez opakováí hypergeometrické rozděleí. Je-li velký rozsah soubrou, lez rozděleí výběrové relativí četosti m/ aproximovat ormálím rozděleím se středí hodotou p a směrodatou odchylkou odmocia z: p(-p)/. Odhad eparametrický mediáu základího souboru předpokladem je spojitost áhodé veličiy. Náhodý výběr uspořádáme do řady vzestupým způsobem podle velikosti (variačí řada). 4. Testováí statistických hypotéz Idukce statistická představuje soubor metod, pomocí ichž můžeme pomocí áhodého výběru formulovat určité závěry o vlastostech základího souboru. Hypotéza statistická každé tvrzeí o tvaru ebo charakteristikách rozděleí jedoho či ěkolika statistických zaků.

19 Test statistické hypotézy postup, jímž a základě áhodého výběru ověřujeme, zda tato hypotéza platí či ikoliv. Hypotézy parametrické týkají se hodot parametrů rozděleí. Testy parametrické slouží k ověřováí parametrických hypotéz. Hypotézy eparametrické tvrzeí o zákou rozděleí základího souboru Testy eparametrické slouží k ověřováí eparametrických hypotéz. Hypotéza ulová testovaá statistická hypotéza, ozačuje je H 0. Hypotéza alterativí hypotéza, která popírá platost ulové hypotézy, přijímáme ji tehdy, jestliže jsme ulovou hypotézu zamítli jako esprávou. Hypotéza může být vymezea jako oboustraá alterativa (H : θ θ 0 ) ebo jedostraá, respektive pravostraá a levostraá (H : θ>θ 0 a H : θ<θ 0 ) Kriterium testové = statistika testová iformaci obsažeou v áhodém výběru shreme pomocí ějaké statistiky. Je to míra esouladu výsledků pokusu s testovaou hypotézou. Je-li testové kritérium rovo ule, odpovídají výběrová data ulové hypotéze. Od uly se kriterium odchyluje tím více, čím více se výběrové hodoty odkláějí k H. Obor kritický K obor zamítutí ulové hypotézy. Je tvoře třemi možými hodotami testové statistiky T, jejichž výskyt je za předpokladu platosti ulové hypotézy málo pravděpodobý. Pokud vypočteá hodota statistiky patří do K, zamítáme ulovou hypotézu, protože jev se eměl uskutečit, za platosti ulové hypotézy měl velmi ízkou pravděpodobost, jelikož však astal, je tím platost ulové hypotézy zpochyběa a proto ji zamítáme. Obor přijetí je tvoře těmi možými hodotami testové statistiky T, které ejsou v rozporu s ulovou hypotézou. Pokud vypočteá hodota statistiky patří do oboru přijetí, ezamítáme ulovou hypotézu. Hodoty kritické hodoty, jimiž je odděle obor přijetí od oboru kritického. Chyba. druhu jestliže vypočteá hodota testového kriteria T padal do kritického oboru K a zamíteme tedy ulovou hypotézu, i když ta je správá. Chyba. druhu zameá ezamítutí ulové hypotézy, i když eí správá. Pokud ulová hypotéza eplatí, ale vlivem áhody jsme dostali výsledek kdy testové kriterium T epadlo do K a ulovou hypotézu ezamítáme. Pravděpodobost chyby. druhu = hladia výzamosti ozačuje se α a udává výši rizika, s jakým se ulová hypotéza zamítá, i když platí. Pravděpodobost chyby. druhu = síla testu začí se β. Hodota β vyjadřuje pravděpodobost správého zamítutí testovaé hypotézy. Testy výzamosti statistické testy, které bezprostředě berou v úvahu pouze pravděpodobost chyby. druhu. Hladia výzamosti volba je libovolá, ale čím meší je α, tím je test přísější a ulovou hypotézu je obtížější zamítout. Testy parametrické test hypotézy o rozptylu ormálího rozděleí, test hypotézy o průměru ormálího rozděleí (jedovýběrový t-test), test hypotézy o parametru p alterativího rozděleí, srováí rozptylů dvou ormálích rozděleí (F-test), porováí průměrů dvou ormálích rozděleí, párový t-test, test hypotézy o parametrech p a p dvou alterativích rozděleí, porováí průměrů více ež dvou ormálích rozděleí (aalýza rozptylu), mohoásobé porováváí (podrobější hodoceí výsledků aalýzy rozptylu), porováí rozptylů více ež dvou ormálích rozděleí. Test hypotézy o rozptylu ormálího rozděleí řeší problematiku posouzeí přesosti měřících přístrojů, zařízeí, strojů atd., respektive posouzeí stability techologických procesů. Test hypotézy o průměru ormálího rozděleí = jedovýběrový t-test kdy a základě áhodého výběru o rozsahu, provedeého ze základího souboru s ormálím rozděleím, máme ověřit hypotézu, že průměr µ v základím souboru je rove určité kostatí hodotě. Test hypotézy o parametru p alterativího rozděleí v sérii ezávislých opakováí áhodého pokusu se ějaký áhodý jev A, který má stálou, ale ezámou pravděpobost p, vyskytl m-krát. Výsledek takové skupiy opakováí pokusu lez považovat za áhodý výběr o rozsahu ze základího souboru, který má alterativí rozděleí s parametrem p. Srováí rozptylů dvou ormálích rozděleí = F-test provádíme-li měřeí určité veličiy v růzých podmíkách. Porováí průměrů dvou ormálích rozděleí porováváme apříklad hektarové výosy dvou odrůd určité plodiy, užitkovost dvou růzých pleme krav, spotřebu pohoých hmot u motorů dvou růzých typů, korozi materiálu při dvou růzých způsobech úpravy povrchu atd. Provádí se za předpokladu ezávislosti výběrových souborů. Dvě variaty test hypotézy při stejých rozptylech = Dvouvýběrový t-test, test hypotézy při estejých rozptylech = Welchův test. Dvouvýběrový t-test oba rozptyly jsou stejé.

20 Welchův test předpoklad, že rozptyly se začě liší. Párový t-test je-li předpoklad, že výběrové soubory jsou závislé každý prvek jedoho výběru tvoří pár s určitým prvkem druhého výběru. Například zjišťováí velikosti určitého zaku u téže statistické jedotky ve dvou časových okamžicích. Test hypotézy o parametrech p a p dvou alterativích rozděleí pracujeme-li se dvěma velkými soubory (rozsah řádově větší ež 00). Porováí průměrů více ež dvou ormálích rozděleí = aalýza rozptylu řeší se problém, zda rozdíly mezi m dispoibilími výběrovými soubory jsou pouze áhodé, ebo zda se mezi imi projevují ějaké systematické odchylky. Aalýza rozptylu etapy zpravidla se provádí ve dvou etapách. V prví etapě pomocí aalýzy rozptylu testujeme ulovou hypotézu. Pokud jí ezamíteme, výpočet kočí. Pokud dojde k zamítutí ulové hypotézy, ve druhé etapě je uto vyřešit otázku, které soubory se od sebe výzamě liší. Aalýza rozptylu představuje zobecěí dvouvýběrového t-testu a případ více ež dvou výběrů. Používá se, sledujeme-li vliv jedoho ebo ěkolika faktorů a zkoumaý kvatitativí statistický zak. Aalýza rozptyly při jedoduchém tříděí zkoumáme vliv pouze jediého faktoru a daý statistický zak. Naměřeé hodoty třídíme do skupi podle úroví faktoru. Tečkový způsob zápisu součtů a průměrů umožňuje přehledější vyjádřeí vzorců užívaých v aalýze rozptylu. Mohoásobé porováváí = podrobější hodoceí výsledků aalýzy rozptylu při zamítutí ulové hypotézy v aalýze rozptylu je závěr, že eplatí shoda mezi porovávaými průměry, příliš eurčitý, proto je uté výsledky aalýzy rozptylu doplit podrobějšími iformacemi pomocí metod mohoásobých porováváí. Scheffého metoda = S-metoda jeda z metod mohoásobých porováváí, je uiverzálě použitelá. Tukeyova metoda = T-metoda jeda z metod mohoásobých porováváí, je citlivější a rozdíly mezi středími hodotami, vyžaduje, aby pokusý plá byl vyvážeý. Porováí rozptylů více ež dvou ormálích rozděleí Bartlettův test, Hartleyův test. Testy dobré shody předpoklad, že základí soubor, z ěhož aalyzovaý áhodý výběr pochází, má rozděleí určitého typu, testy ulové hypotézy áhodý výběr pochází z daého rozděleí. Test shody χ jede z ejfrekvetovaějších testů dobré shody, při jeho prováděí se výběrové výsledky ejdříve rozdělí do k disjuktích tříd s četostí a poté se vypočtou teoretické (očekávaé) četosti. Lze ho použít pro ověřováí shody s libovolým typem rozděleí. Četosti empirické výběrové výsledky rozděleé do k disjuktích tříd. Test ormality Davidův jede z testů dobré shody, lze ho použít pro staoveí ulové hypotézy áhodý výběr pochází z ormálího rozděleí. Testy eparametrické situace, kdy se setkáváme s výběrem poměrě malého rozsahu, který pochází z výrazě eormálích souborů ebo ze souborů, o jejichž rozděleí ic evíme. Jejich hlaví předostí je ezávislost a tvaru rozděleí studovaých veliči, jsou použitelé pro studium zaků kvatitativích i kvalitativích a jsou jedoduché a výpočet. Jejich edostatkem je meší síla, která je částečě kompezováa širšími možostmi použití. Test dvouvýběrový Wilcoxoův představuje eparametrickou aalogii dvouvýběrového t-testu. Slouží k testu hypotézy, že dva ezávislé výběry pocházejí ze stejého základího souboru proti alterativě, že se výzamě liší svou polohou. Výběrové hodoty uspořádáme podle velikosti a přiřadíme jim pořadová čísla (očíslujeme od ejmeší k ejvětší, stejě velkým hodotám přiřadíme stejé průměré pořadí). Zjistíme součky a vypočteme veličiy. Test Wilcoxoův je eparametrickou aalogií párového t-testu. Používáme ho tehdy, chceme-li ověřit, zda se dva párové (závislé) výběry výzamě liší svou polohou. Pro každou dvojici závislých pozorováí se vypočte diferece a absolutím hodotám diferecí přiřadíme pořadová čísla (ulové diferece vyecháme). Sečteme pořadová čísla kladých diferecí a záporých diferecí. Test Kruskal-Wallisův eparametrická obdoba jedoduché aalýzy rozptylu. Umožňuje test hypotézy, že m ezávislých výběrů s rozsahy pochází z téhož rozděleí. Hodoty m seřadíme do rostoucí poslouposti, určí se pořadí. Metody mohoásobého porováváí eparametrické jsou obdobou S-metody ebo T-metody v případě aalýzy rozptylu. Při práci s vyvážeým pokusým pláem doplíme Kruskalův-Wallisův test doplit Neméyiho metodou mohoásobého pozorováí. Metoda mohoásobého pozorováí Neméyiho slouží k doplěí Kruskal-Wallisova testu. Test áhodosti předpokladem je áhodost uspořádáí aalyzovaého výběru. Předpoklad musí být ověře ěkterým testem áhodosti, apříklad test založeý a bodech zvratu.

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určté předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ HYPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

Měřící technika - MT úvod

Měřící technika - MT úvod Měřící techika - MT úvod Historie Už Galileo Galilei zavádí vědecký přístup k měřeí. Jeho výrok Měřit vše, co je měřitelé a co eí měřitelým učiit platí stále. - jedotá soustava jedotek fyz. veliči - símače

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text (srpen 2012) Miloslav Suchánek

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text (srpen 2012) Miloslav Suchánek CHEMOMETRIKA a STATISTIKA Prozatímí učebí text (srpe 01) Miloslav Sucháek 1. Základí pojmy Při hodoceí aalytických metod a výsledků ebo při formulaci fyzikálě-chemických modelů popisujících vztahy mezi

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

ij m, velikosti n je tvořen (n m) rozměr-ným polem dat x 11 ... x 12 ... x 22 x n1 ... x n2 7.1 Druhy korelačních koeficientů

ij m, velikosti n je tvořen (n m) rozměr-ným polem dat x 11 ... x 12 ... x 22 x n1 ... x n2 7.1 Druhy korelačních koeficientů 1 7 KORELACE Pro vyádřeí itezity vztahů ezi složkai ξ ξ -rozěrého áhodého vektoru 1 ξ se používá korelačích koeficietů Data tvoří áhodý výběr z -rozěrého rozděleí áhodého vektoru ξ Neuvažue se obyčeě a

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

4.5.9 Vznik střídavého proudu

4.5.9 Vznik střídavého proudu 4.5.9 Vzik střídavého proudu Předpoklady: 4508 Miulá hodia: Pokud se v uzavřeém závitu měí magetický idukčí tok, idukuje se v ěm elektrické apětí =. Př. 1: Vodorově orietovaá smyčka se pohybuje rovoměrě

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad Test hypotézy o parametru π alterativího rozděleí příklad Podik předpokládá, že o jeho ový výrobek bude mít zájem 7 % osloveých domácostí. Proběhl předběžý průzkum, v ěmž bylo osloveo 4 áhodě vybraých

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závislostí ve statistice Měřeí závislostí ve statistice se zabývá především zkoumáím vzájemé závislosti statistických zaků vícerozměrých souborů. Závislosti přitom mohou být apříklad

Více

Úvod do lineárního programování

Úvod do lineárního programování Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých

Více

KABELY. Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodné vlákno): metalické kabely optické kabely

KABELY. Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodné vlákno): metalické kabely optické kabely KABELY Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodé vláko): metalické kabely optické kabely Metalické kabely: osou veličiou je elektrické apětí ebo proud obvykle se jedá o vysokofrekvečí přeos

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

VÝMĚNA VZDUCHU A INTERIÉROVÁ POHODA PROSTŘEDÍ

VÝMĚNA VZDUCHU A INTERIÉROVÁ POHODA PROSTŘEDÍ ÝMĚNA ZDUCHU A INTERIÉROÁ POHODA PROSTŘEDÍ AERKA J. Fakulta architektury UT v Brě, Poříčí 5, 639 00 Bro Úvod Jedím ze základích požadavků k zabezpečeí hygieicky vyhovujícího stavu vitřího prostředí je

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže Regulace apětí v ES Základí pricip regulace v ES si ukážeme a defiici statických charakteristik zátěže Je zřejmé, že výko odebíraý spotřebitelem je závislý a frekveci a apětí a přípojicích spotřebitelů.

Více

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu 2. efiice plazmatu, základí charakteristiky plazmatu efiice plazmatu Plazma bývá obyčejě ozačováo za čtvrté skupeství hmoty. Pokud zahříváme pevou látku, dojde k jejímu roztaveí, při dalším zahříváí se

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

HODNOCENÍ PŘÍSTROJŮ PRO MĚŘENÍ JAKOSTI ZIMNÍCH KAPALIN DO OSTŘIKOVAČŮ V PROVOZU

HODNOCENÍ PŘÍSTROJŮ PRO MĚŘENÍ JAKOSTI ZIMNÍCH KAPALIN DO OSTŘIKOVAČŮ V PROVOZU HODNOCENÍ PŘÍSTROJŮ PRO MĚŘENÍ JAKOSTI ZIMNÍCH KAPALIN DO OSTŘIKOVAČŮ V PROVOZU Ja SKOLIL 1*, Štefa ČORŇÁK 2*, Ja ULMAN 3 1* Velvaa, a.s., 273 24 Velvary, Česká republika 2,3 Uiverzita obray v Brě, Kouicova

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů

Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů Číslicová filtrace Použití : Separace sigálů Restaurace sigálů Číslicové filtry Aalogové x číslicové filtry : Aalogové Číslicové: + levé + rychlé + velký dyamický rozsah (v amplitudě i frekveci) - evhodé

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA Fakulta elektrotechky a formatky TATITIKA. ZÁKLADNÍ OJMY. Náhodý pokus a áhodý jev NÁHODNÝ OKU proces realzace souboru podmíek kde výsledek emůžeme předem ovlvt. - výsledek áhodého pokusu. - jev, který

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více