Základní pojmy a vztahy speciální teorie relativity

Transkript

1 K přednáše NUFY8 Fzika I (mehanika) prozatímní čební tet, erze 7. Základní pojm a ztah speiální teorie relatiit Leoš Dořák, MFF UK Praha, Relatiistiká kinematika Základní pojm a ztah speiální teorie relatiit Tato kapitola bde elmi strčná, protože speiální teorii relatiit (STR) je ěnoána samostatná přenáška e třetím ročník. Zmíníme zde proto jen několik ěí, které se bdo hodit některýh partiíh fzik, které bdete probírat do té dob. A na rozdíl od předhozíh kapitol zde bdeme řad ěí poze konstatoat bez odozoání; podrobnosti si oprad neháme do samostatné přednášk Relatiistiká kinematika Slaný neúspěh: éteroá teorie a Mihelsonů poks V předhozí kapitole jsme se seznámili s klasikým prinipem relatiit. Ten konstatje, že mehanikými poks nelze od sebe rozlišit ineriální sosta, ted například najít nějako ýznačno resp. nejlepší. V drhé poloině 19. století ošem fzikoé bli přesědčeni, že ineriální sosta b měl jít rozlišit optikými poks. Blo totiž ž známo, že sětlo je lnění. A protože do té dob bl známé jen různé drh lnění nějakém prostředí, blo přirozené předpokládat, že i sětlo je lněním nějakého prostředí. Toto hpotetiké prostředí dostalo i jméno: éter 3. Protože sětlo k nám přihází i od Slne a hězd, msel éter plňoat i meziplanetární a mezihězdný prostor. Význačno sostao b pak bla tak, která b bla ůči éter klid, ted sostaa éter. Šlo b optikými poks najít sosta éter? Mělo b to jít. V sostaě éter se totiž sětlo e ak šíří šemi směr stejno rhlostí. 4 Toto ale platí práě jen sostaě éter! V jinýh sostaáh (které se ůči sostaě éter pohbjí) se sětlo mělo šířit různýh směreh různo rhlostí. 5 To znamená, že měřením rhlosti sětla na Zemi různýh směreh mělo jít naměřit pohb Země ůči sostaě éter. Vzhledem k tom, že rhlost pohb Země kolem Slne je asi 3 km/s a rhlost sětla asi km/s, přesnost měření zdaleka nedostačoala ke změření očekáaného efekt. 6 Ameriký fzik Albert Abraham Mihelson ošem narhl elie htrý eperiment (jeho popis si neháme do zmíněného předmět e šším ročník), který rhlost Země ůči éter měl změřit. Ale ani prní poks 1 Je mi líto, ale je tom tak. Ale zase je to jedna z ěí, na které se můžete těšit e ššíh ročnííh Třeba zk je podélným lněním e zdh (a obeněji plneh, kapalináh i penýh látkáh); penýh látkáh se naí šíří i příčné ln. 3 Také se někd říkalo sětlonosný éter. (Nemá ni společného s hemikými sločeninami téhož jména; psaná podoba hemii se ostatně liší: ether). Vlněním éter blo podle předsta kone 19. století nejen sětlo, ale eškeré elektromagnetiké záření. V tomto smsl přetráá sloo éter jaze dodnes: občas ještě lze zaslehnot, že přijímáme signál z éter. 4 Podobně, jako se klidném zdh šíří šemi směr stejno rhlostí zk. 5 Tento ýsledek nám dá ž transformae rhlostí při Galileiho transformai. Často se požíá analogie s plaem prod řek. Prodíí oda je analogií éter: ůči ní plae plae stejno rhlostí, ať plae kterýmkoli směrem. Ošem ůči břeh je rhlost plae různá kdž plae po prod, proti prod nebo třeba kolmo na něj. (Břeh je sostao, která se ůči odě pohbje.) Nebo si předstate čln, který plje po jezeře, šemi směr stejno rhlostí, stejně jako sětlo ůči éter. Vůči at, kterým jedeme po břeh jezera, ošem rhlost čln nebde stejná. (Kdž ato jede proti plai, bde zjeně zájemná rhlost šší.) Zkste si sami mslet podobné sitae, na nihž bste mohli tento efekt někom sětlit. 6 Problém je zejména tom, že tehdejší metod měřil rhlost sětla po zařené dráze (ted tam a zase zpátk ). I tato rhlost se liší různýh směreh, ale rozdíl je jen řád (/), daném případě ted řád

2 K přednáše NUFY8 Fzika I (mehanika) prozatímní čební tet, erze 7. Základní pojm a ztah speiální teorie relatiit Leoš Dořák, MFF UK Praha, Relatiistiká kinematika r. 1881, ani lepšená erze r (spol s. W. Morlem) a ostatně ani šehn další poks tohoto tp proáděné později nedal pozitiní ýsledek: pohb Země ůči éter se nepodařilo naměřit. Jde asi o jeden z nejslanějšíh negatiníh ýsledků dějináh fzik. 7 Fzikoé se samozřejmě snažili pozoroaný ýsledek sětlit a přizpůsobit éteroo teorii tak, ab s ním bla solad. Ale až Albert instein měl odah přijít se zela noým přístpem: nesnažit se zahránit éteroo teorii, ale jít z toho, že žádná ýznačná sostaa éter zřejmě neeistje a podíat se, jaké to má důsledk. 8 Výhozí prinip STR Speiální teorie relatiit se zakládá na do základníh prinipeh: speiálním prinip relatiit a prinip konstantní rhlosti sětla. Speiální prinip relatiit lze formloat elmi strčně: Všehn ineriální sstém jso ronopráné. 9 A to jak z hlediska poksů, tak z hlediska fzikálníh zákonů. Formlae s důrazem na poks může znít: Liboolný stejně připraený poks dá e šeh ineriálníh sostaáh stejné ýsledk. 1 Formlae s důrazem na fzikální zákon pak: Liboolný fzikální zákon má e šeh ineriálníh sstémeh stejný tar. Vidíme, že že jde o prinip emi podobný klasikém prinip relatiit, jen se zde ž neomezjeme na mehaniké poks a zákon klasiké mehanik speiální prinip relatiit mlí o šeh pokseh a šeh fzikálníh zákoneh. 11 Prinip konstantní rhlosti sětla zní: Sětlo se e ak šíří e šeh ineriálníh sstémeh stejno rhlostí. 1 Tento prinip přirozeně sětlje ýsledek Mihelsonoa poks. Oba ýhozí prinip padají poměrně neinně ; pojďme se šak podíat na jejih důsledk. 7 Kdž se ám nepoede nějaký poks praktik (nebo e třídě, až bdete čit), tak se o něm zřejmě nebde s znáním psát ještě po íe než 13 leteh. V Mihelsonoě případě ošem nešlo o to, že b se m poks nepoedl on se poedl, jen příroda se hoala jinak, než si fzikoé podle éteroé teorie předstaoali. 8 Albert instein přitom zřejmě neházel přímo z ýsledků Mihelsonoa poks, ale spíše reagoal na práe fziků, kteří se jej snažili sětlit. Později ošem roli Mihelsonoa poks na estě k STR ýrazně oenil. Dnes se při ýkladeh STR obkle bere tento poks jako důležité ýhodisko. 9 Nebo jinak řešeno: Žádný ineriální sstém není priilegoán. 1 To znamená, že: Žádným fzikálním poksem nelze od sebe ineriální sosta rozlišit. 11 To je odaha, že? Je pozbzjíí, že za íe než století, které plnlo od jeho formlae roe 195, se neobjeil poks a zákon, které b bl se s tímto prinipem rozpor. (Nepočítáme přitom se zobeněním a přesněním, které proedla obená teorie relatiit, která platnost STR mezje na tz. lokální ineriální sstém.) 1 Někd se ještě epliite dodáá: nezáisle na směr a nezáisle na pohb zdroje.

3 K přednáše NUFY8 Fzika I (mehanika) prozatímní čební tet, erze 7. Základní pojm a ztah speiální teorie relatiit Leoš Dořák, MFF UK Praha, Relatiistiká kinematika Důsledek ýhozíh prinipů: čas není jeden Předstame si mšlenkoý eperiment. 13 Uažjme agón, který je klid ůči nějaké ineriální sostaě. 14 Uprostřed agón šleme rčitý okamžik sětelné signál (záblesk) k přední a zadní stěně. Oba sětelné signál se zhledem k agón pohbjí rhlostí sětla; než dopadno na přední a zadní stěn agón, razí stejno dráh, takže je jasné, že estoal stejně dloho. Protože razil e stejný okamžik, je jasné, že na přední a zadní stran dopadno e stejný čas, takže t A t B. Vidíme ted, že sostaě agón nastano dálosti 15 A a B e stejný čas t. Jak je tom sostaě S spojené s kolejemi, po nihž agón jede ronoměrně přímočaře? Jde opět o sosta ineriální, takže i ůči ní se sětlo pohbje šemi směr stejno rhlostí. Zadní stěna agón jde naproti sětelném signál, který se pohbje zad (dolea), přední stěna agón naopak tíká signál, který se pohbje před. Je ted jasné, že kdž signál dopadne na zadní stěn (dálost A), signál pohbjíí se před ještě zdaleka není přední stěn (dálost B), iz obrázek. To dálosti A a B nastal různýh časeh t. 16 znamená, že sstém kolejí je ta < tb, takže To znamená, že dálosti, které jso sočasné jednom ineriálním sstém, nejso obeně sočasné jiném ineriálním sstém 17. Čili: V různýh ineriálníh sstémeh je obeně různý čas. To znamená, že nelze zaést jeden společný čas pro šehn ineriální sstém. Při transformai z jedné ineriální sosta do drhé ted nestačí transformoat jen prostoroé sořadnie, msí se transformoat i čas. 13 Mšlenkoé eperiment se při ýklad teorie relatiit a jejíh důsledků požíají elmi často. (Při nih totiž klidně můžeme ažoat raket nebo agón pohbjíí se třeba poloino rhlosti sětla. Demonstroat to čebně s reálným modelem agón, b asi nezládl ani Sperman. A kdb ano, těžko bhom názorně iděli ýsledk; takoý agónek b čebno prosištěl za pár desítek nanoseknd ) 14 Tto sosta označíme S, čas této sostaě bdeme značit t. 15 V teorii relatiit se termínem dálost označje něo, o se stalo na rčitém místě rčitém čase. Událostí ted není jen přistání čloěka na Měsíi, pád lád, prní deteke graitačníh ln nebo skandál nějaké elebrit (), ale třeba slání nebo přijetí signál. V našem mšlenkoém poks jsme jako dálost A označili dopad sětelného signál na zadní stěn, dálost B je dopad signál pohbjíího se před na přední stěn. 16 Pro sktečný agón na sktečnýh kolejíh je ošem časoý rozdíl nepatrný, i kdb šlo o sebemodernější rhlolak. Kdb agón jel poloino rhlosti sětla, bl b ž rozdíl ýrazný. V poplárníh ýkladeh se často mšlenkoýh pokseh mlí práě o agóneh; začal s tím při poplarizai sé teorie již sám instein. (Prý snad proto, že před těmi zhrba sto let bl lak pro široko eřejnost snonmem rhlého dopraního prostředk.) 17 Sočasnost ted není absoltní, stejná pro šehn ineriální sstém; této soislosti se požíá termín relatiita sočasnosti. 3

4 K přednáše NUFY8 Fzika I (mehanika) prozatímní čební tet, erze 7. Základní pojm a ztah speiální teorie relatiit Leoš Dořák, MFF UK Praha, Relatiistiká kinematika Lorentzoa transformae Ve speiální teorii relatiit nemůže platit Galileiho transformae. Jednak se při ní netransformje čas a jednak z ní plne, že rhlosti se skládají algebraik : Například kdž e lak jedoím rhlostí 15 km/h běží někdo dopřed rhlostí 3 km/h 18, pohbje se ůči kolejím rhlostí 45 km/h. Takže kdž bhom raketě, která b se pohboala rhlostí 15 tisí km/s (třeba ůči Slni), slali od zádi ke špiče sětelný signá, pohbjíí se zhledem k raketě samozřejmě rhlostí 3 tisí km/s, očekáali bhom 19, že se ten signál ůči Slni bde pohboat rhlostí 45 tisí km/s. Jenže on se ůči Slni bde pohboat zase rhlostí 3 tisí km/s! Spráno transformaí je Lorentzoa transformae. Uedeme ji t bez odození, a jen pro případ, který jsme ažoali již předhozí kapitole. (Os obo sstémů S a S jso ronoběžné, os a splýají, sstém S se pohbje e směr os rhlostí a čase t splýal počátk obo sstémů. V tomto případě mlíme o speiální Lorentzoě transformai.) Speiální Lorentzoa transformae má tar 1 : t + t z t z t z t z t + (7.1) Konstanta je rhlost sětla, m/s m/s. Je idět, že msí být <, ab ztah měl smsl. Jinými slo: ineriální sstém se nazájem nemoho pohboat rhlostí sětla nebo šší. 18 Hm, to znamená běhnot stok za 1 seknd Pro atora těhto řádek jednoznačně jen mšlenkoý poks, pro některé z ás asi něo, o se dá zládnot. 19 podle Galileiho transformae a podle toho, na o jsme zklí z běžného žiota solad s prinipem konstantní rhlosti sětla 1 V leém slopi je Lorentzoa transformae z S do S, praém slopi inerzní Lorentzoa transformae z S do S. 4

5 K přednáše NUFY8 Fzika I (mehanika) prozatímní čební tet, erze 7. Základní pojm a ztah speiální teorie relatiit Leoš Dořák, MFF UK Praha, Relatiistiká kinematika Transformae rhlosti Z Lorentzo transformae lze ododit transformai rhlostí : a analogik pro. (7.), z Inerzní transformae je +, (7.3) (Leý ztah můžeme označit za ztah pro skládání rhlostí. Zkste do něj dosadit jde jako? 3 ). Co ám Z Lorentzo transformae lze také ododit ztah pro da známé důsledk: Kontrake délek (ztahje se na délk tče e směr rhlosti ): l l (7.4) Zde l je délka tče sostaě, níž je tč klid (tz. klidoá délka), l je délka tče sostaě, ůči níž se tč pohbje rhlostí. Dilatae čas: t t (7.5) Zde τ je doba, ktero naměří pohbjíí se hodin (tz. lastní čas) 4 a t je příslšná doba sostaě, ůči níž se hodin pohbjí rhlostí. Detailnější disksi relatiistiké kinematik a jejíh důsledků si neháme do speializoané přednášk a předstaíme si ještě několik ztahů z relatiistiké dnamik. Odození b se dělalo podobným způsobem, jako předhozí kapitole odození z Galileiho transformae. 3 Vjde. Jde o sitai zmíněno ýše, kd letíí raketě šleme sětelný signál dopřed. 4 Je to ted délka časoého interal sostaě, níž jso hodin klid. 5

6 K přednáše NUFY8 Fzika I (mehanika) prozatímní čební tet, erze 7. Základní pojm a ztah speiální teorie relatiit Leoš Dořák, MFF UK Praha, Relatiistiká dnamika 7. Relatiistiká dnamika Vztah relatiistiké dnamik ž zde předstaíme oprad jen strčně. Relatiistiká hmotnost Jako klidoo hmotnost m označjeme hmotnost částie 5 měřeno sostaě, kde je tato částie klid. 6 Pokd se částie ůči ineriální sostaě S pohbje rhlostí 7, pak její hmotnost naměřená S je m m (7.6) Této hmotnosti říkáme relatiistiká hmotnost. 8 Některé částie, například foton, mají klidoo hmotnost nloo. Toto můžeme brát do jisté mír za formalit, protože foton nelze zastait, abhom jeho klidoo hmotnost změřili. Na drho stran řada ztahů relatiistiké dnamik platí i pro foton, pokd do nih dosadíme m. Relatiistiká hbnost Hbnost částie pohbjíí se rhlostí je p m m. (7.7) Pro foton platí p m ; ýraz na praé straně (7.7) ošem samozřejmě nemůžeme požít. 9 Relatiistiká pohboá ronie Pozor! Pohboá ronie částie STR není ma F, a to ani, kdbhom za m dosadili relatiistiko hmotnost. Spráná pohboá ronie je dp d d m F, čili ( m) F, čili (pro částie s m ) : ( ) F. (7.8) dt dt dt 1 5 Nemsí jít o elementární částii. Ve speiální teorii relatiit se termínem částie označje totéž, o jsme klasiké mehanie nazýali hmotný bod. 6 Pro elementární částie jde o jedn ze základníh harakteristik částie. 7 Pro rhlost částie olíme smbol. (Smbol rezerjeme pro zájemno rhlost ineriálníh sstémů.) V řadě ztahů se samozřejmě objeí elikost rhlosti. 8 Slší se poznamenat, že fzikoé z obor částioé fzik ětšino relatiistiko hmotnost nezaádějí a stačí si s klidoo hmotností. Ošem například elektron obíhajíí láte kolem atomoýh jader přispíají k elkoé hmotnosti látk práě so relatiistiko, a nikoli klidoo hmotností. Již kůli tom a podobným efektům má proto smsl relatiistiko hmotnost zaádět. 9 Šlo b o ýraz nla děleno nlo. 6

7 K přednáše NUFY8 Fzika I (mehanika) prozatímní čební tet, erze 7. Základní pojm a ztah speiální teorie relatiit Leoš Dořák, MFF UK Praha, Relatiistiká dnamika kialene hmotnosti a energie Mezi energií a relatiistiko hmotností částie platí slaný ztah m. (7.9) Jde oprad o ekialeni hmotnosti a energie. 3 Částie nebo těleso, které jso ineriálním sstém S klid, mají tomto sstém hmotnost rono klidoé hmotnosti m. Ze (7.9) plne, že tomto sstém mají energii Této energii říkáme klidoá energie. m. (7.1) Klidoá energie i malého kosk látk je ohromná. Ze ztah (7.1) plne, že 1 gram liboolné látk krýá energii J. (!) Na drho stran ze (7.1) plne, že pokd láte dodáme energii například kdž ji zahřejeme zroste i její hmotnost. Ošem zhledem k elikosti faktor je zýšení hmotnosti nepatrné a běžnýh sitaíh neměřitelné. 31 Z ýše edenýh zorů můžeme ododit ještě elmi žitečný ztah spojjíí energii částie, její hbnost a klidoo energii resp. klidoo hmotnost. Ze (7.6) plne m m. Po násobení a monění na drho dostááme 4 m m m 4 ( m ) p 4 p. Protože m, lze daný ýsledek zapsat e tar 4 Jino možností, jak zapsat tento ýsledek, je p. 3 (7.11) p + m (7.1) 4 Pro foton, protože jeho případě je m, plne ze (7.1) ztah mezi jeho energií a hbností: p. 3 Cokoli má hmotnost, má také příslšno energii a naopak. 31 Zkste si sami spočítat, o kolik se zýší hmotnost kilogramoého oeloého záaží, kdž ho zahřejete z nl na sto stpňů Celsia. 3 Kombinae členů z energie a hbnosti na leé straně (7.11) je ted stejná e šeh ineriálníh sstémeh, nemění se při transformai z jednoho ineriálního sstém do jiného. Říkáme, že jde o inariant. (Ale pokd ám toto konstatoání zní příliš krptik, tak ho zatím ignorjte...) 7

8 K přednáše NUFY8 Fzika I (mehanika) prozatímní čební tet, erze 7. Základní pojm a ztah speiální teorie relatiit Leoš Dořák, MFF UK Praha, 18 Shrntí Shrntí Výhozí prinip STR Speiální prinip relatiit: Všehn ineriální sstém jso ronopráné (z hlediska šeh poksů a šeh fzikálníh zákonů). Prinip konstantní rhlosti sětla: Sětlo se e ak šíří e šeh ineriálníh sstémeh stejno rhlostí. (Důsledek ýhozíh prinipů: Čas není e šeh ineriálníh sstémeh stejný.) Relatiistiká kinematika Lorentzoa transformae (speiální): Inerzní Lorentzoa transformae má přehozené čárkoané a nečárkoané eličin a opačné znaménko před rhlostí čitateli (ted ( ) + t, atd.). t t,, z z, t Transformae rhlostí: Transformae z je analogiká jako pro. V inerzní transformai jso přehozené čárkoané a nečárkoané eličin a je opačné znaménko před rhlostí., 1 Kontrake délek: l l Dilatae čas: t t Relatiistiká hmotnost: m m Relatiistiká dnamika Relatiistiká hbnost: p m m Klidoá hmotnost m je měřena sostaě, ůči níž je částie klid. Pro foton je m, relatiistiká hbnost foton je nenloá. Hbnost foton je p m. d m F dt Relatiistiká pohboá ronie: ( ) (pozor, obeně m nejde tknot) kialene hmotnosti a energie: Klidoá energie: m Vztah mezi energií, hbností a klidoo energií resp. klidoo hmotností: p resp. m p + m 4 Vztah platí i pro částie s nloo klidoo hmotností, např. pro foton. Je pro ně p. 8

9 K přednáše NUFY8 Fzika I (mehanika) prozatímní čební tet, erze 7. Základní pojm a ztah speiální teorie relatiit Leoš Dořák, MFF UK Praha, 18 Dodatek. K této kapitole zatím není žádný dodatek Laskaý čtenář si nějaký může dopsat sám 9