Přibližné řešení algebraických rovnic

Transkript

1 Přblžné řešení lgebrcých rovnc Algebrcou rovncí stupně n nzýváme rovnc =, tj n n x x x =, de n N, x C, oefcenty P n,,, n R, Budeme prcovt s tzv normovou lgebrcou rovncí ( = ) n n x x x = Řešením (ořenem) lgebrcé rovnce P n = je ždé číslo c, teré je ořenem polynomu P n Algebrcá rovnce stupně n tedy má právě n ořenů Možnost přblžného řešení : Grfcy Numercy Grfcé řešení Grfcy můžeme určt přblžnou hodnotu reálných ořenů Kořeny rovnce P n = jsou vlstně průsečíy grfu s osou x Nreslt grf funce P n vš může být prcné Proto obvyle uprvíme rovnc n tvr f = g( x) t, bychom doázl nreslt dv jednodušší grfy y = f y = g Reálné ořeny rovnce P n = jsou potom rovny x- ovým souřdncím průsečíů těchto řve Příld: Řešte grfcy rovnc x x x = Řešení: Rovnc můžeme uprvt npříld tto: x = x x Grfem funce n levé strě rovnce je ubcá prbol, grfem vdrtcé funce n prvé strě rovnce je posunutá prbol, jejíž vrchol s určíme y = x x y = ( x ) y = ( x ), jde tedy o prbolu s vrcholem v bodě [,] rovnoběžnou s osou y Ob grfy co nejpřesněj nreslíme osou y x

2 Hledáme, pro já x jsou s funce rovny, tedy x-ové souřdnce průsečíů V tomto přípdě je jeden změřením hodnoty v grfu bychom ptrně zísl x =&, (Pro nformc: výpočtem x =, 768 ) Poznám: Tuto metodu můžeme použít nejen pro lgebrcé rovnce Příld: Určete přblžné řešení rovnce ln( x ) x x = Řešení: Rovnc uprvíme převedením něterých členů n prvou stru Jedným rtérem je, bychom doázl nreslt příslušné grfy V nší úloze bude nejvhodnější úprv rovnce n tvr : ln( x ) = x x Budeme tedy hledt průsečí logrtmcé řvy s prbolou Nejdříve vypočteme vrchol prboly, terá je grfem funce y = x x ( y = x x ) y = [( x ) ] y = ( x ) V=[,] y x Po nreslení grfů bychom ptrně nměřl výslede x =&, Př užtí početních metod by se x =&, Numercé řešení Nejdříve zísáme nformce o ořenech rovnce, potom určíme ntervly co nejmenší dély, ve terých ořeny leží n závěr určíme přblžnou hodnotu ořene s poždovou přesností pomocí něteré z proxmčních metod ) Ohrčení ořenů určení jejch počtu Pro všechny ořeny x normové lgebrcé rovnce P n = pltí x < A, de A = mx{,, }, n Reálné ořeny tedy leží v ntervlu ( ( ), A) = ( A, A ) A

3 Příld: Pro rovnc x x x 7x = je mx{,, 7, } = 7 Proto x < 7, tedy ořeny x leží v ntervlu ( 8,8) Algebrcá rovnce stupně n má právě n ořenů, přčemž lgebrcá rovnce lchého stupně má lespoň reálný ořen Můžeme odhdnout počet ldných přípdně záporných reálných ořenů (Descrtov vět): Počet ldných reálných ořenů (počítých s jejch násobností) rovnce P n = je roven počtu znménových změn v posloupnost oefcentů číslo menší,,, nebo o sudé Počet záporných reálných ořenů dosteme, dyž místo polynomu P n budeme uvžovt polynom ( x) V obou přípdech vynecháme nulové oefcenty P n Příld: Odhdněte počet reálných ořenů rovnce x x x x = Řešení: Rovnce má celem ořenů (včetně omplexních) Počet ldných reálných ořenů určíme n záldě znménových změn v posloupnost oefcentů polynomu P : Nenulové oefcenty jsou,,,, Dochází e dvěm znménovým změnám (mez druhým třetím, třetím čtvrtým oefcentem) Rovnce má tedy ldné reálné ořeny nebo nemá ldný ořen Počet záporných reálných ořenů určíme n záldě znménových změn v posloupnost oefcentů pomocného polynomu P( x) = ( x) ( x) ( x) ( x) = x x x x Nenulové oefcenty jsou,,,, Dochází e třem znménovým změnám (mez prvním druhým, třetím čtvrtým, čtvrtým pátým oefcentem) Rovnce má tedy záporné reálné ořeny nebo jeden záporný ořen Poznám: V přípdě, že by u nějé rovnce znménových změn bylo npř 6, znmenlo by to, že příslušných ořenů bude 6 nebo nebo nebo žádný V přípdě, že by znménová změn byl jen, znmenlo by to, že rovnce má právě jeden reálný (ldný nebo záporný) ořen Zbývjící ořeny do počtu n jsou p omplexní

4 ) Seprce ořenů Seprcí ořenů rozumíme nlezení tových ntervlů, v nchž leží právě ořen Využjeme Bolzovu větu, terou známe z dferencálního počtu: Je-l P( ) P( <, exstuje lespoň jeden bod c (, tový, že P n ( c) = Tedy mjí-l hodnoty polynomu v rjních bodech ntervlu opčná znmén, leží v ntervlu lchý počet ořenů Poud P( ) P( >, potom leží v ntervlu sudý počet ořenů nebo zde neleží žádný Budeme tedy hledt ntervl, v jehož rjních bodech mjí hodnoty polynomu P opčná znmén Postupujeme t, že ntervl, ve terém leží reálné ořeny rovnce, rozdělíme n menší podntervly počítáme hodnoty P v dělících bodech Příld: Proveďte seprc ořenů rovnce x x x = A Řešení: = mx {,, } =, proto ntervl, ve terém ořeny leží, je ( 6, 6) Rovnce bude mít nebo žádný ldný reálný ořen právě jeden záporný reálný Vzhledem velost ntervlu můžeme zvolt dělení n podntervly dély Po nlezení ntervlu, ve terém leží ořen, můžeme přípdně dělení zjemnt Budeme tedy počítt hodnoty polynomu P = x x x v jednotlvých bodech, bychom zjstl, de přechází z ldných hodnot do záporných nebo nop Pro výpočet funční hodnoty je výhodné použít Hornerovo schém sgn P x ) ( Kořeny tedy leží v ntervlu (, ), (,) (,) Chceme-l ntervl dély jedn, dopočítáme npř pro ntervl (, ) hodnotu v bodě, P ( ) = 7 zjstíme, že jedný záporný ořen rovnce leží v ntervlu (, ) Dá rovnce má tedy reálné ořeny, teré leží v ntervlech (, ), (,) (,)

5 Poznám: Nechcete-l pro výpočet hodnot polynomu použít Hornerovo schém, le vypočítáte s je n lulčce, je vhodné s přehledně poznčt výsledy npř do tbuly 6 6 sgn P x ) ( Odtud je vdět, že se znméno změnlo v ntervlech (, ), (,) (,) Aproxmce ořenů Hodnotu ořene, terý leží v onrétním ntervlu, můžeme vypočítt s potřebnou přesností pomocí něteré z proxmčních metod Nejjednodušší z nch je metod půlení ntervlu Postup: Intervl, b, b, ve terém leží právě jeden ořen rozpůlíme Vybereme ten z ntervlů, v jehož rjních bodech má polynom opčná znmén Vybrý ntervl rozpůlíme stejným způsobem porčujeme dál Je-l, b poslední zísý ntervl, má hledý ořen hodnotu b x=& Postup opujeme, doud chyb proxmce není menší než poždová mxmální chyb výpočtu Chyb proxmce je přtom v ždém rou rovn mxmálně polovně dély b ntervlu, tedy je menší než Příld: Vypočtěte ořen rovnce x x =, terý leží v ntervlu (, ), s přesností lespoň (tj s chybou menší než), Řešení: Výpočet budeme pro přehlednost zpsovt do tbuly: b b sgn P ( ) x = P ( x ) sgn P ( b ) b,,87,,,,7,,,,7,,,87,,76,6,87,6,,6, <, Protože v posledním rou je chyb menší než,, uončíme výpočet Kořenem je tedy číslo x =&, 6 Pro přesnou hodnotu ořene pltí (,87;,) x, nebo té x =,6±,