Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Dana Trkovská. Geometrická zobrazení. Katedra didaktiky matematiky

Transkript

1 Uverzta Karlova v Praze Matemato-fyzálí faulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Daa Trovsá Geometrá zobrazeí Katedra ddaty matematy Vedouí dplomové práe: RNDr. Válav Kubát, CS. Studí program: Fyza, učtelství matematy a fyzy pro středí šoly

2 Chtěla byh poděovat svému vedouímu práe, RNDr. Válavu Kubátov, CS., za eé rady a přpomíy a za vstříost př ozultaíh. Prohlašu, že sem svou dplomovou prá apsala samostatě a výhradě s použtím tovaýh prameů. Souhlasím se zapůčováím práe. V Praze de Daa Trovsá

3 Obsah Úvod Přehled učva o geometrýh zobrazeíh v učebíh matematy pro záladí a středí šoly Učebe pro záladí šoly Učebe pro středí šoly Geometrá zobrazeí učebí text Dělí poměr Leárí ombae bodů Afí zobrazeí Samodružé body a směry afího zobrazeí Záladí afty Grupa homotetí Shodá zobrazeí Klasfae shodostí v rově Podobá zobrazeí Kruhová verze Geometrá zobrazeí sbíra příladů Dělí poměr Aalyté vyádřeí afího zobrazeí Samodružé body a směry afího zobrazeí Záladí afty Shodá zobrazeí Záladí shodost Klasfae shodostí v rově Sládáí zobrazeí Podobá zobrazeí Kruhová verze Sezam použté lteratury

4 Název práe: Geometrá zobrazeí Autor: Daa Trovsá Katedra ústav: Katedra ddaty matematy Vedouí dplomové práe: RNDr. Válav Kubát, CS. e-mal vedouího: Abstrat: Tato dplomová práe e věováa geometrým zobrazeím a eí text e tématy urče studetům třetího ročíu učtelství matematy a Matemato-fyzálí faultě Uverzty Karlovy v Praze ao studí materál. Lze ho ale použít taé ao doplňový materál př vedeí středošolsého semáře. Vyhází z předáše a včeí předmětu Geometre II. S pomem zobrazeí se studet sezamuí ž př výue a záladí a středí šole, proto e eprve uvede přehled záladíh pozatů o geometrýh zobrazeíh v současýh učebíh matematy. Další část práe obsahue teoreté pozaty o geometrýh zobrazeíh ve formě def a vět včetě eh důazů. Velá část e věováa vlastostem afíh zobrazeí, speálě pa zobrazeím shodým a podobým. V závěru e probráa ruhová verze, aožto přílad zobrazeí, teré eí afí. Celý text e pro větší ázorost doplě řadou obrázů. Na teoretou část avazue sbíra příladů, u terýh e uvedeo eh řešeí. Klíčová slova: afí zobrazeí, samodružé body, samodružé směry, ruhová verze Ttle: Mappgs geometry Author: Daa Trovsá Departmet: Departmet of Mathemats Eduato Supervsor: RNDr. Válav Kubát, CS. Supervsor s e-mal address: ubat@arl.mff.u.z Abstrat: Ths dploma dssertato s dedated to applatos of geometral mappgs. It s teded as a tutoal materal speally for studets of the thrd year of the mathemats teahers programm at Mathematal ad Physal faulty of Charles Uversty Prague. The text a be used as a supplemetary materal for a semar at seodary shool as well. It s based o letures of the ourse Geometry II. Studets are famlar wth the term mappg already durg the lessos at elemetary ad seodary shools. Therefore the dploma dssertato we at frst gve oly a summary of bas owledge about mappgs geometry, the laguage of mathemats textboos. Next part of ths thess ludes theoretal owledge about mappgs geometry the form of deftos ad propostos together wth ther proofs. A great part s dedated to haraterzato of affe mappgs, speally sometres ad smlartes. At the ed rular verso s explaed as a example of a mappg that s ot affe. For better magato the whole text s omplemeted wth a umber of fgures. Theoretal part s followed by a olleto of exerses. Of ourse, solutos of all exerses are gve. Keywords: affe mappg, fxed pots, varat dretos, rular verso 4

5 Úvod Tématem této dplomové práe sou geometrá zobrazeí. Text představue studí materál, terý by mohl být urče apř. studetům třetího ročíu učtelství matematy a Matemato-fyzálí faultě Uverzty Karlovy v Praze. Vyhází z předáše a včeí předmětu Geometre II vedeýh RNDr. Válavem Kubátem, CS. Text by ale bylo možo použít ao doplňový materál př vedeí středošolsého semáře. S pomem zobrazeí se studet setávaí v geometr ž př výue a záladí a středí šole, proto sou v prví aptole uvedey záladí pozaty o geometrýh zobrazeíh v současýh učebíh matematy. Defe uvedeé v této aptole sou tae z příslušýh učeb. Druhá aptola obsahue zpraovaé teoreté pozaty o geometrýh zobrazeíh, se terým se studet sezamuí v předmětu Geometre II. Jsou zde uvedey příslušé defe a věty včetě eh důazů. Prví dvě podaptoly, Dělí poměr a Leárí ombae bodů, sou přípravé a eh zvládutí e pro pohopeí dalšího textu podstaté. V dalšíh podaptoláh sou probráy záladí vlastost afíh zobrazeí, speálí pozorost e pa věováa shodým a podobým zobrazeím v euledovsýh prostoreh. Posledí podaptola e věováa ruhové verz, aožto příladu zobrazeí, teré eí afí. Celý text e pro větší ázorost doplě řadou obrázů, autora se sažla průběžě uazovat a souvslost mez středošolsým a vysoošolsým učvem. Třetí aptola představue sbíru příladů předáše Geometre II. Všeobeě lze ří, že příladů příslušé teor, teré by posytovaly áměty ad ráme učva středí šoly, eí moho. Hlavě vša se doposud evysytovaly pohromadě, bylo třeba e vyhledávat v růzýh zdroíh. Autora se pousla soustředt e do edoho textu, sedott u h termolog a samozřemě uvést eh řešeí tz. zotrolovat uvedeé a spočítat euvedeé výsledy a vlastí přílady vymyslet ta, aby hezy vyházely. Přílady ozačeé [S] a [S] byly převzaty z učeb Geometre I a II oletvu autorů v čele s M. Seaou. Tyto přílady byly přepočítáy a a ěterýh místeh drobě upravey. Autorem příladů ozačeýh [VK] e vedouí práe, RNDr. Válav Kubát, CS. Jedá se o přílady, teré byly v mulýh leteh zadáváy m. př písemé zouše z Geometre II. U těhto příladů autora spočítala a zveřela výsledy. Přílady ozačeé [DT] vytvořla sama autora. K dobrému pohopeí tohoto studího materálu e utá zalost záladíh pomů zavedeýh v předáše Geometre I. Jedá se zeméa o pomy afí a euledovsý prostor, zaměřeí afího prostoru, leárí soustava souřad, adrova. Sbíra příladů předpoládá zalost z aalyté geometre v rozsahu středí šoly a zalost početíh teh předmětu Geometre I. 5

6 . Přehled učva o geometrýh zobrazeíh v učebíh matematy pro záladí a středí šoly 6

7 . Učebe pro záladí šoly S pomem zobrazeí se žá záladíh šol resp. žšíh tříd víeletýh gymází poprvé sezamuí př výue v 6. ročíu resp. v prmě. Učebe [] zavádí zobrazeí z možy A do možy B ao předps, podle terého e aždému prvu možy A přřaze evýše ede prve možy B. V učeb [] e defováo geometré zobrazeí v rově, teré přřazue bodům této rovy é, popř. tytéž body téže rovy, a to podle daého předpsu. Speálě se rozlšuí dva typy zobrazeí shodost a podobost. Obě uvedeá zobrazeí se a této úrov zoumaí především v rově. Motvačím příladem e v [], [3], [6], [] a [] zavedeí pomu shodýh útvarů, aožto útvarů, teré se po přemístěí ryí a maí tedy steý tvar a velost. Teto poem e lustrová a případu shodýh úseče, teré maí steou délu, a shodýh troúhelíů, teré maí steé dély odpovídaííh s stra a steé velost odpovídaííh s vtříh úhlů. Shodé zobrazeí stručě shodost e v [] ásledě defováo ao zobrazeí, teré aždým dvěma bodům A, B přřazue body A, B ta, že A B AB. V učeb [] e zvole opačý postup. Neprve e výše uvedeým způsobem defováo shodé zobrazeí a ásledě sou za shodé prohlášey ty útvary, teré s v daém shodém zobrazeí odpovídaí. Uvedeé učebe pro záladí šoly a víeletá gymáza taé zaváděí poem samodružý bod pro bod, terý př daém zobrazeí splývá se svým obrazem. Jao speálí případy shodýh zobrazeí bývaí v uvedeém pořadí probíráy: osová souměrost, středová souměrost, posuutí a otočeí. Přtom posuutí a otočeí sou zařazey pouze v učebíh [], [] a ao rozšřuíí učvo v učebíh [4], [9]. Učebe [] a [3] zaváděí aví eště rovovou souměrost zradleí. V ásleduíím odstav sou uvedey eběžěší způsoby def použté apř. v []. Osová souměrost se azývá zobrazeí určeé přímou o, ve terém. aždému bodu X o e přřaze bod X X,. aždému bodu X o e přřaze bod X taový, že příma XX e olmá příme o a průsečí příme XX a o e střed úsečy XX. Středová souměrost se azývá zobrazeí určeé bodem S, ve terém. obrazem bodu S e opět bod S,. aždému bodu X S e přřaze bod X taový, že bod S e středem úsečy XX. Posuutí se azývá zobrazeí určeé oretovaou úsečou PP, ve terém e aždému bodu X přřaze bod X taový, že oretovaé úsečy PP a XX sou shodé, rovoběžé a shodě oretovaé. Otočeí se azývá zobrazeí určeé bodem S a oretovaým úhlem α, ve terém. obrazem bodu S e opět bod S,. obrazem lbovolého bodu X S e taový bod X, že X S XS a oretovaé úhly α a XSX sou shodé a shodě oretovaé. 7

8 Rovová souměrost se azývá zobrazeí určeé rovou ω, ve terém. aždému bodu X ω e přřaze bod X X,. aždému bodu X ω e přřaze bod X ta, že příma XX e olmá rově ω a průsečí přímy XX s rovou ω e střed úsečy XX. Učebe [] a [3] pro víeletá gymáza defuí osovou a středovou souměrost obdobým způsobem ao učebe [], pouze e osová souměrost víe prezetováa ao přelopeí rovy podél daé přímy a středová souměrost ao otočeí rovy olem daého bodu o 80. Trohu ým způsobem ale přstupue učebe [3] def posuutí: Posuutí v rově, teré přemísťue daý bod P do daého bodu Q, e určeo oretovaou úsečou PQ. Pro obraz Y lbovolého bodu X rovy platí:. Poud bod X eleží a příme PQ, pa e bod Y vrholem rovoběžíu PXYQ.. Poud bod X leží a příme PQ, leží a í bod Y, a to ta, že XY PQ a eda z polopříme PQ, XY e podmožou druhé. V ostatíh učebíh apř. [3], [4], [6], [7], [9], [] se od těhto způsobů def upouští a edotlvá zobrazeí sou zaváděa a orétíh příladeh lustruííh postup př ostru obrazů. Ve všeh učebíh e speálí pozorost věováa ostruím obrazů růzýh geometrýh útvarů v daýh zobrazeíh, v případě osové a středové souměrost se zoumaí taé osově a středově souměré útvary. V učeb [] e středově souměrý útvar podle bodu S haraterzová ao útvar, terý se ve středové souměrost se středem S zobrazí sám a sebe. Útvar osově souměrý podle přímy o e taový útvar, terý se v osové souměrost s osou o zobrazí sám a sebe. Učebe [] azývá středově souměrým útvarem taový útvar, pro terý exstue bod S maíí tu vlastost, že př otočeí o 80 olem bodu S přede daý útvar sám v sebe. Učebe [4], [9] a [] zaváděí taé pomy přímo shodé a epřímo shodé útvary ásleduíím způsobem a záladě představ o přemísťováí útvarů ta, aby se ryly: O dvou shodýh útvareh budeme říat, že sou přímo shodé, dyž e př přemísťováí v rově apř. pomoí průsvty pouze posuueme a otáčíme. Nepřímo shodé útvary př přemísťováí posuueme, otáčíme a ede z h musíme převrátt v prostoru. Učebe [9] aví zdůrazňue, že dva útvary mohou být současě přímo epřímo shodé. Jao přílad uvádí útvary osově souměré. Učebe [] rozlšue přímo shodé útvary a záladě shodé oretae postupu mez vzory a odpovídaíím obrazy buď ve směru, ebo prot směru pohybu hodovýh ručče. S podobým zobrazeím bývaí žá sezamová př výue v 9. ročíu resp. v vartě. Taé podobé zobrazeí e v [], [8], [] a [4] eprve lustrováo a případu podobýh útvarů, aožto útvarů, teré maí steý poměr vzdáleostí odpovídaííh s bodů. Jao přílad sou uváděy podobé troúhelíy, teré maí steé poměry déle odpovídaííh s stra a steé velost odpovídaííh s úhlů. 8

9 V učeb [5] sou dva geometré útvary ozačey ao podobé, poud e možé ede z h zobrazt pomoí čtverové sítě ta, že zísáme dvo shodýh útvarů. Dále e uázáo, že dva podobé útvary maí steý poměr déle všeh dvo odpovídaííh s úseče. Podobé zobrazeí stručě podobost e v [] ásledě defováo ao zobrazeí, teré aždým dvěma bodům A, B přřazue body A, B ta, že A B AB, de ladé číslo tzv. poměr podobost e pro všehy dvoe bodů steé. Přtom shodost e hápáa ao zvláští případ podobost pro. Učebe [] opět volí opačý postup. Neprve e výše uvedeým způsobem defováo podobé zobrazeí a ásledě sou za podobé prohlášey ty útvary, teré s v daém podobém zobrazeí odpovídaí. Učebe [4] taé v aalog s přímou a epřímou shodostí zavádí pomy přímá a epřímá podobost. Pro rozhodováí o přímé č epřímé podobost formulue tzv. pravdlo směru špe, teré lustrue a příladu dvou podobýh troúhelíů ásleduíím způsobem: Zvolíme-l pořadí vrholů edoho z troúhelíů špam a špy udávaíí pořadí eh odpovídaííh obrazů sou oretováy steým směrem, edá se o přímou podobost. Speálí pozorost e věováa zšťováí, zda sou ěaé geometré útvary podobé. Nečastěším typem úloh, teré využívaí podobost troúhelíů, e a této úrov děleí úseče a daý počet shodýh dílů ebo děleí úseče v daém poměru. Dále se obevue využtí podobost v prax, apř. př zšťováí výšy věže a záladě zalost dély eího stíu ebo př určováí vzdáleost dvou míst v teréu, mez mž e přeáža zemožňuíí přímé měřeí. Podobost e využíváa taé př prá s měřítem. Učebe [], [5] a [0] uváděí ao rozšřuíí učvo a závěr aptoly o podobost taé steolehlost ao speálí případ podobého zobrazeí. V ásleduíím odstav e uvedea defe použtá v []. Steolehlost se azývá zobrazeí určeé bodem S a číslem 0, ve terém. obrazem bodu S e opět bod S,. aždému bodu X S e přřaze bod X ta, že platí SX. SX, přtom pro > 0 leží bod X a polopříme SX a pro < 0 e bod X bodem polopřímy opačé polopříme SX. Bod S se azývá střed steolehlost, číslo 0 se azývá oefet steolehlost. Učebe [5] a [0] volí pro zavedeí steolehlost méě formálí přístup, steolehlost e lustrováa a speálím případu dvou steolehlýh geometrýh útvarů. Je uázáo, že spoe sobě odpovídaííh bodů proházeí středem steolehlost a sobě odpovídaíí přímy sou rovoběžé. V učeb [5] e aví blíže uvede vztah mez steolehlostí a podobostí poměr podobost e rove absolutí hodotě oefetu steolehlost. 9

10 . Učebe pro středí šoly Středošolsé učebe matematy určeé speálě pro gymáza uváděí samostatě zobrazeí v rově a zobrazeí v prostoru. V učeb plametre [5] e zobrazeí v rově defováo ao předps, terý aždému bodu X rovy přřazue právě ede bod X rovy. Zavádí se pomy samodružý bod a samodružý útvar zobrazeí. Poprvé se obevue taé poem detta rozumí se í zobrazeí, př terém e aždý bod samodružý. V samostatýh aptoláh sou postupě probíráa shodá zobrazeí, steolehlost a ao rozšřuíí učvo taé podobá zobrazeí. Shodým zobrazeím v rově se rozumí zobrazeí, ve terém e obrazem aždé úsečy AB úseča A B s í shodá. Aalogy s učebem [4], [9] a [] se zavádí pomy přímá a epřímá shodost. Bez důazu e uvedeo tvrzeí, že aždé shodé zobrazeí e prosté. Podrobě sou probráa ásleduíí shodá zobrazeí osová souměrost, středová souměrost, posuutí a otočeí. Defe těhto zobrazeí a středošolsé úrov zela orespoduí s defem uvedeým apř. v [] vz str. č. 7. Nově zavedeým pomem e zobrazeí verzí daému zobrazeí. Úolem e určt zobrazeí verzí daé osové a středové souměrost, posuutí otočeí. Dále e zdůrazňováo, že apř. přímo z defe plye, že osová souměrost e edozačě určea osou souměrost, ale může být dáa taé dvoí růzýh bodů X, X, estlže aždý z h e obrazem druhého v této osové souměrost. Osou souměrost e potom osa úsečy XX. Podobě lze zadat taé středovou souměrost. Oprot učebím pro ZŠ e patrý výrazý posu v obtížost řešeýh úloh. Nastává přehod od úloh vyžaduííh pouhou ostru osově resp. středově souměrýh útvarů úlohám vyžaduíím větší představvost a rozbor daé stuae. Příladem e třeba využtí osové souměrost př řešeí ěterýh úloh o odrazu a o eratší spo dvou bodů lomeou čárou. Osová souměrost e taé využíváa sestroeí příčy dvou útvarů, terá e daé příme olmá a e touto přímou půlea ebo e ostru troúhelíu, e-l edím ze zadaýh prvů součet ebo rozdíl eho stra. Rověž středová souměrost e využíváa mohostraě. Je uázáo užtí středové souměrost př důazeh růzýh tvrzeí ebo př ostru příčy dvou útvarů, terá e daým bodem půlea. Taé posuutí a otočeí sou defováa shodě s učebí []. Pouze sou a středošolsé úrov prezě zavedey pomy oretovaá úseča, oretovaý úhel a smysl oretae, teré byly dříve zavedey pouze a záladě představ a uvedeím příladů. Zároveň se zdůrazňue souvslost otočeí s dettou a středovou souměrostí. Posuutí a středošolsé úrov umožňue řešt řadu ostručíh úloh, otočeí lze užít a v ostručíh, ta v důazovýh úloháh. 0

11 Zela ovým učvem, uvedeým v [5] pouze ao učvo rozšřuíí, e sládáí shodýh zobrazeí zavedeé ásleduíím způsobem: Jsou dáa dvě shodá zobrazeí Z, Z a X e lbovolý bod rovy; Z : X X, Z : X X. Zobrazeí Z: X X se azývá zobrazeí složeé ze zobrazeí Z, Z v tomto pořadí. Na příladu e uázáo, že sládáí zobrazeí eí obeě omutatví. Speálí pozorost e věováa sládáí dvou osovýh souměrostí s ohledem a růzé vzáemé polohy os. V ásleduíím odstav sou uvedey odvozeé závěry. Složeím dvou osovýh souměrostí, ehž osam sou totožé přímy, e detta. Složeím dvou osovýh souměrostí, ehž osam sou přímy rovoběžé růzé, e posuutí. Jeho déla e rova dvoásobu vzdáleost daýh os, eho směr e olmý oběma osám a e dá eh pořadím. Složeím dvou osovýh souměrostí, ehž osam sou přímy růzoběžé, e otočeí. Jeho středem e průsečí daýh os, velost úhlu otočeí e rova dvoásobu velost úhlu os. Smysl otočeí e urče pořadím os. V učeb [5] e taé a příladu sládáí tří osovýh souměrostí zavedeo ové shodé zobrazeí, terým e posuutá souměrost. Bez důazu e uvedeo, že lbovolé shodé zobrazeí v rově lze složt z edé, dvou ebo tří osovýh souměrostí. Taé steolehlost e v učeb [5] defováa shodě s učebí []. Větší prostor e věová ostruím obrazů růzýh geometrýh útvarů v zadaé steolehlost a hledáí steolehlost, ve teré e obrazem zadaého útvaru ý zadaý útvar. Zdůrazňue se souvslost steolehlost a detty pro a steolehlost a středové souměrost pro. Samostatá aptola e věováa steolehlost ruž a a eím záladě ostru společé tečy dvou ruž. Na středošolsé úrov se obevue užtí steolehlost v důazovýh a ostručíh úloháh. Pomoí steolehlost e apř. doázáo, že a těže, ta výšy v troúhelíu proházeí vždy edím bodem. Steolehlost e využíváa taé v případě, že body ebo přímy potřebé pro ostru leží mmo áresu. Zavedeí podobého zobrazeí v učeb [5] se elší od postupu použtého apř. v učeb []. Je zde aví uvedea souvslost podobost a steolehlost steolehlost s oefetem e podobost s poměrem podobost. Bez důazu sou ově uvedea tvrzeí, že aždé podobé zobrazeí e prosté a že aždou podobost v rově lze rozložt ve steolehlost a shodost. Učebe stereometre [6] avazue a učeb plametre [5]. Zobrazeí v rově rozšřue a zobrazeí v prostoru a zoumá shodá a podobá zobrazeí v prostoru. Shodé zobrazeí v prostoru defue aalogy ao shodé zobrazeí v rově, pouze místo o bodeh v rově mluví o bodeh v prostoru. Bez důazu e uvedeo, že taé v prostoru e aždé shodé zobrazeí prosté. Učebe [6] zdůrazňue, že zatímo v rově s aždou shodost můžeme představt ao přemístěí, v prostoru můžeme vhodým přemístěím ztotožt e přímo shodé útvary.

12 V samostatýh aptoláh sou blíže vyložey rovová souměrost, středová a osová souměrost, posuutí a otočeí. Defe rovové souměrost odpovídá def použté v [], ostatí výše meovaá zobrazeí sou defováa obdobým způsobem ao v rově. Dále e v učeb [6] zmíěo, že rovová souměrost e epřímá shodost, terá má obdobý výzam ao osová souměrost v rově. Všeha shodá zobrazeí v prostoru se daí složt z oečého počtu rovovýh souměrostí. Jao rozšřuíí učvo e v [6] zařazeo sládáí shodýh zobrazeí v prostoru. Podrobě e probráo sládáí dvou rovovýh souměrostí s ohledem a růzé vzáemé polohy obou rov souměrost. V ásleduíím odstav sou uvedey odvozeé závěry. Složeím dvou rovovýh souměrostí, ehž rovy souměrost splývaí, e detta. Zobrazeí složeé ze dvou rovovýh souměrostí s rovam souměrost rovoběžým růzým e posuutí v prostoru. Jeho déla e rova dvoásobu vzdáleost daýh rov souměrost, eho směr e olmý oběma rovám souměrost a e dá eh pořadím. Zobrazeí složeé ze dvou rovovýh souměrostí s růzoběžým rovam souměrost e otočeí olem přímy v prostoru. Osou otočeí e průseče daýh rov souměrost, velost úhlu otočeí e rova dvoásobu odhyly rov souměrost, smysl otočeí e urče pořadím rov souměrost. Bez důazu e dále uvedeo, že aždé shodé zobrazeí v prostoru se dá složt z edé, dvou, tří ebo čtyř rovovýh souměrostí. Jao přílad e uvede další typ shodého zobrazeí v prostoru posuuté otočeí, teré vze složeím otočeí olem osy a posuutí ve směru osy otočeí, t. složeím čtyř rovovýh souměrostí. Taé podobé zobrazeí v prostoru defue učebe [6] steým způsobem ao učebe [5] v rově. Jao záladí podobé zobrazeí e opět uvedea steolehlost. Bez důazu e taé uvedeo, že aždé podobé zobrazeí v prostoru vze složeím steolehlost a ěaého shodého zobrazeí.

13 . Geometrá zobrazeí učebí text 3

14 . Dělí poměr Uvažume afí přímu A se zaměřeím V. Zvolme a příme tř body A, B, C ta, aby A B a B C uvědomte s, že odtud evyplývá A C. Ve V zvolme ao geerátor eulový vetor u. Potom můžeme psát C A x u, C B y u. Díy předpoladu B C e y 0. Lze tedy utvořt zlome bodu C vzhledem bodům A, B. x y a azvat ho dělí poměr Defe : Dělím poměrem bodu C vzhledem bodům A, B azveme číslo C; A, B x. y Je vdět, že v případě, že by bylo A B, byl by dělí poměr aždého bodu C přímy A růzého od bodu B rove edé. Proto sme dělí poměr defoval e pro případ, že A B. x Ověřme yí, že uvedeá defe dělího poměru e opravdu oretí, t. číslo závsí y sutečě pouze a bodeh A, B, C a ezávsí a volbě reprezetata u. Zvolme tedy ý eulový vetor v V. Vetor u zřemě bude stým ásobem vetoru v, t. u v, 0. Potom lze psát C A x u x v x v, C B y u y v y v, a tedy x C ; A, B y x. y Uažme s eště edo edoduhé vyádřeí dělího poměru. Kdybyhom za vetor u zvoll přímo vetor C B, t. u C B, pa by bylo y a C; A, B x. Dělí poměr x bodu C vzhledem bodům A, B by byl urče rovostí C A x C B a vyadřoval by, aým ásobem vetoru C B e vetor C A. Uvědomte s ale, že záps C A C; A, B C B emá smysl. Podíl dvou vetorů vůbe eí defová. Zvolme yí a příme A leárí soustavu souřad LSS daou repérem P, u,. Ozačme příslušé souřade bodů A [a], B [b], C []. Potom A P a u, B P b u, C P u, C A a u, C B b u, a tedy a C; A, B díy C B e b 0. b Teto podíl aožto poměr dvou reálýh čísel ž defovaý e. 4

15 Dělí poměr můžeme steým způsobem defovat taé pro body edorozměrého podprostoru A afího prostoru A. Výše uvedeý vztah potom platí pro dělí poměr tří bodů a příme v prostoru A. Doažme s eho platost v ásleduíí větě. Věta : Nehť A e afí prostor, A {Q, v} e příma v A, A, B, C sou body přímy A, přčemž A B a B C. Nehť ve zvoleé LSS e Q [q,..., q ], v v,..., v. Jsou-l A [a,..., a ], B [b,..., b ], C [,..., ], potom a C; A, B pro aždé, pro teré v 0. b Důaz: Body A, B, C můžeme ve zvoleé LSS obeě zapsat ao A Q α v, B Q β v, C Q γ v. Potom C A γ α v, C B γ β v, γ α C; A, B. γ β Vztahy A Q α v, B Q β v, C Q γ v můžeme ve zvoleé LSS rozepsat v souřadíh ao a q α v, b q β v, q γ v pro aždé,...,. Je-l v 0, můžeme vyádřt a q b q q α, β, γ v v v Dosazeím do vztahu pro dělí poměr C; A, B zísáme rovost q a q a C; A, B. q b q b. Ilustrume uvedeou větu a příladu přímy A v afí rově A vz obr. č.. Nehť A, B, C sou body a příme splňuíí A B a B C. Zvolme v A osoúhlou LSS určeou osam o, o a promítěme postupě do obou těhto os body A, B, C vždy rovoběžě s druhou osou. Ozačme zísaé souřade bodů A [a, a ], B [b, b ], C [, ]. o a b A B v C A a b o Obráze č. 5

16 Věta potom říá, že dělí poměr bodu C vzhledem bodům A, B e rove dělímu poměru průmětů těhto bodů do obou os. Geerátor v přímy A měl ve výše uvedeém případě ve zvoleé LSS obě souřade eulové: v 0, v 0. Kdyby apřílad prví souřade vetoru v byla ulová, t. v 0, v 0 vz obr. č., pa by průměty bodů do osy o splyuly a dělí poměr by pro ě ebyl defová. o v A C a b A B a b o Obráze č. Věta taé ým slovy říá, že př rovoběžém promítáí z edé přímy a druhou se dělí poměr zahovává. Př středovém promítáí z přímy a ou přímu se dělí poměr obeě ezahovává zahovává se pouze v případě dvou rovoběžýh příme. Věta : Nehť sou v afím prostoru A dáy body A, B, A B. Potom zobrazeí, teré aždému bodu C přímy {A, B} růzému od B přřadí dělí poměr C; A, B, e vzáemě edozačé zobrazeí možy {A, B} {B} a možu R {}. Důaz: Na příme p {A, B} zvolme LSS. Zísáme ta vzáemě edozačé zobrazeí p R, teré aždému bodu přímy p přřadí eho souřad. V uvedeém zobrazeí ehť platí A [a], B [b], C []. Vytvořme yí zobrazeí, teré aždému bodu C {A, B}, C B, přřadí dělí poměr C; A, B, t. zobrazeí a C d. b Zísáme ta leárí lomeou fu a b a d, eímž grafem e hyperbola areslete. b b Tato fue představue vzáemě edozačé zobrazeí možy R {b} a možu R {}. Tím e důaz provede. 6

17 Nyí budeme zoumat, a se dělí poměr tří bodů změí, poud zaměíme eh pořadí. Uvažume tř po dvou růzé body A, B, C afí přímy A t. A B, B C, C A. Nehť platí C; A, B d. Naším úolem e určt, čemu sou pa rovy dělí poměry C; B, A, A; B, C, A; C, B, B; A, C a B; C, A. Zvolme a příme LSS, ve teré A [a], B [b] a C []. Potom Odtud dostáváme, že Vdíme, že traspoze bodů a druhém a třetím místě se proeví převráeou hodotou dělího poměru. Pomoí algebraýh úprav vyádříme taé zbývaíí dělí poměry: Z výše uvedeého potom plye, že Věta 3: Je-l S střed úsečy AB, pa S; A, B. Důaz: Střed S úsečy AB e defová vztahem Ozačme S; A, B d. Potom pro dělí poměr d platí S A d S B. Protože střed S úsečy AB e totožý se středem úsečy BA, e taé Z prvího vztahu pro střed úsečy vyádříme druhý vztah obdobě přepíšeme ao Dosazeím obou výrazů do vztahu pro dělí poměr zísáme rovost Zároveň taé platí, že S; B, A porovete s předhozím odstavem. 7. b a d., ; d a b A B C., ;,, ; d b a b b b a b b b a b a b C A B d d d a b a a a b a a a b a b a C B A., ;,, ; d A C B d d B A C. A B A S. B A B S, A B A S. B A B S. odud, d B A d A B

18 Lemma : Nehť sou dáy body B, C, D, E v afím prostoru A. Potom B C D E právě tehdy, dyž S CD S BE. Důaz: Věta má harater evvalee, e proto třeba doázat dvě mplae. Předpoládeme, že B C D E. Postupým úpravam dostaeme Předpoládeme, že platí rovost S CD S BE. Postupým úpravam dostaeme Uvedeé lemma v podstatě v termolog středí šoly říá, že dvě oretovaé úsečy CB a ED určuí steý vetor právě tehdy, dyž maí úsečy CD a BE steý střed S. Lze ho vyádřt taé tvrzeím, že v rovoběžíu se úhlopříčy avzáem půlí vz obr. č [ ] [ ] { } [ ]. BE CD S B E B B D D E B D E B D D E B D E B D D E B D E B D D E B C D C S.,,,,,, E D C B E D C B D E C B C B D E C B B C D E B C B C D B B E B D B C D C D B B E B C D C B S C D E Obráze č. 3

19 . Leárí ombae bodů Ze středí šoly víte, že střed S úsečy AB v afím prostoru A můžeme vyádřt ve tvaru Zvolme LSS, ve teré A [a,..., a ], B [b,..., b ], S [s,..., s ]. Potom pro souřade uvedeýh bodů platí Nabízí se tedy používat pro střed S taé záps, terý ale zatím emá smysl. Než přstoupíme def leárí ombae bodů, e třeba doázat dvě věty, teré podpoří oprávěost zmíěé defe. Věta 4: Nehť A e afí prostor, B,..., B A, β,..., β R. Nehť C, D A sou dva lbovolé body. Je-l a ozačíme-l pa u C u D. Důaz: Abyhom doázal rovost dvou vetorů u C a u D, stačí uázat, že u C u D o. Zřemě Věta 5: Nehť A e afí prostor, B,..., B A, β,..., β R. Nehť C, D A sou dva lbovolé body. Je-l a ozačíme-l pa X C X D. Důaz: Abyhom doázal rovost dvou bodů X C a X D, taé stačí uázat, že X C X D o. Zřemě 9. A B A S....,, de, b a a b a s B A S 0 β β, a D B C B β β D u C u, a D B D X C B C X D C β β. 0 ] [ o u u D C C D C D B D C B B D C B D B C B β β β β β β. D C B D C B D C D B D C B C X X β β β β

20 Dále platí Tím e důaz provede. Obě uvedeé věty lze taé sado doázat ve zvoleýh souřadíh. Uažme s postup v případě věty 5. Pro -tou souřad bodu X C platí Vdíme, že př úpravě bodu X C v souřadíh bod C vypade. Bod X C tedy ezávsí a volbě bodu C, bod C můžeme ahradt ým bodem D. Proto X C X D. Nyí ž můžeme vyslovt slíbeou def leárí ombae bodů. Defe : Nehť A e afí prostor, B,..., B A, β,..., β R. Nehť P A e lbovolý bod. Leárí omba bodů B,..., B s oefety β,..., β budeme začt symbolem, ebo β B... β B, terým budeme rozumět V ýh případeh leárí omba edefueme. Vraťme se eště e zmíěému středu S úsečy AB, terý ž můžeme zapsat symbolem. Součet oefetů této leárí ombae e rove edé, podle defe se tedy správě edá o bod. Je-l bod P počátem LSS zvoleé v afí rově A, můžeme střed S úsečy AB rozepsat ve tvaru vz obr. č. 4. Je zřemé, že bod S ezávsí a volbě LSS, a tedy a a volbě bodu P. Z pohledu leárí ombae e bod P pouze pomoým bodem, ehož volba ám umoží zadaý vetor resp. bod zareslt. Za pomoý bod můžeme třeba zvolt přímo bod A. Potom, ož e zámé vyádřeí pro střed S úsečy AB. 0. ] [ o C D D C C D D C B D C B D C X X D C β β. C b b b b x β β β β β B β. poud, bod. 0, poud, vetor. P B P P B β β β β B A S P B P A P S A B A A B A A A S

21 A S B A P P Obráze č. 4 B P Můžete s taé všmout, že záps u A B pro body A, B afího prostoru A a vetor u z eho zaměřeí V má yí výzam taé ao leárí ombae bodů. Součet eíh oefetů e rove ule, edá se tedy správě o vetor, terý byhom podle defe př volbě P B vyádřl právě předpsem u A B B B A B o A B. Následuíí věta ám uáže, a lze zadaou leárí omba vyádřt ve zvoleýh souřadíh. Věta 6: Nehť A e afí prostor dmeze, B,..., B A, β,..., β R. Nehť ve zvoleé LSS platí B [b,..., b ],,...,. Je-l Je-l 0 a, potom,..., β u β B u β b β b a, potom,..., β X β B X β b β b Důaz: Obě leárí ombae můžeme určt pomoí počátu P [0,..., 0] zvoleé LSS. Pro vetor u β B β B... β B potom platí u β B P β B P... β B P. Jeho -tá souřade e rova u β b p β b p... β b p β b β b... β b, eboť p 0 pro aždé,...,. Podobě bod X β B β B... β B můžeme zapsat ao X P β B P β B P... β B P. Jeho -tá souřade e rova x p β b p β b p... β b p β b β b... β b, eboť p 0 pro aždé,...,...

22 Dále se budeme zabývat leárí ezávslostí bodů. Teto poem eprve adefueme a poté vyslovíme a doážeme evvaletí podmíy pro leárě závslé a ezávslé body. Defe 3: Nehť A e afí prostor, B,..., B A, β,..., β R. Supa bodů B,..., B se azývá leárě ezávslá, estlže platí: β B o β 0 β β... β 0. Neí-l supa bodů B,..., B leárě ezávslá, říáme, že e leárě závslá. Podmía β 0 zaručue, že uvedeá leárí ombae představue vetor. Je zřemé, že leárí ezávslost supy bodů ezávsí a tom, v aém pořadí body uvedeme. Pomy leárí závslost a ezávslost se vždy týaí supy bodů, olv edotlvýh bodů. Pro edoduhost vyadřováí ale budeme v dalším textu hovořt o leárě závslýh a ezávslýh bodeh. Defe 3 ta říá, že pouze trválí leárí ombae leárě ezávslýh bodů e rova ulovému vetoru. Defe leárě ezávslýh bodů e tedy zela aalogá def leárě ezávslýh vetorů. Věta 7: Nehť A e afí prostor. Body B,..., B A sou leárě ezávslé právě tehdy, dyž sou leárě ezávslé vetory B B, B 3 B,..., B B. Důaz: Předpoládeme eprve, že body B,..., B sou leárě ezávslé. Uvažume leárí omba vetorů β B B β 3 B 3 B... β B B, o teré předpoládeme, že e rova ulovému vetoru o, t. β B B β 3 B 3 B... β B B o. Cheme doázat, že v tomto případě sou všehy oefety uvedeé leárí ombae rovy ule. Výše uvedeá rovost zůstae zahováa, poud eí levé straě přčteme vetor β B B, de β R. Platí tedy β B B β B B... β B B o pro aždé β R. Zvolme β R ta, aby β β... β 0, t. položme β β... β. Zísáme ta leárí omba bodů β B β B... β B o. Z předpoladu, že body B,..., B sou leárě ezávslé, pa plye eda β 0, eda ám požadovaá rovost β β 3... β 0. Vetory B B, B 3 B,..., B B sou tedy leárě ezávslé.

23 Předpoládeme yí, že vetory B B, B 3 B,..., B B sou leárě ezávslé. Nehť platí β B o β 0. Cheme doázat, že potom β β... β 0. Výše uvedeou leárí omba bodů můžeme pomoí lbovolého bodu P A přepsat ao β B P β B P... β B P o. Zvolíme-l P B, zísáme rovost β B B β B B... β B B o, t. β B B... β B B o. Z předpoladu, že vetory B B, B 3 B,..., B B sou leárě ezávslé, plye β... β 0. Zbývaíí rovost β 0 pa plye z podmíy Body B,..., B sou tedy leárě ezávslé. β 0. Ja zámo, dva leárě ezávslé vetory určuí rovu dmeze, tř leárě ezávslé vetory určuí prostor dmeze 3 atd. Ve větě 7 vystupue leárě ezávslýh vetorů, teré určuí prostor dmeze. Věta 7 ta vlastě říá, že body B,..., B A sou leárě ezávslé právě tehdy, dyž určuí podprostor dmeze, ebol adrovu prostoru A. Věta 8: Nehť A e afí prostor. Body B,..., B A sou leárě závslé právě tehdy, dyž e alespoň ede z h leárí ombaí ostatíh. Důaz: Nehť sou body B,..., B leárě závslé. Potom exstue eh etrválí leárí ombae, terá e rova ulovému vetoru o, t. β,..., β R, pro terá platí Prví podmíu e třeba splt, abyhom mohl defovat leárí omba bodů, eímž výsledem e vetor, druhá podmía vyadřue, že alespoň edo z čísel β,..., β e eulové. Nehť e apř. β 0. Rozepšme uvedeou leárí omba pomoí bodu P A. Platí β B β B β B β 0 β 0 β B β B... P β B β B P o.... β B P o. 3

24 Díy β 0 můžeme posledí rovost číslem β vydělt. Postupě dostaeme β β B P B P... B P o, β β β β B P B P... B P, β β β β B P B P... B P, β β β β B B... B. β β Teto záps bodu B má smysl, eboť díy podmíe β 0 e součet oefetů uvedeé leárí ombae rove edé a edá se tedy o bod. Jž zmíěý záps vyadřue, že bod B e leárí ombaí ostatíh bodů. Nehť e apř. bod B leárí ombaí ostatíh bodů, t. B β B... β B za předpoladu β... β. Tuto leárí omba za pomo zvoleého bodu P A přepíšeme postupě do tvaru B P β B P... β B P, B P β B P... β B P, B P β B P... β B P o, B β B... β B o. Tato leárí ombae má opět smysl, eboť součet eíh oefetů β... β 0. Dostal sme tedy leárí omba bodů B,..., B, terá e etrválí oefet u bodu B e rove edé a e rova ulovému vetoru o. Body B,..., B sou tedy leárě závslé. Je užtečé s uvědomt, že vztah pro bod B odvozeý v prví část důazu věty 8 byhom mohl zísat taé přímou úpravou vztahu β B β B... β B o. Postup βb β B... β B β β B B... B β β : β ale eí př prá s body matematy oretí. Sam s promyslete, zda lze ve druhé část důazu použít přímý postup B β B... β B, B β B... β B o. 4

25 Věta 9: Nehť A e afí prostor, B 0,..., B A. Je-l A podprostor prostoru A určeý body B 0,..., B, potom A β B β. 0 0 Uvedeou větu lze ým slovy vyádřt taé ta, že bod X A právě tehdy, dyž exstuí čísla β 0,..., β R, β 0... β, ta, že X β 0 B 0... β B. Důaz: Je-l podprostor A prostoru A určeý body B 0,..., B, obsahue eho zaměřeí V vetory B B 0,..., B B 0. Uvažume bod X β 0 B 0... β B, terý lze podle defe 5 př volbě P B 0 zapsat ao X B 0 β 0 B 0 B 0 β B B 0... β B B 0 B 0 β B B 0... β B B 0. Protože bod B 0 A a vetory β B B 0,..., β B B 0 V, e X A. Naopa, estlže X A, lze ho zapsat ao vhodou leárí omba bodů B 0,..., B. Stačí v prostoru A zvolt ao repér {B 0, B B 0,..., B B 0 }. Jsou-l vetory B B 0,..., B B 0 leárě ezávslé, tvoří báz zaměřeí V. Dmeze prostoru A e pa rova a bod B 0 a vetory B B 0,..., B B 0 opravdu tvoří repér B 0, B B 0,..., B B 0, prostoru A. Poud esou vetory B B 0,..., B B 0 leárě ezávslé, elze o repéru v pravém slova smyslu hovořt. V tomto případě vetory B B 0,..., B B 0 etvoří báz zaměřeí V, edá se pouze o možu geerátorů. 5

26 .3 Afí zobrazeí V prví aptole sme vděl, že př rovoběžém promítáí z edé přímy a druhou se zahovává dělí poměr. Taé př středovém promítáí z přímy a přímu s í rovoběžou se dělí poměr zahovává. Taová zobrazeí, terá dělí poměr bodů zahovávaí, azýváme afí. Defe 4: Nehť A a A sou afí prostory. Zobrazeí f : A A se azývá afí, estlže e splěa ásleduíí podmía: sou-l B, C, D A tř po dvou růzé, oleárí body, potom buďto a f B f C f D, ebo b f B, f C, f D sou po dvou růzé, oleárí a eh dělí poměr se rová dělímu poměru eh vzorů, t. platí f B; f C, f D B; C, D. Věta 0: Nehť A a A sou afí prostory. Zobrazeí f : A A e afí právě tehdy, dyž pro aždé tř body B, C, D A platí: estlže exstue λ R ta, že D B λ C B, potom f D f B λ f C f B. Důaz: Věta má harater evvalee, e proto třeba doázat dvě mplae. Nehť e zobrazeí f afí. Zvolme B, C, D A ta, že platí D B λ C B pro sté λ R. Body B, C, D sou tedy oleárí, předpoládeme, že sou aví po dvou růzé. Je-l f B f C f D, potom f D f B o, f C f B o a rovost f D f B λ f C f B platí. Jsou-l f B, f C, f D po dvou růzé, oleárí a pro dělí poměry platí f B; f C, f D B; C, D, potom z předpoladu, že D B λ C B ebol B D λ B C plye rovost B; C, D /λ, a tedy taé f B; f C, f D /λ. Posledí vztah lze přepsat ve tvaru f B f C /λ f B f D, ebol λ f C f B f D f B. Sam ověřte, že esou-l body B, C, D avzáem růzé ož sme v důazu zatím euvažoval, e mplae D B λ C B f D f B λ f C f B splěa pro aždé ee afí zobrazeí f. Nehť platí uvedeá podmía. Zvolme tř po dvou růzé, oleárí body B, C, D A. Potom zřemě exstue λ R ta, že B D λ B C. Podle výše uvedeé podmíy e f B f D λ f B f C. Obě rovost lze podle defe dělího poměru přepsat ve tvaru B; D, C λ a f B; f D, f C λ. Odtud B; D, C f B; f D, f C. Zobrazeí f e tedy afí. 6

27 Věta : Nehť A a A sou afí prostory. Obrazem přímy p př afím zobrazeí f : A A e buďto příma, ebo edoprvová moža. Důaz: Obraz přímy p př afím zobrazeí f zísáme ao možu obrazů všeh eíh bodů, t. f p { f X, X p}. Příma p e edozačě určea dvěma růzým body, ehť p {B, C}, B C. Mohou astat dvě možost: a f B f C, t. obrazy bodů B a C splývaí Zvolme lbovolý bod X p, X B, X C. Body B, C, X sou tedy po dvou růzé, oleárí a přímo z defe afího zobrazeí plye f B f C f X. Všehy body přímy p se v tomto případě zobrazí do edoho bodu. b f B f C, t. body B a C se zobrazí do růzýh bodů Protože poloha lbovolého bodu X p, X B, X C, e edozačě určea hodotou dělího poměru X; B, C a afí zobrazeí dělí poměr zahovává, leží bod f X a příme { f B, f C} a eho poloha e edozačě určea hodotou dělího poměru f X; f B, f C X; B, C. Je-l bod X apř. středem úsečy BC, e bod f X středem úsečy f B f C apod. Poud aopa a příme { f B, f C} zvolíme lbovolý bod Y, pa e obrazem toho bodu X přímy {B, C}, pro terý platí, že X; B, C Y; f B, f C. Toto přřazeí mez body příme {B, C} a { f B, f C} e vzáemě edozačé. Obrazy všeh bodů přímy p vytvoří v tomto případě opět přímu. Věta : Nehť A, V a A, V sou afí prostory. Nehť f : A A e afí zobrazeí. Potom exstue právě ede homomorfsmus ϕ : V V, pro terý platí ϕ X Y f X f Y pro aždé X, Y A. Důaz: Zvolme vetor v V. Potom exstuí body B, C A ta, že v B C. Defume zobrazeí ϕ : V V předpsem ϕ v f B f C. Protože ale exstue víe taovýh uspořádaýh dvo bodů B, C A, ehž rozdíl e rove vetoru v, e třeba ověřt, že rozdíl eh obrazů e pořád steý. Kdybyhom vetor v určl pomoí ýh bodů D, E A, t. dyby taé v D E, pa by z rovost B C D E podle lemmatu plyulo, že S CD S BE. Protože afí zobrazeí f zahovává dělí poměr, zobrazí se střed úsečy CD a střed úsečy f C f D a střed úsečy BE a střed úsečy f B f E. Platí tedy S f C f D S f B f E, odud opět podle lemmatu plye, že f B f C f D f E. Jsou-l tedy ve středošolsé termolog dvě uspořádaé dvoe bodů B, C a D, E umístěím téhož vetoru v V a e-l f : A A afí zobrazeí, sou taé uspořádaé dvoe f B, f C a f D, f E umístěím téhož vetoru ze zaměřeí V. Tím sme ověřl, že zobrazeí ϕ : V V e předpsem ϕ X Y f X f Y pro aždé X, Y A defováo oretě. Zbývá doázat, že se edá o homomorfsmus a že exstue právě ede. 7

28 Abyhom doázal, že ϕ e homomorfsmus, e třeba ověřt dvě vlastost: u, v V: ϕ u v ϕ u ϕ v, u V, λ R: ϕ λ u λ ϕu. ad Uvažume dva vetory u, v V, pro teré můžeme zvolt eh umístěí ta, že u C B a v D C. Potom e u v C B D C D B vz obr. č. 5. D u v v B u C Obráze č. 5 Odtud ϕ u v ϕ D B f D f B f D f C f C f B ϕ D C ϕ C B ϕ v ϕ u ϕ u ϕ v, eboť sčítáí vetorů ve V e omutatví. ad Zvolme vetor u V a předpoládeme, že u o bez tohoto předpoladu by byl důaz trválí. Dále zvolme λ R. Potom můžeme pro vetory u a λ u zvolt body B, C, D A ta, že u C B a λ u D B vz obr. č. 6. λ u B u C D Obráze č. 6 Body B, C, D tedy leží a edé příme a platí D B λ C B. Odtud podle věty 0 plye rovost f D f B λ f C f B. Potom e ϕ λ u ϕ D B f D f B λ f C f B λϕc B λϕu. Sam aoe sporem doažte edozačost. Věta říá, že homomorfsmus ϕ : V V e edozačě urče daým afím zobrazeím f : A A, e s ím asoovaý. Odtud taé vyplývá eho ázev. Defe 5: Nehť A, V a A, V sou afí prostory. Nehť f : A A e afí zobrazeí. Homomorfsmus ϕ : V V, pro terý platí ϕ X Y f X f Y pro aždé X, Y A, se azývá homomorfsmus asoovaý s afím zobrazeím f. 8

29 Nabízí se otáza, estl taé aopa lbovolě zvoleému homomorfsmu ϕ : V V exstue právě edo afí zobrazeí f : A A ta, aby zvoleý homomorfsmus ϕ byl eho asoovaým homomorfsmem. V ásleduíí větě s doážeme, že tomu ta eí. Afí zobrazeí e ale edozačě určeo svým asoovaým homomorfsmem a obrazem edoho bodu. Věta 3: Nehť sou dáy afí prostory A, V a A, V. Nehť e dá homomorfsmus ϕ : V V a ehť e zvolea dvoe bodů B A a B A. Potom exstue právě edo afí zobrazeí f : A A taové, že eho asoovaým homomorfsmem e daý homomorfsmus ϕ a platí f B B. Důaz: Exste afího zobrazeí f doážeme ta, že sestroíme zobrazeí f maíí požadovaé vlastost a ověříme, že e afí. Zvolme X A a defume zobrazeí f : A A předpsem f X B ϕ X B. Nyí doážeme ásleduíí vlastost: a f B B, b ϕ splňue záladí vlastost homomorfsmu asoovaého zobrazeí f, zobrazeí f e afí. ad a f B B ϕ B B B ϕ o B o B ad b Je třeba ověřt, že pro aždé X, Y A e f X f Y ϕ X Y. Zřemě f X f Y [B ϕ X B] [B ϕ Y B] B B ϕ X B ϕ Y B ϕ X B ϕ B Y ϕ X B B Y ϕ X Y. ad Podle věty 0 stačí doázat, že z rovost Z X λ Z Y plye taé rovost f Z f X λ f Z f Y, de X, Y, Z A. Zvolme tedy tř body X, Y, Z a příme ta, že platí Z X λ Z Y. Potom f Z f X ϕ Z X ϕ λ Z Y λϕz Y λ f Z f Y. Sam aoe sporem doažte edozačost. Afí zobrazeí můžeme edozačě určt taé pomoí obrazů vhodého počtu leárě ezávslýh bodů. Věta 4: Nehť A, V a A, V sou afí prostory, ehť dm A. Jsou-l P 0, P,..., P leárě ezávslé body prostoru A a P 0, P,..., P sou lbovolě zvoleé body prostoru A, pa exstue právě edo afí zobrazeí f : A A, pro teré platí f P P pro aždé 0,,...,. Důaz: Nehť sou v afím prostoru A dáy leárě ezávslé body P 0, P,..., P. Podle věty 7 sou tedy vetory u P P 0,..., u P P 0 leárě ezávslé. Protože h e právě, tvoří báz zaměřeí V prostoru A. Zvolme v prostoru A lbovolé body P 0, P,..., P a ozačme u P P 0 pro,...,. 9

30 Z leárí algebry víme, že exstue právě ede homomorfsmus ϕ : V V, pro terý platí ϕ u u P P 0 pro,...,. Afí zobrazeí f defume podle věty 3 předpsem f X P 0 ϕ X P 0, de f P 0 P 0. Potom f P P 0 ϕ P P 0 P 0 P P 0 P a požadovaá rovost tedy platí pro,...,. Podle věty 4 e tedy apř. afí zobrazeí rovy A do prostoru A edozačě určeo obrazy lbovolýh tří leárě ezávslýh bodů A, B, C A, t. obrazy vrholů lbovolého troúhelíu ABC v rově A. Následuíí věta se týá obrazu leárí ombae bodů př afím zobrazeí a říá, že obrazem leárí ombae bodů e steá leárí ombae obrazů těhto bodů. Věta 5: Nehť A a A sou afí prostory, ehť f : A A e afí zobrazeí. Nehť B 0,..., B A a bod X A lze zapsat ve tvaru X β 0 B 0... β B, de β 0,..., β R, β 0... β. Potom f X β 0 f B 0... β f B. Důaz: Lbovolý bod X A lze zapsat ao leárí omba bodů B 0,..., B A právě tehdy, dyž dm A srovete vz větu 9. Rozepšme uvedeou leárí omba pomoí bodu P A. Potom X P β 0 B 0 P... β B P. S využtím záladí vlastost homomorfsmu ϕ asoovaého s afím zobrazeím f zísáme Odtud f X f X f P ϕ X P ϕ 0 Bod f P A v této leárí omba vystupue pouze v rol pomoého bodu, můžeme tedy psát f X Tím e důaz provede. 0 f P β f B β ϕ B 0. 0 P β f B β B 0 P β f B f P. f P. Věta se zabývala obrazem přímy př afím zobrazeí. Následuíí věta uvádí, a se př afím zobrazeí zobrazí dvě přímy, teré sou rovoběžé. Postup př důazu věty 6 lze použít taé pro důaz věty, a rozdíl od důazu uvedeého u věty předpoládá aví pouze zavedeí asoovaého homomorfsmu. 30

31 Věta 6: Nehť p a q sou dvě rovoběžé přímy v afím prostoru A, ehť f e afí zobrazeí prostoru A do prostoru A. Potom f p a f q sou buďto dvě rovoběžé přímy, ebo dva body. Důaz: Uvažume dvě rovoběžé přímy p {P, u} a q {Q, u}, ehž geerátorem směru e steý vetor u o. Každý bod přímy p lze psát ve tvaru X P t u, aždý bod přímy q má tvar Y Q s u, de t, s R. Potom f X f P t ϕ u, podobě f Y f Q s ϕ u. V případě, že ϕ u o V, e f X f P a f Y f Q. Celá příma p se v tomto případě zobrazí do bodu f P, elá příma q se zobrazí do bodu f Q. Poud ϕ u o, e obrazem přímy p příma určeá bodem f P a eulovým vetorem ϕ u, příma q se zobrazí a přímu určeou bodem f Q a steým eulovým vetorem ϕ u. Přímy f p a f q sou v tomto případě avzáem rovoběžé. Větu 6 můžeme lustrovat a případu rovoběžého promítáí afího prostoru A 3 do afí rovy A. Zvolíme-l směr promítáí s rovoběžý s přímam p, q, zobrazí se obě přímy do bodu vz obr. č. 7, v opačém případě se přímy p, q promítou do rovoběžýh příme f p, f q vz obr. č. 8 pro směr s olmý rově A. Ve speálím případě, dy směr promítáí s zvolíme rovoběžý s rovou určeou přímam p, q, mohou přímy f p, f q splyout vz obr. č. 9. p s q p q f p f q A f p f q A Obráze č. 7 Obráze č. 8 p q f p f q A Obráze č. 9 3

32 Věta 7: Nehť A, V a A, V sou afí prostory. Afí zobrazeí f : A A e etví resp. suretví právě tehdy, dyž e etví resp. suretví eho asoovaý homomorfsmus ϕ : V V. Důaz: Věta má harater evvalee a eí tvrzeí se týá dvou vlastostí afího zobrazeí a eho asoovaého homomorfsmu, e proto třeba doázat čtyř mplae. Přpomeňme, že etví zobrazeí zameá prosté, suretví zobrazeí e zobrazeí a. Nehť zobrazeí f eí etví. Potom exstuí dva růzé body X, Y A X Y, pro teré e f X f Y. Odtud ϕ X Y f X f Y o. Protože homomorfsmus ϕ zobrazue eulový vetor X Y a vetor ulový, eí homomorfsmus ϕ etví. Nehť homomorfsmus ϕ eí etví. Potom exstue eulový vetor u V, pro terý ϕ u o. Zvolme body C, D A C D ta, že u C D. Potom ϕ u ϕ C D f C f D. Protože ϕ u o, plye odtud rovost f C f D. Zobrazeí f tedy eí etví. 3 Nehť e zobrazeí f suretví. Zvolme lbovolý vetor v V a body X, Y A ta, že v X Y. Protože e zobrazeí f suretví, exstuí bodům X, Y body C, D A ta, že f C X a f D Y. Potom ϕ C D f C f D X Y v. K vetoru v V sme ašl eho vzor, vetor v C D V. Tím sme doázal, že homomorfsmus ϕ e suretví. 4 Nehť e homomorfsmus ϕ suretví. Zvolme lbovolý bod Y A. Dále zvolme bod C A a ozačme eho obraz f C X A. Body X, Y A určuí vetor v Y X V. Díy předpoladu, že homomorfsmus ϕ e suretví, exstue vetor v V ta, že ϕ v v Y X. Umístěme vetor v v prostoru V ta, že v D C pro vhodý bod D A. Odtud ϕ v ϕ D C f D f C. Porováím se vztahy ϕ v Y X a X f C, zísáme Y f D. Bod D A e tedy vzorem zvoleého bodu Y A. Proto e zobrazeí f suretví. Následuíí věta ám uáže, a lze výpočtem zísat souřade obrazů bodů př daém afím zobrazeí. Věta 8: Nehť A a A m sou afí prostory se zvoleým LSS. Nehť f : A A m e afí zobrazeí. Potom exstue mate A a typu m, a čísla b,..., b m ta, že ozačíme-l souřade lbovolého bodu X A ao X [x,..., x ] a souřade eho obrazu f X X A m ao X [x,..., x m ], platí x a x b, de,..., m. 3

33 Důaz: Uvažume LSS v afím prostoru A daou repérem P, e,..., e, a v prostoru A m určeou repérem Q, v,..., v m,. Zvolíme-l lbovolý bod X [x,..., x ] A, pa ho lze zapsat ve tvaru a eho obraz f X X [x,..., x m ] A m můžeme zapsat ve tvaru Potom platí de ϕ e homomorfsmus asoovaý s afím zobrazeím f. Ozačme souřade bodu f P v prostoru A m ao f P [b,..., b m ]. Odtud máme Porováím posledího výrazu se vztahem zísáme požadovaou rovost. Z uvedeého důazu taé plye výzam mate A a a čísel b,..., b m. Mate A a e matí homomorfsmu ϕ vzhledem bázím e,..., e, a v,..., v m,, čísla b,..., b m představuí souřade obrazu počátu LSS prostoru A. Defe 6: Nehť A a A m sou afí prostory se zvoleým LSS. Nehť f : A A m e afí zobrazeí. Má-l ezávsle proměý bod X A souřade X [x,..., x ] a eho obraz f X X A m má souřade X [x,..., x m ], pa systém předpsů azýváme aalyté vyádřeí daého afího zobrazeí f vzhledem e zvoleým LSS.,...,, de, m b x a x v m x Q X. v v v v v e v m m m m m m b x a Q x a b Q a x b Q x b Q X ϕ 33 e x P X. v m x Q X, x P f X f X e ϕ

34 Věta 9: Nehť A a A m sou afí prostory se zvoleým LSS. Nehť sou dáa reálá čísla a, b, de,..., a,..., m. Přřadíme-l aždému bodu X [x,..., x ] A bod X [x,..., x m ] A m ta, že platí x a x b pro aždé,..., m, zísáme zobrazeí f : A A m, teré e afí. Důaz: Je třeba doázat, že uvažovaé zobrazeí f e afí. K tomu využeme větu 0. Uvažume body X [x,..., x ], Y [y,..., y ], Z [z,..., z ] A, pro teré platí Z X λ Z Y. Ve zvoleýh souřadíh teto vztah můžeme přepsat ve tvaru z x λ z y, de,...,. Podle předpoladu věty platí vztahy x a x b, y a y b, z a z b pro aždé,..., m. Potom máme z x a z x a λ z y λ a z y λ z y. Rovost z x λ z y pro aždé,..., m můžeme azpět přepsat ve tvaru Z X λ Z Y. Tím e doázáo, že zobrazeí f e afí. Věty 8 a 9 souhrě říaí, že afí zobrazeí e př zvoleýh LSS edozačě určeo svým aalytým vyádřeím. Každé afí zobrazeí f : A A m e vzhledem daým LSS určeo systémem rov x a x b,,..., m a aopa, uvedeým systémem rov e vždy dáo afí zobrazeí f : A A m. 34

35 .4 Samodružé body a směry afího zobrazeí Př zobrazeí afího prostoru A do sebe má smysl zoumat, teré body a směry se zobrazí samy a sebe, ebol teré body a směry sou samodružé. V této aptole oba pomy eprve adefueme a poté se budeme zabývat eh vlastostm. Defe 8: Nehť A e afí prostor. Bod X A budeme azývat samodružým bodem afího zobrazeí f : A A, estlže f X X. Věta 0: Nehť A e afí prostor. Moža všeh samodružýh bodů afího zobrazeí f : A A e buďto prázdá, ebo e podprostorem prostoru A. Moža všeh samodružýh bodů může být prázdá, příladem e posuutí o eulový vetor. Středová souměrost má edý samodružý bod střed souměrost, ovšem bod považueme za podprostor s trválím zaměřeím. Důaz: Má-l afí zobrazeí f dva růzé samodružé body B f B, C f C, e samodružý taé aždý bod X přímy BC, eboť bod X má vůč bodům B, C určtý dělí poměr X; B, C a afí zobrazeí dělí poměr zahovává. Proto podle defe 4 e f X; f B, f C X; B, C. Díy tomu, že B f B a C f C, e tedy taé X f X. Obeě: ehť moža všeh samodružýh bodů afího zobrazeí f eí prázdá. Ozačme B 0,..., B maxmálí možou supu leárě ezávslýh bodů taovýh, že aždý z h e př zobrazeí f samodružý. Uvažume bod X, terý leží v podprostoru A prostoru A určeém body B 0,..., B. Podle věty 9 e bod X eh leárí ombaí: X β 0 B 0... β B, de β 0,..., β R, β 0... β. Potom podle věty 5 e f X β 0 f B 0... β f B. Protože aždý z bodů B 0,..., B e samodružý, e f B 0 B 0,..., f B B, a proto taé f X X. Moža všeh samodružýh bodů tedy v tomto případě tvoří podprostor prostoru A dmeze. Větu 0 můžeme taé sado doázat algebray. Níže uvedeý důaz zároveň lustrue obeý postup př výpočtu samodružýh bodů. Nehť A e afí prostor dmeze. V prostoru A zvolme LSS. Pro ezávsle proměý bod X a eho obraz X budeme používat začeí X [x,..., x ], f X X [x,..., x ]. saalyté vyádřeí afího zobrazeí f : A A má pa tvar x a x b, de,...,. 35

36 Bod X A e př zobrazeí f samodružý, estlže f X X. Ja zámo, bod a eho obraz splývaí právě tehdy, dyž maí oba ve zvoleé LSS steé souřade. Musí být tedy splěa podmía x a x b, de,...,, terá má po úpravě harater homogeí soustavy leáríh rov pro ezámýh x,..., x : a x a x... a x b 0, a x a x... a x b 0,... a x a x... a x b 0. Podle Frobeovy věty e moža všeh řešeí této soustavy rov buď prázdá, ebo, poud e hodost h mate soustavy rova hodost rozšířeé mate soustavy, e podprostorem dmeze h. Geometry to zameá, že moža všeh samodružýh bodů afího zobrazeí f e buď prázdá, ebo tvoří podprostor prostoru A dmeze. Pro 0 se edá o bod, pro se edá o přímu, pro rovu atd. Splye-l podprostor samodružýh bodů afího zobrazeí f s elým prostorem A, e f dettou. Defe 9: Je-l V vetorový prostor, pa aždý eho edodmezoálí podprostor V azýváme směrem ve V. Každý eulový vetor u V určue edozačě právě ede směr. Dva eulové vetory určuí steý směr právě tehdy, dyž sou leárě závslé, t. dyž e ede ásobem druhého. Např. vetory u a u určuí steý směr V vz obr. č. 0. V u u Obráze č. 0 Defe 0: Nehť A e afí prostor se zaměřeím V. Je-l f : A A afí zobrazeí a ϕ : V V eho asoovaý homomorfsmus, pa směr V V budeme azývat samodružým směrem afího zobrazeí f, poud ϕ V V. Defe 0 tedy říá, že směr e př afím zobrazeí prostoru do sebe samodružý, estlže se zobrazí sám a sebe př asoovaém homomorfsmu. Přtom obrazem směru V rozumíme možu ϕ V {ϕ v, v V }. O samodružém směru má opět smysl mluvt e v případě homomorfsmu vetorového prostoru do sebe, tedy v případě, že ϕ e edomorfsmus. 36