UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta GEOMETRIE 3

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogá faulta Katedra matematy Dofová, R., Kopeý, M. GEOMETRIE 3 OLOMOUC 008

2 Obsah 5. Shodá zobrazeí (zometre)... 3 Shrutí Souměrost podle adrovy... 7 Shrutí Traslae... Shrutí Souměrost podle středu... 5 Shrutí Klasfae shodýh trasformaí přímy E a rovy E Shodé trasformae a příme Shodé trasformae v rově... 9 Shrutí Izometre v E Shrutí Homotete (steolehlost) Shrutí Grupa homotetí Shrutí Grupa podobýh trasformaí prostoru E Shrutí Podobé trasformae v E a E. Podobost geometrýh útvarů Shrutí Záladí afty Shrutí Klasfae afíh trasformaí v A... 6 Shrutí

3 3 5. Shodá zobrazeí (zometre) Zobrazíme-l troúhelí ABC ve středové souměrost se středem v bodě S, dostaeme troúhelí A B C, terý e shodý s původím troúhelíem. V ásleduííh aptoláh budeme zoumat vlastost taovýh zobrazeí, terá zobrazuí geometré útvary a útvary shodé s těm původím. I zde se ahází ěol úsalí. Př oup ového blatíu musíme vědět, zda potřebueme pravý, č levý. Ty blatíy se sou shodé, ale ěa epřímo. My tušíme, že budou as rovově souměré. Aspoň toto úsalí sme s azačl, ta se poďme pustt do práe. Defe 5.: Měme dá euldovsý prostor E <A, V >. Afí zobrazeí f ostely A do sebe e shodé (zometre) právě tehdy, e-l pro aždé dva body X, Y A XY f(x)f(y). (5.) V zometr se tedy př zobrazeí eměí vzdáleost dvou bodů. Věta 5.: Izometre e prosté zobrazeí v E. Důaz 5.: Věta plye z defe metry (odst. 0 (M), (M)): sou-l X, Y dva růzé body, e XY >0 a tedy f(x)f(y) >0, taže f(x) a f(y) sou dva růzé body. Věta 5.: Afí zobrazeí f prostoru E e právě tehdy zometrí, estlže s ím asoovaé leárí zobrazeí ϕ má alespoň edu z těhto vlastostí: (a) zahovává velost vetorů, t., pro aždý vetor u V platí ϕ(u) u, (b) zahovává salárí souč vetorů, t. pro aždé dva vetory u, v V platí u.v ϕ(u). ϕ(v). Důaz 5.: (a) Je-l u V, M A, N M u, e N - M u a u N M MN f(m)f(n) f(n) - f(m) ϕ(n - M) ϕ(u). (b) Podle věty 6.(e) e pro dva vetory u, v V : u.v / ((u v) - u - v ) /( u v - - u - v ) /( ϕ(u v) - ϕ(u) - ϕ(v) ) / ( ϕ(u) ϕ(v) - ϕ(u) - ϕ(v) ) ϕ(u). ϕ(v). Věta 5.3: Izometre zahovává odhyly (e to zogoálí zobrazeí).

4 4 Důaz 5.3: Pro dva vetory u, v V a pro zobrazeí ϕ, asoovaé s zometrí f, stačí doázat: os (u, v) os (ϕ(u), ϕ(v)). u. v ϕ( u). ϕ( v) Je os (u, v) os (ϕ(u), ϕ(v)). u. v ϕ( u). ϕ( v) Věta 5.4: Afí zobrazeí f prostoru E e právě tehdy zometrí, zobrazue-l aždý artézsý souřadový systém v E opět a artézsý souřadový systém. Důaz 5.4: Měme dá artézsý souřadový systém <P, e, e, e >. Ozačme ϕ asoovaé leárí zobrazeí s f a pro,,..., e ϕ(e ) e '. Je-l f zometre, e podle (7,) pro,,..., e e '.e ' e.e δ, taže <f(p), e, e, e > e artézsý souřadový systém. Je-l aopa <f(p), e, e, e > artézsý souřadový systém, e e ' e ' δ. Měme dáy dva vetory e, y ye. Je ϕ() ϕ(y) ( ϕ( e )) ( y ϕ( e )) e e y y.y. Podle věty 5.(b) e f zometre. Věta 5.5: Afí zobrazeí prostoru E e právě tehdy zometrí, e-l eí mate C ( ) vzhledem e artézsému souřadovému systému S <P, e, e, e > ortogoálí, t., e-l C.C T E. Důaz 5.5: (a) Je-l f zometre s asoovaým leárím zobrazeím ϕ, e pro,,..., ϕ(e ) e, ϕ(e r ). ϕ(e s ) δ rs. Celově dostaeme ( e ).( e ) δ rs, r s rs e. e r s δ rs. Odtud dostaeme C.C T E. (b) Je-l C C T E,, y V, e ϕ() C, ϕ(y) y C. Je tedy (ϕ() ϕ(y)) ϕ() (ϕ(y)) T C (y C) T C C T y T y T ( y). Podle věty 5.(b) e f zomere.

5 5 Věta 5.6: Izometre prostoru E e trasformae, eíž mate má tu vlastost, že det (C) ±. Je to tedy regulárí trasformae. Důaz 5.6: Je-l C mate zometre f, e C C T E, taže det(e) det(c C T ) det(c) det(c T ) (det(c)). Věta 5.7: Moža S všeh zometrí v E e grupou vzhledem opera sládáí zobrazeí. Důaz 5.7: Jsou-l f, g dvě zometre prostoru E s matem C, D, e C C T E, D D T E a složeé zobrazeí g f má mat C.D, pro íž e (C D) (C D) T (C D) (D T C T ) C D D T C T C E C T C C T E, taže g f S. Regulárí trasformae f - má mat C -, pro íž platí: C - (C - ) T C - (C T ) - (C T C) - E - E. Je tedy f - S. Taé zřemě e d A S. Věta 5.8: Izometre v E <A, V > e určea ezávslým body P 0, P,..., P a eh obrazy P 0 ', P ',..., P ', pro ěž platí P P P P,, 0,,,...,. Důaz 5.8: Věta plye z věty 3.4 a z defe zometre. Defe 5.: Dva geometré útvary U,V v E sou shodé (U V) právě tehdy, estue-l zometre f taová, že f(u) V. Věta 5.9: Shodost geometrýh útvarů e evvalee a možě U všeh geometrýh útvarů prostoru E. Důaz 5.9: Platí-l pro dva geometré útvary U, V vlastost U V, estue zometre f ta, že f(u) V. To zameá, že f - (V) U a protože f - e zometre, e V U. Je taé d(u) U, ož začí, že U U. Je-l W geometrý útvar a platí-l U V, V W, estuí zometre f, g taové, že f(u) V, g(v) W. Je tedy (g f)(u) W. Z věty 5.7 pa plye U W.

6 6 Shrutí 5 V pra epoužívaěší, a tedy edůležtěší geometré trasformae sou shodost. Pro svo důležtost v ldsé pra sou témata o shodýh zobrazeíh zařazea do učva záladí šoly. Tato aptola obsahue záladí vlastost všeh shodýh zobrazeí. Protože shodá zobrazeí zahovávaí velost úseče, dostala ázev zometrá. Jž z mate trasformae se často edoduše pozá, že souvsí s ěaou zomerí eí determat e rove ±. Podstatým pozatem této aptoly e sutečost, že složeím dvou zometrí se obdrží opět zometre, ož vlastě vyadřue věta 5.7. Pro učtelsou pra stoí za promyšleí výzam věty 5.8. Pro edozačé určeí druhu rové trasformae estačí zát polohu vzoru a obrazu, dooe a dva body a eh obrazy edefuí edozačě druh rového zobrazeí. K tomu v rově musí být dáy tř body a eh obrazy, aví ezávslé body, tedy troúhelí.

7 7 6. Souměrost podle adrovy Součástí aždého automoblu sou blatíy. Taé evíe trpí a sou ečastě vyměňovaým dílem aždého automoblu. Je aždému asé, že oba blatíy museí být steé, ale př áupu dvou blatíů by se stě prodavač zeptal, zda má být ede pravý a druhý levý. Pravý blatí by se a levou strau automoblu přdělat edal. Právě zde se v pra uplatňue zobrazeí, teré má ázev rovová souměrost. Oba blatíy sou rovově souměré. V žáovsém seštu se často obevuí zobrazeí, terá vzaí osovou souměrost. Pa řeeme, že sou daé útvary osově souměré. Z dřívěšíh aptol víme, že obeě adrova e ( )- dmezoálí podprostor prostoru -dmezoálího. Proto e osa (v osové souměrost) adrovou v prostoru A, rova e adrovou v prostoru A 3. V tomto čláu se dovíme společé vlastost všeh těhto souměrostí, a proto byl zvole ázev souměrost podle adrovy. Ke saděšímu čteí tetu s eště zopaume výzam symbolu [M], ož e podprostor geerovaý možou M. Symbol [XY] v tomto výzamu představue podprostor geerovaý vetorem Y X, taže dostaeme podprostor, obsahuíí všehy eho ásoby. Používáme rověž možovýh symbolů pro použté bodové možy, apř. X A - σ, ož zameá, že bod X eleží v možě σ. Defe 6. Souměrost podle adrovy σ v E (ozačeí f) e edetá zometre v E, terá má tyto vlastost: a) aždý bod adrovy σ e samodružý, b) e-l f(x) X, e XX σ pro aždý bod X A - σ, ) [XX ] σ, d) Xσ X σ. Velm byhom doporučoval aplovat tuto def a osovou souměrost a promyslet výzam edotlvýh vlastostí. Dospěl ste taé u bodu b) formula Obraz aždého bodu ležíího v polorově s hračí přímou o leží v polorově opačé. Podobě ostatí formulae. Věta 6.: Rove souměrost podle adrovy σ : 0 sou:

8 8 pro,,,. (6.) Důaz 6.: Je-l X bod, f souměrost podle adrovy σ, X' f(x), X [,,..., ], X ' [,,..., ] v artézsém souřadovém systému a bod R středem úsečy XX', e,,..., R, R σ, taže 0. Dále e [X, X'] σ, taže e ' (,,...,) (6.) a dostaeme postupě 0, 0,. Po dosazeí do (6.) obdržíme trasformačí rove. Věta 6.: Charaterstým vetory souměrost podle adrovy σ sou všehy vetory zaměřeí adrovy σ s haraterstým číslem a ormálový vetor adrovy σ, terý má haratersté číslo -. Důaz 6.: Nehť 0 e rove adrovy σ. Je-l u (u, u,..., u ) vetor zaměřeí adrovy σ, e 0 u. Je-l ϕ zobrazeí asoovaé s adrovovou souměrostí, ϕ(u) u' (u ', u ',..., u '), e pro,,, : u u u, taže u u, a tedy. Normálový vetor adrovy σ e (,,..., ). Ozačme ϕ() ( ', ',..., ). Pa platí

9 9 -, taže -. Věta 6.3: Souměrost podle adrovy σ e epřímá volutorí trasformae prostoru E. Důaz 6.3: Je-l <a, a,..., a - > báze zaměřeí adrovy σ, ormálový vetor adrovy σ, e < a, a,..., a -, > báze zaměřeí V prostoru E. Podle věty 6.3 e ϕ(a ) a (,,..., -), ϕ() -, taže determat mate přehodu od báze <a, a,..., a -, > báz <ϕ(a ), ϕ(a ),..., ϕ(a - ), ϕ()> e Ivolutorost adrovové souměrost vyplývá ze symetre ostrue bodu X, souměrého bodu X podle adrovy σ v def 6.. Věta 6.4: Ke aždým dvěma růzým bodům X, Y prostoru E estue edá adrova σ, podle íž sou oba body avzáem souměré. Důaz 6.4: Je-l bod R středem úsečy XY, e R [Y - X] zřemě adrovou, podle íž sou daé body souměré. Tato adrova e určea edozačě. Věta 6.5: Každá zometre v E se dá rozložt a evýše souměrostí podle adrov. Důaz 6.5: Nehť P 0, P,..., P e ezávslýh bodů, f zometre v E, pap ' f(p ) ( 0,,,..., ). Je P P P P ( 0,,..., ). Nadrovové souměrost, a ěž se rozloží zometre f, sestroíme v ěola roíh:. Je-l P 0 P 0 ', vyeháme prví ro a předeme e druhému rou. Jsou-l P 0, P 0 ' dva růzé body, provedeme prví ro: Podle věty 6.4 estue edá adrova σ souměrost bodů P 0, P 0 '. Nehť sou bodům P,...,P podle adrovy σ souměré postupě body P, P,...,P. Mohou astat tyto dvě možost:

10 0 a) P P '. V tomto případě vyeháme druhý ro a předeme e rou třetímu. b) Body P a P sou od sebe růzé. V tomto případě opět estue edá rova souměrost σ obou bodů. Protože P 0 'P P 0 P P 0 'P, e P 0 ' σ, taže σ (P 0 ') P 0 ', σ (P ) P ' a body P,..., P se postupě zobrazí do bodů P,..., P.. Předpoládeme, že sme ž provedl roů, t. ašl sme postupě adrovy σ, σ,..., σ ( < ), v hž leží body P 0 ', P ',..., P -, taovýh, že složeím souměrostí podle těhto adrov sme zobrazl body P 0, P,..., P - postupě do bodů P 0 ', P ',..., P -, body P, P,..., P postupě do bodů P, P ( ),...,P. Pro body P, P ' mohou astat dvě možost: a) P P '. Pa v případě proes uočíme a můžeme ří, že f δ δ -... δ. V případě < předeme e ( ) rou. b) Jsou-l body P a P ' růzé, estue edá adrova σ, terá e adrovou souměrost bodů P a P ' a platí P P P P P ( ) P P ( ) P P ( )( ) P ( ) P P, taže P σ. Estue tedy přrozeé číslo r < ta, že estuí adrovové souměrost σ, σ,..., σ r, pro ěž e f σ r σ r -... σ. Věta 6.6: Izometre v E e právě tehdy přímé zobrazeí, dá-l se rozložt a sudý počet adrovovýh souměrostí a epřímé, dá-l se rozložt a lhý počet adrovovýh souměrostí. Důaz 6.6: Věta plye z věty 6.3. Defe 6.: Souměrost podle adrovy v E se azývá osová souměrost, souměrost podle adrovy v E 3 se azývá souměrost podle rovy. Shrutí 6 V tomto čláu byly v def a v šest větáh shruty všehy důležté vlastost adrovové souměrost. Ta e ž defováa řadou vlastostí, teré zobrazeí musí mít, aby bylo adrovovou souměrostí. Věta 6. ám umoží pro pohodlě v EXCELU zobrazovat geometré útvary podle osovýh souměrostí. Je to včeí, teré vřele

11 doporučueme. U řady prostorovýh útvarů se setáváme se souměrostí podle rovy. K pohopeí věty 6.5 budete as potřebovat čtverečový papír a všehy čley rody. Bude to zouša eí soudržost a odolost vůč epřízvým vlvům. Nareslete troúhelí P 0 P P a s ím shodý troúhelí P 0 P P (třeba ěa otočeý) a začěte sestroovat edotlvé osové souměrost, teré převedou troúhelí P 0 P P v troúhelí P 0 P P. Vydrží-l elá roda pospolu až do oe, může Vám rodu aždý závdět. Výzam edotlvýh vět e zřemý a e zbytečé, abyhom e v tomto shrutí zovu toval.

12 7. Traslae Posuutí ebol traslae e zobrazeí, teré se v pra často používá. Vele áročé a přesost e třeba položeí odpadího potrubí. To musí mít vždy určtý slo a zřída dy teré dovolue, aby byl velý. Často rozhoduí mlmetry, a ta přpravt v zem podloží, a ěž se pa potrubí položí, e práe dost áročá. S položeým potrubím se dodatečě e velm těžo mapulue, taže vše e potřebí přpravt ta, aby slo potrubí byl poud možo ostatí v elé déle aalzae. Doílí se toho tím, že ad teréem umístíme v dostatečé vzdáleost dvě vodorové desy (ozačme e A a B) ta, aby slo od desy A dese B byl žádaý slo budouího potrubí. Jede člově se dívá přes desu A dese B a druhý člově zasuue do výopu předmět tvaru písmee T, de svslá ožča toho zařízeí e vetor posuutí a vodorová část toho zařízeí musí být v zárytu s oběma desam. Bočí pohled a toto zařízeí představue obr. 7.. Předmět tvaru T Zatlučeé ůly, teré drží desu Podloží Obr.7. Podloží e tímto způsobem možo přpravt velm dooale. Poďme se yí a toto zobrazeí podívat podrobě. Defe 7.: Traslae τ e zobrazeí prostoru E <A, V >, defovaé rovostí X X a, (7.) de X, X ' A, X ' τ (X), a V, a e vetor traslae a určue směr traslae, a e velost traslae. Je-l a o, e τ d A traslae evlastí. Je-l a eulový vetor, traslae e vlastí.

13 3 Věta 7.: Vlastí traslae v E má tyto vlastost: a) Je přímou zometrí, b) emá samodružýh bodů, ) všehy eí směry sou samodružé s haraterstým číslem. Důaz 7.: Rove (7.) uazue, že traslae e afí zobrazeí v E s edotovou matí E. Protože det(e), e správé tvrzeí a). Z (7.) dostaeme rov pro samodružé body X X a, terá pro eulový vetor a emá řešeí, taže tvrzeí b) e správé. Z rove (7.) rověž plye, že rove leárího zobrazeí, asoovaého s traslaí τ, má rov u' u. Je to tedy deté zobrazeí prostoru V. Odtud plye tvrzeí ). Věta 7.: Složeím dvou souměrostí podle adrov σ, σ spolu rovoběžýh dostaeme trasla, eíž směr e olmý oběma adrovám a velost e rova dvoásobu vzdáleost adrov σ, σ. Důaz 7.: Ozačme s souměrost podle adrovy σ (,). Rova σ ehť má rov 0, rove rovy σ budž. 0 d Z rov (6.) dostaeme pro,,..., : s :, s : d d 4 4 d ( ) d.

14 4 ( d) Je tedy s s :., de (,,, ) e ormálový vetor rov σ a σ. Složeé zobrazeí s s e tedy traslae s vetorem ( d)., ehož velost e dáa vztahem ( d).. d.. d d.. Věta 7.3: Moža T všeh traslaí prostoru E tvoří Abelovu grupu vzhledem e sládáí zobrazeí, zomorfí s grupou <V, >. Důaz 7.3: Jsou-l τ a : X' X a, τ b : X' X b dvě traslae, e τ b τ a : X ' (X a) b X (a b). Je tedy τ b τ a τ ab, taže zobrazeí a τ a e homomorfsmem grupy <V,> s grupou <T, >. Toto zobrazeí e vša zřemě vzáemě edozačé, taže e zomorfsmem. Protože e <V, > Abelova grupa, e < T, > Abelovou grupou. V < T, > e eutrálím prvem traslae d: X ' X o, traslae verzí trasla τ: X' X a e traslae τ - : X' X - a. Shrutí 7 V úvodu sme uázal použtí traslae př poládáí odpadího potrubí. Defe traslae e dáa vzorem (7.), věta 7. postulue tř záladí vlastost traslae: e přímou zomerí, emá samodružé body a všehy směry sou samodružé. Trasla můžeme doílt složeím dvou adrovovýh souměrostí, de obě adrovy sou spolu rovoběžé. Ve třetí větě tohoto čláu sme uázal důležtou souvslost mez struturam <V, > a <T, >. Obě strutury sou zomorfí, z čehož plye apř. možost zázort sládáí dvou traslaí součtem vetorů.

15 5 8. Souměrost podle středu Ve výčtu zometrýh trasformaí, teré mohou být realzováy v prostoru E sme dospěl e středové souměrost. Způsob zobrazováí e velm edoduhý, taže teto čláe evyžadue žádou zvláští přípravu. Vysytue se poem volutorí zobrazeí, ož v podstatě zameá, že zpátečí esta od obrazu vzoru probíhá podle zela steýh pravdel, ao esta od vzoru obrazu. Odborě řečeo, trasformačí rove verzího zobrazeí sou aprosto steé ao trasformačí rove zobrazeí. Tuto vlastost, a pozáte v odborém tetu, má právě středová souměrost. Trasformačí rove se odvozuí z vele edoduhého ázoru v prostředí E. X S X Defe 8. Souměrost s podle středu S A e trasformae prostoru E <A, V >, defovaá rovostí X ' S (S - X), (8.) de X, X ' A, X' s(x). Bod S se azývá střed souměrost. Věta 8.: Středová souměrost s v E <A, V > se středem S má tyto vlastost: a) S e edým samodružým bodem souměrost s, b) s e volutorí zobrazeí, ) e-l X' s(x), e bod S středem úsečy XX, d) e-l v daém artézsém souřadovém systému X [,,, ], X' [,,, ], sou rove středové souměrost s s: - a (,,..., ), (8.) a) přčemž S a, a,..., a e) pro lhé e středová souměrost v E epřímou zometrí, pro sudé e zomerí přímou, f) ve středové souměrost sou všehy směry samodružé s haraterstým číslem -, g) dvě přímy souměré podle středu sou esouhlasě rovoběžé.

16 6 Důaz 8.: a) Pro samodružé body e X S (S X) X S S X X S. b) Je-l s defováa roví (8.), e s - defováo roví X S (S X ) X' S (S X). Je tedy s s -, taže s e volutorí zobrazeí. ) Z (8.) dostaeme X - S - (X - S) S X - ( S X), z čehož e zřemé, že (X 'XS) -. S e tedy středem úsečy XX. d) Pro S [s, s,, s ] e podle za ) s, taže ' - s (,,...,). Je-l tedy s a, e s a. e) Z (8.) dostaeme mat středové souměrost E. Protože (-E) (-E) T (-E) (-E) E, e s zometre, a protože det(-e) (-), e tvrzeí e) správé. f) Rove pro asoovaé leárí zobrazeí ϕ se středovou souměrostí s vyplývaí z (8.): ϕ: u - u (,,..., ), de u (u, u,, u ) V, ϕ(u) u (u, u,, u ). Je tedy u' -u. g) plye z (f): e-l p: X M tu příma, e s(x) s(m) - tu. Věta 8.: a) Složíme-l dvě středové souměrost s, s o středeh S, S, dostaeme posuutí o vetor.( S - S ). b) Složíme-l středovou souměrost s podle středu S s traslaí, určeou vetorem a, dostaeme středovou souměrost se středem S S a. Důaz 8.: a) Z rov pro souměrost s, s plye s :X ' S (S - X), s : X' S (S - X) dostaeme rove pro složeé zobrazeí s s : X '' S (S X ') S (S S ) - (S - X) S (S - S ) (X S ) X (S S ).

17 7 b) Budž s: X ' S (S - X) rove středové souměrost, τ: X ' X a rove traslae. Rove složeého zobrazeí sou τ s: X'' X ' a S (S - X) a S.a ((S.a ) - X) S (S X). Shrutí 8 Souměrost podle středu ebol středová souměrost e zobrazeí, terým se většou a šoláh v hodáh geometre začíá. Na druhou strau estue odborá lteratura, terá středovou souměrost defue ao otáčeí o oretovaý úhel velost π (ebo - π). Problém e v tom, že rotae emůže být defováa v prostoru E, zatímo středová souměrost ao. Proto o rota (otáčeí) budeme mluvt až v aptole o aplaíh zometrýh trasformaí v prostoru E. Z obou uvedeýh vět sou zřemé záladí vlastost středové souměrost. Za úvahu stoí sutečost, že dyž sou všehy směry samodružé s haraterstým číslem -, e apř. středová souměrost v E přímou zomerí, ož můžeme doumetovat tím, že středová souměrost v rově eměí smysl obíháí troúhelía.

18 8 9. Klasfae shodýh trasformaí přímy E a rovy E Shodé trasformae se ve šolsé pra realzuí hlavě v prostředí E, tedy v rově, v žáovsém seštu. Kromě všeh uvedeýh zometrýh trasformaí zde eště přbude rotae olem ěaého bodu. Ve shrutí 8 sme s řel, že rotae eí realzovatelá v obeém prostředí E, a to proto, že provedeí této trasformae e třeba mít ee bod ao střed rotae, ale taé oretovaý úhel, terý e defová počátečím a oovým rameem, a tato ramea sou dvě polopřímy se společým počátem, tedy určuí edozačě zaměřeí rovy. Rotae e tedy rovová záležtost. V tomto čláu se budeme zabývat všem možostm, teré vzou aplaí vetorové rove X X.C M v prostředíh E a E. V této vetorové rov byhom vlastě mohl psát všehy symboly tučě, protože symboly X, X M mohou být hápáy ao polohové vetory stýh bodů (polohový vetor obrazu bodu X, polohový vetor bodu X, polohový vetor obrazu počátu souřadé soustavy v daém zobrazeí), popř. bude vetorem e to M ve steém výzamu ao výše. Ještě přpomíáme, že mate C má v prostředí E pouze ede řáde a ede sloupe, taže e to edé písmeo, teré př zapsáí do matové závory má tvar apř. (a). Teď už se poďme a ty trasformae podívat. 9. Shodé trasformae a příme Na příme E ( <p, [u]>) měme dá (artézsý) souřadový systém <P, e>. Je-l f zometre přímy E, X p, f(x) X ', X [], X ' ['], e f: a b, de (a).(a) T (), taže a. Jsou tedy možé dva případy: a) a. Rove trasformae e tedy Zde sou mysltelé opět dva případy: α) b 0. f má rov '. Je to tedy deté zobrazeí. f: ' b. (9.) β) Poud e b eulové číslo, e f traslae o vetor b (b) o velost b b) a -. Rove trasformae e pa ' - b. Podle věty 7.(d) se edá o středovou souměrost se středem S [ b ].

19 9 9. Shodé trasformae v rově V rově E ( <σ, V >) měme dá artézsý souřadový systém <P, e, e >. Je-l f zometre rovy, X σ, f(x) X, X [, y], X ' [', y'] a má-l f rove f: ' a by p (9.) y' dy q, musí být a a b 0 (9.3) b d d 0 Je tedy a, ab d 0, (9.4) b d. Vzhledem prví rov ve (9.4) můžeme položt a osα. Pro sou pa tyto možost: a) s α. Dosadíme-l do druhé rove (9.4), dostaeme b.osα d.sα 0. Můžeme zde položt b t.sα, d -t.osα. Z posledí rove (9.4) pa dostaeme t.(s α os α), (9.5) odud dostaeme t. (9.6) Nyí musíme uvažovat dvě možost: a ) t. V tomto případě rove trasformae abudou tvaru f: '.osα y.sα p y'.sα - y.osα q. (9.7) Mate této trasformae e os α s α s α os α a eí determat e rove -. Je to tedy epřímá zometre.

20 0 Budeme yí hledat samodružé směry. Úloha se reduue a alezeí haraterstýh vetorů s orétím haraterstým čísly. Korétěší představu můžeme zísat pomoí obr. 9.. Zobrazeí ϕ asoovaé zobrazeí f, teré e dáo vztahem (9.7), bude dáo steým předpsem s tím rozdílem, že posuutí, daé vetorem (p, q), emá a zobrazováí vetorů vlv. Ozačíme-l w (w, w ) obraz vetoru w (w, w ) v zobrazeí ϕ, platí aalogy ve shodě s (9.7) ϕ: w w osα w sα w w sα - w osα Rove pro samodružý směr s haraterstým vetorem u (u, u ) a haraterstým číslem sou u u.osα u.sα u u.sα - u.osα. (9.8) w w P u Obr. 9. u u Úpravou dostaeme (osα - ).u u.sα 0 Podmía etrválost řešeí této soustavy rov e u.sα - (osα ).u 0. (9.9) os α s α s α os α 0 Charaterstá rove trasformae e tedy - os α - s α 0 Pro dostaeme z (9.9) (osα - ).u u.sα 0,

21 taže u (sα, - osα) e vetor, určuíí samodružý směr s haraterstým číslem. Pro - dostaeme podobě v.sα ( - osα).v 0, (9.0) odud dostaeme vetor v (osα -, sα), určuíí samodružý směr s haraterstým číslem -. Protože u.v 0, sou oba samodružé směry trasformae (9.9) sobě olmé. Dva samodružé směry s haraterstým čísly a - sou typé pro osovou souměrost. Neuvažume zatím vetor (p, q). Směrový vetor osy o musí být vetor u s haraterstým číslem. Protože zázorěí vetoru u (sα, - osα) eí a edoduhé, sažme se místo vetoru u vzít vetor edotový a oleárí s u. Ozačme ho apř.. Protože výraz - osα se vysytue ve vzoríh pro polovčí úhel, vyádřeme obě souřade podle vzorů pro polovčí úhel. Dostaeme α α α u (s os, s ) (9.) Abyhom ho mohl ormovat, vypočteme eho velost, t. u 4s α os α 4 4s α 4s α (os α α s ) s. α Pro 0 α π e 0 s α, toto rozmezí ám e zázorěí osy o stačí, taže můžeme absolutí hodotu vyehat. Po ormováí dostaeme α α (os, s ), (9.) ož e vetor, terý dovedeme v ašem souřadovém systému <P, e, e > zareslt. Osa o má, poud (p, q) e ulový vetor, rov α y tg., taže e taé možo velm edoduše zázort. Proberme yí ěteré zvláští případy. ) α 0 Z (9.7) pa dostaeme osα, sα 0, taže rove trasformae f se zedoduší: f: ' p y' -y q. (9.3) Pro samodružé body trasformae (9.3) dostaeme rove p y -y q,

22 po úpravě 0 p y q. Nyí můžeme rozlšovat tyto možost:.) p 0, q 0 V tom případě estue příma samodružýh bodů o s roví y 0 Trasformae f bude pa mít rove f: ' y' -y. (9.4) To e osová souměrost v rově s osou souměrost o.) p 0, q e eulové V tomto případě dostaeme přímu samodružýh bodů o rov y q.jstě dovedeme trasformačí rove (9.4) pro teto případ přzpůsobt..3) p e eulové V tom případě dostaeme trasforma, terá emá samodružýh bodů a z eíhž rov (9.3) e zřemé, že se dá rozložt a osovou souměrost o s rovem (9.4) a a trasla τ s rovem τ: ' p y' y q. Proto e ázev tohoto zobrazeí posuuté zradleí. Posuuté zradleí e tedy zobrazeí, teré emá samodružé body a má dva sobě olmé samodružé směry; ede směr má haratersté číslo, druhý má haratersté číslo -. ) α e eulové. Z podstaty vě e zřemé, že pro α π/ dostaeme trasformačí rove pro osovou souměrost, eíž osa e symetrála. a 3. vadratu, a pro α π dostaeme osovou souměrost podle osy o y. a ) t -. Rove trasformae f budou mít tvar f: '.osα - y.sα p y'.sα y.osα q. (9.5) Jedá se o přímou trasforma, protože mate trasformae e os α s α s α os α,

23 3 os α s α e eí determat. s α os α Trasformae (9.5) e přímá zometre. Určíme rove pro samodružé směry: ϕ: u u.osα - u.sα u u.sα u.osα, po úpravě u.(osα - ) - u.sα 0 u.sα u.(osα - ) 0. (9.6) Tato soustava má řešeí, e-l osα sα sα osα 0. Charaterstá rove pro samodružé směry tedy e (osα - ) s α 0. (9.7) Nyí musíme rozlšt: β ) sα 0 Zde mohou astat dvě možost: β ) os α. Z (9.7) plye a rove zometre (9.5) budou mít tvar f: ' p y' y q. To sou rove traslae (vz odst. 8), tedy zometre, terá má všehy směry samodružé s haraterstým číslem a emá žádý samodružý bod, poud vetor (p,q) e eulový. Je-l p q 0, e f deté zobrazeí, teré má všehy body samodružé. β ) osα -. Z (9.7) pa dostaeme - a rove zometre budou f: ' - p (9.8) y' - y q. To sou rove středové souměrost se středem souměrost S [p/, q/]. Podle odstave 7 má středová souměrost všehy směry samodružé s haraterstým číslem -. β ) sα e eulové číslo.

24 4 Izometre (9.5) emá žádé samodružé směry a samodružé body můžeme určt ze soustavy rov.osα - y.sα p y.sα y.osα q, terou upravíme a soustavu.( - osα) y.sα p -.sα y.( - osα) q, maíí edé řešeí, eboť determat mate soustavy osα sα sα osα ( - osα) s α e vzhledem současým podmíám eulový. Izometre (9.5) má tedy edý samodružý bod. Zvolíme-l e za počáte souřad P, bude p q 0 a rove (9.5) se zedoduší a tvar f: '.osα - y.sα y'.sα y.osα. Je-l X [,y] lbovolý bod rovy, e X - P (, y) a X - P (.osα - y.sα,.sα y.osα), taže PX (X P) y, PX (X - P) (.osα - y.sα) (.sα y.osα) y, protože PX PX. Dále e os<(x - P, X - P) ( ( y ).os α y ) y. osα. y.osα y.sα y.sα y.os. ((.osα y.sα) ( α y y ).os α s α.s.osα (.sα y.osα ) α y.os α Izomere (9.5) e v tomto případě rotaí olem bodu P o oretovaý úhel α (v ladém směru). Další přímou trasforma dostaeme pro případ b) -sα. Z druhé rove (9.4) dostaeme, podobě ao v případě a) b.osα - d.sα 0 a po dosazeí

25 5 b t.sα, d t.osα do posledí rove (9.4) dostaeme opět rov (9.5) a podobě ao v případě a), musíme uvažovat dvě možost: b ) t. Pa e b sα, d osα a rove trasformae f budou mít tvar f: '.osα y.sα p y' -.sα y.osα q. (9.9) Je to přímá zometre, eboť os α s α s α. os α Protože platí os(-α) os(α) a s(-α) - s(α), vzou trasformačí vzore (9.9) z trasformačíh vzorů (9.5) záměou úhlu α za úhel (-α). Vztahy (9.9) sou tedy pro (p, q) o trasformačím rovem rotae se středem v P a úhlem otočeí (-α). b ) t -. Pa e b -sα, d -osα a rove trasformae f budou mít tvar f:.osα - y.sα p y -.sα - y.osα q. (9.0) Tato trasformae e epřímá a vede opět osové souměrost s edým rozdílem, že směre osy o bude yí záporá. Důsledy sou čteář stě zámy. V rově tedy mohou estovat ásleduíí typy zometrí: ) Přímé zometre: a) detá trasformae má všehy body samodružé a všehy směry varatí, b) rotae má edý samodružý bod a žádý reálý samodružý směr. Jeím varatem e úhel rotae, ) středová souměrost má edý samodružý bod a všehy směry samodružé s haraterstým číslem -, d) traslae emá žádý samodružý bod a má všehy směry varatí. ) Nepřímé zometre: a) osová souměrost má přímu samodružýh bodů, eíž směr e varatí. Jeí druhý samodružý směr má haratersté číslo - a e olmý varatímu směru,

26 6 b) posuuté zradleí emá samodružé body, má dva sobě olmé samodružé směry. Jede z h e varatí, druhý má haratersté číslo -. Shrutí 9 V obsáhlé 9. aptole sme zísal přehled o všeh zometrýh trasformaíh a příme, a zeméa v rově. Přehled všeh přímýh a epřímýh zometrýh trasformaí v rově e uvede a o čláu. Uveďme zde pozámu o tom, že vzore (9.5) představuí rota olem počátu v ladém směru rotae, t. prot směru otáčeí hodovýh ručče, o úhel α, rove (9.9) sou rovem rotae olem počátu P v záporém směru rotae, t. po směru otáčeí hodovýh ručče. Tato sutečost e zřemá taé z toho, že os(-α) os(α), zatímo s(-α) - s(α), taže změíme-l směr otáčeí, fue osus se ezměí, avša fue sus změí zaméo. Výzam epřímýh zometrí daýh vzor (9.7) a (9.9) se eryhle pohopí př vymodelováí a počítač. Otáčeí olem lbovolého bodu S P se provádí ve třeh roíh: ) traslae s vetorem P S (tedy vlastě posuutí do počátu souřadé soustavy), ) rota olem počátu souřadé soustavy a 3) posuutí s vetorem S P (tedy ldově řečeo vráeí zpět ).

27 7 30. Izometre v E 3 Provést ompleí aalýzu všeh zometrýh trasformaí v prostředí E 3 e ámět a dplomovou prá. V tomto čláu s rozhodě eděláme žádé aděe a eí provedeí. Půde o výčet těh záladíh trasformaí s tím, že příslušé trasformačí rove ěa doplíme, přčemž využeme ašh zalostí z mulého čláu a z aptol o zometrýh trasformaí v E. Izometre v E 3 <A, V 3 > e vzhledem lbovolému artézsému souřadovému systému S <P, e, e, e 3 > pro X A, f(x) X, X [, y], X [', y'] dáa rovem f: a by z p y d ey gz q (30.) z h y z r, (oefet f sme vyehal, aby se př ručím psaí emohlo zamět f za f ), de a d h a b 0 0 b e d e g 0 0 (30.) g h 0 0 Musí tedy být a d h, ab de h 0, a dg h 0, (30.3) b e, b eg 0, g. Noho as epřevapí, že výpočtu devít oefetů emáme dspoz devět ezávslýh rov. Kdyby tomu ta bylo, estovala by edá zometrá trasformae v E 3. Víme, že sutečost e á. Mohl byhom soustavu (30.3) podrobě zoumat a zšťovat edotlvé možost. Je to dost zdlouhavá a áročá čost. Rozhodl sme se epostupovat touto estou. Proberme v edotlvýh bodeh edotlvé možost:. Z aptoly 6 dovedeme apř. staovt trasformačí rove lbovolé rovové souměrost. Kdybyhom zvoll třeba rovu z 0, dostaeme z trasformačího vztahu ( )

28 8 trasformačí rove (30.) ve tvaru p y y q (30.4) z -z r. To e ale zřemě složeá trasformae, a to rovová souměrost podle rovy z 0 a dále posuutí ve směru vetoru τ (p, q, r). Protože sládáí zobrazeí eí omutatví, budeme muset řešt prorty v (30.4). V aém pořadí provedeme trasformae, abyhom vyhověl vztahu (30.4)? Protože z-ová souřade obrazu má opačé zaméo z-ové souřad vzoru, e asé, že trasformačí rove (30.4) představuí apřed rovovou souměrost a potom teprve posuutí. V opačém případě byhom postupoval ásledově: p ( p) y y q -(y q) z z r -(z r) - z r, tedy by trasformačí rove byly ve tvaru p y y q z -z r, ož eí totožé s (30.4). Zobrazeí složeé z rovové souměrost a posuutí se azývá posuutá souměrost. Tato zomere emá žádé samodružé body, má vša vetorový prostor V haraterstýh vetorů s haraterstým číslem. Lbovolé dva z h, teré sou sobě olmé, mohou být zvoley za bázové vetory e, e. Lbovolý vetor olmý a oba tyto vetory e haraterstý vetor této posuuté souměrost s haraterstým číslem -. Lbovolý z h může být po eho ormováí zvole bázovým vetorem e 3. Modus této trasformae e determat , terý e rove -, proto e posuutá souměrost v E 3 epřímá zomere. Podobě byhom postupoval, dyby rove rovy byla 0, popř. y 0.. Dvě další trasformae (podle 7) sou rověž zámy. Jsou to deté zobrazeí a traslae (posuutí). Obě zobrazeí maí steou (edotovou) mat zobrazeí, taže trasformačí rove těhto zobrazeí sou

29 9 p y y q (30.5) z z r a buď e vetor posuutí ulový (pa dostaeme deté zobrazeí), ebo eí ulový (pa dostaeme posuutí o teto vetor. 3. V aptole 8. sme pozal souměrost podle středu. Je-l středem S přímo počáte souřad P, sou trasformačí rove ve tvaru - y - y (30.6) z - z, má-l střed souřade S [s, s y, s z ], sou trasformačí rove této středové souměrost a sme pozal v aptole 8. - s y - y s y (30.7) z - z s z, 4. Podíveme se yí a trasformae spoeé s rotaí. Rotae eí trasformae prostorová, ýbrž rová, eboť se děe vždy v rově, v íž leží střed rotae. Aby aše představy byly přesěší, zvolme v artézsém souřadém systému <P, e, e, e 3 > přímy X P te, Y P le, Z P e 3. Ta prví e ám dobře zámá osa o, druhá e osa o y a třetí osa o z. Všehy trasformačí rove sou ž sestavey vzhledem tato defovaým osám. 4. Otáčeí olem o z Otáčeí olem osy o z e otáčeí v rově rovoběžé s rovou y. Rove rotae v rově ž záme. V této rota e osa o z přímou samodružýh bodů, vetory oleárí s vetorem e 3 sou haratersté vetory s haraterstým číslem. Je-l velost rotae dáa velostí úhlu α (v ladém směru, t. prot otáčeí hodové ruččy), sou trasformačí rove ve tvaru.osα - y.sα y.sα y.osα (30.8) z z,

30 30 v záporém směru (t. po směru otáčeí hodové ruččy) použeme vzorů os(-α) osα a s(-α) - sα, (30.9) taže vzore (30.8) se změí a tvar.osα y.sα y - sα y.osα (30.0) z z. 4. Otáčeí olem přímy o o z Ozačme S o y. V tomto případě e třeba provést apřed posuutí ve směru vetoru P S, pa provést otočeí olem o z a oečě zovu posuutí ve směru vetoru S P. Nehť bod S má souřade S [s, s y, 0]. Sledume stua a obrázu 30. X [, y, 0] o z [ s, y s y, 0] [( s ). osα (y - s y ) sα, ( s ) s α (y - s y ), 0] α P o y o S α X X X [( s ). osα (y - s y ) sα s, ( s ) s α (y - s y ) osα s y, 0] Z uvedeého e vdět, že trasformačí rove rotae olem osy o rovoběžé s osou o z proházeíí bodem S [s, s y, 0] o úhel velost α sou ( s ). osα (y - s y ) sα s y ( s ) s α (y - s y ) osα s y (30.) z z.

31 3 4.3 Otáčeí olem osy o Cylou záměou můžeme velm sado zapsat trasformačí rove pro otáčeí vzhledem dalším osám. Poud se díváme z ladé část osy o z směrem bodu P, pa př ladém smyslu otáčeí podle této osy se osa o otáčí směrem ose o y. Trasformačí rove byly tvaru (30.8). Díveme se yí z ladé část osy o směrem bodu P, př ladém smyslu otáčeí podle této osy se osa o y otáčí směrem ose o z. Trasformačí rove pa zela aalogy budou ( y, y z, z ) y y.osα z.sα (30.) z y.sα z.osα. Samodružé body sou body osy o, haratersté vetory sou vetory oleárí s vetorem e a maí haratersté číslo. 4.4 Otáčeí podle osy o y Vše podstaté bylo řečeo v předhozím odstav. Cylou záměou z (30.) dostaeme z.sα.oα y y (30.) z z.osα.sα. 5. Souměrost podle os Souměrost podle os vze rotaí podle těhto os v případě, že α π. Každá taová trasformae má přímu (příslušá osa) samodružýh bodů, samodružý směr s haraterstým číslem e směr osy souměrost, samodružé směry s haraterstým číslem - sou všehy směry olmé ose souměrost. 6. Šroubový pohyb Předpoládeme pohyb šroubu (pravotočvého) ve směru osy o z. Př otáčeí šroubem v ladém směru otáčeí (od o o y ) zvětšue bod a povrhu šroubu svo z-vou souřad úměrě velost úhlu otočeí. Z této úvahy plyou trasformačí rove. osα y.sα y.sα y.osα (30.3) z z.α,

32 3 de > 0 pro pravotočvý šroub a < 0 pro levotočvý šroub. 7. Otáčvá souměrost Vze otáčeím apř. olem osy o z a rovové souměrost podle rovy z 0. Dostaeme trasformačí rove ve tvaru f:.osα - y.sα y.sα y.osα z -z. Můžeme tedy ří, že estuí ásleduíí typy zometrí v E 3 : ) Přímé zometre: a) deté zobrazeí má všehy body samodružé a všehy směry varatí, b) otáčeí olem osy má přímu samodružýh bodů a ede varatí směr, ) souměrost podle osy má přímu samodružýh bodů, ede varatí samodružý směr a ěmu olmý prostor V samodružýh směrů s haraterstým číslem -, d) traslae emá žádý samodružý bod a má všehy směry varatí, e) šroubový pohyb emá žádý samodružý bod a má edý varatí směr. ) Nepřímé zometre: a) souměrost podle rovy má rovu samodružýh bodů, zaměřeí rovy souměrost e prostorem varatíh vetorů a směr, olmý rově souměrost e samodružým směrem s haraterstým číslem -, b) otáčvá souměrost má edý samodružý bod a edý samodružý směr s haraterstým číslem -, ) souměrost podle středu má edý samodružý bod a všehy směry samodružé s haraterstým číslem -, d) posuutá souměrost emá žádý samodružý bod, prostor V varatíh samodružýh směrů a ěmu olmý samodružý směr s haraterstým číslem -. Shrutí 30 V závěru čláu e uvedeo devět záladíh zometrýh trasformaí v prostoru E 3. Za zaímavost stoí, že pouze dvě složeé trasformae dostaly své méo: otáčvá

33 33 souměrost a posuutá souměrost. Je ale samozřemé, že e možo složt lbovolé dvě zometré trasformae a dostaeme zase zometrou trasforma.

34 34 3. Homotete (steolehlost) V mulýh šest aptoláh sme probral zometré trasformae, včetě eh aplaíh a příme a v rově. V aptole., a zeméa v tam uvedeém obr.. vdíme zobrazeí, tzv. středové zobrazeí se středem v bodě S, teré zobrazue body edé rovy do druhé rovy, terá e s í rovoběžá, ale eprohází bodem S. Z obrázu. bylo taé zřemé, že aždá úseča se zobrazí rověž a úseču, eíž velost e -ásobá. To ovšem vede představě hledat zobrazeí, teré zahovává směry, přesě řečeo hledat zobrazeí, v ěmž sou všehy směry samodružé. Budeme hledat v E <A, V > taovou afí trasforma, v íž sou všehy směry samodružé. Nehť e f taová trasformae a ϕ s í asoovaé leárí zobrazeí. Pa pro lbovolé dva vetory z V platí ϕ(u v) ϕ(u) ϕ(v) ϕ(u).ϕ(u) (3.) Maí-l být vetory u a v haratersté, musí být ϕ(u) u a zároveň ϕ(v) v. My ale vůbe evíme, zda ty ostaty maí být steé, zda apř. ezáleží a směru těh vetorů. As budeme muset růzost těh oefetů dooe předpoládat, ebo se poust doázat opa. Výhozí představu posyte obr.3.. ϕ(u) u ϕ(u v) v ϕ(u) ϕ(v) ϕ(v) Obr.3.

35 35 Položme tedy ϕ(u) u (u), ϕ(v) v (v), ϕ(u v) u v (u v) Má-l platt (3.), musí být ϕ(u) ϕ(v) u v (u v) u v (u) uv (v) u (u) v (v) u v (u) u v (v) čl ( u - uv )u ( v - uv ).v o. Protože vetory u a v mohou být leárě ezávslé, musí být u - uv 0 a zároveň v - uv 0, z čehož e zřemé, že emohou být v růzýh směreh růzé oefety. Všehy samodružé směry maí steé haratersté číslo. Ozačme ho písmeem. Zvolme pevý bod S A. Pro lbovolý bod X A bude platt ϕ(x-s) (X-S) (3.) a ozačíme-l f(x) X, pa X - S (X - S) a X S (X - S) (3.3) Estuí samodružé body tohoto zobrazeí? Z (3.3) dostaeme X S (X - S). (3.4) Úpravou ve tvaru X - X S - S byhom ezísal, eboť obrat (- )X a levé straě rovost (3.4) dává eestuíí výraz, eboť e to ásobe bodu! Proto ze vztahu (3.4) uděláme součet vetorů. X - S (S - S) (X - S) (3.5) a pa ( - )(X - S) S - S, odud X S ( S S), (3.6) ož ovšem e úprava možá pouze pro. Ze vztahu (3.6) ale plye, že samodružý bod estue a e edý. Nevadlo by, dybyhom bod S zvoll tím samodružým bodem?

36 36 Pro S S dostaeme z (3.6) pouze potvrzeí, že X S. Je-l tomu ta, pa z (3.4) dostaeme trasformačí rov pro toto zobrazeí X S (X - S), (3.7) de R. Kdyby 0, byl by S obrazem všeh bodů ostely A a z toho oamžtě plye, že obraz aždého vetoru by byl vetor ulový. Taové zobrazeí můžeme z ašh úvah vyloučt. Přmeme tedy podmíu R {0}. Zobrazováí bodů podle tohoto předpsu uazue obr.3.. S X X Obr.3. Defe 3.: Toto zobrazeí azveme homotetí (steolehlostí), reálé eulové číslo se azývá oefet homotete a bod S e střed homotete a obraz bodu X v této homotet budeme začt symbolem h(x). Věta 3.: Homotete h prostoru E <A, V > má ásleduíí vlastost: a) Má edý samodružý bod S, b) Je-l X A, X h(x), e ) X [{S,X}], t X áleží do leárího obalu možy {S, X} v afím prostoru A, ) (X XS), M N ) Dvě homoteté úsečy MN a M N sou avzáem rovoběžé a e, MN d) Zobrazeí h e betví trasformae prostoru E. K í verzí trasformae h - e opět homotete se steým středem a oefetem rovým převráeé hodotě oefetu homotete h. e) Je-l v artézsém souřadovém systému S [s, s,, s ], X [,,, ], X [,, ], sou rove homotete h vzhledem daému artézsému souřadovému systému

37 37 ( - )s ( - )s.. ( - )s. f) ) Je-l sudé, e h přímá trasformae. ) Je-l lhé a > 0, e h přímá trasformae. 3) Je-l lhé a < 0, e h epřímá trasformae. g) Všehy směry prostoru E sou v h samodružé s haraterstým číslem. Důaz 3.: a) Rove (3.6) dává pro S S edé řešeí, a to X S, taže S e edým samodružým bodem. b) Z (3.7) plye rovost X - S.(X S), z í plye olearta bodů X, X, S, tvrzeí ) ) Je-l M, N A, M h(m), N h(n), e M S.(M S), N S.(N S). Z toho N - M (N M), a tedy MN M N a dále platí M N N - M (N M) N M MN. d) Je-l X h - (X ), platí podle (3.7) X S.(X S) a tvrzeí d) vyplývá z edozačost výpočtu X ze vztahu X - S.(X S) a tedy X S ( X S), - : h : X S ( X S). e) Z (3.7) dostaeme pro,,, f) Z e) dostaeme modul homotete s.( s ). ( ).s.

38 Z toho plye tvrzeí f). g) Sestroeí zobrazeí, teré by mělo tuto vlastost, bylo výhozí podmíou ašh úvah. Platí: Je-l >, popř. < -, azveme homotet zvětšeím, e-l <, azveme homotet zmešeím, e-l e homotete středovou souměrostí se středem v S. Dva útvary U, V sou steolehlé, estue-l homotete h taová, že h(u) V. Shrutí 3 V tomto čláu sme hledal trasforma, terá měla všehy směry samodružé. V tomto hledáí sme dospěl tomu, že haraterstá čísla emohou být v růzýh směreh růzá. To byl prví důležtý výslede. Dále sme zstl, že taové zobrazeí má edý samodružý bod. Nazval sme ho homotetí a e třeba vždy přesě ozačt te samodružý bod a to haratersté číslo, teré e ve všeh směreh steé. Tedy h(s; orétí číslo). Další vlastost homotete sou uvedey ve větě 3.. Pro přehází homotete v středovou souměrost se středem v bodě S.

39 39 3. Grupa homotetí V urzu algebry ste pozal algebraou struturu, terá měla ázev grupa. Zopaume s, aé vlastost máme očeávat. Musí být a prvíh ěaé možy defováa operae, terá e uzavřeá, e asoatví, estue eutrálí prve vzhledem této opera a e aždému prvu estue prve verzí. Hledeme yí odpověď a otázu, zda moža všeh homotetí (třeba v E ) s operaí sládáí zobrazeí ( v ozačeí ) e grupou. Věta 3. (Mogeova): Složíme-l dvě homotete h (S, ), h (S, ) prostoru E <A, V >, pa složeé zobrazeí h h (t. apřed h a ásledě h ) e: a) detou trasformaí prostoru E, e-l S S a, b) homotetí se středem S a oefetem., e-l S S S, ) posuutím o vetor ( - )(S - S ), sou-l středy S, S růzé a, d) homotetí se středem S, terý leží a příme [S, S ] a oefetem, sou-l středy S, S růzé a eí-l. Důaz 3.: Je-l X A, h (X) X, h (X ) X, e X S (X - S ), X S ( X - S ), e rove pro složeé zobrazeí h h, pro ěž e h h (X) X, X S.(S S ) (X S ) (3.) a) Napřed obráze. Obraz vzoru v zobrazeí h, terý se stává vzorem pro zobrazeí h vzor 3 /3 S S Obr. 3.

40 40 Když S S, pa můžeme te edý bod začt písmeem S. Dosadíme do vztahu (3.), a protože.,dostaeme X X, ož e vztah pro deté zobrazeí. b) Sledute postup důazu a ásleduíím obrázu, de. 6. Vzhledem uvedeým podmíám e X S. (X S), ož e homotete se středem v bodě S a oefetem.. vzor 3 S Obr 3. ) Obráze: 3 /3 S S Obr. 3.3 Jsou-l S, S růzé,., bude mít rove složeého zobrazeí tvar X X ( ).(S S ),

41 4 Což e rove posuutí o vetor ( ).(S S ). d) Nehť sou dáy dvě homotete h (S, ), h (S, ) a ehť.. Budeme zoumat vlastost zobrazeí h h. Zoumeme, zda má samodružé body. Postupueme zámým způsobem. V (3.) dosadíme X X a dostaeme X S (S S ) ((X S ) Protože e a pravé straě výraz X S, bude výhodé dostat steý výraz a levou strau uvedeé rove (e to rove, máme vypočítat bod X). Tedy X S S S (S S ) (X S ) ( - ) (X S ) S S (S S ). ( - ) (X S ) S S - (S S ) Protože e, e výraz - eulový, můžeme ím dělt. Obdržíme a tedy X S ( S S) X S ( S S), (3.) z čehož plye, že taový samodružý bod estue a e edý. V další část důazu byhom apsal rov přímy proházeíí body S a S a doázal byhom, že bod X, terý e dá vztahem (3.) a této příme leží. Po matematé stráe e te výpočet aprosto edoduhý, ale vzhledem deům e stroový záps hodě omplovaý, taže ho tady euvedeme. Věta 3. Je-l h homotete o středu S a oefetu, terý se erová, a τ traslae o vetor u, e: a) τ h e homotete o středu S S u a oefetu,

42 4 b) h τ e homotete o středu : S S u a oefetu. Ad a) Napřed homotete a pa traslae. Obráze S S Vzor Obr.3.3 Je-l X A, h(x) X, τ(x ) X, e h: X S (X S) τ: X X u. Složeé zobrazeí τ h má trasformačí rov τ h : X S (X S) u (3.3) Samodružý bod staovíme dosazeím X X, taže X S (X S) u, Taže e X S u (3.4) Zobrazeí má tedy edý samodružý bod daý vztahem (3.4). Ozačme ho S.Homotete h o středu S a oefetu má rov h : X S (X S ) S u.(( X S). u ) S ( X S) ( ).. u S.(X S) u, ož e t h.

43 43 Ad b) Napřed traslae a pa homotete. Obráze. S Obr.3.4 Nyí e τ(x) X, h(x ) X, taže τ: X X u, h : X S.(X - S), taže dostaeme h τ : X S.(X S).u. Př staoveí samodružýh bodů dostaeme ž zámým způsobem X S.(X S).u ( ).(X S).u a z toho X S. u. Te e opět, a e z vyádřeí vdět, edý. Ozačme ho S. Homotete h se středem S a oefetem má rov X S (X S ) S u.(( X S) u) S (X S) u, ož e složeí homotete a traslae. Defe 3.: Ozačme T možu všeh traslaí prostoru E, H možu všeh homotetí prostoru E, M T H. Bárí systém <M, > e grupa. Nazveme Mogeovou grupou. Věta 3.3: V E sou dáy dvě ruže (S,r ), (S,r ) s růzým poloměry r,r. Estuí dvě homotete h (O, r /r ), h (O, - r /r ), teré ruž zobrazí a ruž.

44 44 S S O O Obr. 3.5 Důaz věty se reduue a úlohu sestrot společé tečy dvěma ružím. Shrutí 3 Věta Mogeova (Možova) hovoří o výsledu složeí dvou homotetí o steýh popř. růzýh středeh. Výsledem e buď homotete, ebo traslae. Pa už zbývá vyšetřt složeí homotete a traslae, o čemž mluví věta 3.. Složeím e vždy homotete. Přdáme-l traslaím ( s ulovým vetorem traslae, ož e detta) homotete, ta moža těhto dvou zobrazeí spolu se sládáím zobrazeí e grupa, ož e vlastě společým výsledem vět 3. a 3.. V E se často používá homotete, v íž se eda ruže zobrazue a druhou. Z obr. 3.5 e vdět, že estuí dvě taové homotete.

45 Grupa podobýh trasformaí prostoru E Ještě ze záladí šoly s pamatueme větu o podobýh troúhelííh. Víme taé, že podobé troúhelíy maí odpovídaíí stray ve steém poměru eh déle, avša emusí být utě homoteté (stačí, aby byl obraz trohu otoče a už eí žádý směr samodružý, ož homotet aprosto odporue. Poďme se yí podívat a trasformae podobé a aučme se e odlšovat od homotetí. Defe 33.: Trasformae f prostoru E <A, V > e podobá právě tehdy, dyž pro aždé dva body X,Y A e f(x)f(y). XY, (33.) de > 0 e reálé číslo, teré azýváme poměrem podobost. Je-l, e f shodé zobrazeí. Vlastí podobé zobrazeí má poměr podobost růzý od. Věta 33. Afí trasformae f prostoru E <A, V > o rov f: X X.B M e podobá právě tehdy, dyž B.B T.E, de reálé číslo e poměr podobost zobrazeí f. Důaz 33.: Je-l Y A, Y Y.B M, e X Y. XY Y - X. Y - X (Y - X).B. Y - X ((Y - X).B).(Y - X).B) T.(Y - X).(Y - X) T (Y - X).B.B T. (Y - X) T.(Y - X).(Y - X) T B.B T.E. Věta 33. Podobá trasformae f prostoru E <A, V > má tyto vlastost: a) e regulárí afí trasformae, b) e betví trasformaí prostoru E, ) trasformae verzí podobé trasforma e podobá trasformae s poměrem podobost rovým převráeé hodotě poměru podobost původí trasformae, d) e-l ϕ leárí zobrazeí asoovaé s podobou trasformaí o poměru podobost, e pro aždé dva vetory u, v V

46 46. ϕ(u). u,. ϕ(u). ϕ(v).u.v, e) zahovává odhyly (e to zogoálí trasformae), f) aždá vlastí podobá trasformae prostoru E má edý samodružý bod. Důaz 33.: a) Je-l f: X X.B M podobá trasformae, e B.B T E, de e poměr podobost zobrazeí f. Odtud dostaeme det(b.b T ) det(b). det(b T ) (det(b)), taže det(b), taže modul trasformae e eulový. b) Plye z a) a z věty 3.4. ) Je-l f: X X.B M, de B.B T E, e f - : X X.B - M.B -. Zobrazeí f - má tedy mat B - a e uto určt mat B -.(B - ) T. Dostaeme B -.(B - ) T B - (B T ) - (B T.B) - ( E) - -.E. d). Je-l X A, Y X u, e u Y X. Pa e ϕ(u) ϕ(y X) f(y) f(x). Y X. u.. Podle věty 6. e) podle d). dostaeme ϕ(u). ϕ(v). ( ϕ(u) ϕ(v) - ϕ(u) - - ϕ(v).( ϕ(u v). u v.( u v - u - v u.v. e) Nehť p, q sou dvě přímy prostoru E se směrovým vetory u a v. Jeh obrazy p, q maí směrové vetory ϕ(u) a ϕ(v) a platí os (p, q ) ϕ( u). ϕ( v) ϕ( u). ϕ( v). u. v u. v os (p, q). f) Je-l v artézsém souřadovém systému podobá trasformae f dáa roví f: X X.B M, e pro X X (hledáme samodružé body) X.(B E) -M. Tato matová rove představue soustavu leáríh rov, terá má vetor ezámýh X (,, ). Determat mate této soustavy (det(b E) e eulový, eboť

47 47 haraterstá rove det(b E) 0 emůže mít pro vlastí podobé zobrazeí oře. Zobrazeí f má tedy edý samodružý bod. Věta 33.3: Jsou-l f, g dvě podobé trasformae prostoru E s matem B, C vzhledem stému artézsému souřadovému systému S s poměry podobostí,, e g f podobá trasformae prostoru E s matí B.C vzhledem S a poměrem podobost.. Důaz 33.3: Stačí doázat, že afí trasformae f s matí B.C e podobá trasformae. Podle předpoladu e B.B T.E, C.C T.E. Odtud (B.C).(B.C) T B.C.C T.B T B.(.E).B T B. (E.B T ).B.B T.(.E) (. ).E (. ).E ( ).E. Věta 33.4: Moža P všeh podobýh trasformaí prostoru E e vzhledem opera sládáí zobrazeí grupou. Strutura <P, > e grupa podobýh trasformaí prostoru E. Důaz 33.4: Složeím dvou podobýh zobrazeí vzá opět podobé zobrazeí, asoatví záo platí proto, že ásobeí mat e asoatví a detá trasformae (edotový prve) e podobá trasformae s oefetem podobost. Věta 33.5: Složíme-l shodou trasforma prostoru E s homotetí v E s oefetem, dostaeme podobou trasforma prostoru E s poměrem podobost. Naopa, aždou podobou trasforma prostoru E s poměrem podobost můžeme eoečě moha způsoby rozložt a homotet s oefetem ± a a shodou trasforma prostoru E. Důaz 33.5: Nehť s e shodá trasformae prostoru E o rov X X.B M vzhledem e artézsému souřadovému systému S a ehť homotete h má vzhledem S rov X S.(X - S). Pa e B.B T E a s h : X S.(X - S) S.[(X.B M) - S] S.[X.B (M - S)] X.(.B) [S.(M - S)]. Abyhom doázal prví část věty, musíme vypočítat: (.B).(.B) T.B..B T.B.B T.E. Prví část věty e tedy pravdvá.

48 48 Pro důaz druhé část věty ozačme f podobou trasforma prostoru E s poměrem podobost a h homotet o lbovolém středu S A (A e ostela v E ). Je tedy vzhledem S: f: X X.C M, C.C T.E, h: X S.(X - S). h - : X S /.(X - S). Sestrome yí trasforma h - f: S /.(X.C (M - S)) X.(/.C) ( S /.(M - S)). Pro mat této trasformae platí: (/.C).(/.C) T (/.C).(/.C T ) /..E E. Je tedy s h - f shodá trasformae prostoru E a f h s. Shrutí 33 V def 33. se dovíme o podobost to ezáladěší. Všměme s, že poměr podobost e ladé číslo. Ve větě 33. se dovíme, aé vlastost musí mít mate trasformae, aby představovala podobou trasforma. Další vlastost podobé trasformae sou obsažey ve větě 33.. V další větě se dovíme, že složeí dvou podobýh trasformaí vze zase podobá trasformae, od toho e už e růče e grupě podobýh trasformaí. Věta 33.5 pa postulue tu sutečost, že podobá trasformae e složeím homotete a ěaé zometre.

49 Podobé trasformae v E a E. Podobost geometrýh útvarů V mulém čláu sme odvodl, že utá a postačuíí podmía pro to, aby mate B v trasformačí rov X X.B M byla matí podobého zobrazeí e, aby B.B T E. Naděme všehy možost pro tuto mat v prostředíh E a E. a) Podobé trasformae v E Je-l f podobé zobrazeí v E, má v artézsém souřadovém systému S <P,e> rov f: a b, de pro mat (a) platí (a).(a) T (a).(a) (a ).(). Odtud e a, (34.) taže a, taže a ebo -a. Víme už, že b sou souřade obrazu počátu artézsého souřadového systému. Můžeme tedy předpoládat, že pro b 0 e P eí edý samodružý bod. Y P X Y X Obr. 34. Trasformae a příme mohou tedy být dvoího druhu ) f:, (34.) ) f: -. (34.3) Oba typy sou rovem steolehostí a příme E se středem v bodě P s oefety u prvího typu (a obr.34. e pro bod X hodota 3 ) a ( ) u druhého typu (a obr.34. pro bod Y e hodota - -). Uvědomme s př tom, že > 0. Steolehlost typu ) e přímé zobrazeí a příme, steolehlost typu ) e epřímé zobrazeí a příme. Poud e b 0, e podobé zobrazeí a příme složeo z homotete a traslae s vetorem b [b].

50 50 b) Podobé trasformae v E Jsou-l f: a by p y dy q rove vlastí podobé trasformae rovy E v ěaém artézsém souřadovém systému <P, e, e >, musí být mate trasformae a A b, mate A T a b d d a dostaeme podmíy ve tvaru a, ab d 0, (34.4) b d. Je-l P edým samodružým bodem trasformae f, e p q 0. Z rov (34.4) dostaeme tyto čtyř možost ) a.osα,.sα b.sα, d -.osα Trasformačí rove sou (.osα). (.sα).y y (.sα). (.osα).y (34.5) ) a.osα,.sα b -.sα, d.osα Trasformačí rove sou (.osα). (.sα).y y (.sα). (.osα).y (34.6) 3) a.osα, -.sα b.sα, d.osα

51 5 Trasformačí rove sou (.osα). (.sα).y y (-.sα). (.osα).y (34.7) 4) a.osα, -.sα b -.sα, d -.osα Trasformačí rove sou (.osα). (.sα).y y (-.sα). (.osα).y (34.8) V EXCELU modelute aždou z těhto uvedeýh trasformaí. ) Podobost geometrýh útvarů v E Dva geometré útvary U, V prostoru E sou podobé právě tehdy, dyž estue podobá trasformae f prostoru E ta, že f(u) V. Věta 34. Dva troúhelíy MNP a M N P v prostoru E sou podobé právě tehdy, dyž e splěa aspoň eda z ásleduííh podmíe a) M N M P N P, MN MP NP b) úhel MNP e shodý s úhlem M N P a úhel NMP e shodý s úhlem N M P, ) M N M P a úhel NMP e shodý s úhlem N M P, MN MP d) e-l MN > MP, pa M N M P a úhel NPM e shodý s úhlem N P M. MN MP