Martin Kihoulou. j plos F = Protože magnetické pole je homogenní, lze jej z integrálu vytknout

Transkript

1 Vzorné řešení písemné práce z Klsické elektrodynmiky Mrtin Kihoulou Úloh 1 Do homogenního mgnetického pole B = B e y je vložen přímý vodič ve tvru pláště válce x + y =. Po povrchu teče rovoměrně rozložený plošný proud j plos = I e z /(π). ) Spočtěte, jkou silou působí mgnetické pole B n proud I rozložený výše uvedeným způsobem n úseku vodiče délky L. Výpočet má z úkol určit F = j plos B dl dz. Protože mgnetické pole je homogenní, lze jej z integrálu vytknout [ ] F = dl dz B = L[I e z ] B = B LI e x. j plos Pozn. V zdání byl původně obrázek popisující složené pole pro zápornou hodnotu proudu I. Někteří znlci mgnetického pole dokáží z tvru siločr pole uhodnout, jkým směrem působí jeho účinky, zde by npř. komentář zněl, že siločáry prhnou po nrovnání proto síl působí dolev. Pokud si někdo záporného znménk I n původním prvém obrázku všiml, bude to pozitivně ohodnoceno. b) Nlezněte mgnetické pole B 1 jké proud vytváří uvnitř vně válcového vodiče bez přítomnosti pole B Tkové pole jsme počítli z použití Ampérov zákon n cvičení víme, že r < B 1 = µ I 1 π R e φ r >. c) Nlezněte, jkou silou působí výsledné složené mgnetické pole B = B + B 1 n kus přímého vodiče délky L, když jej počítáme podle vzorce F = j plos { B} ds. Průměrné mgnetické pole { B} = 1 [ B + ( B + B 1 )] = B + 1 B 1. při výpočtu (l je délk po obvodu válce, ds = dl dz) F = j plos B 1 dl dz

2 se brzy dopočítáme ke klíčovému fktoru e z π e φ dl = e z ( sin φ e x + cos φ e y ) dφ =, protože π cos s ds = π sin s ds =. Proto je výsledná síl totožná s bodem ). d) Njděte celkový tok Mxwellov tenzoru F i = T ij ds j = [ B i H j 1 δ ijb k H k ] ds j povrchem válce dného pláštěm x + y = b podstvmi z =, z = L. Diskutujte obě možnosti, b < i b >. Při výpočtu musíme opět přejít ke krtézské vektorové bázi, můžeme pk bázové vektory vytknout před integrály. Dále, B = µ H. Tok tenzoru T ij podstvmi ni nemusíme počítt, protože se kvůli opčné orientci normál přesně vyruší. Podél pláště máme d S = L(cos φ e x + sin φ e y )dφ pro R <, kde B = B je tedy F < = H B [ e y e y d S 1 ] ds =. Pokud je integrční ploch vně, tedy b >, je výpočet o dost delší (opět e φ = sin φ e x + cos φ e y ): = B I π e y F > = F < + e φ ds + B I π B H1 ds + B 1H ds + e φ e y ds + µ I (π) B 1H1 ds 1 ( B H 1 + B 1 H + B 1 H 1 )ds e φ e φ ds 1 B I ( e y e φ + e φ e y )ds π 1 + µ I (π) ( e φ e φ )ds = + B I π ( πl e x) + 1 B I π (1 πl ) = B LI e x. Úloh Účinky vířivých proudů se čsto demonstrují pomocí kyvdl tvořeného plochým vodičem kývjícím se mezi póly mgnetu, přípdně mgnetem klouzjícím po hliníkové, nemgnetické pánvi. Nlezněte mtemtický popis této situce pro dosttečně velký tenký vodivý plech vložený do mlé mezery mezi dvěm válcovými mgnety s mgnetizcí podél společné osy válců, kterou zpočátku ztotožníme s osou z. ) Ukžte, že homogenní pole B = B e z uvnitř válce s poloměrem nulové vně tohoto válce odpovídá mgnetickému poli velmi dlouhého tyčového mgnetu s konstntní mgnetizcí M. Nlezněte vzth B M. Nejprve definice: H = µ 1 B M. V limitě dlouhého solenoidu/tyčového mgnetu máme vně nulové pole, B i H. Protože uvnitř je pole rovnoběžné s osou válce/mgnetu, vyžduje spojitost H n plášti mgnetu, by bylo H = i uvnitř tedy hledný vzth mezi je B M je B = µ M. b) Nlezněte souvislost mezi křivkovým integrálem A. dl podél hrnice plochy Σ mgnetickým tokem touto plochou. Rovnost obou veličin vyplývá ze Stokesovy věty: A d l = ( A) ds = B d S. c) N zákldě b) nlezněte vektorový potenciál uvžovného velmi dlouhého tyčového mgnetu ve tvru A = A φ (R) e φ, kde R je válcová souřdnice R = x + y. Jko plochu Σ volte kruhy v rovině z = konst. se středem n ose z o obecném poloměru R. Nlezněte A uvnitř i vně válce.

3 Pokud použijeme plochu doporučeného tvru je cirkulce vektorového potenciálu rovn πra φ mgnetický tok pk πr B pro R < z hrnicí mgnetu pk π B. Proto { R A (R) = B e φ R < R B e φ R >. Protže jde o vektorový potenciál je to jen jedn z mnoh možných vrint, ovšem vykzuje užitečné symetrie trnslční xiální, které, jk ještě uvidíme, umožní dále při popisu pole si vystčit jen s A mít všude Φ =. d) Spočtěte A uvnitř i vně válce. Jký význm má toto vektorové pole? Jde očividně jen o cvičení, mgnetické pole, tedy A bychom mohli sndno nlézt s použitím Ampérov zákon. Ze vzthu pro rotci ve válcových souřdnicích máme (f(r) e φ ) = R 1 (Rf) e z tedy B (R) = A = { B e z R < R >. Mohli jsme si toho všimnout již dříve, le tento výpočet ilustruje slvnou podivnost vektorového potenciálu solenoidu (viz Ahronovův Bohmův jev): venku není sice není žádné mgnetické pole, le je tm netriviální klibrční trnsformcí nezrušitelný vektorový potenciál. e) Spočtěte A uvnitř i vně válce. Je to nul, A φ ni žádný z Lméových koeficientů h R, h z nezávisí n φ. f) Spočtěte A uvnitř i vně válce. Jký význm má toto vektorové pole? Opět cvičení, jde o ( µ ) proudové pole, protože A = pltí, že A = ( A) = B. Rotce nulového (vně) i homogenního pole (uvnitř) je nul. Není to nul n plášti mgnetu, le δ distribuci si pro tentokrát odpustíme. g) Vyjádřete A v krtézských souřdnicích x, y, z krtézské vektorové bázi e x, e y, e z. Toto je klíčový bod pro dlší kroky tedy podrobně, nejprve vzorec pro grdient ve válcových souřdnicích bázové vektory: f(r, φ) = ( R f) e R + 1 R ( φf) e φ e x = x = (R cos φ) = cos φ e R sin φ e φ, e y = y = (R sin φ) = sin φ e R + cos φ e φ. Obrácená trnsformce je nyní sndno vidět e R = cos φ e x + sin φ e y, e φ = cos φ e y sin φ e x. Proto A (x, y) = B (x ey y e x ) B x e y y e x x + y R < R >. h) Předpokládejte, že nyní mgnetem pomlu ( c) pohybujeme, tkže vektorový potenciál má nyní tvr Jk vypdá nyní mgnetické pole odpovídjící A? A(t, x, y) = A (x vt, y)

4 Nejprve připomeňme, že posunutím x > x vt se nemění bázové vektory proto je možné tuto substituci (Glileovu trnsformci sndno provést): B ((x vt) ey y e x ) R < A (x vt, y) = B (x vt) e y y e. x (x vt) + y R > Kdyby snd někdo zváhl, zd nezůstt u válcové báze, zkusíme zde spočíst, co se stne posunutím e φ : e φ = cos φ e y sin φ e x = x vt (x vt) + y e y y (x vt) + y e x = x vt (x vt) + y (sin φ e y R + cos φ e φ ) (x vt) + y (cos φ e R sin φ e φ ) = vty x + y (x vt) + y e (x vt)x + y R + x + y (x vt) + y e φ = vt sin φ R + v t vtr cos φ e R vt cos φ R + R + v t vtr cos φ e φ. ch) Jký význm má pole t A. Jde o indukovné elektrické pole, přesněji o jeho část zvnou elektromotorické pole. Tento název má evokovt předstvu, že je odpovědná z rozpohybování nábojů v důsledku elektromgnetické indukce, le ještě záleží n zbytku obvodu, jk se ktuálně pole rozloží. V polním popisu to odpovídá hledání Φ tk, by výsledné elektrické pole E = t A Φ bylo to správné. U příkldu s vodičem ve tvru šroubovice jsme viděli, že vodiče vložené do mgnetického pole vyždují dopočíst Φ tk by výsledné pole souznělo s tvrem vodiče přípdně i dlšími okolnostmi odborně nzývnými hrniční podmínky. Zde bychom to museli učinit, kdyby vodič měl konečné rozměry proudové pole stnovené jen z nšeho t A by vyčuhovlo n krjích ven (to nesmí vhodné Φ by to zchránilo). i) Předpokládejte, že v mgnetu je velmi tenká mezer, která nijk nenruší tvr A, B E. Do této mezery je mezi pohybující se mgnety mgnety vložen stojící tenký plech s ohmickou plošnou vodivost ˆγ udávjící vzth mezi elektrickým pole (v rovině plechu) polem plošného proudu j plos = ˆγ E. Nlezněte sílu F = j plos B ds, jíž pohybující se pár mgnetů působí n plech. Mgnetické pole vytvářené vířivými proudy v plechu znedbejte. Tvr indukovného elektrického pole E = t A (x vt, y) určíme, překvpivě, derivováním. Pro R < je A (x vt, y) lineární funkcí čsu tk musíme dostt konstntu, pro R > je to o něco více práce. Vyjde (z použití x = x vt) E = B v e y R < B v x y e x (x y ) e y (x + y ) R > Lineární vzth mezi elektrickým proudovým polem (Ohmův) znmená, že tvr proudového pole je stejný jko pole elektrického. Ztímco doposud dříve ověřená podmínk A = vedl n bezzdrojové elektrické pole, nyní ttáž podmínk znmená, že proudové pole je stcionární. To znmená, že nám nám nic nebrání přijmout j plos = ˆγ E jko skutečnou proudovou hustotu (viz obrázek)..

5 Obr. 1 Vířivé proudy v plechu mezi dvojicí pohybujících se válcových mgnetů. Výše nlezené proudové pole je znázorněno dvěm metodmi. Kružnice znázorňuje okmžitou polohu mgnetů jsme v kvzistcionární proximci tedy proudové pole okmžitě sleduje pohyb mgnetů. Výpočet síly je vzhledem k tomu, že mezi mgnety je konstntní B i j plos, sndný: F = (π ) j plos B = (π ˆγ) E B = π ˆγ B v e y B e z = + 1 vπˆγb e x. Směr síly táhne plech ve směru pohybu mgnetů. Fktor 1/ lze vykládt různě, npř. tk, že proudové pole překonává odpor vodiče nejen mezi mgnety, le i n cestě okolo. j) Prémiový úkol: N zákldě Ampérov zákon odhdněte velikost mgnetického pole pole vířivých proudů B v. Podmínku znedbtelnosti B v B přepište do podoby F F mx. Co je F mx zč? Nkreslíme-li si předpokládné siločáry mgnetického pole H plošného proudu j 1 v plechu, z Ampérov zákon dostneme, že H 1 j plos. Podmínk H H pk dá, že síl jíž mgnety působí n plech musí být mnohem menší, než síl, jíž se přithují nvzájem, tedy vlstně nepřekvpivý výsledek. Pozn. Wolfrm Alph po zdání StremPlot {(*x*y)/(x^+y^)^,(y^-x^)/(x^+y^)^} nkreslí hezký obrázek. (Ano, Mthemtic, n jejíž licenci máte nárok, tké.) Úloh 3 Uvžujte elektromgnetické pole uvnitř krychle vyjádřené v krtézských souřdnicích x, y, z jko součin intervlů < /, / > < /, / > < /, / >. Stěny krychle jsou z dokonle vodivého mteriálu elektrická složk pole uvnitř krychle má tvr ( ) ( ) 3πx πy E = A cos cos cos ωt e z ) Nlezněte mgnetické pole z předpokldu, že má též hrmonický průběh v t. b) Spočtěte celkovou energii elektromgnetického pole uvnitř dutiny rezonátoru. c) Pro která ω nezávisí tto energie n čse? d) Spočtěte hodnoty Poyntingov vektoru n stěnách krychle.

6 Řešení ) Mgnetické pole nlezneme z rovnice t B = E z použití f ez = f e z, tedy Proto E = A π [ ( ) 3πx 3 sin B = A π [ ( ) 3πx 3 sin ω ( ) ( ) πy 3πx cos e y cos ( ) ( ) πy 3πx cos e y + cos b) Energii elektromgnetického pole uvnitř krychle nlezneme integrcí její hustoty W = ɛ K ( E + c B )dv sin sin ( ) ] πy e x cos ωt. ( ) ] πy e x sin ωt. Z pozorování, že sin x i cos x mjí periodu π, vidíme, že kždý z kvdrátů sinů či kosinů prostorových souřdnic přispěje svojí střední hodnotou, tedy fktorem 1/. Proto W = ɛ K (A 1 ( 4 cos ωt + c A π ) ( 1 ω sin 4) ωt)dv = A 3 ɛ 8 (cos ωt + ( 1 ) cπ sin ωt) ω c) Aby součet nezávisel n čse, musí pltit ω = 1π c. Protože víme, že zchování energie elektromgnetického pole uvnitř krychle je možné jen z splnění obou evolučních Mxwellových rovnic, nepřekvpí, že tto frekvence vyjde i pokud požduje by npř. E splňovlo vlnovou rovnici. d) Aby elektromgnetická energie z krychle neutíkl, je nezbytné, by Poyntingův vektor splňovl S d S =. Tvr zdného pole E zručuje, že smo elektrické pole tedy i Poyntingův vektor n čtyřech stěnách vymizí. U dvou stěn, n něž je E kolmé sice S nevymizí, ovšem protože S je kolmé n E je ve výsledku Poyntingův vektor rovnoběžný s plochou stěny předstvuje jen přesuny energie podél stěny krychle, nikoli ven z ní. Vše souvisí s tím, že uvedené řešení předpokládá nekonečně dobře vodivé stěny chovjící se jko dokonlé zrcdlo (jink by E nemohlo být u stěny nulové).