MA1: Cvičné příklady posloupnosti, řady, mocninné řady Stručná řešení

Transkript

1 MA: Cvičé přílady poslouposti, řady, mocié řady Stručá řešeí Prvíčley: a 0, a, a, a 5, a 5 Podezřeí: {a }jerostoucípodívámeseato: a + > a + ++ > + + > + + > + 0 > Dostalijsmeerovostplatouprovšecha,ámstačípro,protopro platíia + > a Doázali jsme,že {a }jerostoucí Prvíčley: a, a, a 8, a 0, a 5 Podezřeí: {a }jerostoucípodívámesea to: a + > a + > + > 5 > Vidíme,že a + > a jepro <5,pro >5aopa a + < a Protoposloupostejprveroste,aleod 5lesáNamátou, a 8 8 8, a 9 9 5,opravdu a p 9 < a 8,asijsmetospočítalidobřePosloupost proto eí mootoí Prvíčley: a, a, a, a 8, a 5 0 Podezřeí: {a }jelesajícípodívámeseato: a + < a +! <!! <+! < + Dostalijsmeerovostplatoupro,protoplatíia + < a Doázalijsme,že {a }jelesající Prvíčley: a, a, a, a, a 5 5 Máme a a,tedyebuderyzímootoie Podezřeí: {a }jeerostoucípodívámeseato: a + a + +!!! +! + Dostalijsmeerovostplatoupro,protoplatíia + a Doázalijsme,že {a }jeerostoucí 5 Prvíčley: a, a 9, a 7, a 7 9 5, a Máme a < a,aletaé a > a 5 Posloupost proto eí mootoí 6 +si +si 0 +si0 [ + + +e ] [ / ] + + / e e Vprvímvýrazušlomístovytýáípřímozrátit vezlomu Při výpočtu prvího zlomu uvitř je taé možé přejít fucím a použít obecou verzi l Hospitalova pravidla: +? ++ l H 8+ + l H 8 8 Po dosazeí eoeča dostáváme eurčitý podíl, ejlepší tedy bude přejít itě fuce l 0 + l H Pozáma: Teto výslede je jasý, protože podle šály moci v eoeču libovolá mocia přebije logaritmus 9 e e / e 0 e 0 0 arctg arctg arctg arctg < 0 π [ + + ] [ + ] [ cos 5 + cos 5 + cos ]

2 cos [ cos0 ] < 0, 5 < 5 0 cos Protožesez edáudělatfucea vyžaduje a >0,výpočetpřesfuceeímožý Protože { 8 7 >,víme,že 8 } 7 diverguje,aprotoževlastě 8 7 <,tadooceeeistujeita, čley poslouposti střídavě utíají do plus i míus eoeča Teto čle je ásobe ěčím, co je pro velá přibližě rovo, čímž se oa rostoucí oscilace emůže apravit Závěr: 7 ee Protožesez7 edáudělatfucea vyžaduje a >0,výpočetpřesfuceeímožý / / 0 / Je taé možé počítat tuto itu jao itu fuce pomocí l Hospitalova pravidla, ale derivace těch odmoci ezí moc láavě: + +? l H Další výpočet přeecháme milovíům adrealiových sportů {+ } {,+,,+,5,6+,7, }{0,,,5,,7,6, },tedy + Formálěsepoužijesrováí, + 5 { } {,,,, 5,6, 7, },proto eeistuje Důaz apřílad sporem Kdyby eistovala ita L, pa í musí overgovat i aždá podposloupost, třeba podposloupostzlichýchčleů {,, 5, 7, 9, }ipodposloupostzesudýchčleů {,,6,8,0, }, ale tyto dvě poslouposti emají stejou itu L 6 {si π } {si π,si π,si π,si π,si 5 π,si π, }{,0,,0,,0, },proto si π eeistuje Důaz apřílad sporem Kdyby eistovala ita L, pa í musí overgovat i aždá podposloupost, apříladpodposloupost {,,,,, }ipodposloupostzesudýchčleů {0,0,0,0,0, },aletytodvě poslouposti emají stejou itu L, aždá má jiou 7 { si π } {si π, si π, si π, si π, 5 si 5 π, 6 si π, } {,0,,0, 5,0, 7,0, },proto si π 0 Formálě by se použila věta o sevřeí, ejlépe verze s absolutí hodotou: si π si π 0 8 Poud si pamatujeme speciálí pravidlo, je výpočet sadý:

3 [+ ] [e ] e Vopačémpřípaděezbýváežjítatostadardě,tjdosaditeoečo,aprotožetyp jeeurčitý, přejít fucím a příslušému postupu e l e l Teďspočítámeituvepoeciále,podosazeíeoečamátyp0 amusísepřevéstapodíl l l 0 0 l H Návrat epoeciále: e l e 9 Totosezasestadarděřešídosazeímeoeča,výsledýtyp jeeurčitýastadardípostupje přesu fucím, převod a epoeciálu a ěde tam bude l Hospital e l + e l + + Teďzaseigorujeme e,itavěmjeeurčitýsouči 0,tedypřevodapodíl l + l 0 [ + 0 l ] + l H [ ] Naoec dosadit zpět do epoeciály: e l + e + Alterativa:Eistujezpůsob,jazadaývzorečepřevéstatvarzvládutelýpřestyp e c + + Toto vypadá dost podobě, ale e zcela Prví ro je zbavit se ompliace ve jmeovateli substitucí m + m + m m m m m m Teď zjedodušíme mociu a bude to [ m m m m ] [ m m ] m + m [ m m m m ] [ ] e 0 e 0 Chcesepoásásledující: Je-lidáolibovolé ε >0,musímeajít Ntaové,abypro Nplatilo + < ε Předpoládejme tedy, že je ějaé ε > 0 dáo, a zusme zjedodušit erovost, terou máme zajistit: + < ε + < ε + < ε ε < + ε < Dostali jsme erovost, terá platí, poud je velé, což je přesě tím správým směrem, protože my můžeme velá zajisiti Taže: Protodaé εsizvolímeějaéveléčíslo N taové,aby ε < N Našlijsme správé N?Ao,protoževšecha Ntaésplňují ε <,tedypodleašichevivaletíchúpravi + < ε Chcesepoásásledující: Je-lidáolibovolé K >0,musímeajít Ntaové,abypro Nplatilo +si > K Tojealesadé,stačízvolitladé Ntavelé,aby N > K+Všecha Npataésplňují > K+ > K+ +si >K +K l Stačí doázat, že fucím A >0,ejlépevydělitapal Hospitala,čilipřechod

4 l l l 0 / l H / Poud je ám povoleo použít šálu moci, ta podle í je ita zísaá po vyděleí jasě ulová a emusíme dál počítat + Stačí doázat, že A >0,ejlépevydělitapal Hospitala,čilipřechod fucím + l H l Dalších dvaáct l Hospitalů echáme trpělivým Jeda možost je prohlásit, že po třiácti lospitalech dostaeme +! [l] 0, vzoreče by se doázal iducí Aebo prostě prohlásíme, že 0,protožepodlešályveoeču epoeciály domiují mociám, a budeme doufat, ž to vezmou jao argumet, při představě l H mi to přijde jao dobrý ris l Stačí doázat, že p 0, ejlépe vydělit a pa l Hospitala, čili přechod fucím l l p p l H p p p p 0 Zdejsmepoužili,že p >,protožepa p >0atedy p Jetopodstaté,protožedybybylo p <0,pa p 0!+ 5 Stačí doázat, že A >0,ejlépevydělíme!!+ + +!!! Poud je ám povoleo použít šálu moci, ta můžeme prohlásit, že podle í je!+ + +0!! Poud bychom ji eměli dispozici, ta by se to muselo doázat, což ale tradičím l Hospitalem ejde vůli fatoriálu,dělásetojia,cožjevaždétlustšíizeoitách,jásimyslím,žetopovásidochtít ebude Nicméě viz o dva přílady dál 7 6 Stačí doázat, že 0, toaleebudežádásrada, protožeafatoriálelzepoužít! l HospitalaNejlepšíjepředpoládat,žejeámpovoleopoužítšálumociVíme,že7!a!, alesouči 7 jevýrazěvětšíežjehojedotlivéčásti,jetedypotřebauázat,žejestejěpořádpodstatě meší ež fatoriál Jsou dva rozumé způsoby Algebraicý: !!! 7 7 m m 7 00 m m! Zdejsmevposledímroupoužili7 m m! Triem:,proto 7 7!,tažepodletrazitivity 7! Pouděomueštěstíchybídůaz a!,vizíže, a 7 Stačí doázat, že 0Nejprveseatopodíváme! a a a a a a a! a a a a Protože a >0jeostata,určitěeistujepřirozeéčíslo Ntaové,že a N Pro Npaplatí a, tedy

5 a a! a N a N+ a a a a N a protožejsou aanostaty,je a a a N Kostata,tudíž a a K 0! 8 < Telesopicá,,protože 5 s N N N + N N N Telesopicá, < 0 s N N N N N+,protože N N+ 5 6 Nejde sečíst, eí ai geometricá, ai telesopicá, proto zusíme doázat, že diverguje Odmociové ai podílové ritérium epomůžouití dají, šlo by itegrálí Tay by šlo ití srovávací ritérium, +,ověříme: + + >0 Protoi +,důazdivergecehotov Srovávací by epomohlo, +,proto +,ztohoiceleze Chybaaproimacebude E Ja je velá? Jeda možost je odhadout chybu shora srováím s geometricou řadou, terou sečíst umíme: E Nabízíseiodhadzitegrálíhoritéria,fuce f 5 +jea, ladáalesající: d 5 + E d 5 + Co s tím itegrálem? d 5 + y5 + dyl55 d d l5 dy l55 dy l5 l5y l y l y + C l5 l 5 d [ 5 + l5 l 5 ] 5 dy yy l5 +C, proto 5 l5 l 5 y y dy l5 l 5 5 l5 l + 5 Taže l5 l + 5 E l5 l + 5,přibližětodává 0 5 E 0 5 Nászajímáhlavěhoríodhad,tedy E 0 5,cožjetrochuhoršíodhadežtezísaýsrováím výše, a druhou strau te dolí odhad uazuje, že ai jede z horích odhadů příliš epřestřelil a řád chyby jeurčitě0 5 5

6 5Chybaaproimacebude E Jajevelá? Protožejdeoalterujícířaduvetvaru b,de b + tvoříladoualesající posloupost,eistujepěýodhad: E b Dalšímožostiabízíodhadshorapomocíabsolutíhodoty: E + + Tady se vyložeě abízí itegrálí ritérium pro odhad shora: E + + d ] + + [arctg arctg arctg + + π arctg 00 Odhadjevýrazěhorší,cožsedaločeat,protožejsmehedvprvímroudíyabsolutíhodotězevšech míusů udělali plusy a součet ta zatelě zvětšili U alterujících řad je te prví odhad ejlepší 6Chybaaproimacebude E Ja je velá? Jeda možost je odhadout chybu shora srováím s geometricou řadou, terou sečíst umíme: E Jsouijiémožosti?Fuce f +jea 5, ladáalesající,cožtahleitegrálíodhad? E d + Atímjsmesočili,tetoitegráleumíme 5 Ještě je možé zusit odhad shora, dy igorujeme jiou část jmeovatele, ale to bychom tam igorovali to hlavíprovelá jetam domiatíaicdobréhosetaodtohočeatedá: E 5,harmoicářadadiverguje Víc ápadů emám 7Chybaaproimacebude E 0!+ 50 0!+ 5!+ Jajevelá? Protožejdeoalterujícířaduvetvaru b,de b!+ tvoříladoualesající posloupost,eistujepěýodhad: E b 5 5 5! Už jsme viděli, že přístupy přes absolutí hodotu bývají horší, taže to ta stačí A mimochodem,!+ ai 5 5 shora ěčím blízým ale rozumějším se taé eabízí! stejě ěja rozumě odhadout eumíme: Itegrovat to ejde, odhad 8Chybaaproimacebude E 00 0 Ja je velá? Poud bychom rádi horí odhad pomocí geometricé řadytu sčítat umíme, ta máme problém stím včitatelinicméěadruhýpohledtoeítamarévíme,žeprovelá je a,tažestačí ověřit,žeapřílad platípro 0amůžemeodhadovat: E Nabízíseiodhadzitegrálíhoritéria,fuce f jea 0, ladáalesající: E d Teď trocha per-partes: d Proto E l + l [ [l] l ] 0 [l] 0l l H [l] 0 [l] d l [l] l [l] l l l [l] 0l 6 + 0l [l] 0 0

7 Taže E [l] 0l Tetoodhadjevýrazělepší,cožsedaločeat,utohoprvíhojsmedoceladostztrácelitím 9Chybaaproimacebude E l 0 +l 0 +l Ja je velá? Neí moc a výběr Horí odhad geometricou řadou se eabízí, fuci +l itegrovat eumíme,zbýváějaýhoríodhadprotožejevejmeovateli domiatí,abízíse E 0 Pro toto sice emáme vzoreče, ale už to umíme odhadout z itegrálího ritéria: E Teď d d [ ] Proto E Kladé čley, proto jdou testy Nejlepší je ití podílové: a+ a λ protože λ <,řadaoverguje + /, / Šlobyiitíodmociové,ale vyžadujevícpráceitegrálíritérium: d ezíláavě Srovávat jde,tedy,řadaapravoovergujegeometricá, <, ale erovost má evhodý směr Fuguje ale ití srovávací: Oveříme, že : / >0 Proto,řadaapravoovergujevizgeometricá,tedyidaářadaoverguje Kladé čley, proto jdou testy Limití odmociové i podílové dá čili ic, šlo by moc pěě itegrálí: d 0 + [ arctg ] π 0 <,itegráloverguje,protoidaářadaoverguje Kde taé srovávací: +,proto +,tovpravooverguje,protoitovlevo Šlobyiitísrovávací +,ověřeípodobéjaopředchozípřílad,závěrtaé Kladé čley, proto jdou testy Nejlepší je ití podílové: λ a+ a + + +, protože λ <,řadaoverguje Šlobyiitíodmociové,ale + vyžadujetrochuprácepouddopředuevíme,že p pro libovolý polyom p Itegrálí ritérium by šlo, ale dvojí per partes ezí láavě, srovávat jde leda ta +,cožjsmesimocepomohli Kladé čley, proto jdou testy Limití odmociové i podílové dá čili ic, Itegrálí jde, ale parciálí zlomy jsou uda + Nejlepší je srovávací:,proto + Daářadadiverguje Šlobyiitísrovávací +,ověřeí: Proto + ajeto + + >0 Kladé čley, proto jdou testy Fatoriál vylučuje všechy romě podílového, zusíme sadější ití: a + a +! + +! + +!! Protože λ>,daářadadiverguje / +/+/ λ 7

8 5 Kladé čley, proto jdou testy Ta mocia volá po odmociovém, zusíme ití: a + 0 Protože 0<,daářadaoverguje Mimochodem, ití podílové by byl hus, itegrace taé, srovávat eí s čím 6 Kladé čley, proto jdou testy Limití podílové a odmociové dají čili ic, itegrálové vypadá pěě husě, zbývá srovávat Zusíme pracější ale mocější ití potřebujeověřit: >0 Srováíověřeo,proto overguje i daá řada Srováí by dalo erovost,čilibylobyičemu Tapravářadaoveguje,protože p / >,tudíž 7 Kladé čley, proto jdou testy Fatoriál vylučuje všechy romě podílového, zusíme sadější ití: a + a + +!!! + +! + 0λ Protože λ0<,daářadaoverguje Pozáma:Poudjeámpovoleopoužítjaofat,že!,palzeiitíodmociové 8 Kladé čley, proto jdou testy Ta mocia volá po odmociovém, zusíme ití: a +, taže ic Limití podílové by tay dalo, srovávat ejde vůli té mociě, eboť by vyšel eurčitý výraz + Cozbývá?NutápodmíaCodělá a provelá?přímo: l l 0 0 LH e a e + e + // Triem: e Každopádě a 0eípravda,proto a diverguje Pozáma: Všimětesi,žeprovšecha máme a + <,aleřadadiverguje Touazuje,žev odmociovémtestuopravduestačí,aby a bylomešíež,alejetřeba,abytobylomešíežějaé číslo q <,jiýmislovy, a seesmípřiblížitpřílišblízo 9 Kladé čley, proto jdou testy Fatoriál vylučuje všechy romě podílového, zusíme sadější ití: a + a +! +! Protože λ>,daářadadiverguje +!! + ++ λ 50Kladéčley,protojdoutestyLimitípodílovédáčiliic,itíodmociovédátudížtaé,aledá to avíc víc práce Šlo by itegrovatsubstitucí, protože fuce je lesajícídůaz přes derivaci a ezáporá, vyjde Daá řada proto diverguje Šlo by i ití srovávací, 0 d + [ du u ] u + sehravěověří: + + >0 Tudíž + adivergecejepotvrzea Srováí dává +,čiliprostésrovávacíbyzdeedalovýslede 5Kladéčley,protojdoutestyTohlevolápoodmociovém: a + Protože <, daá řada overguje Mimochodem, tohle vypadá velmi podobě tomu příladu před chvílí Co dyby se zusila utá podmía? a +, 0 0 Taže a 0ařadamůžeiemusíovergovatTeďtoepomohlo 8

9 Rozdíljevtom,žepředtímjsmeměli,eurčitývýraz,terýjedazpůsobí,žeodmociovédáa ičemuevede,druhadáaději,že a emusíjítuledybyvtompříladušlo a 0,tabychomjej euměli vyřešit, protože všechy ostatí testy taé selhaly Teďalemáme 0,tažeaopaedostaemeiczutépodmíy a 0,alezabereodmociové ritérium 5 Kladé čley, proto jdou testy Tohle volá { po odmociovém, asi itím: a, sudé;, liché Protože <,daářadaoverguje Šlobyiodmociové,protože pro atudíž a q <pro IN Podílové by ešlo: +, sudé; a + a +, liché, tažeaieeistujeita,dooceaielzeajít λ <,aby a + a λ 5Protože b 0,jeerostoucíajdeule,podleLeibizedaářadaoverguje Absovce:,srovávacíritérium dá,taže řada eoverguje absolutě Závěr: Daá řada overguje eabsolutě 5Protože b! 0,jeerostoucíajdeule,podleLeibizedaářadaoverguje Abs ovce:!!,itípodílovéritériumdá a + a 0<,protořada overguje absolutětudíž i overguje, ebylo potřeba Leibizit Závěr: Daá řada overguje absolutě 55Protožesice b 0,alejerostoucí,LeibizpoužítejdePřípadoueabsolutíovergeci bychom tedy euměli ašimi metodami doázat, taže to asi ebude oo Proto to tedy buď užee absolutí overgece,ebobudememítdivergeci Máme b,protoeípravda,že a ± 0,ařadadiverguje Pozáma:Pousoabsolutíovcimusízáoitěselhat,aopravdu: 56 Protožecosejde+ ++,eítoalterujícířadaajepoleibizovi Protožetomusímebýt schopivyřešittím,cozáme,zasetobudebuďabsolutíovergeceebodivergeceale a cos 0, taže divergeci emáme, pořád ic evíme Zusíme abs ovci: cos cos cos, te cos zlobí, zusímesrováí:, taže cos Řadavpravooverguje,tudížitavlevo,tažedaářadaovergujeabsolutě 57Protože b + 0,jeerostoucíajdeule,podleLeibizedaářadaoverguje Absovce: + +,itísrovávacíritériumdápoověřeí + >0, že +,proto + Řadatedyeovergujeabsolutě Závěr: Daá řada overguje eabsolutě 58Protože b + 0,jeerostoucíaejdeule,podleLeibizedaářadadiverguje Jdetotaépozatpodletoho,že + +,protorozhodě ± + eovergujeule,taže eí splěa utá podmía overgece 59Protože a + + 0,absolutíovergeceaovergecevyjdouastejoŘadatedybuďdiverguje, ebo overguje absolutě, a můžeme a i apliovat všechy testy pro ezáporé čley Tohle epůjde podílovým či odmociovýmdají, ale ití srovávací to udolá + + seověří: / 9

10 >0, tudíž + + Řadaapravoovergujep / >,protoovergujeiřadaalevo Závěr: Daá řada overguje absolutě 60 Protožesice b 0, ale je rostoucí, Leibiz použít ejde Případou eabsolutí overgeci bychom tedy euměli ašimi metodami doázat, taže to asi ebude oo Proto to tedy buď užee absolutí overgece,ebobudememítdivergecimáme b,protoeípravda,že a 0,ařadadiverguje ± Pozáma:Pousoabsolutíovergecimusízáoitěselhat: 6Protože a 0, absolutí overgece a overgece vyjdou astejo Řada tedy buď diverguje, ebo overguje absolutě, a můžeme a i apliovat všechy testy pro ezáporé čley Fatoriál vylučuje všechy romě podílového, zusíme sadější ití: a + a + + +!! +! +! / / / + 0λ Použito 0dlel HospitalaProtože λ0<,řadaoverguje Závěr: Daá řada overguje absolutě 6,střed 0 Absovce: a,podílové: + a +, overgecepoud <,tj <,protopoloměrovergece r,rajíbody ± : diverguje : diverguje Závěr:Daářadaovergujeabsolutěaovergujea, ,střed + 0 Absovce: ,podílové: a + a + + +, <,tj <,protopoloměrovergece r,rajíbody ± overgecepoud 6: + + divergujeitímsrovávacím, + + ověřit! 0: + + overgujeleibizem Závěr: Daá řada overguje absolutě a0, 6, overguje a 0, 6 6,střed 0 0 Abs ovce:, odmociové: a a <,tj 0,protopoloměrovergece r0 Závěr: Daá řada overguje absolutě a overguje a {0} {, 0, 0, 0, overgece poud ,střed 0 Absovce: + +,odmociovétadybyšlomochezyipodílové: a + +, overgecepoud + <,tj + <,protopoloměrovergece r,rajíbody ± :,diverguje 8 :,diverguje Závěr:Daářadaovergujeabsolutěaovergujea 8, 66,střed 0 0

11 Abs ovce:,odmociové: a, overgecepoud <,protopoloměrovergece r,rajíbody ± : diverguje 0 0: diverguje Závěr: Daá řada overguje absolutě a overguje a0, 67,střed 0 0 Absovce:,odmociové: a vždy, proto poloměr overgece r Závěr: Daá řada overguje absolutě a overguje a IR 0,overgecepoud a <,tj 68,střed 0 Absovce: a,podílové: + a + + +, overgecepoud <,tj <,protopoloměrovergece r,rajíbody ± 5 : divergujeitímsrovávacím, : ověřit! overgujeleibizemebopřesabsolutíovergeci Kovergujíobarajíbody, proto absolutí overgece Závěr:Daářadaovergujeabsolutěaovergujea, / + +,střed 0 Absovce: a,podílové: + a , overgecepoud + <,tj + <,protopoloměrovergece r,rajíbody ± 0: + divergujeitímsrovávacím, + ověřit! : + overgujeleibizem Závěr: Daá řada overguje absolutě a, 0, overguje a, ,střed Absovce: 8 + 8,podílové: + a + a + 8 0, , overgecepoud 8 <,tj 8 <,protopoloměrovergece r,rajíbody8 ± : divergujeitímsrovávacím, ověřit!,eboprostědiverguje,protože a + +, tedyeípravda,že a 0 : diverguje,protože a + ± ejdeule + Závěr: Daá řada overguje absolutě a overguje a, 7+e + e e + e e + IR, r e 0 e! + + e! e! + 0 e! + e + 7 πcoscos πcos e! ++e + IR, r! + π! ; IR 0 0!+ e e! + e +! ; IR 0!+! π Řady edáváme dohromady, protože mociy jsou jiév prví řadě liché, v druhé sudé ! pro y < <, r + ;,5

12 7+e / + +e /+/ + e / e / +e / e / + pro y / IR IR, r e / [/]! +e / [/]! e /! + + e /! e /! + e /! + e /! + e /! + [e / +]+ 0 e / +! ; IR 75 πcos+ πcos π+π + πcos π + π+π pro y π IR IR, r π [π]! + π+π 0 +! π+ + π+π π+ π+ +! π+ ; IR pro y < <, r ;, e + ++e + + +e e + + e e + ++ pro y+ IR IR, r +e [+]! + e [+]! e! e! e! [e ]+[e +]++ e! + ++ e! + ++ e! e +! + ; IR siπ++si π+ π ++si π+ + pro yπ+ IR IR, r π + +! + + ; IR pro y +/5 < + <5, r [π+] + +! ; 7, 80 si+π+πsi π+π +ππsi π +πsi π +π pro y π IR IR, r π [π] + +! + π [π] + +! + π 0 0

13 + +! π+ + + π +! π+ + π ! π+ ++π π+ + π +! π+ ; IR 0 8 [ ] [ [ ] +] + pro y +/ < + <, r [ ;, 8sisi + si cos+sicos pro y IR IR, r cos + +! +si! 0 0 cos +! + + si! ; IR 0 0 ] [ Řady edáváme dohromady, protože mociy jsou jiév prví řadě liché, v druhé sudé 8 + [ ] [ ] + [ ] ++ + [ ] pro y + < + <, r + 0 [ ] ;,0 0 8arctg Alterativa: arctg d + dt t + 0 t dt ] + + dt t pro y t < t <, r 0 t dt [ ] t ;, 0 0 d pro y < <, r d d + + C;, 0 0 Kolije C?Dosadímeějaépěéčíslo,třeba 0: arctg C 00+C C cosh e + e ee + e e pro y IR IR, r 0 86 cos e! + e! 0 0 pro y IR IR, r 9! + ; IR 0 + e 0! + e 0 e+ e! ; IR [ ] 0! []!