Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána
|
|
- Vlasta Bílková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá
2
3 Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece fukčí poslouposti 33 Kpitol 4. Věty o ití fukci 4 Část 3. Fukčí řdy 55 Kpitol 5. Stejoměrá kovergece 57 Kpitol 6. Věty o záměě 69 Kpitol 7. Trigoometrické řdy 83 Litertur 7 Rejstřík 9 3
4
5 Předmluv Skriptum je určeo pro posluchče II. ročíku FJFI ČVUT jko učebí pomůck k předášce Mtemtická lýz III, kterou tké z jedé třetiy pokrývá. Prví kpitol pojedává o mociých řdách většiou v komplexím oboru. Po zvedeí pojmu kovergece mocié řdy se vyšetřují zákldí vlstosti oboru kovergece. Dále ásledují věty o spojitosti, diferecovtelosti itegrovtelosti součtové fukce mocié řdy, zkoumjí se možosti rozvoje fukce v mociou řdu. Druhá kpitol je věová fukčím posloupostem. Zvádějí se růzé typy kovergece poslouposti fukcí s cílem lézt tkový druh kovergece, který ejlépe vystihuje přeos spojitosti z čleů fukčí poslouposti ití fukci. dále jsou vyslovey dokázáy věty o derivci, itegrci zobecěé itegrci ití fukce. Ve třetí kpitole jsou plikováy výsledky předcházející kpitoly fukčí řdy. Studují se zde tké ekoečé fukčí součiy, které jsou potom bezprostředě užity při vyšetřováí fukce Γ. Závěrečý odstvec ptří trigoometrickým řdám studiu jejich bodové kovergece. V trigoometrickou řdu jsou rozvíjey fukce mjící bsolutě kovergetí zobecěý Riemův itegrál. Větši vět defiic je doplě řdou pozámek, které vysvětlují, doplňují ebo zobecňují předcházející tvrzeí pojmy. Mohé pozámky, které kosttují určité skutečosti, iž je dokzují, resp. jejich důkz pouze zčují mohou sloužit jko užitečá cvičeí to zejmé pro posluchče oboru MI. 5
6
7 Část Mocié řdy
8
9 KAPITOLA Kovergece mocié řdy Defiice.: Buďte ) + = posloupost komplexích čísel, z, z C. Potom řdu zýváme mociou řdou. z z ).) Pozámk... Je-li z = z, potom mociá řd.) koverguje pro libovolou posloupost ) +. Je-li z z, potom kovergece, resp. divergece mocié řdy.) závisí volbě poslouposti ) +. Pozámk... Řd koverguje pouze pro z = z. Pozámk..3. Řd! z z ) z z ) koverguje pro všech komplexí z. Pozámk..4. Vyšetřeme yí kovergeci řdy! z i) + v závislosti z C. ) Řd diverguje pro všech z {z C z i > }. Pro tková z totiž z i) epltí utá podmík + + =. b) Podle Cuchyov odmociového kritéri še řd bsolutě koverguje pro všech z {z C z i < }. c) Je-li z i =, můžeme číslo z i jedozčě vyjádřit ve tvru e iϕ, kde ϕ, π. Číselá řd + pro ϕ = podsttě diverguje pro ϕ, ), π e iϕ + podle Dirichletov kritéri 3 koverguje. Odtud vyplývá, že řd + z i) + Čísl v.) se zývjí koeficiety mocié řdy. Pro osttí z z totiž epltí utá podmík kovergece +! z z ) =. 3 Nechť je dá číselá řd ve tvru + b echť pltí: i) c > ) N) k= b k c); ii) posloupost ) + je reálá, mootóí pltí + =. Potom + b koverguje. Zde kokrétě: = +, b = eiϕ př. c = si ϕ viz poz str. 6)). 9
10 . KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY kružici {z C z i = } koverguje ebsolutě) s výjimkou jediého bodu z = + i, kde podsttě diverguje do + ). Defiice.: Ozčme B z, )) možiu všech z C, pro která mociá řd.) koverguje. Možiu B z, )) zveme obor kovergece mocié řdy.). Pozámk... Z pozámky.. vyplývá, že obor kovergece B z, )) je eprázdá moži z B z, )). Pozámk... Pro řdy z pozámek..,..3,..4 po řdě dostáváme, že: B z,!)) = {z }, B z, = )) C B + i, = {z C z i } { + i}. + Pozámk..3. Řdy + z z ) + z z ) +p, kde p je přirozeé číslo, mjí stejý obor kovergece. Vět.3: Buď z B z, )). Potom {z C z z < z z } B z, )). Důkz. ) Je-li z = z, je tvrzeí prvdivé B z, )). b) Buď z = z B z, )), z C. Potom pltí z z ) = z z ) z z z z. Nechť dále z splňuje erovost z z < z z..) Protože číselá posloupost z z ) ) + je kovergetí ) tedy omezeá, existuje číslo K R + tk, že pro všech N je z z ) K z z z z. A jelikož prvé strě erovosti je čle geometrické poslouposti s kvocie- tem z z z z < viz.)), mociá řd z z ) koverguje podle srovávcího kritéri) tedy z B z, )). Pozámk.3.. Z důkzu věty.3 vyplývá, že je-li z B z, )), potom pro všech {z C z z < z z } mociá řd.) koverguje bsolutě. Pozámk.3.. Z předchozí pozámky plye, že mociá řd koverguje bsolutě vitřku svého oboru kovergece. Pozámk.3.3. Sdo se přesvědčíme, že z pozámky.3. rověž plye, že obor kovergece mocié řdy je moži kovexí. Vět.4: Nechť z / B z, )). Potom {z C z z > z z } C B z, )).
11 . KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY Důkz. Sporem. Nechť tedy z B z, )) {z C z z > z z }. Potom podle věty.3 by muselo být z B z, )). To je ovšem ve sporu s předpokldem věty. Pozámk.4.. Předpokld věty.4 lze pomocí pozámky.3. ještě zeslbit: Nechť číselá řd + z z ) koverguje ebsolutě ebo diverguje. Potom pro všech z C, pro která pltí z z > z z mociá řd.) diverguje. Skutečě. Kdyby totiž bylo z B z, )) {z C z z > z z }, potom by podle pozámky.3. musel číselá řd + z z ) kovergovt bsolutě. Pozámk.4.. Z věty.4 plye, že pokud mociá řd v ějkém bodě z C diverguje ebo ebsolutě koverguje, je její obor kovergece omezeá moži. Defiice.5: Buď r R +. Ozčme B z, r) = {z C z z < r } B z, r) = {z C z z r } Vět.6 A. L. Cuchy [3]): Buďte ) + posloupost komplexích čísel, z C. Potom pltí právě jede z ásledujících výroků: i)b z, )) = {z } mociá řd.) koverguje pouze pro z = z ). ii)b z, )) = C mociá řd.) koverguje pro kždé z C). iii)existuje číslo R R + tk, že B z, R) B z, )) B z, R) pro kždé z C, z z < R mociá řd.) koverguje pro kždé z C, z z > R mociá řd.) diverguje). Důkz. Ozčme M = {r R + B z, r) B z, ))}. Potom ste právě jed z ásledujících možostí: i) M =, tj. B z, )) = {z } viz poz... str. 9)). ii) M = R +, tj. B z, )) = C viz poz...3 str. 9)). iii) = M R +. Protože M je v tomto přípdě eprázdou shor omezeou číselou možiou, existuje sup M R +. Položme R = sup M. ) Buď yí z B z, R) tj. číslo z z < R). Potom existuje r M tk, že z z < r R 4, tj. z B z, r) B z, )). tudíž eboť z bylo zcel libovolé) R = mx M). b) Nechť 4 Plye z druhé vlstosti suprém. B z, R) B z, )) z 3 C B z, R).
12 . KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY Potom z 3 z > R tj. z 3 z je tké horí závor M) tedy z 3 z / M. Existuje proto z B z, z 3 z ) tkové, že z / B z, )) proto dle věty.4 str. ) je {z C z z > z z } C B z, )). Protože z 3 z > z z, je z 3 C B z, )), tedy C B z, R) C B z, )) B z, )) B z, R). Pozámk.6.. Bod iii) věty.6 lze topologicky formulovt tk, že existuje R R + tkové, že pltí B z, )) = B z, R) B z, )) = B z, R). Přitom symboly A, resp. Ā rozumíme vitřek, resp. uzávěr možiy A. Pozámk.6.. Z předcházející pozámky vyplývá, že pro obor kovergece B, který eí jedobodový, pltí: B z, )) = B z, )). Pozámk.6.3. Přímo z věty.6 vidíme, že číslo R s vlstostí iii) existuje pro dou mociou řdu ejvýše jedo je to suprémum možiy). Proto ásledě defiujeme: Defiice.7: Číslo R ve větě.6 zýváme poloměr kovergece mocié řdy.), bod z jejím středem kovergece. Přitom kldeme {, je-li B z, )) = {z } R = +, je-li B z, )) = C. Pozámk.7.. Připustíme-li v defiici.5 i r = r = +, můžeme větu.6 i s pozámkou.6.3 vyslovit yí tkto: K mocié řdě.) existuje právě jedo číslo R, + tk, že pltí B z, R) B z, )) B z, R). Vět.8 J. Hdmrd [6]): Buď R poloměr kovergece mocié řdy.). Potom pltí: R = sup. + Přitom zde kldeme + = = + ). Důkz. Z pozámek.3. str. ).6. vyplývá, že hledáme-li poloměr kovergece R mocié řdy.), pk vlstě vyšetřujeme její bsolutí kovergeci čili kovergeci reálé řdy s ezáporými čley). K tomu užijeme zobecěého Cuchyov odmociového kritéri 5. 5 Nechť je dá reálá řd s ezáporými čley + =, potom pltí: Jestliže sup < pk dá řd koverguje, jestliže opk sup >, pk dá + + řd diverguje.
13 ) Nechť sup + sup +. KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY 3 =. Potom pro libovolé z C pltí: z z ) = z z sup =, + tj. B z, )) = C R = +. b) Nechť < sup < +. Ozčme R =. +. Zvolme z B z, R ), potom sup + z z ) = z z sup + tedy B z, R ) B z, )).. Je-li z C B z, R ), potom sup + z z ) = z z sup + sup + = z z R < = z z R > proto C B z, R ) C B z, )), tj. B z, )) B z, R ). Dokázli jsme tk ikluzi B z, R ) B z, )) B z, R ), což vzhledem k jedozčosti poz..6.3) je možé pouze tk, že R = R. c) Nechť sup = +. Potom pro všech z C {z } pltí: + sup + z z ) = z z sup = +. + Odtud B z, )) = {z } R =. Pozámk.8.. Pokud ve větě.8 existuje R = +. Pozámk.8.. Jestliže dokoce existuje kovergece vzorec R = + +, je +, + + pltí pro poloměr Pozámk.8.3. Pomocí věty.6,.8 pozámky.3. str. ) se ám zčě zjedoduší vyšetřováí kovergece mociých řd. Vyšetřujeme-li chrkter mocié řdy.), potom ejdříve lezeme pomocí věty.8 resp. poz ) poloměr kovergece R. Z věty.6, poz vyplývá, že řd koverguje bsolutě B z, R) diverguje možiě C B z, R). Zbývá tedy vyšetřit chrkter řdy kružici Ḃ z, R) = {z C z z = R } = Ḃ z, )), tj. hrici oboru kovergece. Pozámk.8.4. Z příkldu v pozámce..4 vyplývá, že kružice Ḃ z, )) může obshovt jk body, ve kterých mociá řd koverguje, tk body, v ichž řd diverguje. To zmeá, že chrkter řdy Ḃ z, R) budeme muset vyšetřit v kždém přípdě zvlášť. Pozámk.8.5. Jestliže mociá řd koverguje bsolutě lespoň v jedom bodě hrice Ḃ z, )), potom bsolutě koverguje i možiě B z, )) = B z, R)..
14 4. KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY Pozámk.8.6. Poěkud jedodušší je vyšetřováí kovergece mociých řd možiě reálých čísel. Buď v ásledujících pozámkách ) + posloupost reálých čísel, x R vyšetřujme chrkter mocié řdy + x x ) pro x R. Ozčíme-li R opět poloměr kovergece této řdy, bude obor kovergece jedím z ásledujících itervlů: x R, x + R), x R, x + R, x R, x + R), x R, x + R. Přitom víme, že itervlu x R, x + R) řd koverguje bsolutě, možiě, x R) x + R, + ) diverguje. Zůstává tedy utost vyšetřit chrkter řdy pouze v bodech x R, x + R. V ásledujících příkldech je dokumetová rozmitost, která v těchto bodech může vzikout. Pozámk.8.7. Řd ) x x ) má poloměr kovergece R =, obor kovergece x, x + ) v bodech x i x + osciluje. Pozámk.8.8. Řd x x ), resp. ) x x ) má poloměr kovergece R =, obor kovergece x, x + ), v bodě x osciluje, resp. podsttě diverguje v bodě x + podsttě diverguje, resp. osciluje. Pozámk.8.9. Řd x x ) má poloměr kovergece R =, obor kovergece x, x + ) v bodech x i x + podsttě diverguje. Pozámk.8.. Řd x x ), resp. + ) x x ) + má poloměr kovergece R =, obor kovergece x, x + ), resp. x, x +, v bodě x ebsolutě koverguje 6, resp. podsttě diverguje v bodě x + podsttě diverguje, resp. ebsolutě koverguje. Pozámk.8.. Řd ) [log ] [log ] + x x ), resp. ) +[log ] [log ] + x x ) má poloměr kovergece R =, obor kovergece x, x + ), resp. x, x +, v bodě x ebsolutě koverguje, resp. osciluje v bodě x + osciluje, resp. ebsolutě koverguje. 6 Podle Leibitzov kritéri pro lterující reálé řdy: Nechť je dá číselá řd + ) b + echť pltí b b + > pro N. Pk řd ) b + koverguje + b =.
15 . KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY 5 Pozámk.8.. Řd ) + x x ) má poloměr kovergece R =, obor kovergece x, x + v bodech x i x + ebsolutě koverguje. Pozámk.8.3. Řd + ) x x ) má poloměr kovergece R =, obor kovergece x, x + v bodech x i x + bsolutě koverguje. Vět.9: Buďte R, resp. R b poloměry kovergece mociých řd + z z ), resp. b z z ) c C eulové komplexí číslo. Potom pltí: i)poloměr kovergece řdy + c z z ) je R. ii)součet obou řd + + b ) z z ) je mociá řd, jejíž poloměr kovergece je větší ebo rove mi {R, R b }. iii)součiová řd obou řd + ) j b j z z ) je mociá řd, jejíž j= poloměr kovergece je větší ebo rove mi {R, R b }. Důkz. ) Tvrzeí bodu i) je důsledkem rovosti sup c = sup + + věty.8. b) Vzhledem k tomu, že pro všech z C N pltí erovosti + b ) z z ) z z + b z z, j b j z z ) j z z j) b j z z j), j= j= že součiová řd dvou bsolutě kovergetích řd je bsolutě kovergetí, jsou prvé stry obou erovostí pro z B z, mi {R, R b }) čley kovergetích řd. Odtud plye, že mocié řdy ii) iii) pro všech z, pro která je z z < mi {R, R b }, kovergují bsolutě, tedy jejich poloměr kovergece emůže být meší ež mi {R, R b }. Pozámk.9.. Vět.9 říká málo o vlstím oboru kovergece. Sdo hlédeme, že pltí: ) Pro všech c C {} je B z, )) = B z, c )). b) B z, + b )) B z, )) B z, b )). Pozámk.9.. Položíme-li v předchozí pozámce pro všech N b =, vidíme, že je dokoce možé, by poloměr kovergece součtu dvou mociých řd byl + i když př. pro =! měly sčíté řdy poloměr kovergece rove ule.
16 6. KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY Pozámk.9.3. Z Mertesovy věty 7 plye, že pro součiovou řdu mociých řd + z z ) + b z z ) pltí B z, ) ) j b j B z, )) B z, b )) j= ovšem z předpokldu, že průik B z, )) B z, b )) eobshuje body, v ichž obě ásobeé řdy kovergují ebsolutě. Nutost tohoto předpokldu dokzuje ásledující příkld: Pozámk.9.4. Položme pro všech N = b = ) +. Potom pltí R = B, )) B, b )), le / B, ) ) j b j. Pro koeficiety součiové řdy totiž pltí c = j b j = j= c j= j= ) j + j + ) =. j= + ) Pozámk.9.5. V teorii číselých řd se zdálo být studium kovergece součiové řdy jkousi mtemtickou specilitou. Nyí všk vidíme, že součiová řd dvou mociých řd předstvuje jediou možost, jk ze speciálího) součiu dvou mociých řd uzávorkováím) vytvořit zovu mociou řdu. Proto tké v teorii mociých řd se pod pojmem souči dvou mociých řd rozumí jejich součiová řd. Pozámk.9.6. Buď f rcioálí fukce defiová itervlu, + ) 8. Potom mocié řdy + z z ) + f) z z ) mjí tetýž poloměr kovergece, eboť: sup f) = f) sup = sup Pozámk.9.7. Speciálě viz též poz...3 str. )) mjí tetýž poloměr kovergece mocié řdy + z z ), + z z ) + = = z z ) ; přitom pltí př. z Abelov kritéri): )) B z, B z, )) B z, )). + Pozámk.9.8. Posledí ikluzi si můžeme pmtovt pod heslem: Derivováím mocié řdy čle po čleu se obor kovergece ezvětší itegrcí čle po čleu se obor kovergece ezmeší. Pozámk.9.9. Mocié řdy lze tké dělit. K výkldu této problemtiky je všk zpotřebí zát ěkteré vlstosti součtové fukce. Viz poz..7.7 str. 7). 7 viz poz str. 7) 8 tj. fz) = c pz p +c p z p + +c z+c d qz q +d q z q + +d z+d, kde p, q N, c k, d l R, k ˆp, l ˆq, c p =, d q.
17 KAPITOLA Součtová fukce mocié řdy Defiice.: Fukci s : z + z z ), defiovou možiě B z, )), zýváme součtovou fukcí mocié řdy.) str. 9). Pozámk... Pro větší přehledost budeme v tomto odstvci předpokládt z =. Obecé závěry pro libovolý střed kovergece z potom dosteme po provedeí trsformce z z z. Vět. o spojitosti): Buď z vitřím bodem oboru kovergece mocié řdy + z. Potom její součtová fukce je spojitá v bodě z. Důkz. Ozčme R poloměr kovergece řdy + z buď z B, )). Zvolme číslo r tk, by pltilo z < r < R. Potom pro všech z B, r) pltí: sz) s z ) = z = z z ) Odtud již dostáváme erovost sz) s z ) z z j= z = j= z j z j. z z ) = z j z j z z r. Protože podle pozámky.9.7 řd + z v bodě z = r koverguje, tj. c R + ) r = c) sz) sz ) c z z sz) = sz ), z z je vět dokázá. Pozámk... Z věty. vyplývá, že součtová fukce mocié řdy je spojitá vitřku svého defiičího oboru B, )). N tomto místě zůstává evyřeše otázk spojitosti v těch bodech defiičího oboru součtové fukce, které leží kružici Ḃ, )). V oboru komplexích čísel to eí jedoduchá záležitost, v oboru reálých čísel tuto otázku vyřešíme ž po zvedeí pojmu stejoměrá kovergece viz poz str. 7)). V důkzu jsme z volili zcel libovolě. 7
18 8. SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY Vět.3 o derivci): Buď z vitřím bodem oboru kovergece mocié řdy + z. Potom její součtová fukce s je diferecovtelá v bodě z pltí: s z ) = = z. Důkz. Ozčme R poloměr kovergece mocié řdy + z buď z B, )). Zvolme číslo r tk, by pltilo z < r < R. Potom pro všech z B, r) {z } pltí: sz) s z ) z z z z = z ) z z z = = z z + z z z = = ) z j z j z = = j= ) = z j z j z = j= z j z j z j = = j= ) = z j j z z z j i z i = j= i= z z jr = c z z, = kde jsme ozčili c = j= = ) r, což lze, eboť jde dle.9.8 str. 6) o koečý) součet kovergetí řdy. Odtud již itím přechodem z z získáváme obě tvrzeí věty. Pozámk.3.. Z věty.3 vzhledem k pozámce.9.8 str. 6) vyplývá, že součtová fukce s mocié řdy + z s eulovým poloměrem kovergece má v kždém vitřím bodě oboru kovergece derivce všech řádů tyto derivce se djí lézt derivováím řdy + z čle po čleu, tj. s m) z) = =m m j= ) j) z m = =m ) m!) z m.) m pro všech z B, )) všech m N. Pozámk.3.. Speciálě v předchozí pozámce pro m-tou derivci s ve středu kovergece dostáváme s m) ) = m! m, tj. m = sm) ) m!, pro všech m N. Pro součtovou fukci s mocié řdy + z tedy pltí: sz) = s ) ) z, pro všech z B, ))..)! Pozámk.3.3. Z pozámky.3. vyplývá již jedozčost vyjádřeí součtové fukce pomocí mocié řdy v tomto smyslu: Jsou-li + z, + b z dvě mocié řdy s eulovými poloměry kovergece
19 . SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY 9 R, R b součtovými fukcemi s, s b tkové, že s z) = s b z), pro všech z B, mi {R, R b }), potom = b, pro všech N. Skutečě ozčíme-li M = B, R ) B, R b ), je s M = s b M proto: m = m! sm) ) = m! s M ) m) ) = m! s b M ) m) ) = m! sm) b ) = b m. Pozámk.3.4. Buď s součtová fukce mocié řdy + z s eulovým poloměrem kovergece. Potom pltí: Je-li fukce s lichá, resp. sudá, je = s ) ) = ), resp. + = s +) ) = ) pro všech N. Defiice.4: Nechť fukce f má v bodě z derivce všech řádů. Potom mociou řdu f ) z )! z z ) zveme Tylorovou [43] řdou fukce f se středem v bodě z. Pozámk.4.. Tylorovu řdu fukce f se středem v bodě zýváme Mcluriovou [35] řdou fukce f. Pozámk.4.. Z pozámky.3. plye, že kždá mociá řd s eulovým poloměrem kovergece je Tylorovou řdou své součtové fukce se stejým středem). Dlší zobecěí libovolý střed) předstvuje ásledující vět: Vět.5: Buďte R poloměr kovergece mocié řdy + z, s její součtová fukce z B, R). Potom pro všech z B z, R z ) pltí: sz) = m= s m) z ) m! z z ) m. Důkz. Pro z = je tvrzeí věty přímo.) z pozámky.3.. Zvolme yí z B, R) {}, potom sz) = z = + ) = m m= + ) = m m= =m [z z ) + z ] = z z ) m z m = z m ) z z ) m m= m= ) m ) m z z ) m z m = z z ) m z m =.3) pro všech tková z B, R), pro která je možé v.3) provést záměu pořdí sum. Tu je možo provést určitě tehdy, koverguje-li dvojá řd ) z z ) m z m.4) m m,) N N m = pro m >
20 . SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY bsolutě 3. Protože všk ) z z ) m z m = m m,) N N ) = z z ) m z m = m m= ) = z z ) m z m = m = m= z z + z ) < + pro všech z C tková, že z z + z < R, dvojá řd.4) koverguje bsolutě pro všech z B z, R z ). Dokázli jsme tedy, že pro všech z B z, R z ) pltí: sz) = m= + ) m =m z m ) z z ) m = m= s m) z ) m! Posledí rovost získáme doszeím z = z do.) z pozámky.3.. z z ) m. Pozámk.5.. Fukce s třídy C ), pro kterou ke kždému bodu z z jejího defiičího oboru existuje okolí, v ěmž je fukce součtovou fukcí mocié řdy.) se středem v bodě z, se zývá lytická. Dokázá vět tedy vlstě říká, že: Zúžeí součtové fukce mocié řdy vitřek jejího oboru kovergece je lytická fukce. V možiě komplexích čísel je to málo zjímvý výsledek, eboť zde je to je důsledek věty.3 o derivci tj. skutečosti, že součtová fukce mocié řdy je vitřku oboru kovergece holomorfí). Zásdí výzm má všk teto závěr v možiě reálých čísel. Pozámk.5.. Buď yí f reálá fukce reálé proměé třídy C ) echť x je bod z defiičího oboru fukce f. Jediá mociá řd se středem v bodě x, která může v jistém okolí bodu x k fukci f kovergovt, je podle pozámky.4. Tylorov řd k= f k) x ) k! x x ) k. Předpokládejme, že její poloměr kovergece R je eulový ozčme s její skutečou) součtovou fukci. Potom pro všech x z itervlu x R, x + R) pltí sx) = T x) + r x), kde T x) je -tý částečý součet Tylorovy řdy tj. Tylorův mohočle -tého stupě) r x) její zbytek po -tém čleu. Součsě le tké pltí podle Tylorovy věty z difereciálího počtu f x) = T x) + R x) pro všech x z itervlu x R, x + R), kde R x) je zbytek v Tylorově vzorci. Pro všech x z itervlu x R, x + R) pltí tedy fx) = sx) r x) + R x) odtud pro x x R, x + R) vyplývá, že fx) = sx) právě tehdy, jestliže + R x) =. Fukce f je tedy součtovou fukcí své Tylorovy řdy v bodě x z jejího oboru kovergece právě tehdy, jestliže posloupost zbytků R x) v příslušém Tylorově 3 Pro bsolutě kovergetí dvojé řdy budeme užívt symbol. Te bude m,) N N zdůrzňovt fkt, že čley bsolutě kovergetích řd lze libovolě přerovt uzávorkovt), tj. sčítt v libovolém pořdí, iž by to mělo vliv kovergeci řdy, popř. její součet. To, že řd.4) oprvdu koverguje bsolutě my jsme oprávěi použít tohoto zápisu je ukázáo dále.
21 . SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY vzorci je v ekoečé itě ulová. V ásledující pozámce ukážeme příkld fukce třídy C ), která eí součtovou fukcí své Tylorovy řdy. Pozámk.5.3. Položme fx) = {e x pro x R {} pro x = Fukce f je zřejmě ekoečěkrát diferecovtelá možiě R {}. Idukcí přitom sdo dokážeme, že f ) x) = p 3 x ) e x,. kde p k je polyom stupě k. Protože f fx) f) ) = = x x x x e x = x f x) = x p 3 ) e x x =, je fukce f třídy C ) celém R. Předpokládejme, že f je třídy C ) f ) ) =. Potom f +) f ) x) f ) ) ) = = x x x x p 3 ) e x x = f +) x) = p 3+) x x ) e x x =. Dokázli jsme tk, že fukce f je třídy C ) celém R. Přitom sx) = f ) ) x = pro všech x R,! le fx) > pro x R {}. Neexistuje tedy mociá řd se středem v bodě, která by v ějkém okolí uly kovergovl k fukci f. Pozámk.5.4. Dosdíme-li v pozámce.5. z f postupě ěkteré elemetárí fukce, obdržíme ásledující idetity: e x = si x = cos x = x!, ) + )! x+, ) )! x
22 . SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY pro všech x R; + x) α = l + x) = rctg x = rcsi x = ) α x,, pokud α > pro všech x,, pokud α, ;, ), pokud α ) + x+ pro všech x, ; ) + x+ pro všech x, ; ) + ) x + = x + = + )!! x!) pro všech x,. Viz tké pozámky.7. str. 3) ž.7.9 str. 8). Vět.6 o jedozčosti): Buď r > echť mocié řdy + z, + b z kovergují možiě B, r) k součtovým fukcím s, s b. Nechť koečě moži {z B, r) s z) = s b z)} má v B, r) hromdý bod. Potom = b pro všech N tedy s = s b ). Důkz. Ozčme M = {z B, r) s z) = s b z)} f = s s b. Potom fz) = c z, kde c = b, pro všech z B, r) fz) = právě když z M. Buď A moži všech hromdých bodů možiy M v B, r). Z předpokldů věty vyplývá, že A je eprázdá zřejmě i uzvřeá v B, r). Ukážeme yí, že A je tké otevřeá. Buď z A. Potom podle věty.5 lze fukci f možiě B z, r z ) vyjádřit jko součtovou fukci mocié řdy se středem v bodě z. Buď tedy fz) = + d z z ) pro všech z B z, r z ) buď dále m ejmeší idex, pro který pltí d m. Potom fz) = z z ) m gz), kde gz) = + d m+ z z ) pro všech z B z, r z ) g z ) = d m =. Odtud vyplývá 4, že existuje okolí U bodu z tkové, že pro všech z U je gz) tedy je i fz) pro všech z U {z }. To je ovšem ve sporu s tím, že bod z je hromdým bodem možiy M. Je proto d = pro všech N, fz) = pro všech z B z, r z ) tudíž B z, r z ) A. Sestrojili jsme tk v B, r) obojetou eprázdou podmožiu A. Vzhledem k tomu, že moži B, r) je kovexí tudíž souvislá), musí pltit A = B, r). Protože všk fukce f je spojitá, musí být A M, což při ikluzi M B, r) zmeá, že M = B, r) s z) = s b z) pro všech z B, r). Odtud z pozámky.3.3 str. 8) plye již tvrzeí věty. Pozámk.6.. Součtovou fukci mocié řdy můžeme povžovt z jkési zobecěí polyomu. V tomto smyslu je přirozeá otázk, které vlstosti polyomu se součtovou fukci přeášejí. Vět. str. 7) pozámk.3. str. 8) ukzují, že součtová fukce mocié řdy přejímá od polyomu tkové vlstosti, jko je spojitost diferecovtelost. 4 gz) je jkožto součtová fukce spojitá.
23 . SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY 3 Pozámk.6.. Zákldí vět lgebry říká, že kždý polyom stupě lespoň prvího má v možiě komplexích čísel lespoň jede koře. Tuto vlstost emusí mít součtová fukce mocié řdy. Příkldem může být řd + Pozámk.6.3. Z druhé stry je kždý polyom -tého stupě jedozčě urče svými hodotmi v + vzájemě růzých bodech. Vět.6 je zobecěím této vlstosti součtovou fukci mocié řdy. Vět.7 o itegrci): Buďte R poloměr kovergece s součtová fukce mocié řdy + z. Potom pltí sx) dx = pro kždý itervl, b R, R). b + +) + Důkz. Podle pozámky.9.7 str. 6) má řd + z!. + z+ poloměr kovergece R. Ozčme F její součtovou fukci. Podle věty.3 str. 8) je fukce F v kždém bodě z B, r) diferecovtelá pltí F z) = z = sz). Speciálě tedy pro libovolý itervl, b R, R) pltí: F x) = sx) pro všech x, b tudíž sx) dx = F b) F ) = + b Pozámk.7.. Tvrzeí věty.7 lze rozšířit libovolý itervl, b B, )) viz větu 6.8 str. 79)). Pozámk.7.. V pozámce.5.4 str. ) jsme rozvedli ěkteré elemetárí fukce v mociou řdu užitím Tylorovy věty z difereciálího počtu. Je místě zdůrzit, že teto postup je obecě velmi áročý zdlouhvý. Problémem může být již formálí sestrojeí Tylorovy řdy tj. lezeí hodot -té derivce fukce v dém bodě). Nejobtížější všk bývá lezeí možiy, v íž posloupost zbytků v Tylorově vzorci koverguje k ule. Uvážíme-li, že hrzeí fukce její mociou řdou je jede z ejzákldějších úkoů eje v čisté mtemtice, le i ve všech jejích plikcích, vidíme utost lezeí efektivějších metod rozvíjeí fukcí v mociou řdu. Ty spočívjí právě v užití teorie mociých řd. Některé metody si ukážeme v ásledujících pozámkách: Pozámk.7.3. Pro všech x, ) pltí Odtud plye + x) = + + x + x = + + x = ) x. k= ) k x k ) k x k = ) + ) x
24 4. SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY pro všech x, ). Podobě + x) 3 = + x) + + x = = ) x k= ) k k + ) x k ) k x k = k= k + ) = pro všech x, ). Idukcí můžeme dokázt: + x) p = p ) k= ) + ) + ) x + k x = ) + p k p ) x = ) p x pro všech p N všech x, ). K tomuto závěru můžeme všk dleko sději dojít derivováím rovosti +x = + ) x při využití věty.3 str. 8). Pltí: + x) p = )p p )! = )p p )! = = d p dx p =p ) p+ p =p p ) m m= k= ) = + x p ) ) k + ) x p+ = k= k= k + x p+ = k m + p k x m = k ) p x m m pro všech x, ). Užijeme-li yí rovost +x = + dostáváme: l + x) = x dt + + t = Podobě z rovosti +x = + x rctg x = ) x větu.7 ) + x+ pro všech x, ). ) x obdržíme pro všech x, ): dt + + t = ) + x+. Zdůrzěme, že poloměry kovergece všech mociých řd v této pozámce byly plye to ejjedodušeji z pozámky.9.8 str. 6)), že všechy řdy jsou Mcluriovy rozvoje svých součtových fukcí viz.4. str. 9)). K celému oboru kovergece se ještě vrátíme pozámkou 6.3. str. 7). Pozámk.7.4. V předchozí pozámce jsme lezli rozvoj fukce f : x + x) α v počátku pro všech α Z. Pokud všk je α R Z, ezískáváme i itegrcí i derivcí fukci, jejíž rozvoj by ám byl zám epředpokládáme-li smozřejmě zlost biomického rozvoje). Využijeme tedy toho, že se derivováím fukce příliš eměí. Buď α R {}. Potom pltí f x) = α + x) α + x) f x) = αfx).
25 . SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY 5 Fukce f je tedy řešeím tzv. difereciálí rovice lieárí I. řádu): + x) y = αy. Hledejme yí řešeí této rovice ve formě součtové fukce mocié řdy + x, o íž budeme předpokládt, že má kldý poloměr kovergece R uvedeý postup předstvuje jedu z metod, jk se difereciálí rovice skutečě řeší). Potom pro všech x R, R) pltí = x + + x) x = α x, = α) x =, [ + ) + + α) ] x =. Z pozámky.3.3 str. 8) odtud plye + = α + pro všech N. Idukcí dostáváme = α ). Sdo se přesvědčíme, že poloměr kovergece mocié řdy + α ) x je jed tudíž její součtová fukce řeší difereciálí rovici itervlu, ). Protože f) =, hledejme yí je t řešeí ší difereciálí rovice, pro která je splě tzv. počátečí) podmík y) =. Difereciálí rovici s touto počátečí podmíkou řeší itervlu, ) kromě fukce f tké součtová fukce řdy + ) x. α Kolik tkových řešeí existuje? Předpokládejme, že fukce g je jedo tkové řešeí, tj. že pltí + x) g x) = αgx) pro všech x, ) g) =. Položme ϕ = g f ; potom pro všech x, ) pltí: ϕx) = + x) α gx) ϕ x) = α + x) α gx) + + x) α g x) = = + x) α [ αgx) + + x) g x)] =. Fukce ϕ je proto kosttí itervlu, ) přitom ϕ) =. Dokázli jsme, že ϕx) = pro všech x, ) tudíž f = g. Rovice + x) y αy = s počátečí podmíkou y) = má tedy právě jedo řešeí tudíž je + x) α = ) α x pro všech x, ) α R. Speciálě pro α = dostáváme vzorec pro součet geometrické řdy. Položíme-li α =, obdržíme dlší zjímvý rozvoj: = x) / = ) ) x = + x = )!! x, )!!
26 6. SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY ze kterého užitím věty.7 plye: rcsi x = x dt = + t ) + ) rccos x = π x + dt = π + t x = x + = x + + = + )!! x +. )!! )!! x +, )!! Pozámk.7.5. Podobě jko v předcházející pozámce můžeme lézt rozvoj fukce x e x. T vyhovuje celé možiě reálých čísel difereciálí rovici y y = s počátečí podmíkou y) =. Řešeí ve formě součtové fukce mocié řdy dává pro její koeficiety podmíku + ) + = pro všech N, tj. =!. Z podmíky y ) = vyplývá =. Zovu se přesvědčíme, že rovice y y = s podmíkou y) = má R jedié řešeí. Skutečě, je-li g jedo řešeí, pltí e x gx) ) = e x gx) + e x g x) = e x g x) gx)) =, tudíž e x gx) = e g) = pro všech x R gx) = e x, tj. e x = + všech x R. Odtud tké plye: sih x = ex e x = cosh x = ex + e x = x + + )! x )! pro všech x R pro všech x R. x! pro Pozámk.7.6. Výsledky, které jsme získli v pozámkách , lze jedoduše rozšířit z R C. Využijeme zde jedé ze zákldích vlstostí holomorfích fukcí: Buď A oblst v C, f g holomorfí fukce A. Potom, má-li moži B = {z A fz) = gz)} v A lespoň jede hromdý bod, je A = B. Speciálě: Je-li R eulový poloměr kovergece mocié řdy + z, s její součtová fukce B, R) potom dle věty.3 str. 8) je s B, R) holomorfí) f holomorfí fukce B, R), pro kterou pltí fx) = + x pro všech x R, R), je fz) = sz) = + z pro všech z B, R). Pltí proto pro všech z C e z = Odtud dostáváme: si z = i sih iz = cos z = cosh iz = z +!, sih z = z )!, cosh z = z )!. ) + )! z+ pro všech z C, ) )! z pro všech z C. Podobě lze všechy rozvoje, které jsme lezli v pozámkách , rozšířit z itervlu, ) možiu B, ) C.
27 . SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY 7 Pozámk.7.7. Již v pozámce.9.9 str. 6) jsme zčili, že mocié řdy lze tké dělit. V tomto přípdě všk již ejsou vzthy mezi koeficiety tk jedoduché. Ukážeme si to převráceé hodotě součtové fukce mocié řdy. Buď, s součtová fukce mocié řdy + z s eulovým poloměrem kovergece. Potom s) lze tedy předpisem z sz) defiovt v jistém okolí bodu fukci t. Předpokládejme, že tké fukce t je součtovou fukcí ějké mocié řdy + b z. Existuje tedy kldé r tk, že pro všech z B, r) pltí: + ) z = b z, Odtud vzhledem k.3.3 str. 8) plye tj. z b z =. b =, j b j = pro N. j= Vzhledem k tomu, že =, lze z těchto rovic vyjádřit b pomocí b, b,..., b pro všech N tk postupě určit koeficiety mocié řdy + b z pomocí koeficietů řdy + z. Protože explicití vyjádřeí koeficietů řdy + b z je zde obvykle těžko relizovtelé, elze většiou lézt poloměr kovergece řdy b z pomocí Hdmrdovy věty.8 vziká tk otázk, zd-li je vůbec áš postup zložeý předpokldu, že poloměr kovergece + b z je větší ež ) korektí. Připomeňme proto, že z teorie fukcí komplexí proměé plye, že je-li fukce f holomorfí kruhu B z, r), je tomto kruhu součtovou fukcí své Tylorovy řdy se středem v bodě z. Odtud tedy plye, že je-li še součtová fukce s eulová možiě B, r), je fukce t = s holomorfí B, r) poloměr kovergece řdy + b z je potom větší ebo rove r. Pozámk.7.8. Ozčme s součtovou fukci mocié řdy + z +)! pokusme se v duchu předchozí pozámky lézt mociou řdu + b z tk, by pltilo sz) = + b z. Protože s ) = sz) = ez z pro všech z C {}, je sz) pro všech z B, π). Z předcházející pozámky plye, že poloměr kovergece řdy + b z je lespoň π z toho, že s πi) = z věty. str. 7) dokoce plye, že poloměr kovergece je právě π). Ozčme B = b!, potom pro všech z B, π) pltí: z + )! B! z =.
28 8. SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY Odtud j= + j)! j! B j =, tj. B = ) + B j = pro všech N. j j= Postupě můžeme lézt B =, B = 6, B 3 =, B 4 = 3, B 5 =, B 6 = 4, B 7 =, B 8 = 3, td. Čísl B se zývjí Beroulliov [7] setkáme se s imi v růzých prtiích mtemtiky viz tké poz str. 99)). Sdo se přesvědčíme, že B + = pro všech N. Pro všech z B, π) {} totiž pltí: z coth z = z ez + e z = z e z + z + = B! z + z = + + = B! z. Protože fukce z coth z je sudá, jsou podle pozámky.3.4 str. 9) koeficiety u lichých moci z ulové. Zároveň jsme tk obdrželi zjímvý rozvoj z coth z = + = B z =! = Protože coth iz = i cotg z, pltí tké že z cotg z = B z pro všech z B, π) {}. )! ) B z pro všech z B, π) {}. )! Přitom poloměr kovergece obou mociých řd je π. Pozámk.7.9. Zjíce rozvoje fukcí sius i kosius v mociou řdu, můžeme se pomocí děleí mociých řd pokusit o lezeí rozvoje fukce tges. Nechť tg z = T! z. Vzhledem k tomu, že fukce sius i kosius jsou holomorfí v C, cos z B ), π cos π =, je poloměr kovergece řdy + T! z právě π. Jelikož fukce tges je lichá, je T = pro všech N. Dosdíme-li yí pro z B ), π do rovosti si z = tg z cos z, dostáváme ) T + ) + )! z+ = + )! z+ )! z tj. tedy = j= ) + )! = j= T j+ j + )! ) j j)! ) ) j + T j+ pro všech N. j +
29 . SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY 9 Odtud lezeme: T =, T 3 =, T 5 = 6, T 7 = 7, T 9 = 7936, td. Obecě lze vyjádřit koeficiety T + pomocí Beroulliových čísel: Protože tg z = cotg z cotg z pro všech z B ), π {}, je z tg z = ) + ) B z )! = tg z = ) + ) B z )! = pro všech z B, π ). Pltí proto: T = )+ ) B pro N.
30
31 Část Fukčí poslouposti
32
33 KAPITOLA 3 Kovergece fukčí poslouposti Defiice 3.: Buď f ) + posloupost komplexích fukcí defiových možiě A C. Nechť dále pro kždé z A posloupost f z)) + koverguje. Potom fukci f defiovou možiě A předpisem z f z) zýváme ití fukcí + poslouposti f ) +. Pozámk 3... V obecém přípdě bude posloupost f ) + defiová možiě B kovergovt bude podmožiě A B. V tomto skriptu ás všk bude zjímt pouze t moži A, které posloupost f ) + koverguje. V kokrétích přípdech budeme tedy z možiu A volit obor kovergece. Pozámk 3... V defiici 3. hovoříme o poslouposti fukcí z C do C. Stejě tk jsme všk mohli zvést pojem itího zobrzeí ze zcel libovolé možiy A do topologického prostoru F. Pozámk Skutečost, že f je ití fukcí poslouposti f ) + možiě A) zpisujeme tké tkto: f z) A fz). Npř. pltí: z B,) ; + z ) C e z. Pozámk V dlším odstvci se budeme zbývt otázkou, které vlstosti čleů fukčí poslouposti se přeášejí ití fukci. Při bodové kovergeci tk se tké zývá kovergece zvedeá def. 3.) se přeášejí ěkteré eití vlstosti, jko je periodičost, mootoie ebo prit, le ikoli již př. spojitost, diferecovtelost itegrbilit. Proto přikročíme k defiici tkové kovergece, při které se již uvedeé vlstosti ití fukci přeesou. Defiice 3. Ph. L. v. Seidel [4], G. G. Stokes [4]): Buď f fukce f ) + posloupost fukcí defiových možiě A. Řekeme, že posloupost f z)) + koverguje k fz) stejoměrě možiě A, jestliže ke kždému kldému číslu ε existuje R tk, že pro všech přirozeá > všech z A pltí f z) fz) < ε. Pozámk 3... Koverguje-li posloupost f z)) + k fz) stejoměrě možiě A, potom fukce f je ití fukcí poslouposti f ) + Pozámk 3... Stejoměrou kovergeci lze obecě zvést i pro zobrzeí možiy A do metrického prostoru F, σ): Buď f zobrzeí f ) + posloupost zobrzeí zcel libovolé možiy A do prostoru F, σ). Řekeme, že posloupost f z)) + koverguje k fz) stejoměrě možiě A, jestliže ke kždému kldému číslu ε existuje R tk, že pro všech přirozeá > všech z A pltí σ f z), fz)) < ε. 33.
34 34 3. KONVERGENCE FUNKČNÍ POSLOUPNOSTI Pozámk Pro stejoměrou kovergeci v def. 3., resp. v poz. 3.. užíváme ásledující zápis: f z) A fz). Pltí tedy: f z) A fz) ε > ) z A) ) > ) f z) fz) < ε) f z) A fz) ε > ) ) > ) z A) f z) fz) < ε). Všiměme si, že z hledisk mtemtické logiky se defiice bodové stejoměré kovergece liší je záměou pořdí kvtifikátorů ) z A). Pozámk V ově zvedeém ozčeí můžeme pozámku 3.. zpst ásledově: f z) A fz) f z) A fz); tj. koverguje-li f z)) + možiě A stejoměrě k fz), koverguje f z)) + možiě A tké bodově k fz). Pozámk Implikci v předchozí pozámce elze obrátit. Položme f x) = x A pro x, ). Potom f x) fx), kde fx) = pro všech x, ). Přitom f x)) + ekoverguje itervlu, ) stejoměrě fx). Položme př. ε =. Potom pro všech existuje > existuje x, ) tk, že x = ε. Pozámk Pro porováí bodové stejoměré kovergece je zčě chrkteristická jejich závislost možiě. Buď př. A = A α, kde A α C pro všech α I. Potom pltí: ) f x) A α fx) pro všech α I) f x) A fx). Zřejmě rověž pltí: b) f z) A α fz) pro všech α I) f z) A fz) pokud I je koečá moži. Tvrzeí b) všk již emusí pltit, zvolíme-li z I ekoečou př. spočetou možiu: Pozámk Pro všech m N všech x, m je x = x m). Pltí tedy x, m pro všech m N; přitom le podle pozámky 3..5 posloupost x ) + ekoverguje stejoměrě itervlu, ). Pozámk Nechť f z) A fz). Potom pro kždou možiu B A pltí f z) B fz). Viz tké pozámku Pozámk Pltí: ) jsou-li f z) A fz) c C, potom cf z) A cfz); b) jsou-li f z) A fz) g z) A gz), potom tké f + g ) z) A f + g) z). Tvrzeí b) všk elze obecě rozšířit souči. Npř.: x + R x, le x + ) R x. Viz též pozámku 3.8. str. 37). Vět 3.3: Posloupost f z)) + koverguje k fz) stejoměrě možiě A právě tehdy, když ) sup f z) fz) =. + z A α I
35 3. KONVERGENCE FUNKČNÍ POSLOUPNOSTI 35 Důkz. Přímo z defiice dostáváme: f z) A fz) ε > ) ) > ) z A) f z) fz) < ε) ) ε > ) ) > ) sup f z) fz) ε sup f z) fz) + z A ) z A =. Pozámk Ozčme ma) metrický prostor všech omezeých komplexích fukcí defiových možiě A s metrikou ϱ defiovou ásledově: Jsou-li f, g prvky možiy ma), kldeme ϱ f, g) = sup fz) gz). Potom posloupost f ) + z A koverguje k f v prostoru ma) dle defiice právě tehdy, jestliže ϱ f, f) = ; tj. dle věty 3.3 právě tehdy, jestliže f z) A fz). + Pozámk I v obecém přípdě, kdy studujeme zobrzeí možiy A do metrického prostoru F, σ), můžeme defiovt prostor ma) jko prostor všech omezeých zobrzeí možiy A do možiy F s metrikou ϱ f, g) = sup z A σ fz), gz)). Potom posloupost f ) + koverguje k zobrzeí f v prostoru ma) opět právě tehdy, pltí-li f z) A fz). Pozámk Vět 3.3 všk kromě toho, že dokzuje metrizovtelost stejoměré kovergece, je i výhodým kritériem pro ověřováí stejoměré kovergece. Npř. v pozámce 3..7 x, m, eboť x,), eboť sup + x, m sup + x,) x = x = = ; + m) =. + Vět 3.4 B. Bolzo [], A. L. Cuchy [4] ): Buď f ) + posloupost komplexích fukcí defiových možiě A. Potom posloupost f z)) + koverguje stejoměrě možiě A k ějké ití fukci) právě tehdy, když pro kždé kldé číslo ε existuje R tkové, že pro všech přirozeá >, pro všech přirozeá p pro všech z A pltí: f +p z) f z) < ε. Důkz. ) ) Nechť f z) A fz) zvolme ε >. Potom existuje R tk, že pro všech > všech z A pltí: f z) fz) < ε. Odtud dostáváme pro všech >, pro všech z A pro všech přirozeá p f +p z) f z) f +p z) fz) + f z) fz) < ε. b) ) Předpokládejme, že pro libovolé ε > existuje tk, že pro všech >, všech p N všech z A pltí: f +p z) f z) < ε. 3.) Vždy pouze pro bodovou kovergeci.
36 36 3. KONVERGENCE FUNKČNÍ POSLOUPNOSTI Pro libovolé pevé z A odtud plye, že číselá posloupost f z)) + koverguje. Buď f ití fukce poslouposti f ) + možiě A. Přejdemeli yí v erovosti 3.) k itě pro p +, vidíme, že pro všech ε > existuje tk, že pro všech > všech z A pltí: fz) f z) ε < ε. Pozámk Z věty 3.4 vyplývá, že jsme schopi v C chrkterizovt skutečost, že posloupost f z)) + stejoměrě koverguje možiě A, bez pojmu ití fukce opodsttňuje se tk i užití zápisu f z). A Pozámk Vět 3.4 pltí hrdíme-li smozřejmě f +p z) f z) vzdáleostí σ f +p z), f z))) pro posloupost zobrzeí do metrického prostoru F, σ) právě tehdy, je-li prostor F, σ) úplý. Je-li prostor F, σ) úplý, potom vět 3.4 vlstě říká, že prostor ma) je tké úplý viz poz. 3.3.). Pozámk Buď f ) + posloupost fukcí spojitých možiě A. Nechť dále existuje moži B tková, že B A B, že posloupost f z)) + koverguje stejoměrě možiě B. Potom posloupost f z)) + koverguje stejoměrě možiě A. Defiice 3.5: Buď f ) + posloupost komplexích fukcí defiových možiě A. Řekeme, že posloupost f z)) + koverguje možiě A lokálě stejoměrě k fz)), jestliže ke kždému bodu z A existuje okolí H bodu z tkové, že posloupost f z)) + koverguje stejoměrě k fz)) možiě A H. Pozámk Koverguje-li posloupost f z)) + stejoměrě možiě A k fz)) koverguje možiě A tké lokálě stejoměrě k fz)). Opčé tvrzeí pltiti emusí. Posloupost x ) + koverguje itervlu, ) lokálě stejoměrě, le ekoverguje stejoměrě. Avšk: Pozámk Z Heieovy Borelovy věty plye, že koverguje-li posloupost f z)) + lokálě stejoměrě kompktí možiě A, koverguje možiě A stejoměrě. N kompktí možiě jsou tedy pojmy lokálě stejoměrá kovergece stejoměrá kovergece ekvivletí. Pozámk Podobě jko stejoměrou kovergeci poz. 3.. str. 33)), můžeme i lokálě stejoměrou kovergeci zvést pro posloupost zobrzeí. Tetokrát všk z topologického prostoru E do metrického prostoru F. Pozámk K dosvdím druhům kovergece připojme ještě jede. Setkáme se s ím zovu v dlším odstvci umoží ám lépe vystihout přeos spojitosti v kovergetí poslouposti. Defiice 3.6 C. Arzelà [5]): Buď f ití fukcí poslouposti f ) + možiě A. Řekeme, že posloupost f z)) + koverguje kvzistejoměrě k fz) možiě A, jestliže ke kždému číslu ε kždému ezáporému celému číslu existuje přirozeé číslo p tk, že pro všech z A pltí: mi f +kz) fz) < ε. k ˆp Pozámk Jk plye přímo z defiice kvzistejoměrá kovergece je, stejě jko stejoměrá, resp. lokálě stejoměrá, bodová kovergece. Pozámk Podobě, jko tomu bylo u stejoměré, resp. lokálě stejoměré kovergece, lze tké pojem kvzistejoměré kovergece rozšířit i poslouposti zobrzeí do metrického prostoru.
37 3. KONVERGENCE FUNKČNÍ POSLOUPNOSTI 37 Pozámk Stejoměrá kovergece je kvzistejoměrá. Vzájemý vzth jedotlivých druhů kovergece stejé možiě lze grficky zchytit ásledově: lokálě stejoměrá stejoměrá kvzistejoměrá 3 bodová Pozámk Lokálě stejoměrá kovergece kvzistejoměrá kovergece vzájemě obecě esouvisí. Npř. posloupost x ) + koverguje itervlu, ) lokálě stejoměrě, le ekoverguje kvzistejoměrě eexistuje totiž přirozeé p tk, by pro všech x z itervlu, ) pltilo mi k ˆp xk = x p < ). Z druhé stry posloupost x x ) + ekoverguje lokálě stejoměrě itervlu, ekoverguje totiž stejoměrě žádém okolí bodu, le koverguje itervlu, kvzistejoměrě k ule ejjedodušeji to plye z věty 4.5 str. 44). Defiice 3.7: Fukce f, N se zývjí stejě omezeé možiě A, existuje-li kldé číslo K tkové, že pro všech přirozeá všech z A pltí f z) < K. Pozámk Stejě omezeé fukce možiě A jsou omezeé A. Opk pltit emusí. Npř. fukce x x itervlu, ) jsou omezeé, le ejsou omezeé stejě. Vět 3.8: Nechť posloupost f z)) + koverguje stejoměrě možiě A k fz). Potom ásledující výroky jsou ekvivletí: i)fukce f, N jsou ž koečě moho výjimek omezeé možiě A. ii)limití fukce f je omezeá možiě A. iii)existuje přirozeé číslo k tk, že fukce f k+, kde N, jsou stejě omezeé možiě A. Důkz. Protože f z) A fz), existuje přirozeé číslo k tk, že pro všech přirozeá čísl pro všech z A pltí: f k+ z) fz) <. 3.) ) i) ii): Existuje N K > tk, že f k+ z) < K pro všech z A. Z 3.) potom plye, že fz) < K + pro všech z A. b) ii) iii): Existuje M > tk, že pro všech z A pltí: fz) < M. Potom z 3.) dostáváme, že pro všech přirozeá pro všech z A je f k+ z) < M +. c) iii) i): Viz poz Pozámk Jk plye z podého důkzu, můžeme větu 3.8 rozšířit ještě o jede ekvivletí výrok: iv) Existuje spočetá moži M N tková, že fukce f pro M jsou omezeé možiě A. Pozámk Jsou-li f ) +, g ) + dvě poslouposti fukcí omezeých možiě A tkových, že f z) A fz) g z) A gz), potom tké f z)g z) A fz)gz). Viz též poz str. 34). Pozámk Buďte f ) + posloupost fukcí defiových možiě A, z hromdý bod možiy A píšeme tké z A ). Řekeme, že fukce f,
38 38 3. KONVERGENCE FUNKČNÍ POSLOUPNOSTI N mjí v bodě z stejě itu vzhledem k možiě A rovou ), jestliže ke kždému ε > existuje okolí H bodu z tk, že pro všech z H A {z }) všech N pltí f z) < ε. Pozámk Nechť fukce f, N mjí v bodě z stejě itu rovou vzhledem k možiě A. Nechť dále je posloupost ) + = omezeá. Potom existuje okolí H bodu z tkové, že fukce f, N jsou možiě A H stejě omezeé. Pozámk Nhrdíme-li v pozámce předpokld z A předpokldem z A kldeme-li zde = f z ), obdržíme defiici stejé spojitosti fukcí f, N v bodě z vzhledem k možiě A. Pozámk Buďte f ) + posloupost fukcí defiových možiě A, z A. Potom fukce f, N jsou stejě spojité v bodě z vzhledem k možiě A právě tehdy, je-li buď z izolový bod možiy A ebo fukce f, N mjí v bodě z stejě itu vzhledem k možiě A rovou fukčí hodotě v tomto bodě. Pozámk Jsou-li fukce f, N stejě spojité v kždém bodě možiy A vzhledem k A, říkáme, že fukce f, N jsou stejě spojité možiě A. V lýze se čsto užívá ásledující druh stejé spojitosti: Defiice 3.9: Buď f ) + posloupost fukcí defiových možiě A. Řekeme, že fukce f, N jsou stejě stejoměrě spojité možiě A, jestliže ke kždému ε > existuje δ > tkové, že pro kždou dvojici bodů z z z možiy A, pro kterou je z z < δ pro všech N pltí: f z) f z ) < ε. Pozámk V litertuře pokud se ezvádí jiý druh stejé spojitosti ež je te, který je uvede v defiici 3.9) se čsto stejá stejoměrá spojitost stručě zývá stejá spojitost. V této termiologii bývá potom tké vyslove ásledující důležitá vět: Vět 3. G. Ascoli, C. Arzelà): Buďte J omezeý itervl v možiě reálých čísel f ) + posloupost komplexích fukcí stejě omezeých stejě stejoměrě spojitých J. Potom posloupost f x)) + má itervlu J stejoměrě kovergetí podposloupost. Důkz. Uspořádejme možiu J Q do poslouposti r m ) + m=. Ze stejé omezeosti fukcí f, N z Weierstrssovy věty plye, že pro kždé x J má číselá posloupost f x)) + kovergetí podposloupost. Ozčme: ) + f,) podposloupost poslouposti f ) +, která koverguje v bodě r, ) + ) + f,) podposloupost poslouposti f,), která koverguje v bodě r, obecě ) + ) + f m,) podposloupost poslouposti fm,), která koverguje v bodě r m. Pro m N posloupost ) + f m,) koverguje v bodech r,..., r m. Digolizcí obdržíme posloupost ) + f,), která koverguje možiě J Q. Zvolme yí ε >. Ze stejé stejoměré spojitosti fukcí f, N plye existece čísl δ > tkového, že pro všech x, x J, pro která je x x < δ pro všech N pltí f x) f x ) < ε 3. Dále existuje číslo k N tk, že pro všech x J je mi x r j < δ. j ˆk
39 3. KONVERGENCE FUNKČNÍ POSLOUPNOSTI 39 Koečě z kovergece poslouposti ) + f,) v bodech r j pro j ˆk vyplývá, že existuje tk, že pro všech přirozeá m, > všech j ˆk pltí fm,m) r j ) f,) r j ) < ε 3. Buďte yí x libovolý bod z itervlu J j ˆk tkové, že x r j < δ. Potom pro všech přirozeá m, > pltí f m,m) x) f,) x) fm,m) x) f m,m) r j ) + fm,m) r j ) f,) r j ) + + f,) r j ) f,) x) ε < 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Odtud již plye, že f,) x) J fx). Pozámk 3... Vět je formulová pro posloupost komplexích fukcí reálé proměé. Z podého důkzu sdo hlédeme, že vět 3. zůste v pltosti, hrdíme-li itervl J libovolým totálě omezeým metrickým prostorem posloupost f ) + bude posloupostí zobrzeí do koečě rozměrého prostoru. Pozámk 3... Zvedli jsme pro fukce f, N pojmy stejá omezeost, stejá it v bodě, stejá spojitost. Podobě můžeme defiovt pojem stejé diferecovtelosti, dokoce i stejé itegrbility: Pozámk Řekeme, že fukce f, N jsou stejě diferecovtelé v bodě z, jestliže fukce g : z z z ) f z) f z )), N mjí stejě itu v bodě z. Pozámk Fukce stejě diferecovtelé v bodě z jsou v tomto bodě stejě spojité. Pozámk Řekeme, že reálé fukce f, N jsou itervlu, b stejě itegrbilí, jestliže ke kždému ε > existuje číslo δ > tk, že pro kždé δ-rozděleí σ itervlu, b pro kždé N pltí: S f, σ) s f, σ) < ε. Přitom symbolem S f, σ), resp. s f, σ) jsme ozčili horí, resp. dolí itegrálí součet fukce f itervlu, b při rozděleí σ.
40
41 KAPITOLA 4 Věty o ití fukci Vět 4. o itě): Buď f ) + posloupost komplexích fukcí defiových možiě A C echť I)z A ; II)Pro všech přirozeá existuje III)f z) A fz). Potom pltí: i)posloupost ) + = koverguje; ii)existuje fz); z z z A z z z A iii)limity v bodech i) ii) jsou si rovy. f z) = ; Důkz. ) Z III) z věty 3.4 str. 35) plye, že k libovolému ε > existuje tk, že pro všech přirozeá >, všech p N všech z A pltí f +p z) f z) < ε 3. Zvolme yí pevě >, p N. Potom z II) plye existece okolí H bodu z tk, že pro všech z A H {z } bude pltit f z) < ε 3 i f +p z) +p < ε 3. Tudíž +p f +p z) +p + f +p z) f z) + f z) < < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Dokázli jsme tk tvrzeí i). b) Ozčme = zvolme ε >. Potom z III) dokázého tvrzeí i) + plye existece tkového, že pro všech > pltí: f z) fz) < ε 3 < ε 3. pro všech z A Zvolme pevě >. Potom existuje okolí H bodu z tkové, že pro všech z A H {z } je f z) < ε 3 tudíž fz) < fz) f z) + f z) + < ε. Dokázli jsem tk, že z z z A fz) =, tj. tvrzeí ii) i iii). 4
42 4 4. VĚTY O LIMITNÍ FUNKCI Pozámk 4... Jsou-li splěy předpokldy věty 4. je tedy možá ásledující zámě it: f z) = f z). + + z z z A z z z A Pozámk 4... Vět 4. pltí v plém rozshu i pro posloupost zobrzeí z topologického prostoru E do úplého metrického prostoru F, σ). Pozámk Tvrzeí věty 4. obecě epltí, vyecháme-li předpokld o stejoměré kovergeci. Stčí položit A =, ), f x) = x), x = potom epltí i); A =, ), f x) = x si x), x = potom epltí ii); A =, ), f x) = x, x = potom epltí iii). Pozámk Stejoměrá kovergece poslouposti f z)) + všk eí podmíkou utou pro pltost tvrzeí věty 4.. Položme x A =, ), f x) = + x, x =. Potom x,) + x, le x x x = = x + x + + x. Pozámk N určitou symetrii pojmů stejoměrá kovergece stejá kovergece viz poz str. 37)) ukzuje ásledující vět: Nechť fukce f, N mjí v bodě z stejě itu vzhledem k možiě A rovou. Nechť dále f je ití fukce poslouposti f ) + možiě A. Potom pltí: i) Fukce f má itu v bodě z vzhledem k možiě A; ii) Posloupost ) + = koverguje; iii) z z z A fz) =. + Vět 4. o spojitosti): Buď f ) + posloupost komplexích fukcí defiových možiě A C spojitých v bodě z A vzhledem k A). Nechť dále posloupost f z)) + stejoměrě koverguje možiě A k fz). Potom fukce f je spojitá v bodě z vzhledem k A. Důkz. V kždém izolovém bodě možiy A je dle defiice spojitosti) fukce f spojitá. Předpokládejme proto, že z je hromdý bod možiy A. Potom jsou splěy všechy předpokldy věty 4. tudíž dle pozámky 4.. pltí: + z z z A f z) = z z z A f z). + Ze spojitosti fukcí f v bodě z vzhledem k možiě A odtud plye: f z ) = + z z z A f z), tj. f z ) = fz). + z z z A Pozámk 4... Buď f ití fukce poslouposti f ) + fukcí spojitých možiě A vzhledem k A). Koverguje-li posloupost f z)) + stejoměrě možiě A, je fukce f spojitá možiě A vzhledem k A. Pozámk 4... Vět 4. s předchozí pozámkou pltí i pro posloupost zobrzeí z topologického prostoru do metrického prostoru.
43 4. VĚTY O LIMITNÍ FUNKCI 43 Pozámk Spojitost fukcí f stejoměrá kovergece poslouposti f z)) + jsou dle pozámky 4.. postčující pro spojitost ití fukce f. Žádá z těchto podmíek všk pro spojitost fukce f eí utá. Limití fukce poslouposti x x ) + je itervlu, ) spojitá, i když posloupost x ) + ekoverguje, ) stejoměrě. Z druhé stry Dirichletov fukce χ, defiová předpisem { pro x Q χx) = pro x R Q je espojitá v kždém bodě R, le posloupost χx)) + koverguje stejoměrě celém R k ule. Vět 4.3: Buď f ití fukcí poslouposti f ) + fukcí spojitých možiě A vzhledem k A). Potom koverguje-li posloupost f z)) + lokálě stejoměrě možiě A, je fukce f spojitá A vzhledem k A. Důkz. Buď z A. Potom z defiice 3.5 str. 36) plye, že existuje okolí H bodu z tk, že posloupost f z)) + koverguje stejoměrě možiě A H. Nyí stčí možiu A H bod z užít větu 4.. Pozámk Dokázá vět ás může vést k ásledujícímu zmyšleí. Pro přeos spojitosti z čleů fukčí poslouposti ití fukci zřejmě estčí bodová kovergece. Z druhé stry stejoměrá, resp. lokálě stejoměrá kovergece je sice postčující, le jk plye z pozámky 4..4 str. 4), resp str. 37), eí utá. Jká je to tedy kovergece, která přeáší spojitost? Touto otázkou se budeme zbývt v ásledujících dvou větách. Vět 4.4 U. Dii [7]): Buď f ) + rostoucí posloupost fukcí spojitých itervlu, b, jejíž ití fukce je itervlu, b spojitá. Potom posloupost f x)) + koverguje itervlu, b stejoměrě. Důkz. Sporem. Nechť posloupost f x)) + ekoverguje stejoměrě itervlu, b. Ozčíme-li f ití fukci poslouposti f ) +, musí existovt ε > posloupost x ) + bodů z itervlu, b tk, že pro všech N pltí: f x ) < f x ) ε. Buď x hromdá hodot poslouposti x ) + x k ) + podposloupost poslouposti x ) + kovergující k bodu x. Potom ze spojitosti fukcí f m, m N f plye: f m x k ) = f m x ) + f x k ) = f x ). + pro všech m N Přitom pro všech m N je pro kždé > m splě erovost: f m x k ) f k x k ) < f x k ) ε. Přejdeme-li v této erovosti k itě pro +, dostáváme což je ve sporu s předpokldem, že f m x ) f x ) ε pro všech m N, f m x ) = f x ). m +
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
Více6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:
6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece
VíceNekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }
Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle
Více6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI
6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících
VícePřehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+
Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu
VíceVlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
Více8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.
KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
VíceAnalytická geometrie
Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
Více8. Elementární funkce
Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
VícePOLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
VíceZákladní elementární funkce.
6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou
VíceM - Posloupnosti VARIACE
M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
VíceVerze z 17. května 2018.
Verze z 7. květ 8. Úvodí pozámk Tto sbírk byl sepsá se záměrem vytvořit sezm výpočetích postupů triků pro řešeí úloh, které se probírjí ve druhém semestru kurzu mtemtické lýzy. Sezm, v ěmž s devdesátiprocetí
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceDUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost
projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
Více8.2.7 Geometrická posloupnost
87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob
VícePosloupnosti a řady. Obsah
Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY,
POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
Více1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů
.8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
Více(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci
... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
Více8.3.1 Pojem limita posloupnosti
.3. Pojem limit poslouposti Předpokldy: 30, 0 Pedgogická pozámk: Limit poslouposti eí pro studety sdo strvitelým pojmem. Hlvím problémem je podle mých zkušeostí edorozuměí s tím, zd mezi posloupostí její
Více1 Nekonečné řady s nezápornými členy
Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete
VíceAnalytická geometrie
7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
VíceMasarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě
VíceMocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
VíceKKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij
Vícen 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1
3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
Vícep = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:
ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá
Více6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů
6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu.
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
Víceu, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,
Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou
VíceStřední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl
Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti
Více1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26
Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
VíceZákladní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů.
Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Výpočet vlstosti určitého itegrálu Cíle Zákldí vět itegrálího počtu (Newto Leiizov) ám umoží výpočet určitých itegrálů Pozáte zákldí vlstosti určitých itegrálů
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
Více1.2. MOCNINA A ODMOCNINA
.. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit
VíceŘešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,
Řešeí písemé zkoušky z Mtemtické lýzy ZS008-09,9009 Příkld : Spočtěte itu poslouposti 3 + + + 4 + 50 + 00 + 0 0 3 + + Řešeí:Ozčíme : +, b : 4 + 50 + 00 Zlomek,tvořící + 0 0,rozšířímevýrzem ++,čežvytkemeejvyššímociu
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor
. LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
VíceZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY MOCNINNÉ ŘADY - ŘEŠENÉ PŘÍKLADY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Kteři Bábíčková Přírodovědá studi, Mtemtická studi Vedoucí
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
VíceŘešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,
Řešeí písemé zkoušky z Mtemtické lýzy ZS008-09,9..009 Příkld : Spočtěte limitu poslouposti lim + ) 7 + 8 5 + ) 4 4 +) 5). Ozčme : + 7 +, b 8 : 5 +) 4 4 +) 5,zjímáástedy lim b. Máme 7 8 + 7 + + 7 ) + 8
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
VíceMatematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx
NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo
VícePosloupnosti na střední škole Bakalářská práce
MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které
VíceD = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n
/9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceNapíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.
8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl
VícePRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou
VíceMatematická analýza II
Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory Mtemtická lýz II látk z II semestru iformtiky MFF UK podle předášek Roert Šáml Zprcovli: J Ztr Štěti,
VíceCvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?
1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019
Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f
VíceKapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VíceČíselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1
Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015
Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
VíceContent. 1. Úvodní opakování Mocnina a logaritmus. a R. n N n > 1
Cotet Úvodí opováí Moci logritmus Goiometricé fuce Zobrzeí jeho záldí vlstosti O možiě R 4 O možiě ompleích čísel 5 Oolí bodu (v R v C 6 Číselé poslouposti 6 Záldí vlstosti 6 Limit poslouposti 6 Aritmeti
VíceAlgebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.
ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz
VíceSeznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
Více9. Číselné posloupnosti a řady
9 548 5: Josef Herdl Číselé poslouposti řdy 9 Číselé poslouposti řdy Defiice 9 (číselá posloupost Fuce se zývá číselá posloupost : (9 Jestliže pro obor hodot R ( poslouposti pltí R ( budeme řít že posloupost
VíceZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY
Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut
Více