Integrály pro pokročilé

Transkript

1 Integrály pro pokročilé Robert Mřík Nučili jsme se integrovt pomocí neurčitého určitého integrálu. Neurčitý integrál vyjdřuje funkční hodnotu vypočítnou z kumulce okmžitých změn. Z principiálních důvodů není možné, pokud je zdán pouze rychlost změny, určit celou veličinu, le jenom její změnu. Proto je neurčitý integrál dán jednoznčně ž n ditivní konstntu. Velikost změny n zdném intervlu je dán určitým integrálem, ke kterému je možné dospět i geometricky fyzikálně názorným způsobem předstveným v definici Riemnnov integrálu. Ten otevírá možnost rozšířit pltnost mnoh fyzikálních vzorců n přípd, kdy prmetry úlohy nejsou konstntní. Dokážeme tk počítt dráhu pohybu proměnnou rychlostí, tlk vody n plochu ponořenou npříč různými hloubkmi podobně. V následujícím textu rozvineme některé pozntky o integrálu, odvodíme si některé pokročilejší metody pro výpočet, ukážeme si, že kždá spojitá funkce má primitivní funkcni tké otevřeme cestu k definování funkcí, které nejsou elementární. Následující dvě věty nejsou překvpivé. Vyjdřují dvě intuitivně zřejmá fkt. Pokud se veličin mění rychleji, výsledná změn je větší. Pokud sledujeme změnu veličiny z určitý čs, můžeme sledovt změnu do nějkého mezičsu poté od mezičsu do konce obě částečné změny poté sečíst. Je všk důležité vědět, že tyto myšlenky pltí pro libovolné integrovtelné funkce proto zformulujeme následující věty. Vět (monotonie vzhledem k funkci. n intervlu [, b], pltí f(x dx g(x dx. Důsledek. Integrál nezáporné funkce je nezáporný. Je-li f(x g(x Vlstnosti integrálu Vět (ditivit vzhledem k integrčnímu oboru. Pltí f(x dx = c f(x dx + c f(x dx. Vět o ditivitě vzhledem k integrčnímu oboru je npříkld pro Newtonovu definici integrálu důsledkem zřejmého vzthu [F (b F (c] + [F (c F (] = F (b F ( pro libovolnou primitivní funkci F. Grficky i fyzikálně je názorný přípd, kdy c leží v intervlu [, b]. Vzorec všk pltí pro libovolné uspořádání mezí podle velikosti. Střední hodnot Obrázek : Monotonie ditivi vzhledem k mezi pro určitý integrál. Z minulé přednášky víme, že integrál (určitý i neurčitý je lineární, tj. zchovává součet funkcí násobení konstntou. Určitou souvislost s monotonií vzhledem k funkci má otázk, zd je možné funkci definovnou n intervlu [, b] nhrdit funkcí konstntní tk, by obě funkce měly stejný integrál. V prxi to znmená, že bychom npříkld při pohybu těles čsový průběh rychlosti nhrdili jednou hodnotou tkovou, že dráh z dný čs bude stejná. To je přesně to, co známe z běžného život jko definici průměrné rychlosti. Je to součsně i návod pro následující rozšíření pojmu průměrná rychlost n libovolné

2 integrovtelné funkce. Jedná se vlstně o jkousi průměrnou hodnotu, při které le nepočítáme průměr z konečného počtu hodnot, le z hodnot rozložených spojitě n zdném intervlu. Definice střední hodnoty je sndným důsledkem toho, že hledáme hodnotu µ s vlstností f(x dx = µ dx = µ dx = µ(b. Definice (střední hodnot. Nechť f je funkce definovná integrovtelná n uzvřeném intervlu [, b]. Číslo µ definovné vzthem µ = f(x dx b se nzývá střední hodnot funkce f n intervlu [, b]. Obrázek 3: Grf počtu nemocných chřipkou. Čárkovně je dlouhodobý trend, okolo kterého počet nemocných osciluje s krátkou periodou. Zelená plná křivk je pětiletý průměr zčínjící v dném roce. Minimum této křivky je vhodný okmžik pro zčátek plošné vkcince. Online výpočet. Příkld. (Podle Leh Edelstein-Keshet: Integrl Clculus with Applictions to the Life Sciences Helth Cnd dlouhodobě monitoruje chřipku. Ze získných dt vyplývá, že u této nemoci existuje sezonní cyklus s krátkou periodou dlouhodobý dvcetiletý cyklus s dlouhou periodou. Je-li t čs v měsících, je počet nemocných (ve stotisících jedinců dobře proximován funkcí Obrázek : Střední hodnot lineární obecné funkce. Geometricky je střední hodnot výšk obdélník, který má jednu strnu tvořenou intervlem [, b] obsh je roven integrálu f(x dx. Pokud je funkce f(x kldná lineární, je tento integrál roven obshu lichoběžník o zákldnách f( f(b výšce b. Tedy f( + f(b f(x dx = (b střední hodnot lineární funkce je tedy průměrem hodnoty n zčátku n konci intervlu. Příkld. Střední hodnot funkce y = x n intervlu [, ] je x dx = [ ] 3 x3 x = [ ] 3 8 = 5 3. I(t = t +. Helth Cnd má snhu chřipku eliminovt z populce očkováním. Odhduje se, že je nutné pětileté období intenzivní vkcince. Pro co nejnižší nákldy je vhodné vkcinci zčít v období, kdy je virus n pětiletém minimu. Střední hodnot z pětileté období počínjící čsem t je I(t = 5 t+ 5 t I(t dt. Pro výpočet minim funkce I(t je nutné umět derivovt funkce, které jsou vyjádřeny integrálem proměnná je v mezi tohoto integrálu. To se nučíme v dlších částech přednášky poté se k tomuto příkldu vrátíme. Online výpočet.

3 Numerická proximce určitého integrálu kde se hodnoty funkce v dolní horní mezi objeví jednou osttní dvkrát. To v obecném přípdě vede k následujícímu vzorci. Následující myšlenk se si týká výlučně určitého integrálu, le dále v dnešní přednášce si předstvíme nástroj, který umožní ji použít i pro integrál neurčitý. Někdy se stne, že neumíme nebo nepotřebujeme určitý integrál vypočítt přesně. Nebo že ni nemáme dosttek informcí pro přesný výpočet, npříkld funkce může být znám jenom v několik bodech, které jsou výsledkem měření mimo tyto body nejsou žádné informce o funkčních hodnotách. To je přesně situce pro numerickou proximci určitého integrálu. Mechnický model zákldních myšlenek proximce je shrnut v několik následujících bodech. Předstvme si, že máme určit dráhu pohybu, le v zdném čsovém intervlu máme pouze několik záznmů hodnoty rychlosti z tchometru. Mimo tyto záznmy se mohlo dít v podsttě cokoliv. Budeme všk douft, že rychlost se měnil spíše pozvoln. Zákldní tktik odhdu dráhy může být tková, že mezi kždými zznmennými hodnotmi rychlosti n tchometru nhrdíme pohyb rovnoměrným pohybem rychlostí, která je průměrem krjních hodnot. Předchozí postup plikovný n libovolnou funkci odpovídá tomu, že mezi kždými dvěm hodnotmi nhrdíme funkci funkcí lineární poté integrál vypočítáme pro tuto lineární funkci. Tento postup (lichoběžníkové prvidlo je možné modifikovt nebo vylepšit. Npříkld je možné použít pro proximci části prbol místo přímek (Simpsonovo prvidlo. U funkce, která je rostoucí, je možné npříkld použít funkční hodnotu v dolní mezi tím dostneme dolní odhd pro výsledný integrál. Příkld. Zhrdnická firm vytáhl přez mloktrktorem jej odtáhl o metrů bokem. Vzhledem k neprvidelnému tvru tžení po různých druzích povrchu po cestě se síl měnil. Prcovníkovi se podřilo odhdnout sílu během pohybu. Závislost síly n dráze zchycuje následující tbulk. s[m] 5 5 F [kn] Odhdneme celkovou vykonnou práci W = 5 = 44.5 kn m = 44.5 kj Poznámk. V předchozím příkldě byl funkce dán v prvidelných intervlech. Proto se ve všech členech objevuje fktor 5, který je možné vytknout. Po vytknutí zůstne v závorce součet, Vět (lichoběžníkové prvidlo. Nechť je funkce f spojitá n intervlu [, b]. Rozdělme intervl [, b] n n intervlů stejné délky h, tj. pltí h = b. Krjní body těchto intervlů oznčme n po řdě x, x,..., x n jim odpovídjící funkční hodnoty funkce f po řdě y, y,..., y n. Pltí f(x dx h (y + y + y + + y n + y n. Integrce metodou per prtés Metod per prtés je metod odvozená z derivce součinu. Nechť u v jsou funkce, mjící derivce u v. Sndným důsledkem derivce součinu (uv = u v + uv je uv = (uv u v. Integrcí tohoto vzthu dostáváme následující tvrzení. Vět (metod per prtés pro neurčitý určitý integrál. Nechť u v jsou funkce proměnné x, mjící spojité derivce u v. Pltí uv dx = uv u v dx pro neurčitý integrál pro integrál určitý. uv dx = [uv] b u v dx Použití této metody má smysl, pokud je integrál u v dx jednodušší pro výpočet ve srovnání s integrálem uv dx. Typické situce pro integrování metodou per prtés jsou následující.. x sin x dx, x x dx, xe x dx. Mírné obměny integrálů z předchozího bodu, kdy místo x může být libovolný polynom goniometrická nebo exponenciální funkce má lineární vnitřní složku. 3. x k ln x dx Příkld. Volbou u = x u = v = e x v = e x 3

4 můžeme vypočítt integrál xe x dx = xe x Příkld. Volbou u = ln x v = e x dx = xe x e x + c. u = x v = x můžeme vypočítt integrál ln x dx = x ln x x dx = x ln x dx = x ln x x + c. x Integrce substituční metodou Substituční metod je metod odvozená z derivce složené funkce což dává [u(v(x] = u (v(xv (x, u(v(x = u (v(xv (x dx. ( Oznčme u (x = f(x, tj. u(x = f(x dx. Oznčíme-li dále v(x = t, pltí u(v(x = u(t = f(t dt. Přeznčme ještě v(x n ϕ(x. Potom má ( po záměně levé prvé strny tvr uvedený v následující větě. Vět (substituční metod pro neurčitý integrál. Pltí f(ϕ(xϕ (x dx = f(t dt, ( kde po výpočtu integrálu nprvo doszujeme t = ϕ(x. Formálně výrz nprvo ve ( přejde ve výrz nlevo nopk doszením rovností ϕ(x = t, ϕ (x dx = dt. Toto je součsně i návod, jk substituční metodu použít prkticky. Příkld. Substituce x = t vede n vzth mezi diferenciály ve tvru x dx = dt. Odsud xe x dx = e t dt = et = ex + c. Příkld. Substituce f(x = t vede n vzth mezi diferenciály ve tvru f (x dx = dt. Odsud f (x f(x dx = dt = ln t = ln f(x +c. t Npříkld x x + dx = x x + dx = (x + x + dx = ln x + +c. Příkld. Substituce x + b = t vede n vzth mezi diferenciály ve tvru dx = dt. Odsud je možné odvodit vzorec, který již známe pro integrál funkce s lineární vnitřní složkou. Vskutku, pltí f(x + b dx = f(t dt = F (t = F (x + b + C, kde F (x = f(x dx. Vzth ( je zákldní vzth pro substituci v neurčitém integrálu. Používáme jej ve vhodných přípdech zprv dolev i zlev doprv. Vrintu pro určitý integrál jsme viděli ve speciálním přípdě ve cvičení, kdy vnitřní funkce reprezentovl konstntní násobek. Viděli jsme přirozeným způsobem, že při substituci (vyjádření v jiných jednotkách se s integrovnou funkcí se mění i meze. Obecný vzorec pro integrování určitého integrálu substituční metodou je v následující větě. Vět (substituční metod pro určitý integrál. Pltí f(ϕ(xϕ (x dx = ϕ(b ϕ( f(t. Meze tedy podléhjí stejné trnsformci, jko integrovná proměnná. Pokud používáme substituci t = ϕ(x, potom v dolní mezi pro x = pltí t = ϕ(. Podobná situce je i v mezi horní. Integrál jko funkce meze Integrál může být součástí definice funkce. Tím se můžeme dostt mimo množinu elementárních funkcí znčně tk rozšířit třídu funkcí, se kterými umíme prcovt. Vět (integrál jko funkce horní meze. Buď f spojitá funkce n intervlu I I. Funkce F (x definovná vzthem F (x := x f(t dt 4

5 má n intervlu I derivci pltí F (x = f(x, tj. F (x je primitivní funkcí k funkci f(x. Příkld. Pro funkci f(x = x pltí x [ t t 3 dt = 3 ] x = x3 3 což je skutečně jedn z primitivních funkcí k funkci x, jk již víme z přednášky o neurčitém integrálu. Vět o integrálu jko funkci horní meze dokonce udává tvr primitivní funkce pro libovolnou spojitou funkci. Tím dostáváme okmžitě následující tvrzení. Důsledek (postčující podmínk existence primitivní funkce. Ke kždé spojité funkci existuje neurčitý integrál. Bohužel, ne vždy neurčitý integrál dokážeme efektivně njít. Ztímco problém nlezení derivce funkce složené z funkcí, které umíme derivovt, spočívá pouze ve správné plikci vzorců pro derivování, problém nlézt neurčitý integrál i k funkci tk jednoduché, jko je npříkld e x je neřešitelný ve třídě elementárních funkcí. Totéž pltí pro dlší nevinně vyhlížející funkce sin x jko sin(x dx nebo dx. Vět o integrálu jko funkci x horní meze nbízí možnost zpst primitivní funkci vzthem x e x dx = c + e t dt. Funkční hodnoty tkové funkce můžeme určovt npříkld tk, že integrál proximujeme numericky. Následující ukázk demonstruje, že i s funkcí definovnou pomocí integrálu je možné jistým způsobem prcovt, niž bychom měli k dispozici nlytické vyjádření této funkce. Podle ditivity vzhledem k integrčnímu oboru pltí f(b = b t dt + b dt = f( + dt. (** t t Ve druhém integrálu bychom potřebovli dostt jedničku v dolní mezi, bychom dostli integrál stejný jko v definici funkce f. Proto zvedeme substituci t = s, t = s, dt = ds. S použitím této substituce se (** trnsformuje n b f(b = f( + ds = f( + ds = f( + f(b. s s Pokud si všimneme, že integrál (* v definici funkce f je možné vypočítt že funkce f je vlstně funkce ln x, není vlstnost, že funkce mění násobení n sčítání nijk překvpivá. Pro nás všk bylo důležité, že v důkze jsme použili jenom definici funkce f pomocí integrálu prvidl pro práci s integrály. Nemuseli jsme nijk používt ni vlstnosti logritmu, ni vlstnosti funkce k logritmu inverzní, což bývá zákldem středoškolského odvození tohoto vzorce. Vidíme, že integrál je možné použít k definici funkce s touto funkcí je možné dále prcovt. Substituce t r = s, t = s r, dt = rs r ds npříkld ukáže, že pltí f( r = r t dt = s r rsr ds = r ds = rf(. s Model elimince chřipky V příkldě u střední hodnoty jsme se zbývli problémem elimince chřipky zjistili, že potřebujeme njít minimum funkce I(t = 5 t+ 5 t I(t dt. Ukázk funkce definovné pomocí integrálu Uvžujme funkci definovnou vzthem f(x = x dt. (* t Ukážeme si, že tento tvr umožňuje odvodit některé vlstnosti funkce f. Dokážeme npříkld, že funkce f mění násobení n sčítání, tj. že pltí Podle definice je f(b = f( + f(b. f(b = b t dt. Protože jsme se zbývli připdem, kdy je proměnná jenom v horní mezi nše funkce má proměnnou v horní i v dolní mezi, můžeme využít ditivitu integrálu vzhledem k mezi psát I(t = 5 = 6 t I(t dt + t 5 I(t dt + 6 t+6 t+ 5 I(t dt. I(t dt Derivcí podle t nyní dostáváme podle věty o integrálu jko funkci horní meze podle prvidl o derivování součtu složené funkce di = dt 6 I(t + 6 I(t + 6 d (t + 6 dt = 6 I(t + 6 I(t + 6 = 6 ( I(t + 6 I(t 5

6 Minimum tedy njdeme z podmínky I(t = I(t + 6. Po doszení vzthu pro funkci I tedy řešíme rovnici t + = 6 (t (t Z fyziky víme, že n těleso o hmotnosti m působí síl F dný vzthem F = mg, kde g je tíhové zrychlení že práce W konná silou F po dráze s je rovn součinu W = F s. tj. (následující výpočty jsou sice dlouhé, le jedná se běžnou středoškolskou mtemtiku práci s goniometrickými funkcemi t = 6 t + π + t + π t = t + π t = t + π t = sin t tn t = π Tto rovnice má řešení t = 3 π + kπ tj. t = 9 + k. 4 Vzhledem k povze problému se střídjí mxim minim funkce I(t. Toto je ještě nutné rozvážit, bychom s očkováním nezčli v době, kdy by byly nákldy nopk mximální. Vzhledem ke sndné prktické interpretci je všk zřejmé, že minimum pětiletého průměru bude v době, jejíž zčátek o něco předchází dlouhodobé minimum výskytu chřipky. Odsud sndno rozlišíme, kdy se jedná o minimum pětiletého průměru kdy o mximum. Práce při vythování řetězu (přímý výpočet Pokud z budovy visí h metrů řetězu o lineární hustotě τ = kg/m, je nutné při vythování řetězu zvedt těleso o hmotnosti hτ, tj. vyvinout sílu F = hτg. Při vythování řetězu se délk visící části zkrcuje změn délky h je záporná. Při povytžení řetězu o délku h = h je nutné vykont práci W = F h = hτg h. Při povytžení o metrů řetěz vythujeme spojitě od h = 3 po h =. Celková práce je W = h h = τg h hτg dh = τg [ h ] h h = τg(h h (h + h. [ ] h h dh = τg h h = τg(h h Pro τ = kg m g = 9.8 kg m s dostáváme W = 495 J. Formálně je tento výsledek stejný, jko bychom hmotnost dolních h h metrů řetězu soustředili do středu tohoto úseku (tedy do úrovně (h + h metrů pod střechu poté tento hmotný bod přemístili konstntní silou po dráze (h + h n střechu. Práci pro vytžení celého řetězu dostneme volbou h =. Tedy W = τgh numericky W = 889 J. Protože vytáhnout první třetinu nejtěžší, očekáváme, že práce potřebná pro vytžení celého řetězu bude menší než trojnásobek práce nutné pro povytžení o třetinu. Toto se přirozeně potvrzuje porovnáním numerických hodnot. Online výpočet. Obrázek 4: Visící řetěz. Při vythování n střechu se zmenšuje síl, kterou je nutno překonávt. Zdroj: pixby.com Ze střechy budovy o výšce 5 metrů visí řetěz dlouhý 3 metrů. Jeden metr řetězu váží dv kilogrmy. Vypočítáme práci potřebnou pro povytžení řetězu o deset metrů poté práci potřebnou pro úplné vytžení řetězu. Řetěz jink (pomocí změny potenciální energie Vypočítáme předchozí příkld tk, že určíme změnu potenciální energie řetězu. Práci W vykonnou při vyzvednutí těles 6

7 o hmotnosti m o výšku h vypočteme jko změnu potenciální energie v tíhovém poli Země, tj. W = mgh. Komplikce v tomto přípdě je, že kždou část řetězu vythujeme z jiné hloubky. Část řetězu délky h váží m = τ h kilogrmů při vytžení z hloubky h n úroveň střechy je změn potenciální energie ( vykonná práce W = mgh = τ hgh. Součet těchto příspěvků pro dolní třetinu řetězu, od h = m po h = 3 m je W = h h h τgh dh = τg h dh. h Tím výpočet přechází ve stejný integrál jko v předchozím přístupu výsledky jsou tedy stejné. Práci pro celý řetěz získáme opět volbou h =. Že práce vykonná při vytžení celého řetězu je stejná jko změn potenciální energie celého řetězu je zřejmé. Z zmínku ještě stojí úvh, proč je povytžení řetězu o metrů ekvivlentní změně potenciální energie dolních metrů při vytžení této části řetězu n střechu. Stčí uvážit, že bychom řetěz přetočili vzhůru nohm, povytáhli o metrů, rozpojili visící část znovu otočili vzhůru nohm. Otočení vzhůru nohm není spojeno s konáním práce, stejně tk rozpojení přípdné opětovné npojení. Práce se tedy koná jenom tk, že řetěz vythujeme o metrů. Výsledek všk je stejný, jko kdybychom řetěz nepřetáčeli, jenom odpojili dolních metrů tuto část zvedli nhoru. 7