Kapitola 10. Numerické integrování

Transkript

1 4.5.o7 Kpitol 0. Numerické integrování Numerický výpočet odnoty určitéo integrálu Formulce: Mějme n ; bi dánu integrovtelnou funkci f = f(x). Nším cílem je určit přibližnou odnotu určitéo integrálu I(f) = Z b f(x) dx. Poznámk: Geometrický význm integrálu I(f) (viz obrázek) je obs plocy mezi grfem funkce f osou x n intervlu ; bi. Numerické metody výpočtu integrálu užíváme zejmén tedy, když I(f) není možno spočítt nlyticky (velmi čstý přípd) nebo je sice nlytické řešení možné, le je velmi prcné. V přípdě, že máme zdánu funkci f tbulkou, není ni jiný přístup možný. Přirozený princip numerickýc metod pro výpočet integrálu vycází z proximce funkce. Dnou funkci f nrdíme její vodnou proximcí ' jko proximci integrálu I(f) prolásíme odnotu integrálu I('), tj. I(f) I(') = Z b '(x) dx. Poznámk: Nrozdíl od výpočtu derivce je výpočet integrálu stbilní, protože je-li ' dobrou proximcí funkce f n intervlu ; bi, je integrál I(') dobrou proximcí I(f). Z b f(x) dx Z b '(x) dx Z b jf(x) '(x)j dx (b ) sup jf(x) '(x)j x;bi "

2 4.5.o7 Princip většiny metod n výpočet určitéo integrálu Z b f(x) dx je zložen n tom, že intervl ; bi rozděĺıme n N podintervlů x k ; x k+ i tk, že = x 0 < x < x < < x N < x N = b: N těcto podintervlec nrdíme funkci f polynomem integrujeme tento polynom. Vzorce pro výpočet určitéo integrálu (tzv. kvdrturní vzorce) děĺıme n: n intervlec x k ; x k+ i... zákldní přes celý intervl ; bi... složený (složený kv. vzorec je součtem zákldníc kv. vzorců) Pro jednoducost předpokládáme, že jsou všecny podintervly x k ; x k+ i stejně velké. Ekvidistntní uzly potom vyjádříme tkto x k = x 0 + k; kde k = 0; ; : : : ; N = b N : Newtonovy-Cotesovy zákldní kvdrturní vzorce ) Obdélníkové prvidlo (f nrzujeme konstntní funkcí ') Z xk+ x k f(x) dx f(x k + ) R Z (f; )

3 4.5.o7 ) Licoběžníkové prvidlo (f nrzujeme lineární funkcí ') Z xk+ f(x) dx x k [f(x k) + f(x k+ )] T Z (f; ) ) Simpsonovo prvidlo (f nrzujeme kvdrtickou funkcí ') Z xk+ f(x) dx x k [f(x k) + 4f(x k+ ) + f(x k+ )] S Z (f; ) Odvození Simpsonov prvidl Npř. pomocí Lgrngeov interpolčnío polynomu: P (x) = f()l (x) + f(b)l b (x) + f(c)l c (x) (x b)(x c) l (x) = ( b)( c) (x )(x c) l b (x) = (b )(b c) (x )(x b) l c (x) = (c )(c b) = (x b)(x c) = (x )(x c) = (x )(x b)

4 4.5.o7 Z c P (x) dx = f() Z c (x b)(x c) dx f(b) Z c (x )(x c) dx + f(c) Z c (x )(x b) dx = " = f() x " = f() c ( ) x (b + c) + xbc # c c! " f(b) x (b + c) + (c )bc ( ) 6 (c ) c + c + = 6 = 6 = 6 = 6 = = x ( + c) + xc # c # " f(b) c " + f(c) c i ( + c)(b + c) + 6bc = i c + c + ( + b)c c b + 6bc = i c c + bc + b = c ( c) ( + c) +b (c ) + ( c) ( + c) + b i + c b + = b + c b = 4 6 = = i = i = " + f(c) x c c! x ( + b) + xb # c ( + c) + (c )c ( )! # ( + b) + (c )b ( ) = # + ( ) : : : = 6 () viz pomocný výpočet pro odvození licoběžníkovéo prvidl ( ) : : : = stejně jko ( ) plyne ze symetrie Z c P (x) dx = f() + f(b) 6 () + f(c) = i f() + 4f(b) + f(c) = T Z (f; )

5 4.5.o7 Příkld: Pomocí zákldníc Newtonovýc-Cotesovýc vzorců vypočtěte integrál Řešení: Z ; (Přesné řešení je [e x ] ; = e ; e : = 0;6085.) Poznámk: e x dx: R Z (e x ; 0; ) = 0; e ; : = 0;6008 cyb: 0,0000 T Z (e x ; 0; ) = 0; (e;0 + e ; ) : = 0;6089 cyb: 0,0000 S Z (e x ; 0; ) = 0; (e + 4e; + e ; ) : = 0;6085 cyb: 0, Všimněme si cyb. U obdélníkovéo prvidl vyšl cyb menší než u licoběžníkovéo, přestože u licoběžníkovéo prvidl jsme funkci f proximovli lepší funkcí ' (lineární). Cyb u Simpsonov prvidl vyšl menší než u osttníc. Tyto výsledky potvrzují vzty pro cyby jednotlivýc vzorců. Fkt, že obdélníkové prvidlo je přesnější než licoběžníkové můžeme demonstrovt n obrázku: Zákldní vzorce se odvodí sndno n zákldě geometrické interpretce. Pokud cceme vyjádřit součsně i vzty pro cyby těcto vzorců, musíme použít k odvození Tylorův rozvoj. Z xk+ x k f(x) dx = R Z (f; ) + 4 f 00 () Z xk+ x k f(x) dx = T Z (f; ) Z xk+ x k f(x) dx = S Z (f; ) f 00 () 5 90 f (4) ()

6 4.5.o7 Odvození pro obdélníkové prvidlo Předpokládejme, že je integrovná funkce f dosttečně ldká použijeme Tylorův polynom. Oznčíme k = x k+ x k ; y k = x k + x k+ f(x) = f(y k ) + (x y k )f 0 (y k ) + (x y k) f 00 ( k ); k int fy k ; xg Potom pltí: Z x k+ x k xk + x k+ f(x) dx = k f + k k z } { z } { i ( x k+ y k ) ( x k y k ) f 0 x k + x k+ + +f 00 ( k ) 6 k 8 z } { (x k+ y k ) k 8 z } { (x k y k ) i Z x k+ x k xk + x k+ f(x) dx = k f R Z (f; k ) + k 4 f 00 ( k ) cyb metody

7 4.5.o7 Odvození pro licoběžníkové prvidlo Funkci f proximujeme n x k ; x k+ i lineární funkcí, tj. interpolčním polynomem. stupně. Z proximcí funkce známe: f(x) = P (x) + f 00 ( k ) (x x k )(x x k+ ); k (x k ; x k+ ) Potom pltí: xz k+ x k f(x) dx = k f(x k ) + f(x k+ ) + f 00 ( k ) Z x k+ x k (x x k )(x x k+ ) dx pomocný výpočet Z b (x )(x b) dx = = b b Z b! = (b )(b + b + ) x x( + b) + b dx = ( + b) + (b )b = (b )( + b) + (b )b = = b 6 (b ) + b + 6b b + 6b = i 6 (b ) + b b = (b ) 6 xz k+ k f(x) dx = f(x k ) + f(x k+ ) x k T Z (f; k ) i = k f 00 ( k ) cyb metody

8 4.5.o7 Komentář pro Simpsonovo prvidlo Funkci f proximujeme n x k ; x k+ i kvdrtickou funkcí, tj. interpolčním polynomem. stupně. xz k+ f(x) = P (x) + f 000 () (x x k )(x x k+ )(x x k+ ) 6 f 000 () f(x) dx = S Z (f; ) + 6 x k xz k+ x k (x x k )(x x k+ )(x x k+ ) dx : : : Ačkoliv z uvedenéo vycází, že cyb by řádově měl být 4, je cyb o jeden řád vyšší. Důvod je podobný jko u odvození cyby obdélníkovéo prvidl (integrujeme funkci symetrickou podle středu intervlu). Jelikož výrz pro cybu zákldnío Simpsonov prvidl obsuje 4-tou derivci, je zřejmé, že Simpsonovo prvidlo bude přesně integrovt polynomy ž do stupně, protože pro ně je 4-tá derivce identicky nulová.

9 4.5.o7 Newton-Cotesovy složené kvdrturní vzorce Složené kvdrturní vzorce získáme sečtením zákldníc kvdrturníc vzorců: Z b f(x) dx = N X k=0 Z xk+ x k f(x) dx N X k=0 Z xk+ x k '(x) dx X N R(f; ) T (f; ) S(f; ) k=0 f x k + i f(x 0 ) + f(x ) + f(x ) + + f(x N ) + f(x N ) = N X = f(x 0) + f(x k ) + i f(x N ) k= f(x 0 ) + 4f(x ) + f(x ) + 4f(x )+ + + f(x N ) + 4f(x N ) + f(x N ) i Pro cyby složenýc vzorců potom pltí: I(f) = R(f; ) + (b ) 4 f 00 () I(f) = T (f; ) (b ) f 00 () I(f) = S(f; ) (b ) 4 80 f (4) () NX k= 4 f 00 ( k ) cyb zákldnío vzorce n x k ; x k i = 4 NX k= f 00 ( k ) = 4 N f 00 () = 4 b f 00 ()

10 4.5.o7 Průměr odnot leží mezi minimální mximální odnotou: Ze spojitosti funkce f 00 (x) vyplyne: min k f 00 ( k ) N X k f 00 ( k ) mx f 00 ( k ) k 9 (x 0 ; x N ) : f 00 () = N X k f 00 ( k ) Jk dosánout poždovnou přesnost? Ze vzorců lze oddnout velikost cyby, přípdně určit krok tk, by cyb byl menší než předem zdná tolernce. Příkld Určete tk, by cyb složenéo licoběžníkovéo prvidl pro výpočet I = Z (x ) dx byl nejvýše 0.

11 4.5.o7 Musí pltit: ) je nutné oddnout f 00 : (b ) f 0 = (x ) f 00 = n ; i je f 00 > 0 (kldná) (x ) f 000 = (x ) 4 < 0 ) f 00 je klesjící ) mx x;i jf 00 (x)j = f 00 () = ( ) = mx jf 00 (x)j 0 x;i 0 ) 6 0 ) N = b = : p = ; 9 ) nejbližší vyšší N = ) = 6 0 Přesná odnot: I = T ln jx j i Skutečná cyb: ; ! (x ) ; = : : : = : 0; 695 = ln ln = ln : = 0; 695

12 4.5.o7 Nevýody tooto postupu: výrzy pro cybu obsují derivce (čsto vysokéo řádu), které není leké oddnout výsledné oddy jsou většinou velmi pesimistické Newton-Cotesovy vzorce nejsou konvergentní (zvyšujeme-li řád vzorce, nemusí konvergovt proximce integrálů k teoretické odnotě) pro odd cyby je vodné užít metodu polovičnío kroku (Ricrdsonov extrpolce) Ricrdsonov extrpolce Stručně si připomeňme princip Ricrdsonovy extrpolce, kterou jsme již používli pro zpřesňování při výpočtu odnoty derivce funkce. Předpokládejme, že výrz pro cybu má tvr e(f) = k M; = b N Přesná odnot integrálu je potom I = K() + k M: (?) Integrál vypočteme stejným vzorcem, le s krokem. Dostneme I = K! +! k M ozn. " ) k = " k M (??) Dosdíme-li k do (?), získáme I = K() + " k M M (???) Předpokládáme-li, že se odnot derivce ve výrzu e(f) pro cybu příliš nemění (tj. M M ), potom M M pro (??) (???) musí pltit K! + " K() + k " Odtud plyne odd cyby " " k " K! K() # přesnější odnot integrálu je potom I = K + K k i K() k... řád eliminovné cyby

13 4.5.o7 Algoritmus (Pro složené licoběžníkové prvidlo) Pro s = 0; ; ; : : : ; S T s;0 = T (f; s ) Pro k = ; ; : : : ; s T s;k = T s;k + T s;k T s ;k 4 k 0 = b = 0. s = s 0 Scém T 00 T 0 T 4 T 0 T T 8 T 0 T T T Všecny odnoty T s;k jsou proximcemi původnío integrálu. Pro funkci f integrovtelnou v Riemnnově smyslu pltí tké T sk! I(f) pro s! ; k = 0; ; : : : T kk! I(f) pro k!. Dále se dá ukázt, že celá procedur je numericky stbilní. Příkld Pomocí licoběžníkovéo prvidl vypočtěte Z 5 ln x dx. Ke zpřesnění použijte Ricrdsonovu extrpolci. Řešení: Pro rozvoj cyby licoběžníkovéo prvidl pltí Výsledky opět zpíšeme do tbulky I = T (f; ) + {z + } : : : tb. k= tb. k=4

14 4.5.o7 T (f; ). zpřesnění (k = ). zpřesnění (k = 4) 4 4 (ln + ln 5) = ; 88 (ln + ln + ln 5) = = ; 8066 ; 8066 ; ; 8066 = 4; 005 (ln + ln + ln + + ln 4 + ln 5) = ; 987 ; 987 ; ; 987 = 4; 044 4; 044 4; ; 044 = 4; 0499 Pro kontrolu uved me přesnou odnotu integrálu: Z 5 ln x dx = u = ln x v0 = u 0 = v = x x Z 5 = [x ln x]5 dx = 5 ln 5 4 : = 4; 0479 Poznámk Metod Ricrdsonovy extrpolce pro licoběžníkové prvidlo se nzývá Rombergov metod. Adptivní integrování intervly integrce nejsou dány dopředu určují se n zákldě splnění testu cyby zloženém n oddu pomocí metody polovičnío kroku Motivce: Pokud má integrovná funkce npř. tento průbě je zřejmé, že n drué části intervlu stčí pro splnění zdné tolernce uvžovt větší kroky, než v první části.

15 4.5.o7 Stvy S... intervl, n kterém je zjištěno splnění cybovéo testu A... ktivní intervl integrce N... intervl, přes který se ještě nezpočítl dílčí integrál Změny stvu: () Je splněn podmínk n velikost cyby n intervlu A () Není splněn podmínk n velikost cyby n intervlu A Test cyby: (pomocí metody polovičnío kroku) intervl ; i rozpůĺıme použijeme stejný vzorec " f (; ) k " I ;i # I ;i () ; k řád cyby vzorce " f (; ) " b " celková poždovná přesnost

16 4.5.o7 Algoritmus n zčátku: A = ; bi N = ; S = ; I S = 0 (I S Z f(x) dx) () je splněn TEST CHYBY: (i) I S := I S + I A (ii) S = S [ A; A = N () není splněn TEST CHYBY: (i) A rozpůĺıme, tj. A = ; + i (ii) N := N [ + ; i (iii) nový TEST CHYBY () () opkujeme dokud S 6= ; bi Příkld Použijte dptivní přístup pro výpočet Z 0 (0;x 0;) + 0;0 + (x 0;5) + 0;04 6 dx tk, by výsledná cyb proximce integrálu byl menší než 0;5. Pro výpočet použijte obdélníkové, licoběžníkové i Simpsonovo prvidlo.

17 4.5.o7 Obdélníkové prvidlo výsledky v MATLABu Adptivni numericky vypocet urciteo integrlu funkce f(x)= /((0.*x-.)ˆ+.0)+/((x-.5)ˆ+.04)-6 n intervlu < , > se zdnou presnosti Pro vypocet se pouzije obdelnikove prvidlo I_O Presn odnot integrlu Vypocten odnot integrlu Skutecn cyb Oddnut cyb Pocet podintervlu... 7 Celkovy pocet deleni intervlu pro dodrzeni oddu cyby

18 4.5.o7 Licoběžníkové prvidlo výsledky v MATLABu Adptivni numericky vypocet urciteo integrlu funkce f(x)= /((0.*x-.)ˆ+.0)+/((x-.5)ˆ+.04)-6 n intervlu < , > se zdnou presnosti Pro vypocet se pouzije licobeznikove prvidlo I_L Presn odnot integrlu Vypocten odnot integrlu Skutecn cyb Oddnut cyb Pocet podintervlu... 7 Celkovy pocet deleni intervlu pro dodrzeni oddu cyby

19 4.5.o7 Simpsonovo prvidlo výsledky v MATLABu Adptivni numericky vypocet urciteo integrlu funkce f(x)= /((0.*x-.)ˆ+.0)+/((x-.5)ˆ+.04)-6 n intervlu < , > se zdnou presnosti Pro vypocet se pouzije Simpsonovo prvidlo I_S Presn odnot integrlu Vypocten odnot integrlu Skutecn cyb Oddnut cyb Pocet podintervlu... 4 Celkovy pocet deleni intervlu pro dodrzeni oddu cyby

20 4.5.o7 Poznámk Oddujeme-li cybu pomocí metody polovičnío kroku, nemusí být skutečná cyb menší než zdná tolernce. Příkldy v nicž je splněn TEST CHYBY, le cyb je ve skutečnosti větší než zdná tolernce Obdélníkové prvidlo:

21 4.5.o7 Licoběžníkové prvidlo: Npř: Z 4 cos x dx; tolernce " = I 4 = 4 I = + = 4 Odd cyby je Přesná odnot je I I 4 = 0 Z 4 cos x dx = 0 0 Cyb skutečná je 4

22 4.5.o7 Poznámk: Newtonovy-Cotesovy vzorce používjí (m + ) ekvidistntníc uzlů integrují přesně polynomy ž do m-téo, přípdně. (m + )-nío stupně (máme n mysli zákldní vzorce n intervlu (x k ; x k+m )). Pro zvýšení přesnosti by se molo zdát výodné použít více uzlů funkci f proximovt polynomem vyššío řádu. Ze zkušeností z proximce funkce polynomem ovšem víme, že limitní přípd polynomu stupně m! nemusí odpovídt původní funkci (říkáme, že Newton-Cotesovy vzorce nejsou konvergentní). Gussovy kvdrturní vzorce Princip: Snžíme se, by kvdrturní vzorec integrovl přesně polynomy co možná nejvyššío řádu. Obecně kvdrturní vzorec (zákldní) uvžujeme ve tvru kde w i jsou tzv. váy x i jsou uzly. K(f) = mx i=0 w i f(x i ); Máme-li n zákldním intervlu m + bodů, potom nejvyšší možný stupeň polynomu, který ještě kvdrturní vzorec integruje přesně, je m + (mluvíme o tzv. lgebrickém řádu přesnosti). Počet prmetrů kvdrturnío vzorce je m + polovin pro váy w i polovin pro uzly x i (Newton-Cotesovy vzorce integrovly přesně polynomy do stupně m.) Cenou z vyšší přesnost budou ovšem neekvidistntní uzly. Příkld: Odvod te pro intervl ; i zákldní Gussův kvdrturní vzorec pro m = 0 (tj. v intervlu uvžujeme pouze jeden uzel). Řešení: Kvdrturní vzorec pro m = 0 má tvr kde vystupují neznámé w 0 x 0. K(f) = w 0 f(x 0 ); Vzorec musí přesně integrovt: ) konstntu ) lineární funkci Z Z (x + b) dx = b dx = b pož. = w 0 " x + bx # = b z } { f(x 0 ) ) w 0 = : {z } =0 +b pož. = w 0 x z } 0+b { f(x 0 ) ) b = (x 0 + b) ) x 0 = 0:

23 4.5.o7 Jednobodový zákldní Gussův kvdrturní vzorec je K(f) = Z f(x) dx = f(0) + f 00 () cyb Příkld: Odvod te pro intervl ; i zákldní Gussův kvdrturní vzorec pro m = (tj. v intervlu uvžujeme uzly). Řešení: Kvdrturní vzorec pro m = má tvr kde vystupují 4 neznámé w 0, w, x 0 x. K(f) = w 0 f(x 0 ) + w f(x ); Vzorec musí přesně integrovt polynom ž stupně: Z # x + bx + cx + d dx = " x4 4 + bx + cx + dx = 0 + b + 0 c + d pož. = pož. = w 0 x 0 + bx 0 + cx 0 + d f(x 0 ) +w x + bx + cx + d = K(f): f(x )

24 4.5.o7 Soustv nelineárníc rovnic pro 4 neznámé: : w 0 x 0 + w x = 0 () b: w 0 x 0 + w x = () c: w 0 x 0 + w x = 0 () d: w 0 + w = (4) () (): w 0 x 0 (x 0 ) + w x (x ) = 0. () (4): w 0 (x 0 ) + w (x ) = 4. ( x ) y. ( x0 ) z y w 0 (x 0 x ) (x 0 ) = 4 x z w (x x 0 ) (x ) = 4 x 0 () (4) ) w = w 0 w 0 x 0 + ( w 0 )x = 0 w 0 (x 0 x ) = x 9 >= >; ) x (x 0 ) = 4 x ) (x 0 ) = 4 ) x 0 = s ) x 0 = ) x 0 = nlogicky: () (4) ) w 0 = w ( w )x 0 + w x = 0 w (x x 0 ) = x 0 9 >= >; ) x 0 (x ) = 4 x 0 ) (x ) = 4 ) x = s ) x = ) x = () (4): w 0 + w = q q w 0 w = 0 ) w 0 = w ) w 0 = w =

25 4.5.o7 Dvoubodový zákldní Gussův kvdrturní vzorec je Z K(f) = f(x) dx = f p! + f p! + 5 f (4) () cyb Poznámk: Dlší zákldní Gussův kvdrturní vzorec (tříbodový, tj. pro m = ) vypdá n intervlu ; i tkto: K(f) = Z f(x) dx = 5 9 f s 0 8 A f (0) f 5 A f (6) (). cyb

26 4.5.o7 Poznámk: Koeficienty uzly vzorců vyššíc řádů jsou uvedeny v tbulkác. Poznámk: To, že jsme vyjádřili Z ; bi trnsformovt n ; i použít odvozené vzty. Poznámk: Gussovy kvdrturní vzorce jsou konvergentní. f(x) dx neubírá nic n obecnosti, můžeme totiž libovolný intervl Příkld Vypočtěte Řešení: Z ; e x dx použitím jedno- dvoubodovéo zákldnío Gussov kvdrturnío vzorce. x i = ; + 0; x (0) i, w i = (; )w(0) i = 0; w (0) i. n = 0 R ; f(x) dx 0; f(; ) = = 0; e ; = = 0;6008. n = R ; f(x) dx 0; f(; 0; p ) + f(; + 0; p ) i := : = 0; [; ; 876] = = 0;6084. x 0 = ; + 0; 0 = ; w 0 = 0; = 0; q x 0 = ; + 0; = q = ; 0; x = ; + 0; q,, w 0 = 0; = 0;, w = 0;. Přesný výsledek: e ; e : = 0;6085. Poznámk: Podobně jko u Newton-Cotesovýc vzorců můžeme definovt složené Gussovy kvdrturní vzorce

27 4.5.o7 Příkld Vypočtěte Z 0 x sin x dx použitím jedno-, dvou- tříbodovéo složenéo Gussov kvdrturnío vzorce. Počet dělení intervlu 0; i volte N = 0, resp. N = 0. Řešení: výsledky v MATLABu Numericky vypocet urciteo integrlu funkce f(x)=xˆ*sin(*x) n intervlu < ,.459> s poctem deleni N= Presn odnot integrlu je.470 Priblizn odnot integrlu cyb - pomoci Gusov vzorce s uzlem pomoci Gusov vzorce s uzly pomoci Gusov vzorce s uzly

28 4.5.o7

29 4.5.o7 výsledky v MATLABu Numericky vypocet urciteo integrlu funkce f(x)=xˆ*sin(*x) n intervlu < ,.459> s poctem deleni N= Presn odnot integrlu je.470 Priblizn odnot integrlu cyb - pomoci Gusov vzorce s uzlem pomoci Gusov vzorce s uzly pomoci Gusov vzorce s uzly

30 4.5.o7

31 4.5.o7 Integrování periodické funkce přes periodu Pro licoběžníkové prvidlo pltí: T (f; ) = Z b f(x) dx + [f 0 (b) f 0 ()] (tzv. Eulerův - Mclurinův vzorec) Souvislost s rozvojem cyby: 4 70 f () (b) i f () () + : : : T (f; ) = Z b f(x) dx + f 00 (x) (b ) f 0 (b) f 0 () b 4 70 f (4) (x) f 000 (b) f 000 () b (b ) + : : : Pro kldnou periodickou funkci s periodou n intervlu ; bi pltí: f 0 () = f 0 (b) f () () = f () (b). R Pozor: Obecně nemusí pltit, že T (f; ) je přesná odnot integrálu b f(x) dx, protože zbytek má tvr (b ) c m m f (m) () neznáme. Pltí všk, že cyb je velikosti O( m ) pro libovolné m tkové, že f má spojitou m-tou derivci. Proto není nutné používt Rombergovu metodu.

32 4.5.o7 Příkld: Vypočtěte složeným licoběžníkovým prvidlem Z 0 ( + cos x) dx: (Přesná odnot je 4.) Zvoĺıme krok =, tj. N = : T (f; ) = f(0) + f() + f() i = ( + + ) = 4: Pltí: Složené licoběžníkové prvidlo s (k + ) uzly integruje přesně trigonometrické polynomy k-téo stupně stupňů menšíc (tj. obsující členy cos kx; sin kx) přes periodu. Nevlstní integrály Při výpočtu integrálu Z f(x) dx lze většinou předpokládt, že odnoty funkce f nižší derivce f jsou vně nějkéo intervlu R; Ri dosttečně mlé. Proto je vodné použít licoběžníkové prvidlo pro integrál Z R R f(x) dx.

33 Příkld Vypočtěte integrál I = Z e x dx. jeo první derivce menší než 0 6. Použijeme-li li- Pro jxj 4 je integrnd menší než 0;5 0 6 coběžníkové prvidlo pro 4; 4i, dostneme: 4.5.o7 T (f; ) = ;7766 Přesná odnot Poznmenejme, že Z T (f; 0; 5) = ;7745 I p = = : ;77458 e x dx Z 4 4 e x dx < 0 7 : Při výpočtu integrálu R 0 f(x) dx můžeme použít trnsformci x = p(t). ) x = ln t, dx = dt t, x 0 t 0 Z 0 f(x) dx = Z 0 f ( ln t) dt Z t = 0 f ( ln t) dt t b) x = t t, dx = ( t) dt, Z 0 x 0 t 0 f(x) dx = Z 0 f t t dt ( t)

34 4.5.o7 Integrování funkce proměnnýc Odvod te obdélníkové licoběžníkové prvidlo pro integrování funkce proměnnýc n obdélníku ; bi c; di, tj. Z b Z d f(x; y) dy dx Řešení: c = b N, k = d c M, x i = + i, y j = c + j k Z b Z d c f(x; y) dy dx = : : :

35 4.5.o7 obdélníkové prvidlo: = N X i=0 0 d c f x i + ; y! 0 X N M dya k f x i + ; y j + k i=0 X j=0! X A = k N i=0 M X j=0 f x i + ; y j + k! licoběžníkové prvidlo: : : : = = = k N X i=0 N X i=0 0 d 0 N X i=0 k M X j=0 i f(x i ; y) + f(x i+ ; y) M X j=0 dya = i f(x i ; y j ) + f(x i ; y j+ ) + k M X j=0 f(x i+ ; y j ) + f(x i+ ; y j+ )i A = i f(x i ; y j ) + f(x i ; y j+ ) + f(x i+ ; y j ) + f(x i+ ; y j+ )