Reologické modely měkkých tkání

Transkript

1 Reologické modely měkkých kání Tomas Mares 1. Úvod Výchozím principem mechaniky měkkých kání (j. kůže, cév, pojivových kání, kání vniřních orgánů, šlach, vazů, chrupavek, sinoviální ekuiny) je reologie. Při modelování ěcho kání se někdy aké používá eorie směsí, jejíž zvlášní čásí je zv. poroelasicia. 2. Reologie Reologie suduje deformování a ečení hmoy způsobené aplikovaným napěím. 1 Název byl zaveden roku 1920 profesorem ugenem Binghamem z Lehigh Universiy (Behlehem, Pennsylvania). Inspirací mu byl výrok řeckého filosofa Héraleia z fesu ( , Hϱάκλιτoς ó ϕέίoς) Vše plyne (πάντα ϱ ι, pana rei) proneseného ve významu Nevsoupíš dvakrá do sejné řeky. Reologie rozšiřuje klasické disciplíny jako je eorie pružnosi, = du dx, a mechanika newonovských ekuin, τ = η d u dy na maeriály jiných vlasnosí. Reologie se aké snaží předpovědě chování maeriálu nazíraného jako koninuum se znalosí jeho mikro a nanosrukury. V každé láce je obsažena jak pružná ak viskozní deformace. Rozdíl je jen v rychlosi rvalé deformace. Pevné láky ečou pomaleji, ekuiny rychleji Základní reologické láky. Základní reologickou lákou je zv. uklidova uhá láka, láka, kerá se může pohybova, působí na ni servačné účinky, ale zůsává nedeformována ( = 0). Pro uo láku používáme následující symbolickou značku: Další důležiou základní reologickou lákou je Hookeova pružná láka, kde závislos mezi napěím a deformací je lineární =. Symbolem éo značky je pružina a charakerisikou je zv. modul uhosi. Hookeova pružná láka předsavuje vůbec první známé vyjádření závislosi deformace na zaížení. Jako první ho nejspíše vyslovil roku 1660 Rober Hooke v práci vydané až roku 1678 v Londýně. Také v Londýně, avšak o čyři roky dříve, j. r. 1674, vyšla i práce Williama Peyho, kde nezávisle na Hookeovi formuloval enýž zákon o lineární závislosi deformace na zaížení. S. Venanova plasická láka je láka, jejíž závislos napěí a deformace je charakerizována grafem z obrázku 2 a značena symbolem: k Tao láka je charakerizována veličinou k zvanou mez kluzu. Newonova vazká kapalina je charakerizována lineární závislosí mezi napěím a rychlosí deformace = η a symbolizována obrázkem: 1 [Sob81] 1

2 Meziprosorová (inersiciální) ekuina Anion Kaion Proeoglykanová molekula j. molekula obsahující kovalenně vázané bílkoviny a polysacharidy Kolagenní vlákno Uvažujme jen objemové podíly Kovalenní vazba Microfibrila Tropokolagen j. rojnásobně spirálovié vlákno kolagenu Aniony Kaiony Tekuina Pevná láka Reologie Spojiý model Teorie směsí Pseudospojiý model Obrázek 1. Reologie a poroelasicia v modelování měkkých kání 2

3 k Zpevněná láka Obrázek 2. Závislos napěí a deformace pro S. Venanovu láku je charakerizována závislosí napěí a deformace z obrázku 3. z Obrázek 3. Závislos napěí a deformace pro zpevněnou láku 3

4 Název láky Charakerisika Grafický symbol uklidova uhá láka = 0 Hookeova pružná láka = S.-Venanova plasická láka k k Newonova vazká kapalina = η Zpevněná láka z Tabulka 1. Základní reologické láky 4

5 2.2. Modelování láek skládáním láek základních Láky pružné (elasické). 2 = = ( + 2 ) Obrázek 4. Paralelní uspořádání elasických láek 2 ( 1 = = + 1 ) 2 Obrázek 5. Seriové uspořádání elasických láek z 2 z 2 = ( z + z ) Obrázek 6. Jednoduchá nadpružená láka 5

6 0 1 z 2 2 z 3 3 z 0 1 z 2 z 3 z = k=1 k 2 ( ) k z + k z Obrázek 7. Složená nadpružená láka 0 1 z = 0 + Obrázek 8. Spojiá nadpružená láka 0 (ɛ) dɛ 6

7 k k k = k = k ( k ) k Obrázek 9. lasoplasická láka bez zpevnění Láky pružnoplasické (elasoplasické, pružnováné). Vzah mezi napěím a deformací v případě elasoplasické láky bez zpevnění, viz obr. 9, získáme ze vzahu (6) planém pro jednoduchou nadpruženou láku, kde položíme 2 = a =, j. = + 2 ( k + k ), z čehož po úpravě dosáváme výsledný reologický vzah kde k = k. = k ( k ), max max < 2 k max max > 2 k k k k = k + Obrázek 10. Tuhoplasická láka se zpevněním 7

8 2 k 2 k Obrázek 11. lasoplasické láky s přímkovým zpevněním 8

9 2.3. Láky viskoelasické (vazkopružné, pružnovláčné). = + Obrázek 12. Láka Kelvinova (Voiova) Láka Kelvinova (Voiova). Napěí přenášené lákou Kelvinovou (viz obrázek 12) je dáno součem napěí přenášeného jeho elasickou složkou 1 a složkou vazkou 2, edy = 1 + 2, zaímco deformace Kelvinovy láky je aáž jako deformace složky elasické 1 i složky vazké 2, j. Pro elasickou složku plaí a pro složku vazkou = 1 = 2. 1 = 1 = 2 = 2 =. Okamžiě ak přicházíme ke konsiuivní rovnici Kelvinovy láky = +. Řešení diferenciální rovnici ohoo ypu, j. diferenciální rovnice můžeme vyjádři v uzavřeném varu jako 2 ẋ + ax = f(), (1) x() = e a e aτ f(τ) dτ + e a0 x( 0 ) 0 anebo, pro 0 = 0, užiím inverzní Laplaceovy ransformace 3 kde F (s) jes Laplaceův obraz funkce f(): x () = L 1 ( F (s) + x (0) s + a F (s) = L (f ()). Použiím vzahu (1) můžeme okamžiě psá závislos deformace Kelvinovy (jednorozměrné) láky na uvaleném napěí: (2) () = e 1 1 τ 1 e (τ) dτ + e η 0 2 ( 0 ). η 0 Průběh dopružování Kelvinovy láky vyšeříme ve dvou krocích. Prvním krokem je inegrace výrazu (2) pro = kons v inervalu 0 < < 1 ( 0 = 0, 0 = 0): = ( ) kons 1 e. 2 [Sob81] 3 GNU Maxima 9 ),

10 Pro rychlos deformace v omo inervalu pak plaí = kons e. Druhým krokem je inegrace v inervalu > 1, kde = 0 a 0 = 1, 0 = 1 = kons () = kons ( ) e η e. Rychlos deformace je pak dána vzahem = ( ) kons e η e. Grafické znázornění ohoo průběhu máme na obrázku 13. ( 1 e 1 ): 10

11 kons 1 kons 1 1 kons η 1 Obrázek 13. Průběh dopružování Kelvinovy láky 11

12 + = Obrázek 14. Láka Maxwellova Láka Maxwellova. Konsiuivní rovnici Maxwellovy láky získáme uvolněním srukury naznačené na obrázku 14. Napěí přenášené Maxwellovou hmoou je zjevně rovno napěí přenášenému složkou elasickou ( 1 ) i napěí přenášenému složkou vazkou ( 2 ): (3) = 1 = 2. Celková deformace je však součem deformací obou složek Maxwellovy láky: (4) = Použiím závislosí z abulky 1 ve zderivovaném vzahu (4) máme nebo, použiím rovnosi (3), = 1 + 2, + =. Prosou inegrací získáme výraz pro deformaci Maxwellovy láky ( 1 (5) () = + 1 ) η dτ + ( 0 ). 0 Použiím vzahu (1) získáme přímou závislos napěí Maxwellovy láky na dané deformaci (6) () = e 0 τ 1 e (τ) dτ + e η 0 2 ( 0 ). Creep (plouživos, dováření). V případě, že na Maxwellovu láku působí konsanní napěí ( = kons, 0 = 0), pak výraz (5) dosává var = 1 kons + ( 0 ), kde ( 0 ) = kons. Teno časový průběh deformace, zvaný creep (plouživos, dováření) je znázorněn na obrázku 15 Relaxace (ochabování). Jesliže je na Maxwellovu láku uvalena konsanní deformace ( = kons, = 0), pak vzah (6) přejde do vzahu = e 1 e η 0 2 ( 0 ) a pro 0 = 0 a ( 0 ) = kons dosáváme průběh napěí zvavý relaxace (či ochabování): (7) = e 1 kons se znázorněným průběhem na obrázku

13 kons kons η Obrázek 15. Creep kons η Obrázek 16. Relaxace (ochabování) 13

14 + + 2 = Obrázek 17. Láka Poyningova-Thompsonova Láka Poyningova-Thompsonova. Při sesavování konsiuivní rovnice Poyningovy-Thompsonovy láky použijeme opě meodu uvolnění, kde napěí a deformace na jednolivých složkách jsou označeny příslušným indexem, ak jak je naznačeno na obrázku 17. Zřejmě pak máme (8) = 1 = a (9) = 1 + 2, 2 = 3. Použiím vzahů z abulky 1 do rovnosí (8) dosaneme (10) = 1 a (11) = Z (9) a (11) = 2 ( 1 ) + ( 1 ) a užiím (10) dosáváme (po uspořádání jednolivých členů) konsiuivní rovnici Poyningovy-Thompsonovy láky (12) = + 2. Užiím vzahu (1) můžeme vyjádři napěí přenášené Poyningovou-Thompsonovou lákou při předepsané deformaci jako ( = e τ e + ) 1 2 dτ + e + 2 η 0 3 ( 0 ) a deformaci při daném napěí jako kde ( 0 ) = ( 0 ). = e ( 2 τ e η ) dτ + e 2 η 0 3 ( 0 ), 14

15 2 + 2 = ( + 2 ) + 2 Obrázek 18. Láka Zenerova Láka Zenerova. Konsiuivní rovnici Zenerovy láky získáme podobně jako v případech hořejších. Uvolněním jednolivých členů s užiím značení v souladu s obrázkem 18 máme (13) = a 2 = 3. Deformační podmínka má var (14) = 1 = Užiím vzahů z abulky 1 v časové derivaci jedné z rovnosí (14) máme = = a posupně s pomocí (13) a 1 = a uspořádáním pořadí členů dosame konsiuivní rovnici Zenerovy láky (15) + 2 = ( + 2 ) + 2. Použiím vzahu (1) dosáváme opě vyjádření závislosi napěí na deformaci ( = e 2 2 τ e ( + 2 ) + ) 1 2 dτ + e 2 η 0 3 ( 0 ) a deformace na napěí = e 2 ( + 2 ) 0 kde v čase 0 ( 0 ) = ( + 2 )( 0 ). 0 e 2 τ ( + 2 ) ( + ) 2 3. Reologické modely kání dτ e ( + 2 )η 0 3 ( 0 ), Reologický model šlachy. Šlacha předsavuje vláknoviou pojivovou káň, kerá spojuje sval s kosí. Kolagenní vlákna svalu spojiě přecházejí v kolagenní vlákna šlachy. Kolagenní vlákna v mísě, kde je šlacha spojená s kosí, mineralizuje a je inegrována s kosní kání. Šlacha sama negeneruje sílu, pouze přenáší ahovou sílu vyvolanou zkracujícím se svalem. Šlacha musí mí značnou pevnos, aby byla schopná přenés ahovou sílu vyvinuou svalem. Šlacha však není schopná přenáše síly lakové. Šlacha musí mí značnou poddajnos, aby dokázala zabráni poškození svalu. K modelování reologického chování šlach se v lierauře převážně používají modely láky Zenerovy a láky Poyningovy-Thompsonovy + 2 = ( + 2 ) = + 2. Oba yo modely mají shodný charaker + a = b + c 15

16 Láka Zenerova Láka Poyningova-Thompsonova = ( + 2 ) = + 2 Obrázek 19. Reologické modely šlach s vyjádřením napěí (16) = e a a deformace (17) = e c b kde 0 0 e aτ (b + c) dτ + ( 0 )e a0 c e b τ ( + a) dτ b + ( 0)e c b 0, ( 0 ) = b( 0 ) s b = + 2 v případě Zenerovy láky a b = pro láku Poyningovu-Thompsonovu. šlacha před deformací šlacha po deformaci siloměr kons Obrázek 20. xperimenální uspořádání s konsanní deformací 3.2. xperimenální určení koeficienů reologického modelu šlach. Koeficieny reologického modelu šlach + a = b + c určíme ve dvou experimenálních uspořádáních. V prvém experimenálním uspořádání vzorek šlachy zdeformujeme předepsanou deformací (viz obrázek 20) = kons 16

17 a s jisou časovou periodou budeme určova velikos napěí. Tím obdržíme abulku hodno 0 0 ( ) 1 1 =... n n šlacha před deformací šlacha po deformaci 0 1kg Obrázek 21. xperimenální uspořádání s konsanním napěím Inegrací vzahu (16) pro konsanní = kons a 0 = 0 máme (18) = ( 1 e a) c a kons + 0 e a, přičemž 0 = b kons. Koeficien b určíme okamžiě z posledního vzahu jako b = 0 kons a výraz (18) napíšeme posupně pro všechny naměřené hodnoy k ( 1 e a k ) c a kons 0 e a k = 0 (k = 1,..., n) ve varu maicovém jako (19) S(a, c) = 0. V druhém uspořádání experimenu zaížíme vzorek konsanním nápěím = kons (viz obrázek 21) a měříme deformaci v různých časových okamžicích, čímž dosaneme abulku hodno 0 0 ( ) 1 1 =.., kde opě kons = b 0, kde b by mělo bý shodné s údajem z předešlého experimenálního uspořádání. Samozřejmě eno koeficien b určíme z řady experimenálních měření provedených v obou uspořádáních, při použií pravidel o saisickém vyhodnocování experimenálně zjišěných da. Naměřené hodnoy opě dosadíme do vzahu daného inegrací výrazu (17) pro = kons a 0 = 0: k a c kons což i zde zapíšeme maicově ve varu ( 1 b a c n n ) kons e c b (20) (a, c) = (k = 1,..., n),

18 Sousavu rovnic (19) a (20) rozřešíme ve smyslu nejmenších čverců minimalizací funkce S T S + 2 kons T min, kde fakor kons 2 zajišťuje řádovou rovnos úlohy. Minimum éo funkce lze však získa jen obížně a jsme zde odkázani na numerické meody, mezi nimiž se jako použielné ukazují dnes mezi inženýry populární geneické algorimy Dynamické uspořádání experimenu. V případě dynamického uspořádání experimenu, j. experimenu, kde mám k dispozici úplnou abulku da , n n n n n je siuace daleko jednodušší. Charakerisickou rovnici + a = b + c napíšem pro jednolivé časy i + a i = b i + c i (i = 0, 1,..., n) nebo maicově = a + b + c, j. = Aa, kde A =..., a = a b. c n n n Tuo přeurčenou sousavu rozřešíme ve smyslu nejmenších čverců jako a = ( A T A ) 1 A T, čímž dosáváme hledané koeficieny a, b, c našeho modelu. Reference [Sob81] Z. Soboka, Reologie hmo a konsrukcí, Academia, Praha,