Gerberovy nosníky. Vhodným vložením kloubů vznikne složená, staticky určitá soustava, tvořená nesoucími a nesenými nosníky, tzv.

Transkript

1 Gererovy nosníky Spojitý nosník je stticky neurčitý o stupni sttické určitosti sn = r, r je celkový počet vnějších vze sn = 2, 2x stticky neurčitý spojitý nosník Vhodným vložením klouů vznikne složená, stticky určitá soustv, tvořená nesoucími nesenými nosníky, tzv. Gererův nosník sn= sn= Copyright (c) Vít Šmiluer Czech Technicl University in Prgue, Fculty of Civil Engineering, Deprtment of Mechnics, Czech Repulic Permission is grnted to copy, distriute nd/or modify this document under the terms of the GNU Free Documenttion License, Version.2 or ny lter version pulished y the Free Softwre Foundtion; with no Invrint Sections, no Front-Cover Texts, nd no Bck-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documenttion License" found t

2 Nevhodné uspořádání klouů může vést k řetězovému kolpsu Odstrnění tohoto nosníku vyvolá řetězový kolps zytku sn= Při vkládání klouů nesmí vzniknout kinemtický mechnismus, který vede n výjimkový přípd (determinnt soustvy = ) sn= Nrozdíl od spojitých nosníků jsou Gererovy nosníky stticky určité, tedy jsou odolné vůči podklesům podpor či účinkům teploty použití n nestilním i poddolovném území sn= Výpočet zčíná od nesených částí směrem k nesoucím, vodorovné rekce lze určit z celku 2

3 Určete rekce síly v klouech Gererov nosníku kn 6 kn/m' c 5 kn d m 2 m 2 m 2 m kn Bz Ax III. MA Bx 2 m 2 kn II. Bz Dx I. Dx C 5 kn E 5 D x =, D x=5 kn Az d 2 E x6 8=, E=5 kn 2 2 D z x6 8=, D z = kn K : D z 6 E= kn, O.K. A x Bx=, A x=5 kn 7 A z Bz =, A z = 2 kn 8 M A Bz =, M A =8 knm 9 K: A z C 2 E 6= kn, O.K. K: A x 5= kn, O.K. 8 knm 6x6 = 6 kn 8 knm Dz e m 2 m Dz Bx e c Bx D x=, Bx =5 kn 2 C x 7x2 8 D z =, C=6 kn 5 2 Bz 2x 5x2 6 Dz =, Bz = 2 kn 6 K: Bz C 2 D z = kn, O.K.

4 Příhrdové konstrukce zákldní chrkteristik Konstrukce je vytvořen z přímých prutů Pruty jsou nvzájem pospojovány v odech styčnících Vzájemné spojení prutů se ve všech styčnících předpokládá klouové (ovykle vícenásoný klou), klouy se čsto do sttických modelů nekreslí Soustv je podepřen jen vnějšími vzmi, které zrňují pouze posunu, to výhrdně ve styčnících Detil styčníku zstřešení hly Szk, Prh, foto: utor

5 Příkldy příhrdových konstrukcí Nosná konstrukce esklátoru metr, Dejvická Střešní vzníky, mteriál Středisk výroy vzníků v Brně Železniční příhrdový most n trti Plesná, st. hrnice Che, 998 5

6 Příhrdové konstrukce Prostorové Rovinné všechny pruty i ztížení leží v jedné rovině Ztížení Styčníkové vznikjí pouze osové síly Mimostyčné kromě osové síly je prut nmáhán i ohyem, stticky odpovídá prostému nosníku s osovou silou, ztížení lze převést do styčníků F F=F / (+) F2=F / (+) Osová síl + ohy 6

7 Sttická určitost rovinných příhrdových konstrukcí Pruty příhrdové konstrukce lze pokládt z tuhé desky spojené klouy Jednodušší je pokládt styčníky z hmotné ody tuhé desky z kyvné pruty Horní pás Svislice (příčky) 2 7 Digonál sn = 9xo + o 6x2o = o 9 Dolní pás sn = p + rext 2n sn... stupeň sttické neurčitosti příhrdové soustvy n... počet styčníků p... počet prutů rext... počet stupňů volnosti od vnějších vze 7

8 Tři příhrdové pruty spojené do trojúhelníku tvoří tzv. příhrdu soustvu vnitřně stticky i kinemticky určitou chová se jko tuhá desk m=2 m=2 m=2 Pokud k příhrdě připojíme dv kyvné pruty se společným styčníkem vznikne opět příhrd chová se opět jko jedn tuhá desk m=2 8

9 Příhrdová soustv může tvořit součást složené soustvy jko tuhá desk sn = xo + 2x2o 7x2o = o 8 9 sn = 2x2o + 2o 2xo = o Trojklouová soustv z příhrd 9

10 Výjimkové přípdy (sn=) styčník o o 7 křížení prutů sn = 8xo 5x2o = 2o Vz nvíc oproti tuhé desce. o Tvrově neurčitý klouový čtyřúhelník 6 sn = x + 2 8x2 = o styčník 9 sn = 9xo + o 6x2o = o sn = 6xo x2o = 2o Vz nvíc oproti tuhé desce.

11 Čsté typy příhrdových konstrukcí Ocelové příhrdové železniční mosty ěžně do rozpětí pole 6 m prvoúhlé stt. určitá kosoúhlé stt. určitá romické polopříčkové n velká rozpětí stticky neurčitá, prostě podepřená příhrd 26+ 2x= stt. určitá stt. určitá

12 Rovinný model podpůrné konstrukce Styčníků n=5 Prutů p= Vnější vzy r= sn = p + r 2n = o Rekonstrukce hotelu Kriváň, Prh, 22. foto: P. Svood 2

13 Určete stupeň sttické neurčitosti Styčníků n=6 Prutů p=8 Vnější vzy r= sn = p + r 2n = o (stticky přeurčitá) Kinemtický mechnismus sn = (2+2++) 2x = o (určitá)

14 Styčníková metod Vnější i vnitřní vzy nhrdíme složkmi rekcí, síly zvedeme tk, y kldná hodnot znmenl th v prutu (konvence) Pokud má ýt celá příhrdová soustv v rovnováze, musí ýt v rovnováze kždý styčník V kždém styčníku jsou k dispozici dvě silové podmínky, celkem 2n rovnic Oecná styčníková metod neznámé jsou osové síly i rekce, vede n soustvu 2n rovnic, vhodné pro lgoritmus n počítči Zjednodušená styčníková metod zčíná výpočet ve dvojném styčníku, neřeší se soustv rovnic, získné dílčí výsledky se použijí ihned v dlších styčnících Dvojným styčníkem rozumíme styčník o dvou neznámých Protože většin příhrdových konstrukcí tkovýto dvojný styčník neoshuje, provedou se postupy pomocí kterých se dvojný styčník nejprve vytvoří Určení vnějších rekcí z podmínek rovnováhy n celku Průsečnou metodou se určí některé neznámé osové síly

15 Určete neznámé osové síly rekce oecnou styčníkovou metodou m Rx Rz 2 kn c N N N5 N N 2 kn e N2 N 2 N5 N N6 N6 m d N N7 Rx d m c N7 m e sn = p + r 2n sn = 7xo + o 5x2o = o Podmínky rovnováhy R x N 5 N = R z N 5 N = 2 R x 5 N 7= N 5 N7 = N N 2= 5 2 N 5= 6 5 N 5 N 7 5 N 6= 7 N5 5 N 5 N6 5 N7 = 8 N2 5 N 6 = N6= 5

16 Mticová form soustvy rovnic c d Styčník R x.8 R z.6 R x.8 N.6 N2 = 2 N N N5.8 N6.6 2 N7 Mtice levých strn geometrie konstrukce Vektor neznámých Rx = 2 Rz = 6 R x=2 N=6 N2=6 N=2 N =2 N5= 2 N6= 2 N7= [kn] Vektor uzlových ztížení Řešení pomocí inverzní mtice, determinnt D =,576 Mtice je řídká, npř. neznámou N lze vypočítt přímo Pro ruční výpočet je oecná styčníková metod zytečně rousní zdlouhvá 6

17 Zjednodušená styčníková metod Ačkoli je možné zčít ve dvojném styčníku e, určíme nejprve rekce z celku m m Rz m Rx 2 kn N N N c N N5 N5 N d m N N7 Rx N7 Pozn. Protože jsme použili rovnice () (), zývjí podmínky pro kontrolu n styčnících. 2 kn N2 N 2 e N6 e N6 6 R x 2 8 2= R x = 2 Rx R x =, R x =2 2 Rz 2 2= R z= 6 [kn] 2 5 N 6 =, N6 = 2 N 2 5 N6 =, N2 =6 5 c N N 2=, N =6 6 Rx N 5 N =, N =2 8 R x 5 N 7=, N 7= 2 N 5=, N 5= 2 7 Rz 5 N N =, N=2 9 d K : N 5 N 7=, OK K : 5 N 5 N7 5 N6 =, OK K : N 5 N N 6 N7 =, OK

18 Osové síly ve vzthu ke geometrii styčníků Nc N N j N j N Nc N j N N = N Nc = N = N N N j N N = N = Nd N j Nc N = Nc N = Nd Nc N = N Nc = N j F N N = N Nc = F 8

19 Určete osové síly z geometrie konstrukce stejné F F F Rz Rx Rx Rz Rz F stejné F Rz F Rz Určeno osových sil z 9 pouze z geometrie ze známých rekcí! 9

20 Průsečná metod Pokud je příhrdová konstrukce v rovnováze, musí ýt v rovnováze kždá její část Nejprve určíme vnější ztížení rekce, npř. z rovnováhy n celku Příhrdovou konstrukci rozdělíme n dvě smosttné části tk, y řez proťl nnejvýš tři pruty (výjimečně i více při rovnoěžnosti prutů či průsečíku více prutů v jednom uzlu) V přeťtých prutech zvedeme stndrdně neznámé osové síly jejich hodnoty určíme ze třech podmínek rovnováhy n odňtých částech N N I. N2 N2 II. N 2

21 Určete průsečnou metodou síly N ž N Rx N c d,6 m 2 kn N2 N e f 2 m g Rhx 2 m h 2 m kn Tuhá desk I. sin = 2, cos =,5 h,6 2,6 R x 6 = =6o 2 m Rhz R x =7, kn d 6,6 R hx = R hx= 7, kn e,6 R x,6 2 6 Rhz = R hz = kn K: R hz =, OK Tuhá desk II. 2 N2 =, N2 =,55 kn g,6 Rx N = N= 25,78 kn 2,6 N =, N = 5,78 kn K: 7, N,5 N2 N =, OK R hz 2 N 2=, N 2=,55 kn,6 2 N 2 R hz = N = 25,78 kn,6 R hx N R hz =, N = 5,78 kn K: N,5 N 2 N 2 R hx=, OK2 g

22 Průsečná metod podroněji Ovyklé použití Určení několik sil, kontrol vyrných sil ze styčníkové metody Strtovcí metod pro vytvoření dvojného styčníku ve styčníkové metodě Průsečná metod je omezen podmínkmi vedení řezů Řez může protínt i více než tři pruty (n > ), n prutů se musí protínt v jediném odě, tzv. přidružený momentový střed Sílu v prutu získáme z momentové podmínky k přidruženému momentovému středu 22

23 Určete osové síly N, N5, N, N2, N8, N9, N2 průsečnou metodou m kn d 2,5 5 e kn f 2,5 c kn sin =,768, cos =,6 sin 2=,7, cos 2=, ,5 8 g 9 h 2,5 2, 5,9 Řez (levá část) f 5 5,9 2,5 N cos 2 =, N= 5,25 5,9 N sin 2 N 5 sin =, N5 =,6 2,5 5,9 N =, N =,97 Řez 2 přidružený momentový střed f (levá část) f 5 5,9 2,5 N2 cos 2=, N 2= 5,25 Řez (prvá část) h 2,5 N8=, N8= g 2,5 2, N9 cos =, N9 = 2,7 c 2,5 2, N2=, N2 =,75 N 2 N9 cos =, N 2=,75 [kn] 2

24 Určete všechny osové síly styčníkovou metodou m kn Dx d d Dz 2,5 sin =,768, cos =,6 sin 2=,7, cos 2=,928 5 e c 2 Tlčené pruty 6 kn f 2, ,5 Dz N sin =, N = 7,682 h Dx N cos N=, N =N =,97 N sin N5 sin N sin 2 = soustv c N cos N5 cos N cos 2 = N5=,6, N = 5,25 N cos 2 N2 cos 2 =, N 2 =N = 5,25 f N sin 2 N 2 sin 2 N6=, N 6=,898 kn 8 g Dx =, D x= kn d 2,5 5 H z = H z = 2, kn 9 2,5 h Hz h 5 7,5 Dz = D z = 5,9 kn K: D z H z =, OK N =N 8= N=N, N 2=N Hz N9 sin =, N 9= 2,7 N9 cos N=, N =N2=,75 N2 cos 2 N 7 cos N 9 cos = N7=,97 N2 sin 2 N 7 sin N 9 sin, O.K. N N2 cos N 5 N7, O.K. N6 sin N5 N7, O.K. 2 [kn]

25 . určení rekcí Vypočtěte všechny osové síly v prutech 2 kn d e kn c 2 kn kn 2 kn 2. průsečná metod d. styčníková metod kn +2,5 2 2 kn +2,5,5 2,5 +2,5 2,5+2,5,5,5 2,5 2,5,5 25

26 Vypočtěte všechny osové síly v prutech kn 6 m,5 9 +7,5 8 2 m 7,5 5 kn c 5 m 9 + N N N N2 m 2 m 2. nulové jsné pruty 2. určení rekcí. styčníková metod. průsečná metod pro výpočet modrých prutů (styčníková metod vede n soustvu rovnic) Řez 6 N = 5 N 2 =7,5 kn 6 5 N 6 6 9= N = 7,5 kn Řez N 2 8 = N = 5 kn 6 5 N = N = kn 5. prostřední svislice č. 7 26

27 Vypočtěte všechny osové síly v prutech kn 2 kn m 6,25 2 6,25 m 8 8, e m m c 5. určení jsných sil v prutech (č.,7) 2. rekce n levé části. rekce n prvé části. styčníková metod 2 5 f m ,5 6,25 d 2 kn g m h 6 27

28 Otázky Které pruty udou tžené při rovnoměrném ztížení příhrdové konstrukce? Které udou mít nulovou osovou sílu? 28

29 Cremonov grfická metod (dnes se již nepoužívá) Luigi Cremon 8 9, itlský mtemtik směr ocházení kn c kn e 6 5 d kn kn kn kn 29

30 Eiffelov věž Inženýr, rchitekt Gustv Eiffel (82 92) Geometrie odvozen z prutu konstntního npětí Dokončen 889 Výšk m ez ntén, hlouk zákldů m 957 t oceli, 2,5 mil. nýtů 6 t rev n údržu kždých 7 let Výchylk špičky ž 7 cm při větru

31 Most Firth of Forth, Edinurgh Železniční most, celková délk 2529 m, nivelet 6 m Návrh John Fowler (87 98) Benjmin Bker (8 97) Výstv Stvělo ž 6 lidí, (>57 úmrtí) 55 t oceli, 8 mil. nýtů en.wikipedi.org

32 Přednášky z předmětu SM, Stvení fkult ČVUT v Prze Autor Vít Šmiluer Náměty, připomínky, úprvy, vylepšení zsílejte prosím n vit.smiluer@fsv.cvut.cz Creted 2/27 in OpenOffice 2., uuntu linux 6.6 Lst updte Fe 2, 2 2

33 Příkldy složené soustvy Určete sttickou neurčitost složených soustv pokud lze, určete postup výpočtu rekcí r= r= c Výjimkový přípd podepření c d d m=9o r=9o sn=o m=2o 2o sn=o Výpočet zčíná od nesených (černých) částí směrem k nesoucím r= m=2o 2o sn=o Kždý prut je prostý nosník s osovou silou. Výpočet zčíná určením příčných sil n prostých nosnících.

34 Určete způso výpočtu složené soustvy hmotný od m=2 kyvný prut kyvný prut!!! kyvný prut r= m=o o sn=o r= I. prostý nosník nesená část II. nesená část III. nesoucí rám výpočet zčíná od kyvných prutů Směr demontáže výpočtu

35 Určete rekce od tíhy předpjtého vzníku 2 A c K Železoetonová hl, SAPA LPJ 5 m c C B= 5,5 2,5C=, C=2,87 kn 2 6 2,5 A=, A=2,9 kn A C 2=, O.K. 2,87 kn/m' kn/m',5 m =2 kn B 2,9 2 m = x o = 9o r = 2 x o + 2o + o = 9o sn = r m = o stticky určitá kce r= k vyřešení 9 rovnic 5,5 m 6 m reálně je neposuvný klou r= 2,9 2,87 5

36 Vytvořte příčné sttické schém konstrukce hly Alt.!! Nhrzení kyvnou stojkou vede n stticky určitou konstrukci! m=2 m = x o + 2o = o o o o o r = 2 x + x 2 + x = 5 sn = r m = o x stticky neurčitá kce r= k vyřešení 5 rovnic Ocelová hl, SAPA LPJ Alt. 2 r= r=! r= r= r= r=! r=! Stticky určitá konstrukce r=! m = 7 x o = 2o r = 2 x o + x o = 22o sn = r m = o x stticky neurčitá kce k vyřešení 22 rovnic r= 6

37 Určete stupeň sttické určitosti Osová rozteč vzníků 2 mm Ztužení OSB deskmi v rovině střechy Os symetrie ndytečný prut Celá konstrukce Styčníků n=2x7= Prutů (vč. modrých) p=2x+2=6 Vnější vzy x2+=5 sn = p+r 2n = =o Tenisová hl v Turnově, 27, čsopis KONSTRUKCE, foto Ing. Šrůtek Skrytý ocelový příhrdový vzník v podélném směru 7

38 Určete postup výpočtu stticky určitých složených soustv m=2 m=2 r= m=2 8