Stavební statika. Úvod do studia předmětu na Stavební fakultě VŠB-TU Ostrava. Letní semestr. Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Transkript

1 Stvení sttik, 1.ročník klářského studi Stvení sttik Úvod do studi předmětu n Stvení fkultě VŠB-TU Ostrv Letní semestr Ktedr stvení mechniky Fkult stvení, VŠB - Technická univerzit Ostrv

2 Stvení sttik - přednášející doc. Ing. Petr Konečný, Ph.D. Ktedr stvení mechniky (228) místnost: LPH 407/3 www: 2

3 Prerekvizity Předpokládné znlosti : Mtemtik, Fyzik Nvzující předměty: Pružnost plsticit, Sttik stveních konstrukcí I II Poždvky pro udělení zápočtu: zápočet z Mtemtiky I minimálně 70 % ktivní účst n cvičení prokázání znlostí procvičovné látky formou testů progrm Poždvky n složení zkoušky: zkoušk z Mtemtiky I zápočet (18-35 odů) úspěšná písemná zkoušk (18-35 odů) ústní zkoušk prokzující znlosti proírné látky (15-30 odů) 3

4 Doporučená litertur Weové stránky ktedry vyučujících 4

5 Zákldní pojmy: Souřdnicová soustv - prvoúhlá Nutný předpokld pro mtemtický popis nosné konstrukce. Záleží n povze řešené úlohy. Znménková konvence prvidlo prvé ruky v prostoru 0 x y z v rovině 0 + x + z 5

6 Zákldní pojmy: Síl odová, vektor Bodová (osmělá) síl - vektorová veličin: půsoiště 0 x velikost z A + x směr orientce (smysl) + z Jednotk síly newton (N), násoky kilonewton (kn=10 3 N), megnewton (MN=10 6 N) P Pprsek síly (nositelk síly) Bodovou sílu lze po nositelce liovolně posouvt, niž y se měnil její účinek, nejedná-li se ovšem o vázný vektor. Posunutí síly mimo její nositelku složitější (viz dále-společný účinek síly silové dvojice). P 6

7 Zákldní pojmy: Rozkld síly v rovině x + x P z P P x P z P z P P x + z + z P x = P. sin γ P z = P. cos γ P x = P. cos P z = P. sin 7

8 Sttický moment síly k odu Otáčivý účinek síly vzhledem k dnému odu momentovému středu Smysl otáčení sttického momentu: Kldný smysl otáčení sttického momentu proti smyslu chodu ručiček při pohledu proti kldnému směru třetí osy (n rovinu xz proti y zepředu ) s +z p Momentový střed liovolný od Rmeno síly - vzdálenost pprsku síly od momentového středu kolmice!! Někdy znčíme r neo d P Pprsek síly +x kldný směr sttického momentu Asolutní hodnot sttického momentu M s síly P k odu s : M P p Rozměr Nm (knm) s. 8

9 Zákldní pojmy: Síl liniová, plošná Liniová síl vzniká v důsledku kontktu dvou těles podél linie (npř. úsečk dotyk válce s rovinnou stěnou těles). Síl je spojitě rozdělen podél linie dotyku. Velikost se udává v N/m. Plošná síl vzniká v důsledku kontktu dvou těles v (neznedtelně velké) ploše. Velikost se pk udává v N/m 2. () () Liniová () plošná () síl Or / str. 7 9

10 Stvení sttik, 1.ročník klářského studi Nosné stvení konstrukce Výpočet rekcí Reálné ztížení nosných stveních konstrukcí Prut geometrický popis, vnější vzy, nehynost, silové ztížení, složky rekcí Ktedr stvení mechniky Fkult stvení, VŠB - Technická univerzit Ostrv

11 Nosná stvení konstrukce Nosná stvení konstrukce slouží k přenosu ztížení ojektu do horninového msívu, n němž je ojekt zložen. Musí mít dosttečnou únosnost dlouhodoou použitelnost. (líže předmět Pružnost plsticit). Kongresové centrum, Brno 11

12 Třídění nosných konstrukcí podle geometrického tvru Konstrukce je oecně složen z konstrukčních prvků: 1. Prutový konstrukční prvek (prut) délk je výrzně větší než dv příčné rozměry, idelizce dokonle tuhou črou (přímá neo zkřivená) 2. Plošný konstrukční prvek tloušťk je výrzně menší než zývjící dv rozměry, idelizce rovinným neo prostorově zkřiveným orzcem. Dělí se n stěny (ztížení ve vlstní rovině), desky (ztížení kolmo k rovině) skořepiny (zkřivený plošný prvek). 3. Msivní trojrozměrný konstrukční prvek Nosnou konstrukci může tvořit jediný konstrukční prvek, zprvidl je tvořen několik konstrukčními prvky soustv konstrukčních prvků. Nosná konstrukce z lepeného lmelového dřev, soustv prutových prvků desky, Lhti, Finsko, foto: doc. Ing. Antonín Lokj, Ph.D. Podroněji v nvzujících předmětech 12

13 Ztížení nosné konstrukce Rozdělení ztížení: ) silové - vnější síly momenty ) deformční - oteplení, sedání, poddolování ) sttické - velikost, směr umístění sil se v čse nemění, npř. ztížení oytných udov ) dynmické - vyvoláno rychlou změnou velikosti, polohy neo směru sil, vede k rozkmitání konstrukce, npř. ztížení mostů jedoucími vozidly ) deterministické - vlstnosti jednoznčně vymezeny normou, npř. měrné tíhy stviv ) stochstické (prvděpodonostní přístup) velikost ztížení není předepsáno jednou hodnotou, nýrž prvděpodonostní funkcí Podroněji v nvzujících předmětech 13

14 Prut - geometrický popis prutu, idelizce h, d l 0,1 F F 1 =2F F F 2 Os prutu (přímý prut), Střednice prutu (přímý i zkřivený prut) Průřez prutu 1 2 h +y +z l d +x Těžiště průřezu Sttické schém: sttický model nosné konstrukce P 1 P 2 R 1 2 x l R z 14

15 Pohyové možnosti volných hmotných ojektů Stupeň volnosti n v : možnost vykont jednu složku posunu v ose souřdného systému neo pootočení. +x volný hmotný od v rovině: n v =2 (posun v oecném směru rozložen do 2 kolmých směrů osy souřdného systému) volný tuhý prut (desk) v rovině: n v =3 (posun ve dvou osách pootočení) m[x m,z m ] x volný hmotný od v prostoru: n v =3 (posun rozložen do tří os) +z z tuhé těleso v prostoru: n v =6 ( oecný posun pootočení) 15

16 Příkldy jednoduchých vze tuhého prutu v rovině Vnější vzy odeírjí ojektu stupně volnosti. n násoná vz ruší ojektu n stupňů volnosti. Název vzy Násonost vzy Oznčení vzy rekce Kyvný prut 1 Posuvná klouová podpor 1 neo Pevný klouová podpor 2 R x neo R x Posuvné vetknutí 2 M Dokonlé vetknutí 3 M R x 16

17 Zjištění nehynosti prutu K pevnému podepření ojektu je potře tolik vze v, y zrušily všechny stupně volnosti n v. v = n v v < n v v > n v Podepření ojektu je stticky i kinemticky určité, zjištěn nehynost ojektu, použitelná jko stvení konstrukce. Podepření ojektu je kinemticky neurčité, nehynost ojektu není zjištěn, jko stvení konstrukce nepřípustná (nedosttečný počet vze). Podepření ojektu je kinemticky přeurčité, nehynost ojektu zjištěn, použitelná jko stvení konstrukce (větší počet vze než je nezytně nutné). Stticky neurčité podepření, výpočet rekcí v nvzujících předmětech Vzy musí ýt vhodně uspořádány, y skutečně zjišťovly nehynost ojektu nesmí se jednt o tzv. výjimkový přípd kinemticky určité neo přeurčité konstrukce. 17

18 Stupeň sttické neurčitosti nosníku (prutu) v rovině v n v 3 v = v e... počet vnějších vze nosníku 1... počet jednonásoných vze n v... počet stupňů volnosti nosníku v rovině 2... počet dvojnásoných vze 3... počet trojnásoných vze n v = v n v < v n v > v stticky i kinemticky určitá soustv stticky neurčitá, kinemticky přeurčitá soustv stticky přeurčitá, kinemticky neurčitá soustv Stupeň sttické neurčitosti: s = v - n v 18

19 Kinemticky i stticky určitá konstrukce v = n v v = 3, n v = 3 Podepření ojektu je kinemticky určité Prut je stticky určitý (3 složky rekcí, 3 podmínky rovnováhy) Prostý nosník: R x P 1 P 2 R z Konzol: R x M y P 1 P 2 19

20 Kinemticky přeurčitá, stticky neurčitá konstrukce v > n v kinemticky přeurčité, stticky neurčité podepření Stupeň sttické neurčitosti: s = v - n v P 1 P 2 R x R z R x v = 4 n v = 3 s = 1 R x M y P 1 P 2 M y R x v = 6 n v = 3 s = 3 R z 20

21 Kinemticky neurčitá konstrukce v < n v kinemticky neurčité podepření P 1 P 2 R z Ojekt v rovnováze jen z určitého ztížení Ve stvení prxi nepoužitelné. 21

22 Výjimkové přípdy podepření Vzy musí ýt vhodně uspořádány nesmí vzniknout výjimkové přípdy podepření, které jsou ve stvení prxi nepoužitelné. R x P 1 P 2 R x P 1 P 2 c R z R cz Determinnt soustvy roven nule jde o výjimkový přípd. 22

23 A) Prosté podepření nosníku (prutu) v rovině Prut je v rovnováze tehdy, pokud součet všech sil v ose x z i součet všech momentů k liovolnému odu je roven 0. Pltí 3 podmínky rovnováhy 2 silové, 1 momentová: 1. n i1 P i, x n i1 P 3. 0 i, z m i1 M i, s V prktických plikcích - u výpočtů složek rekcí prostě podepřeného prutu je výhodnější sestvit 2 momentové podmínky rovnováhy k podporovým odům 1. M, 0 2., 0 Tyto podmínky se doplní třetí podmínkou 1 silovou podmínkou rovnováhy: n i1 n i 1 i P i, x P i, z 0 0 M i pokud je v ose x pouze jedn neznámá složk rekce pokud je v ose z pouze jedn neznámá složk rekce Silová podmínk rovnováhy, kterou neylo potře k určení složek rekcí použijeme ke kontrole správnosti výpočtu. 23

24 A) prosté podepření nosníku v rovině stticky určitě podepřený nosník vzmi zrušeny právě jeho 3 stupně volnosti ztížený nosník je v rovnováze vzy (= rekce = rovnovážné síly neo momenty) jsou jednoznčně dány typem podpory místem uložením nosníku R x = R x v = 3 n v = 3 s = 0 R z R z odhdnout směr rekcí zkreslit je do orázku sestvit 3 podmínky rovnováhy (v kždé rovnici jen jedn neznámá rekce) 1. F i,x = 0 (silová) R x 2. M i, = 0 (momentová) R z 3. M i, = 0 (momentová) sestvit 4.kontrolní rovnici Kontrol: F i,z = 0 (silová) Z výsledkem výpočtu rekcí uvádět jejich skutečný směr. Pokud není uveden, utomticky se předpokládá směr shodný se schémtem. Vyjde-li rekce záporná skutečný směr rekce je opčný než v náčrtu, znčení skutečného směru z výsledkem je ezpodmínečně nutné. Schém nepřekreslovt!!! 24

25 Příkld 1: PROSTÝ NOSNÍK (všimněte si znčení vze podpor) P =6kN R x P R x 3 3 = R z R z F i, x Snh odhdnout směr rekcí Podmínky rovnováhy 0 Silová ve směru, ve kterém půsoí pouze jedn složk rekce M i, 0 Momentová k jednomu podporovému odu Po doszení: M i, F i, z 0 Kontrol: 0 Momentová k druhému podporovému odu Silová ve směru, ve kterém půsoí oě složky rekcí R x = 0kN R z = P/2 = 3kN ( ) skut.sm. = P/2 = 3kN ( ) skut.sm. 25

26 Příkld 2: PROSTÝ NOSNÍK M=12kNm l = 6m R x Snh odhdnout směr rekcí R z Podmínky rovnováhy F i x M i M i, 0 :, 0 :, 0 : Kontrol: + R x = 0 -M + 6.R z = 0 R z = 2 kn ( ) skut. směr -M + 6. = 0 = 2kN ( ) skut. směr F i, z 0 : - R z = 0 26

27 skutečný směr F i x Příkld 2: PROSTÝ NOSNÍK shodný příkld, neodhdli jsme směr rekcí Podmínky rovnováhy M i M i M=12kNm, 0 :, 0 :, 0 : 6 R x R z Silová ve směru, ve kterém půsoí pouze jedn složk rekcí (shodná se správným odhdem směru) Momentová k jednomu podporovému odu (shodná se správným odhdem směru) Momentová k druhému podporovému odu 6 M 0 M 2kN 6 2kN Nepřekreslovt do stávjícího or. ni nepřepisovt rovnice!!!!! Orázek zkreslit nově, neo vedle původní rekce (pro kterou jsou sestveny rovnice) zkreslit její skutečný směr s poznámkou skut. směr Rx = 0kN Rz = 2kN ( ) Rz vyjde záporná, pod vypočtený výsledek zpíšeme zřetelně - s kldnou hodnotou Rz = 2kN ( ) (skut. směr) Kontrol: Silová ve směru, ve kterém půsoí oě složky rekcí F i, z 0 : 27

28 Příkld 3: PROSTÝ NOSNÍK superpozice předešlých úloh M=12kNm P=6kN Popřemýšlet, závěr? 3 3,P = 3kN,M = 2kN R z,p = 3kN R z,m = 2kN = M=12kNm P=6kN 3 3 =1kN R z = 5kN 28

29 Příkld 4: PROSTÝ NOSNÍK smi dom sestvte podmínky rovnováhy vyřešte rekce M=12kNm P=6kN R x 3 3 R z Podmínky rovnováhy + F i, x 0 M i, M i, Kontrol: F i, z Rx = 0kN Rz = 5kN ( ) skut.směr Rz = 1kN ( ) skut.směr 29

30 Příkld 5: PROSTÝ NOSNÍK R x P z P = 70 kn P c P x Rz P P x z P x P sin P cos P z Podmínky rovnováhy + P x = 60,62 kn P z = 35 kn F i, x 0 : M i M i F i z, 0 :, 0 : Kontrol:, 0 : R x - P x = 0 R x = 60,62 kn ( ) skut. směr -2.P z + 6.R z = 0 R z = 11,67 kn ( ) skut. směr 4.P z - 6. = 0 = 23,33kN ( ) skut. směr - - R z + P z = 0 Poznámk: Kontrol goniometrických funkcí Zkontrolujte, zd vámi vypočtený průmět síly do osy x je oprvdu větší než průmět do osy z. Kontrolujte vždy u všech šikmých sil, zd schém odpovídá všemu výpočtu. 30

31 Příkld 5: PROSTÝ NOSNÍK shodný příkld, jiným způsoem zdný úhel R x P z c P = 70 kn P x Rz P P x z P P x P cos P sin P z Podmínky rovnováhy + P x = 60,62 kn P z = 35 kn F i, x 0 : M i M i F i z, 0 :, 0 : Kontrol:, 0 : R x - P x = 0 R x = 60,62 kn ( ) skut. směr -2.P z + 6.R z = 0 R z = 11,67 kn ( ) skut. směr 4.P z - 6. = 0 = 23,33kN ( ) skut. směr - - R z + P z = 0 Poznámk: Kontrol goniometrických funkcí Zkontrolujte, zd vámi vypočtený průmět síly do osy x je oprvdu větší než průmět do osy z. Kontrolujte vždy u všech šikmých sil, zd schém odpovídá všemu výpočtu. 31

32 Příkld 6: PROSTÝ NOSNÍK náhrdní řemeno Q = 3.7 = 21kN q = 3kN/m R x R z Podmínky rovnováhy + F i x M i M i F i z, 0 :, 0 :, 0 : Kontrol:, 0 : R x = 0 - Q.6,5 + R z.10 = 0 R z = 13,65 kn ( ) Q.3,5.10 = 0 = 7,35 kn ( ) - - R z + Q = 0 32

33 Příkld 7: PROSTÝ NOSNÍK náhrdní řemeno Q =0,5.4.9 =18 kn q = 4kN/m R x R z F i x Podmínky rovnováhy M i M i, 0 :, 0 :, 0 : Kontrol: F i, z 0 : + R x = 0 - Q.6 + R z.9 = 0 R z = 12 kn ( ) Q.3.9 = 0 = 6 kn ( ) F iz = 0: - - R z + Q = 0 33

34 Příkld 8: NOSNÍK S PŘEVISLÝM KONCEM 5 5 Q q = 2,4 kn/m náhrdní řemeno: Q = 2,4. 10 = 24 kn R x R z Podmínky rovnováhy F i x M i M i, 0 :, 0 :, 0: Kontrol: + R x = 0 - Q.5 + R z.8 = 0 R z = 15 kn ( ) Q.3 = 0 = 9 kn ( ) F i, z 0 : - - R z + Q = 0 34

35 Příkld 8: NOSNÍK S PŘEVISLÝM KONCEM 4 1 náhrdní řemen: q = 2,4 kn/m Q 1 Q 2 Q 1 = 2,4. 8 = 19,2 kn R x 8 2 Q 2 = 2,4. 2 = 4,8 kn 10 R z F i x Podmínky rovnováhy M i M i, 0 :, 0 :, 0: Kontrol: + R x = 0 R z. 8 Q 1. 4 Q 2. 9 = 0 R z = 15 kn ( ) Q 1. 4 Q 2. 1 = 0 = 9 kn ( ) F i, z 0 : - - R z + Q 1 + Q 2 = 0 35

36 B) Vetknuté podepření nosníku v rovině - konzol Prut je v rovnováze tehdy, pokud součet všech sil v ose x z i součet všech momentů k liovolnému odu je roven 0. Pltí 3 podmínky rovnováhy n n 2 silové, 1 momentová: 1. P i1 i, x i1 P 3. 0 i, z m i1 M i, s U výpočtů složek rekcí konzoly sestvujeme: 1 momentovou podmínku rovnováhy k podporovému odu, npř.k odu : M i, 0 2 silové podmínky rovnováhy: n i1 P i, x 0 n i1 P i, z 0 2.momentovou podmínku rovnováhy k liovolnému odu, npř.k odu použijeme ke kontrole správnosti výpočtu. M i, 0 36

37 B) Vetknuté podepření nosníku v rovině - konzol M R x opět odhdnout směr rekcí zkreslit je do orázku sestvit 3 podmínky rovnováhy 1. F ix = 0 (silová) R x 2. F iz = 0 (silová) 3. M i = 0 (momentová) M Kontrol: M i = 0 (momentová) 37

38 Příkld 9: KONZOLA P x = P z = 6,36kN M P z 45 R x P = 9kN P x 5 + Podmínky rovnováhy F i x F i z M i M i, 0 :, 0 : Kontrol:, 0 :, 0: R x - P x = 0 R x = 6,36kN ( ) - + P z = 0 = 6,36kN ( ) M P z.5 = 0 M = 31,82kNm ( ) M. 5 = 0 38

39 Příkld 10: KONZOLA (speciálně pro studenty průmyslových škol) M skut. směr M M = 15kN 45 R x 2 P z P x P = 9kN P x = P z = 6,36kN Podmínky rovnováhy F i x F i z M i, 0 :, 0 :, 0 : R x - P x = 0 R x = 6,36kN ( ) - +P z = 0 = 6,36kN ( ) M + M P z.2 = 0 M = 2,28kNm ( ) M ,36.2 = 0 M = -2,28kNm Kontrol: M i, 0: M + M. 2 = 0 39

40 Příkld 11: KONZOLA Q = 12kN q = 2 kn/m M R x R z + Podmínky rovnováhy F i, 0 : R x = 0 kn F i, 0 : - R z + Q = 0 R z = 12 kn ( ) M i, 0 : - M + Q.6 = 0 M = 72 knm ( ) x z Kontrol: M i, 0: - M + R z. 9 Q.3 = 0 40

41 C) nosník s převislými konci Q 1 = 6kN Q 2 = 12kN M = 3kNm R x q = 4 kn/m P 2 = 6kN Q 1 = 6kN umístit do těžiště orzce! Q 2 = 12kN P 1 = 4kN R z Podmínky rovnováhy + F i x M i M i, 0 :, 0 :, 0: Kontrol: R x P 1 = 0 R x = 4 kn ( ) skut. směr -M + R z. 6 Q 1. 2 Q 2. 4,5 P 2.7 = 0 R z = 18,5 kn ( ) -M Q Q 2. 1,5 P 2.1 = 0 = 5,5 kn ( ) F i, z 0 : - - R z + Q 1 + Q 2 + P 2 = 0 41

42 Okruhy prolémů k ústní části zkoušky Zákldní okruhy Podmínky rovnováhy soustvy sil v rovině Sttický moment síly k odu v rovinné úloze Rozdělení nosných stveních konstrukcí Prut popis, schém, idelizce Ztížení nosných stveních konstrukcí Zjištění nehynosti prutu, kinemtická sttická určitost, neurčitost, přeurčitost, stupeň sttické neurčitosti Typy podpor, složky rekcí ve vnějších vzách Výjimkové přípdy kinemticky určitého podepření prutů Prostě podepřený prut, konzol schém, popis Výpočet rekcí prostě podepřeného prutu Výpočet rekcí konzoly 42