Obsah rovinného obrazce

Transkript

1 Aplikce určitého integrálu V celé této kpitole uvžujme pouze spojité funkce, které mjí přípdně spojité derivce. Užití určitého integrálu v geometrii bsh rovinného obrzce Z definice Riemnnov určitého integrálu vplývá, že obsh zákldního obrzce Z = {[, ] R ;, b, 0 f()} určeného spojitou nezápornou funkcí f definovnou n konečném uzvřeném intervlu, b je roven = f() () P = f() d. Z Poznámk: Pokud je funkce f nekldná n intervlu, b předcházejícím vzorcem určíme obsh oblsti se záporným znménkem. Pokud funkce f střídá n intervlu znménk, předcházejícím vzorcem určíme rozdíl součtu obshů oblstí určených funkcí f ležících nd osou součtu obshů ležících pod osou. Pokud n intervlu, b pltí g() f(), pk obsh oblsti ležící mezi grf funkcí g f je roven = f() b () P = ( f() g() ) d b = g() Je-li f spojitá funkce, která je dán prmetrick rovnicemi = ϕ(t), = ψ(t), t, β, kde funkce ϕ má spojitou derivci, plne ze vzorce () pomocí substituce = ϕ(t), kdž si uvědomíme ψ(t) = = f() = f(ϕ(t)), že obsh zákldního obrzce Z je roven (3) P = β ψ(t)ϕ (t) dt.

2 Z vět o substituci dále vplývá, že obsh oblsti ohrničené prmetrick zdnou křivkou nezávisí n prmetrizci křivk. Totéž pltí pro všechn dále uvedené vzorce. Nechť ϱ = ϱ(ϕ), kde ϱ je nezáporná spojitá funkce n intervlu, β (β π), je rovnice křivk v polárních souřdnicích. bsh křivočré výseče K, což je oblst omezená polopřímkmi ϕ =, ϕ = β křivkou s polární rovnicí ϱ(ϕ), je roven = ϱ(ϕ) cos ϕ, = ϱ(ϕ) sin ϕ (4) P = β ϱ (ϕ) dϕ β K Příkld: Určete obsh kruhu o poloměru r Rovnice kružnice o polomětu r je + = r, eplicitní vjádření horní polokružnice je f() = = r, r, r, dolní polokružnice je g() = = r, podle vzorce () pltí P = r r = r π [ ] π = r sin ϕ = d = r cos ϕ dϕ π [ + cos ϕ dϕ = r ϕ + ] π sin ϕ = πr. r ( r ) d π = π r cos ϕ r cos ϕ dϕ = Prmetrické vjádření kružnice je = r cos t, = r sin t, t π, π, proto podle vzorce (3) pltí P = π π π r sin t r sin t dt = r π [ ( ( cos t) dt = r t )] π sin t = πr. = π Polární rovnice kružnice je ϱ = r, pro ϕ 0, π, proto její obsh je roven P = π 0 r dϕ = πr. bjem těles Nechť těleso leží mezi rovinmi = = b P () znčí obsh řezu těles rovinou kolmou k ose, která prochází bodem. Pk objem těles je roven (5) V = P () d.

3 bjem rotčního těles, které vznikne rotcí grfu funkce = f(),, b, kolem os je roven (6) V = π f () d. dvození vzorce spočívá v tom, že n elementu i dělení intervlu, b nhrdíme těleso válcem s výškou i poloměrem f(ξ i ), kde ξ i i. bjem tohoto válce je roven πf (ξ i ) i, objem těles je roven součtu objemů těchto válců limitním přechodem pro normu dělení konvergující k nule dostneme poždovný vzorec. Příkld: Určete objem koule o poloměru r. Tto koule vznikne rotcí grfu polokružnice s rovnicí = r, r, r, kolem os, proto její objem je dle vzorce (6) roven r [ V = π r d = π r ] r r 3 3 = π(r 3 = r 3 r3 ) = 4 3 πr3. Délk křivk Nechť je v rovině dán jednoduchá křivk l prmetrickými rovnicemi = ϕ(t), = ψ(t), t, β. Nechť X i, i =,,..., n, jsou bod, které leží z sebou n této křivce, přičemž X 0 je počátek X n konec křivk. Z názoru je ptrné, že při dosti jemném dělení bude lomená čár X 0 X... X n dobře proimovt křivku l, proto má smsl definice X n X 0 X X Definice Nechť D je libovolné dělení intervlu, β, D = = t 0 < t <... < t n = β, nechť X i = ( ϕ(t i ), ψ(t i ) ) ( tj. bod, ve kterém se ocitne křivk v čse t ), potom délkou křivk l rozumíme supremum délek lomených čr X 0 X... X n počítné přes všechn možná dělení D intervlu, β. Délk elementu X i X i lomené čár je rovn s i = +, kde = ϕ(t i ) ϕ(t i ), = ψ(t i ) ψ(t i ). 3

4 Podle vět o střední hodnotě eistují tková čísl τ i, ϑ i i, že = ϕ (τ i ) t i, = ψ (ϑ i ) t i, tj. s i = ϕ (τ i ) + ψ (ϑ i ) t i. Bude-li délk elementu t i dosttečně mlá, je ψ (ϑ i ) ψ (τ i ), protože podle předpokldu v úvodu je ψ spojitá funkce (přesný odhd viz Brbec, Mrtn, Rozenský: Mtemtická nlýz I), proto s i ϕ (τ i ) + ψ (τ i ) t i, délk lomené čár X 0 X... X n je rovn n s i i= n i= ϕ (τ i ) + ψ (τ i ) t i. N prvé strně rovnice se nchází integrální součet σ(f, D) příslušný funkci f(t) = = ϕ (t) + ψ (t), dělení D výběru bodů τ i i. Bude-li proto norm dělení D konvergovt k nule, bude prvá strn konvergovt k číslu (7) s = β ϕ (t) + ψ (t) dt, levá strn k délce křivk. bdobným způsobem určíme délku prostorové křivk zdné prmetrick rovnicemi = ϕ(t), = ψ(t), z = ζ(t), t, β jko (8) s = β ϕ (t) + ψ (t) + ζ (t) dt. Délk grfu funkce = f(),, b, (tj. délk křivk zdné eplicitně rovnicí = f()) je rovn (9) s = + f () d, protože tto křivk má prmetrizci =, = f(),, b. Délk křivk, jejíž rovnice v polárních souřdnicích je ϱ = ϱ(ϕ), ϕ, β, je rovn (0) s = β ϱ (ϕ) + ϱ (ϕ) dϕ. Příkld: Určete délku kružnice o poloměru r Prmetrické vjádření kružnice je = r cos t, = r sin t, t π, π, proto podle vzorce (7) pltí s = π π ( r sin t) + (r cos t) dt = r π 4 π dt = πr.

5 Délk kružnice je součtem stejných délek horní dolní půlkružnice, přitom eplicitní rovnice horní půlkružnice je f() = r, r, r, proto podle vzorce (9) pltí r ( ) r s = + d = r r r r d = πr, r po substituci = r sin ϕ. Polární rovnice kružnice je ϱ = r, pro ϕ 0, π, proto její délk je rovn podle vzorce (0) π s = r + 0 dϕ = πr. 0 Povrch rotční ploch Nechť ploch vznikne rotcí grfu funkce = f(),, b, kolem os. Nhrďme n elementu i povrch těles pláštěm komolého kužele s poloměr podstv f( i ), f( i ). Povrch tohoto pláště je roven π(f( i ) + f( i )) s i, kde s i je délk hrn komolého kužele. Stejnými úvhmi jko pro délku křivk zjistíme, že povrch rotčního těles je roven () S = π f() + f () d Povrch rotční ploch vzniklé rotcí křivk s prmetrickými rovnicemi = ϕ(t), = ψ(t), t, β je β () S = π ψ(t) ϕ (t) + ψ (t) dt. Příkld: Smi dokžte, že povrch koule je roven 4πr. Technické křivk Uvedeme si příkld některých křivek, které se čsto vsktují ve výpočtech pomocí Riemnnov určitého integrálu. Kuželosečk v tomto přehledu neuvádíme. Řetězovku tvoří nepružná nit (řetěz) zvěšený ve dvou bodech je to grf funkce = ch, kde > 0, 5

6 Kotálnice Při kotálení křivk h (tzv. tvořící křivk nebo hbné polodie) bez skluzu po pevné křivce p (tzv. zákldní křivce nebo pevné polodii) opíše kždý bod rovin křivku, kterou nzýváme kotálnice. Důležité jsou přípd, kd hbná polodie je kružnice pevná polodie přímk nebo kružnice. Ckloid Jestliže se kružnice h o poloměru kotálí po přímce p, pk kždý (vnější, vnitřní) bod kružnice h (vzdálený o r od středu kružnice h) pevně spojený s touto kružnicí vtváří tzv. prostou (prodlouženou, zkrácenou) ckloidu. Prostá ckloid má prmetrické rovnice = (t sin t), = ( cos t), jednu větev dostneme pro t 0, π. Pltí ds = sin t dt. Prodloužená (zkrácená) ckloid má prmetrické rovnice: Pltí ds = + r r cos t dt. = t r sin t, = r cos t. prodloužená ckloid prostá ckloid zkrácená ckloid Ventilek jízdního kol se pohbuje po zkrácené ckloidě, bod n obvodu pláště jízdního kol po prosté ckloidě. Epickloid hpockloid Jestliže se kružnice h o poloměru kotálí po vnějším resp. vnitřním obvodu kružnice p o poloměru A, pk kždý (vnější, vnitřní) bod kružnice h (vzdálený o r od středu kružnice h) pevně spojený s touto kružnicí vtváří tzv. prostou (prodlouženou, zkrácenou) epickloidu resp. hpockloidu. Prmetrické rovnice prosté epickloid hpockloid = (A ± ) cos t cos A ± t, = (A ± ) sin t sin A ± t. Asteroid, zvná též stroid ptří mezi kotálnice, steroidu opisuje kždý bod kružnice o poloměru, která se bez smku kotálí zevnitř po kružnici o poloměru 4. Je to ted prostá hpockloid, kde A = 4. Prmetrické rovnice Pltí ds = 3A sin t cos t dt. = A cos 3 t, = A sin 3 t, t 0, π. 6

7 Krdioid Asteroid Krdioid ptří mezi kotálnice; krdioidu opisuje kždý bod kružnice o poloměru, která se bez smku kotálí vně po kružnici o poloměru. Je to ted prostá epickloid, kde A =. Rovnice v polární soustvě ϱ = ( + cos ϕ), ϕ 0, π. Pltí ds = 4 cos ϕ dϕ. Evolventu kružnice řdíme mezi kotálnice (kde h je přímk p je kružnice) i mezi spirál. Jko kždá evolvent křivk vznikne tk, že počínje počátečním bodem nnášíme n tečnu délku oblouku mezi počátečním bodem bodem dotku tečn s křivkou. (Evolventu kružnice ted vtváří konec npjté niti odmotávné z kruhové cívk.) Prmetrické rovnice jsou = (t sin t + cos t), = (sin t t cos t). Pltí ds = t dt. Spirál Archimédov spirál je spirál s konstntní šířkou jednotlivých závitů. Je vtvořen rovnoměrným pohbem bodu po průvodiči, který se rovnoměrně otáčí kolem pólu. Rovnice v polární soustvě je ϱ = ϕ. Pltí ds = + ϕ dϕ. Logritmická spirál. Rovnice v polární soustvě je ϱ = e mϕ. 7

8 Vsktuje se npř. v kresbě ulit plžů. Pltí ds = + m e mϕ dϕ. Lemniskát je množin bodů které mjí od dvou dných pevných bodů stálý součin vzdáleností. Rovnice v implicitním tvru je v polární soustvě souřdnic je ( + ) = ( ), ϱ = cos ϕ. Délku nelze vjádřit užitím elementárních funkcí. Bernoulliov leminiskát Šroubovice je příkldem prostorové křivk. Šroubovice leží n válcové ploše + + =, rozvinutím válcové ploch přejde kždý závit šroubovice v úsečku. Prmetrické rovnice: Pltí ds = + c dt. = cos t, = sin t, z = ct, jeden závit pro t 0, π. Užití určitého integrálu ve fzice Hmotnost rovinné desk Mějme spojitou kldnou funkci f uvžujme rovinnou desku tvru zákldního obrzce, b. Nechť σ je plošná hustot mteriálu. Je-li desk homogenní (σ = konst.), je hmotnost desk rovn (3) m = σ f() d Je-li hustot pouze funkcí proměnné (σ = σ()), pk hmotnost desk je (4) m = σ()f() d Těžiště rovinné desk 8

9 Předpokládejme, že desk tvru zákldního obrzce určeného kldnou funkcí f n intervlu, b má konstntní plošnou hustotu σ. Z fzik je známo, že sttické moment S, S hmotného bodu v rovině o souřdnicích (, ) hmotnosti m vzhledem k osám jsou definován vzth S = m, S = m. Sttické moment konečné soustv hmotných bodů jsou rovn součtu sttických momentů jednotlivých bodů vzhledem k odpovídjícím osám. Jko těžiště neboli hmotný střed soustv hmotných bodů definujeme bod T o souřdnicích (ζ, η) hmotnosti rovné hmotnosti soustv, jehož sttické moment vzhledem k osám jsou rovn sttickým momentům celé soustv vzhledem k těmto osám. dtud plne, ζ = S m, η = S m, kde S S jsou sttické moment soustv m hmotnost soustv. Nechť D je dělení intervlu, b. Uvžujme element i tohoto dělení jemu příslušnou desku Z i tvru zákldního obrzce. znčme ξ i střed elementu i, ξ i = = i + i. Desku Z i můžeme přibližně nhrdit ( obdélníkem ) o výšce f(ξ i ) šířce i. Těžiště tohoto obdélník má souřdnice ξ i, f(ξ i), jeho hmotnost je σ i f(ξ i ). Jeho = f() Z i i ξ i sttický moment vzhledem k ose je ted roven i b S i = σ i f(ξ i ) f(ξ i) = σf (ξ i ) i. Součet sttických momentů všech desek Z i vzhledem k ose je integrální součet funkce σf (), proto pro normu dělení D konvergující k nule konverguje k sttickému momentu S celé desk, což je dále uvedený integrál S = σ f () d. Podobně sttický moment obdélník vzhledem k ose je roven S i = σ i f(ξ i )ξ i = σξ i f(ξ i ) i. Jko před chvílí zjistíme, že sttický moment S celé desk je roven S = σ f() d. 9

10 Proto souřdnice těžiště rovinné desk tvru zákldního obrzce jsou rovn (5) ζ = b f() d f() d, η = f () d f() d Souřdnice těžiště desk ležící mezi grf funkcí g() f() pro, b jsou rovn (6) ζ = (f() g()) d (f() g()) d, η = ( f () g () ) d (f() g()) d Podobně jko u vzorce (3) můžeme určit sttické moment těžiště křivk zdné prmetrick. (Proveďte) Hmotnost křivk Rovinná homogenní dná prmetrick rovnicemi = ϕ(t), = ψ(t), t, β, s konstntní délkovou hustotou σ má hmotnost β (7) m = σ ϕ (t) + ψ (t) dt. Těžiště křivk Podobně jko v oddíle těžiště desk můžeme zjistit sttické moment křivk vzhledem k osám β S = σ ψ(t) ϕ (t) + ψ (t) dt, Proto souřdnice těžiště křivk jsou rovn β S = σ ϕ(t) ϕ (t) + ψ (t) dt. (8) ζ = S m, η = S m. Jk vpdjí předcházející vzorce pro křivku zdnou eplicitně? 0