6 Planimetrie. Opravdovým matematikem může být pouze ten, kdo se o matematiku zajímá zcela nezištně (Euklides)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "6 Planimetrie. Opravdovým matematikem může být pouze ten, kdo se o matematiku zajímá zcela nezištně (Euklides)"

Transkript

1 6 Planimetrie Opravdvým matematikem může ýt puze ten, kd se matematiku zajímá zela nezištně (Euklides) 61 Úhel V kapitle 14 jsme zpakvali některé základní mnžiny dů gemetriké útvary: d, přímka rvina, plpřímka, plrvina, úhel a jeh velikst, trjúhelník, kružnie a kruhvý luk V kapitle 57 jsme tyt pznatky dplnili lukvu míru úhlů Výsledky těht předěžnýh úvah využijeme nyní k sustavnějšímu zpakvání gemetrikýh pznatků V tét kapitle se udeme zaývat gemetrií v rvině planimetrií, v kapitle následujíí pak gemetrií v prstru steremetrií Zpakujme, že úhlem rzumíme uď průnik dvu plrvin s různěžnými hraničními přímkami (knvexní úhel) ne jejih sjednení (neknvexní úhel) Dále udeme ptřevat následujíí pjmy: Vrhlvé úhly: Dvě různěžky p, q se splečným dem V rzdělí rvinu na čtyři úhly dvě dvjie úhlů jejihž ramena jsu pačné plpřímky Takvé úhly nazýváme úhly vrhlvé Vrhlvé úhly jsu shdné Úhly suhlasné a střídavé: Mějme tři přímky: p q ; m p Suhlasnými úhly rzumíme úhly ležíí v téže plrvině s hraniční přímku m, přičemž a jsu zárveň stré ne tupé Střídavými úhly rzumíme úhly ležíí v pačnýh plrvináh s hraniční přímku m, přičemž jsu a zárveň stré ne a zárveň tupé Suhlasné úhly jsu shdné Střídavé úhly jsu shdné Suhlasné a střídavé úhly lze definvat eně i mezi přímkami, které rvněžné nejsu Definie je frmálně pněkud slžitější, prt ji jen naznačíme: suhlasnými úhly rzumíme úhly, které leží na stejné straně přímky m (tj sučasně vlev ne sučasně vprav) a na stejnýh stranáh přímek p, q (tj sučasně nahře ne dle) Přímky p, q pak nemusí ýt rvněžné a suhlasné úhly nemusí ýt shdné (pdně pr úhly střídavé) Výše uvedené věty yhm pak mhli frmulvat ve tvaru implikae, např:: Jestliže jsu přímky p, q rvněžné, pak suhlasné (střídavé) úhly jsu shdné Pr takt definvané suhlasné a střídavé úhly platí i věta ráená: Jestliže jsu suhlasné (střídavé) úhly shdné, pak jsu přímky p, q rvněžné Větu tedy můžeme vyslvit ve tvaru ekvivalene: Suhlasné (střídavé) úhly jsu shdné právě tehdy, kyž jsu přímky p, q rvněžné 119

2 Trjúhelníkem ABC (značíme ABC 6 Trjúhelník ) rzumíme průnik plrvin ABC = ABC ACB CBA, a) jak značení přímky, na které leží dva vrhly, ) jak značení strany trjúhelníka (tj značení úsečky), ) jak velikst příslušné strany Knkrétní význam ývá vždy zřejmý ze suvislstí kde A; BC ; jsu navzájem různé dy, které neleží na jedné příme Nazýváme je vrhly trjúhelníka Spjnie vrhlů nazýváme strany trjúhelníka a značíme malými písmeny ( AB = ; BC = a; AC = ) Malá písmena lze tak hápat v pdstatě trjím způsem: Sjednení stran trjúhelníka nazýváme vdem trjúhelníka Knvexní úhly α = BAC ; β = ABC ; γ = ACB jsu vnitřní úhly trjúhelníka, úhly k nim dplňkvé jsu pak vnější úhly trjúhelníka Sučet vnitřníh úhlů trjúhelníka: V ABC veďme např vrhlem C rvněžku se stranu a značme α '; β ' úhly dle připjenéh rázku Je α' + β' + γ = 18 Prtže však α ' = α ; β ' = β (střídavé úhly), je tj,: + + = 18 α β γ Sučet vnějšíh úhlů trjúhelníka: V ABC značme α '; β'; γ ' vnější úhly Je tedy α ' = 18 α ; β ' = 18 β ; γ ' = 18 γ, ' + ' + ' = (18 ) + (18 ) + (18 ) α β γ α β γ α' + β' + γ ' = 54 ( α + β + γ) α' + β' + γ ' = α β γ ' + ' + ' = 36 Trjúhelníky dělíme: pdle délek stran na pdle veliksti vnitřníh úhlů na - různstranné - rvnramenné - rvnstranné, - tupúhlé - pravúhlé - strúhlé Trjúhelníkvá nervnst: Sučet délek livlnýh dvu stran trjúhelníka je vždy větší než délka třetí strany Rzdíl délek livlnýh dvu stran trjúhelníka je vždy menší než délka třetí strany Prti větší straně trjúhelníka leží větší vnitřní úhel 1

3 Prti menší straně trjúhelníka leží menší vnitřní úhel Prti shdným stranám trjúhelníka leží shdné vnitřní úhly Shdnst trjúhelníků: Trjúhelníky stejně jak jiné útvary jsu shdné právě tehdy, lze-li jeden na druhý přemístit tak, že splynu V případě trjúhelníků t znamená, že musí mít shdné všehny strany a všehny úhly Zapisujeme ABC A' B ' C ' Vrhly trjúhelníka v tmt zápisu je třea hápat jak uspřádané trjie Tent zápis ttiž znamená, že shdné jsu právě strany AB A' B ' ; AC A' C '; BC B' C' a úhly α = α ' ; β = β ' ; γ = γ ' Při zjišťvání shdnsti trjúhelníků však není nutné dkazvat shdnst všeh tří stran a zárveň všeh tří úhlů Stačí dkázat, že je splněna některá z pstačujííh pdmínek shdnsti trjúhelníků Ty jsu frmulvány v tzv větáh shdnsti trjúhelníků: Dva trjúhelníky jsu shdné právě tehdy, když se shdují: věta sss: ve všeh třeh stranáh; věta sus: ve dvu stranáh a v úhlu jimi sevřeném; věta Ssu: ve dvu stranáh a v úhlu prti větší z nih; věta usu: v jedné straně a úhleh k ní přilehlýh Pdnst trjúhelníků: Dva trjúhelníky ABC ; A' BC ' ' se nazývají pdné (značíme ABC A' B ' C ') právě tehdy, když existuje kladné reálné čísl k (kefiient pdnsti) takvé, že AB = k A' B ' ; AC = k A' C ' ; BC = k B' C' Stejně jak v zápisu shdnsti i v zápisu pdnsti je třea hápat vrhly jak uspřádané trjie Zápis nás tedy infrmuje nejen pdnsti samtné, ale rvněž tm, které vrhly, strany a úhly si v tét pdnsti dpvídají Ani pdnst trjúhelníků nemusíme věřvat vždy přím z definie, i zde existují věty pdnsti analgiké větám shdnsti: Dva trjúhelníky jsu pdné právě tehdy, když: věta uu: se shdují ve dvu úhleh; věta sus: se shdují v pměru dvu stran a úhlu jimi sevřeném; věta Ssu: se shdují v pměru dvu stran a úhlu prti větší z nih Příčky v trjúhelníku jsu spjnie významnýh dů Jejih názvy se pužívají pět v pdstatě ve třeh význameh: a) jak značení přímky, na které leží dva významné dy; ) jak značení úsečky, kde významné dy jsu zárveň dy krajními; ) jak velikst úsečky z du ) Většinu se hápu ve významu ), případný jiný význam je většinu patrný z kntextu (např trjúhelník má výšku 5 m ) Střední příčka - spjnie středů dvu stran Trjúhelníky ABC a SBSAC se shdují v pměru velikstí dvu stran AC = SBC ; BC = SAC a úhlu jimi sevřeném (úhel γ mají splečný) Pdle věty sus jsu tedy pdné Znamená t, že i AB = SSa, a BAC SaSC Tyt úhly jsu však 11

4 suhlasné úhly mezi úsečkami AB ; SS a Tyt úsečky musí ýt tedy rvněžné (viz pslední větu předhzí kapitly) Ttéž platí i pr zývajíí příčky: Každá střední příčka je rvněžná se stranu, kteru neprhází, a má plviční délku Výška - klmie spuštěná z vrhlu na prtější stranu Všehny výšky se prtínají v jednm dě (tzv rtentrum) V případě tupúhléh trjúhelníka se tent d nahází mim trjúhelník ACPa BCP (věta uu a pravúhlé, ACB splečný) Tedy: 1 a a v a va 1 1 = = = a: = : v 1 va va va v v 1 1 Pdně : = : v v Shrnut: a: : = : : v v v a Těžnie - spjnie vrhlu a středu prtější strany Všehny těžnie se prtínají v jednm dě (tzv těžiště) ATC SaTS (věta uu - SS a AC) AC = SSa AT = TSa (analgiky na zývajííh těžniíh) Težiště dělí každu těžnii v pměru :1 63 Kružnie a kruh Kružnie: je mnžina dů v rvině, které mají d danéh pevnéh du (středu) stejnu vzdálenst (tzv plměr kružnie) Plměrem kružnie nazýváme zárveň každu úsečku s jedním krajním dem ve středu kružnie a druhým na kružnii Kružnii značíme nejčastěji k (v případě ptřey dlišujeme indexem) Kružnii nejčastěji zadáváme jejím středem a plměrem Je-li kružnie k určena středem S a plměrem r, zapisujeme k ( S, r) Kruhvý luk: Dva dy kružnie A k; B k rzdělí tut kružnii na dva kruhvé luky (kruhvý luk značíme AB ) Tětiva kružnie k ( S, r) je livlná úsečka AB, kde AB, k Prhází-li středem kružnie, nazýváme ji průměrem kružnie Průměr je tedy nejdelší tětiva kužnie Pdně 1

5 jak u plměru pužíváme i termín průměr také ve smyslu velikst nejdelší tětivy Značíme d a platí d = r Kružnie a přímka: mají a) dva splečné dy (takvu přímku nazýváme sečnu), ) jeden splečný d (přímku nazýváme tečnu, splečný d je d dtyku, říkáme také, že kružnie se dtýká přímky), ) žádný splečný d (hvříme vnější příme) Pata klmie vedené ze středu kružnie na sečnu AB je středem úsečky AB (tětivy) Tečna kružnie je klmá k plměru, který spjuje střed s dem dtyku Bdem M ležíím vně kružnie k prházejí právě dvě tečny tét kružnie Délka úsečky MT se nazývá délka tečny Úhel ω = ASB, jehž vrhlem je střed kružnie a ramena prházejí krajními dy luku AB, nazýváme středvý úhel příslušný tmut luku Každý úhel α = AVB, kde dy AV,, B leží na kružnii, nazýváme vdvým úhlem příslušným k luku AB, který v tmt úhlu leží Uvažujme případ, že S AVB (viz připjený rázek) Rzdělme středvý i vdvý úhel přímku spjujíí dy V, S, druhý průsečík s kružnií značme W Dále značme AVS = α 1 ; BVS = α ; ASW = ω1 ; BSW = ω Prtže VS = AS ( = r), je VAS = α1 Ze známéh sučtu úhlů v VAS máme ASV = 18 α 1 Úhel ASV je však také vedlejší k ω 1, je tedy ASV = 18 ω1 Znamená t, že ASV = 18 ω1 = 18 α1 ω1 = α1 Stejně lze ukázat, že ω = α Je tedy ω1 + ω = α1 + α ω1 + ω = ( α1 + α) Avšak ω1 + ω = ω; α1 + α = α, tj ω = α V případě, že S AVB je pstup analgiký a výsledek stejný Velikst středvéh úhlu je rvna dvjnásku veliksti úhlu vdvéh příslušnéh k témuž luku Všehny vdvé úhly příslušné k témuž luku jsu shdné Speiálním případem je: Thaletva věta: Ovdvý úhel příslušný k půlkružnii je pravý (neli všehny úhly nad průměrem kružnie jsu pravé) 13

6 Knvexní úhel ABX, kde dy AB leží na kružnii a X na tečně k tét kružnii v dě A (ppř B ) se nazývá úsekvý úhel příslušný k luku AB, který v tmt luku leží Úsekvý úhel je shdný se všemi vdvými úhly příslušnými k témuž luku Mnst du ke kružnii: Je dána kružnie k ( S, r) a livlný d M Tímt dem veďme sečnu (event tečnu) p ke kružnii k a značme A, B průsečíky tét přímky s kružnií, tj A, B k p (event pr tečnu je A B T ) Pr každu takt sestrjenu přímku prházejíí pevným dem M je MA MB = knst = MT Je-li d M vně kružnie k, nazýváme tent sučin mnstí du ke kružnii, je-li uvnitř kružnie, je mnstí čísl MA MB Mnst dů ležííh na kružnii, je rvna nule Kružnie a trjúhelník: Kružnie trjúhelníku psaná: je kružnie, která prhází všemi vrhly trjúhelníka Její střed leží v průsečíku s stran, plměr značíme vykle r Kružnie trjúhelníku vepsaná: je kružnie, která se dtýká všeh stran trjúhelníka Její střed leží v průsečíku s vnitřníh úhlů, její plměr značíme vykle ρ Kruh: je mnžina dů v rvině, které mají d danéh pevnéh du (středu) vzdálenst menší ne rvnu danému kladnému číslu (tzv plměr kruhu) Plměrem kruhu nazýváme zárveň každu úsečku s jedním krajním dem ve středu kružnie a druhým na kružnii 14

7 Kruh značíme nejčastěji K (v případě ptřey dlišujeme indexem) Kruh nejčastěji zadáváme jeh středem a plměrem Je-li kruh takt určen, zapisujeme K ( S, r) Mnžinu dů, jejihž vzdálenst je rvna plměru, nazýváme hranií kruhu (ppř hraniční kružnií), mnžina dů, jejihž vzdálenst je menší, tvří vnitřní last (vnitřek) kruhu, mnžina dů, jejihž vzdálenst je větší, tvří vnější last (vnějšek) kruhu Dva plměry SA, SB rzdělí kruh na dvě kruhvé výseče, tětiva AB na dvě kruhvé úseče Je-li AB průměr kruhu, nazýváme úseč půlkruhem Dvě kružnie: Dvě kružnie různýh plměreh mhu mít nejvýše dva splečné dy Mají-li dvě kružnie splečný střed, nazýváme je sustředné Sustředné kružnie uď nemají žádný splečný d ne mají všehny dy splečné (splynu) Dvě sustředné kružnie k 1 ( S; r 1 ); k ( S; r) ; r > r1 určují tzv mezikruží Je t mnžina dů, které mají d du S vzdálenst r r1; r Čísl r r1 nazýváme šířku mezikruží Průnik středvéh úhlu a mezikruží se nazývá výseč mezikruží Kružnie, které nemají splečný střed, se nazývají nesustředné Dvě nesustředné kružnie k1 ( S; r1) ; k ( S; r) ; r > r1 mhu mít právě jednu z plh znázrněnýh na připjeném rázku 15

8 64 n -úhelníky n -úhelníkem rzumíme mnžinu dů, kteru lze zapsat jak sjednení n trjúhelníků, z nihž vždy právě dva mají právě jednu splečnu stranu (tzv tvřiíh trjúhelníků) n -úhelník nazýváme knvexní právě tehdy, když platí: leží-li dy AB ; v mnhúhelníku, pak v mnhúhelníku leží elá úsečka AB Úhlpříčka je spjnie dvu vrhlů, které splu nesusedí Sučet vnitřníh úhlů je sučtem vnitřníh úhlů všeh tvřiíh trjúhelníků, tj ( n ) 18 Pravidelný n -úhelník je n -úhelník, který lze zapsat jak sjednení n rvnramennýh trjúhelníků, které mají splečný hlavní vrhl a vždy právě dva mají právě jedn splečné ramen Speiálně míst pravidelný trjúhelník pužíváme název rvnstranný trjúhelník a míst pravidelný čtyřúhelník pužíváme název čtvere Speiální čtyřúhelníky: Lihěžník: je čtyřúhelník, který má právě jednu dvjii rvněžnýh stran Strany, které rvněžné nejsu, nazýváme ramena Lihěžník, jehž ramena jsu shdná, se nazývá rvnramenný Rvněžník: je čtyřúhelník, který má právě dvě dvjie rvněžnýh stran Na připjeném rázku je ACD CAB pdle věty usu (strana AC je splečná, úhly k ní přilehlé jsu střídavé mezi rvněžkami) Znamená, t, že AB CD; BC DA Dále tedy ABS CDS (pět věta usu, neť AB CD a přilehlé úhly jsu pět střídavé úhly mezi rvněžkami) T znamená, že AS SC ; BS SD Shrnut: Prtější strany v rvněžníku jsu shdné Úhlpříčky rvněžníka se půlí Oě tyt vlastnsti jsu pdmínkami pstačujíími, tj platí věty: Jestliže jsu prtější strany čtyřúhelníka shdné, pak jde rvněžník Jestliže se úhlpříčky čtyřúhelníka půlí, pak jde rvněž rvněžník Ksčtvere: je rvněžník, který má shdné i susední strany V tm případě je ADS CDS (usu), a prt ASD CSD Tyt úhly jsu ale úhly vedlejší, prt musejí ýt pravé: Úhlpříčky v ksčtveri jsu na see klmé 16

9 Klmst úhlpříček však není pstačujíí pdmínku k tmu, ay čtyřúhelník yl ksčtverem (psuňte vrhl A p úhlpříče AS!) Odélník: je rvněžník, jehž strany jsu na see klmé Čtvere: je délník se shdnými stranami (ppř ksčtvere s klmými stranami) Oený rvněžník (tj rvněžník, který není délníkem, čtverem ani ksčtverem) nazýváme ksdélník 6 5 Pravúhlý trjúhelník Euklidva věta výše: Na připjeném rázku máme sestrjen pravúhlý ABC a d D je pata výšky v Tat výška rzděluje tent trjúhelník na dva trjúhelníky ACD CBD pdné pdle věty uu Oa jsu ttiž pravúhlé a dále: ACD = 9 DAC BCD = 9 ACD = ( ) = =, tedy BCD DAC Platí tedy: v = v = a v 9 9 DAC DAC a Osah čtvere sestrjenéh nad výšku pravúhléh trjúhelníka se rvná sahu délníka sestrjenéh z u úseků přepny Euklidva věta dvěsně: Na dalším rázku je pravúhlý ABC pět rzdělen výšku, tentkrát nás však zajímá pdnst ABC CBD (pět věta uu - a jsu pravúhlé a úhel β mají splečný) Platí: = = Osah čtvere sestrjenéh nad dvěsnu pravúhléh trjúhelníka se rvná sahu délníka sestrjenéh z přepny a přilehléh úseku Pythagrva věta: Tat asi nejznámější matematiká věta je důsledkem dvu vět Euklidvýh Zakresleme je d jednh rázku a pužijme jiné značení: dvěsna a pravúhléh ABC je nyní výšku pravúhléh ADB Úseky jeh přepny jsme značili d, Pdle Euklidvy věty výše pr ADB je a = d 17

10 Délka přepny v ADB je + d, přepna v ABC je dvěsnu v ADB Pdle Euklidvy věty dvěsně pr ADB tedy je ( d) d = + = + Prtže však d a =, dstáváme pr ABC : = a + Osah čtvere sestrjenéh nad přepnu pravúhléh trjúhelníka se rvná sučtu sahů čtverů sestrjenéh nad ěma jeh dvěsnami Pythagrvu větu lze také ilustrvat následujíím způsem: Na připjenýh rázíh jsu dva čtvere straně a+, ze kterýh jsu derány čtyři shdné pravúhlé trjúhelníky ABC P dečtení jejih sahů zývají šedé útvary: nahře čtvere sestrjený nad přepnu, dle dva čtvere sestrjené nad dvěsnami a ; Oa tyt útvary mají sah ( a+ ) 4 S ABC, tedy sah stejný: = a + Platí i věta ráená, tj: je-li trjúhelník pravúhlý = a +, pak je Orázky naví gemetriky ilustrují vzrečky pr druhu mninu dvjčlenu: Spdní rázek říká: Ke čtverům sazíh a ; jsu přičteny dva délníky, každý sahu a Vše dhrmady dává čtvere straně a+, tedy sahu ( a+ ) Znamená t, že a + + a = ( a+ ) Pdně lze jevit vzre (pkuste se t) a + a = ( a ) 1 Příklad: Sestrjme čtvere, který má stejný sah jak délník stranáh 5 m; 3 m Řešení: a) Pmí Euklidvy věty výše: v pravúhlém trjúhelníku platí v = Je tedy třea a setrjit pravúhlý trjúhelník tak ay = 5 m; = 3 m Jeh přepna ude tedy = + = 8 m Nad jeh výšku pak sestrjíme hledaný čtvere: a a 18

11 Knstruke: = AB = 8m k -Thaletva kružnie nad AB D AB; DA = 5 m v AB; D v C v k DC je strana hledanéh čtvere ) Pmí Euklidvy věty dvěsně: v pravúhlém trjúhelníku platí = Je tedy třea sestrjit pravúhlý trjúhelník tak ay = 5 m; = 3 m Jeh dvěsna pak ude mít stejnu velikst jak strana hledanéh čtvere: Knstruke: = AB = 5m k - Thaletva kružnie nad AB D AB; DA = 3 m v AB; D v C v k AC je strana hledanéh čtvere Příklad: Sestrjme úsečku veliksti 17 m Řešení: uď a) dle př 1a: DA = 17m ; DB = 1m DC = 17 m ne ) dle př 1: DA = 16m ; DB = 1m AC = 17 m 3 Příklad: Sestrjme úsečku veliksti 41 m Řešení: Je mžn pstupvat pdle př V tmt případě je všem mžn pužít i větu Pythagrvu, neť 41 = = Sestrjíme-li tedy pravúhlý trjúhelník s dvěsnami 5 m a 6 m, jeh přepna ude mít velikst 41 m 4 Příklad: Pravúhlý trjúhelník má přepnu = m a výšku v = 8 m Jak velké úseky a; vytíná výška v na straně? Řešení: Pdle Euklidvy věty výše je v = a, ze zadání je zřejmé, že = a + = Řešíme tedy sustavu rvni 8 = a a = 16; = 4 = a + 5 Příklad: Odélník ABCD má velikst susedníh stran v pměru 3:4, průměr psané kružnie je 1 m Určeme veliksti stran Řešení: Průměr kružnie psané délníku je rven déle úhlpříčky, která tent délník dělí na dva shdné pravúhlé trjúhelníky Je tedy: 19

12 Řešením tét sustavy dstaneme a a 3 = 4 + = = = = = 1 = 8 m a= 6 m 5 6 Příklad: Turista dměřil na mapě v měřítku 1 : 5 vzdálenst dvu míst vab (, ) = 1,4 m Jaká je nejkratší vzdálenst u míst, má-li d A kótu 1 88 m a d B kótu 74 m? Řešení: Hrizntální vzdálenst danýh dů je 1, 4 5 = 1 7 m =1,7 km, převýšení = 584 m=,584 km Skutečná vzdálenst mezi těmit místy je tedy d A B (, ) = 1,7 +,584 1,716 km Gnimetriké funke v pravúhlém trjúhelníku: V kpt 58 jsme zavedli gnimetriké funke pr ený úhel Tyt funke mají širké uplatnění v trignmetrii tj při řešení prlémů suvisejííh s pravúhlým i eným trjúhelníkem Je znám, že v pravúhlém trjúhelníku ABC dle připjenéh rázku platí: a sin α = sα = a tg α = tgα = a Je však třea si dře uvědmit tyt vztahy i v trjúhelníku značeném a plženém jinak (viz další rázek): l n sin λ = s λ = m m l n tg λ = tgλ = n l 7 Příklad: Vypčtěme zývajíí strany a úhly v pravúhlém trjúhelníku: a) ABC : = 1; α = 5 ' (pravý úhel při vrhlu C ) ) RST : r = 4, ρ = 59 3' (pravý úhel při vrhlu T ) 13

13 Řešení: a a) β = 9 5 ' = 39 4' ; sinα = a= sinα = 1 sin 5 ' 9,37 strana : např sα = = sα = 1 s 5 ' 76, 6 ne: = a = 1 9,37 76, 6 s ) σ = ' = 3 3' ; tgσ = s= rtgσ = 4 tg3 3' 141,37 r s s 141,37 s ρ = t = = 78,54 t s ρ s59 3' 8 Příklad: Klik shdů musí mít shdiště, je-li třea sklnem 5 překnat výšku 3,7 m a shd má ýt širký 7 m? Řešení: Prfil shdu je pravúhlý trjúhelník dle rázku Zde je v tg 5 = v = 7 tg 5 1, a ptřený pčet shdů je tedy n = 6 1,59 Neřešené příklady: 1) Sestrjte úsečky veliksteh 8; 13 ; ; 9 ) Určete sah délníka, jehž délka je a = 84m a jehž úhlpříčka je 7m delší než jeh šířka 3) Určete vzdálenst dvu rvněžnýh tětiv v kružnii plměru 6m, je-li délka tětiv 6 m;1m 4) Štít střehy tvaru rvnramennéh trjúhelníka má šířku 1,8 m, spád střehy je 38º Vypčtěte výšku štítu 5) Trať má stupání a) 1% ) 9 Jaký je úhel stupání? 6) Z pzrvaí věže 15 m nad hladinu mře je zaměřena lď v hlukvém úhlu 1º49 Jak dalek je lď d věže? 7) Sílu veliksti F = 1N rzlžte na dvě navzájem klmé slžky F 1 ; F tak, ay úhel mezi výslednií a jednu slžku yl 43º5 8) Břemen je zavěšen ke strpu dvěma lany, která se strpem svírají úhel 45º Jakými silami jsu lana namáhána, je-li tíha řemene G = N? 9) Ve výhdním větru ryhlsti 1ms -1 letí k severu letadl vlastní ryhlstí 7kmh -1 O jaký úhel se dhýlí d severníh směru? 1) Na vdrvné lue na 5º severní šířky stjí samělý smrk, který 1 řezna v pravé pledne vrhá stín dluhý 1 m Jak je smrk vyský? 131

14 Výsledky: 1) Dle řeš př 1 a) AD = 4 DB = DC = 8; AD = 13 DB = 1 DC = 13 ; AD = 11 DB = DC = ; AD = 9 DB = 1 DC = 9 ne dle řeš př 1 ) AB = 6 AD = AC = 8 ; AB = 13 AD = 1 AC = 13 AB = 11 AD = AC = ; AB = 9 AD = 1 AC = 9 ) 19m 3) dvě řešení: 188 m;851m 4) 5 m 5) a) 6º51 ) 1º51 6) asi 3 31 m F = 79 N; F = 693N 8) F1 = F 141N 9) º5 1) asi 1 m 7) 1 66 Oený trjúhelník Při řešení enéh trjúhelníka pužíváme dvu důležitýh vět: Sinvá věta: Mějme ený trjúhelník ABC dle připjenéh rázku Výška v h rzdělí v na dva pravúhlé trjúhelníky ACD ; BCD, ve kterýh platí: sin α = ; sin v β =, tedy a v = sinα v = asin β Odečtením těht rvni dstáváme = sinα asin β neli asin β = sin α, a = sinα sin β Zela analgiky lze ukázat, že stejná rvnst platí i pr stranu a úhel γ, a dále lze ukázat, že tent pdíl je rven průměru kružnie trjúhelníku psané Platí tedy a = = = r sinα sin β sinγ Tent vztah je pět třea si uvědmit i v trjúhelníku značeném jinak, např: k m n = = = r sinκ sin µ sinν 1 Příklad: Vypčtěme zývajíí strany a úhly v trjúhelníku, je-li dán: a) ABC : = 1; α = 6 3' ; β = 48 56' ; ) RST : s = 7 ; ρ = 49 5' ; τ = 18 4' Řešení: a) γ = 18 α β = ' 48 56' = 68 3 ' a sinα 1sin 6 3' = a = =, sinα sinγ sin γ sin 68 3' a asin β, sin 48 56' = = = 17,13 sinα sin β sinα sin 6 3' 13

15 ) σ = ρ τ = = ' 18 4' 1 55' t s ssinτ 7 sin18 4' t sinτ sinσ sinσ sin 1 55' = = = 1 83,57 r s ssin ρ 7 sin 49 5' = r = = 1 469,4 ρ σ σ sin sin sin sin 1 55' Pdle Pythagrvy věty je: Ksinvá věta: Uvažujme ený trjúhelník ABC, v němž jsu známy strany a ; a úhel γ, který tyt strany svírají (viz připjený rázek) Naším úklem je zjistit velikst strany Sestrjme výšku v, která rzdělí trjúhelník na dva pravúhlé trjúhelníky a její pata rzdělí stranu na úseky 1; Platí: v sinγ = v = asinγ, a 1 sγ = 1 = asγ a = v + = v + ( ) = v Dsazením za v a 1 z výše uvedenýh vztahů je: = v + + = a sin γ + asγ + a s γ = a sin γ + a s γ + asγ 1 1 Tedy: = a + + a = a + a 1 (sin γ s γ) sγ sγ Pslední uvedený vztah vyjadřuje tzv ksinvu větu pr stranu Při výpčtu strany a resp yhm dstali analgiké vztahy Shrnut: a a = + sγ a = + sα a a = + sβ Opět je důležité uvědmit si tyt vztahy i pr trjúhelník značený jinak: m n r nr = + s µ, n m r mr = + s ν, r m n mn = + s ρ Ksinvá věta je zeněním věty Pythagrvy, neť např je-li v trjúhelníku ABC úhel π γ = 9 =, pak je π = a + asγ = a + as = a + a = a + 133

16 Příklad: Vypčtěme zývajíí strany a úhly v trjúhelníku, je-li dán: a) ABC : a = 7 ; = 4 ; γ = 38 ) KLM : l = 3 ; m = 4 ; κ = 1 1' Řešení: a) a a γ = + s = s , sinγ 4 sin 38 sin β 5389 β 3 36' = = =, sin β sinγ 457 α = 18 β γ = ' 38 = 19 4' ) k = l + m lmsκ = s1 1' 5553, k m msinκ 4 sin1 1' = sin µ = = 786 µ 45 7 ', sinκ sin µ k 5553 λ κ µ = 18 = ' 45 7 ' = 34 3 ' Větu sinvu pužíváme, je-li trjúhelník dán a) dvěma úhly a jednu stranu (tj pdle věty usu); ) dvěma stranami a úhlem prti jedné z nih Je-li dán úhel prti větší straně, je trjúhelník zadán jednznačně pdle věty Ssu a úlha má právě jedn řešení Není-li tmu tak, má úlha dvě řešení Větu ksinvu pužíváme, je-li trjúhelník dán a) dvěma stranami a úhlem jimi sevřeným (tj pdle věty sus); ) třemi stranami (tj pdle věty sss) 3 Příklad: Vypčtěme zývajíí prvky (strany a úhly) v trjúhelníku ABC, je-li dán: a = 1,4 ; β = 3 4' ; γ = 7 3' Řešení: Trjúhelník je zadán pdle věty usu pužijeme sinvu větu Především dpčítáme zývajíí úhel: α = 18 ( β + γ) = 18 (3 4' + 7 3') = 74 5' a a 1,4 sin 7 3' Dále je: = = sinγ = 1, 75, sinα sin γ sinα sin 74 5' a a 1,4 sin 3 4' = = sin β = 6,93 sinα sin β sinα sin 74 5' Je tedy: α = 74 5' ; 6,93 ; 1,3 4 Příklad: Vypčtěme zývajíí prvky (strany a úhly) v trjúhelníku ABC, je-li dán: a = 8,7 ; = 19,5 ; α = 53 ' Řešení: Trjúhelník je pět zadán pdle věty usu pužijeme sinvu větu a 19,5 sin 53 ' = sin β = sinα =,545 β 33 sinα sin β a 8,7 γ 18 ( α + β) = 18 (53 ' + 33 ) = 93 4' a a 8,7 sin 93 4' = = sin γ = 35,7 sinα sinγ sinα sin 53 ' 134

17 5 Příklad: Vypčtěme zývajíí prvky (strany a úhly) v trjúhelníku ABC, je-li dán: a = 34,8 ; = 56,3 ; γ = 6 Řešení: Trjúhelník je zadán pdle věty sus pužijeme ksinvu větu: = a + asγ = a + asγ = 34,8 + 56,3 34,8 56,3 s 6 49, Dále již lze pužít větu sinvu: a a 34,8 sin 6 = sinα = sin γ =, 616 α 37 5' sinα sinγ 49, Knečně β = 18 ( α + β) 18 (37 5' + 6 ) = 8 1' 6 Příklad: Vypčtěme vnitřní úhly trjúhelníka ABC, jsu-li dány všehny jeh strany - a = 3,4 ; = 56,3 ; = 7,8 Řešení: + a 56,3 + 7,8 3, 4 a = + sα sα = =,951 α 5 1' 56,3 7,8 Úhel β můžeme pčítat stejným způsem, lze již také pužít sinvu větu: β = ' Úhel γ pak již lze jen dpčítat γ = 18 ( α + β) = 17 13' 7 Příklad: Těles hmtnsti m = kg je zavěšen dvěma lany různé délky na vdrvné traverze Lana svírají s traverzu úhly α = 38 6' ; β = ' Určeme 1 namáhání lan v tahu (pčítejme s gravitačním zrahlením g = 1 ms ) Neřešené úlhy: Řešení: G = mg = 1 = N γ = 18 α β = ' 49 54' = 91 4' Řešíme trjúhelník zadaný pdle věty usu pužijeme sinvu větu: G F1 Gsinα sin 38 6 ' = F1 = = N sin γ sinα sinγ sin 91 4' G F sinγ sin β sinγ sin 91 4 ' Gsin β sin ' = F = = N 1) V ABC je a) a = 16; = 5; = 36 ) a = 5; = 6; = 7 Vypčtěte veliksti vnitřníh úhlů ) V ABC je a) a = 165; β = 4 5'; γ = 69 ' ) Vypčtěte zývajíí strany a úhly α γ = 7; = 49 5'; = 18 48' 3) Na vrhlu kpe stjí rzhledna vyská 35 m Z údlí vidíme patu rzhledny pd úhlem 8 a vrhl rzhledny pd úhlem 31 Jak vysk je vrhl kpe nad údlím? 135

18 4) Oe A, B jsu spjeny s í C přímými estami, které svírají úhel 3 m, resp m Jak dluhá je přímá esta z A d B? 63 ' a jsu dluhé 5) Dvě nepřístupná místa PQ, jsu pzrvána z míst AB,, jejihž vzdálenst je AB = m Byly změřeny úhly rvině) QBA = 81 15' QAB = 5 4' ; PBA = 4 1' ; PAB = 86 4' ; Určete vzdálenst PQ (předpkládáme, že všehny dy leží ve stejné 6) Z du A je vyslán světelný paprsek, který má p drazu d rvinnéh zradla dspět d du B Vzdálenst dů AB, je AB = 36 m, vzdálenst du A, resp du B d zradla je a = 7 m resp = 18 m Určete úhel dpadu paprsku na zradl 7) Světelný paprsek dpadá na skleněnu tauli pd úhlem ' Určete tlušťku taule, jestliže se p průhdu taulí paprsek psunul,9 mm (index lmu skla je n = 1, 53 ) 8) Síly veliksteh F1 = 4 N; F = 35N půsí na stejný d a svírají úhel velikst výsledné síly? 77 1 ' Jaká je 9) Letadl letí ve výše 3 5 m k pzrvatelně Při dvu měřeníh yl z pzrvatelny vidět pd úhly 5, resp 48 Jaku vzdálenst urazil letadl mezi ěma měřeními? 1) P rampě se sklnem 18 4' je třea vytáhnut těles tíhy 8 N Jak velká síla je k tmu ptřea a jak velká ude tlakvá síla na rampu (tření zanedejte)? Výsledky: 1) a) α '; β 36 5'; γ 11 15' ) α 44 5'; β 57 7 '; γ 78 8' ) a) α 69 5'; 114,9; 164,5 ) β 1 55'; a 1 469; ) 69 m 4) 1 m 5) m 6) 65,7 N ' 7),8 mm 8) F 6,35 N 9) asi m 1) 89,6 N ; 67 Ovdy a sahy gemetrikýh razů Gemetrikým razem (dále jen razem) rzumíme mnžinu dů v rvině hraničenu uzavřenu křivku (hranií raze), která d tét mnžiny rvněž patří Hranií raze může ýt např sjednení n úseček (u n -úhelníka), kružnie (u kruhu), sjednení kruhvéh luku a úsečky (kruhvá úseč), sjednení kruhvéh luku a dvu úsečkek (kruhvá výseč) apd Hranii raze může tvřit i víe křivek - např sjednení dvu kružni u mezikruží Ovdem raze (značíme ) rzumíme délku jeh hranie Osahem raze (značíme S ) je nezáprné reálné čísl, které má následujíí vlastnsti: 1) Osahy shdnýh razů jsu si rvny ) Je-li raze O sjednením razů O1; O, jejihž průnikem je nejvýše jejih hranie, je sah raze O rven sučtu sahů razů O1; O 3) Osah čtvere straně a = 1 ( m, m,) je S = 1 ( m, m,) 136

19 Přehled vzrů pr výpčet vdů a sahů nejdůležitějšíh razů: trjúhelník = a+ + 1 S = a va 1 = v 1 = v délník = ( a+ ) S = a čtvere = 4a 1 S = a = e ksdélník = ( a+ ) S = a v = v a 1 Příklad: Odélníkvá zahrada má vd 13 m a sah 1 m Vypčtěme její rzměry Řešení: Úlha vede na řešení sustavy dvu rvni ( a+ ) = 13 a = 1 13 Z první rvnie je a = Dsazením d druhé rvnie držíme: 13 = = 1, ksčtvere = 4a 1 S = a v = e f lihěžník = a+ + + d 1 S = ( a+ ) v kruh d = r = πr = πd 1 S = π r = π d 4 mezikruží d1 = r1; d = r = π( r1 + r) = π( d1 + d) 1 S = π( r r1 ) = π( d d1 ) 4 pravidelný n -úhelník = n a 1 1 S = n a ρ = ρ 13 ± ± 9 13 ± 3 = = = = 4 4 Dsazením d kterékli rvnie dstaneme [ a1; 1] = [5;4]; [ a; ] = [4;5] Zahrada má tedy rzměry 5 4 m Příklad: Jak se změní sah délníka rzměreh a; ; jestliže a) zvětšíme stranu a dvakrát a stranu třikrát? ) zmenšíme-li a rzměry 5%?

20 Řešení: a) Osah půvdníh délníka je S = a ; sah zvětšenéh S = a 3= 6 a = 6 S, tj sah se zvětší šestkrát ) Osah půvdníh délníka je S = a ; sah zmenšenéh S = 95a 95=,95 a 9 S, tj sah délníka se zmenší asi 1% 3 Příklad: Strany trjúhelníka jsu v pměru 3:5:7, jeh vd je 45 m Určeme délky stran Řešení: Jestliže jsu strany trjúhelníka v daném pměru, znamená t, že existuje čísl k takvé, že a = 3k ; = 5k; = 7k Je-li O = a + + = 3k + 5k + 7k = 15k = 45, pak k = 3, a tedy a = 3k = 9m; = 5k = 15m; = 7k = 1m 4 Příklad: Cestvatel vyknal p rvníku estu klem světa Nad jeh hlavu tutéž estu (jeden let) aslvval satelit ve výše 5 km O klik kilmetrů yla jeh esta delší? Řešme pr Zemi a (hyptetiky) pr Měsí, předpkládejme kruhvé dráhy Řešení: Pr Zemi: plměr Země je RZ = km, dráha estvatele je tedy d1 = π RZ = π 4 74 km, plměr dráhy satelitu je R = RZ + 5 = km, dráha satelitu je tedy d = π R = π km, rzdíl činí d = d d1 = = 3 14 km Pr Měsí: plměr Měsíe je RM = km, dráha estvatele je tedy d1 = π RM = π 1 9 km, plměr dráhy satelitu je R = RM + 5 = 38 km, dráha satelitu je tedy d = π RM = 38 π 14 6 km, rzdíl činí d = d d1 = = 3 14 km, (tedy přesně tlik, klik pr Zemi) Vysvětlení tht zdánlivéh paradxu není nijak slžité řešme úlhu eně: Nehť plměr planety je R, výška dráhy satelitu h Délka rvníku je pak d1 = π R, délka dráhy satelitu d = π ( R+ h) a rzdíl d = d d1 = π ( R+ h) πr = πr+ πh πr = πh vůe nezávisí na plměru planety, ale puze na výše satelitu nad ní Neřešené úlhy 1) Vypčtěte vd a sah čtvere, jehž úhlpříčka má délku 1 m ) Vypčtěte sah rvnstrannéh trjúhelníka, jehž vd je 7 m 3) Kl těžní věže má průměr 1,5 m O klik metrů se spustí kle výtahu, tčí-li se kl pětadvaetkrát? 4 Příčný průřez náspu železniční trati má tvar rvnramennéh lihěžníka se základnami AB = 15 m ; CD = 1,5 m a rameny BC = AD = 5 m Vypčtěme sah průřezu 138

21 5) Kruhvý stůl plměru 8 m vyský rvněž 8 m je pkryt čtvervým urusem déle strany 1, m tak, že střed stlu se kryje se středem urusu Jak vysk nad zemí jsu rhy urusu? 6) Délky základen lihěžníku jsu v pměru 3:, délka střední příčky je 5 m Určete délky základen 7) Běže prěhl třikrát kruhvu dráhu a uěhl dva kilmetry Jaký je plměr dráhy? 8) Antiký matematik a filsf Erathstenes z Kireny si všiml, že v den jarní rvndennsti dpadá Slune v Asuánu v pledne d hlukýh studní až na hladinu vdy O rk pzději v tentýž den v Alexandrii zjistil, že se sluneční paprsky d studní nedstanu, prtže se dhylují d klmie 7 Cesta z Asuánu d Alexandrie yla dluhá 7 km a vedla praktiky stále na sever Z těht skutečnstí usudil, že Země je kulatá a dkne vypčítal přiližnu délku zemskéh pledníku Dkážete t také? Výsledky: 1) = m ; S = 5m ; ) S = 88 3m 3) 118m 4) 574m 5) 3915m 6) 6 m;4m 7) 1616m 8) Cesta představuje kruhvý luk příslušný středvému úhlu 7 Pr délku d eléh pledníku je tedy d : 7 = 36 : 7 d = (7 36) / 7 = 36 km 68 Zrazení v rvině V kapitle 13 jsme shrnuli nejrůznější typy zrazení mnžin Zpakujme, že zrazení z mnžiny S d mnžiny Z je jistá mnžina F uspřádanýh dvji [ x; y ], kde x S; y Z, přičemž každému prvku x S je tímt způsem přiřazen nejvýše jeden prvek y Z Zrazení mnžin zapisujeme F : S Z, zrazení jedntlivýh prvků zapisujeme většinu rvněž F : x y (míst [ x; y] F) Je mžné rvněž hvřit zrazení v mnžině, a sie v případě, že S = Z V tm případě hvříme zrazení v mnžině S, zapisujeme F : S S Tímt zrazením se nyní udeme zaývat s tím, že mnžina S ude mnžina všeh dů rviny Hvříme pak zrazení v rvině, které udeme většinu zadávat pstupem knstruke, který každému du rviny přiřadí d ležíí pět v tét rvině Většinu se ude jednat zrazení (jedné a téže) rviny α na (tutéž) rvinu α Ayhm v zápiseh rzlišili dy d zrazení, udeme zrazení zapisvat psaími písmeny Zápis Z : X X ' tedy znamená, že zrazení Z zrazuje d X d du X ' Bd X se nazývá vzr, X ' raz Oraz útvaru U : Orazem útvaru U v zrazení Z rzumíme mnžinu U ' všeh razů dů útvaru U Samdružný d zrazení Z je každý d X, který v zrazení Z splyne se svým razem, tj X X ' Samdružný útvar zrazení Z je každý útvar U, který v zrazení Z splyne se svým razem, tj U U ' Identita je zrazení, v němž je každý d samdružný Orientvanu úsečku v rvině rzumíme úsečku, kde jeden krajní d je značen jak pčáteční a druhý jak knvý Orientvanu úsečku AB značíme AB 139

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR ÚHEL

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR ÚHEL ÚHEL = část rviny hraničená dvěma plpřímkami (VA, VB) se splečným pčátkem (V) úhel AVB: V vrchl úhlu VA, VB ramena úhlu Pznámka: Dvě plpřímky se splečným pčátkem rzdělí rvinu na dva úhly úhel knvexní,

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

Konstrukce paraboly dané dvěma tečnami s body dotyku. Příklad: Sestrojte parabolu p, jsou-li dány její tečny t 1, t 2 s body T 1, T 2 dotyku.

Konstrukce paraboly dané dvěma tečnami s body dotyku. Příklad: Sestrojte parabolu p, jsou-li dány její tečny t 1, t 2 s body T 1, T 2 dotyku. Gemetrie Další užitečné knstrukce parably Řešené úlhy Knstrukce parably dané děma tečnami s bdy dtyku Příklad: Sestrjte parablu p, jsu-li dány její tečny, s bdy, dtyku. zlme dě různběžné přímky, a na každé

Více

1.5.6 Osa úhlu. Předpoklady:

1.5.6 Osa úhlu. Předpoklady: 1.5.6 Osa úhlu Předpklady: 010505 Pedaggická pznámka: Následující příklad je pakvání, které pužívám jak cvičení dhadu. Nechám žáky dhadnut veliksti a při kntrle si pčítají bdy (chyba d 5-3 bdy, d 10-2

Více

Obecnou rovnici musíme upravit na středovou. 2 2 2 2 2 2 2 2. leží na kružnici musí vyhovovat její rovnici dosadíme ho do ní.

Obecnou rovnici musíme upravit na středovou. 2 2 2 2 2 2 2 2. leží na kružnici musí vyhovovat její rovnici dosadíme ho do ní. 75 Hledání kružnic I Předpklady: 750, kružnice z gemetrie Př : Kružnice je dána becnu rvnicí x y x y plměr Rzhdni, zda na kružnici leží bd A[ ; ] + + + 6 + = 0 Najdi její střed a Obecnu rvnici musíme upravit

Více

1. Kristýna Hytychová

1. Kristýna Hytychová Průřezvé veličiny Výpčet těžiště. Druhy průřezvých veličin a jejich výpčet průřezvých veličin. Steinerva věta. Pužití průřezvých veličin ve výpčtech STK. Průřezvé veličiny ZÁKLADNÍ: plcha průřezu, mment

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Středšklská matematika Nadace Geneze Vývj (Stručná histrie matematiky) - na levé straně je svislý nápis VÝVOJ stisk hrníh V vyvlá zbrazení časvé sy - stisk ikny se stránku (vprav nahře na brazvce časvé

Více

Planimetrie. Přímka a její části

Planimetrie. Přímka a její části Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Charakteristika vyučovacího předmětu

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Charakteristika vyučovacího předmětu DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Charakteristika vyučvacíh předmětu Deskriptivní gemetrie se vyučuje jak pvinně vlitelný předmět ve třetím a čtvrtém rčníku s hdinu dtací 2-2, event. puze ve čtvrtém s hdinvu dtací

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK

PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ Kždá stejnolehlost je podonost ne oráeně! Podonost má vždy koefiient podonosti kldný znčíme jej k k >0 k R zhovává rovnoěžnost podonost shodnost nevlstní podonost úhly poměry Dělíme ji

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Mistrovství České republiky v logických úlohách

Mistrovství České republiky v logických úlohách Mistrvství České republiky v lgických úlhách Blk - Kktejl :5-5: Řešitel Stezky První větší Sendvič Dminvé dlaždice 5 Rzlžené čtverce 6 Dlaždice 7 Klik plí prjdu vedle? 8 Milenci 9 Kulečník Dmin 7x8 Cruxkrs

Více

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti) Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více

Střední průmyslová škola strojní a elektrotechnická. Resslova 5, Ústí nad Labem. Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice. - Im

Střední průmyslová škola strojní a elektrotechnická. Resslova 5, Ústí nad Labem. Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice. - Im Střední průmyslvá škla strjní a elektrtechnická Resslva 5, Ústí nad Labem Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice A Re + m 2 2 j 1 + m - m A A ϕ ϕ A A* Re ng. Jarmír Tyrbach Leden 1999 (2/06) Fázry a kmplexní

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Zobrazení goniometrických funkcí na jednotkové kružnici, významné hodnoty goniometrických funkcí. Řešení goniometrických rovnic.

Zobrazení goniometrických funkcí na jednotkové kružnici, významné hodnoty goniometrických funkcí. Řešení goniometrických rovnic. Zbrzení gnimetrikýh funkí n jedntkvé kružnii, význmné hdnt gnimetrikýh funkí. Řešení gnimetrikýh rvni. V prvúhlém trjúhelníku ABC jsu definván funke sin, s, tg, tg libvlnéh úhlu tkt: sin prtilehlá dvěsn

Více

Teplota a její měření

Teplota a její měření 1 Teplta 1.1 Celsiva teplta 1.2 Fahrenheitva teplta 1.3 Termdynamická teplta Kelvin 2 Tepltní stupnice 2.1 Mezinárdní tepltní stupnice z rku 1990 3 Tepltní rzdíl 4 Teplměr Blmetr Termgraf 5 Tepltní rztažnst

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Základy geometrie - planimetrie

Základy geometrie - planimetrie Základy geometrie - planimetrie Základní pojmy - bod (A, B, X, Y...), přímka ( p, q, a... ), rovina ( α, β, π... ) - nedefinují se Polopřímka: bod dělí přímku na dvě polopřímky opačně orientované značíme

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

a : b : c = sin α : sin β : sin γ

a : b : c = sin α : sin β : sin γ 12 Řešení becnéh trjúhelníku, věta sinvá a ksinvá Sinvá věta - platí v becném trjúhelníku (nemusí být pravúhlý) a : b : c sin α : sin β : sin γ Pměr délek stran je rven pměru sinů prtilehlých vnitřních

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

1.2. Kinematika hmotného bodu

1.2. Kinematika hmotného bodu 1.. Kinematika hmtnéh bdu P matematické přípravě už můžeme začít s první kapitlu, kinematiku. Tat část fyziky se zabývá ppisem phybu těles, aniž by se ptala prč k phybu dchází. Jak je ve fyzice častým

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

SHRNUTÍ LÁTKY 7. ROČNÍKU Mgr. Iva Strolená

SHRNUTÍ LÁTKY 7. ROČNÍKU Mgr. Iva Strolená ARITMETIKA ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Jestliže něc (celek) rzdělíme na něklik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlmkem. Zlmek tři čtvrtiny (tři lmen čtyřmi) zlmek Čitatel sděluje, klik těcht částí

Více

Rekuperace rodinného domu v Přestavlkách

Rekuperace rodinného domu v Přestavlkách Rekuperace rdinnéh dmu v Přestavlkách Pjem: Rekuperace, nebli zpětné získávání tepla je děj, při němž se přiváděný vzduch d budvy předehřívá teplým dpadním vzduchem. Teplý vzduch není tedy bez užitku dveden

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

Optika. o Izotropní světlo se šíří všemi směry stejně rychle o Anizotropní světlo se šíří různými směry různě Zdroj. o o

Optika. o Izotropní světlo se šíří všemi směry stejně rychle o Anizotropní světlo se šíří různými směry různě Zdroj. o o Optika Věda světle Rychlst světla 299 792 458 m/s (přibližně 3.10 8 ) (světl se šíří rychlstí světla ve vakuu, jinde pmalejší kvůli permitivitě a permeabilitě, třeba ve skle je t 2x pmalejší, ve vdě se

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

v mechanice Využití mikrofonu k

v mechanice Využití mikrofonu k Využití mikrfnu k měřením v mechanice Vladimír Vícha Antace Mikrfn pfipjený zvukvu kartu pčítače ve spjení s jednduchým sftware (pf. AUDACITY) může služit k pměrně pfesnému měření krátkých časů. Pčítač

Více

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma

Více

Exentricita (výstřednost) normálové síly

Exentricita (výstřednost) normálové síly 16. Železbetnvé slupy Slupy patří mezi tlačené knstrukce. Knstrukční prvky z betnu prstéh a slabě vyztuženéh jsu namáhány kmbinací nrmálvé síly N d a hybvéh mmentu M d. Jde tedy mimstředný tlak výpčtvé

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

2. cvičení vzorové příklady

2. cvičení vzorové příklady Příklad. cvičení vzrvé příklady Nakreslete zatěžvací brazce slžek ydrstatickýc sil, půsbícíc na autmatický segementvý jezvý uzávěr s ybným ramenem. Vypčtěte dntu suřadnice, udávající plu ladiny v tlačené

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ. Č. j.: ÚOHS-S398/2010/VZ-16684/2010/520/NGl V Brně dne: 14. února 2011

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ. Č. j.: ÚOHS-S398/2010/VZ-16684/2010/520/NGl V Brně dne: 14. února 2011 *uhsx0039d6p* UOHSX0039D6P ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ Č. j.: ÚOHS-S398/2010/VZ-16684/2010/520/NGl V Brně dne: 14. únra 2011 Úřad pr chranu hspdářské sutěže příslušný pdle 112 zákna

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

Přídavky na děti v mezinárodních případech (Evropská unie, Evropský hospodářský prostor a Švýcarsko) Použití nadstátního práva

Přídavky na děti v mezinárodních případech (Evropská unie, Evropský hospodářský prostor a Švýcarsko) Použití nadstátního práva Přídavky na děti v mezinárdních případech (Evrpská unie, Evrpský hspdářský prstr a Švýcarsk) Pužití nadstátníh práva Tent prspekt Vám má pskytnut přehled zvláštnstech v mezinárdních případech. Všebecné

Více

4. Model M1 syntetická geometrie

4. Model M1 syntetická geometrie 4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

1.6.3 Osová souměrnost

1.6.3 Osová souměrnost 1.6.3 Osvá suměrnst Předklady: 162 Pedaggická známka: Je třeba stuvat tak, aby se v hdině stihnul vyracvat a zkntrlvat bd 5. Pedaggická známka: Hned u střídání vázy je třeba dát zr. Narstá většina dětí

Více

Posuzování zdravotní způsobilosti k řízení motorových vozidel jako součásti výkonu práce

Posuzování zdravotní způsobilosti k řízení motorových vozidel jako součásti výkonu práce Psuzvání zdravtní způsbilsti k řízení mtrvých vzidel jak sučásti výknu práce Zdravtní způsbilst řidiče mtrvých vzidel je jednu ze základních pdmínek bezpečnsti prvzu na pzemních kmunikacích. Prt je zdravtní

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

Laboratorní práce č. 4: Zobrazování spojkou

Laboratorní práce č. 4: Zobrazování spojkou Přírdní vědy mderně a interaktivně FYZIKA 2. rčník šestiletéh studia Labratrní práce č. 4: Zbrazvání spjku ymnázium Přírdní vědy mderně a interaktivně FYZIKA 2. rčník šestiletéh studia ymnázium Test k

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ

Více

Shodné zobrazení v rovině

Shodné zobrazení v rovině Gymnázium Cheb Shodné zobrazení v rovině seminární práce Cheb, 2007 Lojza Tran Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Shodné zobrazení v rovině vypracoval zcela sám za použití pramenů

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

VÍŘIVÁ VÝUSŤ EMCO TYPU DAL 358

VÍŘIVÁ VÝUSŤ EMCO TYPU DAL 358 OBLASTI POUŽITÍ FUNKCE ZPŮSOB PROVOZOVÁNÍ DAL 8 Vířivá výusť DAL 8 Vířivá výusť DAL 8 je vysce induktivní, se čtvercvu neb kruhvu čelní masku s integrvanými štěrbinvými prfily s excentrickými válečky z

Více

Témata v MarushkaDesignu

Témata v MarushkaDesignu 0 Témata v MarushkaDesignu OBSAH 1 CÍL PŘÍKLADU...2 2 PRÁCE S PŘÍKLADEM...2 3 UKÁZKA DIALOGOVÉHO OKNA...3 4 STRUČNÝ POPIS PŘÍKLADU V MARUSHKADESIGNU...5-1 - 1 Cíl příkladu V tmt příkladu si ukážeme práci

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Matematika 4+5 - Chytré dítě Multimedia Art (Pachner) Úvdní brazvka = Obsah Část 1. Úvd 6 stran Jak se učit? 3 strany Úhel 11 stran Úhel c t je? Pravý úhel Měření úhlů Velikst úhlů Přímka 25 stran C se

Více

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6.1. Podobnost geometrických útvarů. Podobností ( podobným zobrazením ) nazýváme takové geometrické zobrazení, je-li každému bodu X přiřazen

Více

3.2.2 Shodnost trojúhelníků II

3.2.2 Shodnost trojúhelníků II 3.. hodnost tojúhelníků II Předpoklady: 30 Pokud mají tojúhelníky speiální vlastnosti, mohou se věty o shodnosti zjednodušit Př. : Zfomuluj věty o shodnosti: a) ovnoamennýh tojúhelníků b) ovnostannýh tojúhelníků

Více

1.3. Požárně bezpečnostní řešení

1.3. Požárně bezpečnostní řešení 1.3. Pžárně bezpečnstní řešení Název akce : Míst : 3.ddělení MŠ přístavba budvy stávající MŠ, bří. Musálků 249, Řepiště kat.ú. Řepiště, par.č.292/2 Žadatel : Charakter akce : Obec Řepiště ul.mírvá 178

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

Cíl kapitoly: Cílem této č{sti je naučit se při debutov{ní číst hexadecim{lní hodnoty odpovídající z{znamu celých a re{lných čísel.

Cíl kapitoly: Cílem této č{sti je naučit se při debutov{ní číst hexadecim{lní hodnoty odpovídající z{znamu celých a re{lných čísel. Zbrazení dat Část 2 zbrazení čísel Cíl kapitly: Cílem tét č{sti je naučit se při debutv{ní číst hexadecim{lní hdnty dpvídající z{znamu celých a re{lných čísel. Zápis čísel Uvědmte si, že všechna čísla

Více

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Řešení složitějších úloh na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku Bakalářská práce BRNO. května 006 Barbora Kamencová Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

DIDAKTIKA MATEMATIKY

DIDAKTIKA MATEMATIKY DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body

Více

II Pravoúhlé promítání na jednu prumetnu

II Pravoúhlé promítání na jednu prumetnu a) prchází bdem C, b) patrí danému smeru s, c) je rvnbežná s dvema danými rvinami, d) je klmá na danu rvinu, e)je k bema mimbežkám ~lmá (sa mimbežek). 6 Danu prímku prlžte rvinu klmu na danu rvinu. 7 Urcete

Více

4.4.3 Další trigonometrické věty

4.4.3 Další trigonometrické věty 443 Další trigonometriké věty Předpoklady: 440 Věty, které ojevíme v této hodině, mohou usnadnit některé výpočty, ale je možné se ez nih (na rozdíl od kosinové a sinové věty) oejít Pedagogiká poznámka:

Více

Metodická příručka Omezování tranzitní nákladní dopravy

Metodická příručka Omezování tranzitní nákladní dopravy Metdická příručka Omezvání tranzitní nákladní dpravy K právnímu stavu ke dni 1. ledna 2016 Obsah 1 Na úvd... 2 2 Základní pjmy... 3 3 Obecně k mezvání tranzitní nákladní dpravy... 4 4 Prvedení příslušnéh

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

Vlastnosti kružnice. Bakalářská práce. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky

Vlastnosti kružnice. Bakalářská práce. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky Bakalářská práce Vlastnosti kružnice Vypracoval: Veronika Šulová Vedoucí práce: prof. RNDr. Pavel Pech, CSc. České Budějovice

Více

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu!

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu! -----Pravoúhlý trojúhelník----- 156 V pravoúhlém trojúhelníku ABC má pravý úhel vrchol C. Vypočítejte velikost jeho ostrých úhlů, je-li dáno: a) a = 62 mm, b = 37 mm, b) a = 36 mm, c = 58 mm, c) b = 8,4

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

DeepBurner Free 1.9. Testování uživatelského rozhraní s uživateli Deliverable B1 TUR 2011. Testování uživatelských rozhraní 2011 ČVUT FEL

DeepBurner Free 1.9. Testování uživatelského rozhraní s uživateli Deliverable B1 TUR 2011. Testování uživatelských rozhraní 2011 ČVUT FEL Testvání uživatelských rzhraní 2011 DeepBurner Free 1.9 Testvání uživatelskéh rzhraní s uživateli Deliverable B1 TUR 2011 Daniel Mikeš Tmáš Pastýřík Ondřej Pánek Jiří Šebek Testvání uživatelských rzhraní

Více

5 Pappova věta a její důsledky

5 Pappova věta a její důsledky 5 Pappova věta a její důsledky Pappos z Alexandrie (?90?350), řecký matematik a astronom. Pod označením Pappova věta je uváděno více vět. Proto je třeba uvést, o jaké z těchto vět hovoříme. Zde se budeme

Více

k elektronickému výběrovému řízení na úplatné postoupení pohledávek z titulu předčasně ukončených leasingových smluv

k elektronickému výběrovému řízení na úplatné postoupení pohledávek z titulu předčasně ukončených leasingových smluv INFORMAČNÍ MEMORANDUM č. 4/3/2009/11 k elektrnickému výběrvému řízení na úplatné pstupení phledávek z titulu předčasně uknčených leasingvých smluv Praha, 30.11.2010 Infrmační memrandum č. 4/3/2009/11 1/9

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI EVROPSKÝ FOND PRO REGIONÁLNf ROZVOJ INVESTICE DO VAŠf BUDOUCNOSTI pr Invace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Křížkvskéh 8, 771 47 OLOMOUC č.j.: 699/PJ/OVZ/2013 dne: 07. listpadu 2013 Věc : Ddatečné infrmace

Více

Předmět matematika je úzce spjat s ostatními předměty viz. mezipředmětové vztahy.

Předmět matematika je úzce spjat s ostatními předměty viz. mezipředmětové vztahy. MATEMATIKA Charakteristika vyučvacíh předmětu Matematika se vyučuje ve všech rčnících. Hdinvá dtace je 4 4 4 4. V každém rčníku jsu žáci na jednu hdinu týdně rzděleni d dvu skupin, hdina je pak věnvána

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice

Více

Kotlík na polévku Party

Kotlík na polévku Party Ktlík na plévku Party 100.054 V3/0107-1 - CZ 1. Obecné infrmace 102 1.1 Infrmace týkající se návdu k bsluze 102 1.2 Vysvětlivky symblů 102 1.3 Zdpvědnst výrbce a záruka 102-103 1.4 Ochrana autrských práv

Více

VIS ČAK - Uživatelský manuál - OnLine semináře

VIS ČAK - Uživatelský manuál - OnLine semináře UŽIVATELSKÝ MANUÁL - ONLINE SEMINÁŘE Autr: Aquasft, spl. s r.., Vavrečka Lukáš Prjekt: VIS ČAK Pslední aktualizace: 11.12.2009 Jmén subru: UživatelskýManuál_OnLine_Semináře_0v2.dcx Pčet stran: 12 OBSAH

Více