6 Planimetrie. Opravdovým matematikem může být pouze ten, kdo se o matematiku zajímá zcela nezištně (Euklides)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "6 Planimetrie. Opravdovým matematikem může být pouze ten, kdo se o matematiku zajímá zcela nezištně (Euklides)"

Transkript

1 6 Planimetrie Opravdvým matematikem může ýt puze ten, kd se matematiku zajímá zela nezištně (Euklides) 61 Úhel V kapitle 14 jsme zpakvali některé základní mnžiny dů gemetriké útvary: d, přímka rvina, plpřímka, plrvina, úhel a jeh velikst, trjúhelník, kružnie a kruhvý luk V kapitle 57 jsme tyt pznatky dplnili lukvu míru úhlů Výsledky těht předěžnýh úvah využijeme nyní k sustavnějšímu zpakvání gemetrikýh pznatků V tét kapitle se udeme zaývat gemetrií v rvině planimetrií, v kapitle následujíí pak gemetrií v prstru steremetrií Zpakujme, že úhlem rzumíme uď průnik dvu plrvin s různěžnými hraničními přímkami (knvexní úhel) ne jejih sjednení (neknvexní úhel) Dále udeme ptřevat následujíí pjmy: Vrhlvé úhly: Dvě různěžky p, q se splečným dem V rzdělí rvinu na čtyři úhly dvě dvjie úhlů jejihž ramena jsu pačné plpřímky Takvé úhly nazýváme úhly vrhlvé Vrhlvé úhly jsu shdné Úhly suhlasné a střídavé: Mějme tři přímky: p q ; m p Suhlasnými úhly rzumíme úhly ležíí v téže plrvině s hraniční přímku m, přičemž a jsu zárveň stré ne tupé Střídavými úhly rzumíme úhly ležíí v pačnýh plrvináh s hraniční přímku m, přičemž jsu a zárveň stré ne a zárveň tupé Suhlasné úhly jsu shdné Střídavé úhly jsu shdné Suhlasné a střídavé úhly lze definvat eně i mezi přímkami, které rvněžné nejsu Definie je frmálně pněkud slžitější, prt ji jen naznačíme: suhlasnými úhly rzumíme úhly, které leží na stejné straně přímky m (tj sučasně vlev ne sučasně vprav) a na stejnýh stranáh přímek p, q (tj sučasně nahře ne dle) Přímky p, q pak nemusí ýt rvněžné a suhlasné úhly nemusí ýt shdné (pdně pr úhly střídavé) Výše uvedené věty yhm pak mhli frmulvat ve tvaru implikae, např:: Jestliže jsu přímky p, q rvněžné, pak suhlasné (střídavé) úhly jsu shdné Pr takt definvané suhlasné a střídavé úhly platí i věta ráená: Jestliže jsu suhlasné (střídavé) úhly shdné, pak jsu přímky p, q rvněžné Větu tedy můžeme vyslvit ve tvaru ekvivalene: Suhlasné (střídavé) úhly jsu shdné právě tehdy, kyž jsu přímky p, q rvněžné 119

2 Trjúhelníkem ABC (značíme ABC 6 Trjúhelník ) rzumíme průnik plrvin ABC = ABC ACB CBA, a) jak značení přímky, na které leží dva vrhly, ) jak značení strany trjúhelníka (tj značení úsečky), ) jak velikst příslušné strany Knkrétní význam ývá vždy zřejmý ze suvislstí kde A; BC ; jsu navzájem různé dy, které neleží na jedné příme Nazýváme je vrhly trjúhelníka Spjnie vrhlů nazýváme strany trjúhelníka a značíme malými písmeny ( AB = ; BC = a; AC = ) Malá písmena lze tak hápat v pdstatě trjím způsem: Sjednení stran trjúhelníka nazýváme vdem trjúhelníka Knvexní úhly α = BAC ; β = ABC ; γ = ACB jsu vnitřní úhly trjúhelníka, úhly k nim dplňkvé jsu pak vnější úhly trjúhelníka Sučet vnitřníh úhlů trjúhelníka: V ABC veďme např vrhlem C rvněžku se stranu a značme α '; β ' úhly dle připjenéh rázku Je α' + β' + γ = 18 Prtže však α ' = α ; β ' = β (střídavé úhly), je tj,: + + = 18 α β γ Sučet vnějšíh úhlů trjúhelníka: V ABC značme α '; β'; γ ' vnější úhly Je tedy α ' = 18 α ; β ' = 18 β ; γ ' = 18 γ, ' + ' + ' = (18 ) + (18 ) + (18 ) α β γ α β γ α' + β' + γ ' = 54 ( α + β + γ) α' + β' + γ ' = α β γ ' + ' + ' = 36 Trjúhelníky dělíme: pdle délek stran na pdle veliksti vnitřníh úhlů na - různstranné - rvnramenné - rvnstranné, - tupúhlé - pravúhlé - strúhlé Trjúhelníkvá nervnst: Sučet délek livlnýh dvu stran trjúhelníka je vždy větší než délka třetí strany Rzdíl délek livlnýh dvu stran trjúhelníka je vždy menší než délka třetí strany Prti větší straně trjúhelníka leží větší vnitřní úhel 1

3 Prti menší straně trjúhelníka leží menší vnitřní úhel Prti shdným stranám trjúhelníka leží shdné vnitřní úhly Shdnst trjúhelníků: Trjúhelníky stejně jak jiné útvary jsu shdné právě tehdy, lze-li jeden na druhý přemístit tak, že splynu V případě trjúhelníků t znamená, že musí mít shdné všehny strany a všehny úhly Zapisujeme ABC A' B ' C ' Vrhly trjúhelníka v tmt zápisu je třea hápat jak uspřádané trjie Tent zápis ttiž znamená, že shdné jsu právě strany AB A' B ' ; AC A' C '; BC B' C' a úhly α = α ' ; β = β ' ; γ = γ ' Při zjišťvání shdnsti trjúhelníků však není nutné dkazvat shdnst všeh tří stran a zárveň všeh tří úhlů Stačí dkázat, že je splněna některá z pstačujííh pdmínek shdnsti trjúhelníků Ty jsu frmulvány v tzv větáh shdnsti trjúhelníků: Dva trjúhelníky jsu shdné právě tehdy, když se shdují: věta sss: ve všeh třeh stranáh; věta sus: ve dvu stranáh a v úhlu jimi sevřeném; věta Ssu: ve dvu stranáh a v úhlu prti větší z nih; věta usu: v jedné straně a úhleh k ní přilehlýh Pdnst trjúhelníků: Dva trjúhelníky ABC ; A' BC ' ' se nazývají pdné (značíme ABC A' B ' C ') právě tehdy, když existuje kladné reálné čísl k (kefiient pdnsti) takvé, že AB = k A' B ' ; AC = k A' C ' ; BC = k B' C' Stejně jak v zápisu shdnsti i v zápisu pdnsti je třea hápat vrhly jak uspřádané trjie Zápis nás tedy infrmuje nejen pdnsti samtné, ale rvněž tm, které vrhly, strany a úhly si v tét pdnsti dpvídají Ani pdnst trjúhelníků nemusíme věřvat vždy přím z definie, i zde existují věty pdnsti analgiké větám shdnsti: Dva trjúhelníky jsu pdné právě tehdy, když: věta uu: se shdují ve dvu úhleh; věta sus: se shdují v pměru dvu stran a úhlu jimi sevřeném; věta Ssu: se shdují v pměru dvu stran a úhlu prti větší z nih Příčky v trjúhelníku jsu spjnie významnýh dů Jejih názvy se pužívají pět v pdstatě ve třeh význameh: a) jak značení přímky, na které leží dva významné dy; ) jak značení úsečky, kde významné dy jsu zárveň dy krajními; ) jak velikst úsečky z du ) Většinu se hápu ve významu ), případný jiný význam je většinu patrný z kntextu (např trjúhelník má výšku 5 m ) Střední příčka - spjnie středů dvu stran Trjúhelníky ABC a SBSAC se shdují v pměru velikstí dvu stran AC = SBC ; BC = SAC a úhlu jimi sevřeném (úhel γ mají splečný) Pdle věty sus jsu tedy pdné Znamená t, že i AB = SSa, a BAC SaSC Tyt úhly jsu však 11

4 suhlasné úhly mezi úsečkami AB ; SS a Tyt úsečky musí ýt tedy rvněžné (viz pslední větu předhzí kapitly) Ttéž platí i pr zývajíí příčky: Každá střední příčka je rvněžná se stranu, kteru neprhází, a má plviční délku Výška - klmie spuštěná z vrhlu na prtější stranu Všehny výšky se prtínají v jednm dě (tzv rtentrum) V případě tupúhléh trjúhelníka se tent d nahází mim trjúhelník ACPa BCP (věta uu a pravúhlé, ACB splečný) Tedy: 1 a a v a va 1 1 = = = a: = : v 1 va va va v v 1 1 Pdně : = : v v Shrnut: a: : = : : v v v a Těžnie - spjnie vrhlu a středu prtější strany Všehny těžnie se prtínají v jednm dě (tzv těžiště) ATC SaTS (věta uu - SS a AC) AC = SSa AT = TSa (analgiky na zývajííh těžniíh) Težiště dělí každu těžnii v pměru :1 63 Kružnie a kruh Kružnie: je mnžina dů v rvině, které mají d danéh pevnéh du (středu) stejnu vzdálenst (tzv plměr kružnie) Plměrem kružnie nazýváme zárveň každu úsečku s jedním krajním dem ve středu kružnie a druhým na kružnii Kružnii značíme nejčastěji k (v případě ptřey dlišujeme indexem) Kružnii nejčastěji zadáváme jejím středem a plměrem Je-li kružnie k určena středem S a plměrem r, zapisujeme k ( S, r) Kruhvý luk: Dva dy kružnie A k; B k rzdělí tut kružnii na dva kruhvé luky (kruhvý luk značíme AB ) Tětiva kružnie k ( S, r) je livlná úsečka AB, kde AB, k Prhází-li středem kružnie, nazýváme ji průměrem kružnie Průměr je tedy nejdelší tětiva kužnie Pdně 1

5 jak u plměru pužíváme i termín průměr také ve smyslu velikst nejdelší tětivy Značíme d a platí d = r Kružnie a přímka: mají a) dva splečné dy (takvu přímku nazýváme sečnu), ) jeden splečný d (přímku nazýváme tečnu, splečný d je d dtyku, říkáme také, že kružnie se dtýká přímky), ) žádný splečný d (hvříme vnější příme) Pata klmie vedené ze středu kružnie na sečnu AB je středem úsečky AB (tětivy) Tečna kružnie je klmá k plměru, který spjuje střed s dem dtyku Bdem M ležíím vně kružnie k prházejí právě dvě tečny tét kružnie Délka úsečky MT se nazývá délka tečny Úhel ω = ASB, jehž vrhlem je střed kružnie a ramena prházejí krajními dy luku AB, nazýváme středvý úhel příslušný tmut luku Každý úhel α = AVB, kde dy AV,, B leží na kružnii, nazýváme vdvým úhlem příslušným k luku AB, který v tmt úhlu leží Uvažujme případ, že S AVB (viz připjený rázek) Rzdělme středvý i vdvý úhel přímku spjujíí dy V, S, druhý průsečík s kružnií značme W Dále značme AVS = α 1 ; BVS = α ; ASW = ω1 ; BSW = ω Prtže VS = AS ( = r), je VAS = α1 Ze známéh sučtu úhlů v VAS máme ASV = 18 α 1 Úhel ASV je však také vedlejší k ω 1, je tedy ASV = 18 ω1 Znamená t, že ASV = 18 ω1 = 18 α1 ω1 = α1 Stejně lze ukázat, že ω = α Je tedy ω1 + ω = α1 + α ω1 + ω = ( α1 + α) Avšak ω1 + ω = ω; α1 + α = α, tj ω = α V případě, že S AVB je pstup analgiký a výsledek stejný Velikst středvéh úhlu je rvna dvjnásku veliksti úhlu vdvéh příslušnéh k témuž luku Všehny vdvé úhly příslušné k témuž luku jsu shdné Speiálním případem je: Thaletva věta: Ovdvý úhel příslušný k půlkružnii je pravý (neli všehny úhly nad průměrem kružnie jsu pravé) 13

6 Knvexní úhel ABX, kde dy AB leží na kružnii a X na tečně k tét kružnii v dě A (ppř B ) se nazývá úsekvý úhel příslušný k luku AB, který v tmt luku leží Úsekvý úhel je shdný se všemi vdvými úhly příslušnými k témuž luku Mnst du ke kružnii: Je dána kružnie k ( S, r) a livlný d M Tímt dem veďme sečnu (event tečnu) p ke kružnii k a značme A, B průsečíky tét přímky s kružnií, tj A, B k p (event pr tečnu je A B T ) Pr každu takt sestrjenu přímku prházejíí pevným dem M je MA MB = knst = MT Je-li d M vně kružnie k, nazýváme tent sučin mnstí du ke kružnii, je-li uvnitř kružnie, je mnstí čísl MA MB Mnst dů ležííh na kružnii, je rvna nule Kružnie a trjúhelník: Kružnie trjúhelníku psaná: je kružnie, která prhází všemi vrhly trjúhelníka Její střed leží v průsečíku s stran, plměr značíme vykle r Kružnie trjúhelníku vepsaná: je kružnie, která se dtýká všeh stran trjúhelníka Její střed leží v průsečíku s vnitřníh úhlů, její plměr značíme vykle ρ Kruh: je mnžina dů v rvině, které mají d danéh pevnéh du (středu) vzdálenst menší ne rvnu danému kladnému číslu (tzv plměr kruhu) Plměrem kruhu nazýváme zárveň každu úsečku s jedním krajním dem ve středu kružnie a druhým na kružnii 14

7 Kruh značíme nejčastěji K (v případě ptřey dlišujeme indexem) Kruh nejčastěji zadáváme jeh středem a plměrem Je-li kruh takt určen, zapisujeme K ( S, r) Mnžinu dů, jejihž vzdálenst je rvna plměru, nazýváme hranií kruhu (ppř hraniční kružnií), mnžina dů, jejihž vzdálenst je menší, tvří vnitřní last (vnitřek) kruhu, mnžina dů, jejihž vzdálenst je větší, tvří vnější last (vnějšek) kruhu Dva plměry SA, SB rzdělí kruh na dvě kruhvé výseče, tětiva AB na dvě kruhvé úseče Je-li AB průměr kruhu, nazýváme úseč půlkruhem Dvě kružnie: Dvě kružnie různýh plměreh mhu mít nejvýše dva splečné dy Mají-li dvě kružnie splečný střed, nazýváme je sustředné Sustředné kružnie uď nemají žádný splečný d ne mají všehny dy splečné (splynu) Dvě sustředné kružnie k 1 ( S; r 1 ); k ( S; r) ; r > r1 určují tzv mezikruží Je t mnžina dů, které mají d du S vzdálenst r r1; r Čísl r r1 nazýváme šířku mezikruží Průnik středvéh úhlu a mezikruží se nazývá výseč mezikruží Kružnie, které nemají splečný střed, se nazývají nesustředné Dvě nesustředné kružnie k1 ( S; r1) ; k ( S; r) ; r > r1 mhu mít právě jednu z plh znázrněnýh na připjeném rázku 15

8 64 n -úhelníky n -úhelníkem rzumíme mnžinu dů, kteru lze zapsat jak sjednení n trjúhelníků, z nihž vždy právě dva mají právě jednu splečnu stranu (tzv tvřiíh trjúhelníků) n -úhelník nazýváme knvexní právě tehdy, když platí: leží-li dy AB ; v mnhúhelníku, pak v mnhúhelníku leží elá úsečka AB Úhlpříčka je spjnie dvu vrhlů, které splu nesusedí Sučet vnitřníh úhlů je sučtem vnitřníh úhlů všeh tvřiíh trjúhelníků, tj ( n ) 18 Pravidelný n -úhelník je n -úhelník, který lze zapsat jak sjednení n rvnramennýh trjúhelníků, které mají splečný hlavní vrhl a vždy právě dva mají právě jedn splečné ramen Speiálně míst pravidelný trjúhelník pužíváme název rvnstranný trjúhelník a míst pravidelný čtyřúhelník pužíváme název čtvere Speiální čtyřúhelníky: Lihěžník: je čtyřúhelník, který má právě jednu dvjii rvněžnýh stran Strany, které rvněžné nejsu, nazýváme ramena Lihěžník, jehž ramena jsu shdná, se nazývá rvnramenný Rvněžník: je čtyřúhelník, který má právě dvě dvjie rvněžnýh stran Na připjeném rázku je ACD CAB pdle věty usu (strana AC je splečná, úhly k ní přilehlé jsu střídavé mezi rvněžkami) Znamená, t, že AB CD; BC DA Dále tedy ABS CDS (pět věta usu, neť AB CD a přilehlé úhly jsu pět střídavé úhly mezi rvněžkami) T znamená, že AS SC ; BS SD Shrnut: Prtější strany v rvněžníku jsu shdné Úhlpříčky rvněžníka se půlí Oě tyt vlastnsti jsu pdmínkami pstačujíími, tj platí věty: Jestliže jsu prtější strany čtyřúhelníka shdné, pak jde rvněžník Jestliže se úhlpříčky čtyřúhelníka půlí, pak jde rvněž rvněžník Ksčtvere: je rvněžník, který má shdné i susední strany V tm případě je ADS CDS (usu), a prt ASD CSD Tyt úhly jsu ale úhly vedlejší, prt musejí ýt pravé: Úhlpříčky v ksčtveri jsu na see klmé 16

9 Klmst úhlpříček však není pstačujíí pdmínku k tmu, ay čtyřúhelník yl ksčtverem (psuňte vrhl A p úhlpříče AS!) Odélník: je rvněžník, jehž strany jsu na see klmé Čtvere: je délník se shdnými stranami (ppř ksčtvere s klmými stranami) Oený rvněžník (tj rvněžník, který není délníkem, čtverem ani ksčtverem) nazýváme ksdélník 6 5 Pravúhlý trjúhelník Euklidva věta výše: Na připjeném rázku máme sestrjen pravúhlý ABC a d D je pata výšky v Tat výška rzděluje tent trjúhelník na dva trjúhelníky ACD CBD pdné pdle věty uu Oa jsu ttiž pravúhlé a dále: ACD = 9 DAC BCD = 9 ACD = ( ) = =, tedy BCD DAC Platí tedy: v = v = a v 9 9 DAC DAC a Osah čtvere sestrjenéh nad výšku pravúhléh trjúhelníka se rvná sahu délníka sestrjenéh z u úseků přepny Euklidva věta dvěsně: Na dalším rázku je pravúhlý ABC pět rzdělen výšku, tentkrát nás však zajímá pdnst ABC CBD (pět věta uu - a jsu pravúhlé a úhel β mají splečný) Platí: = = Osah čtvere sestrjenéh nad dvěsnu pravúhléh trjúhelníka se rvná sahu délníka sestrjenéh z přepny a přilehléh úseku Pythagrva věta: Tat asi nejznámější matematiká věta je důsledkem dvu vět Euklidvýh Zakresleme je d jednh rázku a pužijme jiné značení: dvěsna a pravúhléh ABC je nyní výšku pravúhléh ADB Úseky jeh přepny jsme značili d, Pdle Euklidvy věty výše pr ADB je a = d 17

10 Délka přepny v ADB je + d, přepna v ABC je dvěsnu v ADB Pdle Euklidvy věty dvěsně pr ADB tedy je ( d) d = + = + Prtže však d a =, dstáváme pr ABC : = a + Osah čtvere sestrjenéh nad přepnu pravúhléh trjúhelníka se rvná sučtu sahů čtverů sestrjenéh nad ěma jeh dvěsnami Pythagrvu větu lze také ilustrvat následujíím způsem: Na připjenýh rázíh jsu dva čtvere straně a+, ze kterýh jsu derány čtyři shdné pravúhlé trjúhelníky ABC P dečtení jejih sahů zývají šedé útvary: nahře čtvere sestrjený nad přepnu, dle dva čtvere sestrjené nad dvěsnami a ; Oa tyt útvary mají sah ( a+ ) 4 S ABC, tedy sah stejný: = a + Platí i věta ráená, tj: je-li trjúhelník pravúhlý = a +, pak je Orázky naví gemetriky ilustrují vzrečky pr druhu mninu dvjčlenu: Spdní rázek říká: Ke čtverům sazíh a ; jsu přičteny dva délníky, každý sahu a Vše dhrmady dává čtvere straně a+, tedy sahu ( a+ ) Znamená t, že a + + a = ( a+ ) Pdně lze jevit vzre (pkuste se t) a + a = ( a ) 1 Příklad: Sestrjme čtvere, který má stejný sah jak délník stranáh 5 m; 3 m Řešení: a) Pmí Euklidvy věty výše: v pravúhlém trjúhelníku platí v = Je tedy třea a setrjit pravúhlý trjúhelník tak ay = 5 m; = 3 m Jeh přepna ude tedy = + = 8 m Nad jeh výšku pak sestrjíme hledaný čtvere: a a 18

11 Knstruke: = AB = 8m k -Thaletva kružnie nad AB D AB; DA = 5 m v AB; D v C v k DC je strana hledanéh čtvere ) Pmí Euklidvy věty dvěsně: v pravúhlém trjúhelníku platí = Je tedy třea sestrjit pravúhlý trjúhelník tak ay = 5 m; = 3 m Jeh dvěsna pak ude mít stejnu velikst jak strana hledanéh čtvere: Knstruke: = AB = 5m k - Thaletva kružnie nad AB D AB; DA = 3 m v AB; D v C v k AC je strana hledanéh čtvere Příklad: Sestrjme úsečku veliksti 17 m Řešení: uď a) dle př 1a: DA = 17m ; DB = 1m DC = 17 m ne ) dle př 1: DA = 16m ; DB = 1m AC = 17 m 3 Příklad: Sestrjme úsečku veliksti 41 m Řešení: Je mžn pstupvat pdle př V tmt případě je všem mžn pužít i větu Pythagrvu, neť 41 = = Sestrjíme-li tedy pravúhlý trjúhelník s dvěsnami 5 m a 6 m, jeh přepna ude mít velikst 41 m 4 Příklad: Pravúhlý trjúhelník má přepnu = m a výšku v = 8 m Jak velké úseky a; vytíná výška v na straně? Řešení: Pdle Euklidvy věty výše je v = a, ze zadání je zřejmé, že = a + = Řešíme tedy sustavu rvni 8 = a a = 16; = 4 = a + 5 Příklad: Odélník ABCD má velikst susedníh stran v pměru 3:4, průměr psané kružnie je 1 m Určeme veliksti stran Řešení: Průměr kružnie psané délníku je rven déle úhlpříčky, která tent délník dělí na dva shdné pravúhlé trjúhelníky Je tedy: 19

12 Řešením tét sustavy dstaneme a a 3 = 4 + = = = = = 1 = 8 m a= 6 m 5 6 Příklad: Turista dměřil na mapě v měřítku 1 : 5 vzdálenst dvu míst vab (, ) = 1,4 m Jaká je nejkratší vzdálenst u míst, má-li d A kótu 1 88 m a d B kótu 74 m? Řešení: Hrizntální vzdálenst danýh dů je 1, 4 5 = 1 7 m =1,7 km, převýšení = 584 m=,584 km Skutečná vzdálenst mezi těmit místy je tedy d A B (, ) = 1,7 +,584 1,716 km Gnimetriké funke v pravúhlém trjúhelníku: V kpt 58 jsme zavedli gnimetriké funke pr ený úhel Tyt funke mají širké uplatnění v trignmetrii tj při řešení prlémů suvisejííh s pravúhlým i eným trjúhelníkem Je znám, že v pravúhlém trjúhelníku ABC dle připjenéh rázku platí: a sin α = sα = a tg α = tgα = a Je však třea si dře uvědmit tyt vztahy i v trjúhelníku značeném a plženém jinak (viz další rázek): l n sin λ = s λ = m m l n tg λ = tgλ = n l 7 Příklad: Vypčtěme zývajíí strany a úhly v pravúhlém trjúhelníku: a) ABC : = 1; α = 5 ' (pravý úhel při vrhlu C ) ) RST : r = 4, ρ = 59 3' (pravý úhel při vrhlu T ) 13

13 Řešení: a a) β = 9 5 ' = 39 4' ; sinα = a= sinα = 1 sin 5 ' 9,37 strana : např sα = = sα = 1 s 5 ' 76, 6 ne: = a = 1 9,37 76, 6 s ) σ = ' = 3 3' ; tgσ = s= rtgσ = 4 tg3 3' 141,37 r s s 141,37 s ρ = t = = 78,54 t s ρ s59 3' 8 Příklad: Klik shdů musí mít shdiště, je-li třea sklnem 5 překnat výšku 3,7 m a shd má ýt širký 7 m? Řešení: Prfil shdu je pravúhlý trjúhelník dle rázku Zde je v tg 5 = v = 7 tg 5 1, a ptřený pčet shdů je tedy n = 6 1,59 Neřešené příklady: 1) Sestrjte úsečky veliksteh 8; 13 ; ; 9 ) Určete sah délníka, jehž délka je a = 84m a jehž úhlpříčka je 7m delší než jeh šířka 3) Určete vzdálenst dvu rvněžnýh tětiv v kružnii plměru 6m, je-li délka tětiv 6 m;1m 4) Štít střehy tvaru rvnramennéh trjúhelníka má šířku 1,8 m, spád střehy je 38º Vypčtěte výšku štítu 5) Trať má stupání a) 1% ) 9 Jaký je úhel stupání? 6) Z pzrvaí věže 15 m nad hladinu mře je zaměřena lď v hlukvém úhlu 1º49 Jak dalek je lď d věže? 7) Sílu veliksti F = 1N rzlžte na dvě navzájem klmé slžky F 1 ; F tak, ay úhel mezi výslednií a jednu slžku yl 43º5 8) Břemen je zavěšen ke strpu dvěma lany, která se strpem svírají úhel 45º Jakými silami jsu lana namáhána, je-li tíha řemene G = N? 9) Ve výhdním větru ryhlsti 1ms -1 letí k severu letadl vlastní ryhlstí 7kmh -1 O jaký úhel se dhýlí d severníh směru? 1) Na vdrvné lue na 5º severní šířky stjí samělý smrk, který 1 řezna v pravé pledne vrhá stín dluhý 1 m Jak je smrk vyský? 131

14 Výsledky: 1) Dle řeš př 1 a) AD = 4 DB = DC = 8; AD = 13 DB = 1 DC = 13 ; AD = 11 DB = DC = ; AD = 9 DB = 1 DC = 9 ne dle řeš př 1 ) AB = 6 AD = AC = 8 ; AB = 13 AD = 1 AC = 13 AB = 11 AD = AC = ; AB = 9 AD = 1 AC = 9 ) 19m 3) dvě řešení: 188 m;851m 4) 5 m 5) a) 6º51 ) 1º51 6) asi 3 31 m F = 79 N; F = 693N 8) F1 = F 141N 9) º5 1) asi 1 m 7) 1 66 Oený trjúhelník Při řešení enéh trjúhelníka pužíváme dvu důležitýh vět: Sinvá věta: Mějme ený trjúhelník ABC dle připjenéh rázku Výška v h rzdělí v na dva pravúhlé trjúhelníky ACD ; BCD, ve kterýh platí: sin α = ; sin v β =, tedy a v = sinα v = asin β Odečtením těht rvni dstáváme = sinα asin β neli asin β = sin α, a = sinα sin β Zela analgiky lze ukázat, že stejná rvnst platí i pr stranu a úhel γ, a dále lze ukázat, že tent pdíl je rven průměru kružnie trjúhelníku psané Platí tedy a = = = r sinα sin β sinγ Tent vztah je pět třea si uvědmit i v trjúhelníku značeném jinak, např: k m n = = = r sinκ sin µ sinν 1 Příklad: Vypčtěme zývajíí strany a úhly v trjúhelníku, je-li dán: a) ABC : = 1; α = 6 3' ; β = 48 56' ; ) RST : s = 7 ; ρ = 49 5' ; τ = 18 4' Řešení: a) γ = 18 α β = ' 48 56' = 68 3 ' a sinα 1sin 6 3' = a = =, sinα sinγ sin γ sin 68 3' a asin β, sin 48 56' = = = 17,13 sinα sin β sinα sin 6 3' 13

15 ) σ = ρ τ = = ' 18 4' 1 55' t s ssinτ 7 sin18 4' t sinτ sinσ sinσ sin 1 55' = = = 1 83,57 r s ssin ρ 7 sin 49 5' = r = = 1 469,4 ρ σ σ sin sin sin sin 1 55' Pdle Pythagrvy věty je: Ksinvá věta: Uvažujme ený trjúhelník ABC, v němž jsu známy strany a ; a úhel γ, který tyt strany svírají (viz připjený rázek) Naším úklem je zjistit velikst strany Sestrjme výšku v, která rzdělí trjúhelník na dva pravúhlé trjúhelníky a její pata rzdělí stranu na úseky 1; Platí: v sinγ = v = asinγ, a 1 sγ = 1 = asγ a = v + = v + ( ) = v Dsazením za v a 1 z výše uvedenýh vztahů je: = v + + = a sin γ + asγ + a s γ = a sin γ + a s γ + asγ 1 1 Tedy: = a + + a = a + a 1 (sin γ s γ) sγ sγ Pslední uvedený vztah vyjadřuje tzv ksinvu větu pr stranu Při výpčtu strany a resp yhm dstali analgiké vztahy Shrnut: a a = + sγ a = + sα a a = + sβ Opět je důležité uvědmit si tyt vztahy i pr trjúhelník značený jinak: m n r nr = + s µ, n m r mr = + s ν, r m n mn = + s ρ Ksinvá věta je zeněním věty Pythagrvy, neť např je-li v trjúhelníku ABC úhel π γ = 9 =, pak je π = a + asγ = a + as = a + a = a + 133

16 Příklad: Vypčtěme zývajíí strany a úhly v trjúhelníku, je-li dán: a) ABC : a = 7 ; = 4 ; γ = 38 ) KLM : l = 3 ; m = 4 ; κ = 1 1' Řešení: a) a a γ = + s = s , sinγ 4 sin 38 sin β 5389 β 3 36' = = =, sin β sinγ 457 α = 18 β γ = ' 38 = 19 4' ) k = l + m lmsκ = s1 1' 5553, k m msinκ 4 sin1 1' = sin µ = = 786 µ 45 7 ', sinκ sin µ k 5553 λ κ µ = 18 = ' 45 7 ' = 34 3 ' Větu sinvu pužíváme, je-li trjúhelník dán a) dvěma úhly a jednu stranu (tj pdle věty usu); ) dvěma stranami a úhlem prti jedné z nih Je-li dán úhel prti větší straně, je trjúhelník zadán jednznačně pdle věty Ssu a úlha má právě jedn řešení Není-li tmu tak, má úlha dvě řešení Větu ksinvu pužíváme, je-li trjúhelník dán a) dvěma stranami a úhlem jimi sevřeným (tj pdle věty sus); ) třemi stranami (tj pdle věty sss) 3 Příklad: Vypčtěme zývajíí prvky (strany a úhly) v trjúhelníku ABC, je-li dán: a = 1,4 ; β = 3 4' ; γ = 7 3' Řešení: Trjúhelník je zadán pdle věty usu pužijeme sinvu větu Především dpčítáme zývajíí úhel: α = 18 ( β + γ) = 18 (3 4' + 7 3') = 74 5' a a 1,4 sin 7 3' Dále je: = = sinγ = 1, 75, sinα sin γ sinα sin 74 5' a a 1,4 sin 3 4' = = sin β = 6,93 sinα sin β sinα sin 74 5' Je tedy: α = 74 5' ; 6,93 ; 1,3 4 Příklad: Vypčtěme zývajíí prvky (strany a úhly) v trjúhelníku ABC, je-li dán: a = 8,7 ; = 19,5 ; α = 53 ' Řešení: Trjúhelník je pět zadán pdle věty usu pužijeme sinvu větu a 19,5 sin 53 ' = sin β = sinα =,545 β 33 sinα sin β a 8,7 γ 18 ( α + β) = 18 (53 ' + 33 ) = 93 4' a a 8,7 sin 93 4' = = sin γ = 35,7 sinα sinγ sinα sin 53 ' 134

17 5 Příklad: Vypčtěme zývajíí prvky (strany a úhly) v trjúhelníku ABC, je-li dán: a = 34,8 ; = 56,3 ; γ = 6 Řešení: Trjúhelník je zadán pdle věty sus pužijeme ksinvu větu: = a + asγ = a + asγ = 34,8 + 56,3 34,8 56,3 s 6 49, Dále již lze pužít větu sinvu: a a 34,8 sin 6 = sinα = sin γ =, 616 α 37 5' sinα sinγ 49, Knečně β = 18 ( α + β) 18 (37 5' + 6 ) = 8 1' 6 Příklad: Vypčtěme vnitřní úhly trjúhelníka ABC, jsu-li dány všehny jeh strany - a = 3,4 ; = 56,3 ; = 7,8 Řešení: + a 56,3 + 7,8 3, 4 a = + sα sα = =,951 α 5 1' 56,3 7,8 Úhel β můžeme pčítat stejným způsem, lze již také pužít sinvu větu: β = ' Úhel γ pak již lze jen dpčítat γ = 18 ( α + β) = 17 13' 7 Příklad: Těles hmtnsti m = kg je zavěšen dvěma lany různé délky na vdrvné traverze Lana svírají s traverzu úhly α = 38 6' ; β = ' Určeme 1 namáhání lan v tahu (pčítejme s gravitačním zrahlením g = 1 ms ) Neřešené úlhy: Řešení: G = mg = 1 = N γ = 18 α β = ' 49 54' = 91 4' Řešíme trjúhelník zadaný pdle věty usu pužijeme sinvu větu: G F1 Gsinα sin 38 6 ' = F1 = = N sin γ sinα sinγ sin 91 4' G F sinγ sin β sinγ sin 91 4 ' Gsin β sin ' = F = = N 1) V ABC je a) a = 16; = 5; = 36 ) a = 5; = 6; = 7 Vypčtěte veliksti vnitřníh úhlů ) V ABC je a) a = 165; β = 4 5'; γ = 69 ' ) Vypčtěte zývajíí strany a úhly α γ = 7; = 49 5'; = 18 48' 3) Na vrhlu kpe stjí rzhledna vyská 35 m Z údlí vidíme patu rzhledny pd úhlem 8 a vrhl rzhledny pd úhlem 31 Jak vysk je vrhl kpe nad údlím? 135

18 4) Oe A, B jsu spjeny s í C přímými estami, které svírají úhel 3 m, resp m Jak dluhá je přímá esta z A d B? 63 ' a jsu dluhé 5) Dvě nepřístupná místa PQ, jsu pzrvána z míst AB,, jejihž vzdálenst je AB = m Byly změřeny úhly rvině) QBA = 81 15' QAB = 5 4' ; PBA = 4 1' ; PAB = 86 4' ; Určete vzdálenst PQ (předpkládáme, že všehny dy leží ve stejné 6) Z du A je vyslán světelný paprsek, který má p drazu d rvinnéh zradla dspět d du B Vzdálenst dů AB, je AB = 36 m, vzdálenst du A, resp du B d zradla je a = 7 m resp = 18 m Určete úhel dpadu paprsku na zradl 7) Světelný paprsek dpadá na skleněnu tauli pd úhlem ' Určete tlušťku taule, jestliže se p průhdu taulí paprsek psunul,9 mm (index lmu skla je n = 1, 53 ) 8) Síly veliksteh F1 = 4 N; F = 35N půsí na stejný d a svírají úhel velikst výsledné síly? 77 1 ' Jaká je 9) Letadl letí ve výše 3 5 m k pzrvatelně Při dvu měřeníh yl z pzrvatelny vidět pd úhly 5, resp 48 Jaku vzdálenst urazil letadl mezi ěma měřeními? 1) P rampě se sklnem 18 4' je třea vytáhnut těles tíhy 8 N Jak velká síla je k tmu ptřea a jak velká ude tlakvá síla na rampu (tření zanedejte)? Výsledky: 1) a) α '; β 36 5'; γ 11 15' ) α 44 5'; β 57 7 '; γ 78 8' ) a) α 69 5'; 114,9; 164,5 ) β 1 55'; a 1 469; ) 69 m 4) 1 m 5) m 6) 65,7 N ' 7),8 mm 8) F 6,35 N 9) asi m 1) 89,6 N ; 67 Ovdy a sahy gemetrikýh razů Gemetrikým razem (dále jen razem) rzumíme mnžinu dů v rvině hraničenu uzavřenu křivku (hranií raze), která d tét mnžiny rvněž patří Hranií raze může ýt např sjednení n úseček (u n -úhelníka), kružnie (u kruhu), sjednení kruhvéh luku a úsečky (kruhvá úseč), sjednení kruhvéh luku a dvu úsečkek (kruhvá výseč) apd Hranii raze může tvřit i víe křivek - např sjednení dvu kružni u mezikruží Ovdem raze (značíme ) rzumíme délku jeh hranie Osahem raze (značíme S ) je nezáprné reálné čísl, které má následujíí vlastnsti: 1) Osahy shdnýh razů jsu si rvny ) Je-li raze O sjednením razů O1; O, jejihž průnikem je nejvýše jejih hranie, je sah raze O rven sučtu sahů razů O1; O 3) Osah čtvere straně a = 1 ( m, m,) je S = 1 ( m, m,) 136

19 Přehled vzrů pr výpčet vdů a sahů nejdůležitějšíh razů: trjúhelník = a+ + 1 S = a va 1 = v 1 = v délník = ( a+ ) S = a čtvere = 4a 1 S = a = e ksdélník = ( a+ ) S = a v = v a 1 Příklad: Odélníkvá zahrada má vd 13 m a sah 1 m Vypčtěme její rzměry Řešení: Úlha vede na řešení sustavy dvu rvni ( a+ ) = 13 a = 1 13 Z první rvnie je a = Dsazením d druhé rvnie držíme: 13 = = 1, ksčtvere = 4a 1 S = a v = e f lihěžník = a+ + + d 1 S = ( a+ ) v kruh d = r = πr = πd 1 S = π r = π d 4 mezikruží d1 = r1; d = r = π( r1 + r) = π( d1 + d) 1 S = π( r r1 ) = π( d d1 ) 4 pravidelný n -úhelník = n a 1 1 S = n a ρ = ρ 13 ± ± 9 13 ± 3 = = = = 4 4 Dsazením d kterékli rvnie dstaneme [ a1; 1] = [5;4]; [ a; ] = [4;5] Zahrada má tedy rzměry 5 4 m Příklad: Jak se změní sah délníka rzměreh a; ; jestliže a) zvětšíme stranu a dvakrát a stranu třikrát? ) zmenšíme-li a rzměry 5%?

20 Řešení: a) Osah půvdníh délníka je S = a ; sah zvětšenéh S = a 3= 6 a = 6 S, tj sah se zvětší šestkrát ) Osah půvdníh délníka je S = a ; sah zmenšenéh S = 95a 95=,95 a 9 S, tj sah délníka se zmenší asi 1% 3 Příklad: Strany trjúhelníka jsu v pměru 3:5:7, jeh vd je 45 m Určeme délky stran Řešení: Jestliže jsu strany trjúhelníka v daném pměru, znamená t, že existuje čísl k takvé, že a = 3k ; = 5k; = 7k Je-li O = a + + = 3k + 5k + 7k = 15k = 45, pak k = 3, a tedy a = 3k = 9m; = 5k = 15m; = 7k = 1m 4 Příklad: Cestvatel vyknal p rvníku estu klem světa Nad jeh hlavu tutéž estu (jeden let) aslvval satelit ve výše 5 km O klik kilmetrů yla jeh esta delší? Řešme pr Zemi a (hyptetiky) pr Měsí, předpkládejme kruhvé dráhy Řešení: Pr Zemi: plměr Země je RZ = km, dráha estvatele je tedy d1 = π RZ = π 4 74 km, plměr dráhy satelitu je R = RZ + 5 = km, dráha satelitu je tedy d = π R = π km, rzdíl činí d = d d1 = = 3 14 km Pr Měsí: plměr Měsíe je RM = km, dráha estvatele je tedy d1 = π RM = π 1 9 km, plměr dráhy satelitu je R = RM + 5 = 38 km, dráha satelitu je tedy d = π RM = 38 π 14 6 km, rzdíl činí d = d d1 = = 3 14 km, (tedy přesně tlik, klik pr Zemi) Vysvětlení tht zdánlivéh paradxu není nijak slžité řešme úlhu eně: Nehť plměr planety je R, výška dráhy satelitu h Délka rvníku je pak d1 = π R, délka dráhy satelitu d = π ( R+ h) a rzdíl d = d d1 = π ( R+ h) πr = πr+ πh πr = πh vůe nezávisí na plměru planety, ale puze na výše satelitu nad ní Neřešené úlhy 1) Vypčtěte vd a sah čtvere, jehž úhlpříčka má délku 1 m ) Vypčtěte sah rvnstrannéh trjúhelníka, jehž vd je 7 m 3) Kl těžní věže má průměr 1,5 m O klik metrů se spustí kle výtahu, tčí-li se kl pětadvaetkrát? 4 Příčný průřez náspu železniční trati má tvar rvnramennéh lihěžníka se základnami AB = 15 m ; CD = 1,5 m a rameny BC = AD = 5 m Vypčtěme sah průřezu 138

21 5) Kruhvý stůl plměru 8 m vyský rvněž 8 m je pkryt čtvervým urusem déle strany 1, m tak, že střed stlu se kryje se středem urusu Jak vysk nad zemí jsu rhy urusu? 6) Délky základen lihěžníku jsu v pměru 3:, délka střední příčky je 5 m Určete délky základen 7) Běže prěhl třikrát kruhvu dráhu a uěhl dva kilmetry Jaký je plměr dráhy? 8) Antiký matematik a filsf Erathstenes z Kireny si všiml, že v den jarní rvndennsti dpadá Slune v Asuánu v pledne d hlukýh studní až na hladinu vdy O rk pzději v tentýž den v Alexandrii zjistil, že se sluneční paprsky d studní nedstanu, prtže se dhylují d klmie 7 Cesta z Asuánu d Alexandrie yla dluhá 7 km a vedla praktiky stále na sever Z těht skutečnstí usudil, že Země je kulatá a dkne vypčítal přiližnu délku zemskéh pledníku Dkážete t také? Výsledky: 1) = m ; S = 5m ; ) S = 88 3m 3) 118m 4) 574m 5) 3915m 6) 6 m;4m 7) 1616m 8) Cesta představuje kruhvý luk příslušný středvému úhlu 7 Pr délku d eléh pledníku je tedy d : 7 = 36 : 7 d = (7 36) / 7 = 36 km 68 Zrazení v rvině V kapitle 13 jsme shrnuli nejrůznější typy zrazení mnžin Zpakujme, že zrazení z mnžiny S d mnžiny Z je jistá mnžina F uspřádanýh dvji [ x; y ], kde x S; y Z, přičemž každému prvku x S je tímt způsem přiřazen nejvýše jeden prvek y Z Zrazení mnžin zapisujeme F : S Z, zrazení jedntlivýh prvků zapisujeme většinu rvněž F : x y (míst [ x; y] F) Je mžné rvněž hvřit zrazení v mnžině, a sie v případě, že S = Z V tm případě hvříme zrazení v mnžině S, zapisujeme F : S S Tímt zrazením se nyní udeme zaývat s tím, že mnžina S ude mnžina všeh dů rviny Hvříme pak zrazení v rvině, které udeme většinu zadávat pstupem knstruke, který každému du rviny přiřadí d ležíí pět v tét rvině Většinu se ude jednat zrazení (jedné a téže) rviny α na (tutéž) rvinu α Ayhm v zápiseh rzlišili dy d zrazení, udeme zrazení zapisvat psaími písmeny Zápis Z : X X ' tedy znamená, že zrazení Z zrazuje d X d du X ' Bd X se nazývá vzr, X ' raz Oraz útvaru U : Orazem útvaru U v zrazení Z rzumíme mnžinu U ' všeh razů dů útvaru U Samdružný d zrazení Z je každý d X, který v zrazení Z splyne se svým razem, tj X X ' Samdružný útvar zrazení Z je každý útvar U, který v zrazení Z splyne se svým razem, tj U U ' Identita je zrazení, v němž je každý d samdružný Orientvanu úsečku v rvině rzumíme úsečku, kde jeden krajní d je značen jak pčáteční a druhý jak knvý Orientvanu úsečku AB značíme AB 139

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR ÚHEL

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR ÚHEL ÚHEL = část rviny hraničená dvěma plpřímkami (VA, VB) se splečným pčátkem (V) úhel AVB: V vrchl úhlu VA, VB ramena úhlu Pznámka: Dvě plpřímky se splečným pčátkem rzdělí rvinu na dva úhly úhel knvexní,

Více

Konstrukce paraboly dané dvěma tečnami s body dotyku. Příklad: Sestrojte parabolu p, jsou-li dány její tečny t 1, t 2 s body T 1, T 2 dotyku.

Konstrukce paraboly dané dvěma tečnami s body dotyku. Příklad: Sestrojte parabolu p, jsou-li dány její tečny t 1, t 2 s body T 1, T 2 dotyku. Gemetrie Další užitečné knstrukce parably Řešené úlhy Knstrukce parably dané děma tečnami s bdy dtyku Příklad: Sestrjte parablu p, jsu-li dány její tečny, s bdy, dtyku. zlme dě různběžné přímky, a na každé

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Obecnou rovnici musíme upravit na středovou. 2 2 2 2 2 2 2 2. leží na kružnici musí vyhovovat její rovnici dosadíme ho do ní.

Obecnou rovnici musíme upravit na středovou. 2 2 2 2 2 2 2 2. leží na kružnici musí vyhovovat její rovnici dosadíme ho do ní. 75 Hledání kružnic I Předpklady: 750, kružnice z gemetrie Př : Kružnice je dána becnu rvnicí x y x y plměr Rzhdni, zda na kružnici leží bd A[ ; ] + + + 6 + = 0 Najdi její střed a Obecnu rvnici musíme upravit

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Středšklská matematika Nadace Geneze Vývj (Stručná histrie matematiky) - na levé straně je svislý nápis VÝVOJ stisk hrníh V vyvlá zbrazení časvé sy - stisk ikny se stránku (vprav nahře na brazvce časvé

Více

Planimetrie. Přímka a její části

Planimetrie. Přímka a její části Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Mistrovství České republiky v logických úlohách

Mistrovství České republiky v logických úlohách Mistrvství České republiky v lgických úlhách Blk - Kktejl :5-5: Řešitel Stezky První větší Sendvič Dminvé dlaždice 5 Rzlžené čtverce 6 Dlaždice 7 Klik plí prjdu vedle? 8 Milenci 9 Kulečník Dmin 7x8 Cruxkrs

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Střední průmyslová škola strojní a elektrotechnická. Resslova 5, Ústí nad Labem. Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice. - Im

Střední průmyslová škola strojní a elektrotechnická. Resslova 5, Ústí nad Labem. Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice. - Im Střední průmyslvá škla strjní a elektrtechnická Resslva 5, Ústí nad Labem Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice A Re + m 2 2 j 1 + m - m A A ϕ ϕ A A* Re ng. Jarmír Tyrbach Leden 1999 (2/06) Fázry a kmplexní

Více

Teplota a její měření

Teplota a její měření 1 Teplta 1.1 Celsiva teplta 1.2 Fahrenheitva teplta 1.3 Termdynamická teplta Kelvin 2 Tepltní stupnice 2.1 Mezinárdní tepltní stupnice z rku 1990 3 Tepltní rzdíl 4 Teplměr Blmetr Termgraf 5 Tepltní rztažnst

Více

a : b : c = sin α : sin β : sin γ

a : b : c = sin α : sin β : sin γ 12 Řešení becnéh trjúhelníku, věta sinvá a ksinvá Sinvá věta - platí v becném trjúhelníku (nemusí být pravúhlý) a : b : c sin α : sin β : sin γ Pměr délek stran je rven pměru sinů prtilehlých vnitřních

Více

1.2. Kinematika hmotného bodu

1.2. Kinematika hmotného bodu 1.. Kinematika hmtnéh bdu P matematické přípravě už můžeme začít s první kapitlu, kinematiku. Tat část fyziky se zabývá ppisem phybu těles, aniž by se ptala prč k phybu dchází. Jak je ve fyzice častým

Více

SHRNUTÍ LÁTKY 7. ROČNÍKU Mgr. Iva Strolená

SHRNUTÍ LÁTKY 7. ROČNÍKU Mgr. Iva Strolená ARITMETIKA ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Jestliže něc (celek) rzdělíme na něklik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlmkem. Zlmek tři čtvrtiny (tři lmen čtyřmi) zlmek Čitatel sděluje, klik těcht částí

Více

Rekuperace rodinného domu v Přestavlkách

Rekuperace rodinného domu v Přestavlkách Rekuperace rdinnéh dmu v Přestavlkách Pjem: Rekuperace, nebli zpětné získávání tepla je děj, při němž se přiváděný vzduch d budvy předehřívá teplým dpadním vzduchem. Teplý vzduch není tedy bez užitku dveden

Více

Optika. o Izotropní světlo se šíří všemi směry stejně rychle o Anizotropní světlo se šíří různými směry různě Zdroj. o o

Optika. o Izotropní světlo se šíří všemi směry stejně rychle o Anizotropní světlo se šíří různými směry různě Zdroj. o o Optika Věda světle Rychlst světla 299 792 458 m/s (přibližně 3.10 8 ) (světl se šíří rychlstí světla ve vakuu, jinde pmalejší kvůli permitivitě a permeabilitě, třeba ve skle je t 2x pmalejší, ve vdě se

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

v mechanice Využití mikrofonu k

v mechanice Využití mikrofonu k Využití mikrfnu k měřením v mechanice Vladimír Vícha Antace Mikrfn pfipjený zvukvu kartu pčítače ve spjení s jednduchým sftware (pf. AUDACITY) může služit k pměrně pfesnému měření krátkých časů. Pčítač

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ. Č. j.: ÚOHS-S398/2010/VZ-16684/2010/520/NGl V Brně dne: 14. února 2011

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ. Č. j.: ÚOHS-S398/2010/VZ-16684/2010/520/NGl V Brně dne: 14. února 2011 *uhsx0039d6p* UOHSX0039D6P ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ Č. j.: ÚOHS-S398/2010/VZ-16684/2010/520/NGl V Brně dne: 14. únra 2011 Úřad pr chranu hspdářské sutěže příslušný pdle 112 zákna

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

Přídavky na děti v mezinárodních případech (Evropská unie, Evropský hospodářský prostor a Švýcarsko) Použití nadstátního práva

Přídavky na děti v mezinárodních případech (Evropská unie, Evropský hospodářský prostor a Švýcarsko) Použití nadstátního práva Přídavky na děti v mezinárdních případech (Evrpská unie, Evrpský hspdářský prstr a Švýcarsk) Pužití nadstátníh práva Tent prspekt Vám má pskytnut přehled zvláštnstech v mezinárdních případech. Všebecné

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

4. Model M1 syntetická geometrie

4. Model M1 syntetická geometrie 4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).

Více

Posuzování zdravotní způsobilosti k řízení motorových vozidel jako součásti výkonu práce

Posuzování zdravotní způsobilosti k řízení motorových vozidel jako součásti výkonu práce Psuzvání zdravtní způsbilsti k řízení mtrvých vzidel jak sučásti výknu práce Zdravtní způsbilst řidiče mtrvých vzidel je jednu ze základních pdmínek bezpečnsti prvzu na pzemních kmunikacích. Prt je zdravtní

Více

VÍŘIVÁ VÝUSŤ EMCO TYPU DAL 358

VÍŘIVÁ VÝUSŤ EMCO TYPU DAL 358 OBLASTI POUŽITÍ FUNKCE ZPŮSOB PROVOZOVÁNÍ DAL 8 Vířivá výusť DAL 8 Vířivá výusť DAL 8 je vysce induktivní, se čtvercvu neb kruhvu čelní masku s integrvanými štěrbinvými prfily s excentrickými válečky z

Více

Laboratorní práce č. 4: Zobrazování spojkou

Laboratorní práce č. 4: Zobrazování spojkou Přírdní vědy mderně a interaktivně FYZIKA 2. rčník šestiletéh studia Labratrní práce č. 4: Zbrazvání spjku ymnázium Přírdní vědy mderně a interaktivně FYZIKA 2. rčník šestiletéh studia ymnázium Test k

Více

Témata v MarushkaDesignu

Témata v MarushkaDesignu 0 Témata v MarushkaDesignu OBSAH 1 CÍL PŘÍKLADU...2 2 PRÁCE S PŘÍKLADEM...2 3 UKÁZKA DIALOGOVÉHO OKNA...3 4 STRUČNÝ POPIS PŘÍKLADU V MARUSHKADESIGNU...5-1 - 1 Cíl příkladu V tmt příkladu si ukážeme práci

Více

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6.1. Podobnost geometrických útvarů. Podobností ( podobným zobrazením ) nazýváme takové geometrické zobrazení, je-li každému bodu X přiřazen

Více

1.3. Požárně bezpečnostní řešení

1.3. Požárně bezpečnostní řešení 1.3. Pžárně bezpečnstní řešení Název akce : Míst : 3.ddělení MŠ přístavba budvy stávající MŠ, bří. Musálků 249, Řepiště kat.ú. Řepiště, par.č.292/2 Žadatel : Charakter akce : Obec Řepiště ul.mírvá 178

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Metodická příručka Omezování tranzitní nákladní dopravy

Metodická příručka Omezování tranzitní nákladní dopravy Metdická příručka Omezvání tranzitní nákladní dpravy K právnímu stavu ke dni 1. ledna 2016 Obsah 1 Na úvd... 2 2 Základní pjmy... 3 3 Obecně k mezvání tranzitní nákladní dpravy... 4 4 Prvedení příslušnéh

Více

Cíl kapitoly: Cílem této č{sti je naučit se při debutov{ní číst hexadecim{lní hodnoty odpovídající z{znamu celých a re{lných čísel.

Cíl kapitoly: Cílem této č{sti je naučit se při debutov{ní číst hexadecim{lní hodnoty odpovídající z{znamu celých a re{lných čísel. Zbrazení dat Část 2 zbrazení čísel Cíl kapitly: Cílem tét č{sti je naučit se při debutv{ní číst hexadecim{lní hdnty dpvídající z{znamu celých a re{lných čísel. Zápis čísel Uvědmte si, že všechna čísla

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI EVROPSKÝ FOND PRO REGIONÁLNf ROZVOJ INVESTICE DO VAŠf BUDOUCNOSTI pr Invace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Křížkvskéh 8, 771 47 OLOMOUC č.j.: 699/PJ/OVZ/2013 dne: 07. listpadu 2013 Věc : Ddatečné infrmace

Více

DeepBurner Free 1.9. Testování uživatelského rozhraní s uživateli Deliverable B1 TUR 2011. Testování uživatelských rozhraní 2011 ČVUT FEL

DeepBurner Free 1.9. Testování uživatelského rozhraní s uživateli Deliverable B1 TUR 2011. Testování uživatelských rozhraní 2011 ČVUT FEL Testvání uživatelských rzhraní 2011 DeepBurner Free 1.9 Testvání uživatelskéh rzhraní s uživateli Deliverable B1 TUR 2011 Daniel Mikeš Tmáš Pastýřík Ondřej Pánek Jiří Šebek Testvání uživatelských rzhraní

Více

Sledování provedených změn v programu SAS

Sledování provedených změn v programu SAS Sledvání prvedených změn v prgramu SAS Při práci se systémem SAS se v něklika funkcích sleduje, jaké změny byly prvedeny a kd je prvedl. Patří mezi ně evidence změn v mdulu Evidence žáků neb práce s průběžnu

Více

k elektronickému výběrovému řízení na úplatné postoupení pohledávek z titulu předčasně ukončených leasingových smluv

k elektronickému výběrovému řízení na úplatné postoupení pohledávek z titulu předčasně ukončených leasingových smluv INFORMAČNÍ MEMORANDUM č. 4/3/2009/11 k elektrnickému výběrvému řízení na úplatné pstupení phledávek z titulu předčasně uknčených leasingvých smluv Praha, 30.11.2010 Infrmační memrandum č. 4/3/2009/11 1/9

Více

Kotlík na polévku Party

Kotlík na polévku Party Ktlík na plévku Party 100.054 V3/0107-1 - CZ 1. Obecné infrmace 102 1.1 Infrmace týkající se návdu k bsluze 102 1.2 Vysvětlivky symblů 102 1.3 Zdpvědnst výrbce a záruka 102-103 1.4 Ochrana autrských práv

Více

Záznam zkušební komise Jméno a příjmení Podpis Vyhodnocení provedl INSTRUKCE

Záznam zkušební komise Jméno a příjmení Podpis Vyhodnocení provedl INSTRUKCE VYSOKÉ UČNÍ THNIKÉ V RNĚ FKULT PONIKTLSKÁ Přijímací řízení 2008 akalářské studium Obry: aňvé pradenství knmika a prcesní management Míst pr nalepení kódu Kód nalepí uchazeč Záznam zkušební kmise Jmén a

Více

5. Mechanika tuhého tlesa

5. Mechanika tuhého tlesa 5. Mechanika tuhéh tlesa Rzmry a tvar tlesa jsu ast pi ešení mechanických prblém rzhdující a pdstatn vlivují phybvé úinky sil, které na n psbí. akvá tlesa samzejm nelze nahradit hmtným bdem. Úinky sil

Více

VIS ČAK - Uživatelský manuál - OnLine semináře

VIS ČAK - Uživatelský manuál - OnLine semináře UŽIVATELSKÝ MANUÁL - ONLINE SEMINÁŘE Autr: Aquasft, spl. s r.., Vavrečka Lukáš Prjekt: VIS ČAK Pslední aktualizace: 11.12.2009 Jmén subru: UživatelskýManuál_OnLine_Semináře_0v2.dcx Pčet stran: 12 OBSAH

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Stanovisko Rekonstrukce státu ke komplexnímu pozměňovacímu návrhu novely služebního zákona

Stanovisko Rekonstrukce státu ke komplexnímu pozměňovacímu návrhu novely služebního zákona Stanvisk Reknstrukce státu ke kmplexnímu pzměňvacímu návrhu nvely služebníh zákna Pslední předlžená verze zákna (verze k 27. 8. 2014) splňuje puze 13 z 38 bdů Reknstrukce státu, z th 7 jen částečně. Z

Více

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE *UOHSX004YPRY* UOHSX004YPRY ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ Č. j.: ÚOHS-S338/2012/VZ-13234/2013/512/JHl Brn 15. července 2013 Úřad pr chranu hspdářské sutěže příslušný pdle 112 dst. 1 zákna

Více

RAILTRAC 1000 UNIKÁTNÍ, FLEXIBILNÍ A VÍCEÚČELOVÝ SYSTÉM PRO SVAŘOVÁNÍ A ŘEZÁNÍ

RAILTRAC 1000 UNIKÁTNÍ, FLEXIBILNÍ A VÍCEÚČELOVÝ SYSTÉM PRO SVAŘOVÁNÍ A ŘEZÁNÍ RAILTRAC 1000 UNIKÁTNÍ, FLEIBILNÍ A VÍCEÚČELOVÝ SYSTÉM PRO SVAŘOVÁNÍ A ŘEZÁNÍ 1 Flexibilní dpvěď na tvrdé pžadavky je systém kmpnent, který může být knfigurván, tak aby vytvřil ptimální řešení pr Vaše

Více

Postup práce a) Připravte si 50 ml roztoku NaOH o koncentraci 1 mol.dm-3 a) Určení měrné a molární otáčivosti sacharózy ve vodném roztoku

Postup práce a) Připravte si 50 ml roztoku NaOH o koncentraci 1 mol.dm-3 a) Určení měrné a molární otáčivosti sacharózy ve vodném roztoku 1 ÚLOHA 7: Plarimetrická analýza sacharidů Příprava Prstudujte základy plarimetrie - neplarizvané a plarizvané světl, plarizace světla lmem a drazem, ptická aktivita látek a jejich interakce s plarizvaným

Více

Předmět matematika je úzce spjat s ostatními předměty viz. mezipředmětové vztahy.

Předmět matematika je úzce spjat s ostatními předměty viz. mezipředmětové vztahy. MATEMATIKA Charakteristika vyučvacíh předmětu Matematika se vyučuje ve všech rčnících. Hdinvá dtace je 4 4 4 4. V každém rčníku jsu žáci na jednu hdinu týdně rzděleni d dvu skupin, hdina je pak věnvána

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

PEXESO UŽIVATELSKÝ MANUÁL

PEXESO UŽIVATELSKÝ MANUÁL PEXESO UŽIVATELSKÝ MANUÁL Obsah 1. ÚVOD DO HRY 3 1.1. Histrie hry 3 1.2. Pravidla hry 3 1.3. Pčítačvá verze hry 3 2. INSTALACE HRY 4 2.1. Instalace z disku CD-ROM 4 2.2. Instalace hry stažené z internetu

Více

METODIKA ZPŮSOBILÝCH VÝDAJŮ OPERAČNÍHO PROGRAMU LIDSKÉ ZDROJE A ZAMĚSTNANOST

METODIKA ZPŮSOBILÝCH VÝDAJŮ OPERAČNÍHO PROGRAMU LIDSKÉ ZDROJE A ZAMĚSTNANOST METODIKA ZPŮSOBILÝCH VÝDAJŮ OPERAČNÍHO PROGRAMU LIDSKÉ ZDROJE A ZAMĚSTNANOST PODPORUJEME VAŠI BUDOUCNOST www.esfcr.cz Identifikační čísl: MAD 95 Přílha OM OP LZZ: D5 Čísl revize: 11 Čísl vydání: 2.0 Stránka:

Více

METODIKA ZPŮSOBILÝCH VÝDAJŮ OPERAČNÍHO PROGRAMU LIDSKÉ ZDROJE A ZAMĚSTNANOST

METODIKA ZPŮSOBILÝCH VÝDAJŮ OPERAČNÍHO PROGRAMU LIDSKÉ ZDROJE A ZAMĚSTNANOST METODIKA ZPŮSOBILÝCH VÝDAJŮ OPERAČNÍHO PROGRAMU LIDSKÉ ZDROJE A ZAMĚSTNANOST PODPORUJEME VAŠI BUDOUCNOST www.esfcr.cz Identifikační čísl: MAD 95 Přílha OM OP LZZ: D5 Čísl revize: 12 Čísl vydání: 2.1 Stránka:

Více

18. Shodnost a podobnost trojúhelníků Vypracovala: Ing. Všetulová Ludmila, prosinec 2013

18. Shodnost a podobnost trojúhelníků Vypracovala: Ing. Všetulová Ludmila, prosinec 2013 18. Shodnost a podobnost trojúhelníků Vypracovala: Ing. Všetulová Ludmila, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost,

Více

Vnitřní předpis města Náchoda pro zadávání veřejných zakázek malého rozsahu (mimo režim zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách)

Vnitřní předpis města Náchoda pro zadávání veřejných zakázek malého rozsahu (mimo režim zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách) platná d 1.1.2016 Vnitřní předpis města Náchda pr zadávání veřejných zakázek maléh rzsahu (mim režim zákna č. 137/2006 Sb., veřejných zakázkách) Zadavatel je pvinen ddržvat zásady transparentnsti, rvnéh

Více

DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI 1 HODINA

DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI 1 HODINA DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI HODINA Podívej se na následující obrázek: Na obrázku je rovnobžník s vyznaeným pravým úhlem. Odpovídej na otázky:? Jaká je velikost vnitního úhlu pi vrcholu C? Je rovna

Více

Shodná zobrazení Zobrazení Z v rovin shodné zobrazení nep ímou shodnost shodnost p ímou

Shodná zobrazení Zobrazení Z v rovin shodné zobrazení nep ímou shodnost shodnost p ímou Shodná zobrazení Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz; zapisujeme Z: X X. Zobrazení v rovině je shodné

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ *UOHSX0037IM8* UOHSX0037IM8 ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ Č.j.:ÚOHS-S308/2010/VZ-14964/2010/510/OK V Brně dne: 26.11.2010 Úřad pr chranu hspdářské sutěže příslušný pdle 112 zákna č. 137/2006

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ. Č. j.: ÚOHS-S340/2010/VZ-13419/2010/510/OKo V Brně dne: 4.11.2010

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ. Č. j.: ÚOHS-S340/2010/VZ-13419/2010/510/OKo V Brně dne: 4.11.2010 *uhsx002xtbp* UOHSX002XTBP ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ Č. j.: ÚOHS-S340/2010/VZ-13419/2010/510/OK V Brně dne: 4.11.2010 Úřad pr chranu hspdářské sutěže příslušný pdle 112 zákna č. 137/2006

Více

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE *UOHSX003WQC1* UOHSX003WQC1 ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ Č. j.: ÚOHS-S523/2011/VZ-19003/2011/520/ABr V Brně dne: 30. března 2012 Rzhdnutí nabyl právní mci dne 28.4.2012 Úřad pr chranu

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE PŘÍKAZ. Č. j.: ÚOHS-S0096/2016/VZ-06824/2016/522/PKř Brno: 22. února 2016

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE PŘÍKAZ. Č. j.: ÚOHS-S0096/2016/VZ-06824/2016/522/PKř Brno: 22. února 2016 *UOHSX0084T2L* UOHSX0084T2L ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE PŘÍKAZ Č. j.: ÚOHS-S0096/2016/VZ-06824/2016/522/PKř Brn: 22. únra 2016 Úřad pr chranu hspdářské sutěže příslušný pdle 112 zákna č. 137/2006

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0527

CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

V. NEŽÁDOUCÍ REAKCE U pacientů s citlivostí na latex se můžete setkat s alergickou reakcí na gutaperču, která obsahuje sušený přírodní kaučuk.

V. NEŽÁDOUCÍ REAKCE U pacientů s citlivostí na latex se můžete setkat s alergickou reakcí na gutaperču, která obsahuje sušený přírodní kaučuk. GuttaCre POPIS PRODUKTU GuttaCre bturátry se pužívají pr plnění křenvých kanálků. I. INDIKACE Tyt prdukty je mžn pužít puze v klinickém neb dentálním zařízení, kvalifikvaným stmatlgem. Aplikační ple: GuttaCre

Více

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ *UOHSX0068T4T* UOHSX0068T4T ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ Č. j.: ÚOHS-S539/2014/VZ-16583/2014/532/IBu Brn 7. srpna 2014 Úřad pr chranu hspdářské sutěže příslušný pdle 112 zákna č. 137/2006

Více

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v

Více

02-05.2 10.05.CZ. Regulační ventily G41...aG46... -1-

02-05.2 10.05.CZ. Regulační ventily G41...aG46... -1- 0-05. 0.05.CZ Regulační ventily G4...aG46... -- Výpčet sučinitele Kv Praktický výpčet se prvádí s přihlédnutím ke stavu regulačníh kruhu a pracvních pdmínek látky pdle vzrců níže uvedených. Regulační ventil

Více

O B V O D A O B S A H L I C H O B Ž N Í K U 2 HODINY

O B V O D A O B S A H L I C H O B Ž N Í K U 2 HODINY O B V O D A O B A H L I C H O B Ž N Í K U HODINY 1 Obd lichbžníku:? Zpkuj si nejpre, jk uríš bd trjúhelníku tyúhelníku?? Dkážeš spítt bd liblnéh mnhúhelníku? Pkud Ti pedchzí tázky nedlly prblémy, nebude

Více

SMART Notebook Math Tools 11

SMART Notebook Math Tools 11 SMART Ntebk Math Tls 11 Operační systémy Windws Uživatelská příručka Upzrnění chranných známkách SMART Bard, SMART Ntebk, smarttech, l SMART a všechna značení SMART jsu chranné známky neb reistrvané chranné

Více

PŘÍPRAVA, ORGANIZACE A REALIZACE PROJEKTU

PŘÍPRAVA, ORGANIZACE A REALIZACE PROJEKTU PŘÍPRAVA, ORGANIZACE A REALIZACE PROJEKTU Příprava a realizace barevných dnů je rzdělena d všech tříd v MŠ. Každá třída připravuje jeden barevný den. Děti se střídají v jedntlivých třídách a každý den

Více

VŠB Technická univerzita, Fakulta ekonomická. Katedra regionální a environmentální ekonomiky REGIONÁLNÍ ANALÝZA A PROGRAMOVÁNÍ.

VŠB Technická univerzita, Fakulta ekonomická. Katedra regionální a environmentální ekonomiky REGIONÁLNÍ ANALÝZA A PROGRAMOVÁNÍ. VŠB Technická univerzita, Fakulta eknmická Katedra reginální a envirnmentální eknmiky REGIONÁLNÍ ANALÝZA A PROGRAMOVÁNÍ (Studijní texty) Reginální analýzy Dc. Ing. Alis Kutscherauer, CSc. Ostrava 2007

Více

ZADÁVACÍ DOKUMENTACE

ZADÁVACÍ DOKUMENTACE ZADÁVACÍ DOKUMENTACE Výzkum a vývj zařízení pr detekci pvrchvých vad zakázka na služby zadávaná dle Pravidel pr výběr ddavatelů v rámci Operačníh prgramu Pdnikání a invace pr knkurenceschpnst Zadavatel

Více

Určení počátku šikmého pole řetězovky

Určení počátku šikmého pole řetězovky 2. Šikmé pole Určení počátku šikmého pole řetězovky d h A ϕ y A y x A x a Obr. 2.1. Souřadnie počátku šikmého pole Jestliže heme určit řetězovku, která je zavěšená v bodeh A a a je daná parametrem, je

Více

Technická specifikace předmětu plnění. VR Organizace dotazníkového šetření mobility obyvatel města Bratislavy

Technická specifikace předmětu plnění. VR Organizace dotazníkového šetření mobility obyvatel města Bratislavy Technická specifikace předmětu plnění VR Organizace dtazníkvéh šetření mbility byvatel města Bratislavy Zadavatel: Centrum dpravníh výzkumu, v. v. i. dále jen zadavatel 1 PŘEDMĚT VEŘEJNÉ ZAKÁZKY Předmětem

Více

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

01-02.5 09.04.CZ. Regulační ventily Regulační ventily s omezovačem průtoku BEE line -1-

01-02.5 09.04.CZ. Regulační ventily Regulační ventily s omezovačem průtoku BEE line -1- 0-02.5 09.04.CZ Regulační ventily Regulační ventily s mezvačem průtku BEE line A.P.O. - ELMOS v..s., Pražská 90, 509 0 Nvá Paka, Tel.: +420 49 504 26, Fax: +420 49 504 257, E-mail: ap@apelms.cz, Internet:

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

V jádru krásná koupelna Stavební veletrh BVV Brno 17. 21.4.2007 PAVILON D, stánek č. 41 A

V jádru krásná koupelna Stavební veletrh BVV Brno 17. 21.4.2007 PAVILON D, stánek č. 41 A V jádru krásná kupelna Stavební veletrh BVV Brn 17. 21.4.2007 PAVILON D, stánek č. 41 A V rámci expzice Vám přestavíme : Mderní kmpaktní materiály Technistne a SlidStne, jejich využití v interieru. - reknstrukce

Více

Metodický návod na pořádání soutěží OBEDIENCE CZ.

Metodický návod na pořádání soutěží OBEDIENCE CZ. Úvd Metdický návd na přádání sutěží OBEDIENCE CZ. Veškerá sprtvní činnst musí být prváděna v suladu s platnými předpisy : Zkušebním řádem Obedience v ČR Sutěžním řádem Obedience v ČR Pravidly psuzvání

Více

Úplná pravidla soutěže Windows W8.1 Zóna komfortního nákupu

Úplná pravidla soutěže Windows W8.1 Zóna komfortního nákupu Úplná pravidla sutěže Windws W8.1 Zóna kmfrtníh nákupu Účelem tht dkumentu je úplná a jasná úprava pravidel sutěže Windws W8.1 Zóna kmfrtníh nákupu (dále jen sutěž ). Tat pravidla jsu jediným dkumentem,

Více

OBVODY A OBSAHY GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ!Text je pracovní obrázky je potřeba spravit a doplnit!!!

OBVODY A OBSAHY GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ!Text je pracovní obrázky je potřeba spravit a doplnit!!! ZS1MP_PDM2 Didaktika matematiky 2 Katedra matematiky PedF MU v Brně Růžena Blažková, Milena Vaňurová OBVODY A OBSAHY GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ!Text je pracovní obrázky je potřeba spravit a doplnit!!! Text vychází

Více

Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Rotace Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 3. (1. ročník vyššího gymnázia) Tématický

Více

Změny detekované monitorem služeb na OPM 1. Konec SZ Vybere ta OPM, která v intervalu :

Změny detekované monitorem služeb na OPM 1. Konec SZ Vybere ta OPM, která v intervalu <aktuální den, D>: Redesign mnitru služeb 16. 9. 2014 V CS OTE služí pr mnitrvání a detekvání významných změn ve službách na OPM tzv. mnitrvací nástrj služeb na OPM. Na jaře 2014 připravujeme v prduktivním CS OTE prvést

Více

Základní škola Valašské Meziříčí, Vyhlídka 380, okres Vsetín, příspěvková organizace

Základní škola Valašské Meziříčí, Vyhlídka 380, okres Vsetín, příspěvková organizace Základní škla Valašské Meziříčí, Vyhlídka 380, kres Vsetín, příspěvkvá rganizace Zpráva z testvání 7.rčníků ZŠ v rámci prjektu Rzvj a pdpra kvality ve vzdělávání Termín testvání : 18.2.-20.2.2015 Pčet

Více

MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí

MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí Úhel a jeho velikost: MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí 26A Převeď na stupně a minuty: 126 = 251 = 87 = 180 = 26B Převeď na stupně a minuty: 92 = 300 = 146 = 248 = 27A Převeď na minuty: 3 0 = 1 0 25 =

Více

Kapitola 3 VÝDAJE A ROVNOVÁŽNÝ PRODUKT (MODEL 45 tzn. MODEL DŮCHOD VÝDAJE)

Kapitola 3 VÝDAJE A ROVNOVÁŽNÝ PRODUKT (MODEL 45 tzn. MODEL DŮCHOD VÝDAJE) www.thunva.cz Kapitla 3 VÝDAJE A ROVNOVÁŽNÝ RODUKT (MODEL 45 tzn. MODEL DŮCHOD VÝDAJE) Mdel 45 (mdel s multiplikátrem): prvnává skutečně vytvřený prdukt (HD) a plánvané výdaje, které zamýšlejí ek. subjekty

Více

Metodická pomůcka. Využívání záruk ČMZRB k zajišťování bankovních úvěrů

Metodická pomůcka. Využívání záruk ČMZRB k zajišťování bankovních úvěrů Metdická pmůcka Využívání záruk ČMZRB k zajišťvání bankvních úvěrů Cílem pmůcky je minimalizvat pdíl případů, kdy je nutn zamítnut žádst pskytnutí záruky z důvdu nesuladu s klíčvými pdmínkami prgramu pdpry.

Více

Polibky kružnic: Intermezzo

Polibky kružnic: Intermezzo Polibky kružnic: Intermezzo PAVEL LEISCHNER Pedagogická fakulta JU, České Budějovice Věta 21 z Archimedovy Knihy o dotycích kruhů zmíněná v předchozím dílu seriálu byla inspirací k tomuto původně neplánovanému

Více

BIO OCHLAZOVAČE www.masterheaters.cz

BIO OCHLAZOVAČE www.masterheaters.cz CENÍK 2016/2017 TOPIDLA ODVLHČOVAČE VENTILÁTORY BIO OCHLAZOVAČE www.masterheaters.cz TOPIDL A B1.8ECA B2PTC B5ECA ELEKTRICKÁ TOPIDLA S VENTILÁTOREM PRO DOMÁCÍ POUŽITÍ Tat elektrická tpidla nabízí výhdný

Více

Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r.

Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r. 7. Kruh, kružnice, válec 7. ročník - 7. Kruh, kružnice, válec 7.1 Kruh, kružnice 7.1.1. Základní pojmy Kružnice je množina bodů mající od daného bodu stejnou vzdálenost. Daný bod označujeme jako střed

Více

Tento projekt je spolufinancován. a státním rozpočtem

Tento projekt je spolufinancován. a státním rozpočtem Tent prjekt je splufinancván Evrpským sciálním fndem a státním rzpčtem Z a d á v a c í d k u m e n t a c e Odbrná publikace Management kulturníh cestvníh ruchu a návazné šklení pr prjekt OP RLZ - MMR Odbrná

Více