Zobrazení goniometrických funkcí na jednotkové kružnici, významné hodnoty goniometrických funkcí. Řešení goniometrických rovnic.

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Zobrazení goniometrických funkcí na jednotkové kružnici, významné hodnoty goniometrických funkcí. Řešení goniometrických rovnic."

Pavla Dostálová
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 Zbrzení gnimetrikýh funkí n jedntkvé kružnii, význmné hdnt gnimetrikýh funkí. Řešení gnimetrikýh rvni. V prvúhlém trjúhelníku ABC jsu definván funke sin, s, tg, tg libvlnéh úhlu tkt: sin prtilehlá dvěsn ku přepně s b přilehlá dvěsn ku přepně B tg b prtilehlá dvěsn ku přilehlé dvěsně t g b. C přilehlá dvěsn ku prtilehlé dvěsně b A Je dán rvnstrnný trjúhelník ABC. V tmt trjúhelníku sestrjíme výšku v. Tt výšk půlí trjúhelník n dv prvúhlé trjúhelník, ve kterýh se vsktují úhl veliksti Z tht brázku můžeme dvdit hdnt gnimetrikýh funkí těht úhlů. Nejprve určíme Pthgrvu větu v : v ( ) A 60 C 0 B sin 0 s0 tg0 t g0 tg0 sin 60 s60 tg60 t g60

2 K dvzení hdnt gnimetrikýh funkí úhlu 45 pužijeme rvnrmenný prvúhlý trjúhelník ABC: B Nejprve určíme Pthgrvu větu : + sin 45 s 45 tg45 t g45 C. 45 Z dvzenýh hdnt sestvíme tbulku dplníme ji i úhl sin 0 s A 0 tg 0 nedef. tg nedef. 0 N jedntkvé kružnii můžeme jedntlivé gnimetriké funke zbrzit tkt: t tg sin tg - s - t Zde je vidět npř., že sin 0 0, s 0, tg 0 0, tg 0 není definván, dále sin 90, s 90 0, tg 90 není definván, tg 90 0

3 Pkud heme určvt hdnt gnimetrikýh funkí úhlů většíh než 90, musíme vžd nejprve určit, v kterém kvdrntu leží knvé rmen úhlu ptm pstupvt individuálně v kždém kvdrntu. Úhl druhéh kvdrntu: ( ) Při určení hdnt gn. funkí musíme vjít z brázku ( 80 - ) t tg sin sin ( 80 - ) s - s ( 80 - ) - s sin tg tg - tg ( 80 - ) tg - tg ( 80 - ) - t Příkld: sin 50 sin ( 80-0 ) sin 0 0,5 s 5 s ( ) - s 45 - tg 0 tg ( ) - tg 60 tg 50 tg ( 80-0 ) - tg 0 Úhl třetíh kvdrntu: ( ) Při určení hdnt gn. funkí musíme vjít z brázku ( 80 + ) t tg sin - sin ( 80 + ) - s sin tg s - s ( 80 + ) tg tg ( 80 + ) tg tg ( 80 + ) - t

4 Příkld: sin 5 sin ( ) - sin 45 s 0 s ( ) - s 0 tg 40 tg ( ) tg 60 tg 5 tg ( ) tg 45 Úhl čtvrtéh kvdrntu: ( ) Při určení hdnt gn. funkí musíme vjít z brázku ( 60 - ) t tg sin - sin ( 60 - ) s s ( 60 - ) s tg - tg ( 60 - ) - sin tg - tg ( 60 - ) tg - t Příkld: sin 0 sin ( 60-0 ) - sin 0-0,5 s 5 s ( ) s 45 tg 00 tg ( ) - tg 60 tg 5 tg ( ) - tg 45 - Z výše uvedenýh dvzení lze dále udělt něklik závěrů: perid funkí sin s je 60 perid funkí tg tg je 80 lze přesně určit znménk gnimetrikýh funkí v jedntlivýh kvdrnteh 4

5 I II III IV sin s tg tg Se znlstí určvání hdnt gnimetrikýh funkí v těht čtřeh kvdrnteh vstčíme již pr všehn hdnt úhlů. Stčí puze dečíst peridu, umístit úhel d příslušnéh kvdrntu vpčítt jeh hdntu. Příkld: sin 50 sin 50 sin ( 80-0 ) sin 0 0,5 s 855 s 5 s ( ) - s 45 Příkld: Hdnt úhlu může být zdán v rdiáneh, pk puze převedeme n stupně vpčteme hdntu pdle známéh pstupu. 5 sin sin 00 sin(60 60 ) sin 60 Příkld: Hdnt úhlu může být zdán v rdiáneh je větší než perid dné funke. Pk je výhdnější u funkí sin s dečíst násbk perid ptm teprve převést n stupně, u funkí tg tg dečítáme násbk perid. 6 4 sin sin(5 ) sin(5 + ) sin( + ) sin sin 40 sin( ) sin 60 Gnimetriké rvnie Jsu t rvnie, kde se neznámá vsktuje v rgumentu gnimetriké funke.. Zákldní gnimetriká rvnie: ) tp: f() Příkld: sin Příkld: tg k. 80 Obeně: 0 + k k.60 Pr funke tg tg stčí njít puze jedn řešení, dlší získáváme přičtením k - násbku perid 80. Pr funke sin s musíme hledt řešení dvě, perid je 60. 5

6 Příkld: sin sin 45 Funke sin je záprná v III. ve IV. kvdrntu: 5 + k k.60 b) tp: f( + đ) Příkld: sin ( + 0 ) Zvedeme substitui: + 0 sin Příkld: 45 + k k. 60 sin substitue 5 + k k sin k je libvlné elé čísl, znménk můžeme znedbt 60 + k. 60 k + k k k k k k k ) tp: f(n. + đ) Příkld: s ( 60 ) Zvedeme substitui 60 > 60 + s 45 + k k k k k 5 + k k k 6

7 ) Slžitější gnimetriké rvnie: ) Obshujíí jen gnimetriku funki Příkld: s + 7 s + 0 řešíme substituí : s ±, D s - s - 0,5 není definván 0 + k k.60 b)gnimetriké rvnie bshujíí víe gnimetrikýh funkí se musí zjedndušit pmí vzthů mezi gnimetrikými funkemi tk, b bshvl jen jednu funki. Příkld: sin - s - 4 sin + 0 nhrdíme s - sin sin - + sin - 4 sin + 0 sin - 4 sin + 0 substitue: sin D 4 sin sin 90 + k k k. 60 Příkld: sin + s + 0 nhrdíme sin - s - s + s + 0 s - s - 0 substitue: s 0 ( ) ( + ) 0 - s k.60 )Gnimetriké rvnie řešené pmí vzrů Příkld: sin sin - sin sin + sin sin 7

8 Řešíme pmí vzre Cvičení: sin + sin +.sin.s +.sin.s sin s 4.sin.s sin s sin.s sin s / : s s k.80 sin sin sin s sin / : sin sin k.80 k.80 s s 60 + k k.60 Řešte gnimetriku rvnii:.) sin [ {0 + k. 60 ; 0 + k. 60 }].) sin [ {45 + k. 60 ; 5 + k. 60 }].) tg [ {0 + k. 80 }] 4.) sin [{45 +k.60 ;5 + k.60 ;5 + k.60 ;5 + k.60 }] 5.) s 4 [ {45 + k. 60 }] 7 6.) sin + k ; + k 6 7.) sin sin [{ k ; + k ; + k }] ) t g t g + k ; + k 4 9.) sin s + sin 0 [{0 +k.60 ;50 + k.60 ;70 + k.60 }] 0.) tg t g [{56 9 +k.80 ;5 + k.80 }].) tg + 4 tg k ; + k 6.) t g t g 0 + k ; + k 6.) s 0 k ; + k ; + k 4.) t g 0 + k ; + k sin 6 5.) tg + + tg + k ; k Z 8

9 5 6.) s 7 s k ; + k 7.) 4tg 0 + k ; + k s ) + s 5sin ; ) tg + 4sin 0 ; ; ; ) sin s [{ 45 + k. 80 }].) sin sin 0 k ; + k.) s sin + k.) tg + t g 40 ; 56 0 ; 40 ; k ) tg tg 45 + k ) sin + sin k. 60 ; k ) sin + sin sin k ; + k ; + k 7.) sin + sin + sin + sin k ; + (k + ) ) sin + s tg k ; + k ; + k 8 8 9

Podobné dokumenty

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >