M 1125 ZÁKLADY MATEMATIKY CVIČENÍ. Podzimní semestr 2010

Transkript

1 0 M 5 ZÁKLADY MATEMATIKY CVIČENÍ Podzimí semestr 00.

2 (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b ÚVOD. Ve cvičeí k předmětu M 5 Základy matematiky se používá učebí text: Pavel Horák, Cvičeí z algebry a teoretické aritmetiky I., vydaý přírodovědeckou fakultou Masarykovy uiverzity. Teto učebí text je běžě dostupý a je možo jej zakoupit a přírodovědecké fakultě MU. Zmíěý učebí text byl původě urče pro dvousemetrálí základí předášku v učitelském studium s matematikou a přírodovědecké a pedagogické fakultě MU. Pro současé cvičeí v předmětu M 5 Základy matematiky se používá zhruba prví polovia tohoto učebího textu. Vzhledem k tomu, že v ěm ejsou zahruta ěkterá témata, která yí do předmětu Základy matematiky patří, vzikla potřeba původí učebí text doplit. Na ásledujících ěkolika strákách je původí učebí text doplě o dva paragrafy části II. Cvičeí, a sice jede paragraf kapitoly., azvaé Opakováí a doplěí středoškolské látky a jede paragraf kapitoly., azvaé Základí algebraické struktury. Odpovídajícím způsobem je potomdoplěaičástiii.výsledkyaávodykřešeí. Rozměrověi graficky je teto doplňující text stejý se skripty Cvičeí z algebry a teoretické aritmetiky I. Je tedy možé si jej apříklad vytiskout a do uvedeých skript vložit. Ve cvičeí ze Základů matematiky se ejprve opakuje a mírě rozšiřuje středoškolská látka z matematiky. Při tom se předpokládá zalost pouze těch ejzákladějších středoškolských matematických pojmů, vztahů a vzorců. Na ásledující straě jsou přehledě uvedey ěkteré z ich. Tyto vztahy a vzorce(a samozřejmě i ěkteré další) jetřebaejeombezpečězátazpaměť,aletakéjeutéjeuměti aktivě používat, a to jak zleva doprava, tak i zprava doleva. (a + b) = a + a b + ab + b (a b) = a a b + ab b (a + b) = a + ( ) a b + ( ) a b ( ) ab + b (a b) = a ( ) a b ( ) ( ) ab + ( ) b a b = (a b) (a + b) a b = (a b) (a + ab + b ) a b = (a b) (a + a b + + ab + b ) ( k) = ( )... ( k+) k! =! k! ( k)! Součet s prvích čleůaritmeticképoslouposti (a, a, a,... ) si( α) = siα s = (a + a ) cos( α) = cosα si α = cos( α) cosα = si( α) si α = siα cosα α 0 6 si α 0 cosα tg α 0 si α + cos α = cosα = cos α si α si(α + β) = siα cosβ + cosα siβ si(α β) = siα cosβ cosα siβ cos(α + β) = cosα cosβ si α si β cos(α β) = cosα cosβ + si α si β eí eí def. 0 def.

3 4 II. Cvičeí Kap. : Opakováí a doplěí středoškolské látky II. CVIČENÍ DODATEK KE KAPITOLE 8:KOMPLEXNÍČÍSLA [.8.B]. Vypočítejte a výsledek apište v algebraickém tvaru: ( ) ( ) + i 5 + i + i i a) i + b). + i i + i [.8.B]. Popište a zázorěte áčrtkem možiu všech komplexích čísel z,prokteráplatí: a) z + i < b) z = iz c) z i = z + d) z = 4 z. [.8.B]. V oboru komplexích čísel řešte rovici: a) z z = + i b) z = z + z. [.8.B4]. V závislosti a parametru p R popište možiu všech komplexích čísel z, splňujících rovici z z + = p. [.8.B5]. Napište v goiometrickém tvaru komplexí číslo z, je-li: a) z = i b) z = i c) z = siα + i cosα cosα + i si α d) z = cosβ + i si β. [.8.B6]. Užitím Moivreovy věty spočtěte komplexí číslo z a výsledek apište v algebraickém tvaru. Při tom: ( ) i ( a) z = b) z = + cos + i si ) 6 8:Komplexíčís 5 [.8.B7]. Nalezěte všecha přirozeá čísla, pro která platí: ( + i) = ( i). [.8.B8]. Užitím Moivreovy věty a biomické věty odvoďte vzorce pro: a) siα, cosα b) si α, cosα. [.8.B9]. V oboru komplexích čísel alezěte všechy té odmociy z komplexího čísla c a výsledky vyjádřete v algebraickém tvaru. Přitom: a) = 6 ; c = b) = 4 ; c = + i. [.8.B0]. V oboru komplexích čísel řešte biomickou rovici a všecha její řešeí apište v algebraickém tvaru. a) z + 5 = 0 b) z = 0. [.8.B]. V oboru komplexích čísel alezěte všechy té odmociy z komplexího čísla c a výsledky vyjádřete v goiometrickém tvaru. Přitom: a) = 5; c = ( i ) 8 i ( + i ) 6 ( + i ) b) = 8; c = ( i )6 ( + i ) (si α + i cosα) c) = 6; c = ( + i ) 4 ( + i ) i d) = ; c = ( + i ) 6 (cos α + i si α ) 5 ( + i ) 4 (cosα i si α ). [.8.B]. Napište v algebraickém tvaru a akreslete všechy té odmociyzjedé,pro: a) = b) = 4 c) = 6 d) = 8. Návod:přib)převeďteapolovičíúhly.

4 6 II. Cvičeí Kap. : Základí algebraické struktury DODATEK KE KAPITOLE. 5: HOMOMORFIZMY ALGEBRAICKÝCH STRUKTUR [.5.A]. U.p.zobrazeí ϕ : N Q,které a) jehomomorfizmemgrupoidu (N, + )dogrupoidu (Q, ) b) eíhomomorfizmemgrupoidu (N, + )dogrupoidu (Q, ). [.5.A]. Jsoudáygrupy (Z, + )a( Z, + ). U.p.dvourůzých zobrazeí ϕ, ψ : Z Z,kterájsougrupovýmihomomorfizmy. [.5.A]. U.p.zobrazeí ϕ : Z Q,které a) jehomomorfizmemokruhu (Z,+, )dookruhu (Q, +, ) b) eíhomomorfizmemokruhu (Z,+, )dookruhu (Q, +, ). [.5.A4]. Jedáagupa (Z, + ).U.p.zobrazeí ϕ : Z Z,které a) je bijektiví, ale eí homomorfizmem b) je vořeím, ale eí izomorfizmem. [.5.A5]. Jedáotěleso (R, +, ).U.p.zobrazeí ϕ : R R,které a) je bijektiví, ale eí homomorfizmem b) je homomorfizmem, ale eí bijektiví. [.5.A6]. Rozhoděte, zda ásledující grupoidy jsou izomorfí: a) (N, + ) a (N, ) b) (Z 6, + ) a (Z 6, ). [.5.A7]. Rozhoděte, zda ásledující grupy jsou izomorfí: a) (Z, + ) a (R, + ) b) (Z, + ) a (S, + ) kde S začí možiu všech sudých celých čísel. [.5.A8]. Rozhoděte, zda ásledující okruhy jsou izomorfí: a) (Z,+, ) a (Q, +, ) b) (Q, +, ) a (R, +, ). [.5.A9]. Jedáagrupa (Z, + ).U.p.homomorfizmu ϕ : Z Ztak, žekerϕ = {, 0, }. [.5.A0]. U. p. podmíky, která a)jeutá,aleeídostatečá b)jedostatečá,aleeíutá proto,abyzobrazeí ϕgrupy (G, )dogrupy (H, )bylohomomorfizmem. 5: Homomorfizmy algebraických struktur 7 [.5.B]. Rozhoděte, zda zobrazeí ϕ : Z Z je homomorfizmus, resp.vořeí,resp.izomorfizmusgrupy (Z, + ),je liprokaždé x Z: a) ϕ(x) = x b) ϕ(x) = x + c) ϕ(x) = x [.5.B]. Jsou dáy grupy (Z, + ), (C {0}, ) a je defiováo zobrazeí ϕ : Z C {0}, takto: ϕ(a) = i a, prokaždé a Z. Dokažte,že ϕ jehomomorfizmusaalezětejehojádroaobraz. [.5.B]. Zobrazeí ϕ : C {0} R + jedefiováotakto: ϕ(z) = z, prokaždé z C {0}. Dokažte,že ϕjehomomorfizmusgrupy (C {0}, )dogrupy (R +, ) a alezěte jeho jádro a obraz. [.5.B4]. Nechť p N je pevé přirozeé číslo. Defiujeme zobrazeí ϕ : Z Z m takto:prokaždé a Zje ϕ(a) = C r kde r jezbytekpoděleíčísla p a číslem m. Pak.dokažte,že ϕjehomomorfizmusgrupy (Z, + )dogrupy (Z m, + ).alezětejádrokerϕproásledujícíhodoty map: a) m = 6, p = 5 b) m = 6, p = 4 c) m = 6, p = d)proobecéhodoty map. [.5.B5]. Jsoudáygrupyzbytkovýchtříd (Z, + ), (Z 4, + ) aje defiováozobrazeí ϕ : Z Z 4, takto:prokaždé C i Z je ϕ(c i ) = C r, kde rjezbytekpoděleíčísla ičíslem4. Dokažte,že ϕ jehomomorfizmusaalezětejehojádroaobraz. [.5.B6]. Dokažte,žegrupy (R, + ) a (R +, ) jsouizomorfí,ale grupy (Q, + )a(q +, ) ejsouizomorfí. [.5.B7]. Dokažte, že daé dvě grupy ejsou izomorfí a) (Z 6, + )a(s, ), kde S začímožiuvšechpermutacía prvkovémožiěa začí skládáí permutací(tj. skládáí zobrazeí) b) (Z 4 Z, ) a (Z Z Z, ), kde začí sčítáí po složkách podle příslušého modulu.

5 8 II. Cvičeí Kap. : Základí algebraické struktury [.5.B8]. Rozhoděte, zda zobrazeí ϕ : C C je okruhovým homomorfizmemtělesa (C, +, )apokudao,pakalezětejehojádro aobraz.přitomprokaždé x C je: a) ϕ(x) = x, b) ϕ(x) = i x, c) ϕ(x) = x. [.5.B9]. Jsoudáačíselátělesa (Q( ), +, ) a (Q( ), +, ), kde Q( ) = {a + b a, b Q }, Q( ) = {a + b a, b Q }. Dálejedefiováozobrazeí ϕ : Q( ) Q( ) takto: ϕ(a + b ) = a + b, prokaždé a + b Q( ). Dokažte, že ϕ je bijektivím zobrazeím, ale eí okruhovým homomorfizmem. [.5.B.0]. Dokažte,žečíselátělesa (Q( ), +, )a(q( ), +, ) ejsou izomorfí. Návod: postupujtesporem;využijtetoho,že = + adále toho,žepřiizomorfizmusevždyzobrazía. III. Výsledky a ávody k řešeí 9 III. VÝSLEDKY A NÁVODY K ŘEŠENÍ DODATEK KE KAPITOLE 8:KOMPLEXNÍČÍSLA [.8.B].a) i b) i. [.8.B].a)vitřekkruhuostředu S = [, ]apoloměru r = b)přímkaorovici y = x c)osaúsečky A = [, 0 ] B = [ 0, ],tj.přímka y = x d)kružiceostředu S = [ 0, 0 ]apoloměru r =. [.8.B].a) z = i b) z = 0 ebo z =. [.8.B4].Pro p = 0:prázdámožia; pro p = :imagiáríosa,tj.přímkaorovici x = 0; [ ] pro p > 0 p : kružiceostředu S = +p p, 0 apoloměru r = p. p [.8.B5]. Absolutí hodota a argumet komplexího čísla z jsou: a) z =, argz = 5 6 b) z = 4, argz = 5 c) z =, argz = α + d) z =, argz = α + β. [.8.B6].a) ( + i ) b) 7. [.8.B7].Všecha tvaru: = 4k, prolibovolé k 0celé. Návod: ejprve převeďte obě stray rovice a goiometrický tvar. [.8.B8].a) si α = siα cosα, cosα = cos α si α b) si α = siα cos α si α, cosα = cos α si α cosα. Návod: komplexí číslo(cosα + i siα), resp. (cos α + i siα) se rozepíše jedak podle Moivreovy věty a jedak podle biomické věty. Porováím reálých a imagiárích části obou vyjádřeí pak dostaeme požadovaé vzorce.

6 0 III. Výsledky a ávody k řešeí [.8.B9].a) ± i, ± ( b) ± ( + i ), ± + i ) ( i ). 5, ± ( [.8.B0].a) 5, ( + i ), b) ± ( + i), ± ( i). i ) 5 ( i ) [.8.B]. Ozačíme-li -tou odmociu ze zadaého komplexího čísla csymbolem z,pakje: a) z =, argz = 5 + k 5, kde k = 0,,,, 4 b) z =, argz = α + k 4, kde k = 0,,,, 4, 5, 6, 7 c) z =, argz = k, kde k = 0,,,, 4, 5 d) z =, argz = 7 α + k, kde k = 0,,. [.8.B].a), + i, i b), i,, i c) ±, ± i, ± i d) ±, ± i, ± i, ± i a akresleí příslušých obrázků. DODATEK KE KAPITOLE 5: HOMOMORFIZMY ALGEBRAICKÝCH STRUKTUR [.5.A6]. a)e,b)e [.5.A7]. a)e,b)ao [.5.A8]. a)e,b)e [.5.A9]. Neexistuje. [.5.B]. a) ϕ je vořeí, eí izomorfizmus, b) ϕ eí homomorfizmus, c) ϕ eí homomorfizmus. [.5.B].Kerϕ = 4 Z = {4k k Z}, Im ϕ = {, i,, i }. III. Výsledky a ávody k řešeí [.5.B]. Jádro sestává ze všech čísel, která leží a jedotkové kružici, tz. Kerϕ = {z C z = } a obrazim ϕ = R +,tz.zobrazeí ϕ je surjektiví. [.5.B4]..a)Ker ϕ = 6 Z, b)ker ϕ = Z, c)ker ϕ = Z, d)ker ϕ = m (m,p) Z,kde (m, p)jeejvětšíspolečýdělitelčísel m, p. [.5.B5].Ker ϕ = { C 0, C 4, C 8 }. [.5.B6]. Napříkladzobrazeí ϕ : R R +,defiovaé: ϕ(x) = e x je izomorfizmus. Druháčástsedokážesporem. Je-li ϕ : Q Q + izomorfizmus,pak existuje a Qtak,že ϕ(a) =,odkudúpravoudostaeme = ϕ(a) = ϕ( a + a ) = ϕ( a ) ϕ( a ) = [ ϕ( a )] = = ϕ( a ) Q, cožjespor. [.5.B7]. a) stačí si všimout toho, že jeda grupa je komutativí a druhá ekomutativí b)přilibovolémhomomorfizmu ϕseprvky (C, C 0 )a(c 0, C 0 )vždy zobrazía (C 0, C 0, C 0 ),(samipodroběrozepište). Zobrazeí ϕpak eí ijektiví a emůže se tedy jedat o izomorfizmus. [.5.B8].a) ϕ jehomomorfizmus, Ker ϕ = {0}, Im ϕ = C b) ϕ eíhomomorfizmus, c) ϕ eí homomorfizmus. [.5.B9]. ϕ je bijektiví(dokáže se rozepsáím) a ϕ eí homomorfizmem, eboť apříklad ϕ( ) = ϕ() =, ale ϕ( ) ϕ( ) = =. [.5.B0].Sporem;echť ϕ : Q( ) Q( )jeizomorfizmus.pak: ϕ() = ϕ( ) = ϕ( ) ϕ( ) = (a+b ) (a+b ) = (a +b )+ ab azároveňtaké ϕ() = ϕ( + ) = ϕ() + ϕ() = + =. Jetedy (a +b )+ab =,odkudúpravoudostaeme,žečíslo je racioálí, což je požadovaý spor.