28.1 PUMPOVÁNÍ NÁBOJŮ 28.2 PRÁCE, ENERGIE A ELEKTROMOTORICKÉ NAPĚTÍ

Transkript

1 28 Ovody P ho elektick (lectophous electicus) ËÌh v ek ch JiûnÌ Ameiky yy, jimiû se ûivì, zìjì pulzem elektickèho poudu. DÏl to tk, ûe podèl svèho tïl vytvo Ì npïtì û nïkolik set volt, tkûe elektick poud tekoucì okolnì vodou, od ho ovy hlvy k ocsu, m ûe dos hnout û jednoho mpèu. Kdyyste se p i plv nì k p ho i neoptnï p ilìûili, si yste se velice divili (smoz ejmï û potè, co yste se vzpmtovli z velmi olestivèho z ûitku): Jk je moûnè, ûe tento tvo dok ûe vypodukovt tk velk poud s m soï neulìûì?

2 716 KAPTOLA 28 OBVODY 28.1 PUMPOVÁNÍ NÁBOJŮ Chceme-li přinutit nosiče náoje, y potékly ezistoem, musíme vytvořit npětí (tedy ozdíl potenciálů) mezi jeho konci. Můžeme to udělt tk, že vezmeme dvě vodivé koule, jednu nitou kldným náojem duhou záponým, spojíme je přes ezisto. To má le velkou vdu: jk teče náoj, koule se vyíjejí z kátkou dou udou mít oě koule stejný potenciál tok náoje se zství. Ay náoje tekly neustále, potřeujeme mít nějkou náojovou pumpu, tedy zřízení, kteé udžuje npětí mezi svými svokmi přitom je z tím účelem schopné kont páci při přemís8ování nosičů náoje. Tkové zřízení se nzývá zdoj elektomotoického npětí. Říkáme pk, že zdoj vytváří elektomotoické npětí (zktk emn). lektomotoické npětí jko veličinu oznčujeme symolem. Běžnými zdoji emn jsou teie používné jko zdoje enegie, od námkových hodinek ž po ponoky. Náš život všk nejvíce ovlivňují jiné zdoje emn, to elektické geneátoy, kteé vytvářejí npětí po domácnost i po pcoviště. Jinými zdoji emn jsou sluneční články. Známe je npř. z fotogfií umělých dužic (tm jsou nvzájem pospojovány sestvovány do velkých pnelů). Postupně všk ponikjí i do domácností. Méně známými zdoji emn jsou plivové články sloužící jko zdoj enegie v ketoplánu neo temoelektické teie používné v někteých kosmických lodích neo n vzdálených poláních stnicích v Antktidě. Zdojem emn všk nemusí vždy ýt nějký přístoj. Někteé živé ognismy, npříkld elektičtí púhoři, le i lidé, i učité ostliny, mjí fyziologické zdoje emn. Přestože se vyjmenovná zřízení význě liší způsoem své činnosti, všechn mjí tutéž zákldní funkci: mohou kont páci přemís8ováním nosičů náoje udžují npětí mezi svými svokmi PÁC, NG A LKTOMOTOCKÉ NAPĚTÍ N o je nkeslen zdoj emn (předpokládejme, že je to teie) zpojený do jednoduchého ovodu s ezistoem. Svok zdoje o vyšším elektickém potenciálu se nzývá kldný pól oznčuje se symolem +, duhá svok se nzývá záponý pól oznčuje se symolem. lektomotoické npětí zdoje znázoňujeme šipkou, kteá vychází ze záponého pólu směřuje ke kldnému pólu (o. 28.1). Oientce šipky udává smě, kteým se uvnitř zdoje pohyují kldné náoje. Ve vnějším ovodu potéká elektický poud ve stejném směu (n o ve směu otáčení hodinových učiček).* O Jednoduchý elektický ovod, v němž zdoj emn koná páci n nosičích náoje udžuje ustálený poud ezistoem. + Uvnitř zdoje emn se kldné náoje pohyují z olsti nižšího elektického potenciálu, tedy nižší potenciální Největší teie n světě v Chino v Klifonii je schopn dodávt výkon ž 10 MW. Používá se ve špičkách v elektické síti společnosti Southen Clifoni dison. * Ve fyzice tedy mjí všechny šipky smě poudu. V elektotechnice ovykle znčí šipky smě poklesu potenciálů (úytků npětí). Směy šipek jsou tedy ve fyzice opoti elektotechnice opčné uvnitř zdojů emn. N osttních pvcích ovodů se směy šipek shodují.

3 28.3 VÝPOČT POUDU V JDNODUCHÉM OBVODU 717 enegie (u záponého pólu), do olsti vyššího potenciálu, tedy vyšší potenciální enegie u kldného pólu. Pohyují se tedy pávě v opčném směu, než v jkém y je intenzit elektického pole mezi svokmi (oientovná odkldného pólu k záponému) uváděl do pohyu. Z toho vyplývá, že ve zdoji emn musí ýt nějký zdoj enegie, kteý mu umožňuje kont páci při přemís ování náojů do míst, kde je potřeujeme mít. Zdoj enegie může ýt chemický, npř. v teiích neo v plivových článcích. Může užívt mechnickou páci, jk je tomu u elektických geneátoů. Teplotního ozdílu se využívá v temočláncích, konečně zářivé (elektomgnetické) enegie dodávné Sluncem ve slunečních článcích. ozeeme si nyní ovodn o z hledisk páce přenosu enegie. V kždém čsovém intevlu dt pochází liovolným řezem potínjícím ovod npř. ovinou (kldný) náoj dq. Stejně velký náoj pochází i liovolným jiným řezem; musí tké vstoupit do zdoje emn jeho záponým pólem vystoupit z něj pólem kldným. Ay se náoj dq tkto pohyovl, musí zdoj vykont páci dw z. Pomocí této páce definujeme emn zdoje náoje v ovodu. Všimněte si, že teie jsou zpojeny tk, že y vyvolávly pohy nosičů náoje v ovodu kždá v opčném směu. Výsledný smě poudu v ovodu učuje teie o větším emn, což je v nšem přípdě teie B. Chemická enegie v teii B se tedy postupně zmenšuje tk, jk se předává enegie nosičům náoje pocházejících teií. Avšk chemická enegie teie A se zvětšuje, potože pouduvnitř ní teče odkldného pólu k záponému. Bteie B tedy níjí teii A. Bteie B tké dodává enegii motou M ezistou. N o jsou znázoněny všechny toky enegií z teie B, z nichž kždý snižuje její chemickou enegii. M A A B B = dw z dq (definice emn zdoje). (28.1) m () Vidíme, že emn zdoje je ovno páci, kteou zdoj vykoná při přemístění kldného jednotkového náoje uvnitř zdoje od záponého pólu ke kldnému. Jednotkou emn v soustvě S je joule n coulom, J C 1 ; tuto jednotku jsme v kp. 25 nzvli volt. deální zdoj emn je tkový, kteý neklde žádný odpo pohyu nosičů náoje uvnitř zdoje od pólu k pólu, nemá tedy žádný vnitřní odpo. Npětí mezi jeho póly je ovno, tedy jeho emn. Npř. ideální teie o = 12,0V má vždy npětí 12,0 V mezi svými póly ez ohledu n zátěž. eálný zdoj emn, npříkldeálná teie, klde učitý odpo nosičům náoje pohyujícím se uvnitř zdoje, má tedy učitý vnitřní odpo. Pokud eálný zdoj emn není zpojen do ovodu, nepotéká jím poud jeho vnitřní odpo se nepojeví: npětí mezi jeho svokmi, tzv. svokové npětí, je ovno jeho emn. Pochází-li všk zdojem poud, liší se npětí mezi jeho svokmi odemn. Vlstnostmi skutečných teií se udeme zývt v čl Je-li zdoj zpojen do ovodu, předává enegii nosičům náoje, kteé jím pocházejí. Nosiče náoje pk předávjí získnou enegii jinému zřízení zpojenému do ovodu, npříkld svítící žáovce. N o je nkeslen ovod se dvěm ideálními kumulátoovými teiemi A B, ezistoem elektomotoem M, kteý zvedá výth používá přitom enegii, kteou dostává od nosičů úytek chemické enegie teie B () páce vykonná motoem při zvedání výthu teplo vzniklé v ezistou chemická enegie uložená v teii A O () Bteie B učuje smě poudu v ovodu, neo B > A. () Přenos enegie v ovodu (z předpokldu, že v motou nedochází k žádným ztátám enegie) VÝPOČT POUDU V JDNODUCHÉM OBVODU Vysvětlíme si dv způsoy, jk vypočítt poud v jednoduchém ovodu n o tvořeném jedinou smyčkou. Pvní způso je zložen n úvhách o zchování enegie, duhý používá pojmu potenciál. Ovod se skládá z ideální teie B o emn, ezistou o odpou ze dvou spojovcích vodičů. (Neude-li řečeno jink, předpokládáme

4 718 KAPTOLA 28 OBVODY vždy, že spojovcí vodiče mjí nulový odpo. Jejich jediným úkolem je vytvořit vodivou dáhu, po níž se mohou pohyovt nosiče náoje.) O Jednoduchý ovod, v němž je ezisto o odpou připojen k ideální teii B o elektomotoickém npětí. Všemi částmi ovodu potéká stejný poud. B negiová metod vyšší potenciál nižší potenciál Z ov. (27.22), P = 2, plyne, že z čsový intevl dt je v ezistou n o disipován enegie 2 dt. (Potože předpokládáme, že spojovcí vodiče mjí nulový odpo, neztácí se v nich žádná enegie.) Během téhož čsového intevlu pojde teií B náoj dq = dt, tkže podle ov. (28.1) teie vykoná páci dw z = dq = dt. Podle zákon zchování enegie se páce vykonná teií musí ovnt Joulovu teplu vzniklému v ezistou, tedy Odtud plyne dt = 2 dt. =. ntepetujme tuto ovnici. lektomotoické npětí je enegie připdjící n jednotkový náoj, kteou teie předá náojům. Veličin je enegie připdjící n jednotkový náoj odevzdná pohyujícími se náoji do ezistou. negie, kteou náojům předá teie, je pk ovn enegii, kteou náoje odevzdjí do ezistou. Z poslední ovnice po poud v ovodu plyne =. (28.2) Potenciálová metod Zvolme liovolný odovodu n o z počáteční, postupujme ovodem v učitém směu sčítejme lgeicky (tj. s přihlédnutím ke znménku) úytky npětí podél ovodu. Když se vátíme zpět do počátečního odu, dostneme se i k počátečnímu potenciálu. Dříve než to skutečně povedeme, vyslovíme oecné tvzení, kteé pltí nejen po jednoduchý ovod, jký je npř. n o. 28.3, le i po liovolný ovodsložený z mnoh smyček, onichž udeme mluvit v čl Smyčkové pvidlo: Algeický součet úytků npětí při půchodu liovolnou uzvřenou smyčkou je nulový. Toto tvzení se čsto oznčuje jko Kichhoffův zákon o npětí neo též duhý Kichhoffův zákon podle německého fyzik Gustv oet Kichhoff. Pvidlo má nlogii ve výoku, že kždý od n svhu hoy má jen jedinou ndmořskou výšku. Jestliže vyjdeme z kteéhokoli odu, oejdeme hou vátíme se do výchozího odu, musí ýt lgeický součet změn ndmořských výšek ěhem cesty oven nule. Zčněme v odě (o. 28.3), jehož potenciál oznčme ϕ, postupujme npř. ve směu otáčení hodinových učiček podél ovodu, dokud nepřijdeme opět do odu. Při postupu zznmenávejme změny potenciálu. Náš výchozí odmá potenciál záponého pólu teie. Potože teie je ideální, npětí mezi jejími póly je ovno jejímu elektomotoickému npětí. Pojdeme-li teií k jejímu kldnému pólu, je změn potenciálu ovn +. Když postupujeme podél honího spojovcího vodiče k honímu konci ezistou, potenciál se nemění, potože vodič má znedtelný odpo.celý spojovcí vodič má tedy stejný potenciál jko kldný pól teie stejný potenciál má i honí konec ezistou. Když všk pojdeme ezistoem, změní se potenciál o hodnotu. Podél dolního spojovcího vodiče se vátíme do odu. Potože tento vodič má tké znedtelný odpo, potenciál se přitom opět nemění. V odě musí ýt opět potenciál ϕ. Potože jsme oešli celou uzvřenou smyčku, musí se potenciál ve výchozím odě změněný o lgeický součet úytků potenciálu podél smyčky ovnt potenciálu v koncovém odě, tedy ϕ + = ϕ. Potenciál ϕ n oou stnách ovnice se vyuší, tkže dostneme = 0. Poudvypočtený z této ovnice, = /, je stejný jko při použití enegiové metody, viz ov. (28.2). Použijeme-li smyčkové pvidlo při postupu poti směu otáčení hodinových učiček podél ovodu, dostneme + = 0 opět vychází = /. Uzvřenou smyčkou tedy můžeme pocházet v liovolném směu. Aychom se připvili n složitější ovody, zfomulujeme dvě pvidl, jk učit změny potenciálu při postupu podél smyčky:

5 28.4 JNÉ JDNODUCHÉ OBVODY 719 Smyčkové pvidlo po ezistoy: Při půchodu ezistoem ve směu poudu se potenciál změní o hodnotu, při půchodu ezistoem v opčném směu o hodnotu +. Smyčkové pvidlo po zdoje emn: Při půchodu ideálním zdojem emn ve směu šipky znázoňující toto npětí se potenciál změní o hodnotu +, při půchodu v opčném směu o hodnotu. KONTOLA 1: N oázku je jednoduchý ovod s teií B ezistoem, kteým pochází poud (spojovcí vodiče mjí znedtelný odpo). () Má šipk znázoňující emn teie ukzovt dolev, neo dopv? Učete () poud, (c) elektický potenciál, (d) elektickou potenciální enegii nosiče náoje v odech,, c uspořádejte je sestupně podle jejich velikosti. c B 28.4 JNÉ JDNODUCHÉ OBVODY V tomto odstvci si ozšíříme pozntky o jednoduchých ovodech. Vnitřní odpo N o je eálná teie o vnitřním odpou spojená s ezistoem o odpou. Vnitřní odpo teie je vlstně elektický odpo mteiálu teie, poto je neodstnitelnou vlstností teie. N o je eálná teie symolicky nkeslen tk, jko y ji šlo ozdělit n ideální teii o elektomotoickém npětí ezisto o odpou. N pořdí, v jkém tyto symoly zkeslíme, nezáleží. Použijeme smyčkové pvidlo tk,že vyjdeme z odu udeme postupovt ve směu otáčení hodinových učiček. Sestvíme tk ovnici z ní vypočteme poud = 0 (28.3) = +. (28.4) Všimněte si, že tento vzth přechází v ov. (28.2), je-li teie ideální, tj. je-li = 0. N o je půěh elektického potenciálu podél ovodu. (Ay gf n o lépe vystihovl uzvřený ovod, předstvme si ho stočený do uličky tk, že od vlevo splyne s odem vpvo.) Uvědomte si, že půchod ovodem návt do výchozího odu je podoný putování kolem (potenciálové) hoy návtu do počáteční ndmořské výšky. Pokudvýslovně neřekneme, že jde o eálnou teii, neo pokud neude zdán vnitřní odpo teie, udeme v této knize vždy předpokládt, že teie je ideální. Bteie v eálném světě jsou ovšem eálné ne vždy můžeme jejich vnitřní odpo znedt. ϕ (V) ϕ ϕ ϕ zdoj emn ezisto eálná teie () () O () Jednoduchý ovod s eálnou teií o vnitřním odpou elektomotoickém npětí. () Nhoře je nkeslen ovod ozvinutý do úsečky. V gfu vidíme změny potenciálu při půchodu ovodem ve směu otáčení hodinových učiček. Potenciál ϕ je zvolen jko nulový osttní potenciály v ovodu jsou vztženy k této nulové hldině.

6 720 KAPTOLA 28 OBVODY Séiové zpojení ezistoů N o jsou tři ezistoy zpojené séiově neoli z seou připojené k ideální teii o elektomotoickém npětí. Při séiovém zpojení pochází všemi ezistoy stejný poud celkové npětí přiložené n ezistoy je ovno součtu npětí n jednotlivých ezistoech. () O () Tři ezistoy jsou zpojeny séiově mezi ody. () kvivlentní ovod, v němž je tojice ezistoů nhzen ezistoem o odpou s. Hledáme odpo s séiové komince tří ezistoů n o Jinými slovy, hledáme odpo jediného (ekvivlentního) ezistou, kteým můžeme nhdit tojici ezistoů, niž y se při stálém npětí mezi ody, změnil poud v ovodu. Použijeme smyčkové pvidlo, vyjdeme z odu oejdeme ovod ve směu otáčení hodinových učiček. Dostneme = 0, tedy =. (28.5) Kdyychom tojici ezistoů nhdili jediným ezistoem o odpou s podle o. 28.5, dostli ychom () s = s. (28.6) Poovnáme-li ov. (28.5) (28.6), odžíme s = Výsledek lze sndno ozšířit n séiovou kominci n ezistoů: n s = j (n ezistoů zpojených séiově). (28.7) j=1 Je zřejmé, že při séiovém zpojení ezistoů je ekvivlentní odpo s větší než odpo kteéhokoli z ezistoů NAPĚTÍ V OBVODCH Čsto chceme učit ozdíl potenciálů (tedy npětí) mezi dvěm ody ovodu. Jké je npříkld npětí mezi ody v ovodu n o. 28.4? Aychom ho vypočítli, vyjděme z odu postupujme ovodem ve směu otáčení hodinových učiček k odu přes ezisto. Jestliže ϕ ϕ jsou potenciály v odech,,pk ϕ = ϕ, potože podle pvidl po ezistoy se při půchodu ezistoem ve směu toku poudu potenciál sníží. Odvozenou ovnici přepíšeme ve tvu ϕ ϕ = U =+, (28.8) z něhož je zřetelně vidět, že potenciál v odě je vyšší než potenciál v odě. Doszením z ov. (28.4) dostneme U = +, (28.9) kde je vnitřní odpo zdoje emn. Npětí mezi liovolnými dvěm ody elektického ovodu učíme tkto: Vyjdeme z jednoho z těchto odů, postupujeme po liovolné cestě ovodem ke duhému odu přitom lgeicky sčítáme dílčí npětí. Vypočteme znovu ozdíl ϕ ϕ, tk, že vyjdeme z odu, le do odu udeme postupovt přes teii poti směu otáčení hodinových učiček. Tk odžíme ϕ + = ϕ neoli U =. (28.10) Doszením ov. (28.4) dojdeme opět k výsledku (28.9). ozdíl ϕ ϕ je podle o oven npětí U n svokách teie. Jk jsme řekli už dříve, ozdíl ϕ ϕ je oven elektomotoickému npětí teie jedině tehdy, když teie má nulový vnitřní odpo (tj. = = 0 v ov. (28.9)) neo je-li ovodozpojen (tj. = 0 v ov. (28.10)). Předpokládejme, že v ovodu n o je = 12 V, = 10 = 2,0. Pomocí ov. (28.9) vypočteme, že npětí n svokách teie je (10 ) U = ϕ ϕ = (12 V) = 10 V. (10 + 2,0 )

7 28.5 NAPĚTÍ V OBVODCH 721 Při pumpování náojů uvnitř see smé vykoná teie (v důsledku elektochemických ekcí) n jednotkovém náoji páci, kteá je ovn jejímu elektomotoickému npětí = 12 J C 1 = 12 V. Potože všk teie má nenulový vnitřní odpo = 2,0, je n jejích svokách npětí pouze U = 10 J C 1 = 10 V. Výkon, npětí elektomotoické npětí Jestliže teie neo nějký jiný zdoj emn koná páci n nosičích elektického náoje tvořících poud,přenáší enegii ze svého vlstního zdoje enegie (jko je npř. chemický zdoj enegie v teii) n nosiče náojů. Potože eálný zdoj emn má vnitřní odpo, je část enegie zdoje disipován přímo uvnitř zdoje n vnitřním odpou (o disipci jsme mluvili v čl. 27.7). Sledujme tyto přeměny. Výkon, kteý dodává zdoj emn postřednictvím nosičů náoje do zytku ovodu, je vyjádřen ov. (27.21): P = U, (28.11) kde U je npětí n svokách zdoje. Z ov. (28.10) dosdíme U = do ov. (28.11) tím dostneme P = ( ) = 2. (28.12) PŘÍKLAD 28.1 Vypočtěte poudv ovodu n o lektomotoická npětí odpoy ezistoů jsou: 1 = 4,4V, 2 = 2,1V, 1 = 2,3, 2 = 1,8, = 5,5. ϕ (V) teie 1 teie c () 1 2 c ϕ = 4,4V ϕ 1 ϕ c 2 = 2,1V 2 ϕ Člen 2 v ov. (28.12) udává výkon P disipovný uvnitř zdoje emn: 5 teie 1 ezisto teie 2 P = 2 (ztátový výkon zdoje n jeho vnitřním odpou). (28.13) Člen v ov. (28.12) musí odpovídt výkonu zdoje emn P emn, tedy ychlosti, s jkou uývá chemická enegie teie. Tedy P emn = (výkon zdoje emn). (28.14) Jestliže se teie níjí (poudjí potéká opčným směem, než když se vyíjí), nosiče náojů přenášejí enegii do teie. Přitom se část enegie přeměňuje v chemickou enegii teie část je disipován n jejím vnitřním odpou. ychlost změny (příůstku) chemické enegie je dán ov. (28.14); ychlost, s níž je enegie disipován ve zdoji, je dán ov. (28.13); ychlost, s níž nosiče náoje dodávjí teii enegii, je dán ov. (28.11). K ONTOLA 2: Po ezistoy n o pltí 1 > > 2 > 3. Uspořádejte ezistoy sestupně podle () velikosti poudu, kteý jimi pochází, () npětí n jejich svokách. () O Příkldy () Jednoduchá smyčk oshující dvě eálné teie ezisto. Bteie jsou zpojeny poti soě to znmená, že y smy o soě vyvolávly poudy v ovodu v opčných směech. () Gf půěhu potenciálu podél ovodu při půchodu ovodem od odu poti směu otáčení hodinových učiček, přičemž potenciál odu je zvolen jko nulový. (Ay vzth mezi ovodem gfem yl zřetelnější, předstvme si, že ovodpřeušíme v odě, potom ozevřeme levou část ovodu směem dolev pvou část ovodu směem dopv.) Potože přes teii 1 pocházíme odvyššího potenciálu k nižšímu poti směu poudu, potenciál se sníží o hodnotu 1 zvýší o hodnotu 1. Potože přes ezisto pocházíme poti směu poudu, potenciál se zvýší o hodnotu. Potože přes teii 2 pocházíme odnižšího potenciálu k vyššímu poti směu poudu, potenciál se zvýší o hodnotu 2 poté o hodnotu 2. ŘŠNÍ: Bteie jsou zpojeny poti soě ; potože všk 1 je větší než 2, učuje smě poudu v ovodu teie 1. Použijeme-li smyčkové pvidlo pojdeme-li ovodem poti směu otáčení hodinových učiček od odu, dostneme = 0. Ověřte si, že ke stejné ovnici dospějete, i když pojdete ovodem ve směu otáčení hodinových učiček zčnete

8 722 KAPTOLA 28 OBVODY v nějkém jiném odě. Poovnejte si tké jednotlivé členy této ovnice s o. 28.6, n němž je znázoněn půěh potenciálu gficky (potenciál v odě je zvolen jko nulový). Vyřešením sestvené ovnice vypočteme hledný poud (4,4V 2,1V) (5,5 + 2,3 + 1,8 ) = = 0,239 6 A =. 240 ma. (Odpově ) = = ADY A NÁMĚTY Bod 28.1: Jk se volí smě poudu Při řešení příkldů s elektickými ovody nepotřeujeme znát předem spávný smě poudu. Smě poudu si můžeme zvolit liovolně. Zvolíme-li smě spávně, vyjde poud kldný, zvolíme-li ho opčně, vyjde poud záponý. Předpokládejme, že poud v ovodu n o teče poti směu otáčení hodinových učiček, tedy opčně, než ukzuje poudová šipk n oázku. Smyčkové pvidlo použité od odu poti směu otáčení hodinových učiček vede k ovnici odkud = 0, = Doszením číselných hodnot (viz př. 28.1) zjistíme, že poud = 240 ma. Znménko minus znmená, že poudmá opčný smě, než kteý jsme zvolili. PŘÍKLAD 28.2 () Jké je npětí n svokách teie 1 v ovodu n o. 28.6? ŘŠNÍ: Vyjděme z odu (kteý má stejný potenciál jko záponý pól teie), pojděme teií 1 do odu (kteý má potenciál kldného pólu teie) sledujme úytky potenciálu; dostneme po úpvě ϕ = ϕ ϕ ϕ = = = (0,239 6 A)(2,3 ) + (4,4V) = =+3,84 V. = 3,8V. (Odpově ) Výsledek si můžeme zkontolovt tk, že vyjdeme z odu pojdeme ovodem poti směu otáčení hodinových učiček do odu. Po tuto duhou cestu odžíme ϕ = ϕ ztoho ϕ ϕ = (+ 2 ) + 2 = = (0,2396A)(5,5 + 1,8 ) + (2,1V) = =+3,84 V. = 3,8V. (Odpově ) Výsledky oou postupů jsou tedy stejné. Npětí mezi dvěm ody je stejné po všechny cesty, kteé tyto dv ody spojují. () Jké je npětí n svokách teie 2 v ovodu n o. 28.6? ŘŠNÍ: Vyjděme z odu c (kteý má stejný potenciál jko záponý pól teie 2), pojděme teií do odu (kteý má potenciál kldného pólu teie) zznmenávejme npětí; dostneme ϕ c = ϕ, esp. ϕ ϕ c = = = (0,2396A)(1,8 ) + (2,1V) = =+2,5V. (Odpově ) Npětí n svokách této teie (2,5 V) je větší než její emn (2,1 V). Je to poto, že teie 1 způsoí, že elektický náoj pochází teií 2 v opčném směu, než y pocházel, kdyy teie 1 v ovodu neyl. KONTOLA 3:Bteiemáemn = 12 V vnitřní odpo 2. Je npětí n svokách teie větší, menší, neo ovno 12 V, jestliže poudteií () pochází odzáponého pólu ke kldnému pólu, () pochází od kldného pólu k záponému pólu, (c) je nulový? 28.6 OBVODY S VÍC SMYČKAM N o je příkld ovodu s více než jednou smyčkou. Po zjednodušení předpokládejme, že teie jsou ideální. Ovodmá dv uzly (míst vodivého spojení) oznčené d třivětve spojující tyto uzly: levou (d), pvou (cd) střední (d). Jké poudy jimi pocházejí? 1 2 c d O Ovodsložený ze tří větví: z levé d, pvécd středníd. Ovodtké oshuje tři smyčky: levou d,pvou cd velkou dc.

9 28.6 OBVODY S VÍC SMYČKAM 723 Oznčíme poudy ve větvích liovolně, přičemž po kždou větev použijeme jiný symol. Poud 1 je stejný v celé větvi d, poud 2 je stejný v celé větvi cd, poud 3 potéká větví d. Směy poudů zvolíme liovolně. Uvžujme uzel d. lektický náoj přinášejí do uzlu poudy 1 3 z uzlu ho odnáší odtékjící poud 2. Náoj v uzlu se nezvětšuje ni nezmenšuje, tkže musí pltit = 2. (28.15) Můžete si ověřit, že použití této podmínky po uzel vede ke stejné ovnici. ov. (28.15) zoecníme v oecné pvidlo: Uzlové pvidlo: Součet poudů vstupujících do uzlu se ovná součtu poudů z uzlu vystupujících. Toto pvidlo se nzývá Kichhoffův zákon o poudech neo též pvní Kichhoffův zákon. Je to postě zákon zchování elektického náoje při ustáleném poudu: v uzlu náoj ni nevzniká, nehomdí se, ni se neztácí. Nšimi hlvními nástoji po řešení složených ovodů tedy jsou smyčkové pvidlo (kteé je důsledkem zákon zchování enegie) uzlové pvidlo (kteé je důsledkem zákon zchování elektického náoje). V ov. (28.15) jsou tři neznámé veličiny. Aychom mohli vyřešit náš polém (tj. učit všechny tři poudy), potřeujeme dlší dvě ovnice s týmiž neznámými. Získáme je tk, že dvkát použijeme smyčkové pvidlo. V ovodu n o máme n výě tři smyčky: levou smyčku (d), pvou smyčku (cd) velkou smyčku (dc). Je jedno, kteé dvě z těchto tří smyček zvolíme zvolme tedy levou pvou smyčku. Jestliže pojdeme levousmyčkouod odu poti směu otáčení hodinových učiček, dostneme = 0. (28.16) Při půchodu pvou smyčkou od odu poti směu otáčení hodinových učiček dostneme = 0. (28.17) Nyní máme tři ovnice (28.15), (28.16) (28.17) se třemi neznámými poudy, kteé dokážeme vyřešit. Kdyychom použili smyčkového pvidl po velkou smyčku, dostli ychom (při půchodu smyčkou z odu poti směu otáčení hodinových učiček) ovnici = 0. N pvní pohledse zdá, že tto ovnice přináší novou infomci, le ve skutečnosti je pouze součtem ov. (28.16) (28.17). Plelní zpojení ezistoů N o jsou nkesleny tři ezistoy připojené plelně neoli vedle see k ideální teii o elektomotoickém npětí. Ke kždému ezistou v této plelní kominci je tk přiloženo npětí U = () O () Tři ezistoy zpojené plelně mezi ody,. () kvivlentní ovod, v němž jsou tři ezistoy nhzeny ekvivlentním ezistoem o odpou p. Při plelním zpojení je npětí n kždém ezistou stejné jko npětí přiložené k celému zpojení celkový poudpocházející komincí ezistoů je oven součtu poudů pocházejících jednotlivými ezistoy. Hledáme odpo p soustvy ezistoů zpojených plelně. Jinými slovy, hledáme odpo jediného (ekvivlentního) ezistou, kteý může nhdit plelní kominci ezistoů, niž y se při stálém npětí U n této kominci změnil poud do ní vtékjící. Poudy ve třech větvích v ovodu n o jsou 1 = U 1, 2 = U 2, 3 = U 3, kde U je npětí mezi ody. Použijeme-li uzlového pvidl po uzel ležící vpvo od odu dosdíme-li z poudy, dostneme ( 1 = = U ). (28.18) Kdyychom nhdili plelní kominci tří ezistoů jediným ezistoem o odpou p (o. 28.8), dostli ychom () p = U p. (28.19) Poovnáním ovnic (28.18) (28.19) dospějeme k závěu, že 1 p = (28.20)

10 724 KAPTOLA 28 OBVODY ozšíříme-li tento výsledek n n ezistoů zpojených plelně, odžíme vzth 1 p = n 1 j=1 j (n ezistoů zpojených plelně). (28.21) Jsou-li plelně zpojeny jen dv ezistoy, je výsledný odpo tedy oven součinu odpoů oou ezistoů dělenému jejich součtem p = 1 2. (28.22) Všimněte si, že pokuddv neo více ezistoů zpojíme plelně, je ekvivlentní odpo menší než odpo liovolného ze zpojených ezistoů. V t jsou shnuty vzthy po hodnoty ekvivlentních odpoů kpcit po ezistoy kondenzátoy zpojené séiově neo plelně. Tulk 28.1 Séiové plelní zpojení ezistoů kondenzátoů SÉOVÉ ZAPOJNÍ (ZA SBOU) PAALLNÍ ZAPOJNÍ (VDL SB) ezistoy n 1 n 1 s = j (28.7) = (28.21) j=1 p j=1 j stejný poudstejné npětí kždým z ezistoů n kždém ezistou Kondenzátoy 1 n 1 n = (26.20) C p = C j C s C j=1 j j=1 (26.19) stejný náoj stejné npětí n kždém z kondenzátoů n kždém kondenzátou KONTOLA 4: Bteie, n jejichž svokách je npětí U kteou potéká poud, je připojen ke dvěm stejným ezistoům. Jké je npětí n jednotlivých ezistoech jký poudjimi potéká, jsou-li zpojeny () séiově, () plelně? PŘÍKLAD 28.3 N o je ovod s jednou ideální teií = 12 V čtyřmi ezistoy o odpoech 1 = 20, 2 = 20, 3 = = 30, 4 = 8,0. () Jký poudpochází teií? ŘŠNÍ: Poudpocházející teií potéká tké ezistoem 1. Aychom mohli vypočítt poud, musíme npst Kichhoffův zákon po nějkou smyčku oshující ezisto 1 ; může to ýt u levá smyčk,neo celková smyčk. Šipk znázoňující emn teie je oientován nhou poud, kteý teie dodává do ovodu, teče ve směu otáčení hodinových učiček. Pokudychom použili smyčkového pvidl po levou smyčku, to ve směu otáčení hodinových učiček s výchozím odem, mohli ychom npst = 0 (nespávně). Tto ovnice je všk nespávná, potože se v ní předpokládá, že ezistoy 1, 2 4 pochází stejný poud. ezistoy 1 4 opvdu pochází stejný poud, potože poud potékjící ezistoem 4 musí pojít teií tké ezistoem 1,nižy se změnil jeho hodnot. Avšk tento poud se dělí v uzlu n dvě části, jedn část teče do ezistou 2 zytek do ezistou () c 2 3 (c) c 2 c () O Příkld28.3. () Ovodsložený z několik smyček s ideální teií o elektomotoickém npětí sečtyřmiezistoy. () Poudy pocházející ezistoy. (c) Zjednodušený ovod. ezistoy 2 3 jsou nhzeny ezistoem o ekvivlentním odpou 23. Poudpocházející ezistoem 23 je stejný jko poud ezistoy 1 4. Aychom odlišili ůzné poudy v ovodu, musíme je oznčit ůznými symoly jko n o Pomocí smyčkového pvidl pk npíšeme ovnici po levou smyčku ve tvu = 0. Tto ovnice všk oshuje dvě neznámé veličiny 1 2. Poto potřeujeme ještě jednu ovnici, ychom mohli poudy vypočítt. Duhá mnohem sndnější cest k výsledku je zjednodušit ovodn o pomocí ekvivlentního ezistou. Všimněte si, že ezistoy 1 2 nejsou zpojeny séiově, tkže

11 28.6 OBVODY S VÍC SMYČKAM 725 nemohou ýt nhzeny ekvivlentním ezistoem. ezistoy 2 3 jsou všk zpojeny plelně, tkže můžeme použít u ov. (28.21), neo ov. (28.22) vypočítt odpovídjící ekvivlentní odpo 23 : 23 = 2 3 (20 )(30 ) = = (50 ) Nyní překeslíme ovod do podoy n o. 28.9c. Všimněte si, že ezistoem 23 musí pocházet poud 1, potože tento poudteče ezistoy 1 4 musí tedy spojitě pokčovt i ezistoem 23. Máme tedy jednoduchý ovod s jedinou smyčkou použitím smyčkového pvidl (ve směu otáčení hodinových učiček od výchozího odu ) dostneme = 0. Po doszení číselných hodnot vyjde (12 V) 1 (20 ) 1 (12 ) 1 (8,0 ) = 0 odtud poud 1 = (12 V) = 0,30 A. (Odpově ) (40 ) () Jký poud 2 pochází ezistoem 2? ŘŠNÍ: Podívejme se opět n o. 28.9c. Z předcházející části příkldu víme, že poud pocházející ezistoem 23 je 1 = 0,30 A. Můžeme tedy použít ov. (27.8) ( = U/), ychom vypočítli npětí U 23 n ezistou 23 : U 23 = 1 23 = (0,30 A)(12 ) = 3,6V. Stejné npětí je tké n ezistoech 2 3. Pomocí ov. (27.8) nyní dostneme 2 = U 2 = (3,6V) = 0,18 A. (Odpově ) 2 (20 ) (c) Jký poud 3 pochází ezistoem 3? ŘŠNÍ: Použijeme uzlového pvidl po uzel n o pomocí předcházejících výsledků vyjde 3 = 1 2 = (0,30 A) (0,18 A) = = 0,12 A. (Odpově ) PŘÍKLAD 28.4 N o je ovod, jehož pvky mjí hodnoty 1 = = 3,0V, 2 = 6,0V, 1 = 2,0, 2 = 4,0. Tři teie v ovodu jsou ideální zdoje. Učete velikost smě poudu v kždé ze tří větví ovodu O Příkld28.4. Ovodse třemi smyčkmi, v němž jsou zpojeny tři ideální teie pět ezistoů. ŘŠNÍ: V tomto přípdě není příliš užitečné pokoušet se ovod zjednodušit, potože žádné dv ezistoy nejsou zpojeny plelně ezistoy zpojené séiově (v pvé větvi neo v levé větvi) nepředstvují žádný polém. Použijeme tedy smyčkové uzlové pvidlo udeme řešit získnou soustvu ovnic. Oznčíme liovolně směy poudů (o ) pomocí uzlového pvidl po uzel npíšeme 3 3 = (28.23) Použití uzlového pvidl po uzel y vedlo ke stejné ovnici. Dále užijeme smyčkového pvidl po liovolné dvě ze tří smyček ovodu. Vezměme tře levou smyčku, zvolme od z výchozí ozhodněme se pojít touto smyčkou poti směu otáčení hodinových učiček. Odžíme tk ovnici = 0, kteou můžeme ihned zjednodušit doszením číselných hodnot do tvu 1 (4,0 ) 2 (4,0 ) = 3,0V. (28.24) Jko duhou zvolíme pvou smyčku. Pojdeme-li jí z odu ve směu otáčení hodinových učiček, dostneme ovnici po doszení: = 0 2 (4,0 ) + 3 (4,0 ) = 0. (28.25) Pomocí ov. (28.23) vyloučíme poud 3 z ov. (28.25), což dává 1 (4,0 ) + 2 (8,0 ) = 0. (28.26) Nyní máme soustvu dvou ovnic (28.24) (28.26) se dvěm neznámými poudy 1 2, kteou můžeme velmi sndno vyřešit. Nejpve vypočteme 2 = 0,25 A. 3

12 726 KAPTOLA 28 OBVODY Záponé znménko npovídá, že poud 2 teče opčným směem, než kteý jsme zvolili. Teče tedy vzhůu teií 2 ezistoem 2. Nyní dosdíme poud 2 = 0,25 A do ov. (28.26) vypočteme Užitím ov. (28.23) učíme 1 = 0,50 A. 3 = = 0,25 A. (Odpově ) (Odpově ) Kldné znménko vypočtených poudů 1 3 potvzuje, že jsme smě těchto poudů zvolili spávně. N závě opvíme smě poudu 2 dostneme 2 = 0,25 A. (Odpově ) PŘÍKLAD 28.5 lektické yy vytvářejí elektické npětí ve zvláštních iologických uňkách nzývných elektoplxy, kteé jsou fyziologickými zdoji emn. lektoplxy jihomeického púhoře elektického zozeného n fotogfii n zčátku této kpitoly jsou uspořádány ve 140 řádcích podél jeho těl, přičemž kždý řádek oshuje si elektoplxů. Uspořádání je znázoněno n o Kždý elektoplx má elektomotoické npětí = 0,15 V vnitřní odpo 0,25. () Jký poudpochází vodou odpúhořovy hlvy k ocsu, je-li odpo vody v okolí púhoře v = 800? ŘŠNÍ: Nejpve zjednodušíme ovod n o Celkové emn elektoplxů v jednom řádku je součtem elektoplx elektoplxů v řádku 140 řádků.. ř v ř 750V ř () ř ř. v ř c. ř ř (c). ř ř c. ř c p v v () O Příkld () lektický ovod znázoňující púhoře ve vodě. Kždý elektoplx púhoře má elektomotoické npětí vnitřní odpo. Kždý ze 140 řádků, táhnoucích se od hlvy k ocsu, oshuje elektoplxů. Odpo okolní vody je v. () lektomotoické npětí ř odpo ř kždého řádku. (c) lektomotoické npětí mezi ody, je ř. Mezi ody, c je 140 plelně zpojených ezistoů ř. (d) Zjednodušený ovod s p nhzující plelní kominci. (d)

13 28.6 OBVODY S VÍC SMYČKAM 727 jejich elektomotických npětí, tkže ř = = (5 000)(0,15 V) = 750 V. Celkový odpo jednoho řádku elektoplxů je součtem vnitřních odpoů elektoplxů, ř = = (5 000)(0,25 ) = Kždý ze 140 stejných řádků můžeme nyní znázonit jedním zdojem elektomotoického npětí ř jedním odpoem ř, jk je nkesleno n o lektomotoické npětí mezi odem odem v liovolném řádku n o je ř = 750 V. Potože všechny řádky jsou stejné všechny jsou spojeny vlevo v uzlu,mjí všechny ody n o stejný potenciál. Můžeme si tedy předstvit, že všechny ody jsou spojeny do jediného odu. lektomotoické npětí mezi odem tímto jediným odem je ř = 750 V, tkže můžeme ovodpřekeslit do podoy n o c. Mezi ody c n o c je 140 ezistoů o odpou ř = zpojených plelně. kvivlentní odpo tohoto zpojení je podle ov. (28.21) neoli = p j=1 1 = j ř p = ř (1 250 ) = = 8, Nhdíme-li tuto plelní kominci ezistoem o ekvivlentním odpou p,dostneme zjednodušený ovod n oázku 28.11d. Pomocí smyčkového pvidl (vyjdeme z odu postupujeme poti směu otáčení hodinových učiček) dostneme ř v p = 0. Odtud vypočteme poud vodou: = ř (750 V) = v + p (800 ) + (8,93 ) = = 0,927 A. = 0,93 A. (Odpově ) Je-li hlv neo ocs púhoře v lízkosti nějké yy, většin tohoto poudu pojde you omáčí ji neo usmtí. () Jký poud ř pochází kždým řádkem elektoplxů n o ? ŘŠNÍ: Potože jsou všechny řádky stejné, ozdělí se poudpocházející vodou vně púhoře mezi ně ovnoměně, tedy ř = 140 = 0,927 A = 6, A. (Odpově ) 140 lektický poud pocházející kždým řádkem elektoplxů je tedy mlý, si o dv řády menší než poud okolní vodou. Poto púhoř sám see ni neomáčí ni nezije, když omčuje neo zíjí yu ve své lízkosti. ADY A NÁMĚTY Bod 28.2: Řešení ovodů s teiemi ezistoy Uvedeme dvě oecné metody použitelné po řešení ovodů po výpočet neznámých poudů neo npětí. (1) Je-li možné ovod zjednodušit nhzením ezistoů zpojených séiově neo plelně pomocí ezistoů o odpovídjících ekvivlentních odpoech, udělejte to. Podří-li se vám zjednodušit ovod n jedinou smyčku, můžete vypočítt poudpocházející touto smyčkou jko v př Pk se v te k původnímu nezjednodušenému ovodu (s původními ezistoy) vypočtěte poudneo npětí n kždém z ezistoů jko v př (2) Jestliže se ovod nedá zjednodušit n jedinou smyčku, použijte uzlové pvidlo smyčkové pvidlo k sestvení soustvy ovnic jko v př Potřeujete jen tolik nezávislých ovnic, kolik je neznámých v těchto ovnicích. Potřeujete-li vypočítt poudneo npětí n učitém ezistou, musíte zvolit lespoň jednu smyčku tk, y pocházel tímto ezistoem; tk si zjistíte, že se hledný poud neo npětí ojeví ve vší soustvě ovnic. Bod 28.3: Co lze zvolit liovolně při řešení ovodů Při řešení př jsme několikát volili liovolně: (1) Liovolně jsme zvolili směy poudů n o (2) Liovolně jsme vyli smyčky, po kteé jsme psli ovnice. (3) Liovolně jsme zvolili smě, kteým jsme pocházeli smyčkmi. (4) Liovolně jsme zvolili počáteční koncový odpři půchodu smyčkmi. Tolik liovůle čsto znepokojuje zčátečník v řešení ovodů, le zkušený odoník se nezlekne. Zpmtujme si především dvě pvidl. Z pvé, kždou zvolenou smyčku musíme pojít celou. Z duhé, jkmile jsme jednou zvolili učitý smě někteého poudu, nesmíme ho změnit, dokud nevypočítáme číselně hodnoty všech poudů. Zvolíme-li smě oáceně, znménko minus ( ) ve výsledku vás n to upozoní. Opvu povedeme jednoduše vypuštěním znménk minus oácením šipky znázoňující původně zvolený smě poudu n oázku ovodu. Nikdy všk nesmíme povést tuto opvu dříve, než vypočítáme všechny potřené poudy npětí (tk jsme postupovli v př. 28.4). Bod 28.4: Řešení složitého ovodu s mnoh smyčkmi Není příliš pvděpodoné, že y složitý ovod s mnoh smyčkmi potřeovl řešit někdo jiný než odoník elektotechnik. Přesto sndčtenáře potěší, uvidí-li, že si se svými

14 728 KAPTOLA 28 OBVODY dosvdními znlostmi může podit s liovolně složitou stuktuou elektického ovodu. Podle předchozího odu již víme, jk převést řešení ovodu n řešení soustvy ovnic po neznámé poudy ve větvích, z nichž učíme npětí U n součástkách (ezistoech, teiích, ). Kždá ovnice ude popisovt jednu uzvřenou smyčku. Mohli ychom vypst všechny ovnice po všechny smyčky ve schémtu; dostli ychom ovšem po nše neznámé zytečně mnoho ovnic. (Soustv y tedy yl přeučená.) ovnice y si všk učitě neodpoovly postě y jich jen ylo zytečně mnoho, někteé y totiž yly součtem či ozdílem osttních ovnic. Aychom vyli úplný souo všech N nezávislých ovnic po N neznámých poudů, můžeme postupovt tkto: (1) Podle zdného schémtu s vodiči, ezistoy zdoji emn vytvoříme gf, kteý sice zchová všechny uzly, tj. ody, kde se stýkjí 3 neo více vodičů, le jeho hny, tj. spojnice mezi uzly, udou pouhé úsečky, kteé udou nhzovt skutečné větve, tedy jk vodiče, tk i všechny součásti původního ovodu. N poloze liovolného uzlu n ppíře smozřejmě nezáleží, pokudovšem neměníme počet hn do něj vcházejících přiřzení kždé hny původní větvi se součástkmi. Kdyychom kolem gfu nkeslili kužnici všechny uzly n ni přesunuli, získli ychom mnohoúhelník s mnoh digonálmi. (2) V gfu vyznčíme liovolný úplný stom. Bude oshovt všechny uzly, le jen někteé hny, tj. tkové, kteé y nikde nevytvořily uzvřenou smyčku. Stom je úplný, když mu už nejde doplnit žádnou dlší hnu, niž y se vytvořil uzvřená smyčk. Po dný gf lze vytvořit mnoho ůzných úplných stomů, všechny všk mjí stejný počet hn. Všechny tké mjí stejný počet N ve stomu nepoužitých hn. Ten je oven počtu neznámých poudů ve smyčkách počtu ovnic, kteé po ně nkonec získáme. Hny tvořící stom udeme pokládt z hny použité. (3) Nyní do gfu s úplným stomem přidáme jednu z nepoužitých hn. Tím se nutně vytvoří jedn smyčk (jink y neyl stom úplný) dá se dokázt, že se tím uzvře pávě jedn smyčk ne více. Této smyčce odpovídá jedn ovnice podle smyčkového pvidl z čl Zpíšeme ji do nšeho seznmu nezávislých ovnic. Odpovídjící hnu zřdíme mezi použité. (4) Předchozí kok opkujeme tolikát, ž vyčepáme všechny nepoužité hny sítě. S kždou dostáváme jednu ovnici; získné ovnice jsou nezávislé pávě postčují po vyřešení nší úlohy AMPÉMT A VOLTMT Přístoj používný k měření poudu se nzývá mpémet. Aychom mohli změřit poudve vodiči, musíme ovod přeušit vložit mpémet, tkže poudpochází měřicím přístojem (o ). Je důležité, y odpo A mpémetu yl velmi mlý ve sovnání s osttními odpoy v ovodu. V opčném přípdě y přítomnost mpémetu zmenšil měřený poud. Přístoj používný k měření npětí (ozdílu potenciálů) se nzývá voltmet. Při měření npětí mezi dvěm ody ovodu připojujeme voltmet mezi tyto ody měřený ovod nepřeušujeme (o ). A 2 1 O Jednoduchý ovod znázoňující zpojení mpémetu voltmetu. Odpo voltmetu V musí ýt mnohem větší než odpo kteéhokoli pvku ovodu, k němuž je voltmet připojen. V opčném přípdě y poud tekoucí měřicím přístojem již neyl znedtelný zmenšil y měřené npětí. Čsto se můžeme setkt s měřicím přístojem vyveným přepínčem, kteý může sloužit (podle polohy přepínče) jko mpémet neo jko voltmet ovykle i jko ohmmet po měření odpou připojeného mezi jeho svoky. Tkový univezální přístoj se nzývá multimet OBVODY C Až dosud jsme se zývli pouze ovody, v nichž se poud neměnil s čsem. Nyní zčneme studovt poudy poměnné včse. c d V Níjení kondenzátou Kondenzáto o kpcitě C n o nejpve není nit. Aychom ho nili, přepneme přepínč S do polohy. Po přepnutí dostáváme uzvřený séiový C ovod oshující kondenzáto o kpcitě C, ezisto o odpou ideální teii o elektomotoickém npětí. S O Je-li přepínč S přepnut do polohy, kondenzáto C se níjí přes ezisto. Dáme-li potom přepínč do polohy, kondenzáto se vyíjí přes ezisto. Z čl už víme, že jkmile je přepínčem připojen teie, zčne n oou koncích kondenzátou přecházet elektický náoj ( tedy potékt poud) mezi elektodou C

15 28.8 OBVODY C 729 kondenzátou svokou teie. Poud zvětšuje náoj Q n kondenzátou tím npětí U C = Q/C n jeho elektodách. Když se toto npětí vyovná s npětím n svokách teie (to je v nšem přípdě ovno elektomotoickému npětí ), poudklesne n nulu. Z ov. (26.1) (Q = CU) plyne, že ustálený (koncový) náoj nitého kondenzátou má velikost C. Nyní se udeme podoně zývt pocesem níjení. Bude nás zejmén zjímt, jk se v půěhu níjení mění sčsemnáoj Q(t) n deskách kondenzátou, npětí U C (t) n kondenzátou poud (t) v ovodu. Zčneme tím, že použijeme smyčkové pvidlo pojdeme ovodem od záponého pólu teie ve směu otáčení hodinových učiček; dostneme tk ovnici Q = 0. (28.27) C Poslední člen n levé stně je npětí n kondenzátou. Tento člen má záponé znménko, potože honí desk kondenzátou připojená ke kldnému pólu teie má vyšší potenciál než dolní desk půchodem kondenzátoem se tedy potenciál sníží. Smotnou ov. (28.27) nemůžeme vyřešit, potože oshuje dvě neznámé Q. Tyto veličiny všk nejsou nezávislé, potože po ně pltí = dq dt. (28.28) Doszením z poud do ov. (28.27) odžíme dq dt + Q C = (ovnice po níjení kondenzátou). (28.29) Tto difeenciální ovnice popisuje čsovou změnu náoje Q kondenzátou n o Řešit tuto ovnici znmená njít funkci čsu Q(t), kteá splňuje tuto ovnici splňuje tké počáteční podmínku, že n počátku yl kondenzáto nenitý: Q = 0pot = 0. Později ukážeme, že řešení ov. (28.29) je Q = C (1 e t/(c) ) (náoj při níjení kondenzátou). (28.30) (Zde e je zákld přiozených logitmů, e = 2,718, nikoli elementání náoj e.) ov. (28.30) opvdu vyhovuje nšim počátečním podmínkám. Po t = 0 je exponenciální člen e t/(c) oven jedné, tkže náoj Q je oven nule. Po t (tj. pkticky vzto po dosttečně dlouhé doě) je člen e t/(c) oven nule ovnice dává spávnou hodnotu ustáleného náoje kondenzátou, to Q = C.N o je gf funkce Q(t) při níjení kondenzátou. Deivováním náoje Q(t) podle čsu dostneme čsový půěh poudu při níjení kondenzátou = dq dt = e t/(c) (poudpři níjení kondenzátou). (28.31) Gf funkce (t) při níjecím pocesu je n o Počáteční hodnot poudu je / klesá postupně k nule, jk se kondenzáto níjí. Z této počáteční hodnoty poudu můžeme tké usoudit, že v okmžiku t = 0 se kondenzáto chová jko vodič se znedtelným odpoem. Q (mc) C t (ms) () (ma) 6 / t (ms) () O () Závislost náoje kondenzátou n čse podle ov. (28.30). Je vidět, jk se kondenzáto z o postupně níjí. () Závislost níjecího poudu n čse podle ov. (28.31). Níjecí poudpostupně klesá k nule. Křivky jsou nkesleny po hodnoty = 2 000, C = 1 mf, = 10 V. Mlé tojúhelníčky vymezují intevly o délce čsové konstnty τ C = C. Pomocí ov. (26.1) (Q = CU) ov. (28.30) vypočítáme čsový půěh npětí n kondenzátou ěhem níjení U C = Q C = (1 e t/(c) ) (npětí při níjení kondenzátou). (28.32) Po t = 0jeU C = 0pot, kdy je kondenzáto úplně nit, je U C =. Čsová konstnt Součin C v exponenciálních funkcích v ov. (28.30), (28.31) (28.32) má ozmě čsu (jednoduše to plyne z toho, že gument exponenciální funkce musí ýt ezozměový), tedy (1 )(1F) = 1 s. Součin C se nzývá čsová konstnt séiového C ovodu oznčuje se symolem τ C : τ C = C (čsová konstnt). (28.33) Z ov. (28.30) plyne, že v okmžiku t = τ C se náoj původně nenitého kondenzátou zvětšil n hodnotu Q = C (1 e 1 ). = 0,63C. (28.34)

16 730 KAPTOLA 28 OBVODY Řečeno slovně, ěhem pvního intevlu o délce čsové konstnty τ C se náoj zvětšil z nuly si n 63 % své koncové hodnoty C. Mlé tojúhelníčky n čsové ose n o vyznčují intevly o délce jedné čsové konstnty ěhem níjení kondenzátou. Níjecí do po C ovody se čsto udává pomocí veličiny τ C :čímdelší je τ C, tím delší je níjecí do. Vyíjení kondenzátou Nyní udeme předpokládt, že kondenzáto n o je již nit n npětí U 0, kteé se ovná elektomotoickému npětí teie. V okmžiku t = 0 přepneme spínč S z polohy do polohy, tkže se kondenzáto zčne vyíjet přes ezisto. Jk se mění náoj kondenzátou Q(t) vyíjecí poud (t)tekoucí kondenzátoem ezistoem v závislosti n čse? Potože nyní v ovodu není teie, ude v ov. (28.29) = 0, poto pltí Její řešení je dq dt + Q C Q = Q 0 e t/(c) = 0 (ovnice po vyíjení kondenzátou). (náoj při vyíjení kondenzátou), (28.35) (28.36) kde Q 0 = CU 0 je počáteční náoj kondenzátou v okmžiku t = 0. Ověřte si doszením, že ov. (28.36) je skutečně řešením difeenciální ovnice ov. (28.35). Z ov. (28.36) plyne, že náoj Q klesá exponenciálně s čsem ychlost poklesu je učen čsovou konstntou τ C = C. V okmžiku t = τ C se náoj kondenzátou zmenší n hodnotu Q 0 e 1, tedy přiližně n 37 % své počáteční hodnoty. Je-li čsová konstnt větší, je vyíjecí do delší. Deivováním ov. (28.36) podle čsu odvodíme vzth po poudpři vyíjení kondenzátou = dq dt ( Q0 ) = e t/(c) C (poudpři vyíjení kondenzátou). (28.37) Poudtké klesá exponenciálně, ychlost poklesu je opět učen čsovou konstntou τ C. Počáteční poud 0 je Q 0 /(C). Všimněte si, že poud 0 se dá sndno vypočítt, jestliže po okmžik t = 0 použijete smyčkové pvidlo: kondenzáto s počátečním npětím U 0 je spojen s ezistoem, tkže poudmusí ýt 0 = U 0 / = (Q 0 /C)/ = = Q 0 /(C). Znménko minus v ov. (28.37) vyjdřuje, že náoj kondenzátou s čsem klesá. Odvození ov. (28.30) Aychom mohli řešit ov. (28.29), přepíšeme ji nejpve do tvu dq + Q dt C =. (28.38) Oecné řešení této difeenciální ovnice má tv Q = Q p + Ke t, (28.39) kde Q p je její ptikulání řešení, K je konstnt, kteá se učí z počátečních podmínek, = 1/(C) je koeficient u poměnné Q v ov. (28.38). Aychom vypočetli Q p, položíme v ov. (28.38) dq/dt = 0 (to odpovídá koncovému stvu, kdy už se kondenzáto dále neníjí jeho náoj se nemění). Tím odžíme Q p = C. (28.40) Aychom učili K, dosdíme ov. (28.40) do ov. (28.39), tk dostneme Q = C + Ke t. Po doszení počáteční podmínky Q = 0pot = 0 získáme 0 = C + K, odkud K = C. Když nyní oě vypočtené hodnoty Q p K dosdíme do ov. (28.39), dospějeme ke konečnému výsledku Q = C C e t/(c), kteý je totožný s ov. (28.30). KONTOLA 5: V tulce jsou uvedeny čtyři souoy hodnot pvků z ovodu n o Uspořádejte tyto souoy sestupně podle () počáteční hodnoty poudu (když se spínč přepne do polohy ), () podle čsu potřeného k poklesu poudu n polovinu počáteční hodnoty /V / C/mF 3 2 0,5 2 PŘÍKLAD 28.6 Kondenzáto o kpcitě C se vyíjí přes ezisto o odpou. () Vyjádřete pomocí čsové konstnty τ C = C, zjk dlouho klesne náoj kondenzátou n polovinu své počáteční hodnoty.

17 28.8 OBVODY C 731 ŘŠNÍ: Náoj kondenzátou se mění podle vzthu (28.36) Q = Q 0 e t/(c), kde Q 0 je počáteční náoj. Hledáme tkový okmžik t, kdy Q = Q 0 /2, tedy 1 2 Q 0 = Q 0 e t/(c). (28.41) Náoj Q 0 n oou stnách ovnice se zkátí hledný čs t je v exponentu. Poto musíme oě stny ovnice logitmovt (přiozený logitmus je invezní funkcí k exponenciální funkci) dostneme ln 1 2 = ln(e t/(c) ) = t/(c), lektická potenciální enegie kondenzátou se zmenšuje ychlostí P C = d p /dt. Pomocí ov. (28.42) dostneme P C = d p dt = d dt ( p,0 e 2t/(C) ) = 2 p,0 C e 2t/(C) po doszení p,0 = Q 2 0 /2C vyjde P C = Q2 0 C 2 e 2t/(C). (Odpově ) Všimněte si, že P C + P = 0, což znmená, že elektická potenciální enegie kondenzátou je v ezistou zcel disipován. tj. t = ( ln 1 2 )C = 0,69C = 0,69τ C. (Odpově ) () Z jk dlouho klesne elektická potenciální enegie kondenzátou n polovinu své počáteční hodnoty? ŘŠNÍ: lektická potenciální enegie kondenzátou je podle ov. (26.21) (28.36) PŘÍKLAD 28.7 Ovod n o se skládá z ideální teie o elektomotoickém npětí = 12 V, dvou ezistoů o odpoech 1 = 4,0, 2 = 6,0 z původně nenitého kondenzátou o kpcitě C = 6,0 mf. V okmžiku t = 0 je ovod uzvřen sepnutím spínče S. p = Q2 2C = Q2 0 2C e 2t/(C) = p,0 e 2t/(C), (28.42) S C kde p,0 je jeho počáteční enegie. Hledáme tkový čs t, kdy p = p,0 /2, tedy p,0 = p,0 e 2t/(C). Člen p,0 se zkátí logitmováním oou stn ovnice dostneme ln 1 2 = 2t/(C), tj. t = C ln = 0,35C = 0,35τ C. (Odpově ) Náoj kondenzátou tedy klesne n polovinu své počáteční hodnoty z delší dou (0,69τ C ) než elektická potenciální enegie kondenzátou (0,35τ C ). Nepřekvpil vás tento výsledek? (c) Jk ychle (tj. s jkým výkonem P ) se v ezistou vyvíjí teplo ěhem pocesu vyíjení? Jk ychle (tj. s jkým výkonem P C ) se při vyíjení zmenšuje elektická potenciální enegie kondenzátou? ŘŠNÍ: Vyíjecí poudje dán ov. (28.37). Pomocí vzthu (27.22) (P = 2 ) dostneme P = 2 = = Q2 0 C 2 e 2t/(C). ( Q 0 C e t/(c)) 2 = (Odpově ) O Příkld28.7. Po sepnutí spínče se ovoduzvře teie zčne níjet kondenzáto. () Jké je npětí n deskách kondenzátou v okmžiku t = = 2,0τ C? ŘŠNÍ: Kondenzáto n o se níjí přes ezisto 1 z teie o elektomotoickém npětí, tedy stejně jko v ovodu n o (ezisto 2 nemá n níjení vliv). Npětí U C n kondenzátou můžeme tedy vypočítt pomocí ov. (28.32), pouze místo dosdíme 1,tedy U C = (1 e t/( 1C) ). Dosdíme-li t = 2,0τ C = 2,0 1 C dlší číselné hodnoty, dostneme U C = (12 V) ( 1 e 2,0 1C/( 1 C) ) = = 12 V ( 1 e 2,0) = 10 V. (Odpově ) () Jká jsou v okmžiku t = 2,0τ C npětí U 1 U 2 n ezistoech 1 2? Jk se tto npětí mění (zvětšují se, zmenšují se, neo zůstávjí stejná), když se kondenzáto níjí?

18 732 KAPTOLA 28 OBVODY ŘŠNÍ: Použijeme smyčkové pvidlo n velkou smyčku n o ; pojdeme-li jí ve směu otáčení hodinových učiček odzáponého pólu teie, dostneme ovnici U C U 1 = 0. (28.43) V části () jsme vypočítli, že v okmžiku t = 2,0τ C je npětí n kondenzátou U C = 10 V. Dosdíme-li ještě = 12 V, máme výsledek U 1 = 2,0V. (Odpově ) V půěhu níjení kondenzátou zůstává emn teie konstntní npětí U C n kondenzátou se zvyšuje. Přepíšeme-li ov. (28.43) do tvu U 1 = U C, vidíme, že npětí U 1 musí při níjení klest. Nyní použijeme smyčkové pvidlo po levou smyčku n o ; pojdeme-li jí tké ve směu otáčení hodinových učiček odzáponého pólu teie, odžíme tedy U 2 = 0, U 2 = = 12 V. Npětí U 2 se tedy při níjení kondenzátou nemění. PŘHLD & SHNUTÍ lektomotoické npětí Zdoj elektomotoického npětí (neoli zdoj emn) udžuje jisté npětí mezi svými svokmi; y ho udžel i při oděu poudu (při ztížení), musí ýt schopen kont páci n nosičích náoje. Je-li dw z páce, kteou zdoj vykoná při půchodu kldného náoje dq vnitřkem zdoje od záponého pólu ke kldnému, je jeho elektomotoické npětí (páce vztžená n jednotkový náoj) ovno = dw z (definice emn). (28.1) dq Jednotkou emn v soustvě S je volt, tedy stejná jednotk jko po npětí. deální zdoj emn má nulový vnitřní odpo. Npětí n jeho svokách je stále ovno elektomotoickému npětí. eálný zdoj emn má nenulový vnitřní odpo. Npětí n jeho svokách je ovno elektomotoickému npětí pouze v přípdě, že zdojem nepochází žádný poud. Anlýz ovodů Pocházíme-li elektickým ovodem (smyčkou) ve zvoleném směu, pltí: Při půchodu ezistoem o odpou ve směu poudu se potenciál změní o hodnotu, při půchodu v opčném směu o hodnotu +. Při půchodu ideálním zdojem emn ve směu šipky znázoňující toto npětí se potenciál změní o hodnotu + při půchodu v opčném směu o hodnotu. Ze zákon zchování enegie plyne smyčkové pvidlo: Smyčkové pvidlo: Algeický součet úytků npětí při půchodu liovolnou uzvřenou smyčkou je nulový. Ze zákon zchování elektického náoje plyne uzlové pvidlo: Uzlové pvidlo: Součet poudů vstupujících do uzlu se ovná součtu poudů z uzlu vystupujících. Jednoduché ovody Poud v jednoduchém ovodu tvořeném jedinou smyčkou, kde je zpojen ezisto o odpou zdoj elektomotoického npětí s vnitřním odpoem, je = +. (28.4) V přípdě ideálního zdoje emn ( = 0) přechází tento vzth do tvu = /. Výkon Jestliže eálnou teií o elektomotoickém npětí vnitřním odpou potéká poud, pk výkon P, kteý dodává teie postřednictvím nosičů náoje do zytku celého zpojení, je P = U, (28.11) kde U je npětí n svokách teie. Ztátový výkon P (uvnitř teie) je P = 2. (28.13) Výkon zdoje emn P emn (tj. ychlost, s jkou uývá chemická enegie teie) je oven P emn =. (28.14) Séiové zpojení ezistoů Jsou-li ezistoy zpojeny séiově neoli z seou, pochází jimi stejný poud celkové npětí n ně přiložené je ovno součtu npětí n jednotlivých ezistoech. Celkový odpo séiové komince ezistoů je n s = j (n ezistoů zpojených séiově). (28.7) j=1 ( jiné součástky než ezistoy je možné zpojovt séiově.) Plelní zpojení ezistoů Jsou-li ezistoy zpojeny plelně neoli vedle see, je npětí n kždém ezistou stejné jko npětí přiložené k jejich kominci celkový poudpocházející komincí ezistoů je oven