ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE. Fakulta stavební. Obor geodézie a kartografie DIPLOMOVÁ PRÁCE

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Obor geodéze a kartografe DIPLOMOVÁ PRÁCE Zajšťovací mkrosíť geodetcko-geotechnckého vrtu V1 prosnec 5 Jan Vavroch

2 Zajšťovací mkrosíť geodetcko-geotechnckého vrtu V1 he Montorng Network for he Geodetc-Geotechncal Drll-Hole V1 Abstrakt Dplomová práce se zabývá hledáním optmálních varant zajšťovacích mkrosítí a jejch analýzou z hledska přesnost, spolehlvost, robustnost a cenových nákladů s cílem vybrat nejvhodnější řešení. V závěru jsou uvedeny výsledky praktckého zaměření nulté etapy. Abstract he dploma thess descrbes methods of desgn of optmal confguraton of mcronetworks n consderaton of accuracy, relablty, robustness, and cost. he result s the comparson of varants and fnal desgn of the mcro-net. Practcal results are shown at the end. 4

3 Čestné prohlášení: Prohlašuj, že jsem celou dplomovou prác včetně všech příloh vypracoval samostatně, s použtím uvedené lteratury. V Praze dne Jan Vavroch 5

4 Děkuj Doc. Ing. Mroslavu Hampacherov CSc. a Ing. omáš Kubínov za cenné rady a přpomínky poskytované v průběhu tvorby dplomové práce. Za odborné vedení a spoluprác děkuj vedoucímu dplomové práce Ing. omáš Jřkovskému. 6

5 Obsah: 1. Úvod Základní síť Zajšťovací mkrosíť bodu V1 ( malá síť ) Výšková síť Polohová mkrosíť Cíl dplomové práce Užté pojmy a symbolka Pojmy Matcové a vektorové symboly Matematcké operace Pseudonverze Kroneckerovo násobení Khatr-Raovo násobení Řádkové zobrazení matce Vyrovnání volných sítí Obecné odvození Měřené a zprostředkující parametry Praktcká aplkace Charakterstky přesnost Shrnutí Krtéra spolehlvost geodetckých sítí Stochastcký a funkční model geodetcké sítě Odhalení hrubých chyb Spolehlvost geodetckých sítí Shrnutí Praktcký příklad Robustnost polohových geodetckých sítí Pops deformace Výpočet matce deformace Míra deformace Robustnost Shrnutí Příklad Optmalzace geodetckých sítí Defnce problému Metody řešení Přímá aproxmace matce Q x Iteratvní aproxmace matce Q x Přímá aproxmace nverze matce Q x Kvalta aproxmace eore tří kroků

6 6.4 aylor-karmanova struktura matce váhových koefcentů Příklady matc s aylor-karmanovou strukturou Návrhy sítí Shrnutí výsledků Srovnání jednotlvých varant Určení polohových změn Vlv chyby podkladu Etapová vyrovnání estování zprostředkujících velčn estování měřených velčn Zaměření nulté etapy Přístrojové vybavení Způsob měření Vyrovnání Vyrovnání úhlové sítě Vyrovnání kombnované sítě Shrnutí Závěr Použtá lteratura Příloha Optmalzace sítí, analýza robustnost I 11. Zaměření nulté etapy XVI Součástí dplomové práce je CD se zdrojovým kódy použtých výpočetních programů a elektronckou verzí dplomové práce a přílohy. 8

7 1. Úvod Za podpory několka grantů, výzkumných záměrů a zakázek Správy Pražského hradu je jž několk let prováděn geodetcký a geotechncký montorng objektů Pražského hradu. Na projektech se podílí především pracovníc kateder geotechnky a specální geodéze Fakulty stavební ČVU v Praze. Provádí se mnoho pozorování na různých objektech, sleduje se sedání a zdvhy jednotlvých částí, a to především přesnou nvelací a mkrometrckým měřením v sondovacích geotechnckých vrtech. Dále pak náklony částí objektů hlavně optckým provažováním a trgonometrckým metodam a nklnometrí ve vrtech. Některé měřcké značky jsou uzpůsobeny pro využtí DstoMeteru Kern (zajímavé zařízení pro velm přesné mechancké měření délek). Kromě toho se provádí různá další účelová měření. Na základě rozsáhlost prací území vznkl projekt spojující geodetcké a geotechncké metody měření. Geotechncké metody měření poskytují nformac o relatvních změnách zhlaví vrtu vůč patě zakotvené ve sklaním podloží. Geodetcká měření umožňují tyto nformace absolutzovat vzhledem ke vztažnému souřadncovému systému. V případě Pražského hradu se př obou technologích jedná o měření s vysokým nároky na přesnost, neboť posuny (relatvní absolutní) jsou velm malé, na hranc průkaznost. 1.1 Základní síť Základní vztažnou síť tvoří tř body: nezávslý vztažný bod celé sítě, označený V1, je vybudován na ustáleném podloží v blízkost Fakulty stavební ČVU, druhý je uprostřed Hradčanského náměstí a třetí v parku u Letohrádku královny Anny. Strany trojúhelníka jsou as 1,6 km,,1 km a,8 km. ento trojúhelník má být polohově proměřován metodou GPS (přesná statcká metoda, postprocessng) a výškově zahrnut do stávající husté sítě nvelačních pořadů PN a VPN s napojením na ČSNS. Další čtyř vrty v prostoru Pražského hradu jsou proměřovány výškově, polohově však pouze relatvně (nejsou vhodné pro GPS), popř. zapojením do polygonové sítě. Měřcí vrty jsou většnou vertkální vrty hloubky -3 metrů a průměru 1 1 mm vystrojené plastovým pružným pažncem (průměr 75 mm) s kovovým měřckým bajonetovým zarážkam v rozestupech 1 metr. Okolí pažnce je vyplněno 9

8 pružnou cemento-jílovou mazannou. Vrty jsou (v Praze) skryté pod úrovní terénu a kryté záklopem. V těchto vrtech je prováděno měření změn geometrckých parametrů mez měřcím zarážkam v celé hloubce vrtu, zejména pomocí klouzavých mkrometrů (přesné rozestupy zarážek), nklnometrů (odchylky od svslce) a kombnovaných unverzálních sond (RIVEC). Výstroj měřcí zařízení dodává švýcarská frma Solexperts a je patentováno Swss Federal Insttute of echnology. Měřcích zařízení vrtů tohoto typu je v ČR zatím nemnoho (RIVEC je údajně pouze jeden na Katedře geotechnky ČVU v Praze). Geodetcký bod je realzován specálním centračním přípravkem, který se usazuje na první měřckou zarážku př zhlaví vrtu. Geodetcký bod je tak vytvořen pouze dočasně, po dobu měření, ale zcela jednoznačně a v přímé návaznost na měřcké pozce geotechnckého nklnometru a mkrometru. Přípravek umožňuje přesnou optckou centrac nad značkou, má jednoznačnou výšku (pro nvelac) a je vybaven závtem pro přímé osazení trojnožky, GPS antény nebo odrazného hranolu nebo jakýchkolv lehčích zařízení (totální stanc na něj přímo umístt nelze). Obr. 1.1: Centrační přípravek na zhlaví měřckého vrtu osazený trojnožkou a všesměrovým hranolem 1

9 1. Zajšťovací mkrosíť bodu V1 ( malá síť ) Z prostředků grantu IGS CU44111 Doplnění a studum expermentální geodetcké sítě pro sledování pozčních změn hstorckých objektů byla v r. 4 vybudována př vztažném bodě V1 zajšťovací mkrosíť. a má sloužt ke kontrole stablty a případnému sledování polohových a výškových změn zhlaví vrtu vůč blízkému okolí (pro odlšení např. poškození zhlaví od skutečných posunů povrchových vrstev). Mkrosíť je rozdělena na část polohovou a výškovou Výšková síť Výška je sledována velm přesnou dgtální nvelací (odpovídající VPN II. řádu) pomocí nvelačního přístroje rmble Zess DN1. Hvězdcová nvelační síť je tvořena třem oddíly, čtyřm nvelačním značkam, z toho dvě (č. 34 a 35) patří do státního nvelačního pořadu ČSNS B-16. Všechny nvelační čepové značky jsou osazeny na okolních blízkých stavebních objektech (ČVU, VŠCH, aj.). Každý nvelační oddíl je rozdělen na čtyř sestavy a v maxmální míře respektuje zásady VPN. Obr. 1.: Výšková zajšťovací síť bodu V1 11

10 1.. Polohová mkrosíť Pozční změny jsou sledovány měřením horzontálních směrů a délek ke třem zajšťovacím značkám pomocí přesné automatcké totální stance (Leca CA3). Délka záměr je od cca 45 m do cca 65 m. Skryté značky (zděře se závtem M6) jsou osazeny na stěnách okolních stavebních objektů a umožňují jednoznačné přpevnění cílových terčů a malých odrazných hranolů. ak jsou elmnovány chyby z centrací cílů a jedným vlvem (kromě měření) je centrace přístroje nad vrtem ta se provádí pomocí samostatného optckého centrovače (otočného, s možností kontroly). Použtá totální stance pak s využtím programu Montorng automatcky proměřuje délky a směry v požadovaném počtu opakování (v obou polohách dalekohledu). Obr. 1.: Schéma polohové mkrosítě s vyznačeným zprostředkujícím velčnam 1

11 1.3 Cíl dplomové práce Hlavní problém stávající polohové mkrosítě je v nedostatku nadbytečných velčn. Př třech měřených délkách a třech směrech (dávajících dva nezávslé úhly) je počet zprostředkujících velčn (úhly a délky) roven pět. Po přpojení tří podmínek pro umístění volné sítě v rovně získáme počet zprostředkujících měření rovný počtu určovaných souřadnc. Body sítě jsou tedy určeny bez vyrovnání. Další nedokonalost stávající sítě spočívá v nutnost umístění přístroje nad bodem V1. Jakmle postavíme nad tímto bodem statv s přístrojem, dopouštíme se př pečlvém optckém dostředění chyby rovné směrodatné odchylce v dostředění e,7 mm, která nepříznvě systematcky ovlvňuje výslednou velkost posunu. Ideální tedy bude navrhnout takovou polohovou síť, ve které nebude nutné měřt jakékolv velčny přímo na bodě V1 a zároveň tato měření poskytnou dostatečný počet zprostředkujících velčn pro možnost vyrovnání. Stávající výšková síť splňuje veškeré požadavky, které jsou na n kladeny, zůstane tedy beze změn. Na nově navrženou mkrosíť jsou kladeny zejména následující požadavky: Přesnost určení souřadnc (směrodatná odchylka) bodu V1 je xy,1 mm. ato poměrně malá hodnota byla zvolena vzhledem k samotné povaze bodu hloubkový vrt stablzovaný na skalním podloží, u jehož zhlaví jsou očekávané velkost posunů velm malé. V metodách nženýrské geodéze je tento požadavek reálný, zvýšení přesnost by pravděpodobně vyžadovalo metody geotechncké. Spolehlvost sítě (vz kaptola 4) je co možná největší Robustnost sítě (vz kaptola 5) je co možná nejmenší Cenové náklady a časová náročnost měření jsou co možná nejmenší 13

12 . Užté pojmy a symbolka V následujících odstavcích se objevují pojmy a symboly, které se v geodéz běžně používají a jejch význam je obecně znám. Kromě nch se však v dalším textu budou vyskytovat symboly a velčny, které v geodéz nejsou tak frekventované, nebo jejch význam je poněkud jný. Z tohoto důvodu je na následujících řádcích předložen souhrn užtých označení a jejch význam. Význam dalších symbolů a pojmů, které nejsou uvedeny v této kaptole, je objasněn přímo v textu př jejch prvním použtí..1 Pojmy měřený prvek - měřený geometrcký parametr (např. délka, směr, úhel, ) konfguračních parametr - souřadnce (hledané zadané) zprostředkující parametr - parametr vypočtený z měřených geometrckých parametrů a sloužící k výpočtu hledaných velčn (konfguračních parametrů). Matcové a vektorové symboly l, * l - -té měření l, l * - vektor měření ~ - skutečná hodnota měřené velčny l ~ l l l - vektor skutečných hodnot měřených velčn - vyrovnané měření - vektor vyrovnaných měření l - redukované měření l - vektor redukovaných měření l - hrubá chyba v měření l max l - maxmální neodhalená hrubá chyba v měření l ε ε - skutečná chyba měřené velčny - vektor skutečných chyb měřených velčn 14

13 - směrodatná odchylka jednotková (střední jednotková varance) - aposterorní směrodatná odchylka jednotková - směrodatná odchylka měření l (varance měření l ) xy - souřadncová směrodatná odchylka p ρ j - směrodatná odchylka polohová - korelační koefcent mez měřením l a l j x~ - skutečná (pravá) hodnota konfguračního parametru x~ - vektor skutečných (pravých) hodnot konfguračních parametrů (souřadnc) x x x - vektor vyrovnaných konfguračních parametrů - přblžná hodnota konfguračního parametru - vektor přblžných hodnot konfgurace sítě ω jk - úhel mez body, j, k * ω,ω - úhel měřený, vyrovnaný ψ * ψ,ψ d j * d,d v w h a j e I A P N M Q R - směr na bod - směr měřený, vyrovnaný - délka mez body, j - délka měřená, vyrovnaná - vektor oprav měřených geometrckých parametrů - vektor oprav zprostředkujících parametrů - vektor oprav přblžné konfgurace - prvek na -tém řádku v j-tém sloupc matce A - -tý jednotkový vektor - jednotková matce - matce konfgurace, modelová (Jakobho) matce - váhová matce - matce normálních rovnc - kovaranční matce - matce váhových koefcentů - redundanční matce 15

14 .3 Matematcké operace.3.1 Pseudonverze Označení: ( ) + Pseudonverze je nverze matce, která je defnována pro lbovolnou komplexní matc, která nemusí nezbytně být čtvercová. Pro lbovolnou komplexní matc je možné defnovat mnoho pseudonverzí. Nejčastěj myšlená a používaná je Moore-Penroseova nverze, která je specálním případem pseudonverze. Bude-l v následujících kaptolách použt pojem pseudonverze, myslí se tím právě zmíněná Moore-Penroseova nverze. Ve většně matematckých softwarů je pseudonverze předem nadefnována, např. v programu MAHEMAICA je uvedena jako PseudoInverse, software MALAB j volá příkazem pnv(). Více o pseudonverzích např. [1], [], [6]..3. Kroneckerovo násobení Označení: Jsou dány dvě matce A, B o rozměru A (m, n) a B (p, q). Potom Kroneckerovo násobení matc A, B je defnováno jako: A B = ajb (.1) a skládá se z m n submatc řádu p q..3.3 Khatr-Raovo násobení Označení: Nutnou podmínkou pro použtí Khatr-Raova násobení matc A, B je možnost rozdělt matce na stejný počet sloupcových submatc. Potom př [ A A ] A =, B = 1 Ak [ B B ] 1 Bk 16

15 bude Khatr-Raův násobek defnován jako [ A B A B A ] A B = (.) 1 1 k Bk.3.4 Řádkové zobrazení matce Označení: a = vec (A) p = dag (P) Je dána čtvercová matce A o rozměru A (n, n). Výsledkem řádkového zobrazení matce (rozkladu matce do vektoru) je vektor a o rozměru a (n, 1) skládající se z prvků matce A, bráno po řádcích. Zvláštním případem je označení: p = dag (P), kde výsledkem p je dagonála matce P, respektve obrácený vztah: P = dag (p), kde výsledná čtvercová matce P má na dagonále prvky vektoru p, nedagonální prvky jsou nulové. 17

16 3. Vyrovnání volných sítí Předpokládejme, že síť je tvořena body 1,,, n ( n 3). outo sítí jsou defnovány skutečné hodnoty: ~ ~ ~ měřených prvků: l = [ l ] 1 zprostředkujících prvků: ~ s = [ ~ s ~ ] 1 konfguračních parametrů: ~ x = [ ~ x, ~ y ~, ~ ] l r s m 1 1 x n y n 3.1 Obecné odvození x Měřené prvky ~ l a konfgurace sítě ~ x splňují podmínku: ~ g l = ~ s = f ~ x (3.1) ( ) ( ) * * * Označme = [ l1 l r ] = [ x, y x n y ] 1 vektor l předpsem: 1 l výsledky měření provedeného nad sítí,, n * ( l ) f ( x ) přblžnou konfgurac sítě. Potom lze defnovat redukovaný l = g (3.) Lnearzovaný vztah mez opravam měření = [ v ] konfgurace = [ dx dy, ] h 1, 1 dx n dy n zní: v a opravam přblžné Dv = w = Ah l (3.3) a z něj aplkací metody nejmenších čtverců: 1 v r h = 1 * 1 1 ( A PA) A ( D P D ) l (3.4) 3. Měřené a zprostředkující parametry Zaměření sítě je vždy provedeno tak, aby měření bylo možno považovat za nezávslá. Neznáme-l konkrétní hodnoty fyzkálních korelací měřených velčn, má matce vah těchto měření tvar * P = dag ( * p), kde * p je váha měřeného prvku l. Váha * p je určena vztahem: * p = (3.5) 18

17 kde je volená hodnota směrodatné odchylky jednotkové a je emprcká směrodatná odchylka -tého měření. Funkční nezávslost zprostředkujících velčn je v prncpu ekvvalentní s lneární nezávslostí řádků matce D. Proto můžeme defnovat matc P jako: P = 1 ( D P 1 D * ) (3.6) Ze vztahu (3.1) vyplývá, že zprostředkující prvky sítě jsou takové velčny, které je možné vypočítat jak z konfgurace sítě, tak z hodnot měřených prvků. Hodnoty * zprostředkujících prvků vypočtené z výsledků měření (tj. vektor g ( l ) ) můžeme též považovat za hodnoty zprostředkujících prvků získané způsobem nepřímého měření. V této souvslost můžeme matc P nterpretovat jako váhovou matc nepřímo měřených zprostředkujících prvků. ato matce však na rozdíl od matce * P nemusí být dagonální. U rovnných sítí za zprostředkující prvky volíme nejčastěj délky a úhly (úhly mez měřeným směry). Obecně lze vždy z k záměr na stanovsku vypočítat k - 1 nezávslých úhlů. Výpočetní vztahy zprostředkující velčny. ω * jk = ψ * jk ψ * j určují nepřímo měřené V polohové sítí o n bodech s měřeným délkam a směry, lze určt nejvýše n n m = n zprostředkujících velčn, z čehož je úhlů a n 3 n = n( n ) délek. Grafcké znázornění vztahu mez měřeným směry a zprostředkujícím velčnam (úhly) ukazuje obrázek (Obr. 3.1). Obr. 3.1: Grafcké znázornění vztahu mez měřeným směry a zprostředkujícím úhly 19

18 Jná stuace nastává, pokud jsou úhly měřeny přímo. Potom počet zprostředkujících úhlů ω je roven počtu přímo měřených úhlů a jm odpovídající submatce P je dagonální, s dagonálou P = dag (pω), kde p ω je váha měřeného úhlu ω jk. U délkově zaměřených sítí zprostředkující prvky jsou totožné s měřeným prvky sítě, submatce odpovídající délkám je dagonální, s dagonálou P = dag (p d ), kde p d je váha měřené délky d. Jsou-l v sít měřeny pouze délky a/nebo úhly, je matce D dagonální jednotková, a relace (3.3) se zjednoduší na tvar: v = w = Ah l (3.7) * ω 3.3 Praktcká aplkace Př výpočtu volné sítě jsou všechny body považovány za přblžné a vektor h má tedy rozměr h (n, 1). V důsledku toho má matce A lneárně závslé sloupce a matce normálních rovnc A PA = N je potom sngulární. Nelze k ní tedy najít jednoznačnou nverzní matc N -1. Řešení tohoto problému je možné přpojením podmínek p, což vede k rozšíření matce N o další lneárně nezávslé řádky a sloupce. akto rozšířená matce je jž regulární. Za normálních okolností, tj. za předpokladu, že v sít se najdou alespoň tř body, které neleží na jedné přímce, platí p = 3, je-l mez měřeným prvky alespoň jedna délka. V opačném případě je p = 4. Defnujme matc G takto: 1 y 1 1 x 1 y1 1 x1 1 y1 x1 G = respektve G = (3.8) 1 yn 1 xn yn 1 x n 1 yn xn Sngulární matce N se doplní podle schématu: A PA N = G G (3.9) Volbou matce G typu G (n, p) rozhodujeme o způsobu navázání lokální sítě k jejímu okolí, č obecněj řečeno o umístění této sítě v souřadncovém systému (prostřednctvím přblžných souřadnc bodů této sítě). Výše uvedená volba matce G se dx + dy, v geodéz obecně nazývá Helmert. Je vyjádřena podmínkou ( ) mn

19 která vyjadřuje prncp Helmertovy transformace: najít pevný bod a otočt okolo něj síť tak, aby součet čtverců vzdáleností všech vyrovnaných bodů od jejch přblžných poloh byl mnmální. uto podmínku lze aplkovat na všech n bodů sítě, nebo jen na některé vybrané body. O konkrétních možnostech volby matce G, stejně jako o způsobu naplnění matc A a D pojednává například [1], [15]. 3.4 Charakterstky přesnost - aposterorní směrodatná odchylka jednotková w Pw = (3.1) m n + p kde ve jmenovatel je počet nadbytečných zprostředkujících velčn M x konfgurace): M l M - kovaranční matce vyrovnaných souřadnc (kovaranční matce efektvní x = ( 1 Q = A PA) (3.11) - kovaranční matce vyrovnaných zprostředkujících velčn: M l AQA = (3.1) Za předpokladu řazení vektoru h = [ dx dy, ] 1, 1 dx n dy n, platí pro jednotlvé body: Směrodatná odchylka bodu ve směru osy x: = x = M, Q, (3.13a) Směrodatná odchylka bodu ve směru osy y: y = (3.13b) Kovarance xy: M + 1,+ 1 = Q+ 1,+ 1 cov (3.14) xy = M, + 1 = M + 1, = Q,+ 1 Směrodatná odchylka souřadncová: x + = (3.15) y xy 1

20 Směrodatná odchylka polohová: = + (3.16) p x y Průměrná směrodatná odchylka souřadncová: xy = ( Q) tr k kde tr() značí stopu matce, k = n je počet souřadnc. (3.17) Parametry střední elpsy chyb: Úhel stočení (včetně kvadrantů): cov xy tg ω = (3.18) x y Velkost hlavní poloosy: a = cos ω + sn ω + sn ω (3.19a) x cov xy Velkost vedlejší poloosy: y b = sn ω sn ω + cos ω (3.19b) x cov xy y 3.5 Shrnutí V předchozích odstavcích bylo nastíněno řešení vyrovnání volné sítě s měřeným délkam, směry a úhly. Dále byla ukázána volba podmínek pro umístění sítě do rovny. Z předchozího je pak zřejmé, že zvolíme-l matc G tak, že bude tvořena p nezávslým řádkovým vektory, budou opravy měření (3.7) vždy nezávslé na výsledném umístění sítě. Volba matce G tedy nemá vlv na vlastní vyrovnání měřených prvků. Podrobnější odvození a metody vyrovnání volných geodetckých sítí je možné najít např. v [11], [15].

21 4. Krtéra spolehlvost geodetckých sítí V geodetckých sítích je předmětem zájmu nejen přesnost funkcí měření (např. souřadnce, délky, úhly) ale rovněž také spolehlvost sítě. Spolehlvost znamená odolnost sítě vůč hrubým chybám v měření. V prax to znamená vytvoření statstckého testu, který by v této sít detekoval hrubé chyby v jednotlvých měřeních. Aplkován na všechna měření tento test může být poté použt jako globální měřítko spolehlvost. 4.1 Stochastcký a funkční model geodetcké sítě V geodetcké sít můžeme provést n měření l formujících sloupcový vektor: l = [, l ] l1,..., l n ~ Složky l tohoto vektoru se skládají ze skutečných (pravých) hodnot l a náhodných chyb ε : l = ~ + ε = 1,,..., n (4.1) l formujících sloupcové vektory ~ ~ ~ ~ l = l, l,..., l ε = [ ] 1 [ ε, ε,..., ε ] 1 a vektorové vyjádření tedy zní: l = ~ l + ε n n (4.) Vektor měření l má normální rozdělení: l N ~ l, (4.3) ( ) M 11 s kovaranční matcí M 11 : M 1 ( εε ) ρ 1 1 ρ n n = = = E Q ρ n1 n 1 ρ ρ 1 n 1 n ρ 1n 1 n n (4.4) kde E( ) - střední hodnota - varance měření l 3

22 ρ j Q 11 - korelační koefcent mez měřením l a l j - směrodatná odchylka jednotková (varance měření o jednotkové váze) - matce váhových koefcentů měření Rovnce (4.3) a (4.4) popsují stochastcké (náhodné) vlastnost vektoru měření l, nazývají se stochastcký model sítě. Ve stochastckém modelu se skutečné hodnoty měřených č zprostředkujících velčn nahradí jejch odhady, tj. měřeným resp. vyrovnaným hodnotam. Mějme sloupcový vektor ~ x skutečných (pravých) hodnot u parametrů (souřadnc): ~ x = [ ~ x, ~ x ~ ] 1,..., x u Funkčním modelem sítě se rozumí systém funkcí, které jednoznačně popsují vztahy mez jednotlvým měřeným velčnam a konfgurací sítě. Je dán lnearzací rovnc vyjadřujících funkčních vztah mez měřením a parametry (souřadncem): ~ l = A ~ x (4.5) kde A je modelová (Jakobho) matce. Metoda nejmenších čtverců vede k normálním rovncím A PAx A Pl = s váhovou matcí 1 P Q a řešením x jako odhad pro ~ x : = 11 kde x = QA Pl (4.6) ( 1 Q = A PA) je matce váhových koefcentů x Poznámka: Pro jednoduchost se předpokládá, že matce Q 11 a A PA jsou regulární, exstuje tedy jednoznačná nverze. U sngulárních matc (volné sítě) je pak nutné přpojení podmínek nebo pseudonverze. Nyní můžeme spočítat vektor vyrovnaných měření: l = A x = AQA Pl (4.7) a vektor oprav: v = A x l = l l (4.8) Pokud modely popsané v rovncích (4.3), (4.4), (4.5) jsou správné, vektor oprav má normální rozdělení v N(,M vv ) M vv vv = ( Q AQA ) = Q (4.9) 11 4

23 4. Odhalení hrubých chyb Stochastcký model sítě, stejně jako funkční model, mohou být narušeny různým způsoby; např. nesprávným odhadem koefcentů kovaranční matce M 11 č nesprávnou volbou parametrů ~ x. Nás ale v tomto případě zajímají zejména hrubé chyby, omyly v měření, neboť tyto chyby mohou způsobt velké znehodnocení výsledků. Uvažujme pouze jedno měření l ovlvněné hrubou chybou l, zatímco ostatní měření l j, j jsou ovlvněna pouze náhodným chybam. V tomto případě vyvstávají dvě možné hypotézy: nulová hypotéza: H : l ~ l + ε alternatvní hypotéza: H A : l l + l + ε =, E ( ) = l l ~ = ~, E( l ) = ~ l + l Uvážíme-l, že z ostatních měření l j, kde j =1,, n, j, můžeme odvodt odhad l pro měření l ~, pro tento nepřímý odhad dostáváme ( l ) ~ l udíž můžeme odhalt hrubé chyby z rozdílu E =. d = l ~ l představující statstcký test w d = (4.1) d kde d je směrodatná odchylka velčny d. Pokud platí nulová hypotéza H, náhodná proměnná w má normální rozdělení se střední hodnotou, w H N (, 1), ale pro H A je normální rozdělení necentrcké, H N ( δ,1) δ = l d w s parametrem necentralty: A Ve svých publkacích shrnul výsledky svého zkoumání o teor spolehlvost holandský geodet Baarda, a zavedl testovací náhodnou proměnnou w. Provedení testu ukazuje obrázek (Obr. 4.1). Krajním hodnotam -w α/ a + w α/ je osa w rozdělena na dvě část V a W následujícím způsobem: w W w w : přjmeme H α / w V w > w : odmítneme H α / 5

24 Obr. 4.1: Rozložení hustoty náhodné proměnné w a vztah mez α, β, δ Je možné, že tento test povede ke špatným závěrům, nastane chyba I. nebo II. druhu. Chyba I. druhu se vyskytne s aprorně zvolenou pravděpodobností α, která udává stupeň významnost výsledku testu, nebol pravděpodobnost, že když hypotéza je správná, tak bude testem odmítnuta coby nesprávná. Chyba II. druhu znamená, že test prostě neodhalí chybu, protože nepozná, že se jedná o hrubou chybu. Jelkož hodnota hrubé chyby l a tudíž parametr necentralty δ nejsou známy, pravděpodobnost β nemůže být v prax spočítána. Je však možné odvodt horní hranc δ jako funkc daných (vhodně zvolených) hladn významnost α, β. δ = λkrt je krtcká hodnota následující tabulka: χ testu s jedním stupněm volnost. Několk hodnot λ udává krt λ krt = δ α = 5% α = 1% α =,1% β = % β = 1% ab 4.1: abulka krtckých hodnot pro hladny významnost α, β a jeden stupeň volnost 6

25 Zvolíme-l například α = 5%, β = 1%, znamená to, že v tomto případě as 5% měření musí být opakováno ačkol jsou správná, na druhou stranu 1% hrubých chyb větších nebo rovno hranční hodnotě l max = δ d (4.11) zůstane neodhaleno. Abychom dostal praktcké vzorce pro statstcký test w, rozšřme funkční model ~ (4.5) o doplňkový parametr: l = A ~ x + e d e = [,,...,1,..., ] -tý jednotkový vektor. Rovnce uvedené výše vedou k rozšířeným normálním rovncím: A PA e PA A e Pe Pe a k doplňku q rozdílu d. q = x A d e Pl = Pl 1 ( e P( Q AQA ) Pe ) = ( e PQ Pe ) 1 11 Z toho dostáváme: vv (4.1) d eí Pv q e Pv = e PQ Pe = = q = d a na konec: o e PQ vv vv Pe w = e e í Pv PQ vv Pe max Z rovnce (4.11) potom plyne vztah pro hranční hodnoty l : max l = δ (4.13) e PQ Pe vv Označíme Q vv P = R a dále upravujeme předchozí rovnc: l max = δ = δ = δ = e PRe R R λ krt R (4.14) kde λ krt je krtcká hodnota posunu alternatvního rozdělení pravděpodobnost, coby funkce zvolených pravděpodobností α, β. je aprorní chyba v -tém pozorování 7

26 (považována za známou) a R je -tý prvek na dagonále matce 1 ( PA) A P, R = Q P = I A A R <, 1 > je Baardův faktor přeurčenost, který vv vyjadřuje míru vlvu -tého pozorování na výsledek vyrovnání. 4.3 Spolehlvost geodetckých sítí Pro defnování krtéra spolehlvost geodetckých sítí stanovme dva požadavky: I. Hrubé chyby musí být co možná nejvíce odhaleny a elmnovány. Neodhalené hrubé chyby l měření l by měly být malé v porovnání se směrodatnou odchylkou měření l. II. Vlv neodhalených hrubých chyb na síť musí být co možná nejmenší. Požadavek I. Nejprve uvažujme pouze jedno měření l. Spolehlvost tohoto měření se blíží k maxmu, pokud max l = δ e 1 PQ vv Pe mn (4.15) kde = e Q e je směrodatná odchylka měření l. 11 Nyní zavedeme novou proměnnou τ : max l 1 = δ τ τ = (4.16) e Q 11ee PQ vvpe Jelkož δ závsí pouze na zvolených hladnách významnost α, β, může být považován za konstantu. Potom se požadavek (4.15) změní na τ mn, = 1,,, n (4.17) Význam parametru spolehlvost τ je jasnější, pokud považujeme měření za nekorelovaná. V tomto případě je váhová matce P (stejně jako matce Q 11 ) dagonální, a tedy dostáváme z rovnce (.16): τ = < < (4.18) kde je směrodatná odchylka vyrovnaného měření l. 8

27 Z rovnce (4.18) můžeme lehce nalézt lmty pro parametr spolehlvost: 1 τ < a z toho nakonec místo (4.14) a (4.17) krtérum: τ 1 mn = 1,,, n (4.19) což může být modfkováno na globální krtérum spolehlvost celé sítě: ( 1) mn n 1 = τ (4.) n = 1 Požadavek II. Pokud hrubá chyba l v měření l není odhalena, dostáváme jako odhad x vektoru ~ x QA P l + ε + e l. Lze ukázat, vz např. [], že dosazením za hrubou parametrů ( ) = chybu l její hranční hodnotu max l dostaneme pro parametr necentralty: ( e Pe e Q e 1) δ λ = 11 u τ. Dále lze ukázat, že e Pe e Q 11 e 1, kde rovnost platí v případě nekorelovaných měření. udíž, pro každou modelovou matc A se parametr necentralty λ blíží ke svému mnmu jen a právě tehdy, pokud platí rovnce (4.19). Jelkož krtéra (4.19) a (4.) splňují současně oba požadavky I a II, mohou být považovány za obecné měřítko spolehlvost geodetckých sítí. 4.4 Shrnutí Navržená krtéra vyhovují dvěma požadavkům: hrubé chyby v měřeních by měly být co možná nejvíce odhaleny a elmnovány, na druhé straně vlv neodhalených hrubých chyb na celkovou síť musí být co možná nejmenší. Samostatné krtérum τ může být použto, pokud je potřeba zkontrolovat spolehlvost jednotlvého měření; pokud ale porovnáváme spolehlvost různých varant sítě, je třeba použít globální krtérum. Bylo zjštěno a na příkladech ukázáno (vz ab 4.), že nejvýhodnějším geometrckým tvary sítí z hledska spolehlvost jsou tvary pravdelné: rovnostranný trojúhelník, čtverec, pravdelný pětúhelník. 9

28 4.5 Praktcký příklad V následujícím příkladě bude ukázán praktcký výpočet parametrů spolehlvost τ a pro různé typy trojúhelníkových sítí. V trojúhelníku jsou měřeny úhly na obvodových bodech a všechny délky. Pro jednoduchost a možnost srovnání uvažujeme ve všech případech stejnou velkost úhlů na prostředním bodě A (ω A1 = ω 3A = ω 1A3 = 4 g / 3). Délky jsou měřeny se směrodatnou odchylkou d = 1 mm, úhly pak ω = 3 cc. Rovnostranný Rovnoramenný Obecný τ τ 1 τ τ 1 τ τ 1 ω A ω 31A ω A ω 1A ω A ω 3A d 1A d A d 3A d d d ab 4.: Parametry spolehlvost pro a) rovnostranný b) rovnoramenný c) obecný trojúhelník 3

29 5. Robustnost polohových geodetckých sítí V předchozí kaptole bylo ukázáno testování polohových geodetckých sítí z hledska jejch spolehlvost, tj. odolnost sítě vůč hrubým chybám v měření. Jakmle umíme odhadnout maxmální hodnoty chyb v pozorováních, které propustí statstcké testy, má smysl se ptát dále: jakou škodu mohou neodhalené chyby v pozorováních napáchat na výsledcích vyrovnání, tj. na vyrovnaných polohách bodů sítě? Je-l škoda malá, pak mluvíme o robustní sít, je-l škoda velká, pak máme co dělat se sítí, která je málo robustní. 5.1 Pops deformace Abychom mohl měřt stupeň robustnost sítě, musíme napřed umět popsat stupeň deformace sítě. Nejjednodušším popsem deformace je pops pomocí posunů bodů sítě: x = 1 ( A PA) A P l uto cestu zvoll ve své teor Baarda. (5.1) Problém s posuny poloh je, že odhady jsou závslé na způsobu vyrovnání v tom smyslu, že jejch hodnoty jsou ovlvněny výběrem pevného bodu a orentace sítě pro vyrovnání. Použje-l se jné metody k překonání problému sngularty matce normálních rovnc, jako třeba zobecněné nverze, pak výsledky budou opět jné. Chceme-l použít popsu deformace k testování robustnost sítě, pak ovšem nesmí tento pops být ovlvněn nčím jným, nežl samotnou sítí, tj. jejím tvarem, jakož typem a přesností pozorování v sít. Z tohoto důvodu je třeba sáhnout k jnému popsu deformace, který je nezávslý na způsobu vyrovnání. akovým popsem jsou například dferencální deformace (stran). Nazveme-l posun bodu P symbolem: x u x = = (5.) y v pak jeho tenzorový gradent kde x u / x u / y E = grad x = (5.3) v / x v / y je polohový vektor bodu P. Matce E se nazývá matcí deformace (v bodě P ) a je nezávslá na volbě pevného bodu (způsobu vyrovnání). 31

30 Deformační matc lze rozložt na součet symetrcké a antsymetrcké matce: A S E + = (5.4) = + + = yy xy xy xx y v x v y u x v y u x u ε ε ε ε 1 1 S (5.5) = = 1 1 ω ω y u x v x v y u A (5.6) Matce S popsuje symetrckou dferencální deformac v bodě, a je často používána třeba v mechance kontnua. Symbol ω v matc A (neplést s Jakobho modelovou matcí) popsuje dferencální rotac v bodě. ato dferencální rotace může být dále rozložena na rotac ω celé sítě (bloku) a δω, vlastní dferencální rotac. Bloková rotace ω je závslá na výběru orentace sítě pro vyrovnání. Lze však ukázat, že ω ω (5.7) kde ω je průměrná rotace spočítaná ze všech bodů sítě. Příslušná dferencální rotace δω pro každý bod sítě je tedy: ω ω δω (5.8) Rovnce (5.) až (5.8) platí pro jakýkolv bod kontnua a velčny S, A, ω a δω mohou být považovány za kompaktní funkce polohy. Pro použtí v geodéz má ovšem smysl tyto funkce defnovat pouze pro body sítě, čl jako bodové funkce. 5. Výpočet matce deformace Matce deformace (5.3) pro jednotlvé body lze spočítat mnoha způsoby. Nejjednodušší je výpočet parcálních dervací přímo z posunů rovnce (5.) vyplývajících ze soustavy rovnc (5.1). Vezměme například bod P x = P s polohovým 3

31 ( ) vektorem r x, y = r a bezprostředně sousední body Pj s polohovým vektory r, = j = 1,, 4. Pro bod P a každý z bodů P j můžeme napsat dvě rovnce pro dvě rovny, ve kterých leží složky posunu u j a v j následovně: j j =,1,..., 4 : u a + x u ( x j x ) + ( y j y ) = u j y (5.9a) j =,1,..., 4 : v b + x v ( x j x ) + ( y j y ) = v j y (5.9b) kde všechny parcální dervace, stejně jako absolutní členy a j a b j a souřadnce x j a y j se vztahují k bodu P. Matcově vypadá záps rovnc (5.9) následovně: a K u =, 1,..., 4 : = u u x (5.1a) y b K v =, 1,..., 4 : = v v x (5.1b) y kde u j a v j jsou sub-vektory celkového vektoru posunů x, které obsahují pouze složky týkající se těchto pět bodů. Pro j 1 a body neležící všechny na jedné přímce, rovnce (5.1) mohou být vyřešeny použtím metody nejmenších čtverců. Př řešení pro neznámé parcální dervace a absolutní členy uvažujeme všechna pozorování u j a v j se stejným váham. Dostáváme pak: 33

32 a u 1 v sít : = ( K K ) K u = Qu u x (5.11a) y b 1 v v sít : = ( K K ) K v = Qv v x (5.11b) y Jelkož absolutní členy nás nezajímají, můžeme vyškrtnout první řádek matce Q a * ponechat pouze redukovanou matc Q dmenze (n, ) kde n-1 je počet sousedních bodů použtých v řešení deformační matce v bode P. Rozšíříme-l tuto matc o n-j nulových sloupců, můžeme rozšířt a uspořádat sloupec složek posunu tak, že bude obsahovat všechny složky x. Pak můžeme psát: Dosazením v sít : u u x y = vec v v x y x z rovnce (1) za ( E ) x = x dostaneme konečně: (5.1) 1 ( E ) = ( A PA) A P l vec (5.13) Rovnce (5.13) dává matc deformace v bodě P coby lneární funkc změn všech poloh. 34

33 5.3 Míra deformace Podle rovnce (5.13) každá změna pozorování l způsobí deformac celé sítě, tj. všechny deformační matce všech bodů sítě (každá z nch příslušející změně v jednom pozorování) budou obecně nenulové. Pro n pozorování v sít dostaneme tak n různých matc deformace pro každý bod. Pro zkoumání stupně deformace (způsobené hrubým chybam v měřeních) je třeba uvažovat pouze největší deformac v každém bodě, která odpovídá nejslabšímu článku sítě síť je pouze tak slná (robustní) jak slný je její nejslabší článek. oto tvrzení se nazývá krédo nejslabšího článku a je používáno systematcky př měření stupně deformace. Jelkož deformace v každém bodě je popsána matcí, rozpoznání největší deformace není trválním problémem. Deformační matc se musí nejprve přřknout nějaká míra, podle které lze největší deformac rozpoznat. Z hledska geometrckého nemá smysl přřazovat deformačním matcím pouze jednu (skalární) míru, protože matce popsuje alespoň tř aspekty deformace: napětí, střh, a jž dříve zmíněnou dferencální rotac. yto aspekty jsou víceméně nezávslé a každý z nch musí být uvažován samostatně. Průměrné napětí je rovno polovně stopy deformační matce: u v = tr( E) = tr( S) = + (5.14) x y Úplný střh γ je defnován jako geometrcký průměr čstého střhu τ a jednoduchého střhu υ: 1 u v τ = (5.15) x y 1 u v υ = + (5.16) y x takže máme: 1 u v u v γ = + + = τ + x y y x υ (5.17) 35

34 Míru deformace lze samozřejmě kvantfkovat mnoha způsoby. Uvedený pops má výhodu ntutvní nterpretace vybraných aspektů: na napětí můžeme pohlížet jako na deformac v měřítku, střh lze brát jako deformac v (lokální) konfgurac a dferencální rotac (opravenou o průměr) coby deformac v torz. 5.4 Robustnost Jakmle umíme měřt deformac sítě, tak už snadno změříme stupeň robustnost sítě. Jedné, co je třeba udělat, je dosadt maxmální hrubé chyby v pozorováních z rovnce (4.14) za obecné změny pozorování max l l v rovnc (5.13) a postupovat podle popsu v předchozím odstavc. V každém bodě se spočítají hodnoty všech tří aspektů deformace odpovídající maxmálním hrubým chybám v n pozorováních, tedy celkem 3n hodnot. Největší absolutní hodnota každého aspektu v bodě je konečnou mírou robustnost sítě, tj. deformace v každém bodě je charakterzována třem čísly. ato čísla lze vynést ve formě tří map a udělat s tak představu o robustnost sítě. Můžeme tedy mluvt o robustnost v měřítku, robustnost v konfgurac a robustnost v torz, které jsou představovány třem obecně rozdílným mapam. Je výhodné vynášet tyto tř aspekty v jednotkách 1-6 (ppm). yto jednotky usnadňují porovnávání hodnot aspektu robustnost s hodnotam poměrných chyb v pozorováních, které je zvykem vyjadřovat rovněž v jednotkách ppm. Čím větší absolutní hodnota aspektu přpadá na ten č onen bod, tím je síť v tomto bodě méně robustní v tom č onom aspektu. 5.5 Shrnutí Robustnost je kombnací analýz spolehlvost a napětí a je defnována jako schopnost odolat deformacím způsobeným nejmenším odhaltelným hrubým chybam určeným analýzou vntřní spolehlvost. Pro každý bod sítě lze spočítat hodnoty tří aspektů deformace: napětí, střhu a dferencální rotace. Zvláštní případ nastává, pokud body, ze kterých jsou tyto aspekty počítány podle (5.9), leží všechny na jedné přímce. Potom deformační matce E není defnována. Další zvláštní stuace nastane, pokud je bod svázán s dalším body sítě právě dvěma měřením. Můžeme tak sestavt pouze dvě observační rovnce (pro složku x a složku y) a matce deformace E je nedostatečně určená. Více vz [4], [4], [5]. 36

35 5.6 Příklad V následujícím příkladě bude ukázán praktcký výpočet aspektů robustnost: napětí, střhu γ a dferencální rotace δω pro zvolené hladny významnost α = 5%, β = 1%. Obrázek (Obr. 5.1) znázorňuje obecnou trojúhelníkovou síť, ve které jsou měřeny úhly na obvodových bodech a všechny délky. Velkost úhlů na prostředním bodě A je ω A1 = ω 3A = ω 1A3 = 4g / 3, tyto úhly nejsou měřeny. Směrník strany A1 je A1 = 18 g, také neměřen. Délky nechť jsou měřeny se směrodatnou odchylkou d = 1 mm, úhly pak ω = 3 cc. Obr. 5.1: Nepravdelná trojúhelníková síť s měřeným prvky vyznačeným modře l max 3.8 mm 3.8 mm 4. mm 3.6 mm 3.4 mm 3.5 mm = cc 13.5 cc 14.8 cc 17.9 cc 18.6 cc 17. cc 14.9 x y x y x = x y x y A A mm -.3 mm -.9 mm.7 mm =.6 mm -1.9 mm.1mm 1.4 mm 37

36 napětí [ppm] střh γ [ppm] rotace δω [ppm] A ab 5.1: Aspekty robustnost pro zvolenou síť Největší robustnost v napětí je na bodě č., ve střhu a v dferencální rotac na bodě č. 3. Žádný z aspektů však výrazněj nepřevyšuje hodnoty na okolních bodech, síť lze považovat za robustní. Za zmínku stojí případ pravdelné sítě (lbovolného rozměru), ve které jsou měřeny pouze úhly: Obr. 5.: Pravdelná trojúhelníková síť s měřeným úhly Analýza spolehlvost přsoudí každému úhlu stejnou maxmální neodhaltelnou hrubou chybu podle (4.14). Uvažujeme-l úhly měřené s aprorní směrodatnou odchylkou ω = 3 cc a hladny významnost α = 5%, β = 1% (z toho plyne podle tabulky 4.1: λ krt = δ = 1,57 ), pak: l max = cc cc cc cc cc cc 38

37 ato chyba je rovnoměrně vyrovnána se stejnou vahou na všechny body, z důvodu pravdelnost sítě dojde tedy k vyrovnání na původní hodnoty a x = x je tedy: Výsledné aspekty robustnost jsou tedy pro všechny body rovněž nulové: napětí [ppm] střh γ [ppm] rotace δω [ppm] A ab 5.: Aspekty robustnost pro pravdelnou úhlovou síť 39

38 6. Optmalzace geodetckých sítí Pro hledanou mkrosíť máme dánu požadovanou přesnost výsledných souřadnc (kovaranční matc) a známe konfgurac sítě. Prozatím nevyřešeným problémem zůstává, co bychom měl měřt a jak přesně. oto je obrácený problém klasckého vyrovnání. am máme dána měření, odhad jejch směrodatných odchylek a konfgurac sítě. Metodou nejmenších čtverců získáme vyrovnané souřadnce spolu s jejch kovaranční matcí. omuto problému nverzního vyrovnání, kdy získáváme váhy měření z dané kovaranční matce souřadnc a známé konfgurace bodů říkáme Desgn druhého řádu. (Second Order Desgn, SOD). Problémy optmalzace se dělí ještě na další tř základní řešení: Desgn nultého řádu (ZOD) Problém spočívá v určení podmínek a souřadncového systému pro vyrovnání volné sítě, tzv. datumu. Daná je konfgurace sítě a váhové poměry vstupních velčn. Desgn prvního řádu (FOD) Př řešení tohoto problému se hledá optmální konfgurace pro projektovanou síť, která je plně dána matcí A, ve které jsou plně obsaženy nejen nformace o poloze nových bodů, ale také o měření, která jsou s těmto body svázána. Desgn třetího řádu (OD) Je defnován jako optmální vylepšení stávající sítě vložením nových bodů a/nebo doplňkových měření. akové problémy se objevují př zhušťování daných sítí, nebo rozšíření stávajících sítí př nženýrských projektech. ento typ optmalzace je tedy jakous kombnací desgnu prvního a druhého řádu. Použjeme-l v geodéz zažtou symbolku a označíme-l modelovou (konfgurační) matc A a váhovou matc P, potom matc váhových koefcentů Q x konfguračních parametrů (souřadnc) x můžeme napsat jako: ( + Q X = A PA) (6.1) 4

39 Aby zde uvedený postup vhodně popsoval řešení optmalzace vázaných volných sítí, za použtí regulárních sngulárních matc, jsou nverze normálních rovnc a matce váhových koefcentů obecně zapsány jako generalzovaná nverze (např. pseudonverze), značené horním ndexem +. Výše uvedená klasfkace optmalzačních metod může být nyní zapsána přehledně pomocí známých a hledaných parametrů: desgn dáno hledá se ZOD A, P x, Q x FOD P, Q x A SOD A, Q x P OD Q x, částečně A, P částečně A, P ab 6.1: Rozdělení optmalzace geodetckých sítí 6.1 Defnce problému Optmalzace geodetckých sítí je pojem, který v sobě zahrnuje dva základní požadavky: mnmalzace nákladů (časových a cenových) a maxmální přesnost výsledků. Odhad přesnost určení souřadnc sítě je založen na matc váhových koefcentů určovaných parametrů, označené Q x. ato matce může být dána z předchozího vyrovnání, ve většně případů j ale neznáme a je nutné j vhodně zvolt. Produktem desgnu druhého řádu jsou váhy, které v největší možné míře aproxmují zadanou (vhodně zvolenou) matc Q x, představující požadovanou přesnost sítě. Geodetcká síť je dobře navržená, pokud elpsy chyb všech bodů sítě jsou kruhové a dentcké. akováto stuace se nazývá homogenní a zotropní. Lepší představu o homogentě a sotrop geodetckých sítí dává následující obrázek: Obr. 6.1: Druhy sítí: a) obecné, b) homogenní, c) homogenní a sotropní 41

40 Homogenní a sotropní stuace se dá dosáhnout dvěma způsoby. Pokud je jako Q x volena matce jednotková (Q x = I), znamená to, že korelace mez jednotlvým body sítě není brána v úvahu. oto poněkud nesprávné rozhodnutí často vede k nadbytečné elmnac měření a tím posléze ke zhoršení přesnost a spolehlvost. Druhou možností je zavedení příslušných podélných a příčných korelačních funkcí, jným slovy navržení matce Q x = Q K mající aylor-karmanovu (K) strukturu, vz dále. 6. Metody řešení Výpočet vah ze zadaných matc Q x a A je možný několka způsoby, více č méně matematcky náročným. Některé se snaží přímo aproxmovat zadanou matc váhových koefcentů, jné aproxmují její nverz. Dále jsou uvedeny tř nejběžnější, první dva pouze naznačeny, třetí (používaný př výpočtech v této dplomové prác) je rozebrán podrobněj Přímá aproxmace matce Q x Modfkovaná rovnce (6.1) + A PA = Q x (6.) může být z obou stran násobena matcí Q x : + Q xa PAQ x = Q xq xq x = Q x (6.3) Označíme-l K = Q x A, potom se rovnce (6.3) změní na: KPK = Q x (6.4) což může být převedeno na soustavu lneárních rovnc: ( K K) p = q (6.5) kde p = dag (P), q = vec (Q x ), jejíž obecné řešení je: + ( K p = K) (6.6) 4

41 6.. Iteratvní aproxmace matce Q x Řešením metody nejmenších čtverců je vektor + ( A PA) A Pl x = (6.7) což vede ke kovaranční matc ( ) + A PA A PQ PA( A ) + Q x = l PA (6.8) + ( ) P označíme H A PA A a P + = Q, což znamená, že varance mez měřením jsou = l nulové (nezávslá měření), záps (6.8) lze nyní zapsat jako: nebol: + HP H = Q x ( H H) p = q (6.9) (6.1) kde p = dag (P + ), q = vec (Q x ). Rovnce (6.9) a (6.1) musí být řešeny teratvně, protože matce H obsahuje aktuální váhovou matc P, která je přepsována na novou matc P +. Iterace tedy vypadá takto: p ( + 1 ) = ( ( H ) ( ) + H ) q H = ( ) + ( ) ( A P A) A P ( ) 6..3 Přímá aproxmace nverze matce Q x + Matce normálních rovnc N A PA = Q je převedena na soustavu lneárních rovnc: ( A A ) p = q = x (6.11) + kde p = dag (P), q vec( Q ) a vyřešena jako: = x + p = ( A A ) q (6.1) Jelkož matce váhových koefcentů Q x je čtvercová a symetrcká, její nverze je rovněž čtvercová a symetrcká matce. Vektor q je vektor ze řádkového zobrazení celé matce Q x, kdežto p obsahuje pouze dagonální prvky. Pro zjednodušení dalšího výpočtu a zároveň odstranění přeurčenost systému je vhodné použít př rozkladu matce do vektoru pouze prvky horní trojúhelníkové matce. Výsledný vektor q má tedy rozměr q (n (n +1) /, 1) a tvar: [ q11... q1n, q...q n,..., q nn ] q = (6.13) 43

42 ento početně poměrně nenáročný postup má svoj stnnou stránku v tom, že na rozdíl od případů uvedených v kaptolách (6..1) (6..) aproxmuje nverz matce Q x, a ne tuto matc přímo. Numercké příklady ukazují, že tato aproxmace je velm dobrá, ale globální měřítko cc (vz kaptola 6..4) je mnohem vyšší než v předchozích případech. Abychom získal lepší aproxmac matce Qx a tím výsledky blžší předchozím dvěma případům, mělo by být toto řešení modfkováno lneární transformací váhového vektoru p faktorem α. en musí být navržen tak, aby součet čtverců resduí cc byl mnmální pro p = dag (αp). oto násobení zároveň zaručuje zachování poměru vah. Odvození vztahu pro výpočet faktoru α je např. v [1], [8], zde uvedeme pouze konečný vztah: 1 1 ( A PA) ( A PA) ) 1 tr ( A PA) Q tr α = (6.14) ( x ) kde tr() značí stopu matce (z anglckého trace ) 6..4 Kvalta aproxmace Kvaltu výsledku lze posoudt podle rozdílu vypočtené matce váhových koefcentů a zadané matce Q x : C = + ( A PA) Q x (6.15) kde P = dag (p) je výsledek jednoho z postupů uvedených v kaptolách (6..1) (6..) (6..3). Matce C se nazývá matce rezduí, a součet čtverců prvků této matce může být brán jako globální měřítko kvalty aproxmace: cc, c = vec (C) (6.16) 6.3 eore tří kroků V praktckém postupu hledání konečných vah je deální následovat teor tří kroků (hree-step-strategy) uvedenou např. v [1]. 44

43 1. Začínáme s observačním plánem, který obsahuje všechny možné měřtelné velčny (délky, úhly), z rovnce (6.1) a opravou o faktor α podle (6.14) získáme jejch váhy.. Redukce observačního plánu s ohledem na a) přesnost, b) spolehlvost, c) cenové náklady a) elmnace měření, která v prvním kroku vyšla s malým váham b) elmnace observací, která neovlvňují kontrolovatelnost dalších měření, přdání observací která vylepšují kontrolovatelnost jných, špatně kontrolovatelných měření c) elmnace měření, která vyžadují vysoké fnanční náklady a časovou náročnost 3. Výsledný desgn druhého řádu s redukovaným observačním plánem, volba vhodného přístrojového vybavení a určení nutného počtu opakování. Kontrola spolehlvost výsledného desgnu. 6.4 aylor-karmanova struktura matce váhových koefcentů Koncept matc váhových koefcentů s aylor-karmanovou strukturou (G. I. aylor,. Karman) byl poprvé představen v [18] a poté rozšířen v [19]. aylor-karmanova dekompozce vychází z rozdělení matce Q x na dvě část, charakterzované příslušným podélným a příčným korelačním funkcem Φ l a Φ m. Lbovolný prvek q j matce Q x lze tedy zapsat jako: q j x x j = Φ m ( dj ) δ j + ( Φl ( dj ) Φ m ( dj )) (6.17) d kde d j je vzdálenost mez body, j; x je příslušný souřadncový rozdíl, δ j je Kroneckerovo delta (δ j = 1 pro = j, δ j = pro j), Φ l a Φ m jsou podélné a příčné korelační funkce, pro které platí: Φ j 4s d 4s d ( d j ) = K K (6.18a) d s d s m 1 4s d 4s d s d Φ l ( d j ) = + K + K 1 + K 1 (6.18b) d s d s d s kde s je vhodně zvolená charakterstcká délka, K a K 1 jsou Besselovy funkce druhého řádu a nultého, resp. prvního stupně. 45