Lineární a adaptivní zpracovní dat. 4. Lineární filtrace II: FIR, IIR

Transkript

1 Leárí a adaptví zpracoví dat 4 Leárí fltrace II: FIR, IIR Dael Schwarz Ivestce do rozvoje vzděláváí

2 Opakováí 2 Co je to fltrace? Co je to fltr? A jak ho popsujeme? Jaký je vztah Z trasformace a Fourerovy trasformace? Jak je defováa přeosová fukce dskrétího systému? Jaký je vztah mez přeosovou fukcí systému a jeho frekvečí charakterstkou? Co jsou to ulové ody a póly přeosové fukce a jak je vypočítáme? Popšte, co je to stalta systému Jaká pravdla platí pro mpulsí charakterstku a přeosovou fukc stalího dskrétího systému? B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

3 B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací ějme LTI systém s přeosovou fukcí ve tvaru racoálě lomeé fukce: kde A /a, z jsou? a p jsou? 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L L L p z z z A z a z z X z Y z H

4 B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací ějme LTI systém s přeosovou fukcí ve tvaru racoálě lomeé fukce: kde A /a, z jsou uly a p jsou póly racoálě lomeé fukce zpětá Z-trasformace, věta o leartě a posuu, a z - a z - L y a y 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L L L p z z z A z a z z X z Y z H

5 B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací Iterpretace rovce: dskrétí soustava / systém uchovává v pamět starší vzorky vstupího výstupího sgálu L y a y 5

6 B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací?? Iterpretace rovce: dskrétí soustava / systém uchovává v pamět starší vzorky vstupího výstupího sgálu L y a y 6

7 Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací 7 y L a y Iterpretace rovce: dskrétí soustava / systém uchovává v pamět starší vzorky vstupího výstupího sgálu Klouzavý průměr A Autoregresí čle AR B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

8 Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací 8 y L a y Iterpretace rovce: dskrétí soustava / systém uchovává v pamět starší vzorky vstupího výstupího sgálu Klouzavý průměr A Autoregresí čle AR Ovlvňuje rychlost odezvy, charakter jejího zakáí, staltu soustavy B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

9 B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací Realzace soustavy / fltru / programu přímou formou: L y a y 2 - -a L -a L- -a 9

10 Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací y L a y Realzace soustavy / fltru / programu přímou formou: Zpožděí o jede vzorek 2 - -a L -a L- -a B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

11 Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací Další formy realzace fltru / soustavy/ programu: Kaskádí: B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

12 Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací 2 Další formy realzace fltru / soustavy/ programu: Paralelí: B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

13 Systémy s koečou mpulsí charakterstkou 3 FIR fte mpulse respose L y a y pouze čle A (movg average) erekurzví realzace (většou, ale emusí vždy) B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

14 Systémy s koečou mpulsí charakterstkou 4 FIR PŘÍKLAD: hraový detektor h [] { δ [ ] 2δ [] + δ [ + ] } - FIR PŘÍKLAD: vyhlazovací systém B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

15 B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses Systémy s koečou mpulsí charakterstkou FIR fte mpulse respose z -k 5 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : sust 2 2 h h k y k k k

16 B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses Systémy s koečou mpulsí charakterstkou FIR fte mpulse respose z -k Počet pólů přeosové fukce:?, kde?? Počet ulových odů přeosové fukce:?, kde?? 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : sust 2 2 h h k y k k k

17 B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses Systémy s koečou mpulsí charakterstkou FIR fte mpulse respose z -k Počet pólů přeosové fukce:, kde?? Počet ulových odů přeosové fukce:, kde?? 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : sust 2 2 h h k y k k k

18 B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses Systémy s koečou mpulsí charakterstkou FIR fte mpulse respose z -k Počet pólů přeosové fukce:, kde? V odě z (ásoý pól v počátku, který vyjadřuje je fázový posu uto vyjádřt H(z) v kladých mocách z) Počet ulových odů přeosové fukce:, kde? Kdekol v rově z 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : sust 2 2 h h k y k k k

19 Fltry s koečou mpulsí charakterstkou 9 FIR fltry mohou mít přesě leárí fáz, a to platí-l: ( ) ± h( ),,, 2,, h - osová eo odová souměrost mpulsí charakterstky - tj mpulsí charakterstka je symetrcká eo atsymetrcká Fltry s leárí fází mají specálí kofgurac ulových odů orazového přeosu: Je-l H( ), je také H(/ ) Pokud má systém reálé koefcety, platí také: H( *)H(/ ) Nulové ody se vyskytují ve čtveřcích B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

20 Fltry s koečou mpulsí charakterstkou 2 FIR fltry mohou mít přesě leárí fáz, a to platí-l: ( ) ± h( ),,, 2,, h - osová eo odová souměrost mpulsí charakterstky - tj mpulsí charakterstka je symetrcká eo atsymetrcká B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

21 Fltry s koečou mpulsí charakterstkou 2 FIR fltry mohou mít přesě leárí fáz, a to platí-l: ( ) ± h( ),,, 2,, h - osová eo odová souměrost mpulsí charakterstky - tj mpulsí charakterstka je symetrcká eo atsymetrcká B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

22 Fltry s koečou mpulsí charakterstkou 22 FIR fltry vlastost: - jsou vždy stalí, eoť všechy póly leží v ule (pokud ejsou záměrě realzováy rekurzvím systémem se zpětou vazou) -většou erekurzví realzace - možost leárí fázové charakterstky -relatvě sadá programová (hardwarová) realzace - pro dosažeí strmých charakterstk je třea použít vyšší stupeň fltru ež u IIR fltrů - s rostoucím řádem roste zpožděí - ávrh FIR fltru: -vzorkováí frekvečí charakterstky - váhováí mpulsí charakterstky B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

23 Fltry s koečou mpulsí charakterstkou 23 Návrh FIR fltru vzorkováím frekvečí charakterstky Zadávají se jedotlvé ody (vzorky) ampltudové frekvečí charakterstky 2 mo vzorkovací ody se předpokládá chováí lovolé (zakmtáváí) 3 Impulsí charakterstka se vypočítá pomocí verzí DFT 4 Fázová charakterstka se zadává ulová, výsledá mpulsí odezva se kauzalzuje pomocí přerováí vzorků (fftshft) B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

24 Fltry s koečou mpulsí charakterstkou 24 Návrh FIR fltru vzorkováím frekvečí charakterstky Zadávají se jedotlvé ody (vzorky) ampltudové frekvečí charakterstky 2 mo vzorkovací ody se předpokládá chováí lovolé (zakmtáváí) 3 Impulsí charakterstka se vypočítá pomocí verzí DFT 4 Fázová charakterstka se zadává ulová, výsledá mpulsí odezva se kauzalzuje pomocí přerováí vzorků (fftshft) 4 2 G(ω) B ω Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

25 Systémy s ekoečou mpulsí charakterstkou 25 IIR fte mpulse respose Autoregresí čle AR y L a y Klouzavý průměr A vždy rekurzví realzace B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

26 Systémy s ekoečou mpulsí charakterstkou 26 IIR PŘÍKLAD: vyhlazovací systém z - H(z) az/(z-a) Pro a> je fltr estalí B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

27 Systémy s ekoečou mpulsí charakterstkou 27 IIR PŘÍKLAD: vyhlazovací systém z - H(z) az/(z-a) Pro a> je fltr estalí Tp: co lze získat tzv dlouhým děleím polyomů? B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

28 Systémy s ekoečou mpulsí charakterstkou 28 IIR : - vyžadují alespoň jedu zpětovazeí smyčku, jsou vždy rekurzví -přeosová fukce podíl polyomů B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

29 Fltry s ekoečou mpulsí charakterstkou 29 IIR fltry vlastost: - s fltry IIR lze dosáhout velm strmé přechody mez propustým a epropustým pásmem, a to př malém řádu fltru - fltr je vždy rekurzví (se zpětým vazam), může ýt estalí (pro ampltudově omezeý vstupí sgál y geeroval sgál s eustále rostoucím ampltudam) - Fltr IIR ude stalí, pokud všechy jeho póly leží uvtř jedotkové kružce - Fltry IIR emají leárí průěh fázové charakterstky - poměrě složtý a méě tutví ávrh: -rozmsťováí ulových odů a pólů - optmalzačí ávrhy podle frekvečí charakterstky (vedou a řešeí soustavy eleárích rovc) -přístupy založeé a podoost s aalogovým systémy B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

30 Fltry s ekoečou mpulsí charakterstkou 3 IIR fltry příklad: B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

31 Termologe: IIR, FIR, A, AR 3 y L a y FIR fltry: a, pro všecha Ozačováy také jako movg average eo all-zero fltry IIR fltry: a <>, pro alespoň jedo Zahrují: autoregresví (AR) fltry movg-average, autoregresví (ARA) fltry B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

32 Termologe: IIR, FIR, A, AR 32 y L a y FIR fltry: a, pro všecha Ozačováy také jako movg average eo all-zero fltry IIR fltry: a <>, pro alespoň jedo Zahrují: autoregresví (AR) fltry movg-average, autoregresví (ARA) fltry AR fltry:, kromě Výstup závsí pouze a? B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

33 Termologe: IIR, FIR, A, AR 33 y L a y FIR fltry: a, pro všecha Ozačováy také jako movg average eo all-zero fltry IIR fltry: a <>, pro alespoň jedo Zahrují: autoregresví (AR) fltry movg-average, autoregresví (ARA) fltry AR fltry:, kromě Výstup závsí pouze a aktuálí hodotě a vstupu a a koečém počtu starších vzorků výstupího sgálu Ozačováy také jako: all-pole, purely recursve, autoregressve B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

34 Termologe: IIR, FIR, A, AR 34 y L a y FIR fltry: a, pro všecha Ozačováy také jako movg average eo all-zero fltry IIR fltry: a <>, pro alespoň jedo Zahrují: autoregresví (AR) fltry movg-average, autoregresví (ARA) fltry ARA fltry: a, eulové Ozačováy také jako: pole-zero, autoregressve, movg-average B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

35 Termologe: IIR, FIR, A, AR 35 y L a y DOPORUČENÍ: pro fltry a leárí systémy používat ozačeí FIR, IIR ozačeí AR, A, ARA používat pro pops č modely stochastckých procesů, které geerují data áhodé povahy B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

36 4 cvčeí 36 Je dá systém s přeosovou fukcí Nakreslete rozložeí ulových odů a pólů Odhaděte modulovou frekvečí charakterstku Zjstěte dferečí rovc systému Zjstěte mpulsí charakterstku systému Na závěr vše ověřte v ATLABu (fvtool, freqz) O jaký fltr jde (FIR, IIR)? O jaký fltr jde (HP, DP, PP)? B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

37 4 cvčeí 37 2 Dskrétí soustava má přeosovou fukc H(z): /(-5z - ) Určete dferečí rovc systému B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

38 4 cvčeí 38 3 Navrhěte FIR fltr pro odstraěí rušvých složek v časové řadě reprezetující sěr údajů o kocetrac tocké látky v říčím toku Sěr dat proíhá s hodovou vzorkovací perodou Změy v kocetracích jsou pozvolé, odehrávají se v týdeím rytmu (provoz chemcké farky) Rušvé složky, které je potřea potlačt, souvsejí se stochastckým procesem (počasí, tj zejméa srážky, ale teplota), který geeruje sgálové kompoety s ejvyšší perodou okolo 6 h Zkotrolujte správost vzorkováí v epermetu a pro ávrh fltru volte metodu vzorkováí frekvečí charakterstky Volte fltr s 9 vzorky mpulsí charakterstky B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

39 4 cvčeí 39 B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

40 4 cvčeí 4 B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

41 4 cvčeí 4 B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

42 4 cvčeí 3 příklad - farka 42 Harmocké kompoety užtečé složky sgálu: f_uzteca_aroud/(7*24*36) Hz Harmocké kompoety rušvé složky sgálu: f_rusva_m/(6*36) Hz Vzorkovací frekvece: fs/36 Hz Vzorkovací věta je splěa, eoť platí, že fs>2*f_rusva 4 G(f) π/2 f AX Od 9 vzorku se cha perodcky opakuje ( 2 B44 π/ vzorků char-ky a frekvečí ose Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

43 4 cvčeí 3 příklad - farka 43 Harmocké kompoety užtečé složky sgálu: f_uzteca_aroud/(7*24*36) Hz Harmocké kompoety rušvé složky sgálu: f_rusva_m/(6*36) Hz Vzorkovací frekvece: fs/36 Hz Vzorkovací věta je splěa, eoť platí, že fs>2*f_rusva 4 B44 π/3 G(f) f AX Vzhledem k perodctě frekvečí charakterstky jsou hodoty G d (ω π/2 k ) totožé pro k a pro kn Řád výsledého FIR fltru získaého po N-odové verzí DFT ude N Od 9 vzorku se cha perodcky opakuje ( 9 vzorků a frekvečí ose Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

44 4 cvčeí 3 příklad - farka 44 G zeros(,9); % vzorky jsou v porad N- F(:3)oes(,3); % ATLAB deuje od F(8:9)oes(,2); % symetrcká ampltudová frekv char-ka h fft(f); % verzí dskrétí fourerova trasformace stem([:8],h); % mpulsí charakterstka stem([-9:9],h); % mpulsí charakterstka po přerováí B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

45 4 cvčeí 3 příklad - farka 45 freqz(h,) agtude (db) Normalzed Frequecy ( π rad/sample) Neleárí průěh freqz(fftshft(h),) Phase (degrees) Normalzed Frequecy ( π rad/sample) 5 agtude (db) Normalzed Frequecy ( π rad/sample) B44 Leárí průěh Phase (degrees) Normalzed Frequecy ( π rad/sample) Isttute of Bostatstcs ad Aalyses

46 ffgf Otázky? 46 B44 Isttute of Bostatstcs ad Aalyses