4. Návrh číslicových filtrů s nekonečnou impulzní odezvou

Transkript

1 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - / Návrh číslicových filtrů s ekoečou impulzí odezvou Návrh číslicových filtrů můžeme rozdělit do těchto tří fází:. Určeí vlastostí avrhovaého systému. Aproximace těchto vlastostí kauzálím (realizovatelým) diskrétím systémem 3. Realizace systému užitím aritmetiky s koečou přesostí Ačkoliv ejsou tyto fáze ávrhu a sobě ezávislé, zaměříme se yí převážě a druhou fázi. V prví fázi ávrhu, která je závislá a použití filtru v aplikaci, je důležité určit parametry kladeé a filtr apř. a kmitočtovou charakteristiku pomocí tzv. toleračího schématu obr.4., a impulzí odezvu, a přechodovou charakteristiku ebo a průběh skupiového zpožděí. Třetí fáze se již týká kokrétí realizace číslicového systému a bude jí věováa kapitola 6. Úkolem ávrhu je alézt takový číslicový filtr, jehož kmitočtová ebo jiá charakteristika bude splňovat požadavky a i kladeé. Jedá se tedy o problém aproximace, který je možé řešit dvěma odlišými cestami: a) ryze matematickou pomocí ějaké matematické metody b) s využitím zámých aproximací aalogových filtrů (Butterworth, Čebyšev, eliptický, atd.) Při prví metodě si zvolíme stupeň a H(f) typ filtru, a pomocí ěkteré matematické metody jako je apř. přímá ebo iverzí /α max metoda ejmeších čtverců se sažíme určit koeficiety číslicového filtru tak, aby co ejlépe aproximoval aše požadovaé vlastosti. U systémů s ekoečou impulzí /α mi odezvou (NIO) volíme systémovou fukci ve tvaru racioálě lomeé fukce. Pro f o f s f řešeí problému strukturou s koečou impulzí odezvou se soustředíme a vyjádřeí propusti Obr.4. Toleračí schéma filtru dolí systémové fukce polyomem. Číslicové filtry s ekoečou impulzí odezvou NIO mají proti filtrům s odezvou koečou tu výhodu, že pro splěí stejých toleračích požadavků vystačí s meším stupěm realizovaého filtru a tudíž i s meším počtem paměťových čleů a operací ásobeí. Návrh lze dále zjedodušit využitím zámých aproximací přeosové fukce z tradičího ávrhu aalogových filtrů aproximujících daé toleračí schéma. Získaou přeosovou fukci potom převedeme pomocí trasformace a digitálí přeosovou fukci (ma

2 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 tematicky H(p) -> H(z) ). Existují celkem tři základí trasformace převádějící aalogovou přeosovou fukci a systémovou fukci H(z). Jedá se o tzv. trasformaci difereciálů, impulzě ivariačí a bilieárí trasformaci. Při trasformaci aalogové přeosové fukce a fukci systémovou je třeba dosáhout toho, aby trasformace převáděla imagiárí osu z roviy p a ebo do jedotkové kružice a levou poloroviu roviy p dovitř jedotkové kružice. Tyto podmíky jsou dáy tím, aby stabilí aalogový filtr se trasformoval a stabilí digitálí filtr. Uvažujme aalogový systém s přeosovou fukcí H a ( p) ci. p Ya ( p) i = = L Xa ( p) = d. p i= i k k (4-) kde x (t) je vstupí a y (t) je výstupí sigál. X a(p) a Y a (p) jsou jejich Laplaceovy obrazy. Předpokládejme, že H a (p) bylo získáo jedou ze zámých aproximací používaých při amplitudově ebo fázově orietovaém ávrhu aalogových filtrů. Vstupí a výstupí sigál je svázá přes kovolučí itegrál daý vztahem ya() t = xa( τ). ha( t τ) dτ (4-) kde h a (t) je impulzí odezva, kterou získáme jako zpětou Laplaceovu trasformaci H (p) Aalogový systém však může být popsá též difereciálí rovicí k () d x () t L d d k y t a a k. = c k k. (4-3) k k = dt k = dt Odpovídající digitálí filtr bude mít systémovou fukci ve tvaru racioálě lomeé fukce () Hz ( zi z ) ai. z A.. Yz () i= i= = = = L L X() z b. z i= i ( pi. z ) a výstupí odezva bude dáa kovolučí sumou impulzí odezvy se vstupím sigálem i= (4-4) y = x. h = h. x (4-5) i i i= i= i i a. Pro vlastí realizaci číslicového filtru je ejdůležitější diferečí rovice, která určuje jakým způsobem je vytvářea výstupí hodota a. x = b. y L i i i= i= i i (4-6) Při trasformaci aalogového systému a digitálí se budeme sažit získat buď H(z) ebo h podle toho, které vlastosti aalogového filtru budeme chtít zachovat

3 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - / Trasformace difereciálů Převod aalogového filtru a digitálí vychází při trasformaci difereciálů z alezeí ekvivalece mezi difereciálem a koečě malým přírůstkem. Toto je stadardí metoda pro umerické řešeí difereciálích rovic (rozložeí elektromagetických polí, atd.), ale též k číslicové simulaci aalogových systémů a dějů. Existují tři možosti, kterými můžeme vyjádřit vztahy pro prví derivaci dy/dt dy y y = (4-7) dt T dy y+ y = (4-8) dt T dy dt ( y + y ) j j j = α.,, (4-9) T j Vztah (4-7) popisuje tzv. zpětý přírůstek, vztah (4-8) dopředí přírůstek a vztah (4-9) zobecělý přírůstek. Z těchto trasformací vyhovuje podmíkám pro trasformaci stabilího aalogového filtru a stabilí číslicový filtr pouze zpětý přírůstek a zobecělý přírůstek, pro které může apsat tyto substitučí vztahy jω rovia p ( ) j ( ) p= z T p= α. z T (4-) σ p=jω - rovia z Obr.4.. Trasformace levé poloroviy roviy p pomocí zpětého přírůstku j T z = Ω,. j T = 5,. + Ω j K určeí vlastostí trasformace je třeba substitučí vztah apříklad pro zpětý přírůstek vyjádřit ve tvaru z=/(-pt). Nyí se budeme zajímat o to, kam se trasformuje imagiárí osa z roviy p. Dosadíme-li za p = jω, potom získáme vztah z = /(-jωt), z kterého je zřejmé, že imagiárí osa z roviy p se etrasformuje a jedotkovou kružici v roviě z. Proto získaý výraz upravíme takto ( ) [ e j arctg T ] Ω (4-) Teto výraz odpovídá kružici se středem v bodě z =,5 a poloměrem r =,5. Sado lze již dokázat, že levá polorovia roviy p se trasformuje do této kružice obr. 4.. Aby bylo řešeí difereciálí rovice co ejlepší, musí být doba periody vzorkováí T dostatečě malá, aby spektrum zpracovávaého sigálu bylo kocetrováo v okolí bodu z=, kde je ejlepší shoda kmitočtové charakteristiky aalogového a číslicového systému

4 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 Příklad 4. Za pomoci trasformace difereciálů avrhěte diskrétí soustavu, která modeluje řešeí ásledující difereciálí rovice. d y() t () a dy t () () +. + by t = x t (4-) dt dt Pro druhou derivaci sado odvodíme teto vztah d y() t d y y y y ( y y ) = = (4-3) dt dt T T Difereciálí rovici yí můžeme upravit a ásledující diferečí rovici ( ) y y + y + a. T. y y + bt y = T x (4-4) kterou upravíme do tvaru y + a. T + bt = T x + a. T +. y y (4-5) ( ) ( ) Diferečí rovici budeme realizovat soustavou z obr.4.3, kde b = + a T + o. bt b = a T +. (4-6) 4.. Impulzě ivariačí trasformace Druhá možost trasformace aalogového filtru a číslicový vychází z volby stejé impulzí odezvy. To zameá, že impulzí odezva číslicového filtru vzike vzorkováím aalogové impulzí odezvy (h(t).(t) - > h(t).(t), kde (t) je fukce jedotkového skoku. Za pomoci vztahů odvozeých v části o vzorkováí aalogové veličiy se dá dokázat, že systémová fukce diskrétí soustavy je s kmitočtovou charakteristikou aalogového filtru svázáa vztahem () pt H ( j j k T z= e = a + ) Hz. ω π (4-7) T k = x T /b b /b -/b z - z - Obr.4.3 Realizace rovice (4-) číslicovou soustavou y

5 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 jω π /T rovia p π /T rovia z kde T je doba vzorkováí. Tato okolost vyplývá z faktu, že kmitočtová charakteristika aalogového filtru je Fourierovou trasformací H a (j ω )=F(h(t)) impulzí σ - odezvy. Ze vztahu z= e pt je zřejmé, že - π/t pásy o šířce π/t z levé poloroviy roviy p jsou trasformováy dovitř - π /T jedotkové kružice obr.4.4 a úseky o stejé šířce z imagiátí osy jsou trasformováy Obr.4.4. Trasformace levé poloroviy roviy p způsobeá vztahem z = e pt a jedotkovou kružici. Ze vztahu (4-7) vyplývá, že impulzě ivariačí metoda eodpovídá jedoduchému substitučímu vztahu mezi roviou p a z. Předpokládejme, že přeosová fukce aalogového systému je ve tvaru racioálě lomeé fukce vyjádřeé parciálími zlomky L Ak Ha ( p) = (4-8) k = p pk kde p k jsou póly přeosové fukce. Odpovídající impulzí odezvu určíme ze vztahu () ( ) L pk t [ a ] k..(). ht = L H p = A e t (4-9) k = Použitím impulzě ivariatí metody můžeme pro impulzí odezvu diskrétí soustavy psát L pk T ( ) ( ). pk. T ht = A. e. T ebo h = A. e. u (4-) k k = k = a pro systémovou fukci pak odvodíme L pk T pt k () [ ]... k. k (. ) Hz = Zh = A e z = A e z = = k = L = A k (4-) pt k k = e. z Porováím rovic ( 4-.8 ) a ( 4- ) zjistíme, že pól p k z roviy p se při impulzě ivariačí metodě trasformuje a pól e pt k v roviě z a koeficiety A k v parciálích zlomcích jsou v H a (p) a H(z) stejé. Je třeba pozameat, že impulzě ivariačí metoda eodpovídá zobrazeí roviy p do roviy z pomocí tohoto vztahu, ai jakéhokoliv jiého. Stejě tak eexistuje trasformačí vztah pro uly přeosové fukce. Z trasformačího vztahu pro póly však můžeme odvodit závěr, že póly stabilího aalogového filtru se záporou reálou částí se budou trasformovat a pól, který bude ležet uvitř jedotkové kružice a proto i získaý číslicový filtr bude stabilí. L k = L = k

6 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 Příklad 4. Trasformujte aalogový filtr s přeosovou fukcí H (p)=/(p+).(p+3). Nejprve rozložíme systémovou fukci a parciálí zlomky takto Ha ( p) = = (4-) ( p+ )(. p+ 3) ( p + ) ( p+ 3) Na základě odvozeého vztahu (4-) můžeme pro systémovou fukci číslicového filtru psát T 3T z.( e e ) Hz ( ) = = = T 3T T 3T e. z e. z e. z. e. z ( ) ( ) ( )( ) T 3T z.( e e ) T 3T 4T z ( e + e ) + z. e Pro odvozeí diferečí rovice ejprve upravíme rovici (4-3) takto ( )[. +.. ] ( + = )[.. ] Yz b z b z Xz a z (4-3) (4-4) kterou pomocí zpěté Z-trasformace upravíme a koečý tvar y = a. x b. y b. y (4-5) T 3T T 3T 4T kde a = e e, b = ( e + e ) a b = e. Použití impulzě ivariačí metody často ebývá motivováo dosažeím stejého tvaru impulzí odezvy, ale faktem, že pásmově omezeý aalogový filtr je možé trasformovat a číslicový filtr s prakticky stejou kmitočtovou charakteristikou. Bude-li H ( j ) a ω = pro ω π T potom pro kmitočtovou charakteristiku číslicové soustavy můžeme psát H( jω) =. ( ) T H j pro T a ω ω π (4-6) V praxi tomu tak ebývá, takže k určitému zkresleí přeci jeom dochází. Vztah mezi aalogovým a číslicovým kmitočtem je lieárí, tz. že zůstává zachová tvar kmitočtové charakteristiky. Z rovice ( 4-6 ) vyplývá, že pro vzrůstající kmitočet vzorkováí T ->, bude vzrůstat i zesíleí číslicového filtru. Aby přeosová fukce měla stejé hodoty útlumu, musíme ji vyásobit právě hodotou T takto L T Ak Hz () =. pt k k = e. (4-7) z Toho dosáheme tím, že vyásobíme hodoty impulzí charakteristiky číslicového filtru hodotou T ( h T.h ( T) = a ). V případě realizace pásmové propusti ebo pásmové zádrže je třeba přidat pásmové omezeí a tak zabráit zkresleí v důsledku překrýváí spekter (aliasigu). Jsou případy, kdy je klade hlaví důraz a ěkteré stráky časové odezvy jako je impulzí charakteristika ebo přechodová charakteristika. Pak je použití impulzě ivariatí ebo skokově ivariatí metody ezbyté

7 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 Příklad 4.3 Navrhěte číslicový filtr s Butterworthským průběhem přeosové charakteristiky, který má zlomový kmitočet Hz a a kmitočtu 6Hz musí mít útlum miimálě 7dB. Filtr realizujte pomocí impulzě ivariačí trasformace. Při řešeí budeme vycházet z ávrhu aalogového filtru, který vyhovuje zadaému toleračímu schématu. Ze zadáí ejprve staovíme pomocí vztahu (4-8) stupeň filtru takto α, s log( ) =, 7734 =.logω s (4-8) kde ω s je ormovaý kmitočet začátku zádržého pásma ω = ω / ω, ω je zlomový kmitočet filtru ω =4.π. a α s je útlum v decibelech. Pro zjištěý stupeň filtru zjistíme přeosovou fukci ormovaé dolí propusti (z tabulek ebo z příslušých vztahů), která je dáa vztahem Ha( p) = (4-9) + 4 p +,. p s tím, že póly přeosové fukce jsou dáy vztahem ( j) p =, 77± (4-3) Normovaou přeosovou fukci je uté odormovat pomocí vztahu p p = (4-3)..π což odpovídá vyásobeí každého pólu hodotou 4.π a jedičky v čitateli hodotou ( 4. π ). K realizaci impulzě ivariačí metody musíme přeosovou fukci rozložit a parciálí zlomky, abychom určili hodoty kostat v čitatelích. Rozklad uděláme ejprve obecě A B Ha ( p) = + (4-3) p+ a + j. b p+ a j. b ( ) ( ) kde pro kostaty A a B sado odvodíme A=j.,5/b a B=-j.,5/b. Pro eormovaou přeosovou fukci rozložeou a parciálí zlomky můžeme psát 5,. j 5,. j b b Ha ( p) = (4-33) p+ a + j. b p + a j. b ( ) ( ) kde p, = a± j. b= 888, 5± 888, 5. j. Na základě vztahu (4-7) můžeme pro systémovou fukci číslicového filtru psát () Hz = T. 5,. j b 5,. j b ( ) ( ) ( e. z ) e (. z ) a+ j. b. T a j. b. T Teto výraz můžeme ještě upravit do závěrečého vztahu pro systémovou fukci s s (4-34)

8 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 ( ) ( ) 888,. 5 T 777, 3. ze..si 888, 5. T Hz ( ) = T. 777T 888,. 5 T z. e. z. e.cos 888, 5. T + Dosadíme-li za proměou z hodotu e j ωt (4-35) získáme kmitočtovou charakteristiku číslicového filtru. Na obr.4.5 jsou zobrazey průběhy absolutí hodoty kmitočtové charakteristiky filtru se systémovou fukcí (4-35) pro dva vzorkovací kmitočty T=µs a 4µs s průběhem původího aalogového filtru..log H(f) [db] - T=.4 [s] -4 T=. [s] Aalogový filtr f [Hz] Obr.4.5 Průběh přeosové charakteristiky avržeého filtru porovaý s průběhem původího aalogového filtru Bilieárí trasformace Substitučí vztah pro bilieárí trasformaci lze odvodit itegrací difereciálí rovice pomocí lichoběžíkové itegračí metody, pomocí koformího zobrazeí jako vylepšeí metody trasformace difereciálů ebo rozvedeím vztahu mezi proměou p a z ( p=l(z)/t ) do řady, ze které vzhledem k její rychlé kovergeci v okolí bodu z= poecháme pouze prví čle. Ze všech odvozeí získáme ásledující substitučí vztah mezi roviou p a z z p =. (4-36) T + z který dosadíme za proměou p do přeosové fukce H a (p) vztah (4-36), získáme přímo systémovou fukci H(z) číslicového systému. Podívejme se yí blíže a vlastosti této substituce a dosaďme do substitučího vztahu za proměou z= e jω T (jedotková kružice) jωt e ( ) p ( ) T e T j si ωt =. T T j T j jωt =. =. tg ω = σ + Ω (4-37) + cos ω ( ) - 4 -

9 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 jω rovia p rovia z ω σ - ω= Obr.4.6. Trasformace levé poloroviy roviy p pomocí bilieárí trasformace Z odvozeého vztahu vyplývá, že jedotková kružice z roviy z se trasformuje a imagiárí osu v roviě p (σ =). Sado se dá zjistit, že levá polorovia roviy p se trasformuje do jedotkové kružice v roviě z. Vztah mezi kmitočtem číslicového a aalogového filtru je dá vztahem ω = T.arctg Ω.T (4-38) Ze vztahu (4-38) zjistíme, že ulový kmitočet Ω= aalogového filtru se trasformuje a ulový kmitočet číslicového filtru ω= (tj. do bodu z= a jedotkové kružici v roviě z) a ekoečý kmitočet Ω= se trasformuje a číslicový kmitočet ω=π/t (do bodu z=- v roviě z obr.4.6). Příklad 4.4 Navrhěte pomocí bilieárí trasformace filtr druhého řádu s Čebyševským průběhem přeosové charakteristiky se zvlěím db a zlomovým kmitočtem f = Hz. Doba periody vzorkováí je 45µs. Při řešeí je ejprve uto provést korekci zlomového kmitočtu z číslicové oblasti do oblasti aalogové. Korekci provedeme ze vztahu (4-38), který upravíme do tvaru. ω o.t Ω =. tg =. π. 4, 65 [ rad] (4-39) T Z tabulek filtrů [5] sado zjistíme, že ormovaá přeosová charakteristika Čebyševského filtru druhého řádu je dáa vztahem Ha( p) = (4-4) p +, 977 p + 5, o o kde p = jωω = p Ω. Normovaou kmitočtovou charakteristiku je třeba ejprve odormovat a zlomový kmitočet Ω. H a ( p) = p Ω o p +, , Ω o (4-4) Nyí můžeme do tohoto vztahu dosadit výraz pro bilieárí trasformaci a provést tak přechod z aalogové oblasti do oblasti číslicové. Pro systémovou fukci H(z) pak můžeme psát - 4 -

10 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 Hz ( ) = 59,. ( +. z + z ) ( 3438,. z +, 578. z ).59 x y z - z -.. Obr.4.7 Realizace filtru.kaoickou formou (4-4) Odvozeou systémovou fukci můžeme realizovat apř..kaoickou formou, kterou upravíme pouze předřazeím ásobičky kostatou,59 obr.4.7. Na obr.4.8 je zobraze vypočteý průběh přeosové charakteristiky avržeého filtru pomocí programu ATHCAD (ATLAB, DERIVE) a je porová s průběhem původího aalogového filtru. H(f) Aalogový filtr Èíslicový filtr f [Hz] Obr.4.8 Průběh přeosové charakteristiky avržeého filtru porovaý s průběhem původího aalogového filtru Počítačový ávrh filtrů NIO V předcházející části jsme si ukázali, jak můžeme avržeý aalogový filtr trasformovat a filtr digitálí. Tato cesta je rozumá tehdy, když můžeme využít výhody aalogového ávrhu, které jsou pro zámé aproximace popsáy výrazy ebo tabulkami. Obecý ávrh aalogového ebo digitálího filtru s libovolou kmitočtovou charakteristikou eí aalyticky zpracová a proto musíme v těchto případech ávrh provádět pomocí algoritmů a počítači, převádějících řešeý problém a řešeí soustavy lieárích ebo elieárích - 4 -

11 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 rovic. V literatuře je popsáa řada počítačových ávrhů aproximujících libovolý průběh kmitočtové charakteristiky, my se spokojíme jeom se základími etoda ejmeších čtverců etoda vychází z předpokladu miimalizace středí kvadratické chyby mezi požadovaou kmitočtovou charakteristikou H d (j ω ) a charakteristikou avržeého filtru H(jω) a předem defiovaých kmitočtech ω i, kde i=,,...,. Pro středí kvadratickou chybu můžeme psát teto vztah [ ( i) d( i) ] E = H jω H jω i= Předpokládejme, že realizovaá přeosová fukce bude ve tvaru (4-43) K + ak. z + bk. z Hz () = A. = AGz. () (4-44) k = + ck. z + dk. z Kaskádí formu volíme pro relativě ízkou citlivost a výhodost při výpočtu utých derivací v optimalizačí proceduře. Chyba defiovaá vztahem (4-43) je fukcí parametrů a, b,c, d, a, b,c, d,...,a. Chceme-li aby chyba pro tyto hodoty dosáhla miima, potom parciálí derivace E podle jedotlivých parametrů musí být ulové. Tak získáme 4K+ rovic pro 4K+ ezámých. Rovice apříklad pro A je dáa vztahem E =. [ A. G( jωi) Hd( jωi) ]. G( jωi ) = (4-45) A i= Řešeím rovice získáme teto vztah A [ G( jωi). Hd( jωi) ] i = = i= ( ω ) G j i (4-46) Obdobě získáme rovice i pro 4K ezámých parametrů filtru a, b,c, d,.... Řešeím soustavy rovic získáme hodoty jedotlivých parametrů. Je třeba upozorit a to, že při matematickém řešeí emusíme získat hodoty pro parametry odpovídající stabilímu filtru, řešeí problému lze alézt v [] Iverzí ávrh metodou ejmeších čtverců Předcházející postup umožňuje staovit kmitočtovou charakteristiku filtru jako výsledek řešeí elieárích rovic pro jedotlivé kostaty filtru. Alterativí procedura je založea a aplikaci miimalizace středí kvadratické chyby a tzv. iverzí ávrh filtru vedoucí a soustavu lieárích rovic. V tomto případě vycházíme z prvích L vzorků požadovaé

12 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 impulzí odezvy h d pro =,,...,L- a pro zjedodušeí problému předpokládejme, že přeosová fukce má tvar ao Hz () = (4-47) i b. z Předpokládejme, že máme systémovou fukci V(z) defiovaou vztahem () V z () z () i= i i Hd() z. bi. z H d i= = = (4-48) Hz a á-li mít systémová fukce H(z) stejé vlastosti jako H d (z), potom fukce V(z) se musí blížit k hodotě a její impulzová odezva jedotkovému impulzu δ. Rovici (4-48) upravíme takto () = () () a. V z H z H z. b. z o d d i i= o i (4-49) Po provedeí zpěté Z-trasformace získáme diferečí rovici pro každý vzorek impulzí odezvy v systémové fukce V(z) a. v = h b. h o d i d( i) i= (4-5) kde v má být jedotkový impulz δ. Pro = z rovice vyplývá, že ao = hdo. Všechy ostatí hodoty v musí být co ejmeší pro >. Proto volíme za středí kvadratickou chybu výraz E = v i i= Po dosazeí z rovice (4-5) do vztahu (4-5) získáme tuto rovici (4-5) E =. h h b h a d. d. i. ( ) + b h d i i. d( i) o = = i= = i= (4-5) K zajištěí miimálí hodoty středí kvadratické chyby musí derivace fukce E podle koeficietů b i být ulové. E = bi j =,,!, (4-53) Výpočtem derivací získáme teto vztah E =. hd h ( ) b h ( ) h d j i d i d b a.. +. ( j) i o i.. = = = (4-54) Budeme-li defiovat fukci φ(i,j) takto (, ) = d( i). d( j) φ i j h h = potom koeficiety b i získáme řešeím lieárích rovic. (4-55)

13 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 ( ) φ ( ) bi. φ i, j =, j kde j =,,!, (4-56) = kde φ(i,j) jsou kostaty vypočteé pro požadovaou impulzí odezvu h d ze vztahu (4-55) Kmitočtová trasformace filtrů typu dolí propusti s NIO. Stejě jako v případě aalogových filtrů existují i u číslicových filtrů kmitočtové trasformace, které umožňují trasformovat filtr typu dolí propusti a jiý filtr dolí propusti, a filtr typu horí propusti ebo a filtr typu pásmové propusti ebo pásmové zádrže. Trasformačí výrazy můžeme použít v případě korekce zlomového kmitočtu (apř. dolí propusti) ebo přímo k ávrhu filtru daého stupě a požadovaý typ filtru obr.8.9. Odvozeé vztahy, které si ukážeme, vychází ze systémové fukce ormovaého číslicového filtru se zlomovým kmitočtem θ < p, π > s proměou z. Požadovaý filtr má ormovaý zlomový kmitočet ω p (skutečý kmitočet ω p /T) a v systémové fukci proměou Z. Pro trasformaci filtru typu dolí propusti a jiý filtr typu dolí propusti můžeme psát z Z α = α. Z si kde α = si (( θp ωp ) ) ( θp + ωp ) ( ) Pro trasformaci filtru typu dolí propusti a filtr typu horí propusti můžeme psát z Z + α = + α. Z cos kde α = - cos (( θp + ωp ) ) ( θp ωp ) ( ) (4-57) (4-58) Pro trasformaci filtru typu dolí propusti a filtr typu pásmové propusti můžeme psát α k k Z. Z + k k (( ) ) ω ω z = kde α = - cos k α k (4-59). Z. Z + cos (( ω ω) ) k + k + k = cot g ω ω.tg θ p (4-6) kde ω a ω jsou kmitočty určující šířku pásma propustosti. Pro trasformaci filtru typu dolí propusti a filtr typu pásmové zádrže můžeme psát α k Z k Z k +. k (( ) ) ω ω z = kde α = - cos (4-6) k (( ) ) k Z α k k Z.. + cos ω ω + + k = cot g ω ω.tg θ p (4-6)

14 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 H(f) H(f) θ π θ ω p π ω p a) H(f) H(f) ω ω ω π π ω ω ω b) c) Obr.4.9 Kmitočtová trasformace filtru typu dolí propusti a a) horí propust b) pásmovou zádrž c) pásmovou propust

15 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - / Návrh filtrů s koečou impulzí odezvou - KIO Filtry s koečou impulzí odezvou emají v aalogových obvodech aalogii a proto při jejich ávrhu musíme vycházet z jiých pricipů, ež při ávrhu filtrů s ekoečou impulzí odezvou. Filtry s koečou impulzí odezvou mají proti filtrům NIO ěkteré výhody i evýhody, které můžeme shrout do těchto bodů. Výhody: - Systémová fukce filtru KIO má všechy své póly v bodě z= a proto jsou filtry vždy stabilí a jejich stabilita emůže být ovlivěa kvatováím koeficietů jako tomu je u filtrů NIO. - KIO filtry můžeme avrhovat tak, aby měly přesě lieárí fázovou charakteristiku (kostatí skupiové zpožděí) v celém kmitočtovém rozsahu. - Realizace těchto filtrů sigálovými procesory druhé a třetí geerace v jazyce symbolických adres jsou velmi jedoduché. Nevýhody: - Ke splěí daých útlumových požadavků vyžadují oproti filtrům NIO vyšší stupeň filtru a proto i k jejich realizaci je zapotřebí vyšší počet registrů, sčítaček a ásobiček. - Návrh filtrů KIO je komplikovaější a hlavě určeí výsledých útlumových požadavků v propustém i epropustém pásmu je problematické. Skupiové zpožděí roste se stupěm filtru a proto při vysokém stupi aproximace může být začě velké. Systémová fukce kauzálího KIO filtru je dáa výrazem Hz () = h. z = (5-) To zameá, že systémová fukce H(z) je realizováa polyomem z stupě -. Z tohoto důvodu má H(z) - ul, které mohou být umístěy kdekoliv v koečé roviě z a - pólů, které všechy leží v bodě z =. Kmitočtovou charakteristiku H(jω) získáme po dosazeí za z = e jωt a získáme trigoometrický polyom daý vztahem ( ω) H j = h. e = jω T (5-) Protože jakákoliv koečá impulzí posloupost je plě určea vzorky své Fourierovy trasformace, může být ávrh filtru s koečou impulzí odezvou realizová buď alezeím hodot impulzí odezvy filtru ebo z vzorků jeho kmitočtové charakteristiky. V ásledujících částech si ukážeme postupy využívající oba přístupy

16 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - / etoda Fourierových řad Návrh filtrů KIO pomocí Fourierových řad je velmi sadý a vede rychle k cíli. Jejich evýhodou je, že emůžeme přesě určit úroveň zvlěí v propustém i epropustém pásmu, což vyplývá z omezeí původě ekoečé impulzí odezvy a koečý počet hodot. Jak jsme již dříve uvedli můžeme pro požadovaou kmitočtovou charakteristiku ideálě avržeého filtru psát ( ω) jω T Hd j = hd. e (5-3) = kde h d jsou hodoty odpovídající impulzí odezvy, kterou můžeme určit apř. zpětou Fourierovou trasformací π / T T jω T hd =. Hd ( jω). e dω (5-4) π π / T Obecě může být H d (j ω ) pro kmitočtově selektiví filtry po úsecích kostatí s diskotiuitami a přechodech pásem. Chceme-li yí realizovat filtry s koečou impulzí odezvou musíme připustit, že ekoečou impulzí odezvu omezíme a ějaký koečý počet prvků. Kmitočtová charakteristika pak bude ze vztahu ( 5-3 ) dáa superpozicí koečého počtu harmoických sigálů (Fourierovou řadou). Tato situace je idetická se studiem kovergece Fourierovy řady k původímu sigálu (a rozhraích bude docházet k Gibbsovu jevu). Tím se dostáváme k druhému možému postupu ávrhu číslicového filtru, který vychází z faktu, že kmitočtová charakteristika je fukce periodická s periodou π/t, kterou můžeme vyjádřit Fourierovou řadou. Kmitočtovou charakteristiku číslicové soustavy můžeme aproximovat tak, aby představovala sudou ebo lichou fukci. Sudou fukcí budeme aproximovat filtry typu dolí propusti ebo pásmové zádrže, lichou fukcí, která musí být ulová při kmitočtu f=, budeme aproximovat filtry typu pásmové a horí propusti ebo kmitočtové diskrimiátory. Uvažujme ejdříve případ, kdy H(jω) je fukce sudá, kterou můžeme aproximovat Fourierovou řadou s kosiovými čley pomocí výrazu ( ) = + a ( Tf ) H f a =.cos π (5-5) který získáme formálí záměou časové osy za osu kmitočtovou fv = /T T = π/ ω a f t. Koeficiety a jsou dáy vztahem / T ( ) ( ) a = 4T. Hd f.cos π ft df (5-6) u kterého byla provedea popsaá formálí záměa. Nyí upravíme vztah (5-5) tak, aby jej bylo možé porovat s rovicí (5-3) takto ( ω) H j a a e jπtf e jπtf a + jω T = +. =. e (5-7) = =

17 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 Ze vztahu je zřejmé, že impulzí odezva je sudou fukcí a je dáa vztahem h = h = a/ (5-8) Budeme-li předpokládat vyjádřeí H(jω) lichou fukcí potom ji můžeme aproximovat Fourierovou řadou se siovými čley pomocí výrazu ( ) = ( ) H f b.si π Tf (5-9) = Koeficiety b jsou dáy zámým vztahem / T ( ) ( ) b = 4T. Hd f.si π ft df (5-) u kterého byla provedea stejá formálí záměa jako v předcházejícím případě. Vztah opět upravíme do tvaru, který lze porovat s rovicí (5-3) H( j ) b e jπtf e jπtf b j j e jω T ω =. =. (5-) = = Ze vztahu je zřejmé, že impulzí odezva je lichou fukcí a je dáa vztahem h = h = b/j (5-) Každá hodota impulzí odezvy je dělea hodotou j, která se u výsledé aplikace projeví fázovým posuem a hodotou π/ ( j= e π/ ). Z výrazu (5-8) a (5-) je zřejmé, že získáme impulzí odezvy filtrů s kostatí fází a kmitočtu, které elze realizovat. Proto musíme získaé impulzí odezvy posuout o hodot doprava, což odpovídá ásobeí systémové fukce hodotou z takto () Hz = z. h. z = c. z = = (5-3) kde c = h-. Tuto operaci je možé provést a základě zalosti vlastostí diskrétí Fourierovy trasformace (věta o posuuté poslouposti) a po její aplikaci v ašem případě získáme filtr s lieárí fází. Nevýhodé vlastosti aproximace systémové fukce získaé pomocí Fourierovy řady se vylepšují použitím metody oke, které budou popsáy v ásledující části. Příklad 5.. Navrhěte metodou Fourierových řad číslicový filtr s koečou impulzí odezvou typu pásmové propusti s mezími kmitočty khz a 3kHz. Vzorkovací kmitočet vstupího sigálu je 8kHz. Nakreslete kmitočtovou charakteristiku filtru pro zvoleý počet vzorků impulzí odezvy. Navrhovaý číslicový filtr má přeosovou charakteristiku daou tímto vztahem H H d d ( f ) = pro f (,3) [Hz] ( f ) = pro f (,) (3,4) [Hz] (5-4)

18 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 Protože se jedá o pásmovou propust, musíme volit takovou aproximaci přeosové fukce, kterou lze rozložit do siových čleů Fourierova rozvoje. Pro koeficiety b můžeme s pomocí vztahu (5-) psát π 3π 38 / T cos cos 4 b = 4. T. si( π ft). df = 4T π π / (5-5) kde =,,,.... Z odvozeého vztahu je zřejmé, že hodoty (impulzí odezvy) ejsou závislé a vzorkovacím kmitočtu. Právě proto, jak jsme se již zmíili, zavádí ěkteří autoři ormováí vzorkovacího kmitočtu (T=). Odtud pro jedotlivé hodoty impulzí odezvy můžeme pro = až 7 psát h o =, h 4 =,5954 h -4 = -,5954 h =,579 h - = -,579 h 5 = -,455 h -5 =,455 h = -,5954 h - =,5954 h 6 = -,535 h -6 =,535 h 3 = -,756 h -3 =,756 h 7 =,354 h -7 = -,354 Získaá impulzí odezva eí přímo realizovatelá a proto ji musíme poposuout o 7 vzorků takto h = h 7, h = h 6,..., h4 = h 7 s tím, že u takto realizovaého filtru dojde k posuu fázové charakteristiky. Na obr.5. je zobraze výsledý průběh filtru =9 (9 vzorků impulzí odezvy) = a =4. H(j ω).5 N=8 N=9 N= f [Hz] Obr.5.. Kmitočtová charakteristika avržeého filtru pro N=+ vzorků impulzí odezvy 5.. Návrh filtrů užitím oke Jak jsme se již zmíili, získáváme koečou délku impulzí charakteristiky jejím omezeím a eulových vzorků takto - 5 -

19 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 h = hd pro (5-6) = pro ostatí Na teto postup můžeme pohlížet jako a souči požadovaé impulzí odezvy s defiovaým okem w, pro který můžeme psát h = hd. w (5-7) kde w = pro -, w = pro všecha mimo teto iterval a h d je požadovaá impulzí odezva. Na základě kovolučího teorému můžeme psát π / T H( jω) = Hd ( jω) W( jω jθ) dθ π.. π / T (5-8) kde W(jω) je Fourierův obraz použitého oka. Nejvhodější volba oka je taková, která má co ejmeší šířku hlavího laloku, miimálí amplitudu postraích laloků a klade miimálí ároky a výpočet při realizaci filtru. Tyto kofliktí požadavky elze současě split, což si ukážeme a vlastostech zámých typů oke. Příklad 5. Určete spektrum obdélíkového oka omezujícího impulzí odezvu a vzorků. jωt jω T jω T ( ) ( ) e = e jω We e = = e jω T = ( / ) ( ωt ). si / si ( ωt / ) (5-9) Na obr.5. je zobraze průběh W(jω) pro hodotu =. Budeme-li zvětšovat, šířka hlavího laloku se zmešuje a bude ležet v itervalu ω (-π/,π/). Problém pravoúhlého oka espočívá ai tak v šířce hlavího pulzu, jako v relativě velkých postraích lalocích, které ejsou zaedbatelé a výrazě sižují zádržý útlum v epropustém pásmu. Prví maximum má potlačeí pouze 3dB. Z těchto důvodů byly hledáy vhodější tvary oke, které by měly meší amplitudu postraích laloků. Po trojúhelíkovém okě (Barttlet) přichází oka založeá a fukci cosius. Obecě můžeme počítat s tím, že za dosažeí velkého útlumu v epropustém pásmu zaplatíme meší strmostí v přechodovém pásmu mezi propustým a zádržým pásmem. V ásledujícím výčtu se můžeme sezámit s defiicemi používaých typů oke -4.log. W( ω) π/τ π/τ ω Obr.5. Kmitočtová charakteristika obdélíkového oka - 5 -

20 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 Pravoúhlé w = (5-) Barttlet Haig Hammig w = = pro pro < (5-) w = π 5,. cos pro (5-) w = π 54, 46,.cos pro (5-3) Blackma w = π 4π 4, 5,.cos + 8,.cos (5-4) pro. Studiem vlastostí uvedeých oke zjistíme, že všecha oka jsou symetrická a mají lieárí fázi. K výrazým rozdílům dospějeme vykresleím fukcí log W( j ω ), kde se objevují výrazé rozdíly v útlumu v epropustém pásmu. V tab.5. jsou uvedey základí parametry jedotlivých oke použitých při ávrhu dolí propusti. Je třeba připomeout, že hodoty uvedeé v tabulce jsou pouze přibližé a závisí a stupi filtru i a zlomovém kmitočtu avrhovaého filtru. Oko Vrchol postraího laloku Šířka laloku iimálí zádržý útlum Obdélíkové -3 db 4π/ - db Bartlett -5 db 8π/ -5 db Haig -3 db 8π/ -44 db Hammig -4 db 8π/ -53 db Blackma -57 db π/ -74 db Tabulka 5. Nejlepších vlastostí avržeého filtru můžeme dosáhout s Kaiserovým okem, které je dáo vztahem w = I o β. I o β (5-5) kde I o je modifikovaá Besselova fukce prvého druhu a proměým parametrem β je možé regulovat šířku hlavího laloku. Velká hodota β odpovídá širokému hlavímu laloku a zároveň ízké úrovi postraích laloků. Zůstává otázkou jaký zvolit stupeň filtru a hodotu parametru β. V práci [3] je pro Kaiserovo oko uvede empirický vztah, z kterého můžeme tyto parametry avrhovaého filtru určit. Nejprve určíme ormovaou šířku přechodové oblasti mezi propustým a zádržým pásmem vztažeou k vzorkovacímu kmitočtu - 5 -

21 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 f = ( fs fp) (5-6) f v kde f s a f p jsou zlomové kmitočty zádržého a propustého pásma a f v je vzorkovací kmitočet. Požadujeme-li v epropustém pásmu miimálě útlum oα s, potom z ásledujícího vztahu určíme stupeň filtru α s 795, = (5-7) 4, 36. f Volitelý parametr Kaiserova oka potom určíme ze vztahu ( ) [ ] β =,. α 8, 7 pro α 5 db (5-8) s 4, ( ) ( ) [ ] β =, 594. α +, α pro α 5 db (5-9) s s s V této části byly ilustrováy základí pricipy, které mohou být aplikováy a ávrh jakéhokoliv filtru, pro který je defiováa kmitočtová charakteristika. Obtíže mohou astat při výpočtu itegrálu pro koeficiety impulzí odezvy ebo emůžeme-li H d (j ω ) vyjádřit aalytickou fukcí. V takových to případech je možé výpočet koeficietů impulzí odezvy provádět pomocí zpěté diskrétí Fourierovy trasformace. j( / ) k j( / ) k. Hd ( e ). e hd ( r. ) k = r = π π hd = = + (5-3) Bude-li velké, potom hodoty impulzí odezvy h d budou vyjádřey s dobrou přesostí v itervalu použitého oka. s 5.3. Návrh filtru pomocí kmitočtového vzorkováí K odvozeí ávrhu filtru s koečou impulzí odezvou pomocí kmitočtového vzorkováí je třeba uvést ěkteré zákoitosti, které platí mezi Z-trasformací a diskrétí Fourierovou trasformací (DFT). áme-li koečou sekveci x délky, pak pro její Z- trasformaci můžeme psát X() z = x. z áme-li periodickou sekveci "x s periodou, pak pro DFT můžeme psát = X k x". e j( / ) ( ) = = (5-3) π k (5-3) Porováím obou vztahů zjistíme, že X( k) X( z) j z e ( π / ) k (5-33) = = Z-trasformace sigálu x v určitých bodech a jedotkové kružici je totožá s koeficiety DFT od stejého sigálu "x, který je však periodický. K dosažeí kmitočtového vzorkováí

22 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 bychom yí potřebovali odvodit vztah mezi X(z) a X(k). Nejprve vypočteme sigál "x pomocí zpěté DFT takto k x" =. X( k). W (5-34) k = -k ( / ) k kde W = e j π, "x je sigál, který vzike periodickým prodloužeím sigálu x. Dosaďme yí do vztahu pro Z-trasformaci vztah pro zpětou DFT. Protože x = x" jsou shodé v itervalu -, můžeme psát k k X() z =. X( k). W. z =. X( k) ( W z ) k. k = = = = = ( ) = ( ) = z z X k. X k.. (5-35) k k k = W z k = W z k ( /) k kde W = e j π. Vztah (5-35) defiuje systémovou fukci X(z) s koečou impulzí odezvou délky vypočteou a základě kmitočtových vzorků X(k) stejoměrě rozložeých. Kmitočtovou charakteristiku realizovaého filtru získáme po substituci z= e jωt do vztahu (5-35) ( ω) H j j T( ( ) / ) jωt e =. e k = H ( k) d j( π/ ) k jωt. e = [ ( T ( ) k) ] ωt ( π ) k = ω e ω ( ) π. Hd k. si / / k = si / / / k ( ) j ( ) kde H ( k) H [( ) ] (5-36) d = d e π, k =,,,..., -. Uvedeý vztah popisuje průběh kmitočtové charakteristiky procházející jedotlivými zvoleými body. Právě jejich vhodá volba výrazě ovlivňuje výsledý průběh. Kmitočtové vzorkováí je zvláště atraktiví pro pásmově selektiví filtry, kde pouze málo vzorků kmitočtové charakteristiky je eulových. V takových případech je metoda kmitočtového vzorkováí velmi výhodá. Na druhou strau bude-li tato metoda aplikováa a fukci, kde velké možství bodů bude eulových, pak realizace sice eí optimálí, ale přiáší vyikající výsledky. Kmitočtové vzorkováí užité v iterativí proceduře přiáší filtry KIO s velkou hodotou zádržého útlumu pro daou hodotu N pro růzé průběhy přeosových fukcí Filtry KIO vyjádřeé trigoometrickým polyomem Kmitočtovou charakteristiku filtru typu KIO s ulovou fází můžeme vyjádřit vztahem ( ω) jω T H j = h. e (5-37) = kde impulzová odezva má + hodot. Nulový fázový posu dosáheme tím, že impulzí odezva bude tvořea sudou ebo lichou fukcí h sudé impulzí odezvy, můžeme vztah (5-37) upravit takto =± h. Díky této symetrii, pro případ

23 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 ( ω) = + ( ω ) H j h. h.cos T (5-38) = Zůstává otázkou jak staovit koeficiety h,h,!,h tak, aby bylo vyhověo toleračímu schématu z obr.5.3. Požadujme apříklad ávrh filtru typu dolí propusti s propustým pásmem ω ω p a přeosem s maximálí odchylkou δ a epropustým pásmem H(j ω) + δ -δ ωs ω π/t s maximálí odchylkou δ. V tomto případě eí možé specifikovat ezávisle každý z parametrů, δ, δ, ω p a δ ω ω ω ω s. Byly vytvořey ávrhové algoritmy, u kte- p ω δ ω ω3 s ω- π/τ rých buď,δ a δ ebo Obr.5.3 Aproximace toleračího schématu trigoometrickým, ω p a ω s jsou voley polyomem pevě a zbývající parametry jsou optimalizováy pomocí iteračích metod. Jedím z možých vyjádřeí rovice (5-38) je trigoometrický polyom stupě, který má - lokálích miim a maxim v itervalu < ω < π/t a který je dá vztahem ( ω) = + [ ( ω )] H j h a.cos T (5-39) Vypočteme-li derivaci fukce H(jω) podle kmitočtu ω, získáme teto výraz ( ω) = dh j ' H ( jω) = = T..si ωt. a.[ cos( ωt) ] (5-4) dω = z kterého vyplývá, že ω = a ω = π/t má fukce lokálí maximum ebo miimum. Zvolíme-li pevě hodoty,δ a δ, potom vytvoříme soustavu rovic pro ezámé kostaty a k a ezámé kmitočty ω, ω,..., ω, při kterých má hledaá fukce lokálí maximum ebo miimum. Řešeí problému se tak převádí a řešeí rovic, které jsou pro případ z obr.5.3 dáy těmito vztahy ( p) H( j s) H jω = δ ω = δ (5-4) ( ) ( / ) H j = + δ H jπ T = δ Pro zbývající kmitočty lokálích maxim a miim můžeme psát ( ω) δ ( ω) ( ω ) δ ( ω ) H j = H j = H j = + H j = (5-4) # #

24 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 ( ω ) δ ( ω ) H j =± H j = Tyto rovice jsou však vytvoří soustavu elieárích rovic, které je uté řešit iteračími metodami. K řešeí je třeba připomeout, že z rovic můžeme získat pouze rozdílých řešeí lišících se počtem lokálích maxim a miim v propustém a zádržém pásmu, který musí být rove hodotě + (počítáo i s kraji pásma až π/t). Odtud lze odhadout s jakou epřesostí staovíme zlomové kmitočty ω p a ω s ebo s jakým krokem je můžeme měit. Zvolíme-li druhou metodu, při íž jsou kmitočty maxim a miim pevě staovey, potom k řešeí použijeme Lagrageovu iterpolačí metodu, kterou určíme polyom procházející zvoleými body. U této metody musíme počítat s tím, že získaý polyom bude procházet zvoleými body, ale emusí to být právě v maximu ebo miimu fukce (bude docházet k překročeí očekávaého přeosu). Obecě lze metodu považovat za velmi přizpůsobivou, lze s í realizovat filtry těžko realizovatelé jiými metodami, s velmi dobrou kotrolou útlumu jak v propustém tak i zádržém pásmu. K ávrhu popsaého filtru můžeme využít Parks-cClellaova algoritmu, který je, stejě jako všechy popsaé metody, stadardí součástí programů ATLAB ebo ATHCAD pod ozačeím REEZ

25 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - / Vlivy koečé délky slova v digitálím zpracováí sigálů Při ávrhu číslicových filtrů jsme dosud vycházeli z předpokladu, že všechy matematické operace realizovaé v systému jsou prováděy s absolutí přesostí. Prvím sigálem, že tomu tak v reálých systémech eí, byla pro ás kapitola 3.3 o vlivu kvatováí ásobících koeficietů. Praktické realizace algoritmů číslicového zpracováí, ezávisle a tom jsou-li tvořey speciálě vytvořeým číslicovým obvodem ebo programem pro uiverzálí ebo speciálí mikroprocesor, vyžadují, aby hodoty všech veliči (sekvecí i koeficietů) byly vyjádřey čísly v ěkteré z číselých soustav. Přesost jedotlivých hodot je potom závislá a délce použitých registrů v číslicovém systému. Díky tomu, že každá veličia (vstupí sigál, hodota koeficietu, výsledek operace,..) může abývat pouze omezeého počtu diskrétích (kvatovaých) hodot, budou ovlivěy eje přeosové vlastosti systému, ale i přesost výpočtů v ěm probíhajících. Budeme-li apříklad pracovat s hodotami vyjádřeými v dvojkové soustavě b-bity, potom po operaci aritmetického součiu budeme potřebovat k uchováí výstupu z ásobičky registr o délce b bitů. V případě realizace rekurzivího filtru bychom dokoce potřebovali při každé další iteraci zvětšit délku registru o b bitů. To ám však techická realizace eumožňuje a proto budeme ucei po každé takové aritmetické operaci kvatovat výsledek a použitou délku registrů. Z ekoomického hlediska se pak sažíme volit takovou délku registrů a zpracovávaých slov, které způsobí ještě přijatelé chyby. Efekty, které při takovém kvatováí v číslicovém systému vzikou, budou záviset a tom, zda čísla budou reprezetováa v pevé či pohyblivé řádové čárce, zda bude kvatováí provedeo zaokrouhleím ebo ořízutím, zda číslo bude uvažovat jako reálé ebo přirozeé, atd. Tyto efekty způsobí v jiak lieárím číslicovém systému eliearity. Přesá aalýza těchto jevů je velmi komplikovaá, e-li dokoce emožá a pro zjištěí jejich vlivu a chováí systému se často používá statistických metod. 6.. Zobrazeí čísel Pro zobrazeí hodot sigálů a koeficietů číslicového filtru ebo jiého číslicového systému je možé použít libovolé číselé soustavy. S ohledem a rozvoj a realizaci číslicových obvodů se dvěma stabilími stavy, má praktický výzam se zabývat pouze soustavou dvojkovou. Dvojková (biárí) soustava je číselá soustava jejímž základem je hodota B=. Jako v každé jié soustavě je číslo tvořeo posloupostí číslic (bitů), které abývají pouze dvou hodot ebo. Nyí se sezámíme s vyjádřeím kladých i záporých čísel s pevou a pohyblivou řádovou čárkou

26 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - / Čísla s pevou řádovou čárkou Každé reálé číslo v pevé řádové čárce můžeme vyjádřit jako součet moci základu vyásobeých odpovídající číslicí takto m i A = a B a B + ab + a B + a B + a B a B +... = a m m i= i (6-) kde a i = ebo. Z praktického hlediska je však suma ekoečého počtu čleů epoužitelá. Omezeím délky registru v číslicovém systému má za ásledek i omezeý počet zobrazitelých hodot čísel a z tohoto důvodu i omezeou přesost. Pro délku registru b lze vztah (6-) přepsat do tvaru b i A = a B a B + ab + a B + a B + a B a B +... = a b b i= i (6-) kde b-- určuje ejvětší zobrazitelou váhu celočíselé části a a - je koeficiet s ejmeší váhou. To zameá, že číslo je určeo s přesostí - ( A am... aa, a a a 3... a < ). V tomto vyjádřeí čísla A je umístěa řádová čárka za čleem a a rozděluje číslo a část celočíselou a zlomkovou (matisu, fractioal) b i A = A + A = a + a I F i i= i= i i (6-3) Umístěí řádové čárky je fiktiví a závisí pouze a aší volbě. Při realizaci číslicového systému však musí být dodržováo pro všechy registry a výsledky aritmetických operací před jejich uložeím do registrů. Nejčastější umístěí řádové čárky je za posledím bitem zprava, pak se jedá o celočíselou reprezetaci (Iteger) ebo za prvím bitem zleva, a pak se jedá o čísla vyjádřeá matisou. Při použití aritmetiky s pevou řádovou čárkou v číslicových systémech se obvykle používá vyjádřeí matisou. Za tohoto předpokladu bude souči dvou čísel zaokrouhle ebo omeze a defiovaém ejméě platém bitu určeém délkou registru. Při zvětšováí rozsahu zobrazovaých čísel dochází k velkým árokům a počet platých bitů. Použití čísel s pevou řádovou čárkou v systémech přiáší sazší realizaci aritmetických operací. Jejich evýhodou je malý rozsah zobrazovaých čísel, který avíc závisí i a umístěí řádové čárky. Další evýhodou je ta skutečost, že chyba vziklá kvatováím čísla závisí a velikosti zobrazovaého čísla, protože absolutí hodota kvatovacího kroku je kostatí. Pro dyamický rozsah zobrazeí, který je defiová poměrem ejvětšího a ejmešího zobrazitelého čísla, můžeme psát A D =.log max (6-4) A Pro dyamický rozsah z (6-4) při délce registru b bitů sado odvodíme mi

27 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 b D=.log 6.. b db (6-5) V systémech s pevou řádovou čárkou je dyamický rozsah zobrazeí lieárí fukcí délky registru s přírůstkem 6dB a bit Vyjádřeí čísel kladých a záporých Doposud jsme hovořili pouze o vyjádřeí kladých čísel s pevou řádovou čárkou. Potřebujeme-li zobrazovat čísla se zamékem je zřejmé, že počet bitů rezervovaý a rozsah čísel bude uto zvětšit o jede bit, který poese iformaci o zaméku. Čtyři ejpoužívaější vyjádřeí reálých čísel v pevé řádové čárce, která si yí popíšeme, jsou graficky zobrazea a obr.6.. Vyjádřeí ± absolutí hodota. Při tomto vyjádřeí představuje ejvyšší bit zaméko ( obvykle = +, = - ) a zbývajících b- bitů určuje absolutí hodotu zobrazovaého čísla. Vyjadřujeme-li celá čísla a máme k dispozici b bitů, pak můžeme zobrazovat kladá i záporá čísla v itervalu <, b ->. Ve vyjádřeí existují dvě uly, z ichž použití záporé uly... se většiou zakazuje. Vyjádřeí záporých čísel jedotkovým doplňkem U tohoto vyjádřeí jsou kladá čísla vyjádřea stejě jako ve tvaru ± absolutí hodota. Záporá čísla jsou v jedotkovém doplňku, který ozačujeme A a vypočteme z ásledujícího vztahu b b b i A = A = a i= i (6-6) b Hodota -představuje číslo, které má a všech bitech samé jedičky. Odečteme-li od této hodoty b- bitové číslo A, získáme číslo mající oproti číslu A všechy bity egovaé. Vyjadřujeme-li celá čísla a máme k dispozici b bitů můžeme zobrazovat čísla kladá i záporá v itervalu <, b ->. Nejvyšší bit začí zaméko ( = +, = -). Ve vyjádřeí existuje kladá (.. ) i záporá (.. ) ula. Vyjádřeí záporých čísel dvojkovým doplňkem U tohoto vyjádřeí jsou kladá čísla vyjádřea stejě jako ve tvaru ± absolutí hodota. Záporá čísla jsou ve dvojkovém doplňku, který ozačujeme A a vypočteme z ásledujícího vztahu b b b i A = A = + A = a i= i (6-7)

28 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 Jak vyplývá z předešlého textu získáme dvojkový doplěk tak, že všechy bity čísla A zegujeme ( jedotkový doplěk ) a pak k ěmu přičteme jedičku a ejižší pozici. Vyjadřujemeli celá čísla a máme k dispozici b bitů můžeme zobrazovat kladá čísla v itervalu <, b -> a záporá čísla v itervalu. < -,- b >. Nejvyšší bit opět začí zaméko ( = +, = - ). Ve vyjádřeí existuje již je jeda ula (.. ). Budeme-li vytvářet dvojkový doplěk čísla se zlomkovou částí, potom jedičku přičítáme k bitu s ejmeší váhou. Vyjádřeí +/ itervalu Číslo v tomto vyjádřeí získáme ze vztahu / b b b i A = + A = + a i= i (6-8) kde b je počet bitů čísla. Aalýzou vztahu (.5 ) zjistíme, že při b platých bitech a vyjadřováí celých čísel můžeme zobrazovat kladá čísla v itervalu <, b -> a záporá čísla v itervalu. < -,- b >. Bit s ejvyšší váhou opět začí zaméko s tím, že = -, = +. Stejě jako v případě dvojkového doplňku má vyjádřeí je jedu ulu (.. ). H Dekadicky Hexadecimálì 55 FFH Pøímý kód -7 8H Èísla záporá - FEH - FFH H H Èísla kladá 7 FFH Jedotkový doplìk -8 8H -7 8H - FFH H H 7 FFH Dvojkový doplìk -7 FFH - 8H - 8H H H 7 7FH + - Absolutí hodota -8 H -7 H Èísla záporá - 7FH 8H 8H Èísla kladá 7 FFH +/ itervalu Obr.6. Grafické zázorěí rozsahu kladých a záporých čísel v základích formátech pro 8 bitová vyjádřeí celých čísel - 6 -

29 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - / Vyjádřeí čísel s pohyblivou řádovou čárkou Chceme-li pracovat s čísly, která se pohybují ve velkém rozsahu, použijeme k jejich vyjádřeí spíše formát s pohyblivou čárkou (floatig poit), ež formát s pevou řádovou čárkou, který by vyžadoval velký počet platých bitů. Číslo v pohyblivé čárce, musíme rozšířit o hodotu vyjadřující velikost expoetu včetě jeho zaméka. Aby u vyjádřeého čísla bylo možé měit rozlišovací schopost i zobrazovaý rozsah, je číslo v pohyblivé řádové čárce vyjádřeo tímto tvarem A = (6-9) A = m. B e ebo A= ( m B) B e.. (6-) -A max Èísla záporá -A mi A= A mi Èísla kladá A max - Obr.6. Grafické zobrazeí rozsahu čísel v pohyblivé řádové čárce kde m je matisa (hodota za řádovou čárkou), B je základ číselé soustavy a e je hodota expoetu. Pro ilustraci můžeme číslo 67543, vyjádřit dle rovice ( 6- ) buď jako, ebo 6, Uvedeý formát, jak vyplývá z obr.6., eumožňuje vyjadřovat hodoty větší jak ±A max ebo meší jak ±A mi a proto musíme používat zvláští vyjádřeí pro A = případě A =±. V souladu s rovicí ( 6- ) můžeme pro biárí čísla s pohyblivou čárkou psát za A = ebo A= ( ) ( + m) e.. (6-) kde z a začí zaméko čísla. atisu, která představuje hodotu a místech za řádovou čárkou, můžeme ve shodě s rovicí ( - ) v základu B vyjádřit výrazem + matisa = a B + a B a + B + ab (6-) kde a - je koeficiet s ejmeší váhou (B - ), která určuje přesost matisy (čísla s pevou řádovou čárkou). U čísel s pohyblivou řádovou čárkou je třeba zajistit, aby hodota matisy využívala všech platých bitů rezervovaých k jejímu vyjádřeí a byla tak zajištěa požadovaá přesost vyjadřovaého čísla. Závorka v rovici ( 6- ) potom může abývat hodot v itervalu <,;,) ebo <,5;,) podle toho, je-li k matise připočítáváa hodota, či ikoliv. Hodota matisy ležící v požadovaém itervalu je ozačováa pojmem ormovaá matisa. Obě vyjádřeí se od sebe liší o jedičku v hodotě expoetu. Hodota expoetu je vyjádřea celým kladým ebo záporým číslem v již probraých formátech. Velkou výhodou vyjádřeí čísel v pohyblivé řádové čárce je velký rozsah zobrazitelých čísel. Pro dyamický rozsah, defiovaý vztahem ( 6- ), můžeme psát b D e = 6..( ) db (6-3) - 6 -

30 P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 kde b e je počet bitů expoetu. Nevýhodou pohyblivé řádové čárky je složitější a časově áročější prováděí aritmetických operací. Násobeí dvou čísel se skládá ze součiu matis a z expoet matisa a z expoet matisa a Obr.6.3 Vyjádřeí čísel v jedoduché a dvojásobé přesosti součtu expoetů. Protože výsledá matisa emusí být v ormovaém itervalu, musíme provést její ormalizaci s příslušou úpravou expoetu. Při součtu ebo rozdílu musíme ejprve upravit expoety tak, aby byly stejé a pak provedeme součet ebo rozdíl matis. Po této operaci emusí být matisa v ormovaém tvaru a proto ji opět musíme zormalizovat. Stadard pro vyjádřeí čísel v pohyblivé řádové čárce v jedoduché i dvojásobé přesosti je dáa předpisem IEEE Čísla s jedoduchou přesostí jsou vyjádřea 3 bity + obr.6.3 ve tvaru ( ) z e.( + m). 7, kde bity z a m představují číslo ve vyjádřeí ±absolutí hodota a expoet e <-6;7> je ve vyjádřeí +/ itervalu zmešeý o hodotu jeda. Krají hodoty expoetu e+7 = a e+7 = 55 se využívají k vyjádřeí čísel, která elze ve formátu daém rovicí (.7) zobrazit. Při dvojásobé přesosti jsou čísla vyjádřea stejě jako při přesosti jedoduché a tím, že k expoetu je přičítáa hodota 3 (e <- ; 3>), jak vyplývá z obr.6.3. Oba formáty ve svém istrukčím souboru podporuje apř. sigálový procesor s pohyblivou čárkou OTOROLA DSP 96 s tím, že je využito tzv. skrytého bitu. To zameá, že v bitovém vyjádřeí výrazu (+m) ealezeme právě tu jedičku. V aritmetických kihovách, které využíváme ěkdy v programech psaých v jazyce symbolických adres, se setkáváme s vyjádřeím čísel, které se více či méě blíží tomuto stadardu. Naproti tomu u sigálových procesorů s pohyblivou řádovou čárkou Texas Istrumets TS 3C3x a TS3C4x, jejichž aritmeticko-logické jedotky podporují operace se záporými čísly vyjádřeé dvojkovým doplňkem, mají vyjádřeu hodotu (+m) i expoet ve vyjádřeí dvojkovým doplňkem. 6.. Kvatováí a přetečeí čísel Při praktické realizaci číslicového systému se setkáváme s potřebou kvatováí hodot jedotlivých veliči jako je vstupí sigál, koeficiety filtru, atd. Je to proces spojeý s koečou délkou použitých registrů při realizaci, při ěmž hodotě čísla x přiřazujeme ovou hodotu Q[x]. Nejrozšířeějšími způsoby kvatováí sigálů je zaokrouhleí a omezeí (ořízutí). Z hlediska aalýzy jevů souvisejících s kvatováím je vhodé předpokládat, že čísla s pevou řádovou čárkou jsou vyjádřea zlomkovou částí tj. matisou o b+ bitech. Kvatizačím krokem pro čísla v pevé řádové čárce i pro matisy čísel v pohyblivé řádové čárce pak bude hodota b. Vliv omezeí ebo zaokrouhleí závisí ejeom a tom, zda se - 6 -