Digitální filtrace a signálové procesory

Transkript

1 Dgtálí fltrace a sgálové procesory Petr Skalcký Praha 995 Teto text byl uvolě pouze pro potřeby studetů v předmětech KN a ASP a katedře Radoelektroky ČVUT v Praze pro rok jako doplňující lteratura. Text bez souhlasu autora esmí být kopírová a v elektrocké a tštěé podobě pro jé účely ež jsou výše uvedey. P.Skalcký - -

2 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 Obsah Úvod.... Spojté a dskrétí sgály Impulzí sgál Dskrétí sgál...6. Dskrétí soustava Základí vlastost dskrétí soustavy Odezva dskrétí soustavy Stablta soustavy Kmtočtová charakterstka dskrétí soustavy Z - trasformace Základí vlastost Z-trasformace Zpětá Z-trasformace Použtí Z-trasformace k popsu dskrétí soustavy Geometrcká terpretace H(jω) Odezva dskrétí soustavy a áhodé sgály Základí vyjádřeí přeosové fukce Dskrétí soustavy s ekoečou mpulzí odezvou Dskrétí soustavy s koečou mpulzí odezvou Vlv kvatováí koefcetů a vlastost struktury Návrh číslcových fltrů s ekoečou mpulzí odezvou Trasformace dferecálů Impulzě varačí trasformace Bleárí trasformace Počítačový ávrh fltrů NIO etoda ejmeších čtverců Iverzí ávrh metodou ejmeších čtverců Kmtočtová trasformace fltrů typu dolí propust s NIO Návrh fltrů s koečou mpulzí odezvou - KIO etoda Fourerových řad Návrh fltrů užtím oke Návrh fltru pomocí kmtočtového vzorkováí Fltry KIO vyjádřeé trgoometrckým polyomem Vlvy koečé délky slova v dgtálím zpracováí sgálů

3 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - / Zobrazeí čísel Čísla s pevou řádovou čárkou Vyjádřeí čísel kladých a záporých Vyjádřeí čísel s pohyblvou řádovou čárkou Kvatováí a přetečeí čísel Kvatováí ořízutím čísla Přetečeí Kvatováí výsledků artmetckých operací Nulový lmtí cyklus ve fltrech NIO Statstcká aalýza kvatováí ve fltrech NIO Statstcká aalýza pro realzace fltrů NIO s artmetkou s pohyblvou čárkou Vlv koečé délky regstrů ve fltrech KIO Prostředky číslcového zpracováí sgálů Použtí uverzálích obvodů k číslcovému zpracováí Specálí obvody s paralelí archtekturou Sgálové procesory Vývoj sgálových procesorů Sgálové procesory Texas Istrumets Sgálový procesor TS3C5x Cetrálí artmetcko-logcká jedotka CAU Paralelí logcká jedotka PU Způsoby adresováí Pomocé regstry Stavové a řídící regstry Překrýváí strukcí - Ppele Řízeí a geerováí programové adresy Přerušovací systém Nulováí CPU Čítač opakováí Blokové operace Paměťové přesuy Časovač Pamět Programová paměť Zaváděcí program okálí datová paměť

4 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - / Přímý přístup do pamět Globálí paměť Vstupě/výstupí prostor Programovatelý geerátor čekacích stavů ódy se sížeou spotřebou Sérové bráy Časově přepíaá sérová bráa Istrukčí soubor TS3C5x Programováí sgálových procesorů Vývojové prostředky Příklady aplkačích programů...73 Dodatek A...85 Dodatek B...97 Dodatek C...99 C.. Ampltudově oretovaý ávrh... C.. Fázově oretovaý ávrh...4 Dodatek D...7 teratura... - v -

5 Úvod Rozvoj mkroelektroky, který začal okolo roku 96, umožl využtí číslcové techky eje v oblast výpočetí techky, ale v ostatích techckých oborech. Číslcové zpracováí sgálů, které má své základy v matematce 8. století, v současost hluboce proklo a stále tezvě proká do ejrůzějších oborů ldské čost. Přechod od aalogového přeosu, zpracováí a vyhodoceí formací k číslcovému je eje způsobe zvýšeým ároky a parametry zařízeí, ale techologckým rozvojem součástkové základy a vývojem ových ávrhových postupů. Z oblastí, ve kterých dochází k ejvětšímu rozvoj číslcového zpracováí jmeujme zejméa telekomukace, radotechku, řídící, měřící a automatzačí techku, bomedcíu a spotřebí elektroku. Vlastostí aalogového sgálu je je relatví přesost, která se př jeho zkresleí projeví určtou ztrátou přeášeé formace. Naprot tomu u číslcového (dvojkového) sgálu, kdy přeášeý sgál je vyjádře posloupostí čísel, př velkém zkresleí edochází ke ztrátě formace, pokud spolehlvě rozlšujeme obě dskrétí úrově sgálu. Reprezetace fyzkálích velč dskrétím číslcovým sgály dovoluje př zpracováí používat eje postupy modelující chováí reálých fyzkálích soustav, ale metody ryze matematcké, optmalzačí, statstcké, atd. Chováí soustav je pak možé modelovat a počítač ebo přímo realzovat číslcovým fltrem, sgálový procesorem, fourerovským procesorem, atd., které pracují v reálém čase. Skrpta jsou určea pro studety 4. ročíku, kteří se sezáml se základím vlastostm sgálů a soustav a se základy číslcové a mpulzové techky v rozsahu [3] a []. Skrpta přáší krátké sezámeí s jevy a problémy spojeým s přechodem od aalogového sgálu k sgálu číslcovému. Potom je pozorost věováa vlastostem dskrétí soustavy jako je stablta, kmtočtová charakterstka až po prostředky usadňující její pops a aalýzu (Z-trasformace). V dalších kaptolách jsou popsáy struktury číslcových fltrů s ekoečou koečou mpulzovou charakterstkou včetě ávrhových metod utých k jejch použtí a zhodoceí jejch vlastostí. Nakoec je pozorost věováa problémům číslcového zpracováí a fltrace souvsejícím s jejch realzací artmetkou s pevou ebo pohyblvou řádovou čárkou. Druhá část skrpta je, po sezámeí s prostředky k realzac fltrů jých obvodů číslcového zpracováí, věováa sgálovým procesorům jako ceově ejpřístupějšímu prostředku k realzac číslcového zpracováí sgálů. Na popsu ejovějšího vysoce výkoého procesoru frmy Texas Istrumets TS3C5x se čteář sezámí s odlšostm sgálových procesorů od procesorů uversálích, s ávrhem jejch obvodového zapojeí s prostředky a způsobem realzace jejch programového vybaveí. Děkuj všem svým spolupracovíkům z katedry radoelektroky, zejméa doc.ig. Jřímu Podlešákov, CSc za ceé přpomíky př sestaveí této pomůcky a dále Ig. Borsov Šmákov, CSc z katedry telekomukačí techky za zpřístupěí ejovější lteratury a programového vybaveí frmy Texas Istrumets zapůjčeého elektrotechcké fakultě ČVUT. - -

6 . Spojté a dskrétí sgály Sgálem ozačujeme měřtelou fyzkálí velču, která zprostředkovává přeos, zpracováí ebo vyhodoceí formace. K tomu, aby bylo možé sgál zpracovávat v dskrétí (číslcové) soustavě je potřeba jej převést a sgál mpulzový ebo číslcový. O změách ve vlastostech převáděého sgálu se yí krátce zmííme. Aalogový (spojtý) sgál obr.. je reprezetová a ohračeém časovém tervalu spojtou fukcí času. Jedá se o sgál, který je relatvě přesý, protože umožňuje zazameat lbovolě malé změy. Jeho evýhoda spočívá v tom, že jakékolv jeho zkresleí přáší určtou ztrátu přeášeé formace. Přeos takového sgálu zarušeým prostředím je problémový, e-l přímo emožý. Prvím krokem v přechodu od aalogového sgálu a sgál číslcový je jeho kvatováí. Př kvatováí sgálu rozdělíme jeho dyamcký rozsah do daého počtu úroví a podle zvoleého pravdla mu přřadíme jedotlvé úrově a získáme tak kvatovaý sgál obr... Přřazeím úroví vytvoříme chybu (kvatováí), která je dáa způsobem přřazeí kvatovacích úroví a bude se pohybovat v tervalu (x - x/, x + x/> pro zaokrouhleí a <, x) pro ořezáváí (omezováí). Přeášíme-l pak úroveň sgálu apříklad bárím číslem, edojde ke zkresleí formace do té doby, dokud budeme bezpečě rozlšovat hodoty jedotlvých logckých ul a jedček. Kvatováím zavádíme do sgálu určté zkresleí, které je ozačováo jako kvatovací šum. Pro středí hodotu chyby způsobeé kvatováím sado odvodíme x + x/ [ k] ( ) () () E x x p x dx p x kostata x x/ (-) V případě, že by kvatováí bylo prováděo ořezáváím, byla by středí hodota kvatováí rova polově kvatovacího kroku ( E k 5, x). Větší výzam má však rozptyl chyby kvatováí, který umožňuje kvattatvě staovt zkresleí sgálu způsobeé kvatováím. Pro rozptyl odvodíme x + x/ D[ ] ( x x ) p( x) k dx. p( x ). x x x/ 3 (-) Souč p(x ). x určuje pravděpodobost výskytu velčy x v tervalu ( x x/ ; x+ x/ >. Pro celý dyamcký rozsah velčy x pak sado odvodíme N D[ k] e. x. p( x). x. x σ (-3) - 3 -

7 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 f (t) f (t) k t x t Obr.. Spojtý sgál Obr.. Kvatovaý sgál Kvatováí yí můžeme chápat jako proces, př kterém k původímu sgálu přčteme šumový sgál a způsobíme jeho zkresleí. Velčou, která ám umožňuje posoudt velkost tohoto zkresleí, je poměr výkou sgálu k výkou šumu. Pro poměr sgál-šum S/N můžeme psát S N σ σ x x b σe /... σ (-4) b x kde σ x je rozptyl vstupího sgálu x a b je počet btů. Vypočteme-l logartmus tohoto poměru získáme teto vztah S/ N.log( σx / σe ) 6,.b +,79 + log( σ x ) (-5) Ze vztahu (-5) je jasé, že poměr S/N se zvětšuje přblžě o 6dB a každý přdaý bt kvatováí. Z výrazu je však zřejmé, že poměr závsí též a velkost vstupího sgálu A.x(t) a prudce se sžuje se sížeím jeho ampltudy s hodotou log (A). Proto se v aplkacích sažíme maxmálě využít celého dyamckého rozsahu a vystavujeme se tak ebezpečí jeho překročeí př ojeděle velké hodotě. Exstuje řada sgálů jako je řeč ebo hudba, které mohou být považováy za áhodý proces. Obecě lze takové sgály charakterzovat rozděleím hustoty pravděpodobost s maxmálí hodotou v okolí uly a s prudkým poklesem pro zvětšující se ampltudu sgálu. V takových případech pravděpodobost ampltudy rové 3 až 4 ásobku středí kvadratcké hodoty σ x je velm malá. Položíme-l A rové /4σ x, potom s velkou pravděpodobostí se ebudou vyskytovat vzorky přesahující dyamcký rozsah. Pro poměr S/N pak můžeme psát S/ N 6.b -,4 db (-6) Například pro poměr sgál k šumu S/N 8dB musíme ke kvatováí sgálu použít alespoň 4 btů

8 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995.. Impulzí sgál f *(t) Provedeme-l dskretzac sgálu v čase zameá to, že vybereme vzorky sgálu s určtou perodou opakováí T. Potom se musíme zajímat o * spektrum ově vytvořeé velčy f (t) a jeho sou- f (t) vslost se spektrem původího sgálu f(t). Omezíme se pouze a případ deálího vzorkováí, kdy vzorkujeme pomocí δ fukce (šířka vzorkovacích mpulzů -> ) obr..3. Použtím vzorkovací vlastost δ fukce -T T Obr..3 Impulzí sgál T 3T 4T 5T 6T 7T 8T t ( ). δ( ) ( ). δ( ) f x x x f x x x o o o * můžeme získat vztah, mez původím sgálem f(t) a vzorkovaou posloupostí f (t) (-7) * f ( t) f ( kt). δ( t kt) f ( t). δ( t kt) k * Pro spektrum fukce f () t pak můžeme psát k (-8) kde ( ω) { (). ()}. ( ω) * [ ()] * F j F f t v t F j F v t π (-9) vt () δ ( t kt) k (-) Spektrum fukce v(t), která je perodcká, odvodíme za pomoc Fourerovy řady, pro kterou můžeme psát jωot () c e δ () vt k. kde c. t e T. T jωot dt (-) Z výrazu pro c sado zjstíme, že všechy koefcety c jsou rovy hodotě /T. Pro Fourerův obraz fukce v(t) pak můžeme psát Fvt [ ()] [ ] ( ) ( ) T. F e jω t o T. p. π δ ω ω T.. o δ ω ωo k Pro spektrum vzorkovaé velčy pak jž sado odvodíme (-) F * ( j ). F( j ) * F[ v() t ] ( ) ( ) ( ) T. F j *. ω ω ω δ ω ωo F j j o π T. ω. ω (-3) Ze vztahu vyplývá, že spektrum vzorkovaé velčy získáme jako součet spekter původího sgálu vůč sobě posuutých o ásobky vzorkovacího kmtočtu ω o π/t obr

9 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 F(j ω) ω F *(j ω) π/t π/t Dskrétí (číslcový) sgál získáme kvatováím hodot vzorkovaého (mpulzího) sgálu. Jedotlvé vzorky sgálu jsou pak vyjádřey b-btovým čísly a jejch další zpracováí probíhá v číslcových artmetckých obvodech, v uverzálích ebo specálích mkroprocesoω Obr..4 Spektrum aalogového a mpulzího sgálu * Ze vztahu (-3) vyplývá, že F ( jω ) je vždy perodcká fukce s perodou π/t jak ukazuje obr..4. V obecém případě se jedotlvé fukce F( jω ) překrývají. Bude-l vzorkovaý sgál mít kmtočtově omezeé spektrum, pro které platí Fjω ( ) pro ω ω a zároveň bude-l vzorkovací kmtočet splňovat podmíku regulárího vzorkováí π/t> ω, pak je možé sgál f(t) rekostruovat zpět ze vzorkovaého sgálu. Př rekostrukc vycházíme z předpokladu, že ze * spektra F ( jω ) vybereme jeom jedo spektrum Fjω ( ) pomocí deálí dolí propust s šířkou pásma daou vztahem ω π/t. V časové oblast odpovídá souču spekter kovolučí souč vzorkovaého sgálu s mpulzí odezvou dolí propust daé vztahem ( ) ( ) s π t / T t T f () t * f ( T) ( t. T) f ( T) ( t. T) * s π δ δ / π t / T πt / T (-4) Užtím vzorkovací vlastost δ fukce můžeme získat výraz pro rekostruovaý spojtý sgál f(t) ve tvaru ( ) ( t T) T f () t f ( T). s π. / π( t. T) / T (-5) Z výrazu je zřejmé, že původí sgál f(t) můžeme získat jako ekoečý součet fukcí s(x)/x s tím, že -tý pulz s(x)/x je posuut o T a vyásobe hodotou f(t). Pokud použjeme k vzorkováí reálý obvod, bude šířka vzorkovacích mpulzů koečá, což se projeví v poklesu ampltud ekoečé řady spekter z obr..4 závslost a vzdáleost od hlavího spektra... Dskrétí sgál - 6 -

10 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 rech. Teore dskrétích soustav se zabývá zpracováím dskrétích sgálů, které jsou reprezetováy posloupostm čísel. Pro posloupost x, mající -tý čle vyjádře x, lze formálě psát { } x (-6) x kde - < x<. Ze studa spojtých sgálů víme, že zvláští výzam mají sgály ozačovaé jako jedotkový mpulz, jedotkový skok, harmocký sgál. Tyto sgály mají začý výzam v teor dskrétích sgálů a proto s je popšme. -T f f (t) T T 3T 4T 5T 6T 7T 8T Obr..5 Dskrétí sgál x t. Jedotkový mpulz δ je defová takto δ pro (-7) δ pro Sgál δ plí stejou fukc v dskrétích systémech jako Dracův mpulz v systémech spojtých.. Jedotkový skok u je defová jako u pro (-8) u pro Jedotkový skok lze defovat pomocí jedotkového mpulzu vztahem δ + δ +! +! δ u k k Obdobě lze pro jedotkový mpulz psát δ u u. (-9) 3. Reálá expoecálí posloupost je defováa výrazem a, kde a je reálé číslo. 4. Susová posloupost je defováa vztahem A.cos( ωt + ϕ) x Obr..6 Posloupost složeá ze čtyř vzorků defovaá výrazem α. x { α. } jestlže je dáa vztahem y x Posloupost x je defovaá jako perodcká s perodou N, jestlže x N x + pro všecha. Výše uvedeé defc emusí apříklad vyhovovat susová posloupost, pokud kπ/ ωt evytváří celočíselý podíl. Posloupost ásobeá hodotou α je a posloupost y je zpožděá (posuutá) o hodotu o, x. o - 7 -

11 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 bovolou sekvec yí můžeme vyjádřt jako součet zpožděých jedotkových mpulzů, které jsou vyásobey příslušou ampltudou sgálu. Pro sekvec z obr..6 můžeme psát { } ebo obecým výrazem x x x. δ + x. δ + x. δ + x. δ (-) { } x x x.δ k k k (-) Vyjádřeí dskrétího sgálu jako posloupost zpožděých jedotkových mpulzů ám pozděj umoží defovat odezvy dskrétí soustavy a lbovolý vstupí sgál

12 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995. Dskrétí soustava Dskrétí soustavou rozumíme dyamcký systém, který převádí vstupí posloupost x a výstupí posloupost y. To můžeme matematcky vyjádřt vztahem y D x (-) kde x a y je vstupí a výstupí posloupost tvořeá mpulzím sgálem ebo sgálem dskrétím (číslcovým), které mají avíc kvatovaou ampltudu vyjádřeou b bty (b vodč). x DS y Obr.. Dskrétí soustava.. Základí vlastost dskrétí soustavy á-l soustava a vstupí sgál a x odezvu a y a a a x odezvu a y, pak soustava je leárí, jestlže a vstupí sgál ax + ax má odezvu ay + ay. ay + ay Dax + ax (-) á-l soustava a sgál x odezvu y, pak soustava je stacoárí, má-l posuutý sgál x -o odezvu y -o y D x (-3) - o - o Jým slovy soustava je stacoárí, jestlže a daý sgál má odezvu ezávslou v čase. á-l soustava a vstupí sgál x pro < o a lbovolý sgál pro > o odezvu y, pak soustava je kauzálí, jestlže odezva y pro < o. To zameá, že odezva a sgál zače až po příchodu vstupího sgálu. Kauzálí soustava je fyzkálě realzovatelá.... Odezva dskrétí soustavy. Odezvu dskrétí soustavy lze defovat aalogcky jako u leárích obvodů pomocí mpulzí odezvy. V předcházející část jsme defoval vstupí posloupost jako součet zpožděých mpulzů s příslušou ampltudou. Budeme-l předpokládat, že soustava je leárí a stacoárí, potom můžeme odezvu soustavy vytvořt jako superpozc mpulzích odezev systému a posuuté jedotkové pulzy s daou ampltudou takto y D x. δ D[ x. δ ] x. h h. x x * h (-4) - 9 -

13 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 δ h x δ x δ h x δ - x δ - x DS y h x δ - x δ y x Obr.. Vytvářeí odezvy dskrétí soustavy 5 6 kde h D δ je mpulzí odezva soustavy a jedotkový mpulz δ. Odezva h je odezvou a posuutý jedotkový mpulz δ. Za předpokladu, že záme mpulzí odezvu soustavy, můžeme staovt odezvu y a lbovolý vstupí sgál. Grafcké zázorěí vztahu (-4) je zobrazeo a obr... Odvozeý vztah, který je aalogí kovolučího tegrálu u aalogových obvodů, představuje dskrétí kovoluc vstupího sgálu s mpulzí odezvou. Z odvozeého vztahu - -

14 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 zjstíme, že dvě sérově zapojeé leárí dskrétí soustavy mají výsledou mpulzí odezvu daou vztahem hvýs h *h. Paralelě zapojeé dskrétí soustavy mají výsledou mpulzí odezvu daou součtem jedotlvých odezev hvýs h +h obr..3. x h y h x y h *h x h y x h +h y h Obr..3 Impulzí odezvy sérově a paralelě zapojeých dskrétích soustav... Stablta soustavy. Odvoďme yí absolutí krtérum stablty dskrétí soustavy. Toto krtérum ám určuje pouze teoretcké předpoklady stablty soustavy a ezaručuje ám ještě, že soustava realzovaá omezeou délkou vtřích regstrů a ásobících koefcetů se zaokrouhlováím výsledků bude stablí. Otázky vlvu omezeé délky vtřích regstrů a koefcetů budou probráy pozděj. Předpokládejme, že dskrétí soustava bude stablí tehdy, když a omezeý vstupí sgál x <C bude odezva omezeá y <. Př odvozeí budeme vycházet ze vztahu pro odezvu dskrétí soustavy a vstupí sgál y h. x < (-5) Protože absolutí hodota součtu eí větší ež součet absolutích hodot jedotlvých složek, můžeme rovc přepsat jako erovost y h. x < (-6) Nyí dosadíme za omezeý vstupí sgál maxmálí možou hodotu pro všechy vstupí vzorky y C. h < (-7) Z rovce je jž zřejmé, že soustava je stablí, jestlže suma absolutích hodot posloupost mpulzí odezvy bude koečá h < (-8) - -

15 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 Odvozeý vztah je podmíkou utou a postačující pro zaručeí stablty dskrétího systému...3. Kmtočtová charakterstka dskrétí soustavy. Kmtočtová charakterstka se defuje jako hodota fázoru (ampltuda, fáze) ustáleé j T odezvy soustavy a harmocký sgál. ějme vstupí sgál x e ω pro (, ), který vzke regulárím vzorkováím sgálu e jω t. Po dosazeí harmockého sgálu do vztahu pro odezvu dskrétí soustavy můžeme psát ( ) T j T j T ( ω) j y h. e e. h. e H j. e ω ω ω jωt (-9) Odezva a harmocký sgál vzklý regulárím vzorkováím je tvořea harmockým sgálem o stejém kmtočtu s komplexí ampltudou určeou vztahem ( ω) H j h. e jω T (-) Vztah popsuje závslost mez mpulzí odezvou dskrétí soustavy a jeho kmtočtovou Hjω H jω j.h jω H j ω,h jω je reálá a magárí část charakterstkou ( ) R( ) + I( ), kde R( ) I( ) ( ) kmtočtové charakterstky. Tu můžeme vyjádřt v expoecálím vyjádřeí Hj ( ω).e j.argh j V ěkterých aplkacích je klade zvláští důraz a skupové zpožděí, které vypočteme ze vztahu τ ( ωo ) ( dϕ / dω) ω. Dosaďme yí do vztahu pro kmtočtovou charakterstku za hodotu ω hodotu ω ω+πk/ T. Potom můžeme o, psát, j( ω+ πk/ T) T jωt j πk H( jω ) h. e h. e. e H( jω) Z odvozeí vyplývá, že kmtočtová charakterstka H( jω) H( jω j π T) (-) + / dskrétí soustavy je perodcká fukce s perodou π T a můžeme j vyjadřovat ampltudovou charakterstkou H( jω ), fázovou charakterstkou arg H( jω ). Protože fukce H( jω ) je fukcí perodckou, lze j vyjádřt Fourerovou řadou. Koefcety jsou rovy hodotám mpulzí odezvy h, pro které můžeme psát h π / T T jω T. H( jω). e dω π π / T (-) Tato okolost vede a jedu z možých metod určeí mpulzí odezvy fltru se zadaou přeosovou charakterstkou Hjω ( ). Nevýhodou metody je však to, že často vede k fltru, který eí přímo fyzkálě realzovatelý... Z - trasformace Jedím z velm důležtých ástrojů pro reprezetac a mapulac s časovým dskrétím posloupostm - řadam je Z-trasformace, kterou můžeme považovat za zevšeobecěí Fourerovy trasformace pro dskrétí sgály a soustavy. Z-trasformace má pro tyto sgály obdobý ω. - -

16 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 výzam jako Fourerova a aplaceova trasformace pro spojté sgály a soustavy. Z-trasformace posloupost { x } je defováa výrazem { } ( ) Z x X z x. z (-3) kde z je komplexí proměá. V ěkterých případech je užtečé vyjadřovat Z- trasformac jako jedostraou, u které ve srováí s trasformací dvoustraou ( -3 ) začíá sumace dexem. Pro ěkteré posloupost x pro <, je jedostraá dvoustraá trasformace shodá. Vyjádříme-l komplexí proměou z v polárích souřadcích z r.e jωt a dosadíme do vztahu pro Z-trasformac posloupost x, můžeme psát ω ω jωt j T j T ( ) [ ] Xre. x. re. xr.. e (-4) Na základě vztahu (-4) můžeme Z-trasformac terpretovat jako Fourerovu trasformac posloupost x vyásobeé expoecálí posloupostí r. Pro poloměr r ze vztahu (-4) vyplývá, že Z-trasformace a jedotkové kružc ( z) je shodá s Fourerovou trasformací. Obdobě jako u Fourerovy trasformace ekoverguje Z-trasformace pro všechy posloupost ebo pro všechy hodoty z. Pro daou posloupost lze alézt hodoty z pro, které Z-trasformace koverguje ( oblast kovergece ). Vyjdeme-l z faktu, že Fourerova trasformace je kovergetí pro sgály, jejchž absolutí hodoty vytváří kovergetí řadu, musí ásledující řada být absolutě kovergetí. x. r < (-5) Reálá expoecála ve vztahu ( -5) vždy zajstí pro ějakou hodotu R x kovergec řady. Potom hodotu R x, př které dochází ke kovergec řady azýváme poloměrem kovergece. Obecě astávají čtyř případy řad, pro které lze staovt obor kovergece:. Koečá posloupost má pouze koečý počet eulových hodot X() z x. z (-6) kde a jsou koečé hodoty. Pro zajštěí kovergece je třeba, aby hodota z př součtu koečého součtu prvků ležela v tervalu < z <.. Pravostraá posloupost mající eulové hodoty pro > X() z x. z má oblast kovergece vě kružce s poloměrem R x tj. pro z>r x. (-7) - 3 -

17 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - / evostraá posloupost, která má eulové hodoty pouze pro <, má oblast kovergece uvtř kružce s poloměrem R x tj. pro z<r x. 4. Oboustraá posloupost se dá rozdělt a posloupost pravostraou a levostraou. V průku oborů (oblastí) kovergece, koverguje oboustraá posloupost [4]. Nyí s odvodíme obrazy Z-trasformace ěkterých základích posloupostí (sgálů), se kterým budeme dále pracovat.. Sgál shodý s jedotkovým mpulzem x δ má obraz X(z).. Sgál shodý s jedotkovým skokem x u má obraz daý výrazem, který získáme po vyčísleí součtu ekoečé geometrcké řady X( z) z (-8) z 3. Expoecálí sgál defovaý vztahem x c pro a x pro < má obraz daý rovcí ( ) X z c z cz (-9)... Základí vlastost Z-trasformace Řadu základích vlastostí Z-trasformace lze odvodt přímo z defčího vztahu a větša z ch má podobu v aplaceově a Fourerově trasformac. Uvedeme pouze čtyř ze základích vlastostí, které se uplatňují př popsu chováí dskrétích soustav. Nechť { x }, { y }, { } h jsou časové posloupost (řady), X(z), Y(z), H(z) jejch Z-trasformace, a, b - kostaty a k - ějaké celé číslo. Potom pro vlastost Z-trasformace můžeme psát. earta Z( a.x +b.y ) a.x( z ) +b.y( z) -k. Věta o posuu Zx ( ) z.xz ( ) Věta o útlumu Za (.x ) Xa (.z) 4. Kovoluce -k Z{ y} Z x. h x. h. z x. h. z Zavedeím substtuce m -, můžeme psát m x h z z Y( z) X( z) H( z). m... m (-) (-) - 4 -

18 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - / Zpětá Z-trasformace Zpětá Z-trasformace začí postup alezeí předmětu (sgálu) k daému obrazu X(z) a je defová vztahem x j X() z z dz π.. (-) c kde c je uzavřeá křvka v rově z obepíající sgulárí body. K výpočtu tohoto tegrálu se obvykle používají jedodušší postupy jako je: a) Výpočet pomocí rezduí [ () ] x resduí X z. z uvtř křvky c (-3) b) Rozvojem a parcálí zlomky pro < () X z ( z z ) A.. ( p. z ) kde α /( p. z ) fukce z rovce (-4) pak můžeme vyjádřt vztahem α p. z (-4) je obrazem sgálu α.p ( ). Zpětou trasformac racoálě lomeé x c) Dlouhé děleí α.( p ) pro, a x pro < (-5) X() z + a. z b. z (-6) Dlouhým děleím jmeovatele čtatelem v rovc (-6) rozvíjíme X(z) v ekoečou mocou řadu z. d) Rozvoj v mocou řadu. e) Nalezeí odpovídajícího sgálu ve slovíku Z-trasformace. Příklad. Rozveďte v mocou řadu /(,5.z ). ( ) : -,5.z +,5.z +,5.z +,5.z ,5.z,5.z - - 5,. z + 5,. z (-7) - 5 -

19 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 Odtud x pro < a pro x ;,5;,5;,5; atd. tj. x (,5)...3. Použtí Z-trasformace k popsu dskrétí soustavy Pomocí Fourerovy trasformace můžeme staovt kmtočtovou charakterstku dskrétí soustavy ebo kmtočtové vlastost výstupího sgálu dskrétí soustavy. Přesto ám Fourerova trasformace edává takové možost, jako Z-trasformace. Předpokládejme, že máme kauzálí dskrétí soustavu, pro její odezvu a vstupí sgál x můžeme psát y h. x h* x (-8) Na základě věty o kovoluc (-) jsou obrazy sgálů X(z), Y(z) a H(z) svázáy vztahem Y(z) X(z).H(z). Fukce H(z), kterou získáme Z-trasformací mpulzí odezvy, a která je dáa podílem obrazu výstupí posloupost k obrazu vstupí posloupost, se azývá systémová fukce a je dáa vztahem Yz () Hz ( ) Zh { } h. z (-9) X() z Porováme-l vztahy pro kmtočtovou charakterstku H(jω) (-) a systémovou fukc H(z) (-9) zjstíme H(jω) H(z), jestlže budeme za z substtuovat z e jω T. To zameá, že systémová fukce vyjadřuje a jedotkové kružc z kmtočtovou charakterstku dskrétí soustavy. Tato okolost byla jž zřejmá z popsu vztahu Z-trasformace s Fourerovou trasformací. Na tomto místě je vhodé poukázat a to, že v lteratuře [] se ve výrazech často eobjevuje hodota perody vzorkováí T. Toho lze dosáhout zavedeím ormalzace, př které položíme T. Z ormovaého kruhového kmtočtu ω' ( jeho rozměr je [rad]) a zámé hodoty T [s] vypočteme skutečý kruhový kmtočet ω ω'/t [rad/s]. Předpokládejme, že máme leárí systém s kostatím koefcety, potom můžeme systémovou fukc vyjádřt racoálě lomeou fukcí. ( z z ) a. z A.. Yz ( ) Hz ( ) X( z) b. z ( p. z ) (-3) kde A ao bo, z jsou uly a p póly racoálě lomeé fukce. Upravíme-l vztah (-3) do tvaru Yz ( ). b. z Xz ( ). a. z (-3) můžeme pomocí zpěté Z-trasformace a věty o leartě a posuu, vyjádřt dskrétí soustavu pomocí této dferečí rovce (b o ) - 6 -

20 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 y a. x b. y (-3) Z tvaru dferečí rovce vyplývá, že dskrétí soustava v pamět uchovává starší vzorky vstupího výstupího (odezvy) sgálu. Prví suma rovce ( -3 ) představuje tzv. klouzavý průměr ( váhovaý průměr), který eovlvňuje stabltu soustavy. Druhá část rovce ( -3 ) představuje tzv. autoregresí čle, který udává rychlost odezvy a její charakter zakáí. Teto čle rozhoduje o stabltě soustavy..3. Geometrcká terpretace H(jω) Předpokládejme, že systémová fukce je ve tvaru racoálě lomeé fukce vyjádřea součem ul z a pólů p takto () Hz () () ( z z ) A.. Yz X z ( p. z ) (-33) Dosadíme-l do systémové fukce za z e jωt můžeme pro kmtočtovou charakterstku psát ásledující výraz jω T ( ω) H( e ) H j jω T ( z e ) A.. jω T ( p. e ) jω ( ). T Ae.. Ampltudovou charakterstku potom můžeme vyjádřt takto jω T ( e z ) jω T ( e p ) (-34) ( ω) H j A.. jω T ( e z ) jω T ( e p )..!. r. r.!. r (-35) kde,,!, jsou vzdáleost mez bodem a jedotkové kružc určeém hodotou ωt a ulam přeosové fukce a r, r,!, jsou vzdáleost mez bodem a kružc a póly přeosové fukce. Pro fázovou charakterstku sado ze vztahu ( -34 ) odvodíme r jωt jωt ( ω) ( ) ( ) ( ) + + arg H j arg e z arg e p arg A. ω. T (-36) Příklad. Odhaděte průběh kmtočtové charakterstky fltru se systémovou fukcí H(z) z /(z-,7).(z-,9). U systémové fukce ejprve vyásobíme čtatele jmeovatele hodotou z fukc do tohoto tvaru a rozepíšeme - 7 -

21 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 Hz ( ) ( z. z )(. z. z ) ( p. z )(. p. z ) (. z )(.. z ) ( 7,. z )(. 9,. z ) (-37) ω r r z, p p Obr..4 Geometrcká terpretace vztahu (-35) Systémová fukce, jak vyplývá ze vztahu (-37) má dvojásobou ulu v ule ( z z ) a dva reálé póly v bodech p,7 a p,9. Pro odhad kmtočtové charakterstky využjeme vztahu (-35), který v ašem případě bude dá vztahem (vz.vz )/(vp.vp ), kde vz jsou vzdáleost ul od bodu ωt a jedotkové kružc a vp jsou vzdáleost pólů od tohoto bodu. Na základě zalostí z aalytcké geometre potom můžeme pro ampltudu kmtočtové charakterstky H(jω) odvodt teto výraz ( ω) H j [( cos ωt 7, ) + ( s ωt) ]. ( cos ωt 9, ) + ( sωt) [ ] (-38).4. Odezva dskrétí soustavy a áhodé sgály Pro odvozeí základích vlastostí předpokládejme, že dskrétí soustava je stablí a vstupí sgál je omezeý, stacoárí, se středí hodotou µ x a autokorelačí fukcí R ( m) Pro středí hodotu a výstupu dskrétí soustavy sado odvodíme µ y Ey [ ] E h x hex [ ] µ x h.. (-39) xx. Záme-l přeosovou fukc H(jω) dskrétí soustavy, potom můžeme pro středí hodotu a výstupu soustavy použít výraz ( ) µ H j. µ (-4) y Pro autokorelačí fukc a výstupu soustavy můžeme odvodt teto výraz Ryy (, + m) E[ y. y m] E h. hk. x. x m k + + k h. hk. E x. x+ m k k x (-4) Je-l x stacoárí, pak Ex.x+ m k závsí pouze a hodotě m-k+ a středí hodota představuje autokorelačí fukc vstupího sgálu. Zaveďme substtuc - k do rovce (-4). kde R ( m) R ( m ) h. h R ( m ) v( ) yy xx xx (-4) - 8 -

22 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 v ( ) h. h je tzv. aperodcká autokorelačí posloupost (autokorelačí fukce mpulzí odezvy). Pro vzájemou korelačí fukc mez vstupem a výstupem systému je možé psát Rxy m E y y m E x h x m h R m k ( ) [. ] ( ) xx (-43) (-44) Ze vztahu je zřejmé, že vzájemá korelace vstupu a výstupu systému odpovídá kovoluc mpulzí odezvy s autokorelačí fukcí vstupího sgálu. Bude-l mít vstupí sgál autokorelačí fukc bílého šumu (eulovou pouze v ule), pak vztah defuje jedo z možých měřeí mpulzí odezvy soustavy. Příklad.3 Odvoďte výraz pro rozptyl výstupích hodot číslcového fltru, a jehož vstup přchází ezávslé vzorky vstupího sgálu. Př odvozeí rozptylu výstupích hodot ejprve vyjdeme z defčího vztahu, který upravíme a rozdíl středí hodoty kvadrátu velčy y míus kvadrát středí hodoty Dy [ ] E h x Ey [ ] E h x E [ y ] (-45).. Pro středí hodotu kvadrátu velčy y můžeme dál psát E h. x E h. x hk. x k hhk. E[ x. x k] k k h h R ( k) k. xx k kde R ( k) xx σ x + E [ x ] pro k a R ( ) xx k E [ x ] rozptyl a výstupu fltru můžeme psát závěrečý vztah (-46) pro k. Odtud pro Dy σ. h h+ E x. h h E y σ. h x k x (-47) Příklady k samostatému řešeí Příklad.4 Odvoďte kmtočtovou charakterstku jedoduchého číslcového fltru IPC (dkátor pohyblvých cílů), který je popsá touto dferečí rovcí y x x. Nakreslete jeho realzac. Příklad.5 Odvoďte dferečí rovc a mpulzovou charakterstku číslcového fltru z obr..5. Určete zda fltr je stablí

23 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 Příklad.6 Odvoďte mpulzovou charakterstku fltru s dferečí rovcí y a.y určete zda se jedá o fltr stablí. + x - a Příklad.7 Odvoďte dferečí rovc fltru z obr..6. x - - z z y x -b z - a y k,8 k,8 -b z - a Obr..5 Obr

24 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - / Základí vyjádřeí přeosové fukce Přeosovou fukc H(z) můžeme realzovat růzým strukturam dskrétích (číslcových) soustav, které ačkolv realzují stejou přeosovou fukc lší se od sebe v kokrétí realzac ěkterým vlastostm jako je ctlvost a změu polohy ulových bodů a pólů H(z), vhodostí pro realzac sgálovým procesory, možostí přetečeí př artmetckých operacích, atd. V zásadě můžeme číslcové fltry rozdělt podle vlastostí mpulzí odezvy a fltry s ekoečou mpulzí odezvou NIO (Ifte Impulse Respose - IIR) a fltry s koečou mpulzí odezvou KIO (Fte Impulse Respose - FIR), které emají v oblast aalogových obvodů svůj ekvvalet. Předpokládejme, že budeme chtít realzovat leárí dskrétí soustavu s kostatím koefcety, potom můžeme systémovou fukc vyjádřt ve tvaru racoálě lomeé fukce ( z z ) a. z A.. Yz ( ) Hz ( ) X( z) b. z ( p. z ) (3-) kde A a o/bo. Budeme-l a prví a druhý zlomek rovce (3-) aplkovat zpětou Z-trasformac, potom získáme ásledující dferečí rovc pro (b ) y a. x b. y (3-) Z tvaru dferečí rovce vyplývá, že k realzac dskrétí soustavy potřebujeme tř základí stavebí prvky, kterým jsou sčítačky, ásobčky kostatou a obvody realzující zpožděí. Na obr.3. jsou akresley jejch schématcké začky. x w w + y b x x x b. - z y Obr.3. Základí stavebí prvky dskrétí soustavy Výraz z začí časové zpožděí sgálu, pro který je obraz Z-trasformace výstupího sgálu rove obrazu vstupího sgálu ásobeého koefcetem z. Dgtálí soustavu (fltr) můžeme realzovat buď pomocí číslcového obvodu s daou strukturou a základě zalostí základů číslcové techky [] s využtím tegrovaých obvodů sčítaček, ásobček a regstrů ebo programovatelých polí ebo pomocí uverzálích ebo specálích procesorů. V druhém případě je třeba vytvořt vhodý výpočetí algortmus, ze kterého je odvoze výpočetí program v jazyce symbolckých adres ebo jazyka C. - -

25 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - / Dskrétí soustavy s ekoečou mpulzí odezvou Dferečí rovc (3-) lze v souladu se zavedeým začkam realzovat obvodem z obr.3. tzv. kaockou ( přímou ) formou. Forma se skládá ze dvou samostatých částí, které odpovídají sumám v dferečí rovc sčítající starší vzorky vstupího výstupího sgálu. Prví suma představuje tzv. klouzavý průměr (váhovaý průměr kostatam a ), který eovlvňuje stabltu soustavy. Druhá suma představuje tzv. autoregresí čle, který ovlvňuje rychlost zakáí odezvy a tudíž rozhoduje o stabltě soustavy. Odtud azýváme soustavu rekurzví, pokud alespoň ěkterá kostata b pro,,..,.. x - - z z z - a a a a - a y -b -b - -b - - z z - - z z Obr.3. Prví kaocká (přímá) forma číslcového fltru Z možých realzací systémové fukce lze vhodou volbou získat fltr, který bude mít meší počet ásobeí kostatou ebo meší počet utých zpožděí. Sížeím zpožďovacích čleů sžujeme ároky a paměťové regstry (ebo paměť procesoru), redukcí počtu ásobeí je možé zvýšt výpočetí rychlost a tím opakovací (vzorkovací) kmtočet fltru. Na druhé straě je třeba pamatovat a to, že dvě odlšé struktury fltrů mající př ekoečé přesost koefcetů a proměých stejé přeosové vlastost, mohou mít př koečé přesost zcela odlšé vlastost. Ukazuje se, že v ěkterých případech je třeba k realzac volt strukturu, která emá mmálí počet ásobeí a zpožděí, zato je méě ctlvá a vlvy koečé délky regstrů. Ukažme s yí, jak lze u prví kaocké formy zredukovat počet zpožďovacích čleů. Systémovou fukc můžeme rozložt takto Hz ( ) H( z). H( z) b. z. a. z (3-3) Jestlže položíme H (z) W(z)/X(z) a H (z) Y(z)/W(z) a provedeme zpětou Z-trasformac fukcí H (z) a H (z) za předpokladu, že b, dostaeme tyto dferečí rovce w x b. w y a. w (3-4) - -

26 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 které lze realzovat tzv. kaockou formou, která vyžaduje polovčí počet zpožďovacích obvodů v případě, že. V ostatích případech se počet redukuje a větší z hodot ebo. Jý způsob realzace přeosové fukce ve tvaru racoálí lomeé fukce vychází z rozkladu této fukce a souč přeosových fukcí prvého ebo druhého řádu, který můžeme vyjádřt tímto vztahem x -b -b -b w z - w - z - w - z - a a a a y Obr.3.3 Druhá kaocká forma ČF Hz ( ) A. H( z) ( z z ) A.. ( p. z ). j j * ( zj. z )(. zj. z ) * ( pj. z )(. pj. z ) (3-5) x H (z) H (z) H 3(z) H k(z) y Obr.3.4 Kaskádí forma číslcového fltru kde +. a +.. Ve výrazech prvého řádu představuje z reálé uly a p reálé póly, ve výrazech druhého řádu pak z j, z j * představuje komplexě sdružeé uly a p j, p j * představuje komplexě sdružeé póly. Tato forma posthuje obecé rozložeí ul a pólů za předpokladu, že a a b jsou reálé koefcety. Odvozeý vztah podporuje strukturu dskrétí soustavy tvořeou kaskádím řazeím soustav prvího ebo druhého řádu s přeosovým fukcem H ( z) obr.3.4. Př realzac je třeba rozhodout o spojeí dvojc ul a pólů a o pořadí řazeí sekcí prvího ebo druhého řádu, kterým můžeme př omezeí rozsahu koefcetů a zaokrouhlováí součů ovlvňovat šumové a dyamcké vlastost dskrétí soustavy. Dalším alteratvím rozkladem systémové fukce je rozklad fukce a parcálí zlomky, který můžeme vyjádřt tímto výrazem x c H (z) H (z) H k(z) Obr.3.5 Paralelí forma ČF y - 3 -

27 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 () Hz A B.( z. z ) ( j )( j ) k k j k + + k + k ( p z ). *. k p. z. p. z k k Jsou-l a a b reálé, potom jsou hodoty A k, B k, C,paz k j také reálé. Je-l <, potom z posledí sumy v rovc zůstae jeom koefcet C. Rovce reprezetuje systémovou fukc číslcového fltru jako paralelí spojeí přeosových fukcí prvého a druhého řádu, zobrazeých a obr.3.5. Odtud je zobrazeá forma azýváa paralelí formou realzace přeosové fukce. V předcházející část se dskutovalo o realzacích systému s ekoečou mpulzí odezvou, které obsahují rekurzví výpočetí algortmus. V případech kauzálích systémů s koečou mx () C z C H z α /β /α /β k z - z - (3-6) y Jý z možých rozkladů přeosové fukce vzke děleím čtatele přeosové fukce jejím jmeovatelem. Přeosová fukce je potom vyjádřea řetězovým zlomkem ásledujícího tvaru /α Obr.3.6 Realzace řetězovým zlomkem Hz () α + β. z + α + β. z α (3-7) kterou realzuje příčková struktura zobrazeá a obr.3.6. Z I x z - z - y hledska obvodů, které jsou méě závslé a kvatováí koefcetů s ukážeme strukturu, která se azývá vazebí struktura R -I R obr.3.7. Její zvláštostí je Obr.3.7 Vazebí struktura číslcového fltru druhého stupě to, že dvě ásobčky realzují reálou část pólů přeosové fukce a druhá dvojce realzuje část magárí. Jak s pozděj ukážeme vykazuje tato struktura rovoměrý vlv a rozložeí pólů v rově z v důsledku kvatováí ásobících koefcetů. Přeosová fukce vazebí struktury je dáa výrazem ( ) Hz Iz.. Rz. + ( R + I ). z (3-8) 3.. Dskrétí soustavy s koečou mpulzí odezvou - 4 -

28 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 pulzí odezvou, které emají v aalogové oblast svůj ekvvalet, má výpočetí algortmus charakter klouzavého průměru. Pro systémovou fukc ve tvaru polyomu stupě - můžeme psát Yz ( ) Hz ( ) ak z X( z). Po aplkac zpěté Z-trasformace a výraz (3-9) můžeme psát tuto dferečí rovc k k (3-9) y a. x + a. x + a. x +! + a. x a. x (3-) + k k Systémová fukce má - pólů v bodě z a - ul, které mohou ležet kdekolv v koečé rově z. Proto jsou fltry KIO vždy stablí. Systémy s koečou mpulzí odezvou (KIO) mohou, stejě jako fltry typu NIO, mít rozmaté formy realzace, z chž ejdůležtější yí probereme. Přímou formu realzace systémové fukce můžeme kreslt a základě dferečí rovce (3-), u které koefcety a jsou totožé s koefcety mpulzí odezvy h obr.3.8 vz. rovce (-4). k x - - z z z - a a a a - a - y Obr.3.8 Přímá forma erekurzvího číslcového fltru Tato forma je shodá s.kaockou formou fltru NIO s ulovým koefcety b. Proto j lze považovat za specálí případ struktury NIO. Vyjdeme-l z faktu, že tato struktura odpovídá též výrazu pro odezvu dskrétí soustavy (-4), můžeme k realzac využít druhý vztah pro odezvu dskrétí soustavy. Takto získáme tzv. trasverzálí strukturu zobrazeou a obr.3.9. x h - h - h h z z z z - y Obr.3.9 Trasverzálí struktura erekurzvího číslcového fltru Dalším možým vyjádřeím systémové fukce je její rozklad a souč fukcí druhého případě prvého řádu takto ( )/ ( )/ (). (). ( βk + βk. + β k. ) Hz A H z A z z (3-) - 5 -

29 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 kde jede z koefcetů β k bude ulový, jestlže je lché a H(z) má lchý počet reálých kořeů. V moha aplkacích je požadová ávrh fltru s pokud možo leárím průběhem fáze a skoro kostatím skupovým zpožděím. Jedou z velm důležtých vlastostí fltrů KIO je to, že umožňují realzovat fltry s přesě leárí fází. Impulzí odezva takového fltru je vyjádřea tímto vztahem h ± h (3-) To zameá, že se jedá o osově ebo bodově symetrckou fukc. Dosadíme-l tuto závslost do systémové fukce, můžeme psát (pro lché - sudý počet hodot mpulzí odezvy) / / / / h. z + h. z h. z ± h. z ( ) / / / ( ) ( ) h. z h. z h. z z ± ± (3-3) Odpovídající struktura realzující tuto systémovou fukc je zobrazea a obr.3. pro - lché a tečkovaá pro - sudé, za předpokladu kladého zaméka v rovc (3-3) x - - z z z - z - y h z- z- h h z - h /- - sudé h (-3)/ - lché pro sudý poèet hodot mpulzí odezvy h /- - sudé h (-)/ - lché Obr.3. Nerekurzví číslcový fltr s leárí fází z 3 /z* z z 4 z /z z* /z z* 3 Obr.3. Symetre ul u fltru KIO s leárí fází Symetre koefcetů mpulzí odezvy způsobuje, že uly systémové fukce, za předpokladu, že h jsou reálé, jsou v komplexě sdružeých párech ebo v recpročích párech obr.3.. Z odpovídajících skup ul můžeme vytvořt polyomy prvího, druhého ebo čtvrtého řádu, jejchž koefcety mají stejou symetr jako H(z) a každý z ch má leárí fáz. Fltr je potom možé realzovat též jako kaskádu systémů s leárí fází prvého, druhého ebo čtvrtého řádu. Prví řád má odpovídající ulu z ebo z - a evyžaduje př realzac - 6 -

30 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 fukc ásobeí (+ z ). Druhý řád bude realzová systémovou fukc (+ az. + z ), která 3 vyžaduje pouze jedo ásobeí. Čtvrtý řád má tvar (a+ b. z + c. z + b. z + a. z 4 ) a bude př realzac strukturou pro obvody s leárí fází vyžadovat pouze tř ásobeí. Jak vyplývá z aalýzy vlastostí fltrů s koečou mpulzí odezvou je jejch systémová fukce dáa polyomem stupě - s proměou z, kde je délka mpulzí odezvy. Je též dobře zámo, že polyom stupě - popsuje fukc v defovaých bodech. V lteratuře pak můžeme alézt rozmaté terpolačí formule, jako je agrageova ebo Newtoova, které určují polyom procházející hodotam. V případě agrageova rozvoje můžeme systémovou fukc vyjádřt takto kde () Pz () Hz.. k ( ) Pz z z z () (. ) ( ) Hzk (3-4) p. z k (3-5) jπ/(+ ) a z e, která vytváří polyom stupě - procházející vybraým body fukce H(z) lbovolě rozložeých a jedotkové kružc. Realzace agrageovy struktury se skládá z paralelího spojeí stupňů prvého řádu ásobeých hodotam H(z k ) v kaskádě spojeých se systémem tvořícím fukc P(z). Zvláštím případem je stuace, kdy body a jedotkové kružc jsou voley ekvdstatě. Systémová fukce pro takovouto strukturu zůstává vyjádřea stejým vztahem (3-4) a (3-5) s k j ( π k/) tím, že pk W e. Hlaví výhodou metody kmtočtového vzorkováí je to, že póly v paralelí část fltru mohou být spojey do komplexě sdružeých párů, které realzujeme fltrem druhého řádu s reálým koefcety Vlv kvatováí koefcetů a vlastost struktury Př ávrhu číslcových fltrů růzých typů je ávrhář postave před ěkolk důležtých rozhodutí. Nejprve se musí rozhodout mez typem s koečou ebo ekoečou mpulzovou odezvou. Do této volby může vstoupt počet utých regstrů a ásobeí kostatou ebo utost přesě leárí fáze. Po volbě typu fltru musíme určt systémovou fukc reprezetující fltr požadovaých vlastostí. Této otázce se budeme věovat v dalších kaptolách. Návrhy fltrů se provádějí pro kostaty se skoro eomezeou přesostí, které se však ezávsle a zvoleé realzac fltru (obvodové ebo programové) budou ve skutečost realzovat hodotam koefcetů s omezeou délkou. Použjeme-l koefcety fltru, které ejsou přesé, pak póly uly systémové fukce budou odlšé od požadovaých pólů a ul. Teto pohyb pólů a ul ( u fltrů KIO pouze ul) způsobí odchylku od požadovaé kmtočtové charakterstky. Je-l kvatováí koefcetů hrubé, - 7 -

31 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 může systémová fukce vykazovat zcela jé vlastost. Navíc u fltrů NIO může jede ebo více pólů se přesuout a ebo vě jedotkové kružce, což povede k establtě fltru. Všeobecě vlv kvatováí koefcetů slě závsí a realzovaé struktuře, která je více č méě ctlvá a tyto změy. Př aalýze vlvů v soustavě s ekoečou odezvou vyjdeme z předpokladu, že systémová fukce je ve tvaru racoálě lomeé fukce () Hz ( z z ) a. z A.. Yz () X() z b. z ( p. z ) (3-6) kde a a b jsou požadovaé koefcety v přímé realzac fukce. Pro kvatovaé koefcety a" a b" můžeme zapsat stejý výraz pro systémovou fukc H(z), " kde vztah mez koefcety bude dá rovcem a" a + a b" b + b (3-7) Předpokládejme, že póly H(z) se achází v bodech z p pro,,.., a jsou tvořey polyomem () ( ) Pz p. z b. z k k k (3-8) Póly ( p ".z ) změěé fukce "H ( z ) jsou posuuté o hodotu p p p ". Chyba p může být vyjádřea ve výrazem pro změu k-tého koefcety b k takto p p. bk,,!, b k Užtím vztahu ( -8 ), můžeme psát Pz p kde p b k () p Pz () b. b z p k k z p k p k ( p pl) l l k (3-9) (3-) (3-) Rovce ám udává ctlvost -tého pólu a změě k-tého koefcetu v polyomu jmeovatele H(z). Teto výsledek platí pouze pro jedoduché póly, jak vyplývá z rovce ( -8 ). Protože přímá forma má aalogcký polyom pro ulové body, můžeme aalogcky odvodt ctlvost ul z a koefcetech a. Ze vztahu vyplývá, že jsou-l póly těsě vedle sebe, mohou malé změy koefcetů způsobt velké změy pólů ebo ul. Každý faktor (p p ) může být reprezetová k - 8 -

32 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 p p ω ω p 3 jako vektor v rově z obr.3.3. Hodota ctlvost pólu závsí a délce tohoto vektoru od všech ostatích pólů. Tak fltr typu pásmové propust bude mít ve srováí s fltrem typu dolí propust meší ctlvost a rova z změu koefcetů a a b obr.3. a obr.3.3. Aalýzou lze ověřt jak je daá struktura fltru ctlvá a kvatováí koefcetů. Obecě lze říc, že fltr je méě ctlvý, když poloha každého pólu a každé uly závsí a meším počtu koefcetů. Uveďme vlastost ěkterých struktur:. V případě přímé struktury fltru realzovaé prví ebo druhou kaockou formou je každý pól ovlvňová hodotou všech koefcetů b a každá ula hodotam všech koefcetů a. alé změy hodot koefcetů a a b mohou tedy způsobt velké změy poloh pólů a ul. Největší změa vlastostí fltru astává v případě, že uly č póly jsou blízko u sebe (apř. u úzkopásmových fltrů).. V paralelí struktuře je každý pól ebo pár pólů urče malým počtem koefcetů v každé paralelí větv. Naprot tomu uly závsí a všech koefcetech. Z toho vyplývá, že paralelí struktura je málo ovlvěa kvatováím v propustém pásmu, které je hlavě určeo polohou pólů, ale je velm ctlvá a změy koefcetů v epropustém pásmu, které je převážě určeo polohou ul. 3. V kaskádích strukturách jsou póly uly ovlvěy malý počtem koefcetů. Fltry s touto strukturou mají proto malou ctlvost, jak v propustém, tak v epropustém pásmu. p p p * p * Obr.3. Rozložeí pólů fltru typu dolí propust rova z p * p p* 3 Obr.3.3 Rozložeí pólů fltru typu pásmové propust * Abychom demostroval vlv kvatováí a polohu pólů a ul číslcového fltru, uvedeme jedoduchý příklad NIO fltru druhého řádu s přímou strukturou z obr.3.4. x z- - z *b b y Pro přeosovou fukc tohoto fltru sado odvodíme teto výraz Obr.3.4 Fltr druhého řádu typu NIO - 9 -

33 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 ( ) Hz z * b. z b (3-) Fukce má dva póly p a p a dvě uly v bodě z. Budeme-l předpokládat, že póly jsou tvořey komplexě sdružeým párem, potom pro jejch polohu můžeme psát ( ( ) ( )) ± jϕ p, R. e R. cos ϕ ± js ϕ (3-3) a pro přeosovou fukc můžeme vyjádřt ve tvaru () Hz z ( z R e j ϕ jϕ. ).( z R. e ) Z porováí rovce (3-4) s rovcí (3-) vyplývá, že ( ) (3-4) b R b R.cos ϕ (3-5) Pokud koefcety ásobček b a b ebudou kvatováy, můžeme určt požadovaý pár komplexě sdružeých pólů přesým výpočtem těchto koefcetů. Póly pak zaujímají polohu v z-rově daou pouze vypočteou hodotou koefcetů. Po kvatováí mohou koefcety b a b, a tedy kostaty R a ϕ abývat pouze omezeého počtu hodot, a tudíž póly v z-rově mohou zaujímat pouze omezeý počet poloh, zázorěý jakous mřížkou. Kvatujeme-l apř. koefcety výše uvedeého fltru 4-btovým regstrem tz. (,xxx pro kladá čísla a,xxx pro záporá čísla ), potom bude odpovídající mřížka přípustých poloh pólů mít tvar podle obr.3.5. Z důvodu úspory místa je uvede pouze jede kvadrat. Im,,75,5,5,5,5,75, Re Obr.3.5 Rozložeí možých poloh pólů pro koefcety kvatovaé a čtyř bty Každý koefcet může abývat osm hodot. Soustředé kružce odpovídají kvatováí b R a vertkálí ekvdstatí čáry odpo vídají kvatováí koefcetu b R.cos( ϕ ). Koefcety b a b abývají hodot,/8,/8,...,7/8. Poloměr ejmeší kružce je urče odmocou hodoty b /8 tj. R /8,35. Největší chyby v kmtočtové charakterstce astaou, jestlže realzovaý fltr má póly v oblast mřížky, kde jsou jedotlvé přípusté pozce od sebe více vzdáley. Růzé struktury fltrů mají též růzou mřížku rozložeí ul a pólů v z-rově z - 3 -

34 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 důvodu kvatováí koefcetů. Abychom lustroval toto tvrzeí, uveďme vazebí strukturu NIO fltru podle obr.3.6. Přeosová fukce tohoto fltru má tvar Hz ( ) Budeme-l předpokládat, že přeosová fukce bude mít opět dva komplexě sdružeé póly, potom pro jejch umístěí v komplexí rově z můžeme psát b ( z a + jb)(. z a jb) b z az + a + b b x z- - z a a -b Obr.3.6 Fltr.řádu - vazebí struktura (3-6) y ( ( ) ( )) ± jϕ p, R. e R. cos ϕ ± js ϕ (3-7) Dosazeím kořeů p, do rovce (3-6) získáme tyto vztahy pro kostaty a a b ( ).s( ) a R.cos ϕ b R ϕ (3-8) Im, Jestlže opět kvatujeme koefcety a, b jako 4-btová čísla, můžeme př realzac umístt póly do ěkterých pozc uvtř jedotkové kružce v,75 z-rově podle obr.3.7. Z obrázku je patré, že rozložeí pólů je rovoměrější ež u,5 struktury z obr.3.5. Kaskádí a paralelí forma, která realzuje každý,5 komplexě sdružeý pár samostatě, přáší ezávslost a vzdáleost,5,5,75, Re od ostatích pólů v systému. Z to- hoto hledska lze kaskádí a paralelí formy preferovat před přímou Obr.3.7 Rozložeí možých poloh pólů pro koefcety kvatovaé a čtyř bty u vazebí struktury formou, zvláště pak jedá-l se o pásmové propust s blízkým rozložeím ul a pólů

35 P.Skalcký- Dgtálí fltrace a sgálové procesory Praha - /995 Příklady k samostatému řešeí Příklad 3. Odvoďte prví a druhou kaockou, kaskádí a paralelí formu stacoárího systému s ásledující dferečí rovcí y -,75. y +,5. y x + x / Příklad 3. Odvoďte druhou kaockou formu a příčkovou strukturu fltru se systémovou fukcí H() z.z + 4.z + z + z + Příklad 3.3 Nakreslete všechy možé realzace číslcového fltru se systémovou fukcí () H z 3. ( z + )(. z + ) ( z +,5 ).( z -,4) - 3 -