Přírodovědecká fakulta NÁHODNÉ PROCESY. Ivan Křivý

Transkript

1 Přírodovědecká fakula NÁHODNÉ PROCESY Iva Křvý OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 4

2

3 ANOTACE Předkládaá dsačí opora předsavue základy eore áhodých procesů. Je určea posluchačům prezečího a kombovaého suda sudích programů Aplkovaá maemaka, Aplkovaé formaka a Iformaka. Zahrue ásleduící émaa: Náhodé procesy, ech rozděleí a klasfkace Maemacký apará pro sudum áhodých procesů Věvící se procesy Markovovy řeězce s dskréím časem Markovovy řeězce s oceěím přechodů Koečé Markovovy řeězce se spoým časem Spočeé Markovovy řeězce se spoým časem Teore hromadé obsluhy

4

5 ÚVOD Předkládaá dsačí opora (modul), kerá se Vám dosává do ruky, byla vyvořea ovací původí opory [5]. V souvslos s ouo ovací byly provedey ásleduící změy: upravea srukura celé dsačí opory, sávaící kapoly (lekce) doplěy o korolí oázky, korolí úkoly a ové korespodečí úkoly a pozaky. ově zařazea kapola věovaá Markovovým řeězcům s oceěím přechodů. Dsačí opora e určea pro edosemesrálí sudum áhodých procesů, specálě Markovových řeězců s dskréím spoým časem. Poskyue eorecký základ pro sudum předměu Aalýza časových řad zařazeého do sudích pláů oborů Aplkovaá maemaka, Aplkace maemaky v ekoom a Iformaka a Přírodovědecké fakulě Osravské uverzy v Osravě. Cíle modulu: Po prosudováí ohoo modulu pochopíe základí pomy eore áhodých procesů (áhodý proces a eho rozděleí, Markovův proces, pravděpodobos přechodů, sacoárí rozděleí apod.), aučíe se klasfkova savy daého áhodého procesu. aučíe se počía pravděpodobos přechodu mez savy daého áhodého procesu, dokážee urč, zda pro daý áhodý proces exsue sacoárí (resp. lmí) rozděleí pravděpodobos, a aké e spočía, pokud exsue, pochopíe výzam áhodých procesů pro řešeí kokréích úloh v prax, aučíe se aplkova Markovovy řeězce a řešeí úloh z eore hromadé obsluhy, sezámíe se se základy eore obovy. Celý modul e rozčleě do ásleduících lekcí: áhodé procesy, ech rozděleí a charakersky, maemacký apará pro sudum áhodých procesů, věvící se procesy Markovovy řeězce s dskréím časem I koečé Markovovy řeězce s dskréím časem II, Markovovy řeězce s oceěím přechodů, koečé Markovovy řeězce se spoým časem, spočeé Markovovy řeězce se spoým časem, Obsah modulu 5

6 Srukura lekce procesy možeí, procesy možeí a záku, eore hromadé obsluhy. Jedolvé lekce zpravdla obsahuí: formulac cílů lekce (edy oho, co by měl sude po eím prosudováí umě, zá, pochop), klíčová slova, průvodce sudem, vlasí výklad učva, řešeé příklady, korolí oázky k procvčeí učva, korespodečí úkol, pomy k zapamaováí, shruí. Všechy ř zařazeé korespodečí úkoly maí charaker dvduálí semárí práce, kerá e určea k ověřeí Vašch schoposí aplkova získaé zalos a aalýzu kokréího (Vám vybraého) áhodého procesu. Součásí Vašch sudích povosí e splěí edoho, popř. dvou korespodečích úkolů; ech hodoceí bude započeo do celkového hodoceí kurzu. V každé kapole e uvedeo vše pořebé pro samosaé sudum, počíae defcem základích pomů a koče využím eoreckých pozaků v prax. V zámu správého pochopeí probíraé láky sou edolvá émaa doplěa řešeím ypových příkladů. Doporučueme čeář, aby se ad každým příkladem důkladě zamyslel. Pochopeí prcpů řešeí e ož ezbyým předpokladem pro porozuměí dalšímu výkladu. Čas pořebý k prosudováí edolvých lekcí explcě euvádíme, eboť z ašch zkušeosí vyplývá, že rychlos suda začě záleží a Vašch schoposech a sudích ávycích. Předpokládáme, že s mozí z Vás budou chí dopl a rozšíř pozaky sudem dalších lerárích prameů (učebc a skrp), ež se zabývaí ak eorí, ak aplkacem áhodých procesů. Př výkladu sme vycházel především z moografe Fellera [7] a skrp [5,6,9,]. Další doporučeou lerauru uvádíme v závěrečé čás éo dsačí opory. Věříme, že Vám předkládaý sudí maerál pomůže pochop základí prcpy eore áhodých procesů, a přeeme Vám hodě úspěchů ve sudu. Auor 6

7 NÁHODNÉ PROCESY, JEJICH ROZDĚLENÍ A CHARAKTERISTIKY Po prosudováí éo úvodí kapoly: pochopíe základí pomy eore áhodých (sochasckých) procesů (áhodý proces a eho rozděleí) a ech ávazos a základí pomy klascké eore pravděpodobos (áhodá velča a eí rozděleí), pozáe evýzaměší charakersky áhodých procesů, zeméa sředí hodou, rozpyl a auokovaračí fukc, sezámíe se s klasfkací áhodých procesů, pozáe ěkeré výzamé ypy áhodých procesů. Klíčová slova: áhodý proces, raekore, dsrbučí fukce, sředí hodoa, rozpyl, kovaračí fukce, sacoara, spoos, procesy s dskréím časem, procesy se spoým časem, bílý šum, áhodé procházka po přímce, Browův pohyb. Úvodí kapola e věováa základům obecé eore áhodých procesů. Neprve zavádíme poem áhodého procesu, eho rozděleí a základích charakersk. Následue klasfkace áhodých procesů, zeméa podle srukury možy eho savů a časové možy. Na závěr pak uvádíme příklady ěkerých výzamých ypů áhodých procesů.. Defce áhodého procesu Náhodý (sochascký) proces e absrakí poem pro maemacký pops áhodých evů, keré sou avíc fukcí času. Náhodé procesy ak vyadřuí dyamku áhodých evů, proo se časo mluví o zv. sascké dyamce. Příklady áhodých procesů acházíme ve všech oblasech vědy a echky: kolísáí sgálu v přímacím zařízeí, Browův pohyb hmoých čásc, změy v poču zákazíků čekaících a obsluhu, změy v poču kosmckých čásc dopadaících a povrch Země, kolísáí sluečí akvy apod. 7

8 Náhodý proces Traekore áhodého procesu Teore áhodých procesů e, apř. ve srováí s maemackou aalýzou ebo eorí pravděpodobos, poměrě mladá maemacká dscplía. Jeí základy byly položey v prví polově mulého soleí především zásluhou prací Markova, Sluckého, Kolmogorova, Chča, Craméra a Loèveho. Za zakladaele moderí eore áhodých procesů sou považová Io a Karhue. K dalšímu rozvo eore pak výzamě přspěl zeméa Freché, Lévy, Feller a Weer. Více podrobosí aleze čeář ve skrpech []. Defce.. Nechť ( Ω, A,, P) e pravděpodobosí prosor a T eprázdá podmoža R. Pak sousava reálých áhodých velč { X, T} defovaých a (,, P) Ω A, se azývá reálý áhodý proces. Pozámka. Náhodý proces můžeme aké defova ako zobrazeí X : Ω T R akové, že pro každé T ( Ω, A,, P). e X ω áhodá velča a Pozámka. V aplkacích vysačíme s reálým áhodým velčam, v eor e však ěkdy výhodé aalogcky defova aalogcky komplexí áhodý proces. Náhodý proces můžeme považova za fukc dvou proměých: elemeárího evu ω a časové proměé. Pro pevě zvoleé T e X (.) e X = X áhodá velča defovaá a Ω. Pro pevě zvoleé ω Ω. ω reálá fukce času ; ao fukce se azývá raekore (realzace) áhodého procesu. V aplkacích se pomocí áhodého procesu popsue chováí ěakého sysému v čase, přčemž přechody z edoho savu sysému do druhého maí áhodý charaker. V akovém případě se sav sysému zoožňue s hodoou áhodého procesu.. Rozděleí áhodého procesu V omo odsavc zavedeme poem dsrbučí fukce áhodého procesu. Defce.. Nechť { X, T} e daý áhodý proces. Dále echť N a,,..., T. Pak dsrbučí fukce áhodého vekoru (,,..., ) X X X defovaá předpsem (,..., ) = ( <, <,..., < ) F x x P X x X x X x,,..., 8

9 se azývá -rozměrá dsrbučí fukce áhodého procesu { X, T} kozsece:, eslže sou splěy zv. Kolmogorovovy podmíky a) Pro lbovolou permuac π možy {,,..., } plaí F x, x,..., x F x,..., x.,,..., = π π π π π π,,..., b) -rozměrá dsrbučí fukce áhodého procesu e margálí dsrbučí fukcí ( + ) -rozměré dsrbučí fukce áhodého procesu,. = F x, x,..., x, x F x,..., x. lm x,,...,,,,..., Dsrbučí fukce áhodého procesu K pravděpodobosímu popsu áhodého procesu e uo zá eho dsrbučí fukce pro všecha N. Ke každému áhodému procesu exsue kozseí sysém dsrbučích fukcí. {,,..., } Věa.. (Kolmogorovova věa). Nechť (,,..., ) F x x x e kozseí sysém dsrbučích fukcí. Pak exsue áhodý proces { X, T} akový, že pro každé N,,lbovolá,,,..., T a lbovolá reálá x, x,..., x plaí ( < < < ) =,,..., ( ) P X x, X x,..., X x F x, x,..., x. Důkaz e uvede apř. v učebc Šěpáa [..3 Základí charakersky áhodého procesu Neprve defueme ř základí charakersky áhodého procesu, a o sředí hodou, rozpyl a auokovaračí fukc. Defce.. Nechť { X, T} e áhodý proces akový, že pro každé T exsue sředí hodoa E X. Pak fukce µ = E X defovaá a možě T se azývá sředí hodoa áhodého procesu { X, T} Defce.3. Nechť { X, T} všecha T plaí. e áhodý proces akový, že pro E X < +. Pak fukce dvou proměých R ( s, ) defovaá a možě T T předpsem R s = E X µ X µ (, ) ( s s )( ) se azývá auokovaračí fukce áhodého procesu { X, T}. Specálě, hodoa R (, ) éo fukce se azývá rozpyl áhodého procesu v čase. Sředí hodoa áhodého procesu Auokovaračí fukce Rozpyl áhodého procesu 9

10 Srkí sacoara V éo čás ešě zavedeme pomy sacoara a spoos áhodého procesu. Defce.4. Náhodý proces { X, T} e srkě sacoárí, eslže pro lbovolé N,, pro lbovolá reálá x, x,..., x a pro lbovolá,,..., a h aková, že k T, k + h T, k plaí F x, x,..., x = F x, x,..., x.,,..., +, +,..., + h h h Z uvedeé defce vyplývá, že všechy áhodé velčy X maí decké rozděleí a ech základí charakersky (sředí hodoa, rozpyl a auokovaračí fukce) sou varaí vůč posuuí v čase. Procesy, keré esou srkě sacoárí, se azývaí evolučí. Slabá sacoara Kromě srkí sacoary se pro procesy s koečým momey druhého řádu zavádí slabší poem zv. slabé sacoary. Náhodý proces X, T e slabě sacoárí, eslže eho sředí hodoa a rozpyl { } sou kosaí v čase a eho auokovaračí fukce e varaí vůč posuuí v čase. Defce.5. Náhodý proces { X, T} e sochascky spoý (spoý podle pravděpodobos) v bodě T, eslže pro každé ε > plaí ( ) P X X > ε =. Spoos procesu Proces s dskréím časem Proces se spoým časem Proces s dskréím savy Proces se spoým savy Náhodý proces e sochascky spoý, e-l spoý v každém bodě možy T. Proces, kerý e spoý podle předcházeící defce, emusí mí spoé raekore..4 Klasfkace áhodých procesů Náhodé procesy můžeme klasfkova z růzých hledsek. Podle srukury časové možy T rozlšueme: N= ebo proces s dskréím časem (časová řada), když T = = {,,...} T = Z = {, ±, ±,...} ; proces se spoým časem, když prvky možy T abývaí hodo T = a, b, a < b. z ěakého edegeerovaého ervalu,. [ ] Podle srukury možy savů (savového prosoru) rozezáváme: proces s dskréím savy, když áhodé velčy X abývaí pouze dskréích hodo, proces se spoým savy, když áhodé velčy X abývaí hodo z ěakého edegeerovaého ervalu.

11 Podle ypu závslos áhodých velč X pro růzé hodoy lze apř. rozlš (podrobě vz []): proces s ezávslým hodoam, právě když pro všecha s, T, s, sou áhodé velčy X, X ezávslé; proces s ekorelovaým hodoam, právě když pro všecha s, T, s, plaí E X X = EX E X (předpoklad s s s E X < +); proces s ezávslým přírůsky, právě když pro všecha,,...,, 3, < <... <, plaí, že rozdíly X,..., X X sou ezávslé velčy. X.5 Příklady áhodých procesů Bílý šum e áhodý proces { } X, vořeý ezávslým áhodým velčam s ulovou sředí hodoou a seým koečým rozpylem. Nechť Y, Y,... sou ezávslé áhodé velčy abývaící hodo ± s pravděpodobosm. Nechť X = a X = Y pro všecha = N...Náhodá. velča X pak udává polohu, kerou má čásce pohybuící se áhodě po celočíselých krocích a přímce, a o ve všech krocích se seou pravděpodobosí v obou směrech. Takový proces { X, N} se azývá áhodá procházka po přímce. Weerův proces (Browův pohyb) e áhodý proces {, } spoým raekorem, kerý má ásleduící ř vlasos:. W =, W se. přírůsky W W, s <, maí ormálí rozděleí s ulovou sředí s hodoou a rozpylem σ ( s), kde 3. pro lbovolé dsukí ervaly sou přírůsky X k s k σ e kladá kosaa, s,, s <, k =,,...,, k k k k X ezávslé áhodé velčy. Uvedeé příklady procesů paří do rozsáhlé řídy áhodých procesů, kerým se říká Markovovy procesy. Problemace Markovových procesů budou v omo sudím exu věováy kapoly 4 7. Bílý šum Náhodá procházka po přímce Browův pohyb Korolí oázky. Jak souvsí defce áhodého procesu s defcí áhodé velčmy?. Co e o raekore áhodého procesu? 3. Jak souvsí -rozměrá dsrbučí fukce áhodého procesu s dsrbučí fukcí -rozměrého áhodého vekoru? 4. Jak souvseí defce základích charakersk áhodého procesu s charekerskam áhodé velčy. 5. Jaký e rozdíl mez srkí a slabou sacoarou áhodého procesu?

12 6. Uveďe ěaké příklady áhodých procesů s dskréím časem a se spoým časem. Korespodečí úkol č.. Pokuse se odvod ř základí vlasos edorozměrého Browova pohybu. Vycházee přom z defce áhodé procházky po přímce a základích zalosí eore pravděpodobos včeě cerálí lmí věy. Pomy k zapamaováí: áhodý proces, raekore (realzace) áhodého procesu, dsrbučí fukce áhodého procesu, sředí hodoa áhodého procesu, rozpyl áhodého procesu, auokovaračí fukce áhodého procesu, sacoara áhodého procesu, spoos áhodého procesu, áhodý proces s dskréím časem, áhodý proces se spoým časem, áhodý proces s dskréím savy, áhodý proces se spoým savy, bílý šum, áhodá procházka po přímce, Browův pohyb (Weerův proces). Shruí Tao kapola obsahue základy obecé eore áhodých procesů. Jsou v í především defováy pomy áhodý proces, eho raekore (realzace), rozděleí (sysém dsrbučích fukcí splňuících Kolmogorovovy podmíky kozsece) a základí charakersky (sředí hodoa, rozpyl, auokovaračí fukce). Kapola e aké doplěa o klasfkac áhodých procesů (zeméa podle srukury časové možy a srukury možy savů procesu) a příklady ěkerých výzaměších áhodých procesů (bílý šum, věvící se proces a Browův pohyb).

13 MATEMATICKÝ APARÁT PRO STUDIUM NÁHODNÝCH PROCESŮ Po prosudováí éo kapoly: pochopíe výzam vyvořuící fukce pro sudum celočíselých áhodých velč, aučíe se pomocí vyvořuící fukce počía základí eorecké charakersky celočíselých áhodých velč (sředí hodou a rozpyl), aučíe se aké kosruova vyvořuící fukce pro kovoluc celočíselých áhodých velč a pro zv. složeá rozděleí. Klíčová slova: celočíselá áhodá velča, eí vyvořuící fukce, kovoluce rozděleí souču ezávslých celočíselých áhodých velč, složeé rozděleí. V úvodí čás éo kapoly sou uvedey defce dvou základích pomů (celočíselá áhodá velča a eí vyvořuící fukce). Zvláší pozoros e přom věováa využí vyvořuící fukce pro výpoče sředí hodoy a rozpylu celočíselé áhodé velčy. Sam se můžee přesvědč o om, že pomocí vyvořuící fukce lze hodoy zmíěých charakersk počía mohem sadě ež s využím příslušých defčích vzahů. V dalších odsavcích se pak sezámíe s kovolucí celočíselých áhodých velč a složeým rozděleím, akož s příslušým vyvořuícím fukcem.. Vyvořuící fukce Neprve zavedeme poem celočíselá áhodá velča, přesě celočíselá ezáporá áhodá velča. Defce.. Celočíselá áhodá velča e dskréí áhodá velča, kerá může abýva pouze hodo z možy celých ezáporých čísel,. hodo,,. Celočíselá áh. velča Vhodým maemackým aparáem ke sudu akových velč e ech vyvořuící fukce. Defce.. Nechť X e celočíselá áhodá velča s rozděleím daým poslouposí { }, vyvořuící fukce p kde = P( X = ) pro =,,.... p Jeí P s e vyvořuící fukce posloupos { p },. řada Vyvořuící fukce 3

14 P s = = kde s e pomocá reálá proměá. Posloupos { p } e zřemě omezeá, proo P ( s ) kovergue alespoň v ervalu (, ). Navíc kovergova aké pro s =, proože plaí = p s P = p =. Ozačme q = P ( X > k ) = p pro k =,,.... Q( s) posloupos { } k q má var, P s musí Vyvořuící fukce > k ( s) = q s. Q = Také ao vyvořuící fukce (ekoečá řada) kovergue alespoň v ervalu (,), eboť posloupos { q } e omezeá. Nemusí však kovergova v bodě s =. Souvslos mez oběma vyvořuícím fukcem e dáa ásleduící věou. Věa.. Pro každé s (,) plaí Q s P s = s Důkaz. Uvedeý vzah se převede a var ( s) Q( s) P( s). = a porovaí se koefcey u edolvých moc s a obou sraách éo rovos. Pomocí vyvořuící fukce celočíselé áhodé velčy lze velm sado spočía hodoy ech eoreckých charakersk (sředí hodoa, rozpyl, é momeové charakersky). V éo čás se omezíme pouze a výpoče sředí hodoy a rozpylu (varace). Věa.. Pro sředí hodou celočíselé áhodé velčy X plaí = = E X = p = q = P = Q, kde P začí dervac P ( s) zleva v bodě s =. Důkaz. Z věy. a věy o přírůsku fukce dosaeme, že pro ěaké σ ( s,) plaí 4

15 Q s P ( s) P = = P σ s Nechť s (kovergece zleva), pak aké.. a σ Řady P ( s) Q( s ) sou řady s ezáporým koefcey, a proo musí pla Q = lm P σ = P ebol q = p, σ = = čímž e vrzeí dokázáo. plaí Věa.3. Nechť poloměr kovergece řady P ( s ) e věší ež. Pak var X = P + P P = Q + Q Q. =. Posupým Důkaz. Vydeme ze vzahu P ( s) ( s) Q( s) dervováím ohoo vzahu dosaeme = ( ), a edy = ( ), = ( ) = P s Q s s Q s P Q P s Q s s Q s, a edy P Q. Dále plaí P = p = EX P = ( ) p = E X ( X ) Odud plye,. = = ( ) var X = E X EX = E X X + EX EX = = P + P ( P ) = Q + Q Q, čímž e vrzeí dokázáo. Příklady Příklad.. Určíme vyvořuící fukc, sředí hodou a rozpyl aleravího rozděleí, pro ěž plaí přčemž p + q =. P q pro =, = = p pro =, ( X ) Řešeí. Pro vyvořuící fukc aleravího rozděleí zřemě plaí P ( s) = q + ps. Odud dervováím dosaeme 5

16 E X = P = q + ps = p ; P = q + ps =, s= s= akže + P P = p p = p( p) pq. varx = P = Příklad.. Určíme vyvořuící fukc, sředí hodou a rozpyl bomckého rozděleí, pro ěž plaí P( X = ) = p ( p) pro =,,...,. Řešeí. Vyvořuící fukc bomckého rozděleí lze (s využím bomcké věy) zapsa ve varu Odud posupě dosaeme P s ps q q ps = = = ( + ) EX = P = p q + ps = p, s= P = p q + ps = p, s= var X = pq. Vyvořuící fukce pro vybraá rozděleí dskréího ypu sou uvedey v ab... Tab..: Vyvořuící fukce vybraých rozděleí dskréího ypu Rozděleí (paramery) Aleraví ( p (,) ) q + ps. Vyvořuící fukce Bomcké ( N,, p (,) q + ps Possoovo (λ >] Geomercké ( p (,) ) Negavě bomcké (, p (,) N, ) s e λ + λ p qs p qs 6

17 . Kovoluce Vydeme z defce kovoluce dvou číselých poslouposí. Defce.3. Nechť { p } a { r },, reálých čísel. Pak posloupos { h } defovaá vzahem sou dvě posloupos h = p r + p r p r,, (.) se azývá kovolucí poslouposí { } a { } { h} = { p } { r}. p r a začí se Z uvedeé defce vyplývá bezprosředě ásleduící vrzeí. Nechť X a Y sou ezávslé celočíselé áhodé velčy s rozděleím { p }, resp. { r }. Pak souče S = X + Y má rozděleí { h } daé vzahem (.), a edy rozděleí souču dvou ezávslých celočíselých áhodých velč e kovolucí ech rozděleí. Věa.4. Vyvořuící fukce H ( s ) souču dvou ezávslých áhodých velč X a Y s vyvořuícím fukcem P ( s), resp. R( s ), e rova souču vyvořuících fukcí obou ěcho velč,. = P( s) R( s). H s Důkaz e rválí. Vyvořme souč P ( s) R( s ). Koefce př mocě s e zřemě dá vzahem (.). Kovoluce poslouposí Kovoluce rozděleí Kovoluce { p } { p } posloupos { p } a začí se { } * se azývá druhou kovolučí mocou p a podobě lze zavés vyšší kovolučí mocy. Dříve uvedeá vrzeí e možo zobec a souče lbovolého poču ezávslých celočíselých áhodých velč. Specálě plaí: Nechť X, X,..., X sou ezávslé celočíselé áhodé velčy se seým rozděleím { p }, pak rozděleí ech souču S = X + X X e -ou kovolučí mocou posloupos { } p a vyvořuící fukce H s ech souču e rova P ( s ). Příklad.3. Dokážeme, že bomcké rozděleí B(,p) e -ou kovolučí mocou rozděleí aleravího. 7

18 Řešeí. Náhodá velča X s bomckým rozděleím B(,p) udává poče úspěchů v sér ezávslých Beroullových pokusů s kosaí pravděpodobosí úspěchu p v každém edolvém pokusu. Tuo velču lze vyádř ako souče X + X X sdružeě ezávslých áhodých velč s aleravím rozděleím ( = eúspěch s pravděpodobosí q, = úspěch s pravděpodobosí p). Proo pro vyvořuící fukc bomckého rozděleí B(,p) plaí = = ( + ) al, P s P s q ps což e v souladu s výsledkem příkladu...3 Složeé rozděleí Složeé rozděleí Defce.4. Nechť X,,... sou ezávslé celočíselé áhodé velčy. Nechť všecha X X maí decké rozděleí { f } celočíselá áhodá velča N má rozděleí { }.. Nechť g Pak rozděleí { h } áhodé velčy S = X + X X N, edy rozděleí souču áhodého poču celočíselých áhodých velč, se azývá složeé rozděleí. Věa.5. Pro složeé rozděleí { h } plaí h = = Důkaz. Podle věy o úplé pravděpodobos dosaeme g f * h = P S = = P N = P S = N = = = * P( N ) P ( X X... X ) g f, = = = = = = eboť rozděleí souču X + X X e -ou kovolučí mocou rozděleí { f }. Příklad.4. Nechť g e pravděpodobos, že samčka určého druhu hmyzu aklade právě vaíček. Dále echť p e pravděpodobos, že se z vaíčka vylíhe žvý edec. Určíme pravděpodobos oho, že samčka dá žvo právě edcům. Řešeí. Rozděleí { g } poču akladeých vaíček N eí v zadáí úlohy blíže specfkováo. Pro poče S vylíhuých edců zřemě plaí 8

19 S = X + X X N, kde každá z velč X má aleraví rozděleí. Proo můžeme psá P ( X + X +... X N = ) = g p ( p). = o Přom sme využl oho, že -ou kovolučí mocou aleravího rozděleí e rozděleí bomcké. V dalším výkladu odvodíme vzahy pro vyvořuící fukc a základí charakersky složeého rozděleí. Věa.6. Vyvořuící fukce velčy S,. souču áhodého poču N seě rozděleých celočíselých áhodých velč, = G F ( s) H s X má var kde G ( s ) začí vyvořuící fukc velčy N a F ( s ) vyvořuící fukc každé z velč kde X. Důkaz. Pro hledaou vyvořuící fukc zřemě plaí f = = = = = H s = h s = g f s = g f s reprezeue -ý čle posloupos { f }. předsavue vyvořuící fukc posloupos { f zobecěé věy.4 var F ( s ). Odud dosaeme Příklad.5. Nechť plaí g = }, Vří souče a a má podle H ( s) = gf ( s) = G F ( s). velča N má Possoovo rozděleí,. -λ λ e = pro =,,... a každá z velč X rozděleí aleraví.! Určíme vyvořuící fukc velčy S = X + X X N. Řešeí. Pro vyvořuící fukc velčy N dosaeme G s Vyvořuící fukce velč Proo H ( s) G F ( s) ( λs ) ( λs) λ λ λ λs λ+λs = e = e = e e = e.!! = = X má (vz příklad.) var F ( s) = q + ps. λ+λ q+ ps λ p+λps = = e = e, což e vyvořuící fukce Possoova rozděleí s paramerem λ p. Věa.7. Pro sředí hodou velčy S plaí 9

20 ES = E X + X X = EN E X. N Důkaz. S využím vlasosí vyvořuící fukce dosaeme E S = G ( F ( s) ) = G ( F ) F = G F ( ) = E N E X. s= Věa.8. Pro rozpyl (varac) velčy S plaí var S = EN var X + E X var N. Důkaz. Neprve určíme dervace vyvořuící fukce H ( s ) v bodě s =. Zřemě plaí H = G F H = G F + G F ;. Dále edoduchým úpravam dosaeme vars = G = G = H + H [ H ] = [ F ] + G F + G F [ G F ] = ( F + F [ F ] ) + [ F ] G + G [ G ] var X ( EX ) var N, = E N + čímž e důkaz ukoče. Vlasosí složeého rozděleí využeme v kapole 3 věovaé věvícím se procesům. Korolí oázky. Jaký výzam má vyvořuící fukce celočíselé áhodé velčy?. Proč se v případě kovoluce rozděleí souču ěkolka celočíselých áhodých velč předpokládá ech ezávslos? 3. K čemu se v prax používá složeého rozděleí Korolí úkoly. Určee vyvořuící fukc, sředí hodou a rozpyl Possoova rozděleí daého vzahem λ λ e P X = = pro =,,....!. Určee vyvořuící fukc, sředí hodou a rozpyl geomerckého rozděleí daého vzahem P X = = p p = q p pro =,, Nechť velča N má bomcké rozděleí (vz příklad.) a velčy X rozděleí aleraví. Určee vyvořuící fukc velčy S = X + X X N. =

21 Korespodečí úkol č.. Dokaže, že zv. egavě bomcké rozděleí e -ou kovolučí mocou geomerckého rozděleí a určee rozděleí pravděpodobos pro egavě bomcké rozděleí. Návod. Náhodá velča s egavě bomckým rozděleím NB(,p) udává poče eúspěchů předcházeících -ému úspěchu v sér ezávslých Beroullových pokusů s kosaí pravděpodobosí úspěchu p v každém edolvém pokusu. Napro omu áhodá velča s geomerckým rozděleím udává poče eúspěchů předcházeících prvímu úspěšému pokusu v uvažovaé sér Beroullových pokusů. [ P Pomy k zapamaováí: celočíselá áhodá velča, + X = = p q ] vyvořuící fukce celočíselé áhodé velčy, kovoluce rozděleí ezávslých celočíselých áhodých velč, složeé rozděleí. Shruí V úvodím odsavc zavádíme dva fudameálí pomy: celočíselá (ezáporá) áhodá velča a eí vyvořuící fukce. Zdůrazňueme výzam vyvořuící fukce pro výpoče základích eoreckých charakersk celočíselých áhodých velč: sředí hodoy a rozpylu (varace). V dalších odsavcích pak vysvělueme, ak (s využím aparáu vyvořuících fukcí) počía charakersky souču koečého, resp. áhodého poču celočíselých áhodých velč.

22

23 3 VĚTVÍCÍ SE PROCESY Obsah éo kapoly e kocpová ak, abyse po eím prosudováí: pochopl podsau věvících se procesů, aučl se počía základí eorecké charakersky věvících se procesů, meově sředí hodou a rozpyl velkos populace v edolvých geeracích věvícího se procesu, uměl spočía pravděpodobos exkce (záku) věvícího se procesu, pozal možos aplkace eore věvících se procesů v prax. Klíčová slova: věvící se proces, věev procesu, geerace procesu, vyvořuící fukce procesu, sředí hodoa, varace, exkce, aplkace. V éo kapole využee eoreckých zalosí, keré se získal sudem kapoly předcházeící. Pochopíe, že eore věvících se procesů e založea a pozacích o složeém rozděleí a eho vlasosech. V závěrečém odsavc se sezámíe s ěkerým možosm aplkací eore věvících se procesů. 3. Podsaa věvícího se procesu Defce 3.. Věvící se proces (Galoův-Wasoův proces věveí) e áhodý proces { X, N } akový, že áhodá velča X udává poče čásc v -é geerac, =,,.... V ašch úvahách budou vysupova čásce (apř. edc ěaké populace), ež mohou geerova čásce éhož druhu. Budeme předpokláda, že: a počáku exsue k ( k > ) čásc, keré reprezeuí zv. ulou geerac, každá čásce -é geerace ( ) e schopa s pravděpodobosí p,, vyvoř právě ových čásc (svých bezprosředích poomků), ež sou součásí bezprosředě ásleduící geerace s pořadovým číslem +, čásce se chovaí vzáemě ezávslé. Je zřemé, že každá čásce ulé geerace cue samosaou věev věvícího se procesu. Teo proces zake pouze v om případě, když každá z eho věví e ukočea,. eobsahue žádou čásc. Věvící se proces Geerace věvícího se procesu Věev procesu 3

24 Typckým příkladem věvícího se procesu e šěpeí ader zoopu 35 9 U epelým euroy. Pro edoduchos předpokládeme, že a počáku exsue edý epelý euro. Př eho srážce s uvažovaým ádrem se uvolňue eerge a vzkaí (kromě šěpých produků fragmeů ádra) epelé euroy prví geerace, echž poče e dá áhodou velčou s rozděleím { p }. Každý z ěcho epelých euroů prví geerace (ezávsle a osaích) může geerova epelé euroy druhé geerace a šěpá reakce (věvící se proces) se ak může dále rozvíe. 3. Vyvořuící fukce věvícího se procesu Nechť X e celočíselá áhodá velča, ež ozačue poče čásc -é geerace a P s eí vyvořuící fukce. Předpokládeme pro edoduchos, že a počáku exsue (s pravděpodobosí rovou ) edá čásce,. Poče čásc P s s =. X =. Příslušá vyvořuící fukce má edy var X prví geerace má podle předpokladu rozděleí { } = =. vyvořuící fukc P ( s) p s, akže plaí P ( s) = P. s p, Poče bezprosředích poomků každé z X čásc prví geerace e celočíselá áhodá velča s rozděleím aké { p }. Podle věy.6 o složeém rozděleí dosaeme pro vyvořuící fukc velčy X vzah = P s P P s. Čásce řeí geerace sou poomky druhého řádu čásc prví geerace. Velča X 3 e edy součem X ezávslých áhodých velč, z chž každá má seé rozděleí ako velča X. Z oho plye pro vyvořuící fukc velčy 3 X vzah P ( s) = P P ( s) 3. Na druhé sraě sou čásce řeí geerace bezprosředím poomky X čásc druhé geerace, akže X 3 e součem X ezávslých áhodých velč maících seé rozděleí ako X. Odud plye P ( s) = P P( s) 3. Na oázku, ak urč vyvořuící fukc pro poče čásc lbovolé geerace, odpovídá ásleduící věa. Věa 3.. Pro vyvořuící fukce P ( s),, plaí rekureí vzah ( ) P s P P s P P s + = =. 4

25 Důkaz. Sačí provés seou úvahu ako v předcházeící čás ohoo odsavce pro = 3. Příklad 3.. Nechť poče bezprosředích poomků edé čásce má Possoovo rozděleí, ehož vyvořuící fukce e spočea v příkladu.5. Určee vyvořuící fukce P ( s) pro =,,3. Řešeí. Vyvořuící fukce P ( s ) e přímo vyvořuící fukcí λ+λs Possoova rozděleí,. P ( s) = Dále dosaeme e. 3 λ + λs e λ + λ P s = P P s = e, λ + λe λ+ λs e λ + λ P s = P P s = e. 3.3 Charakersky věvícího se procesu Neprve zavedeme sředí hodou µ poču bezprosředích poomků edé čásce vzahem µ = E X = = p. Je zřemé, že ao velča e současě sředí hodoou poču čásc prví geerace. Věa 3.. Sředí hodoa poču čásc -é geerace ( ) e dáa vzahem E X = µ. (3.) Důkaz provedeme maemackou dukcí. Uvedeý vzah zřemě plaí pro =. V ulé geerac exsue pouze edá čásce, akže skuečě plaí. E X = µ = Předpokládeme, že vzah plaí pro ěaké přrozeé číslo, a dokážeme eho plaos pro +. Podle věy.7 o sředí hodoě složeého rozděleí (kokréě sředí hodoě souču X áhodých velč s rozděleím { p } E X E X E X = = µ µ = µ + +. Tím e plaos vzahu dokázáa pro všecha přrozeá. ) dosaeme V závslos a hodoě parameru µ se sředí hodoa velkos populace (poču čásc) s rosoucím eměí (pro µ = ), expoecálě vzrůsá (pro µ > ), ebo expoecálě klesá (pro µ < ). 5

26 Pozámka. Tvrzeí věy 3. e možo rozšíř a případ, kdy ulou geerac voří k > vzáemě ezávslých čásc. Pak zřemě plaí E X = kµ. Dále ozačme symbolem poomků edé čásce,. σ rozpyl (varac) poču bezprosředích var X = σ. Věa 3.3. Rozpyl poču čásc -é geerace ( ) e dá vzahem µ var X = σ µ. µ (3.) Důkaz provedeme aké maemackou dukcí. Pro = vzah zřemě plaí, edy var X =. Vydeme z předpokladu, že vzah plaí pro ěaké přrozeé a dokážeme eho plaos pro +. K omuo důkazu použeme věu.8 o rozpylu složeého rozděleí (kokréě rozpylu souču Podle éo věy dosaeme p ). X áhodých velč s rozděleím { } + µ var X + = EX var X + ( EX ) var X = µ σ + σ µ = µ µ µ + + µ + µ µ µ = σ µ + = σ µ = σ µ, µ µ µ čímž e důkaz ukoče. Pozámka. Ve specálím případě µ = plaí pro rozpyl poču čásc -é geerace edoduchý vzah aalogcky. X = σ Důkaz se provede var. Pro µ = rozpyl velkos populace (poču čásc) rose leárě s hodoou. Je-l µ > ( µ < ), pak rozpyl velkos populace s rosoucím expoecálě vzrůsá (klesá). 3.4 Pravděpodobos exkce věvícího se procesu Exkce věvícího se procesu Uvažume yí pravděpodobos x zv. exkce věvícího se procesu,. oho, že se věvící proces {, N}, vycházeící z edé čásce X ulé geerace, zasaví dříve, ež dosáhe -é geerace. V rválím případě p = plaí zřemě x = pro všecha a exkce věvícího se procesu eí možá. Nechť edy < p. V akovém případě má posloupos {x } ásleduící vlasos (vz [8]). 6

27 . Pravděpodobos x rosou s hodoou,. < x < x <... < x < x + <... <.. Nulá geerace obsahue právě edou čásc, proo x =. Pravděpodobos, že ao čásce evyvoří žádého bezprosředího poomka, e p, akže x = p. 3. Posloupos {x } e rosoucí a omezeá, proo musí mí vlasí lmu. Jelkož zřemě plaí x = P () = P( P ()) = P( x ), musí ao lma ξ vyhovova fukcoálí rovc ξ = P( ξ ). (3.3) Vyvořuící fukce P ( s) = P ( s) eí dervace P ( s) obsahuí pouze kladé čley a musí edy růs v ervalu < s. Křvka y P ( s) = e kovexí a proíá přímku y = s evýše ve dvou bodech, z chž edím e bod [,] (vz obr. 3.). Obrázek 3.: Ilusrace k řešeí rovce (3.3) Lze poměrě sado dokáza (vz [7]), že uá a posačuící podmíka pro exsec kořeu ξ < rovce (3.) má var P µ = >, kde µ začí sředí hodou poču bezprosředích poomků edoho obeku. V omo případě křvka y = P(s) vychází z bodu [, p ] proíá přímku y = s v bodě 7

28 [ξ, P(ξ)] a leží pod í, až dosáhe bodu [,]. Je-l aopak µ, pak křvka y = P(s) leží v celém ervalu (,) ad přímkou y = s, a proo eexsue vůbec žádý koře ξ < rovce (3.3). Je-l edy µ >, pak koře ξ < udává edozačě pravděpodobos exkce věvícího se procesu po ěakém koečém poču geerací. Plaí-l však µ, poom má rovce (3.3) edý koře ξ = a věvící se proces { X, N} zake s soou. Uvedeý výsledek se sado rozšíří a případ, kdy ulou geerac evoří edá čásce, ale k > vzáemě ezávslých obeků. V akovém případě e pravděpodobos exkce všech k věví procesu rova k k edoduše ξ. Výraz ξ pak udává pravděpodobos, že se aspoň eda z věví bude úspěšě rozvíe. 3.5 Aplkace věvícího se procesu Teore věvících se procesů má celou řadu užečých aplkací. V ásleduícím přehledu uvádíme ěkeré z ch: průběh šěpé reakce v aderém reakoru, rozvo populace s zv. epřekrývaícím se geeracem,. akové populace (apř. populace ěkerých druhů hmyzu), u íž rodčovská geerace epřechází (epřežívá) do geerace bezprosředích poomků, šířeí malých epdemí z edoho ebo více ezávslých zdroů ákazy v případě, že se ákaza šíří přímým koakem mez fekčím edcem a edc clvým vůč ákaze, šířeí malých lesích kalam (apř. kůrovce) z edoho ebo více ezávslých zdroů, průběh zv. pyramdálích her. Ukážeme možos využí model věvícího se procesu v epdemolog []. Epdeme skočí, akmle všechy věve ohoo grafu sesávaí z koečého poču hra. Uvažovaý model vychází z ásleduících předpokladů: a počáku exsue K fkovaých edců, keří mporuí emoc do zdravé populace; doba fekčos e spoou áhodou velčou, ež má expoecálí rozděleí s paramerem µ; ke koaku mez akažeým a vímavým edc dochází zcela áhodě, přčemž průměrý poče ových případů přímo fkovaých edím akažeým edcem za edoku času e rove λ; 8

29 fkovaí edc sou ezávslí, což zameá, že poče případů geerovaých edím akažeým edcem ezávsí a poču případů geerovaých kerýmkol ým akažeým edcem. Každý fkovaý edec zůsává zdroem ákazy po sou dobu T (zv. dobu fekčos), maící expoecálí rozděleí s husoou = µ e µ. f Během éo doby se emoc může přeáše a vímavé edce. Předpokládeme přom, že akažeý edec přímo fkue v průměru λ vímavých edců za edoku času. Pak pravděpodobos p, =,,..., že akové dvduum geerue v průběhu své fekčí perody ových případů emoc, e p λ λ µ µ λ = e µ e d =. (3.4)! λ + µ λ + µ Vzah (3.) přpomíá defc rozděleí pravděpodobosí pro ěakou celočíselou áhodou velču s geomerckým rozděleím. Fakor λ ( λ + µ ) e možo erpreova ako pravděpodobos přeosu emoc př koaku akažeého edce s edcem vímavým. Záme-l rozděleí pravděpodobosí p, poom pro sředí hodou poču ových případů geerovaých edým akažeým dvduem dosaeme λ E X = p =. (3.5) µ = Ze vzahu (3.) vyplývá, že sředí hodoa poču fkovaých edců v -é geerac, keří pocházeí z edého akažeého dvdua v geerac ulé, e rova ( λ ). µ Odud pro celkovou velkos epdeme N způsobeé edím fkovaým edcem dosaeme λ µ E N = = pro λ < µ. (3.6) = µ µ λ Je edy zřemé, že sředí hodoa áhodé velčy N zúsává koešá ehdy a e ehdy, když plaí λ < µ. Celková velkos epdeme N způsobeá K ezávslým fkovaým edc e zřemě K-ásobkem hodoy určeé vzahem (3.6),. Kµ E N = pro λ < µ. (3.7) µ λ 9

30 K určeí pravděpodobos exkce edé věve uvažovaé epdeme posačí, když vydeme z rovce (3.3) a za P ( ξ ) dosadíme vyvořuící fukc geomerckého rozděleí ve varu (3.4). Dosaeme µ λξ ξ = λ + µ = λ + µ Po úpravě přede ao rovce a var µ µ ξ + ξ + =. λ λ Jeím řešeím pak dosaeme, e-l λ < µ, ξ = µ, e-l λ µ. λ Odud vyplývá pro pravděpodobos oho, že všech K věví epdeme dříve č pozdě skočí, vzah K µ, e-l, P( epdeme skočí) λ µ = λ (3.8), e-l λ < µ. Ze vzahu (3.8) e zřemé, že pokud má epdeme skoč s soou, musí bý splěa podmíka λ µ. Tao podmíka e ekvvaleí požadavku, aby sředí hodoa poču ových případů fkovaých přímo edím akažeým dvduem byla meší ež eda. Navržeý model byl úspěšě použ k popsu průběhu malých epdemí baclárí úplavce a severí Moravě. Korolí oázky. Jaké sou obvyklé předpoklady př defováí věvícího se procesu?. Jak se posupue př určováí vyvořuící fukce poču čásc daé geerace? 3. Jak byse posupoval př určeí pravděpodobos exkce věvícího se procesu? Korolí úkoly. V čás 3.3 sme dokázal vzahy pro výpoče sředí hodoy a varace poču čásc -é geerace maemackou dukcí.. Nechť poče bezprosředích poomků edé čásce má bomcké rozděleí. Určee vyvořuící fukce P ( s ) pro =, a 3.. 3

31 Korespodečí úkol č. 3. Pokuse se defova ěaký věvící se proces a provés eho podroběší aalýzu. Můžee přom vycháze z áměů uvedeých v odsavc 3.5. Vaše práce by měla mí ásleduící srukuru: a) defce věvícího se procesu (s důrazem a předpoklady a rozděleí poču bezprosředích poomků edé čásce), b) podroběší pops průběhu zvoleého věvícího se procesu, c) saoveí vyvořuící fukce, sředí hodoy a rozpylu (varace) pro edolvé geerace procesu, d) výpoče pravděpodobos exkce procesu před dosažeím -é geerace, e) erpreace získaých eoreckých výsledků. Pomy k zapamaováí: věvící se proces, věev věvícího se procesu, geerace věvícího se procesu, exkce věvícího se procesu. Shruí: V éo kapole e zavede poem věvícího se procesu a vysvělea eho podsaa. Dále sou odvozey vzahy pro základí charakersky věvícího se procesu: sředí hodou a rozpyl (varac) poču čásc v -é geerac, akož pravděpodobos exkce věvícího se procesu před dosažeím -é geerace. 3

32 3

33 4 MARKOVOVY ŘETĚZCE S DISKRÉTNÍM ČASEM I Po prosudováí éo kapoly: pochopíe základí pomy eore, zeméa Markovův řeězec s dskréím časem, pravděpodobos přechodu, pravděpodobos savu Markovova řeězce v daém čase, aučíe se kosruova mac pravděpodobosí přechodu, aučíe se klasfkova savy Markovova řeězce. Klíčová slova: Markovův řeězec s dskréím časem, pravděpodobos přechodu, homogeí Markovův řeězec, ehomogeí Markovův řeězec, mace pravděpodobosí přechodu, počáečí rozděleí Markovova řeězce, pravděpodobos přechodu vyšších řádů, Perroův vzorec, pravděpodobos savu v daém čase, sav rvalý, sav přechodý, sav eulový, sav ulový, sav perodcký, sav eperodcký, sav ergodcký. Tao kapola obsahue defce relavě velkého poču ových pomů a aké řadu výzamých vě, z chž ěkeré uvádíme bez důkazu. Věue maxmálí pozoros základím pomům eore Markovových řeězců s dskréím časem a dskréím savy, abyse dokázal úspěšě řeš kokréí úlohy včeě ásleduících korolích úkolů a aké korespodečích úkolů. 4. Markovův řeězec a eho reprezeace Uvažume pravděpodobosí prosor ( Ω, A, P) a a ěm defovaou posloupos celočíselých áhodých velč { X, N }. Nechť S = { s, s, s...}, zkráceě {,,,...}, e moža savů áhodého procesu { X N } a eí prvky savy ohoo procesu. Tao moža může, bý koečá ebo spočeě ekoečá. Říkáme, že sysém e v čase = ve savu s, právě když X =. Defce 4.. Posloupos celočíselých áhodých velč { X N } se azývá Markovův řeězec (dále MŘ) s dskréím časem, eslže (,,..., ) ( ) P X = X = X = X = = P X = X = (4.) + +, Moža savů 33

34 pro všecha N a pro všecha přrozeá čísla,,,..., aková, že plaí P ( X X X ) =, =,..., = >. Markovská vlasos Pravděpodobos přechodu Homogeí MŘ Nehomogeí MŘ Mace pravděpodobosí přechodu Sochascká mace Počáečí rozděleí MŘ Vzah (4.) vyadřue zv. markovskou vlasos, což zameá, že pravděpodobos určé hodoy procesu v budoucos (v čase + ) závsí e a eho hodoě v příomém čase a kol a eho hodoách v mulos (v časech,,..., ). Podmíěé pravděpodobos P ( X X ) p ( ) + = = =, + se azývaí pravděpodobos přechodu ze savu s (v čase ) do savu s (v čase + ) ebo aké pravděpodobos přechodu prvího řádu. Pokud yo pravděpodobos ezávseí a, začí se edoduše p a příslušý Markovův řeězec e homogeí. V opačém případě de o ehomogeí Markovův řeězec. Dále se budeme zabýva pouze homogeím Markovovým řeězc. Čvercová mace = { p } P, vořeá pravděpodobosm přechodu p mez edolvým savy, se azývá mace pravděpodobosí přechodu homogeího MŘ. Tao mace má ásleduící vlasos: a) pro všecha, plaí, p b) pro všecha plaí =. p Mace s ěmo vlasosm se azývá sochascká mace. { p } ( ) ( ) ( ) Pravděpodobosí rozděleí p =, kde p = P X = se azývá počáečí rozděleí homogeího Markovova řeězce. Markovův řeězec s dskréím savy e edy plě urče (defová) zadáím: možy savů S, vekoru počáečího rozděleí p ( p ) ( ) ( ) mace pravděpodobosí přechodu = ( p ) =, P. Příklad 4.. Náhodá procházka s absorbuícím sěam. Uvažume čásc, kerá se pohybue po celočíselých bodech a přímce, a o v každém kroku o edoku vpravo s pravděpodobosí p ebo o edoku vlevo s pravděpodobosí q = p, přom ezávsle a předcházeících krocích. Jeslže čásce dosáhe bodu x x a ( a ) = ebo = >, pak v ěcho bodech servá (e v ch absorbováa). Určee mac pravděpodobosí přechodu P. 34

35 Řešeí. Moža možých savů sysému e zřemě S = { a} Pro pravděpodobos přechodů dosaeme edoduchou úvahou p = p aa =, p = q, p = p pro =,,..., a.,, +,,...,. Ozačíme-l řádky sloupce mace P pomocí symbolů edolvých savů sysému (edy,,..., a ), bude mí mace pravděpodobosí přechodů var L q p K q p K P =..... K... K q p K Teo příklad lze sado erpreova. Dva hráč spolu hraí posloupos parí, přčemž v každé par hráč vyhrae edu koruu s pravděpodobosí p ebo prohrae edu koruu s pravděpodobosí q. Hrae se ak dlouho, dokud ede z obou hráčů eprohrae všechy své peíze. Příklad 4.. Sére úspěšých pokusů. Uvažume posloupos beroullovských pokusů,. posloupos ezávslých pokusů se dvěma možým výsledky (úspěch, eúspěch) akových, že pravděpodobos úspěchu p zůsává kosaí. Předpokládeme, že sysém e v čase = ve savu s, eslže v -ém pokuse dosáhla sére po sobě doucích úspěchů délky. Určee mac pravděpodobosí přechodu P. Řešeí. Moža savů MŘ e zřemě spočeě ekoečá, edy S = {,,...}. Pro pravděpodobos přechodů plaí: a), + p = q, p = p pro všecha přrozeá čísla, b) p k = ve všech osaích případech. Odud pro mac pravděpodobosí přechodu P dosaeme q p K q p K P =. q p K M M M M M O 35

36 Příklad 4.3. Posloupos hodů hrací koskou. Předpokládeme, že sysém e ve savu s eslže předsavue evyšší číslo, keré padlo v předcházeících hodech. Sesave mac pravděpodobosí přechodu P. Řešeí. V omo případě e S { s s s s s s } pravděpodobos přechodů plaí: p, k = pro =,,..., 6 a < k, p = pro =,,3, 4,5, 6, 6 p + = pro =,,3,4,5,6 a < k 6. 6 Hledaá mace P má edy var, k P = =,,,,,. Pro Pravděpodobos přechodu -ého řádu 4. Pravděpodobos přechodů vyšších řádů Nechť e dá homogeí MŘ s dskréím časem { X, N }. Uvažume yí pravděpodobos přechodů ze savu s v ěakém čase m do savu s v čase m +. Takové pravděpodobos se azývaí pravděpodobos přechodů po krocích ebo pravděpodobos přechodů -ého řádu; budeme e ozačova p ( ). Podle věy o úplé pravděpodobos plaí ebol macově kde { p }. ( + ) p = p p,..., p = p p,... ν ν ν ν ν ν + P = P P P = P P.,...,.,..., P = Je zřemé, že pravděpodobos přechodů -ého řádu sou prvky -é mocy mace pravděpodobosí přechodu P. Pro úplos dodáváme P = ( δ ). Je-l dáa v kokréím případě mace P, máme k dspozc ř posupy, ak urč pravděpodobos přechodů vyšších řádů (mac P ). 36

37 ) Posupé umocňováí mace P. Teo posup e vhodý zeméa ehdy, sou-l prvky mace P dáy umercky. ) Určeí prvků mace P přímo z defce MŘ. Posup s ukážeme a ásleduícím příkladu. Příklad 4.4. Vyděe ze zadáí příkladu 4., ež se ýkal sére úspěšých pokusů, a určee přímo prvky mace P. Řešeí. Z počáečího savu můžeme po krocích přeí do: savu +, eslže všech pokusů skočí úspěchem, savu, skočí-l posledí -ý pokus eúspěchem, savu, skočí-l předposledí pokus eúspěchem a posledí úspěchem, savu, budou-l výsledky posledích ří pokusů eúspěch, úspěch a úspěch ad. Mace pravděpodobosí přechodů -ého řádu bude mí edy var q qp qp K qp p K q qp qp K qp p K P =. q qp qp K qp p K M M M M M M M M O 3) Použí Perroova vzorce zámého z eore mac (vz apř. [7]). Teo posup e možý pouze ehdy, e-l mace P koečého řádu. Obecý var Perroova vzorce e dos komplkovaý, proo se omezíme e a případ, kdy všecha charakerscká čísla mace P sou edoduchá. Pak má Perroův vzorec var p r λk P ( λk ) = ψ ( λ ) =, (4.) k k k kde λ, λ,..., λ r sou charakerscká čísla mace P, = de ( λ ) P λ I P e charakerscký polyom mace P, ( λ) a P sou prvky mace ( λi P ) P ψ k ( λ) = λ λ λ k ad. Perroův vzorec 4.3 Pravděpodobos savu sysému v daém čase Ozačme { p } p = vekor epodmíěých pravděpodobosí edolvých savů sysému v čase =. Z věy o úplé pravděpodobos plye ( ) ( m+ ) ( m) p = p p a aké obecě p = p p. Jsou-l p a p řádkové vekory, můžeme psá 37

38 ( + m) ( m) p = p P, obecě p = p Podobě lze ukáza, že aké plaí ( + ) p = p P. Příklad 4.5. Uvažue áhodou procházku s absorbuícím sěam (vz příklad 4.) za předpokladu, že a = 3 a čásce e a počáku (v čase = ) ve savu. Určee pravděpodobos edolvých savů sysému v časech = a =. Řešeí. Moža možých savů sysému e S = {,,,3} a pro vekor počáečího rozděleí pravděpodobosí zřemě plaí Proo ( ) p = p P = p ( q p), = p P = ( q pq p). Pro další výklad bude užečá ásleduící věa. Věa 4.. Jeslže exsue exsue aké lm p Důkaz. Nechť ( ) lm p ( ) a obě lmy se rovaí. pro všecha plaí P. p ( ) = { }. ezávslá a výchozím savu, pak lm p = k. Pak můžeme psá ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lm p = lm p p = lm p p = k p = k, čímž e věa dokázáa. 4.4 Rekureí evy Teore Markovových řeězců s dskréím časem souvsí velm ěsě s eorí zv. rekureích evů. Poem rekureího evu e sce srozumelý, ale eho formálí defce e velm ěžkopádá, proo ebudeme v omo učebím exu uvádě. Podrobé poučeí o rekureích evech můžee aléz apř. ve skrpech [3]. Přímo z defce rekureích evů vyplývaí ásleduící vrzeí. Věa 4.. Je-l sysém a počáku (v čase = ) ve savu s, pak každý průchod sysému savem s e rekureí ev. Důkaz e uvede apř. ve skrpech [3,5]. Uvažume Markovův řeězec s dskréím časem, kerý e a počáku (v čase = ) v ěakém kokréím savu s. Doba pořebá k omu, aby 38

39 se sysém poprvé vrál do savu savu s, se azývá doba (čas) ávrau do s. Tao áhodá velča má pravděpodobosí rozděleí To zameá, že = poprvé ve savu Pravděpodobos doby ávrau přechodu po krocích přčemž f ( ) ( ) { } f. f udává pravděpodobos oho, že sysém bude v čase s, byl-l a počáku (v čase = p ako ) aké ve savu s. f souvseí s pravděpodobosm ( ) ( ) ( ) p = f p + f p f p, = a p =. Doba ávrau do daého savu Věa 4.3. Je-l sysém a počáku (v čase = ) ve savu s s pak každý průchod sysému savem s e rekureí ev se zpožděím. Důkaz e uvede apř. ve skrpech [3,5]. Uvažume yí Markovův řeězec s dskréím časem, kerý e a počáku (v čase = ) v ěakém kokréím savu s s. Doba pořebá k omu, aby se sysém poprvé dosal do savu s, se azývá doba čekáí a prví průchod savem s. Tao áhodá velča má rozděleí akže { } f, f udává pravděpodobos oho, že sysém bude v čase = poprvé ve savu Pravděpodobos krocích kde f s, byl-l a počáku (v čase = ) ve savu s s. f souvseí s pravděpodobosm přechodu po p prosředcvím vzahů ( ) ( ) = a p =. ( ) ( ) ( ) p = f + f p + f p +... f p, 4.5 Klasfkace savů Markovova řeězce = Defce 4.. Sav f =, a přechodý, eslže s Markovova řeězce se azývá rvalý, eslže = f <. Doba čekáí a prví průchod daým savem Sav rvalý Sav přechodý Do savu rvalého se Markovův řeězec určě ěkdy (dříve ebo pozdě) dosae. Přesě řečeo, do rvalého savu se Markovův řeězec vráí s pravděpodobosí po koečě moha krocích. Napro omu do 39

40 přechodého savu se Markovův řeězec s pravděpodobosí kdy evráí. Ozačme vyslov uo defc. µ sředí hodou doby ávrau do savu s. Pak můžeme = f Sav eulový Sav ulový Defce 4.3. Trvalý sav eslže µ < +, a ulový, eslže µ = +. s Markovova řeězce se azývá eulový, Trvalý sav e edy eulový, když sředí doba ávrau do ohoo savu abývá koečé hodoy, v opačém případě e ulový. U rvalých eulových savů rozlšueme ešě savy perodcké a eperodcké. Sav perodcký Sav eperodcký plaí Defce 4.4. Nechť λ e evěší společý dělel čísel, pro keré p >. Je-l λ >, říkáme, že sav s e perodcký s perodou λ. Je-l však λ =, pak říkáme, že sav s e eperodcký (aperodcký). Markovův řeězec e eperodcký, sou-l všechy eho savy eperodcké. Jak se azývá perodcký. Pravděpodobos ež pravděpodobos f, resp. f, se v prax určuí mohem obížě p, resp. p, proo e užečá ásleduící věa. Věa 4.4. () Sav s e přechodý, právě když plaí p < + pro každé. = p < +. V omo případě = () Sav s e rvalý ulový, právě když plaí lm p ( ) =. p = +, ale = (3) Je-l sav s rvalý eulový a eperodcký, pak plaí lm p = a lm p = f. µ µ = (4) Je-l sav s rvalý eulový a perodcky s perodou λ, pak plaí ( λ ) λ ( λ + ν ) λ ( kλ + ν ) lm p = a pro ( ν < λ ) lm p = f. µ µ k = 4

41 Důkaz ohoo vrzeí e uvede ve skrpech [5]. Krérum eperodčos. Je-l p >, pak sav s e eperodcký. Tao podmíka e posačuící, kol uá. Příklad 4.6. Uvažume zedodušeý model počasí se dvěma savy: { } s { } s = dešvo a = sluečo. To zameá, že předpověď a zířeší de e určea pouze počasím dešího de. Nechť mace pravděpodobosí,6,4 přechodu má var P =.,3,7 Jak e o s perodcou savů? Řešeí. Dagoálí prvky přechodové mace sou kladé, oba savy sou edy eperodcké a celý Markovův řeězec e aké eperodcký. Defce 4.5. Savy rvalé eulové a eperodcké se azývaí ergodcké. Pro klasfkac savů Markovova řeězce e užečá ásleduící věa. Věa 4.5. V Markovově řeězc s koečě moha savy eexsuí savy rvalé ulové a eí možé, aby všechy savy byly přechodé. Důkaz e uvede ve skrpech [5]. Korolí oázky. Jaký e rozdíl mez homogeím a ehomogeím Markovovým řeězc?. Čím e edozačě uče Markovův řeězec s dskréím časem? 3. Je možo použí Perroova vzorce ve varu uvedeém v éo opoře pro lbovolou mac pravděpodobosí přechodu? 4. Jaký maí výzam akové charakersky rekureích evů, akým sou doba ávrau do daého savu a doba čekáí a prví průchod daým savem? 5. Jak se lší savy rvalé od savů přechodých? 6. Kdy e daý Markovův řeězec perodcký? Sav ergodcký Korolí úkoly. Uvažue posloupos ezávslých pokusů s možou možých výsledků {,,..., }, keré asávaí s kosaím pravděpodobosm p, p,..., p. Předpokládee přom, že sysém e 4

42 ve savu s, eslže právě provedeý pokus skočí výsledkem. Určee mac pravděpodobosí přechodu P.. Náhodá procházka s odrážeícím sěam. Předsave s čásc, kerá se chová ako v příkladu 4. s ím rozdílem, že amíso absorbuících sě v bodech a a exsuí odrážeící sěy v bodech a a. To zameá, že čásce přecházeící z bodu do bodu e vrácea zpě do bodu, a aké čásce přecházeící z bodu a do bodu a se vrací do bodu a. Určee mac pravděpodobosí přechodu P. 3. Je dáa eomezeá zásoba kulček. V každém kroku zařadíme edu kulčku áhodě do edé z N přhrádek. Sysém e ve savu =,,..., a, eslže e obsazeo právě přhrádek (edou ebo více kulčkam). Určee mac pravděpodobosí přechodu P. 4. Ehrefesův pokus. Nechť N vzáemě rozlšelých molekul plyu e rozděleo do dvou ádob A a B. V každém kroku se áhodě vybere eda molekula a přemísí se z ádoby, ve keré se právě achází, do ádoby druhé. Sav sysému e dá počem molekul v ádobě A. Určee mac pravděpodobosí přechodu P. 5. Nechť e dáa mace pravděpodobosí přechodu Spočěe prvky mace P.,7,3 P =., 4,6 6. Uvažue posloupos hodů hrací koskou (vz příklad 4.3) za předpokladu, že vekor počáečího rozděleí má var ( ) { } p =,,,,,. Určee pravděpodobos edolvých savů sysému v časech = a =. 7. Uvažue áhodou procházku v obc se čyřm ulcem, keré voří sray čverce. Chodec acházeící se v lbovolém z vrcholů čverce může í s pravděpodobosí vpravo ebo vlevo. Mace pravděpodobosí přechodu má zřemě var P =. Posuďe perodcu savů ohoo Markovova řeězce. s, 4

43 Korespodečí úkol č. 4. Defue ěaký Markovův řeězec s dskréím savy a proveďe klasfkac eho savů. Vaše práce by měla mí ásleduící srukuru: a) defce Markovova řeězce, b) podroběší pops savů ohoo Markovova řeězce a přechodových pravdel, c) sesaveí mace pravděpodobosí přechodu, d) klasfkace savů řeězce. Pomy k zapamaováí: Markovská vlasos, Markovův řeězec s dskréím časem, Markovův řeězec homogeí, Markovův řeězec ehomogeí, moža savů Markovova řeězce, mace pravděpodobosí přechodu, počáečí rozděleí pravděpodobosí, pravděpodobos přechodu vyšších řádů, Perroův vzorec, doba ávrau do daého savu, doba čekáí a prví průchod daým savem, sav rvalý, sav přechodý, sav rvalý eulový, sav rvalý ulový, sav rvalý eulový eperodcký = sav ergodcký, sav rvalý eulový perodcký (s perodou λ). Shruí V éo kapole vycházíme z pomu Markovova řeězce s dskréím savy a dskréím časem. Zavádíme základí pomy eore akových Markovových řeězců (apř. moža savů, pravděpodobos přechodů, počáečí rozděleí, rozloželé a erozloželé řeězce, sacoárí rozděleí), předkládáme čeář klasfkac savů (savy rvalé a přechodé, savy rvalé eulové a ulové, savy rvalé eulové eperodcké a 43

44 perodcké) a odvozueme rovce pro výpoče pravděpodobos absorpce v ěaké uzavřeé možě rvalých savů. 44

45 5 MARKOVOVY ŘETĚZCE S DISKRÉTNÍM ČASEM II Po prosudováí éo kapoly: aučíe se rozlšova rozloželé a erozloželé Markovovy řeězce, aučíe se počía sacoárí pravděpodobos Markovova řeězce, pokud exsuí, aučíe se počía pravděpodobos absorpce v ěaké uzavřeé možě rvalých savů. Klíčová slova: dosaželos savu, uzavřeá moža savů, erozloželý Markovův řeězec, rozloželý Markovův řeězec, savy éhož ypu, sacoárí rozděleí, absorpce uzavřeou možou rvalých savů. Tao kapola e pokračováím kapoly bezprosředě předcházeící. Obsahue aké moho ových pomů z eore Markovových řeězců s dskréím časem. Věue maxmálí pozoros pochopeí ěcho pomů, abyse dokázal úspěšě řeš kokréí úlohy. 5. Nerozloželé a rozloželé Markovovy řeězce Neprve uvedeme ěkolk užečých defc. Defce 5.. Sav přrozeé číslo akové, že s e dosaželý ze savu p >. s, eslže exsue Dosaželos savu Z uvedeé defce vyplývá, že každý sav e dosaželý ze sebe sama, proože plaí ( ) p =. Příklad 5.. Náhodá procházka s pohlcuícím sěam: ze savů,, a sou dosaželé všechy savy, ze savu e sav a ze savu a pouze sav a. Defce 5.. Neprázdá moža C savů Markovova řeězce e uzavřeá, eslže žádý sav vě možy C eí dosaželý z žádého savu uvř C. Nemeší uzavřeá moža obsahuící C se azývá uzávěr možy C. Uzavřeá moža savů 45