Plánování cesty ramene manipulátoru se 3 stupni volnosti
|
|
- Iveta Burešová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Intelgentní robotka - samostatná práce: Plánoání cest ramene manplátor se stpn olnost Renáta Smoloňoá, Robert alama, Petr Pošík 9.. Katedra kbernetk Faklta elektrotechncká České soké čená techncké Praze Abstrakt Řešení problém nalezení optmální cest ramene manplátor se stpn olnost se dá separoat na tř nezáslé část. Prní z nch je rčení matematckého pops transformace mez sořadncem prostor obraz snímaného kamero a sořadncem e sktečném sětě. ransformační matc rčjeme ze čtř kalbračních bodů a pátý daný bod žíáme k oěření její spránost. Drho částí je podrobný matematcký pops knematk manplátor (řešení přímé a nerzní knematcké úloh). řetí část pak toří lastní algortms pro nalezení nejkratší cest mez počátečním a cíloým bodem. Algortms zohledňje překážk na cestě, jejchž poloh detekje poze na zdálenost jedna kloboých sořadncích. Úloh tohoto tp toří podstatno sočást složtějších úloh řešených pra, a proto je třeba pochopt a oěřt s základní prncp jejch řešení na jednodšších úlohách. Úod Cílem práce je nalezení optmální řídící sekence pro rameno manplátor, který má přemístt předmět z bod B do bod A. Ve scéně jso místěn překážk a celá scéna je snímána kamero. Překážk rameno detekje pomocí čdla, jež je místěno na jeho konc a které je schopno detekoat překážk zdáleno krok kloboých sořadncích. Řešení úloh jsme rozděll na tř podúloh. Pro každo z nch jsme přjal některé zjednodšjící podmínk a omezení. Př hledání matce přechod od obrazoých sořadnc k sořadncím reálném sětě předpokládáme, že scéna je snímána kamero, ktero lze popsat perspektním modelem. Kamera je po dob měření místěna neznámé, ale e stále stejné pozc (msí být zajštěna platnost nalezené matce přechod). Vzhledem k tom, že máme k dspozc jen postačjící počet kalbračních bodů, počítáme matc přechod přímo řešením sosta lneárních ronc (nepožíáme metod pro řešení přerčené sosta ln. ronc, např. SVD [Krajník998]). Př torbě lastního algortm pro nalezení optmální cest přjímáme nerealstcký předpoklad, že ramena manplátor jso nehmotná. Vhýbat se překážkám msí poze koncoý bod manplátor nesocí předmět. Otázko chopení a olnění předmět se této úloze podrobně nezabýáme a dále předpokládáme, že počáteční a koncoý sta se nacházejí praconím prostor robota. ato zpráa má následjící rozdělení: kaptole je popsán způsob transformace bodů detekoaných obraz snímaném kamero do sořadné sosta spojené s podložko, na které leží předmět překážk, kaptola popsje knematk manplátor a řešení přímé nerzní
2 knematcké úloh, kaptola obsahje odození algortm pro rčení pohb ramene a kaptole 5 najdete zhodnocení ýsledků a záěr. ransformace ze SS obraz kamer do SS spojené s podložko Matce přechod je matematcká transformace, která možňje nazájem přepočítáat sořadnce prostor obraz do sořadnc e sětě a naopak. Předpokládáme, že obraz, který máme k dspozc, bl sejmt perspektní kamero. Je třeba s ědomt, že transformace odozená dalším tet se týká poze bodů ležících roně podložk. Kamera sce snímá celo scén, ale jedně tehd, kdž íme, že bod obraz ležel roně, pro ktero bla transformace tořena, j můžeme požít. Kamera této úloze není požta pro snímání poloh a rozměrů překážek. Zjšťje se pomocí ní poze pozce počátečního a cíloého bod konce ramena manplátor. K dspozc máme 5 bodů, jejchž sořadnce SS podložk známe. Pozce jejch obrazů e snímk kamer jsme schopn rčt. Zjšťjeme je pomocí fnkce MALAB gnpt. Pozce bodů rčjeme manálně pomocí mš, čímž se do měření náší chba způsobená ldským faktorem. Abchom její l omezl, odečítáme sořadnce každého bod 5 a ýsledné sořadnce získááme jednodchým průměroáním. Vzhledem k tom, že toření transformace je proces jednorázoý (transformace zůstáá stejná, pokd se nezmění zájemná orentace a pozce podložk a kamer) a pra b j neblo třeba proádět často, poažjeme toto řešení za postačjící. Naíc je tento způsob rchlý a jednodchý. Pokd b blo třeba proádět zjšťoání transformace atomatck, dalo b se žít např. sronáání se zorem, které s sebo ale nese jná další úskalí. Pro další ýpočt jsme cházel z následjících hodnot: Číslo bod Sořadnce bod reálném sětě Sořadnce bodů e snímk kamer [mm] [pel] (,, ) (66.98,.5) (8,, ) (5.5, 88.5) (8, 77, ) (79.6, 6.5) (, 77, ) (.7, 6.) Podle [Pajdla] lze transformac sořadnc zájemně s odpoídajících bodů do ron perspektní projekc popsat roncí kde!! α =, (.) ato matcoá ronce předstaje sosta lneárních ronc. Je možné ze. ronce jádřt α a dosadt za něj do prních do ronc. Pro každý bod pak máme dojc ronc. kde! =! = α h ( ) ( ) h = h h h je ektor sořadnc obraz bod e snímk kamer [pel], je ektor sořadnc bod SS spojené s podložko [mm], je matce přechod od SS podložk do SS snímk, rozměr matce je je pro každý bod konstanta; zohledňje zdálenost bod od střed projekce =, ektor odpoídající řádkům matce
3 Proedeme-l tento postp pro bod, dostaneme sosta 8 ronc o 9 neznámých. Zapsána matcoě padá takto: = (.) Koefcent matce zapsané do ektor toří praý nloý prostor matce sosta, jejíž koefcent šechn známe. Báz praého nloého prostor matce sosta (ektor koefcentů ) jsme zjstl pomocí příkaz nll sstém MALAB. Pokd z ažoaných bodů jso každé lneárně nezáslé (což je našem případě splněno), má matce sosta hodnost 8 a báz nloého prostor toří jedný ektor. Přespořádáním prků ektor zpět do matce získáme matc přechod od SS podložk do SS snímk kamer. M bdeme ale potřeboat transformac opačno, totž ze SS snímk do sktečného sěta, ted do SS podložk. K tom lze žít lneárnost zobrazení () a pro reglární můžeme psát!! = α (.) Knematka manplátor Určení knematckých lastností manplátor je ntno podmínko ke zdárném řešení celé úloh. Dáá nám odpoěd na otázk, kde se nacházejí klob a ramena manplátor, kdž známe úhl klobů a délk ramen (přímá knematcká úloha, přeod se sořadnc kloboých do sořadnc kartézských), a jak msíme nastat úhl klobů manplátor, ab se koncoý bod ramene nacházel požadoaných kartézských sořadncích (nerzní knematcká úloha). Rameno manplátor, jeho pops a zolené sořadné sosta jso schématck znázorněn příloze na obr... Přímá knematcká úloha Přímo knematcko úloho se rozmí rčení poloh těles a klobů manplátor př známých hodnotách nezáslých parametrů ( našem případě úhlů klobů). Zjednodšeně řečeno, jedná se o přeod z kloboých sořadnc do sořadnc kartézských. Strktr transformačních matc jsme oll podle [Smtný999]. Bod je třeba zadáat homogenních sořadncích. Sestaení transformační matce lze rozložt na dílčí transformace mez 5 SS znázorněným příloze na Obr... ransformace z SS (záěs) do SS (podložka) skládá se z rotace bod o 9º kladném smsl kolem os a posn o ektor O O. ransformace z SS (rameno) do SS (záěs) rotace bod o úhel γ záporném smsl kolem os (bez pos). ransformace z SS (loket) do SS (rameno) rotace bod o úhel ϕ záporném smsl kolem os a posn o ektor O O ose. ransformace z SS (zápěstí) do SS (loket) rotace bod o úhel ε záporném smsl kolem os a posn o ektor O O ose.
4 OO ( OO ) ( OO ) = (.) z cosϕ snϕ OO = (.) snϕ cosϕ cosγ snγ = sn cos (.) γ γ cosε sn ε OO = (.) sn ε cosε Celkoá transformační matce je sočnem matc až. Pozce koncoého bod ramene manplátor se pak spočítá jako OB 5 k = k = (.5) kde je ektor sořadnc koncoého bod manplátor k SS (podložka) ( ) je ektor sořadnc koncoého bod manplátor 5 k = OB SS (zápěstí). Inerzní knematcká úloha Inerzní knematcká úloha (IKÚ) je obecně složtější problém než přímá knematcká úloha (PKÚ). Zatímco PKÚ má žd řešení (manplátor se někde e sém operačním prostor prostě nacházet msí), IKÚ nemsí mít řešení žádné, může mít řešení jedno, konečný počet nebo jch má nekonečně mnoho. V našem případě je řešení IKÚ značně jednodché. Protože se celá podložka nachází praconím prostor manplátor, bde mít IKÚ čtř řešení pro každý bod. Stace je znázorněna příloze na obr... Úhel γ snadno počteme z -oé a -oé složk ektor ( OB) ( O B. γ = arctan (.6) Pro ýpočet úhlů ϕ a ε jsme žl kosínoo ět. V hodnotách těchto úhlů se projeí nejednoznačnost řešení. ( OB) ϕ z = arccos (.7) O B OO + OB OO5 ϕ = arccos (.8) O O O B
5 OO + OO5 OB ε = arccos (.9) O O O O 5 Z těchto dílčích ýsledků lze sestat čtř trojce úhlů γ, ϕ a ε : γ ϕ = ϕ + ϕ ε = π + ε γ = γ ϕ = ϕ ϕ ε = π ε γ = γ + π ϕ = ϕ ε = ε γ = γ + π ϕ = ϕ ε = ε Všechn trojce jso řešením IKÚ.. a. trojce přtom předstají (dík osoé smetr manplátor) shodné pozce ramen prostor, stejně jako. a. trojce.. a. trojce nastaení úhlů je ted ntná poze tehd, pokd úhel γ překročí sůj poolený rozsah.. Oěření PKÚ a IKÚ Spránost přímé a nerzní knematcké úloh jsme oěřoal na třech zolených bodech, které jsme nejpre přeedl na kloboé sořadnce (pomocí IKÚ) a následně zpět do kartézských sořadnc (pomocí PKÚ). Oěření blo proedeno stém MALAB. Z tablk. je zřejmé, že bod prním a třetím slopc jso shodné, čímž jsme potrdl spránost PKÚ a IKÚ. ab.. Oěření spránost PKÚ a IKÚ. zolený bod (,, z) IKÚ (γ, ϕ,ε ) PKÚ (,, z) (9, 8, ) (,.55, -.85) (9, 8, ) (, 77, ) (.55,.667, -.595) (-, 77, ) (8, 77, ) (.666,.6669, -.59) (8, 77, ) Algortms pro pohb ramene manplátor Jedná se o prohledáaní staoého prostor, který je omezen elkost praconí ploch. Naším úkolem je nalezení takoé poslopnost operátorů, jejíž postpno aplkací razí rameno manplátor nejkratší tras z bod B do bod A př respektoání překážk. Přemístění předmět se skládá ze tří kroků: přemístění prázdného ramene manplátor do pozce B, chopení předmět a přenesení předmět do pozce A. Otázko chopení předmět se nezabýáme, předpokládáme, že předmět je hmotný bod a je chopen, kdž do bod místíme konec manplátor. Př přesn manplátor ažjeme, že manplátor je nehmotný, tzn. že prochází překážkam na rozdíl od hmotného bod.. Zjštění sořadnc počátečního a koncoého bod Bod A a B jso na praconí ploše značen značkam, které díme kameře. Sořadnce obo bodů reálném sětě ( SS podložk) zjstíme pomocí matce přechod, ktero jsme počítal kap.. Z reálných sořadnc bod A s pomocí řešení IKÚ (z kap..) počítáme příslšné úhl manplátor. to počtené úhl msíme prat na úhl, které můžeme na manplátor sktečně nastat. oto úprao se bod A posne do jné poloh. Bohžel se této chbě rčení počátečního bod nedá zabránt, neboť máme možnost poze dskrétního nastaoání úhlů manplátor. Abchom alespoň tto chb mnmalzoal, generoal jsme osm nejblžších staů manplátor (odozeno od počt krokoých motorků) okolí bod A a bral jsme ten sta, který měl mnmální ekledosko zdálenost od bod A. Př této úpraě jsme řadl sta nacházející se pod úroní podložk.
6 . Vlastní algortms optmální cest. algortms Prncp:. lož S do N, počt e(n). jestlže N = {} -> řešení nenalezeno, CESA = {}. N lož do CLOSED a do CESA. jestlže N = C -> řešení nalezeno (e sktečnost testjeme, zda se jž nacházíme nám zoleném okolí cíle C) 5. epanze N -> 6 staů D() 6. ločení nepřípstných D() nacházejí se mmo praconí prostor, překážce, nebo se do nch kůl překážce nelze dostat 7. ločení D(), které jso CLOSED 8. není-l žádný D() přípstný, N = {}, jd na krok 9. pro šechn přípstné D() spočt e(d()) a D() s nejmenší e(n) lož do N. jd na krok S N CLOSED e(n) C D CESA počáteční sta aktální sta seznam staů, kterým jsme jž prošl ekledoská zdálenost z N do cíle cíloý sta množna následjících staů poslopnost staů z S do N Z pops algortm je zřejmé, že se jedná o algortms gradentní (z každého sta se slepě přesne do sta, který m dano chíl přnáší nejětší zsk). Výhodo tohoto algortm je, že pro jednodché geometrcké tar překážek najde řešení poměrně rchle. Na drho stran, nejedná se o přípstný algortms, neboť se snadno může stát, že algortms nějakém sta ízne, protože se nemí racet do žádného z staů mnlých. V příloze na Obr.. je kázka cest ramene manplátor dle algortm.. algortms K nalezení optmální cest jsme zoll algortms nformoaného prohledáání staoého prostor s herstcko fnkc A *. Odhad ohodnocení sta n je defnoán jako : f ( n) = g( n) + h( n), kde f (n) odhad ohodnocení sta n g (n) odhad cen cest z počátečního sta do sta n předstaoaný zatím nejkratší cesto h (n) herstcká fnkce - odhad mnmální cen z zl n do koncoého sta Přípstnost algortm Algortms A * je přípstný [Pajdla], případě, že estje jen konečný počet následoníků, cena každého sta je kladná a odhad fnkce h(n) je žd spodním odhadem cen sktečné cest. V našem případě pro každý sta estje šest možných následjících staů, sta jso ohodnocen kladno hodnoto, fnkc h (n) počítáme jako ekledosko zdálenost ze sta n do koncoého sta bez ažoání překážk. Ekledoská zdálenost je nejkratší možná
7 zdálenost mez děm bod ekledoském prostor tzn., že náš odhad nebde nkd horší než sktečná cena a tdíž je tento algortms přípstný. Prncp:. lož S do OPEN, počt f(s). OPEN = {} -> řešení nenalezeno. ber z OPEN sta N s nejmenší f(n) a lož jej do CLOSED.. jestlže N = C -> řešení nalezeno 5. epanze N, jel D = {} jd na 6. ločení nepřípstných staů D 7. pro každý D spočt f(d) a proed krok 8 a 9 8. není-l D OPEN an CLOSED, lož D do OPEN. 9. je-l D OPEN nebo CLOSED, přřadíme D menší z hodnot f(d) a mnlé hodnot. Přesň D CLOSED, kterém se zmenšla hodnota do OPEN. krok S A OPEN CLOSED f(n) D počáteční sta aktální sta seznam staů, kterých očekááme epanz seznam staů, kterých neočekááme epanz odhad ohodnocení sta množna následjících staů V obo algortmech jso problém s testoáním cíloého sta, neboť z důod dskrétního nastaení úhlů není jednoznačně rčeno, zda jž se nacházíme nejblžším sta k cíloém sta nebo nkol. Oba algortm jso končen okamžk, kd se nacházíme rčté blízkost k cíloém sta. Můžeme se tím dopstt jsté chb, ale bohžel jsme nenalezl lepší metod. V algortm A * platíme za přípstnost algortm zětšením počt staů jednodchých překážek, kterým msíme projít, než se dostaneme do cíle. Pro složtější překážk máme šak zarčeno, že pokd řešení estje bde nalezeno a to je hlaním požadakem algortm. 5 Zhodnocení a záěr Reference [Krajník998] E. Krajník : Matcoý počet. ČVU, Praha, 998 [Mařík99] V.Mařík, O.Štěpánkoá, J.Lažanský: Umělá ntelgence I. Academa, Praha, 99. [Pajdla].Pajdla: Intelgentní robotka. Poznámk k přednáškám předmět Intelgentmí robotka. [Smtný999] V.Smtný: Knematka. Poznámk k přednáškám předmět Robotka [Šára999] R.Šára: Obecná teore sstémů. Poznámk k přednáškám předmět OS.
8 Příloha Obr. : Schématcké znázornění robota pro účel PKÚ a IKÚ Cesta ramene manplátor Cesta ramene manplátor Obr.. a Obr.. b Obr.. a Pohled ze shora na cest ramene manplátor podle algortm. Počáteční bod je označen modře, koncoý zeleně. Praconí prostor je omezen osam a. Z tohoto důod došlo k obejtí překážk. Obr.. b Bokors cest manplátor
Řízení pohybu manipulátoru
Martin Sábl, Kail Všten, Radek Sekal České soké čení technické Praze, Faklta elektrotechnická ABSTRAKT V sočasné době á inteligentní robotika sé nezastpitelné ísto noha odětích průsl, edicín či ěd. Inteligentní
Více3.3. Operace s vektory. Definice
Operace s ektory.. Operace s ektory Výklad Definice... Nechť ϕ je úhel do nenloých ektorů, (obr. ). Skalárním sočinem ektorů, rozmíme číslo, které bdeme označoat. (někdy strčně ) a které definjeme roností.
Více7.2.3 Násobení vektoru číslem I
7..3 Násobení ektor číslem I Předpoklad: 70 Př. : Zakresli do sosta sořadnic alespoň dě různá místění ektorů: = 3; = 3;0 = ; a) ( ) ( ) c) ( ) - - - x - Pedagogická poznámka: Předchozí příklad není zbtečný.
Více7.2.10 Skalární součin IV
7.2.10 Sklární sočin IV Předpokld: 7209 Pedgogiká poznámk: Tto hodin je kontet čebnie zláštní. Obshje d důkz jeden příkld z klsiké čebnie. Všehn tři zdání jso znčně obtížná ždjí nápd, proto je řeším normálně
Více1. Určení vlnové délka světla pomocí difrakční mřížky
FAKULTA STAVEBÍ KATEDRA FYZIKY 10FY1G Fzka G 1. Určení vlnové délka světla pomocí dfrakční mřížk Petr Pokorný Pavel Klmon Flp Šmejkal LS 016/17 skpna 1 datm měření: 19.. 017 Zadání Pomocí dfrakční mřížk
Více( ) Sčítání vektorů. Předpoklady: B. Urči: a) S. Př. 1: V rovině jsou dány body A[ 3;4]
722 Sčítání ektorů Předpoklady: 7201 Př 1: V roině jso dány body A[ 3;4], [ 1;1] B Urči: a) S AB b) = B A a) S AB ( ) a1 + b 3 1 1 a2 + b2 + 4 + 1 5 ; = ; = 2; 2 2 2 2 2 b) = B A = [ 1;1] [ 3; 4] = ( 2;
VícePrůběžná lokalizace a tvorba map pomocí smykem řízeného robotu
IADENIE MOBILNÝCH OBOOV Průběžná lokalzace a torba map pomocí smkem řízeného robotu omáš Neužl, Frantšek Buran Abstrakt V článku je ueden prncp algortmu pro lokalzac a torbu map pomocí moblního robotu.
VíceDUM č. 10 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla
projekt GML Brno Docens DUM č. 10 sadě Ma- Přípraa k matritě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla 14. Ator: Magda Krejčoá Datm: 1.08.01 Ročník: matritní ročníky Anotace DUM: Analytická
Více2 Rozhodovací problém
Rozhodovaí problém Rozhodovaí problém je problém s víe možným řešením. Jde tedy o problémy se kterým se setkáváme v běžném žvotě. Základním krokem každého rozhodování je proes volby, tedy poszování jednotlvýh
VíceNa obrázku je nakreslen vlak, který se pohybuje po přímé trati, nakresli k němu vhodnou souřadnou soustavu. v
..7 Znaménka Předpoklad: 4 Opakoání: Veličin s elikostí a směrem = ektoroé eličin. Vektor je určen také sým koncoým bodem (pokud začíná počátku) polohu bodu můžeme určit pomocí ektoru, který začíná počátku
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
Více2. ELEKTRICKÉ OBVODY STEJNOSMĚRNÉHO PROUDU
VŠB T Ostrava Faklta elektrotechnky a nformatky Katedra obecné elektrotechnky. ELEKTCKÉ OBVODY STEJNOSMĚNÉHO POD.. Topologe elektrckých obvodů.. Aktvní prvky elektrckého obvod.3. Pasvní prvky elektrckého
VíceNa obrázku je nakreslený vlak, který se pohybuje po přímé trati, nakresli k němu vhodnou souřadnou soustavu. v
..6 Znaménka Předpoklad: 3, 5 Opakoání: Veličin s elikostí a směrem = ektoroé eličin Vektor je určen také sým koncoým bodem (pokud začíná počátku) polohu bodu můžeme určit pomocí ektoru, který začíná počátku
VíceI. MECHANIKA 4. Soustava hmotných bodů II
I. CHIK 4. Soustaa hmotných bodů II 1 Obsah Spojté ozložení hmotnost. Počet stupňů olnost. Knematka tuhého tělesa. Zjednodušení popsu otace kolem osy a peného bodu. Chaslesoa ěta. Dynamka tuhého tělesa.
VícePřímá a inverzní kinematika manipulátoru pro NDT (implementační poznámky) (varianta 2: RRPR manipulátor)
Technická zpráva Katedra kybernetiky, Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Přímá a inverzní kinematika manipulátoru pro NDT (implementační poznámky) (varianta 2: RRPR manipulátor) 22.
VíceOdvození rovnice pro optimální aerodynamické zatížení axiální stupně
1 Tato Příloha 801 je sočástí článk 19 Návrh axiálních a diagonálních stpňů lopatkových strojů, http://wwwtransformacni-technologiecz/navrh-axialnicha-diagonalnich-stpn-lopatkovych-strojhtml Odvození rovnice
VíceIntegrace PER PARTES
Integrace PER PARTES Integraci per partes požíáme případě, kdy potřebjeme integroat sočin do fnkcí. Vyžíáme při tom následjícího zorce:, který je ntné některých příkladů požít i několikrát po sobě, než
Více1.6.7 Složitější typy vrhů
.6.7 Složitější tp rhů Předpoklad: 66 Pedaoická poznámka: Tato hodina přesahuje běžnou látku, probírám ji pouze případě, že mám přebtek času. Za normálních podmínek není příliš reálné s ětšinou tříd řešit
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019
Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete
VíceElektrický proud Q 1 Q 2 Q 3
Elektrcký proud tomto odstac lastně jž opouštíme elektrostatcké pole, protože elčnu elektrcký proud zaádíme stuac, kdy elektrcké náboje prostoru nejsou nehybné, ale ykazují nějaký pohyb. íme jž, že jednou
VíceLaboratorní úloha Seřízení PI regulátoru
Laboratorní úloha Seřízení PI reglátor 1. Stanovení optimálních parametrů (r 0 (zesílení), I (časová integrační konstanta)) reglátor PI pro reglaci sostavy tří nádrží vyžitím přechodové odezvy reglované
Vícevzdálenost těžiště (myslí se tím těžiště celého tělesa a ne jeho jednotlivých částí) od osy rotace
Přehled příkladů 1) Valiý pohyb, zákon zachoání energie ) Těžiště tělesa nebo moment setračnosti ýpočet integrací - iz http://kf.upce.cz/dfjp/momenty_setracnosti.pdf Nejčastější chyby: záměna momentu setračnosti
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceUrčování parametrů elektrického obvodu v MS Excelu
XX. AS 003 Semnar nstrments and ontrol Ostrava May 6 003 47 rčování parametrů elektrckého obvod v MS Ecel OSÁG etr 1 SAÍK etr 1 ng. h.. Katedra teoretcké elektrotechnky-449 ŠB-T Ostrava 17. lstopad Ostrava
Více12. SEMINÁŘ Z MECHANIKY
- 79 - SEMINÁŘ Z MECHANIKY O jaký úel se odcýlí od odoroné roin ladina kapalin cisternoém oze, který brzdí se zpomalením 5 m s? d s a = a dm Pro jejic ýslednici platí α d d s d d = d + d = a dm s t a 5
VíceProč (a jak) učit lineární algebru na technických školách. Zdeněk Dostál
Nadpis Proč a jak čit lineární alger na technických školách Zdeněk Dostál Katedra aplikoané matematiky 470 FE VŠB-U Ostraa Projekt MLeden 00 Osnoa Náze prezentace Motiace a cíl přednášky Přehled základních
VíceFuzzy regulátory. Miloš Schlegel. Několik výroků o přesnosti
5 Fzz egláto Mloš Schlegel schlegel@kk.zc.cz Několk výoků o přesnost Přesnost a pavdvost neznamená totéž. (Hen Matsse) Věřím, že nc není bezpodmínečně pavdvé a poto jsem v opozc každé absoltní pavdě a
VíceShodná zobrazení v rovině
Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech
VíceDá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory
Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,
VíceANALÝZA SPOTŘEBITELSKÉHO CHOVÁNÍ S VYUŽITÍM TÖRNQUISTOVÝCH FUNKCÍ U VYBRANÝCH POTRAVINÁŘSKÝCH VÝROBKŮ
ANALÝZA SPOTŘEBITELSKÉHO CHOVÁNÍ S VYUŽITÍM TÖRNQUISTOVÝCH FUNKCÍ U VYBRANÝCH POTRAVINÁŘSKÝCH VÝROBKŮ THE ANALYSIS OF CONSUMER BEHAVIOR WITH TÖRNQUIST FUNCTIONS USING FOR CHOICE FOOD PRODUCTS Pavlína Hálová
Více8a.Objektové metody viditelnosti. Robertsův algoritmus
8a. OBJEKOVÉ MEODY VIDIELNOSI Cíl Po prostudování této kaptoly budete znát metody vdtelnost 3D objektů na základě prostorových vlastností těchto objektů tvořt algortmy pro určování vdtelnost hran a stěn
VíceSmíšený součin
7..14 Smíšený součin Předpoklady: 713 Je dán ronoběžnostěn LMNOPR. R O P N M L Jeho objem umíme spočítat stereometrikým zorem: V = S. p Ronoběžnostěn je také určen třemi ektory a, b a R O P b N M a L jeho
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
Více1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE
ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE V této kaptole se dozvíte: jak je oecě defováa kolmost (ortogoalta) vektorů; co rozumíme ortogoálí a ortoormálí ází; co jsou to tzv relace ortoormalty a Croeckerovo delta;
Více= + + R. u 1 = N R R., protože proud: i je protlačován napětím: u 1P ve smyčce
Vážení zákazníc, dovoljeme s Vás pozornt, že na tto kázk knhy se vztahjí atorská práva, tzv copyrght o znamená, že kázka má složt výhradnì pro osobní potøeb potencálního kpjícího (aby ètenáø vdìl, jakým
VíceÚloha č. 9a + X MĚŘENÍ ODPORŮ
Úloha č. 9a X MĚŘENÍ ODPOŮ Úkol měření: 1. Na základě přímého měření napětí a prod rčete odpor neznámého vzork.. rčete absoltní a relativní nejistot odpor. 3. elikost neznámého odpor změřte dále metodo
VícePRUŽNOST A PLASTICITA
PRUŽNOST A PASTICITA ENERGETICKÉ METODY SHRNUTÍ TEORIE A PŘÍKADY Ing. Rostslav Zídek, Ph.D. Ing. děk Brdečko, Ph.D. Obsah. Předmlva.... Deformační (přetvárná) práce..... Přetvárná práce vnějších sl.....
VíceKřivky a plochy II. Petr Felkel. Katedra počítačové grafiky a interakce, ČVUT FEL místnost KN:E-413 na Karlově náměstí
Křvky a plochy II Petr Felkel Katedra počítačové grafky a nterakce, ČVUT FEL místnost KN:E-4 na Karlově náměstí E-mal: felkel@fel.cvt.cz S požtím materálů Bohslava Hdce, Jaroslava Slopa a úprav Vlastmla
VíceFourierovská optika a speciální optické aplikace
Forieroská optika a speciální optické aplikace Terminologie Vlnoá podstata sětla Difrakce Interference Vlnoý popis interakce foton optický sstém Holografie Optical compting Forieroa transformace f ( t)
Více[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201
6.. Gonometrcký tvar kompleních čísel I Předpoklad: 07, 09, 60 Pedagogcká poznámka: Gonometrcký tvar kompleních čísel není pro student njak obtížný. Velm obtížné je pro student s po roce vzpomenout na
Více1.6.5 Vodorovný vrh. Předpoklady: Pomůcky: kulička, stůl, případně metr a barva (na měření vzdálenosti doapdu a výšky stolu).
165 Vodoroný rh Předpoklad: 164 Pomůck: kulička, stůl, případně metr a bara (na měření zdálenosti doapdu a ýšk stolu) Pedaoická poznámka: Stejně jako předchozí i tato hodina stojí a padá s tím, jak dobře
Víceσ zrcadlení v rovině symetrie
Teore grup a molekuloé brace ronoážná konfgurace molekuly daném elektronoém stau prky symetre geometrcké entty (bod, přímka, rona) dentta E rotační osa n rona symetre střed symetre rotačně-reflexní osa
VíceTRANSPORT VLHKOSTI VE VZORCÍCH IZOLAČNÍCH MATERIÁLŮ
TRANSPORT VLHKOSTI VE VZORCÍCH IZOLAČNÍCH MATERIÁLŮ Gunnar Kűnzel, Mlosla Lnda Abstract V příspěku jsou uedeny analoge elčn a parametrů př transportu lhkost zorkem materálu e formě desky a elektrckém obodu.
Více(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení
.. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému
Více7.2.12 Vektorový součin I
7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
Více1. Základy měření neelektrických veličin
. Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Více4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VícePRACOVNÍ SEŠIT ANALYTICKÁ GEOMETRIE. 8. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online
Připrav se na státní matritní zkošk z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 8. tematický okrh: ANALYTICKÁ GEOMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online příprav
Více3. VEKTOROVÝ POČET A ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Euklidoský prostor. VEKTOROVÝ POČET A ANALYTICKÁ GEOMETRIE Průodce studiem Geometrii lze budoat metodou syntetickou nebo metodou analytickou. Při syntetické metodě pracujeme přímo s geometrickými objekty.
VíceStanislav Olivík POROVNÁNÍ DVOU METOD HLEDÁNÍ ODRAZNÉHO BODU NA POVRCHU ELIPSOIDU
5. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Stanslav Olvík POROVNÁNÍ DVOU METOD HLEDÁNÍ ODRAZNÉHO BODU NA POVRCHU ELIPSOIDU Abstrakt Úlohou GPS altmetre je nalezení odrazného bodu sgnálu vyslaného z
Více( ) 7.3.3 Vzájemná poloha parametricky vyjádřených přímek I. Předpoklady: 7302
7.. Vzájemná oloha aramericky yjádřených římek I Předoklady: 70 Pedagogická oznámka: Tao hodina neobsahje říliš mnoho říkladů. Pos elké čási sdenů je oměrně omalý a časo nesihno sočía ani obsah éo hodiny.
VíceOBSAH. Automatizace Obsah
Atomatizace Obsah OBSAH. Předmla.... Operační zesiloač.... Seznámení s operačním zesiloačem.....a Co to lastně je.....b Jak to lastně fngje... 4. Základní zapojení s operačním zesiloačem...6..a Komparátor...
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 10. Rozhodování při jistotě, riziku a neurčitosti
Teore her a ekonomcké rozhodování 10. Rozhodování př stotě, rzku a neurčtost 10.1 Jednokrterální dskrétní model Jednokrterální model rozhodování: f a ) max a Aa, a,..., a ( 1 2 f krterální funkce (zsk,
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceKatedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava
Katedra obecné elektrotechnky Faklta elektrotechnky a nformatky, VŠB - T Ostrava 3. ELEKTRCKÉ OBVODY STŘÍDAVÉHO PROD 3.1 Úvod 3.2 Základní pojmy z teore střídavého prod 3.3 Výkon střídavého prod 3.4 Pasvní
Více1) Zvolíme vztažný výkon; v tomto případě to může být libovolné číslo, například S v
A1B15EN kraty Příklad č. 1 V soustaě na obrázku je označeném místě trojfázoý zkrat. rčete: a) počáteční rázoý zkratoý proud b) počáteční rázoý zkratoý ýkon c) nárazoý proud Řešení: 1) olíme ztažný ýkon;
VíceStatika soustavy těles v rovině
Statka soustavy těles v rovně Zpracoval: Ing. Mroslav yrtus, Ph.. U mechancké soustavy s deálním knematckým dvojcem znázorněné na obrázku určete: počet stupňů volnost početně všechny reakce a moment M
VíceTRANSFORMACE BLOKOVÉHO SCHÉMATU NA CELKOVÝ PŘENOS
TRANSFORMACE BLOKOVÉHO SCHÉMATU NA CELKOVÝ PŘENOS Vladimír Hanta Vsoká škola chemicko technologická v Praze, Ústav počítačové a řídicí technik Abstrakt Algebra blokových schémat a požití Masonova pravidla
VíceBořka Leitla Bolometrie na tokamaku GOLEM
Posudek vedoucího bakalářské práce Bořka Letla Bolometre na tokamaku GOLEM Vedoucí práce: Ing. Vojtěch Svoboda, CSc Bořek Letl vpracoval svoj bakalářskou prác na tokamaku GOLEM, jehož rozvoj je závslý
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
VíceŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce
1) Šroubový pohyb ŠROUBOVICE Šroubový pohyb vznikne složením dvou pohybů : otočení kolem dané osy o a posunutí ve směru této osy. Velikost posunutí je přitom přímo úměrná otočení. Konstantou této přímé
VíceDigitální učební materiál
Digitální učení mteriál Projekt: Digitální učení mteriály e škole registrční číslo projektu CZ.1.07/1..00/4.07 Příjeme: Střední zdrotniká škol Vyšší odorná škol zdrotniká Huso 71 60 České Budějoie Náze
VíceMerkur perfekt Challenge Studijní materiály
Merkur perfekt Challenge Studijní materiály T: 541 146 120 IČ: 00216305, DIČ: CZ00216305 / www.feec.vutbr.cz/merkur / steffan@feec.vutbr.cz 1 / 15 Název úlohy: Kresba čtyřlístku pomocí robotické ruky Anotace:
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ GEODETICKÉ SÍTĚ MODUL 02 VYROVNÁNÍ GEODETICKÝCH SÍTÍ
OKÉ ČENÍ ECHNICKÉ RNĚ FKL ENÍ GEODEICKÉ ÍĚ MODL RONÁNÍ GEODEICKÝCH ÍÍ DIJNÍ OPOR PRO DIJNÍ PROGRM KOMINONO FORMO DI Ladsla árta a Frantšek oukup rno 5 ree: únor 6 Obsah OH Úod...5. Cíle...5. Požadoané
VíceFAS 420 Řada nasávacích kouřových hlásičů LSN improved version
Systémy EPS FAS 40 Řada nasávacích kořových hlásičů FAS 40 Řada nasávacích kořových hlásičů www.boschsecritysystems.cz Možnost připojení k ústřednám EPS FPA 5000 a FPA 00 s technologií LSN improved Vysoká
Více4/3.3. bodem v rovině (tvoří rovinný svazek sil), jsou vždy. rovnice z-ová. Pro rovnováhu takové soustavy
STROJNICKÁ PŘÍRUČKA čá s t 4, d íl 3, k a p to la 3, str. 1 díl 3, Statka 4/3.3 ROVNOVÁHA TĚLESA Procházejí-l po uvolnění tělesa všechny síly jedním bodem v rovně (tvoří rovnný svazek sl), jsou vždy splněny
VíceDodatek C: Lommelovy funkce dvou proměnných
DODATEK C: LOMMELOVY FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 45 Dodatek C: Lommeloy fnkce do proměnných C. Defnce Lommeloých fnkcí U ν, ), V ν, ) C. Určtý ntegrál yjádřený Lommeloým fnkcem C.3 Lommeloy fnkce pro specální
VíceUrčete počáteční rázový zkratový proud při trojfázovém, dvoufázovém a jednofázovém zkratu v označeném místě schématu na Obr. 1.
AB5EN Nesmetrické zkrat Příklad č. Určete počáteční rázoý zkratoý proud při trojfázoém, doufázoém a jednofázoém zkratu označeném místě schématu na Obr.. G T 0,5/0 kv = MVA u k = % T3 0,5/0 kv = 80 MVA
Víceqb m cyklotronová frekvence
Způsob popisu Pohb části poli nějším Pohb části selfonsistentním poli Kinetié ronie Hdrodnamié ronie * teutin * 1 teutina * magnetohdrodnamia Pohb části e nějším poli A) Homogenní pole a) E = d m q = =
Vícem cyklotronová frekvence
Způsob popisu Pohb části poli nějším Pohb části selfonsistentním poli Kinetié ronie Hdrodnamié ronie * teutin * 1 teutina * magnetohdrodnamia Pohb části e nějším poli A) Homogenní pole a) E = d m q dt
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceAnalytická geometrie v rovině
nltická geometrie roině Zč je toho loket (ořnice) ) [ ], [ 7], [ ], [ 5] ; b) = 7 j, = j, = 4 j, = 8 j, = j R M P 9 8 7 6 5 4 ) L[ 7], M[ ] ; b) Q[ ], R[ 5] 9 8 7 6 5 4 4 5 6 7 [ 5], [, 5], [ ] Q 9 5 c),
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
VíceBilance nejistot v oblasti průtoku vody. Mgr. Jindřich Bílek
Bilance nejistot v oblasti průtok vody Mgr. Jindřich Bílek Nejistota měření Parametr přiřazený k výsledk měření ymezje interval, o němž se s rčito úrovní pravděpodobnosti předpokládá, že v něm leží sktečná
VíceMĚŘENÍ INDUKČNOSTI A KAPACITY
Úloha č. MĚŘENÍ NDKČNOST A KAPATY ÚKO MĚŘENÍ:. Změřte ndkčnost cívky bez jádra z její mpedance a stanovte nejstot měření.. Změřte na Maxwellově můstk ndkčnost cívky a rčete nejstot měření. Porovnejte výsledky
Více[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2
4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch
VíceVkládání pomocí Viterbiho algoritmu
Vkládání pomocí Vterbho algortmu Andrew Kozlk KA MFF UK C Vkládání pomocí Vterbho algortmu Cíl: Využít teor konvolučních kódů. Motvace: Vterbho dekodér je soft-decson dekodér. Každému prvku nosče přřadíme
VíceFotbalový míč má tvar mnohostěnu složeného z pravidelných pětiúhelníků a z pravidelných šestiúhelníků.
FOTLOÝ MÍČ Popis aktivit ýpočt odchlek přímek a rovin v tělese, resp. velikostí úhlů, které svírají stěn a hran v mnohostěnu. Předpokládané znalosti Odchlka rovin a přímk, odchlka dvou rovin. Definice
VíceDODATEK. D0. Nejistoty měření
DODATEK D4. Příklad výpočt nejistoty přímého měření D0. Nejistoty měření Výklad základů charakterizování přesnosti měření podaný v kap..3 je založen na pojmech chyba měření a správná hodnota měřené veličiny
VíceGeometrické transformace pomocí matic
Geometrické transformace pomocí matic Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 2. dubna 2010 Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace ve 2D 3 Geometrické transformace ve 3D Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace
Více7.4.1 Parametrické vyjádření přímky I
741 Paramerické vyjádření přímky I Předpoklady: 7303 Jak jsme vyjadřovali přímky v rovině? X = + D Ke všem bodů z roviny se z bod dosaneme posním C o vekor Pokd je bod na přímce, posováme se o vekor, E
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceMetoda datových obalů DEA
Metoda datoých obalů DEA Model datoých obalů složí ro hodoceí techické efektiit rodkčích jedotek ssté a základě elosti stů a ýstů. Protože stů a ýstů ůže být íce drhů, řadí se DEA ezi etod icekriteriálího
Více7. série. Překvapení 1997 Y. k= Y a j 6 <3 3
Téma: Datmodeslání: 7. sére Překapení ¾ º Ù Ò ½ Problem 1. Fnd størsteærden for fnktonen for x det afslttede nteral[998, 999]. Problem 2. Lad a 1,..., a 1996 ærepostetalhsartmetskemddelærderlgmed1996.vs,at
VícePohon metra pomocí dvoustupňové čelní převodovky se svislou závěskou a následné umístění komponent pohonu
Pohon metra pomocí dostpňoé čelní přeodoky se sislo záěsko a následné místění komponent pohon Pael Kloda bstrakt Řešení konstrkce pohon metra pomocí dostpňoé čelní přeodoky se sislo záěsko. Snaha minimalizace
VíceOdchylka přímek
734 Odchylka římek Předoklady: 708, 7306 Pedagogická ozámka: Pokd chcete hladký růěh začátk hodiy, je leší dořed ozorit žáky, že do otřeoat zorec ro úhel do ektorů Př : Urči úhel, který sírají ektory (
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA
MASAYKOVA UNIVEZITA Přírodoědeká faklta OBÁLKY PLOCH teorie příklad aplikae BAKALÁŘSKÁ PÁCE Brno 3 Aleš Prhal Prohlašji že jsem na akalářské prái praoal samostatně a požití literatr edené senam s konltaemi
VíceKLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
VíceCentrovaná optická soustava
Centrovaná optická soustava Dvě lámavé kulové ploch: Pojem centrovaná optická soustava znamená, že splývají optické os dvou či více optických prvků. Základním příkladem takové optické soustav jsou dvě
VíceVektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky.
5 Vektor II Předpoklad: 4 Umíme už vektor sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složk Př : Na obrázku je nakreslena síla Nakresli do obrázku síl a tak, ab platilo = + Kolik má úloha řešení?
Více2.1.10 Lineární funkce III
..0 Lineární funkce III Předpoklad: 09 Minulá hodina Lineární funkce je každá funkce, která jde zapsat ve tvaru = a + b, kde a, b R. Grafem lineární funkce je přímka (část přímk), kterou kreslíme většinou
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2012 Ellnerová Veronika
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA BAKALÁŘKÁ PRÁCE 0 Ellnerová Veronka UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘKÁ
VícePřesnost nepřímých měření Accuracy of Indirect Measurement TITLE
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF AUTOMATION AND COMPUTER SCIENCE
Více2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL
. VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se
VíceCyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
VíceV = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2
Odození zorců pro ýpočet objemů porchů některých těles užitím integrálního počtu Objem rotčního těles, které znikne rotcí funkce y f(x) n interlu, b kolem osy x, lze spočítt podle zorce b V f (x) dx Porch
Více