VYSOKA S KOLA BA NSKA í TECHNICKA UNIVERZITA OSTRAVA. Fakulta strojnı katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı MECHANIKA TEKUTIN

Transkript

1 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin VYOKA KOLA BA NKA í TECHNICKA UNIVERZITA OTRAVA akulta strojnı katera romecanik a raulickc arıenı MECHANIKA TEKUTIN Jarosla Janalık í Pael áaa Ostraa

2 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı. U o Mecanika kaalin a lnu je castı obecne mecanik, stejnš jako mecanika tuc tšles. Zaba se ronoaou sil a kliu a obu tekutin. Pri s etroanı tooto obu se ouıa mnoa onatku a akonitostı mecanik tuc tšles. Nerilıı se ri tom k mikrostruktureú obu skutecne tekutin, tj. k obu jejıc molekul, kter je remštem kineticke teorie kaalin a lnu. Vlastnı mecanika kaalin a lnu uıa nškterc eerimentalnıc a statistickc onot sleku kineticke teorie. Obobnš jako je obecne mecanice aeen ojem motneo bou, stuuje ňloac romecanik ojem elementarnı objemú nebo lnu roumıme objem elmi mal roti romšrum rouu kaalin, ale ostatecnš elk leem k elce olne ra molekul, e ro ocet molekul obsaenc tomto objemu latı statisticke strenı onot kineticke teorie. Pro tento objem se ooujı t. bilancnı ronice umonujıcı efinoat aklanı akon tj. akon acoanı mot res. energie. Jestlie objem je tak mal, e nenı slnšn oslenı reokla, je nutno ri res enı jeu robıajıcıc tšcto tenkc rstacú caet kineticke teorie kaalin a lnu. Zaklanım roılem mei tekutinou a tum tšlesem je obliost molekul kaalin a lnu. Kaalin a ln tecou rouu omeenem enmi stšnami nebo torı roranı tekutin. Tue tšleso naroti tomu se obuje jako tu celek motnc bou, nerilııme-li k neatrnm eformacım. Kaalina olea nacnš štsım olnm eformacım. K urcenı aklanıc ronic ronoa a kliu a obu tekutin jsou ostacujıcı š lastnosti, a to sojitost a stejnoroost (iotroie). Hromecanika resı štsinu sc ňkolu na elementarnıc objemec tekutin, ro nš sestauje ronice ronoa. Tto aklanı iferencialnı ronice integruje a ouitım okrajoc, rıanš ocatecnıc, omınek ıskaa res enı. K urcenı ronoa ouıa s eobecnš latnc št mecanik. Zıskan matematick moel se ak resı buť eaktnš ci lanš oslenıc letec numerick. Poku eaktnı res enı blo leiska sloitosti ronic neostune a te otreb erifikace numerickeo res enı se ristuuje k eerimentu e ktereo la emiricke ci oloemiricke res enı. Recenent: Prof.Ing. Jarosla Koacek, Cc.

3 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 3. Zaklanı ojm.. Tekutina Pri res enı ňlo romecanice se caı resta tekutin jako sojiteo, stejnoroeo rostreı. tejnoroostı neboli iotroiı roumıme stejne lastnosti s ec castecek kaalin neaisle na jejic oloe a smšru usobenı sil. Tento reokla umonuje onš res it ňlo mecanik kaalin na olenem,elmi malem objemu kaalin, a ooene akonitosti rosırit na cel objem. Pri obu kaalin nımame jen jejı strenı ob. Ve skutecnosti jejı ob je sloitšjsı a orus uje tım iotroii tekutin, ktera se sak neustalmi mšnami molekularnı struktur nou obnouje. V romecanice je aeen ojem iealnı neboli okonale tekutin, ktera nema nitrnı trenı (be akosti) a je nestlacitelna. Tento ojem, ac nestiuje skutecnost, si toril clošk, nebo ooluje ooit jenous eji nšktere akonitosti. Dokonala tekutina mue bt namaana jen tlakem, atım co aka (skutecna) tekutina mue bt ele too namaana jistou smkoou silou (a obu). Tekutina je latka, ktera se na roıl o tuc tšles neratnš eformuje. Nema lastnı tar a a usobenı neatrnc tecnc sil se castice tekutin snano ueou o obu (jimkou jsou nšktere anomalnı Ú nenewtonske kaalin). Tekutin se šlı na. nestlacitelne, ktere usobenım tlaku, normalnc sil, jen neatrnš mšnı suj objem Ú sem atrı kaalin. Male objem kaalin torı kak. Kaalin aujımajı tar naob, lnujı jejı sonı cast a tarejı olnou lainu. stlacitelne te i roınae, ktere lnujı cel objem naob. Pole too a jejic sta je blıko ci aleko bou kaalnšnı jsou to buť ar nebo ln. olecn nae je us in. ta tekutin nacaejıcı se ronoae mue bt urcen tlakem, ustotou a telotou. a) Mšrn tlak ( rai raila onacoan jen tlak) je roen omšru elementarnı tlakoe sıl usobıcı kolmo na elementarnı los ku (i obr..): [Pa] Obr.. Urcenı lokalnı onot tlaku Mensı onot tlaku le mšrit omocı slouce kaalin ieometrickou trubicı (obr..)

4 4 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı a b n b b a retlak barometrick tlak otlak a a Obr.. Mšrenı tlaku Obr. a Mšrenı tlaku ieometrickou trubicı, je-li naobš tlak štsı ne je tlak barometrick Obr. b cema mšrenı barometrickeo tlaku b rtu om barometrem, n je tlak nascenc ar Obr. c Absolutnı tlak ar a, retlak a otlak se oecıtajı o barometrickeo tlaku. Je-li na lainou kaalin uarene naobš tlak a štsı ne barometrick tlak b, kter usobı na lainu kaalin oterenem konci ieometricke trubice, ak laina trubici se ustalı e s ce. Pusobı-li na kaalinu jen graitacnı rclenı, torı se oorona laina, co je soucasnš geometricke mısto bou se stejnm tlakem ronm barometrickemu tlaku. Vs ecn oorone roin buou take iobaricke loc, ale rotoe na castice nıe oloene bue usobit sou tıou castice kaalin nacaejıcı se na nimi, bue tlak s loubkou narustat. Na oorone roinš rocaejıcı lainou naobš, obr..a, je sue tlak roen a soucasnš je tento tlak i ieometricke trubici loubce o lainou, tj. mıstec, ke mınšna oorona roina rotına. Ze je mono efinoat omınk ronoa. Uolnšme si nnı tento slouec kaalin. Z ronoa sil usobıcıc na slouec kaalin o s ce a o rureu nacaejıcı se trubici: b g lne, e absolutnı tlak a res. retlak a b g b a g (. ) (. ) Absolutnı tlak se oecıta o nuloe onot tlaku, retlak a otlak se oecıtajı o barometrickeo tlaku (obr..c). Na obr..b je nanaceno mšrenı barometrickeo tlaku rtu om barometrem: uc usobı na lainu rtuti naobce manometru tlakem a tlacı o akuoane trubice rtu o slouec o s e. Na lainou rtuti trubici je tlak roen jejımu tlaku nascenc ar. b) Hustota (mšrna motnost) je rona omšru motnosti elementarnı castice tekutin m k jejımu elementarnımu objemu V, obkloujıcımu bo, nšm ustotu urcujeme m V [kg.m -3 ] Preratna onota ustot je mšrn objem V m [m 3.kg - ] (.3 )

5 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 5 Hustota kaalin se mšnı s tlakem a telotou jen neatrnš a bueme ji oaoat a konstantnı: konst. Hustota lnu je funkcı staoc elicin tj. tlaku a telot T ( K). Pro jejı ocet se bue ouıat jenouca staoa ronice iealnıo lnu r T (.4 ) ke r (J.kg -.K - ) je mšrna lnoa konstanta, jejı elikost aisı na ruu lnu. c) Telota T ( C, K). V nas em rıaš se roušnı bue oaoat a iotermnı Tkonst. Uaj telot bue slouit jen ro resne urcenı arametru tekutin jako je ustota a iskoita... ikalnı lastnosti tekutin Kantitatinı ta romecanice se jarujı ronicemi, graf, iagram ao. Velicin a jejic mšroe jenotk jsou urcen Meinaronı mšroou soustaou I (steme International ČUnites), kterou uaı C N 3, C N 3 a alsı. Zaklanımi elicinami jsou elka, motnost, cas, elektrick rou, termonamicka telota, latkoe mnostı, sıtiost a olnkoe elicin roinn ňel a rostoro ňel. Zaklanımi jenotkami jsou (C N 3) metr, kilogram, sekuna, amer, kelin, mol, kanela a olnkoe jenotk raian a steraian. V mecanice, a tım i romecanice, se stacı ri formulaci onatku s tšmito aklanımi elicinami: elka L [m], motnost m [kg], cas t [s]. Ostatnı elicin jsou ooene elicin na aklaš efinicnıc ronic (C N 3). Zaklanı a ooene elicin aloene na soustaš efinicnıc ronic torı soustau elicin. ocıta jsou tto: Velicin, ktere urcujı fikalnı lastnosti kaalin a s nimi se romecanice nejcastšji Objemoa stlacitelnost je lastnost tekutin a tšles mens oat suj objem ri s oanı tlaku. tlacitelnost se jaruje soucinitelem stlacitelnosti, k ňbtek objemu olan stlacenım slnuje ronici V δ V ke V je ňbtek objemu V usoben tlakem. Preracena onota objemoe stlacitelnosti κ je moul objemoe runosti kaalin K V δ V Z recaejıcıc ronic la ta ro objem kaalin o stlacenı V V K (.5 ) (.6 ) Pri stlacoanı kaalin se jejı motnost nemšnı, roto le sat m V konst. Diferencoanım se ostane.v V., ceo ro mšrnou objemoou mšnu la ta V V. Moul objemoe runosti kaalin le te jarit takto

6 6 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı K Romšr moulu objemoe runosti kaalin riomına moul runosti tau tuc latek, tj. tlak, kter a reoklau, e stlacitelnost je konstantnı, neaisı na tlaku a latı neomeenš, mensı uonı objem kaalin na oloinu (analogie Hookeoa akona). Pro ou je moul objemoe runosti K, 9 Pa tlacitelnost le ronš carakterioat rclostı uku a, to je rclostı, kterou se e stlacitelnem rostreı sırı male mšn tlaku. Za reoklau ioentroicke (aiabaticke) staoe mšn ro rclost uku latı a K κ κrt (.7 ) κ je iotermick eonent,4 Telotnı rotanost tekutin carakteriuje mšnu objemu a ustot tekutin. oucinitel objemoe rotanosti je V β, ke V je V o -V V t konst (.8 ) Z teto ronice la ta ro objem o aratı V ( t) V β (.9 ) Viskoita tekutin se rojeuje a obu skutecnc kaalin. Pobujı-li se sousenı rst kaalin runmi rclostmi, nika na jejic roranı smkoe trenı, ktere branı obu. Pomalejs ı rsta je rcloana a naoak ase rclejsı brťoana. Zmens enı rclosti je usobeno tecnou silou, ktera je olana nitrnım trenım nebo iskoitou ci akostı kaalin. Ponamka: akost le sštlit omocı kineticke teorie kaalin. Molekul, kterou se obujı ostunou rclostı, konajı ele lanıo obu lastnı ob elmi rcle a runc smšrec. Dra, ktere robšnou molekul sekunarnım obem jsou elmi male, ale ostacujı k tomu, ab ronikl ms lenou šlıcı roinou mei rstami kaalin. Dalsı sıl, ktere se ri tšcto obec ulatnujı jsou meimolekularnı. Tto sıl brı osan ob. U lnu, jejic teeln ob molekul relaa na silami meimolekularnımi, rusta s enım telot rclost teelneo obu molekul a tım roste i iskoita lnu. Tento onatek je e soš se skutecnostı. U kaalin je tomu obracenš. U nic jsou jes tš osti rane meimolekularnı sıl roti teelnemu obu molekul. Zs enım telot ocaı k inteninšjsı mšnš bnostı castic obujıcıc se rstac kaalin a tecne naštı se mens uje. U kaalin klesa akost s rostoucı telotou. ole Newtona mkoe naštı (tecne) o akosti nebo kracenš ake naštı je urceno klasickou formulı τ η (. )

7 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 7 ke η je namicka akost je graient rclosti e smšru kolmem na smšr obu V soustaš I je romšr koeficientu namicke akosti N s m kg m s [ η] Pa s (. ) τ τ Ve octec se elmi casto sktuje ra η, kter je onacoan Obr..3 mkoe naštı o graientu rclosti jako kinematickaakost. η (. ) Romšr kinematicke iskoit la efinice 3 kg m m s kg [ υ] m s (.3 ) Romšr kinematicke iskoit neobsauje jenotk motnosti ani sıl. Romšr namicke akosti obsauje jenotku sıl, roto bla tato akost onacena jako namicka, nebo namice se s etrujı rıcin obu, tj. sıl. Dnamicka a kinematicka akost aisı na ruu tekutin. Jejic onot jsou ro štsinu tekutin tabeloan. Vakost kae tekutin aisı na telotš a tlaku, te na staoc elicinac. Tto aislosti jsou an oloemirickmi ronicemi, tto jsou uašn oborne literature. Vakost kaalin se mšrı iskoimetr, nic nejbšnšjsı jsou kailarnı, tokoe,rutokoe, rotacnı, tšlıskoe a jine. Jako toko iskoimetr se Eroš nejcastšji ouıa iskoimetr Engleru. Mšrıtkem akosti jsou Englero stunš E se urcı jako omšr toku τ koumane kaalin o objemu cm 3 τ ri urcite telotš t k tokoe obš τ o ri C teo iskoimetru Ú neboli E. Vtokoa τ oba musı bt romeı (5 a 5)s, elikost a tar Engleroa iskoimetru jsou an normou. Pro reocet Engleroc stunu slouı emiricke orce, nar. 6.3 E 6 ν 7.3 E ; [ ν ] m s (.4 )

8 8 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı Porcoe naů tı. Kaalina na roranı se nacuje olis nmi lastnostmi, rınacnmi ro ostatnı objem kaalin. Roranı kaalin se jeı jako otaene elmi tenkou a najatou rstou. Prıcinou orcoeo naštı jsou sıl usobıcı mei molekulami kaalin. Unitr kaalin je kaa molekula obkloena ostatnımi e sec stran, take se jejic ritalie sıl ronaajı. U roranı jsou molekul obkloen jen jene stran, jejic sıl se neronaajı rue stran, a roto na molekulu usobı sıla R smšrujıcı onitr kaalin. Ponša usobenı jenotlic molekul je omeeno na elmi malou oblast, rojeuje se tato neronoaa meimolekularnıc sil jen neatrne rstš kaalin na lainš. Pri remıstšnı casteck kaalin na roranı, se kona silou R race. Molekul na roranı majı ssı otencialnı energie roti molekulam unitr kaalin. Porcoe naštı je omšr orcoe energie k los e roranı σ. Porcoe naštı se efinuje te jako sıla, ktera usobı na jenotku elk roranı, a to kolmo k teto elce, a roinš orcu. ıla, kterou je nar. mlinkoa blana rotaoana ramecku s osunmi tckami AB a CD (kaa elk l), je ana raem σ l, neboé elka namaaneo orcu je l a orcoe naštı je σ. Zštsı-li se orc blan rotaenım o elku, kona se race A σ l. Touto racı se štsı orcoa energie kaalin. Na jenotku elk roranı riaa te sıla l R R Obr..4 ıl unitr kaalin C A` A a oblı roranı l A σ l σ l l [N. m - ] (.5 ) Porcoe naštı urcite kaalin aisı na ruu latek, ktere torı roranı. Kaalina se mue stkat s enou latkou, kaalinou nebo lnem. Vnik orcoeo naštı bl sštlen neronoaou molekularnıc sil a reoklau, e kaalina s nicım nesouseı. Ve skutecnosti je obkloena jinou latkou, a enou, kaalnou, ci lnnou, a roto meimolekularnı sıl o lastnı kaalin se buou ronaat s kalitatinš stejnmi silami sousenıo rostreı. Vslene orcoe naštı bue ano ektorom souctem obou sloek. Kailarita se sktuje u trubicek elmi maleo rumšru Ú kailar, nebo orenım rostreı. K aenı sıl jsou štsı ne koenı, stuuje kaalina kailare o s k. V oacnem rıaš, k koenı sıl jsou štsı ne aenı, ustaa kaalina kailare o s ku nıe ne je laina okolnı kaalin. Prıslus ne s k se ajı socıtat omınk ronoa mei graitacnımi silami a orcomi silami: πσ π g 4 B obr..5 K efinici orcoeo naštı D B` ceo 4σ g E a (.6 )

9 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 9 a > k H O a < k H g Obr..6 Kailarnı eleace a erese Poslenı ta se a ouıt te k urcenı orcoeo naštı σ. Porcoe naštı o je σ,7 Nm -,7 kg s -. Tlak nascenc ar je onota tlaku ar na lainou kaalin, ricem nastaa ronoaa mei octem molekul oous tšjıcıc kaalinu a racejıcıc se št. U jenoslokoc kaalin aisı oue na telotš a roste s telotou. Cım je tlak nascenc ar kaalin ri ane telotš ssı, tım je kaalina tškašjsı. Tlak na lainou kaalin musı bt ssı, ne je tlak nascenc ar, jinak b molo ojıt k rukemu oarenı (aru). Klesne-li tlak unitr kaalin o onotu tlaku nascenc ar, ocaı ke niku kaitace. Tlak nascenc ar ro ou se a oecıst arnc tabulek.

10 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı 3. Tlakoe omů r kaalinů a kliu 3.. Tlak a jeo u sobenı Hrostatika se aba ronoaou sil usobıcıc na kaalinu a kliu. Ronoaa kaalin a kliu nastane te, k jejı castice se uci sobš neobujı, to namena, e tar objemu kaalin se nemšnı. V tom rıaš je u skutecne kaalin smkoe naštı o akosti nuloe a secn ronice latı i ro skutecnou kaalinu. Do rostatik atrı i rıa relatinıo kliu, k kaalina uci stšnam je kliu, ale cela soustaa (nar kaalina) konajı ob. ıl, ktere moou usobit na kaalinu le rošlit obecnš o ou skuin, a to sıl los ne a motnostnı (neboli objemoe). Plos ne sıl (te orcoe) usobı na orc uaoaneo objemu kaalin, roto jejic elikost aisı na elikosti loc.. Plos ne sıl jsou nar. tlak kaalin, trenı o akosti obujıcı se kaalin, ao. Hmotnostnı sıl jsou ňmšrn motnosti, (ktera je ňmšrna objemu kaalin), m a. ma V. Jsou to nar. tıa kaalin, setracna sıla, ostreia sıla ao. an omšrem Tlak kaalin je tlakoa sıla, usobıcı na jenotku loc. Je-li tlak ronomšrnš roloen, je Pri neronomšrnem roloenı tlaku je an obecnš. Tlak usobı kolmo na locu a urcitem mıstš je e s ec smšrec stejn, neaisı te na sklonu los k, na kterou usobı. Toto trenı si nnı okaeme. Kb usobila na los ku sıla nikoli e smšru normal, ala b se roloit na sloku normalnou a tecnou. Tecna sloka tlaku b si nutila ob castecek kaalin, ktere neklaou ajemnemu osunutı oor. Protoe tekutina je kliu, musı tlak usobit kolmo na locu. t n Obr.3. Pusobenı tlakoc sil na stšnu naob Z too lne, e na tekutinu nacaejıcı se e stau ronoanem moou usobit jen sıl normalne, res. naštı. V tecnicke rai se bue jenat o tlak, nebo jen okonale ciste a ous nšne kaalin moou oolaat tau. Penost tau secialnš neuraenc kaalin je riblinš rona nule a e octec reoklaame, e k orus enı kontinuit kaalin oje mıstec, ke tlak klesne o onotu tlaku nascenc ar a oje e k aru Ú mšnš fae. Velikost tlaku urcitem mıstš unitr kaalin, tj. rostatick tlak, neaisı na smšru a je te skalarnı elicinou. Pri oooanı tooto trenı se reoklaa, e tlak na stšnac ctrstšnu ( obr. 3.) je run (,, ). Na s ikmou stšnu usobı tlak a tuı tlakoa sıla. Tento tlak usobı e smšru

11 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin normal loc, je sıra s osami,, ňl α, β, γ. Ponša tekutina je kliu, musı bt slnšn staticke omınk ronoa sil: ; ; ; M ; M ; M Ponša tlak na locu ctrstšnu jsou konstantnı, usobı slene tlakoe sıl tšis tıc trojňelnıku. Ploc trojňelnıku, a jsou rumšt loc, co latı i o jejıc tšis tıc. Take slene tlakoe sıl se rotınajı jenom boš a momentoe omınk ronoa jsou slnšn. tacı te uaoat jen bajıcı omınk ronoa sil. Ve smšru os usobı tlakoa sıla a sloka tlakoe sıl o smšru os, tj. cosα. Ostatnı sıl jsou kolme na osu, a roto jejic slok jsou nuloe. Prnı omınka staticke ronoa sil je ana nas em rıaš ronicı cos α ( 3.) cili α, β, γ Obr.3. K ooenı akona o sırenı tlaku Po osaenı rıe ueenc rau ostaneme cos α O locac a blo ueeno, e je rumštem loc, ro kter latı cosα. Pomınka ronoa sil se uraı omocı oslenı ronice a ostane se ro smšr os ( 3. ) Poobnš rue š omınk ronoa sil jsou an ronicemi cos β ; cos β ; cos β cosγ ; cosγ ; cosγ cili Vla te omınek staticke ronoa sil ronost tlaku na locac ctrstšnu ( 3.3 ) ikma loca bla olena liboolnš. Vsleek le es eobecnit: Tlak usobı anem mıstš kaalin s emi smšr stejnš a neaisı na sklonu loc, tn., e tlak je skalarnı elicina. Tento akon latı obecnš. Je treba onamenati, e jinem mıstš kaalin bue onota tlaku obecnš jina, matematick jareno (,, )

12 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı 3.. Euleroa ronice rostatik,, σ σ σ Obecnm ňkolem rostatik je urcenı tlaku liboolnem mıstš tekutin, ktera je ronoae, tj. stanoenı skalarnıo ole (,, ). Ukol roloıme o eta. Pomocı Eulero ronice rostatik urcıme rırustek tlaku nekonecnš blıkem boš a integracı tšcto ronic oel krikoeo integralu stanoıme ak konecn roıl tlaku mei ocatecnım a konecnm boem krik. Euleroa ronice rostatik je obecna omınka ronoa sil usobıcıc na kaalinu kliu. Na kaalinu nec usobı obecnš motnostnı sıla o a slenice tlakoc sil. Ronoaa sil je jarena ronicı o. Na jenotku motnosti kaalin usobı nšjs ku sıla a m a roesat omocı sloek a ia ja ka Obr.3.3 K ooenı Eulero ronice rostatik, co je rclenı, ktere se. Zolı se elementarnı objem kaalin e taru ranolku o stranac, a ronobšnc se olenmi osami,,. Tlakoe sıl usobene o usobı na orcu ranolku, a to e trec kolmc smšrec. Protoe los k jsou nekonecnš male, je mone oaoat tlak a konstantnı. Na los ku usobı tlakoa sıla e smšru os, a roto je onacena. Poobnš ostatnıc smšrec usobı tlakoe sılu na los ku a tlakoa sıla na los ku. Pomınka ronoa la ošt obecnc omınek staticke ronoa sil. Protoe s ecn sıl usobıcı na ranolek rocaejı jenım boem (tšis tšm ranolku), jsou slnšn momentoe omınk. Ve smšru os usobı na olen ranolek los ne sıl a na š los k, jejıc normal jsou ronobšne s osou. Tlakoa sıla na leou los ku je urcena elikostı los k a tlakem, cili latı ta. Na raou los ku, ktera je alena o lee los k o elku, usobı tlak, nebo obecnš je tlak kaalin funkcı olo (,, ), a tlakoa sıla je urcena taem ( ). Tlak usobı oacnm smslem ne je klan smsl os, roto slenice ueenc tlaku je ř. Ostatnı los ne sıl majı smšr kolm na osu, roto jejic slok jsou nuloe a ocıtana sıla je slenicı s ec ooronc sloek tlakoc sil. Kromš los nc sil (tlakoc) usobı na olen ranolek kaalin motnostnı sıla. Jejı sloka e smšru os bue ana taem o m a, ke m je motnost ranolku kaalin a a je sloka rclenı (motnostnı sıla na jenotku mot) e smšru os. Hmotnost m se a jarit omocı objemu ranolku m V, take objemoa sıla o a. Pro ronoau sil e smšru os musı te latit a, o o ( 3.4 ) a o ňraš ( ) a

13 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 3 a ( 3.5 ) Protoe tlak kaalin je obecnš funkcı olo, latı (,, ) a rırustek tlaku je ( 3.6 ) Ka clen rae stran oslenı ronice uaa mšnu tlaku ri iferencialnı mšnš rıslus nc souranic. Jejic fikalnı nam je te rırustek tlaku ri osunutı e smšru narıkla os, take. Poobnš ostatnıc smšrec latı a tau se uraı ooena ronice ronoa sil osaenım a takto: a a co je leana obecna omınka ronoa sil e smšru os. Pro slok e smšru os a le sat cela analogick ronice a a. Pomocı oslenıc ( 3.7 ) ( 3.8 ) ( 3.9 ) Poslenı tri ronice jarujıcı omınk ronoa kaalin a kliu jsou Eulero ronice rostatik. Jestlie oslenı ronice naıs eme ektoroš a secteme, ostaneme jenu ronici a gra ke a je slene rclenı nšjsıo siloeo ole a ia ja ka a graient tlaku urcen taem gra i j k ( 3. ) ( 3. ) ( 3. ) Euleroa ronice rostatik je aklanı ronicı k urcenı tlaku oli tlakoc sil. Z Eulero ronice la, e tlak kaalinš aisı na motnostnıc silac. Obecnš le sati ro mšnu tlaku rıe ueenou ronici Ponša graient tlaku e s ec smšrec se ajı jarit motnostnımi silami Euleroc ronic a, a, a, je leana obecna iferencialnı ronice ro tlak ana taem

14 4 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı ( a a a ) ( 3.3 ) Toto je obecna iferencialnı ronice tlakoe funkce (,, ). C len aorce jsou soucin motnostnıc sil a rıslus nc osunutı e stejnem smšru, take jejic fikalnı nam je race riaajıcı na jenotku motnosti. Integracı oslenı iferencialnı ronice se urcı tlakoe funkce ( a a a ) (, ), ( 3.4 ) 3.3. Hlainoe loc Hlainoe loc jsou mısta s konstantnı onotou skalarnı elicin, orıaš s tlakem konst.. Prırustek tlaku mei šma bo leıcımi na stejne lainš musı bt roen nule, co latı i ro soumene bo,. Dosaenım o (ro.3.3) ostaneme obecnou ronici lainoc loc iferencialnım taru a a a Hlainoe loc jsou kolme k ektoru intenit motnostnıc sil a. Platı e ( 3.5 ) Dosaenım o (3.3) a cosψ r lne, e cosψ, a te ψ π, a r jsou o nul roılne. Tım je okaano, e tlakoe loc jsou kolme na slene rclenı, te na slenou motnostnı sılu. Ve smšru ektoru a, kter je son se smšrem normal k lainoe roste tlak nejrcleji, nebo a a λ 9 o s λ a s s λ konst Obr.3.4 Re soumenmi lainomi locami ( 3.6 ). n r b Hlainoe loc majı ňloac rostatik elk nam, reesım sak loca roranı mei okolnım ousım a kaalinou. lainoa 3.4. Roloenı tlaku kaalinů Na kaalinu naobš usobı motnostnıc sil jen tıe emska. V liboolnem mıstš kaalin bue tlak (,, ) urcen iferencialnı ronicı (3.3) ooenou recoıc ostacıc ( a a a ).

15 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 5 Za usobenı jen tıe emske je a -g, a a. Zrclenı tıe emske je nutno osait se aornm namenkem, onša tıe usobı oacnm smslem ne je olen smsl os. Diferencialnı ronice se te jenous ı a integral je g g konst. Integracnı konstanta se urcı okrajoe omınk. Na roranı kaalin je tlak ousı. ( 3.7 ) Pro tuto lainu latı,. Dosaenım o oslenı ronice se octe integracnı konstanta: ceo g konst r konst g a leana aislost tlaku je g g g ( ) a osaenım ř se ostane g ( 3.8 ) ke je sisla alenost uaoaneo mısta kaalinš o lain tlaku ousı. Jestlie uaoan bo leı o lainou, je > (klane); k je bo s e ne laina tlaku ousı je < (aorne). Ueen ta latı ro kaalin, na nš usobı tıe emska, a to nestlacitelne, nebo ri integraci bla mšrna motnost oaoana a konstantu. naob. Za tooto reoklau je ronice tlakoc lain g O Tlakoe lain kaalinš a usobenı tıe emske jsou oorone roin. Pri ooenı ronic tlakoc lain se reoklaa, e naoba s tekutinou nenı rolela tak, ab blo nutne rilıet k akrienı orcu emskeo. Pro naob s malmi locami leem k emskemu orcu se te reoklaa, e graitace usobı sisle olu, a to e sec mıstec, ( 3.9 ) co la obecne iferencialnı ronice ro tlakoe lain o osaenı motnostnıc sil uaoaneo rıau a -g, a a. Integracı se ostane ronice tlakoc lain g konst, co jsou ronice ooronc loc: konst. Tlak se a jarit absolutnı nebo relatinı onotou. Absolutnı tlak je taen k absolutnı nule, tj. k akuu, atımco relatinı tlak je taen o smluene onot tlaku, kterm je tlak ousı. Platı te g g Obr.3.5 Kaalina ri usobenı sıl tıe emske

16 6 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı, a r ke a je absolutnı tlak, r je relatinı tlak, je tlak ousı. Poronanım s ooenm raem g, la, e je to absolutnı tlak. Relatinı tlak olan ňc inkem slouce kaalin je an raem g. K onacenı absolutnı a relatinı onot tlaku se neouıa ineu a a r, as ak je treba ňaj olnit, o kter tlak je. Nar Pa abs.; 7,. 4 Pa r. Ponša tlak kaalin aisı na s ce slouce kaalin a jejı mšrne motnosti: g, le tlak jarit s kou kaalinoeo slouce, tj. stanoit tlakoou s ku. g 3.5. Pascalu akon Betın sta je carakterioan onotou a. Z ronice ( 3.3 ) a o integraci konst. tj. tlak unitr kaalin je s ue stejn. U kaalin Ú kaicek Ú to nelatı resnš, nebo se ulatnı orcoe naštı. Obr.3.6 Princi raulickeo lisu. g << konst celem objeu kaalin je konstantnı. obecnš s ak (,, ) ZsımeÚli urcitem mıstš tlak, treba na roranı kaalin s jinou faı sı se i celem objemu kaalin, co je obsaem Pascaloa akona: tlak kaalinš se sırı ronomšrnš semi smšr. Too se uıa nar. u raulickc eaku a lisu. Pusobıme-li na mal ıst silou, olame na elkem ıstu sılu >. Tlak.

17 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 7 4. Tlakoe sıl 4.. Voorone roinne loc Tlak kaem boš ooroneo na naob je stejn g. Je te ronomšrnš roloen o cele los e a slena tlakoa sıla je rona g. Tlakoa sıla usobı kolmo na locu. Obr.4. ıla na no oorone naob oucin oslenı ronici restauje objem kaalin nacen obraku s rafoanš, rotoe Vra g V restauje tıu objemu V nalnšneo. Le te sat te ronici g V g. kaalinou o mšrne motnosti. Zatšuje te tıoa sıla g g V locu. TΔleso o objemu V restauje te atšoacı obraec, kter je omeen tšmito locami: ) tlakoou lainou tlaku ousı konst ) locou, na nı ocıtame tlakoou sılu 3) las tšm (alce nebo ranolu) niklm osanım rımk ronobšne s slenicı tlaku okolo obrsu loc. Jestlie naoba ma bocnı stšn jine ne sisle, je slena tlakoa sıla na no ana stejnm raem, V V V V Obr.4. Hrostaticke araoon a atšoacı obraec nebo sisla alenost loc o lain je konstantnı, a tuı tlak na nš je g & konst. Poobnš objem atšoacıo obrace ueene efinice bue e sec rıaec stejn, take slena tlakoa sıla je ronš stejna. Neaisı na taru bocnıc stšn naob, co je rostaticke araoon. 4.. ikme roinne loc Na roıl o ooronc loc je na s ikme roinne stšnš naob tlak romšn. Vslenice tlakoc sil se urcı integracı elementarnı tlakoe sıl na los ce. Na olenou los ku usobı tlakoa sıla g. Vslenice je ak ana integralem g ( 4. )

18 ( ) 8 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı α t T t T P sılu je Pro ňseck a latı na cele los e ta Obr.4.3 ıla na s ikmou roinnou locu sinα g sin α g sinα M, nebo a o osaenı o ronice ro tlakoou M je statick moment loc k ose. Osa je urcena rusecnicı lain konst a bocnı stšn naob. tatick moment loc k ose je te urcen taem M t take ra ro tlakoou sılu se uraı g sinα t ; nebo t sinα t, slena tlakoa sıla na s ikmou roinnou locu ana taem g t t ( 4. ) ( ) V P 9 o Obr.4.4 Definice atšoacıo obrace V oslenı ronici je t sisla alenost tšis tš loc o tlakoe lain tlaku ousı ; oobnš t je tlak tšis ti loc. Tlak t restauje strenı onotu tlaku na los e. mšr slenice tlakoe sıl je kolm na locu, to namena, e je toton se smšrem normal k los e. Pusobis tš tlakoe sıl na s ikmou locu je s etroano ošji. Drıe se ooı ra ro tlakoou sılu na roinnou s ikmou locu omocı objemu atšoacıo obrace. Tlakoa sıla na element s ikme roin je g, jak blo ueeno rıe. Ab soucin restaoal elementarnı objem V, musı bt kolme na. kloenım s k o smšru normal loc se ostane ranolek o aklanš a s ce, jeo objem je V. oucet s ec objemoc elementu na celou locou urcuje objem V, nebo g g V gv kloene s k urcujı skloenou lainu ( ), ktera je roinna. K jejımu urcenı stacı skloit sku liboolnem boš o lainou o smšru normal k los e. ojnice

19 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 9 tooto bou s rusecıkem lain a s ikme roin urcuje skloenou lainu. Plas atšoacıo objemu tšlesa. V je toren rımkami ronobšnmi s normalou k los e, jen oısı obrs loc. Pro tlakoou sılu na s ikmou roinnou locu je te mono sat gv. Objem atšoacıo obrace V se octe jako objem skoseneo alce nebo ranolu a je urcen tšmito locami: ) locou ) lainoou locou ( konst) skloenou (sestrojı se skloenım s k liboolneo bou loc o lainou o smšru normal, tj. o smšru slenice tlaku, a sojenım jejıo konce s rusecıkem ) 3) las tšm torenm rımkami ronobšnmi s tlakoou sılou na obrsem loc Objem V skoseneo ranolu se urcı jako soucin aklan a s k t tšis ti loc, neboli V t. Pusobis tš P tlakoe sıl se a urcit ocetnš. Moment elementarnıc tlakoc sil k ose je an ronicı M. Vslen moment tšcto elementarnıc tlakoc sil musı bt stejn jako moment slenice tlakoe sıl. Platı te M ceo M g sinα gj sinα gj sinα J g sinα M J moment setracnosti loc k ose M statick moment loc k ose Pole teinero št je J J t t, take J t t t t t M t J J M t g sinαj, ( 4.3 ) Valenost usobis tš P tlakoe sıl o tšis tš loc je J t M t ( 4.4 ) Protoe raa strana ronice je klana, je. To namena, e usobis tš P tlakoe sıl na s ikmou roinnou locu je o tšis tšm T. Poobnš se urcı rua souranice usobis tš tlakoc sil momentu k ose : M M g sinα gj sinα gj sinα g sinα J g sinαj ( 4.5 ) J je eiacnı moment loc k osam,, M statick moment loc k ose.

20 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı Nšk je treba urcit slok tlakoe sıl na s ikmou roinnou locu, a to e ooronem a sislem smšru. Tto slok se moou urcit roklaem slenice sinα a oobnš cosα nebo se urcı rımo, ani se ocıta slenice. Pro elementarnı sislou sloku latı g cosα g gv ( 4.6 ) Integracı se ostane gv, ke objem V atšoacıo obrace je ole obraku urcen: ) locou ) lainoou locou konst 3) las tšm torenm sislmi rımkami ( ronobšnmi se slokou tlakoe sıl ) na obrsem loc Zatšoacı obraec V je kosene tšleso. Pusobis tš sisle slok tlakoe sıl je ano tšis tšm objemu V atšoacıo obrace. Poobnš ro elementarnı ooronou sloku tlakoe sıl latı g sinα g gv ( 4.7 ) Ab soucin restaoal elementarnı objem V, musı bt s ka a los ka na sobš kolme. Proto se s k sklašjı o ooroneo smšru (tj. o smšru uaoane slok ). α α V V α β ( ) V ( ) V V V Obr.4.5 Zatšoacı obraec ro slok tlakoe sıl 4.3. Tlakoa sıla na krie loc Na krie los e je tlak kaalin liboolnem mıstš urcen raem g. Na olen los n rek usobı tlakoa sıla g e smšru kolmem na. Vektorom souctem tšcto elementarnıc tlakoc sil o cele krie los e se ostane slenice tlakoe sıl na kriou locu. K integraci je aotrebı analtickeo jarenı loc a ronš aislost ro s ku, co ee raila ke louam octum. V V V V ( ) V ( ) V Obr. 4.6 lokoa metoa urcenı atšoacıo obrace

21 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin Pri octu tlakoc sil na krie loc se ouıajı š meto, a to slokoa a metoa naranıc loc. lokoa metoa socıa tom, e se urcı nejrıe slok e olenc smšrec, raila sisla a oorona. Na olen los n rek usobı elementarnı sisla sloka tlakoe sıl cosβ gcosβ g gv. Vslena sisla sloka tlakoe sıl se ostane integracı g g V gv ( 4.8 ) isla sloka je urcena tıou atšoacıo obrace V. Jak je atrne obraku, objem V je urcen stejnm usobem jako u s ikme roin s tım roılem, e mısto nı je kria loca. Objem V je te omeen tšmito locami: ) kriou locou ) tlakoou lainou tlaku ousı konst 3) las tšm torenm sislmi rımkami ( ronobšnmi se slokou tlakoe sıl ) na obrsem loc Pusobis tš sisle slok tlakoe sıl na kriou locu je tšis ti objemu V atšoacıo obrace. Poobnš le urcit ooronou sloku tlakoe sıl g cos α g g V gv ( 4.9 ) oucin restauje objem V, jestlie s ka je kolma na rumšt loc. Proto se kaem boš krie loc skloı sisla s k ( sisla alenost o tlakoe lain tlaku ousı) o ooroneo smšru, cım je. Ab ocet objemu V bl snanšjsı, osunou se elementarnı objem V o liboolnš olene sisle roin. Ponša osunutım se objem nemšnil co o elikosti, je takto uraen objem V stejnš elk jako uonı. Zatšoacı obraec torı skosen alec nebo ranol. Jejic aklanou je rumšt krie loc o sisle roin. Tım se osšlo k elmi uleitemu onatku o tlakoe sıle na krie loc: g s Vslena oorona sloka tlakoe sıl na s ikmou roinnou locu je ana integracı, cili gv, ke objem V atšoacıo obrace je an tšlesem skosenm šma neronobšnmi roinami. Posunutım elementarnıc objemu o liboolnš olene sisle roin remšnı se tar tšlesa, ani b se mšnila jeo elikost. Je to skosene tšleso, jeo aklanou je rumšt s ikme roin o roin kolme na smšr slenice. Objem skoseneo tšlesa se urcı jako soucin aklan a s k jejım tšis ti. Voorona sloka tlakoe sıl na s ikmou roinu se rona tlakoe sıle na jejı rumšt o roin kolme na uaoanou sloku. Pusobis tš oorone slok tlaku je tšis ti atšoacıo obrace o objemu V. Vslenice tlakoe sıl na kriou locu se ostane ektorom souctem oorone a sisle slok. Ponša jsou slok na sobš kolme, latı rostoru

22 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı rıanš ro roinnou ňlou. ( 4. ) mšr slenice tlakoc sil je an taem tg α. Vslenice tlakoe sıl rocaı rusecıkem jejıc sloek,. n n -G n Gá n n n -G' G n n n n G G Obr. 4.7 Metoa naranıc loc Metoa naranıc loc socıa tom, e se kria loca naraı jenou nebo ıce roinnmi locami, a to tak, ab s kriou locou uaıral objem V. Vocıta se tlakoa sıla na naranı locu n. Naraenım krie loc roinnmi locami se rial objem kaalin V, take tıo ňc inek tooto objemu kaalin je arnut tlakoe sıle na naranı locu. Ve skutecnosti tıa kaalin G gv neusobı na kriou locu, a roto je treba ji oecıst o slene tlakoe sıl na naranı locu. V oacnem rıaš, k se naranı locou ubral o atšujıcıo obrace objem kaalin V, jeo tıa usobı na kriou locu, je nutno k slenici tlakoe sıl na naranı locu ricıst tıo ňc inek kaalin G. Vslenice tlakoe sıl je ana ektorom souctem tlakoe sıl na naranı locu n a tı G: G n. Ab objem V (rian nebo ubran) a tım tıa kaalin G bla jenonacnš urcena, je treba sranš olit naranı locu, ab s kriou locou uaıral obraec o objemu V. Naranı loc je mono olit liboolne, jenu nebo ıce. Volı se tak, ab ocet sloek naranıc tlakoc sil bl co nejjenoussı ıl na tů lesa onorena o kaalin Na tšleso onorene o kaalin usobı obecnš sıl e trec na sobš kolmc smšrec, tj. nar. e sislem smšru a e ou smšrec ooronc na sebe kolmc. Ponša oorone slok tlakoe sıl na tšleso se octou stejnš jako oorone slok tlakoe sıl na kriou locu, urcı se nejrıe rumšt orcu onoreneo tšlesa. Protoe se ostane ojnasobn rumšt obou

23 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 3 stran tšlesa, bue slenice ooronc tlakoc sil na tšleso obou stran stejnš elka, stejneo smšru, ale oacneo smslu, take se tuostı tšlesa rusı. To latı o obou ooronc slokac tlakoc sil. Ve sislem smšru bue usobit na olen objem V tšlesa, je je alecek, sisla sloka tlakoe sıl, jejı elikost je ana souctem tlakoc sil na los k (aklan alecku V). Na ornı cast alecku usobı tlakoa sıla g, oobnš na sonı cast g, take slenice sisle tlakoe sıl je ř g( ř ) g gv G k, ceo je atrno, e tlakoa sıla kaalin e sislem smšru na rek tšlesa o objemu V se rona tıe kaalin, ktera je tımto elementem tlacena. Vslena tlakoa sıla na cele tšleso se ostane integracı, co je soucet elementarnıc tlakoc sil, neboli gv G k. Vsleek je nam Arcimeu akon: Na tšleso onorene o kaalin usobı tlakoa sıla rona tıe kaalin tšlesem tlacene. V V Obr. 4.8 Vtlak tšlesa Na tšleso onorene o kaalin usobı š sıl, a to tlakoa sıla tšis ti objemu tlacene kaalin, a lastnı tıa tšlesa G, usobıcı tšis ti tšlesa. Pole slenice ř G, ktera usobı na tšleso onorene kaalinš, moou nastat obecnš tri rıa: G > Ú tıa tšlesa je štsı ne tlakoa sıla, take slenice usobı e smšru sislem olu a tšleso klesa ke nu. G Ú tıa tšlesa je ronoae se tlakoou silou, slenice je nuloa a tšleso setraa liboolne oloe Ú nası se kaalinš. G < Ú lastnı tıa tšlesa je mensı ne tlakoa sıla, take slenice usobı sisle naoru a tšleso nası k lainš. Vnorenım tšlesa se mensı tlakoa sıla a nastane ronoaa s lastnı tıou tšlesa, ktere lae.

24 4 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı 5. Relatinı ob kaalin Pri obu naob s kaalinou moou nastat rıa, k kaalina je uci stšnam naob kliu. Na kaalinu usobı alsı motnostnı sıl, a to setracna o lastnıo obu naob s kaalinou, ktere je nutno arnoat o omınek rostaticke ronoa. V alsım jsou robran a jenouce rıkla relatinıo kliu kaalin. λ 9 o V konst ' '' -a λ α α' V a g -,5 l l Obr.5. Kaalina relatinım kliu, rımocar, ronomšrnš rclen ob 5.. Pob rımocar, ronomů rnů rclen Naoba se s kaalinou obuje rımocare ronomšrnš rclenš e oorone roinš. Na kaou castecku kaalin naobš usobı e sislem smšru tıe emska a - g a e ooronem smšru setracne rclenı a - a. Diferencialnı ronice lainoc loc je tomto rıaš a g a jejı integral a a g konst konst. konst tgα g ( 5. ) ( 5. ) Hlainoe loc jsou roin sklonšne, sırajıcı s ooronou roinou (klana oloosa) ňel α. Z ronice lainoc loc je tgα a g ' tg( 8 α ') tgα neboli tgα,( α α ' 8 ) a g ( 5.3 ) Z oslenıo rau la ronš, e lainoe loc jsou kolme na slenici motnostnıc sil usobıcıc na kaalinu. Pro stanoenı tlaku kaalinš je treba nat ason jenom mıstš (tj. aleson na jene lainoe los e) elikost tlaku. Zraila jım ba roranı kaalin s ousım ( konst), jeo oloa je aisla na objemu kaalin naobš. Nenı-li naoba cela nalnšna a netece-li kaalina bšem obu ani castecnš, musı bt jejı objem V k naobš a obu stejn jako re obem(v k konst). klonšnım lain jene casti (rae) naob ubue

25 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 5 kaalina, e rue (lee) ase ribue. Celkoa mšna objemu kaalin musı bt nuloa, roto ňbtek a rırustek objemu musı bt stejnš elk. V rıaec, k naoba je alcoa nebo ma tar ranolu se aklanou smetrickou k ose kolme na smšr obu, rotına se roranı kaalin s ousım oloinš elk naob. Poloa lainoe loc tlaku ousı se te urcı omınk V k konst. V konst V rıaš, k rclenı je elke, stouı α α roranı kaalin s ousım ( konst) na okraj a naob a cast kaalin tece naob. To ola klesanı lain. Pokles lain ustane a laina bue rocaet ranou, res nı kaalina acala tekat. Hlainoa loca tlaku ousı rocaı te tomto rıaš mıstem, res ktere kaalina acala tekat (V k konst). Tlak kaalin liboolnem mıstš se octe Obr. 5. Hlainoa loca a jejı oloa iferencialnı ronice tlakoa funkce, o nı se osaı rıe ueene omınk a -a ; a -g ( a g) ( a g) konst ; ( 5.4 ) Pro olen ocatek souranic (urostre na naob) je integracnı konstanta ana touto okrajoou omınkou: mıstš ;, je relatinı tlak ; je te konst g a tlak liboolnem mıstš naob je urcen tlakoou funkcı a g g ( 5.5 ) Protoe je a tgα ; g ( ) g g ( 5.6 ) Tento ra je formalnš son s tlakem kaalinš, na ni usobı jen tıe emska. As ak elicina je sisla alenost uaoaneo bou o lain tlaku ousı, co je sklonšna roina. Tento onatek se a obecnit. Vs etrenım lain tlaku ousı (roranı kaalin a ousı) staa se relatinı kli kaalin rıaem rostatickm, a le roto ouıt secn rıe ooene onatk o octu tlaku, tlakoe sıle na loc ao. 5.. Pob ronomů rn, otaci Valcoa naoba nalnšna casti kaalinou se otacı ronomšrnš kolem sisle os. Preoklaa se, e s ecn casteck kaalin se obujı unas iou rclostı ooıajıcı olomšru, na kterem se nacaı. Pri otaciem obu usobı na kaou castecku kromš tıe emske ostreie rclenı(u rω). I k je o rostoro ob, le res it tento relatinı kli kaalin roinš, rotoe

26 6 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı je stejn e s ec roinac, ktere rocaejı osou rotace. Ostreie rclenı usobıcı na castecku kaalin na olomšru r je a c r ω. Jeo elikost se mšnı s olomšrem, a roto slenice rclenı bue na runc alcoc locac runa jak co o elikosti, tak i smšru. Je snane oanout, e tomto rıaš lainoe loc nebuou roinami. H r ω g ( ) Protoe rclenı jsou a r rω, a -g ( 5.7 ) je iferencialnı ronice lainoc loc rω r ř g. Jejı integral je r ω g konst ; ( 5.8 ) K urcenı integracnı konstant je okrajoa omınka r,, cili konst - g a ronice lainoc loc ro olen ocatek souranic je co je ronice arabol. Hlainoe loc jsou rotacnı araboloi. Vs ka araboloiu H mšrena na las ti alcoe naob, tj. na olomšru r R se urcı oslenı ronice H R o D R R ω g ' g ur g r Obr. 5.3 Relatinı kli, ronomšrne otacenı kol r os naob r Z tee ronice se ostane s ka araboloiu r na liboolnem olomšru r ω a r H H H r ( 5.9 ) (5.) V H H H V - Vk Vk r r g Obr. 5.4 K urcenı olo lainoe loc ur g ω ( 5.) Vs ka rotacnıo araboloiu na urcitem olomšru je rona rclostnı s ce na tomte olomšru. Hlainoa loca tlaku ousı se urcı stejnš jako recaejıcım rıaš. Jestlie naob nemue kaalina tekat, musı bt objem kaalin re obem a a obu stejn. Pre obem je naobš objem kaalin V k H. Za obu je objem V k ( H) ř V, ke V nacı

27 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 7 objem rotacnıo araboloiu, kter se rona oloicnımu objemu osaneo alce, cili V H. Z oslenıc ronic la ri ronosti objemu H H ( H ) H H ( 5. ) To namena, e uonı laina tlaku ousı a kliu ulı s ku araboloiu H, restaujıcıo noou lainu tlaku ousı. Tlak kaalinš se urcı iferencialnı ronice tlakoe funkce (rω r ř g) Po integraci je tlakoa funkce r ω g konst g ( 5.3 ) Okrajoa omınka, ktera se stanoı o urcenı noe lainoe loc tlaku ousı, ro r, je, cili integracnı konstanta je konst. Tlakoa funkce je te g r ω g ( 5.4 ) Protoe s ka araboloiu na olomšru r je r kaalin ( ) g g r r ω a č ř, uraı se tlak ronice ro tlak g ( 5.5 ) ke je ošt sisla alenost aneo mısta o lainoe loc tlaku ousı a rotace. Tento sleek je son jako recaejıcım rıaš obu. Ronici g je mono oaoat a obecn integral iferencialnı ronice ro tlak funkci. Pro elicinu latı rıe ueena efinice. K jejımu sranemu urcenı je nutno s etrit lainoe loc (ooıajıcı relatinımu kliu) lanš lainoou locu torıcı roranı kaalin s ousım ( konst). Z too la raktick nam lainoc loc. Je treba riomenout, e ri octu tlakoc sil omeuje tata lainoa loca atšoacı obraec. Mue-li kaalina bšem obu casti teci naob, nalene se oloa lainoe loc tlaku ousı stejnš jak blo urceno rıe: musı rocaet mıstem, ke kaalina acala retekat, tj. ornım okrajem naob Potencial intenit objemoc sil Cceme-li stanoit tlak boš B, ri namem tlaku boš A, ak integrujeme Eulerou ronici rostatik ole krik sojujıcı bo A a B:

28 8 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı B B ( a a a) B A A A Z teorie ıme, e sleek integrace neaisı na rae, je-li ra aorce ňlnm iferencialem skalarnı funkce U(,,) U U U U a a a U ( 5.6 ) Tuto funkci naame otencialem intenit objemoc sil (res. otencialem relatinıo rclenı). a) Je-li ana otencialnı funkce U U(,,), ak le rırustek stanoit snano jako rırustek otencialu nasoben ustotou, ani bcom museli res it kriko integral, nebo B A U B B A U A U ( U U ) B A ( 5.7 ) Pricem se reoklaa, e objemoe sıl se naraı otencial fci U, ro ni latı a nebo latı U U a ; a U ; neboli a grau ( 5.8 ) U a a a Ronice ( 5.8 ) ostaneme oronanım obou oslenıc ronic. b) Jsou-li an slok ektoru intenit motoc sil a a (,,), a a (,,), a a (,,) tame se, a tomto rıaš eistuje otencial U(,,). Je-li U ňlnm iferencialem, ak ro smıs ene eriace latı ronice U U U U U U ; ; ( 5.9 ) Vememe-li ňau ro. ( 5.8 ) ostaame ro eistenci otencialu i relatinı ronoa tto tri omınk: a a ; a a a ; a ( 5. )

29 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 9 Hronamika Hronamika se aba obem kaalin neboli roušnım. Hronamika usım smslu sloa resı teoretick roušnı kaalin matematickmi metoami. Alikoana ronamika rilıı ıce na skutecne omšr, oıra se o slek eerimentalnıc racı a uıa teoreticke onatk a je naana te raulikou. 6. Klasifikace rouů nı a aklanı ojm 6.. Zaklanı ojm Proušnı se s etruje rostoru, roinš nebo o krice buť sleoanım obu urcite castice kaalin jako motneo bou, nebo se sleuje cel rou urcitem casoem okamiku. Draa neboli trajektorie je obecnš carou, kterou robıa castice tekutin. Za ustaleneo roušnı se ra castic nemšnı s casem, atım co u neustaleneo roušnı moou bt kaem casoem okamiku olis ne Ú obr n t Obr.6. Draa castice ri neustalenem roušnı Obr.6. Prounice Obr. 6.3 Prounice a slok rclosti Prounice obr. 6. jsou obalkou ektoru rclostı a jejic tecn uaajı smšr ektoru rclosti. U neustaleneo rušnı tarejı rounice rune castice a nejsou totone s raami castic. U ustaleneo roušnı se nemšnı rclosti s casem, a roto majı rounice stale stejn tar a jsou totone s raami castic. Matematicke s etrenı rounice je mone res enım iferencialnı ronice, : : : : ktera la oobnosti trojňelnıku sloek rclosti a elementarnıc ra e smšru rıslus nc os obr.6.3. Prouoa trubice je torena sakem rounic, ktere rocaejı olenou uarenou krikou k. Plas rouoe trubice ma stejne lastnosti jako rounice Úobr Protoe smšr rclosti je an tecnami k rounicım, je kaem boš las tš rouoe trubice normaloa sloka rclosti nuloa n. Nemue te ana castice rojıt rouoou trubici. Prouoa trubice rošluje rostoroe rouoe ole na š casti. ( 6.)

30 3 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı Q Q k k k Q Q Q Jenu torı nitrek rouoe trubice. Castice tekutin nemoou retekat jene casti rouoeo ole o rueo, a roto latı, e s ecn castice rotekajıcı rureem rouoe trubice, musı rotekat liboolnmi rure,, tee rouoe trubice. Jestlie rure rouoe trubice, ostane se Q Obr.6.4 Prouoa trubice rouoe lakno. Prouoa trubice restauje omslne otrubı. 6.. Roů lenı rouů nı Proušnı kaalin je mono rošlit ole nškolika leisek: A) Pole fikalnıc lastnostı kaalin. roušnı iealnı (okonale) kaalin: a) otencialnı roušnı (neırie) Ú obr. 6.5 Ú castice se obujı rımocare nebo kriocare o raac tak, e uci ooroateli se neotacejı kolem lastnı os. Natocenı castice na krie rae je komenoano stejnš elkm natocenem castice kolem lastnı os, ale oacnem smslu. Mei otencialnı roušnı atrı ronš otencialnı ır, u nšo castice krouı kolem ıroeo lakna otencialnš s jimkou castice, ktera torı lakno.- obr b) ırie roušnı Ú castice se uci ooroateli natacejı kolem lastnıc os Ú obr 6.7 s s Obr.6.5 Potencialnı roušnı Obr. 6.6 Potencialnı ır Obr.6.7 Vırie roušnı. roušnı skutecnc (akc) kaalin: a) laminarnı roušnı Ú castice se obujı e rstac (eskac), ani se remıs ujı o rureu Ú obr. 6.8 b) turbulentnı roušnı, ke castice majı kromš ostune rclosti turbulentnı (fluktuacnı) rclost, jı se remıs ujı o rureu.- obr. 6.9

31 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 3 ' ' Obr.6.8 Laminarnı roušnı Obr.6.9 Turbulentnı roušnı B) Pole kinematickc leisek:. ole usoraanı roušnı rostoru: a) roušnı trıromšrne neboli rostoroe Ú 3D- elicin, nar. rclost, jsou urcen oloou rostoru (,,) b) roušnı ouromšrne neboli roinne Ú D - (,) c) roušnı jenoromšrne Ú D - (s) Ú roušnı o krice s. ole aislosti na case: a) roušnı ustalene (stacionarnı), ktere je neaisle na case (t); b) neustalene roušnı (nestacionarnı ), u nšo elicin jsou aisle na case Ú (,,,t); (s,t); (t). t 6.3. Dru rouů nı skutecnc tekutin Jak ji blo ueeno rıe, skutecna tekutina mue rouit buť laminarnš nebo turbulentnš. Eistenci obou roušnı naornš ukauje Renolsu okus Ú obr. 6.. Do rouıcı tekutin kruoem otrubı se riaı tenkou trubickou obarena tekutina. Pri malc rclostec rouu ustane barene lakno neorus eno, ceo la, e ob se šje e rstac a castice tekutin se neromıcaajı. Bario Bario Re < Re k 3 Re > Re k 3 laminarnı turbulentnı Obr. 6.. Renolsu okus Zštsı-li se rclost na jejı kritickou onotu, ocaı k inteninımu mıs enı castic naslekem jejic orunc (turbulentnıc) obu e sec smšrec. Castice tekutin neustale recaejı jene rst o rue, ricem ocaı k mšnš kineticke energie a jejic rclosti o rureu se nacnš ronaajı. Takoe roušnı je turbulentnı. Protoe ri remıstšnı castic

32 3 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı ocaı te ke mšnš bnosti, co se rojeuje brıcım ňc inkem, bue slen oor roti obu štsı ne ooıa smkoemu naštı o akosti ri laminarnım roušnı. Oba ru roušnı se lisı jak rclostnım rofilem tak i elikostı raulickc trat. U laminarnıo roušnı otrubı je rclostnı rofil rotacnı araboloi. U turbulentnıo roušnı se rclosti castic ronaajı inteninım remıs oanım sojenm s mšnou kineticke energie. Rclostnı rofil turbulentnıo rouu otrubı se roto ıce ooba obelnıku, a to tım ıce, cım štsı je turbulence, tj. cım štsı je Re cıslo Ú obr. 6.. laminarnı turbulentnı t ~ l ~ Obr. 6. Rclostnı rofil otrubı Obr. 6. Zaislost f () U laminarnıo roušnı je raulick oor roti obu linearnš aisl na rclosti, u turbulentnıo rušnı je aisl na rue mocninš rclosti Ú obr. 6.. Pomšr, ri nı ocaı ke kalitatinım mšnam rclostnıo rofilu a aislosti ooru, tj. ri recou laminarnıo roušnı turbulentnı, jsou ro urcite otrubı a tekutin an kritickou rclostı. Z okusu i teorie oobnosti la, e reco laminarnıo roušnı turbulentnı je urceno Renolsom kritickm cıslem. Renolsoo cıslo jak bue ooeno ka. 8 je efinoano taem Re, ke je strenı rclost tekutin, je carakteristick romšr (nar. υ ri roušnı otrubı jeo rumšr) υ je kinematicka akost rouıcı tekutin. Pro roušnı kruoem otrubı kriticka onota Renolsoa cısla je Re 3. Pri roušnı skutecne tekutin mei šma roinnmi eskami (obr. 6.3) nic jena se obuje rclostı u a rua stojı, majı castice lıcı na orcu esek jejic rclosti. To namena, e na obujıcı se esce ma castice kaalin rclost u, atımco na stojıcı je rclost castice nuloa. Pro ostatnı castice kaalin, ktere rouı meere mei eskami, jsou rclosti roloen linearnš. Pobujıcı se castice straa sousenı castice o obu usleku akeo trenı. Rclost castice e alenosti o stojıcı esk bue ole Newtona jareno taem u τ η η ( 6.) u. mkoe naštı o akosti je

33 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 33 u u tg ϕ ( ) τ s ϕ Obr. 6.3 Roloenı rclosti ri laminarnım roušnı mei šmi eskami Obr. 6.4 Rclostnı rofil a tecne naštı Trecı sıla t, kterou usobı aka kaalina esku o los e t, a kterou je nutno ri obu esk rekonat, je urcena taem t t τ. V obecnem rıaš je rclost tekutin urcena funkcı (), a smkoe naštı liboolne alenosti o stšn Newtonom raem. Graficke naornšnı rubšu rclosti () je rclostnım rofilem - obr tekutin Ucinek ake kaalin na obtekane loc je aisl na τ s η. Deriace smkoem naštı o akosti je smšrnicı tecn k rclostnımu rofilu na obtekanem orcu. Pri tomto roušnı se reoklaa, e nekonecnš tenke rst kaalin klouajı jena o rue, take se obujı e rstac Ú laminarnš (lamina-rsta). τ τ τ runa latka Zaislost smkoeo naštı o akosti τ aislosti na graientu rclosti kolmem smšru na ob je jarena grafu f moel. Pro iealnš lastickou latku je nam Bingamu ta τ τ n iealni lasticka-bingamska skutecna lasticka n < µ B seuolasticka n < newtonska n ilatantnın > iealnı tekutina Obr.6.5. Reologicke lastnosti kaalin Pro rubš nelinearnı se ouıajı mocninoe ta τ -obr.6.5. klon uaa namickou akost kaalin. Vsecn kaalin, ktere oujı Newtonou akonu iskoit, se naajı newtonske. V tecnicke rai se osti casto sktujı latk, jejic aislost smkoeo naštı na graientu rclosti se nea jarit Newtonom taem. Rıka se jim nenewtonske kaalin ci anomalnı a jejic reologicke lastnosti jsou jaren krikami iagramu a osan matematickmi ( 6.3) τ τ K ; ke K - soucinitel konistence n Ú ine toku n n τ K ( 6.4)

34 34 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı 7. Prouů nı iealnı tekutin 7.. Ronice kontinuit í sojitosti s Obr. 7. Prutocn rure a rclost Ronice kontinuit, casto naana take ronice sojitosti, jaruje obecn fikalnı akon o acoanı motnosti. Pro kontrolnı objem, kterm rouı kaalina, musı bt motnost tekutin konstantnı, a te jejı celkoa mšna nuloa. U kontrolnıo objemu moou niknout š mšn motnosti, a to lokalnı kontrolnım objemu samem (tekutina se stlacuje nebo roına) a konektinı mšna motnosti, usobena roılem ritekle a tekle motnosti kontrolnıo objemu. Obš mšn musı aat nuloou mšnu motnosti, co je mone jen te, k jsou obš ılcı mšn stejnš elke, ale oacneo namenka, tj. jena namena šts enı a rua mens enı motnosti. Ronici kontinuit je mone efinoat take tak, e roıl stuujıcı motnosti o kontrolnıo objemu a stuujıcı motnosti kontrolnıo objemu je roen motnosti, ktera se tomto kontrolnım objemu akumuluje. V tecnicke rai se nejcastšji sktujı rıa jenoromšrneo roušnı, menš caste je ak roušnı roinne ci rostoroe. Ronice kontinuit ro jenorome rnč roue nı Uauje se jenoromšrne neustalene roušnı stlacitelne tekutin rouoou trubicı s romšnnm rureem - obr.7.. Z nı se tkne elementarnı cast oranicena stunım rureem a elementarnı elkou s. Elementarnı kontrolnı objem torı alecek, jeo aklanami roteka tekutina. Plas kontrolnıo objemu je toren rounicemi, a roto tok touto castı kontrolnı loc je nulo, nebo latı n na celem las ti. Roloenı rclosti o rureu rouoe trubice uaujeme ronomšrne. Pri neronomšrnem roloenı rclosti o rureu uaujeme jejı strenı rclost. Na rae s se uonı rclost mšnila na elikost ( s), oobnš se mšnila i s a rure rouoe trubice ( s) s s ustota ( s). Hmotnost kaalin, ktera ritece o kontrolnıo objemu a cas t, je urcena taem m s t Hmotnost kaalin, ktera tece kontrolnıo objemu a cas t ruou aklanou alecku, tj. e alenosti s, je m s ( s)( s)( s) t t ( t) s s s s s

35 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 35 Roıl ritekle a otekle motnosti elementarnıo objemu je konektinı mšna motnosti case t, ktera je urcena taem D( ms ) ms ms ( rt) s s Na ocatku sleoanc mšn motnosti je kontrolnım alecku motnost tekutin m t rs. Tato motnost tekutin kontrolnım objemu a cas t se mšnı. Protoe se jena o lokalnı mšnu, ro jejı elikost latı ta t ( ) ( r)t D m t Pro slnšnı akona o acoanı motnosti (m konst) musı bt celkoa mšna motnosti m nuloa, roto latı D s ( m) D( m ) D( m ) ( rt) s ( rs) t s t V obecnem rıaš jenoromšrneo roušnı tekutin se reoklaa stlacitelna tekutina (s, t), romšnn rure rouoe trubice (s, t) (nar. runa trubice, roušnı kanalec ao.) a neustalene roušnı (s, t). t Protoe casoa mšna t a osunutı s nejsou na sobš aisle (s, t jsou neaisle romšnne), uraı se oslenı ronice takto s t ( ) ( ). ( 7. ) Toto je obecna ronice kontinuit ro jenoromšrne roušnı. Pro tue otrubı latı (s) a ronice (7.) se ale uraı s t ( ) ( 7. ) Dalsı jenous enı ronice je ro ustalene roušnı, k latı. V tomto rıaš je ustota, rure a rclost jen funkcı souranice s: (s); (s); (s) a ronice kontinuit se jenousı s s ( ) ( ) Po integraci latı ro jenu a tute rouoou trubici Q m r konst. ( 7.3 ) Velicina Q m je motnostnı rutok. Uaa motnost tekutin rotekle a jenotku casu Ú kgs -. Protoe ronice ( 7.3 ) musı latit ro s ecn bo rouoe trubice, ro ronici kontinuit roto latı nam tar konst ( 7.4 ) Pro nestlacitelne kaalin je ustota konstantnı ( konst), take ronice se jenousı na t

36 36 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı Q konst. Velicina Q je objemo rutok a uaa objem kaalin rotekl a jenotku casu Ú m 3 /s. Pri neronomšrnem roloenı rclosti o rureu se osaujı o ronice kontinuit strenı rclosti ole rutoku, urcene taem s Ronice kontinuit ro rostoroč roue nı Pri ooenı ronice kontinuit ro rostoroe roušnı se tkne rouoem oli tekutin kontrolnı oblast e taru ranolku o stranac,,, jeo objem je V obr.7.. Tımto ranolem roteka tekutina rclostı, je ma slok e smšru trı souranc os,,, ktere jsou kolme na elementarnı los k oleneo ranolu. Kontrolnı objem se olil elmi mal - iferencialnıc romšru, ab se rclosti rutoku elementarnımi los kami mol uaoat konstantnı. Zmšn motnosti ri rucou elementarnım kontrolnım objemem se s etrı ostunš e smšrec os,,. Ploc ranolku jimi roteka kaalina e smšru os, jsou stejne, a to. Tekutina o ustotš teka o ranolku lee stran rclostı a teka nšo na rae stranš o ustotš te o ranolku a cas t e smšru os motnost tekutin m a tece m s t rclostı ( ) t t ( t) Roıl ritekle a tekle motnosti kaalin ranolu e smšru os je ( m ) s m s m s (r t) ( r ) Vt D, co latı a reoklau, e rure neaisı na souranici. Obobne ra se ostanou ro rutok tekutin e smšru os, : ( r ) ( r ) Vt D ( ms ) Vt ; D( ms ),. Pritece take roıl ritekle a tekle motnosti tekutin locami kontrolnıo ranolku je an souctem D,, ( m ) D( m ) D( m ) D( m ) s s,, s Obr.7. Elementarnı kontrolnı objem s ( r ) ( r ) ( r ) Vt Vt Vt

37 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 37 Je-li motnost tekutin elementarnım objemu (ranolu) m t V, otom a cas t se tato motnost mšnı a tato mšna je ( ) D m t t ( m) ( r ) t Vt t Jak ji blo receno, musı bt celkoa mšna motnosti kontrolnım objemu rona nule D ( m) D( m ) D( m ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) s t Vt Vt Vt Vt t Po kracenı raem Vt se ostane ronice ( ) ( ) ( ) ( ) t To je obecna ronice kontinuit ro neustalene rostoroe roušnı stlacitelne tekutin. Protoe latı i ( ) ( ) ( ) ( ) i ( ), a se resat ronice kontinuit na tar i( ) t tejna ronice tenoroem aisu ma tar ( ) t i i i ( 7.5 ) ( 7.6 ) ( 7.7 ) Takto jarena ronice kontinuit latı enem kontrolnım objemu, kter se leem ke olenemu raoňlemu souranemu sstemu,, neobuje. Ronice kontinuit se urauje i o jineo taru. Za tım ňc elem roeıs eme eriace e rau ro iergenci a ostaneme i( ) Dale naıs eme substancialnı eriaci ustot ole casu D Dt t omocı nı se ronice kontinuit urait takto: D D i Dt Dt ( 7.8 ) Toto je ru tar ronice ro neustalene rostoroe roušnı stlacitelne tekutin, te rıa, k se kontrolnı objem leem ke olenemu souranemu sstemu,, obuje. Pro ustalene roušnı se ueene ronice jenousı. Pri ustalenem roušnı se nemšnı t elicin case, roto musı bt a ronice kontinuit ( 7.6 ) ma tar

38 38 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı i( ). ( 7.9 ) Tato ronice latı ro roušnı stlacitelne i nestlacitelne tekutin rostoru. Dalsı jenous enı se ostane u nestlacitelnc kaalin ( konst). Ronice kontinuit je ak jarena taem i tejna ronice asana tenoroem aisu ma tar i i ( 7. ) ( 7. ) 7.. Euleroa ronice ronamik Euleroa ronice ronamik jaruje ronoau sil motnostnıc (objemoc), ktere usobı na tekutinu nšjs ku, tlakoc (usobıcıc tekutinš) a setracnc o lastnıo obu castic okonale tekutin. V rouıcı skutecne tekutinš nikajı ele normaloc naštı, tj. tlaku, i tecna naštı, a to sue tam, ke se tekutina neobuje jako tue tšleso a ocaı te k eformaci castic tekutin, tj. castice se uci sobš osouajı. Zanebame-li tato tecna naštı leem k tlakum, oorıme ak o roušnı okonale (iealnı) tekutin (tj. moel tekutin s nuloou iskoitou). V rouu okonale tekutin olıme elementarnı objem V e taru ranolku Ú obr.7.3 o stranac,,. Na tento objem tekutin usobı stejnš jako rostatice tlakoa ıla a nšjsı tlakoa sıla m. Pole Newtonoa akona slenice tšcto sil se rona setracne sıle m V kaitole 3 ro sılu tlakoou a motnostnı ro kg motnosti bl ooen tto ra: m gra r a etracna sıla obujıcı se castice tekutin je D s m Dt Pri roušnı kg tekutin se tato ronice jenousı D s Dt a Obr. 7.3 Elementarnı ranolek Dosaıme-li ra ro sıl o ronice ( 7. ), bue ronoaa sil ( 7. )

39 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 39 gra Dt D a ( 7.3 ) ubstancialnı eriaci D/Dt je mone urait takto: Rclost je obecnš funkcı olo castice a casu, te t),, (,. Jejı iferencial je t t a rclenı castice tekutin se jarı ronicı t t t t t t t Dt D Prnı tri clen restaujı konektinı rclenı a je mono je jarit omocı graientu jako skalarnı soucin rclosti a jejıo graientu, nebo ( ) gra k j i k j i. C len t restauje lokalnı (mıstnı) rclenı. Euleroa ronice ronamik ma ak tar gra gra t Dt D a ( 7.4 ) tejna ronice ueena tenoroem aisu ma tar i i j i j i a t ( 7.5 ) Tuto oboou ronici okonalc tekutin ooil ore Leonar Euler r Roesanım oslenı ronice ro slok e smšru os, a se ostanou tto ronice a t a t a t V roesanc Euleroc ronicıc ronamik je celkem št nenamc, a to slok rclosti,,, ustota a tlak. K urcenı šti nenamc je treba šti ronic, nic tri jsou Eulero ronice (ro tri smšr os) a alsımi ronicemi jsou ronice kontinuit a staoa ronice f() u stlacitelne tekutin, orıaš u nestlacitelne tekutin je konst. Vs ec št ueenc elicin aisı na oloe rouıcı casteck tekutin a na case. Pro urcenı sousta ronic je treba aat okrajoe a ocatecnı omınk. Euleroa ronice ronamik je nelinearnı arcialnı iferencialnı ronice, jejı integrace je obtına i casoš narocna, soucasne obš se resı numerick. Euleroa ronice ronamik slouı k ooenı Bernoullio ronice.

40 4 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı 7.3. Bernoullio ronice ro okonalou tekutinu a Pri roušnı okonale tekutin usobı na jejı casteck sıl, ktere ri osunutı o elementarnı rae s konajı elementarnı raci (obr.7.4). ectenım tšcto elementarnıc racı na konecne elce o rounici, tj. integracı, ıska se ta racı neboli energiı rouıcı tekutin. Ab blo mono roest integraci, reoklaa se, e nšjsı motnostnı sıla na jenotku motnosti (neboli nšjsı rclenı), ktere usobı na rouıcı tekutinu, je otencialnı. Pak se a jarit otencialem U a latı U U U grau i j k a grau Protoe a (ia ja ka ), otom recaejıcı ronice jsou slok rclenı urcen ta a s U a s s Obr. 7.4 Elementarnı race ri roušnı okonale tekutin U U, a, a U ke otencial nšjsıc sil (na jenotku motnosti) neboli rclenı je funkcı olo. ( 7.6 ) Dosaı-li se tento ra o Eulero ronice ronamik a urcı se elementarnı race skalarnım soucinem sil a osunutı s, ostane se s gras gra U s t r gra s ( 7.7 ) Pro alsı ňrau teto ronice ooťme elikost skalarnıo soucinu graientu a iferencialu ra s i j k. U U U grau s i j k. k U U U U ( i j ) ( 7.8 ) Poobnš ro ostatnı elicin latı gra s ; gras r r Integral uraene ronice ( 7.7 ) s t U ( 7.9 ) ro libooln rure rouoe trubice je P U s konst t ( 7. ) Tato ronice latı ro neustalene roušnı, a to ro urcit caso okamik. Konstanta ma obecnš kaem case jinou onotu.

41 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 4 Pro ustalene roušnı se oslenı ronice jenousı, rotoe. Integral Eulero ronice ronamik o rae ma tomto rıaš tar P U konst co je aklanı Bernoullio ronice ro okonalou tekutinu. t ( 7. ) Velicina P je tlakoa funkce, ji urcıme integracı rau, k name staoou mšnu a jejı ronici f(). Pro nestlacitelnou kaalinu je konst a tlakoa funkce P konst. Pusobı-li na tekutinu jen tıoe rclenı, je nšjsı rclenı a -g. Znamenko aorne je ueeno roto, e klan smsl olene os je oacn ne smsl usobenı tıoeo rclenı. Prıslus n otencial siloeo ole (ro tıoe rclenı) je te romšnne U U(), ak latı - g konst - g konst. U U a U g. Potencial tıoe sıl je funkcı jen jene, neboli U -g. Integracı se urcı otencialnı funkce U Pro nestlacitelnou kaalinu a usobenı tıoeo rclenı a ro ustalene roušnı je Bernoullio ronice jarena taem g konst ( 7. ) Tato ronice restauje akon acoanı energie. Prnı clen je kineticka energie, ru clen ooıa tlakoe energii, tretı clen g je roen olooe energii motnostnı jenotk kaalin. oucet kineticke, tlakoe, a olooe energie restauje celkoou mecanickou energii kaalin. Energie taene na jenotku motnosti se naajı mšrne energie g Jestlie se ronice šlı tıom rclenım g, ostane se konst g E e. m ( 7.3 ) Tuto ronici uel ore roce 738 Daniel Bernoulli. Ka clen ronice ( 7.3 ) restauje energii taenou na tıoou jenotku kaalin a formalnš ma romšr s k. Prnı clen je nam jako rclostnı s ka, ru clen je tlakoa s ka a tretı urcuje olooou (otencialnı) s ku. Vnasobı-li se ronice ( 7.3 ) soucinem g, ostane se g konst Ka clen ronice restauje tlak (kinetick, statick, oloo). ( 7.4 )

42 4 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı oucet sec energiı, tj. kineticke, tlakoe a olooe je celkoa mecanicka energie kaalin, ktera ole Bernoullio ronice je kaem rureu jene a tee trubice konstantnı. Bernoullio ronice jaruje akon o acoanı energie ri roušnı okonale tekutin a usobenı tıoeo rclenı.-obr 7.5 Jenotlie clen ronice je mono naornit jako ňseck. oucet s ek o liboolnš olene oorone roin urcuje iagramu caru mecanicke energie a je roen konstantš Bernoullio ronici ( 7.7 ). cara energie 3 g 3 3 gh g g 3 U Obr. 7.5 Graficke naornšnı Bernoullio ronice g g... g gh Y konst ( 7.5 ) Bernoullio ronice latı ro rouoou trubici, jejıc rureec je rclost ronomšrnš roloena. Pri neronomšrnem roloenı rclosti je nutno olit rouoou trubici elmi malc rureu, ab roıl rclostı o rureu rouoe trubice bl anebateln. Jinak je nutno rilıet k neronomšrnemu rubšu rclosti, co jaruje strenı rclost ole kineticke energie. Do Bernoullio ronic je mono osait absolutnı tlak nebo relatinı tlak, as ak na obš stran ronice sonš. Bui nou uranšno, e ronice ( 7.3 ) a ( 7.5 ) latı ro okonalou kaalinu, te be nitrnıo trenı a nestlacitelnou. Bernoullio ronice ro okonalou kaalinu sana ro a rure jene a tee rouoe trubice obsauje s est elicin:,,,,,. Hustota kaalin se oauje a namou. Ab se omocı Bernoullio ronice urcil arametr roušnı, musı bt ocet nenamc a ocet ronic stejn. Pri res enı nejjenoussıo rıau le te Bernoullio ronice ocıst jenu nenamou. Ostatnı elicin musı bt name. To je uleite ro rakticke ouitı Bernoullio ronice, nebo rouoe trubici se musı nalet jeen rure, nšm jsou s ecn elicin (,, ) name. Dru rure je nutno olit tee rouoe trubici tam, ke je leana elicina (nar. rclost ) a ostatnı elicin (, ) jsou name. Pri teto olbš rureu rouoe trubice le ocıst nenamou elicinu. Bue-li ıce nenamc elicin, je nutno ouıt ronici kontinuit, orıaš alsı Bernoullio ronici ro jin ňsek rouoe trubice.

43 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 43 Polooa (otencialnı) energie rouu kaalin se urcuje k liboolnš olene oorone roinš. Zraila se olı ekiotencialnı loca nuloeo otencialu (U ) tak, ab rocaela nıe oloenm rureem. Jeo s ka je ak nuloa. Pro bo na roinou U je olooa s ka klana (ro bo o roinou U je aorna). tšcto raiel: Pro rakticke ouitı Bernoullio ronice ro okonalou kaalinu je mono srnout ostu o. V rouoe trubici se olı a rure. V jenom rureu je nutno nat s ecn elicin (,, ). Dru rure se olı rouoe trubici mıstš, ke je leana elicina, ricem ostatnı š elicin jsou name.. Roone se o usobu osaoanı tlaku, a to jejic absolutnı nebo relatinı onot, as ak o jene a tee ronice se osaujı oba tlak sonš. 3. Zolı se liboolna oorona roina, ktera se oauje a ekiotencialnı locu nuloeo otencialu. Zraila se olı tak, ab rocaela jenım branc rureu, a to nejcastšji nıe oloenm. Polooe s k se urcı ke olene oorone roinš. Nnı se naıs e Bernoullio ronice a octe nenama elicina. Pro ln, ktere majı oronanı s kaalinami malou ustotu, relaa tlakoa a kineticka energie, olooa energie se a uci nim anebat. U lnu je nutno urcit tlakoou energii s rilenutım ke stlacitelnosti tekutin. Pro rcle šje je nejblisı aiabaticka mšna, ri nı neocaı k mšnš tela tekutin s okolım. taoa ronice aiabaticke mšn κ konst C; se iferencuje κ. C κ κ C ( 7.6) a osaı o tlakoe funkce P κ κ κ κ κc C κ κ Bernoullio ronice ro aiabaticke roušnı okonaleo lnu ak je κ κ κ κ konst. ( 7.7) Pomocı staoe ronice rt se Bernoullio ronice na tar κ rt κ Zaee-li se ale rclost uku a κrt κ rt κ konst. ( 7.8) otom Bernoullio ronice naba alsı tar

44 44 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı a κ a konst. κ ( 7.9) 7.4. Mů renı mıstnı rclosti s g Trubice ieometricka Pitotoa s c c g Obr. 7.6 Princi mšrenı mıstnı rclosti Pitotoou trubici Uaujeme roušnı kaalin e ooronem otrubı ole obr.7.6. Je-li otrubı statick tlak s, ak kaalina stouı ieometricke trubici riojene k otoru, nartanemu kolmo ke stšnš a be otreu, o s k s g. Hlaina Pitotoš trubici (trubice anuta roti smšru roušnı otrubı) bue s e a jejı oloa bue aisla jak na retlaku otrubı s, tak i na rclosti rouıcı kaalin. V ňstı Pitoto trubice je mıstnı rclost, a te tlak bue roen tlaku celkoemu c s c. Roıl tšcto tlaku.je roen tlaku namickemu, or. u kaalin q tlaku kinetickemu q, Z Bernoullio ronice sanı ro mısta a s c ; ( ) Pro rclost kaalin mıstš ooıme ronici c s g ( 7.3) c c.3 s 3. (8-) s c s L P m Obr. 7.7 Prantloa trubice Obr. 7.8 Mšrenı tlakoe iference Pitotoa trubice mšrı celko tlak a je nutno statick tlak mšrit ieometrickou trubicı. Prantl narl trubici, je mšrı celko i statick tlak (obr.7.7). Prantloa trubice je torena alcom tšlesem

45 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 45 s ulkulom ukoncenım. V ose trubice je otor ro obšr celkoeo tlaku c, kter je een nitrnı trubicı. tatick tlak s se snıma race nebo otoru na las ti nšjsı trubice a je een ruou trubicı. Ab tlak s bl roen tlaku nerorus eneo rouu, je obšr statickeo tlaku umıstšn e alenosti ronajıcı se trem rumšrum trubice o jejıo ňstı. Pro Prantlou trubici ro rclost latı stejna ronice jako ro Pitotou trubici. Ú (7.3). Pri mšrenı rclosti otrubı s štsım retlakem se ouije iferencnı tlakomšr, nar. U- trubice, ktera je nalnšna mšricı kaalinou o ustotš m. Dnamick tlak c s se urcı mšrenı na U-trubici, tj. tlakoou s kou ramenu U-trubice jsou stejne s L P g g g o m (obr. 7.8). Pro roinu - latı, e tlak leem i raem, take latı c ( ) o ceo ro roıl tlaku latı c s g ( ) m Rclost tekutin je ak urcena taem c s g m ( 7.3) m Jestlie, (nar. ri roušnı lnu) ak se rclost tekutin octe e jenous eneo tau g m ( 7.3) Oklon Pitoto trubice o smšru roušnı o 6 o nema na sleek mšrenı ostatš li. Prantloa trubice umonuje oklon o sraneo smšru o 5 o. Pri sranem natocenı os trubice o smšru ektoru mšrene rclosti je ronice octena rclost s resnostı štsı ne % Obr.7.9 cema alcoe son Obr. 7. cema kuloe son

46 46 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı Pri mšrenı rclosti u ouromšrneo roušnı se ouıa alcoa sona Ú obr. 7.9, ktera ma tri otor umıstšne smetrick jene roinš. Roina otoru musı bt totona s roinou roušne. Otacenım son se nalene oloa, ri nı je otorec a 3 stejn tlak ( 3 ). Na stunici ňlu se oecte otocenı son coı olo a urcı smšr rclosti leem ke olene sourane soustaš. Z tlaku, kter je roen celkoemu tlaku c, se urcı rclost tekutin. ona musı bt cejcoana, nebo otor a 3 nemšrı resnš statick tlak. Jsou raila oklonšn o 45 o o os lanıo otoru. Kuloa sona obr. 7. slouı k mšrenı rclosti rouu. Ma št otoru smetrick umıstšnc kuloitem tšlese. V a ar otoru jsou umıstšn soumšrnš leem ke strenımu otoru, a to e ou kolmc roinac. Natacenım son kolem jejı os (-4-5) se nalene oloa, ri nı je e ou smetrick umıstšnc otorec a 3 stejn tlak. Z onot tlaku e strenım otoru a roılu tlaku otorec 4 a 5 se cejconı krik oecte elikost rclosti a jejı ňel s roinou --3. Pro mšrenı mıstnı rclosti slouı raa alsıc son. Pro mšrenı okamitc onot rclosti je treba ouıt meto s malou setracnosti, nejrosırenšjsı je metoa aeo ratku, nebo otick anemometr take naan Laser Dolerosk anemometr (LDA). Pri jenoromšrnem roušnı nar. uarenc kanalec nebo otrubıc, ri obtekanı tšles skutecna tekutina na stšnš lı a naslekem iskoit je rclost na stšnš nuloa. V ostatnım rureu je rclost neronomšrnš roloena o rutocnem rureu. Pitotoou, or. Prantloou trubicı se urcuje rclost mıstš, nšm je celo trubice. Posouanım trubice se mšrı rclosti, ktere jsou aisle na souranici. Graficke naornšnı rubšu rclostı o rutocnem rureu se naa rclostnı rofil. a b c s a b c s s s3 s4 s m Obr. 7. Urcenı strenı rclosti rclostnıo rofilu Obr. 7. Princi Venturio trubice Ma-li se namšreneo rclostnıo rofilu ocıtat strenı rclost, olı se rutocnem rureu on ocet bou Ú obr. 7., e kterc se mšrı rclost. trenı rclost se ak stanoı integracı res cel rutocn rure s ( 7.3)

47 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 47 Volba octu bou nebo roin je aisla na konkretnıc omınkac a nenı mono roto at unieralnı nao. Je-li rclostnı rofil nesmetrick, rıanš nika štne roušnı, olı se ocet bou obkle štsı Mů renı strenı rclosti a ru toku (ru reoa mů rila) Velmi casto se mšrenı rutoku nebo strenı rclosti reaı na mšrenı tlakoeo roılu mei šma rure, nic jeen je ň en. Klasickm restaitelem tšcto mšriel je Venturio trubice -obr. 7. sklaajıcı se e stunıo konfuoru, kratke alcoe casti se ň enm rureem a elsıo ifuoru. Zň enı rutocneo rureu usobuje šts enı rclosti a tım se ola okles statickeo tlaku. Tlako roıl je aisl na rutokoe rclosti (nebo rutoku) a a se jenous e mšrit. Nais me Bernoullio ronici mei rure a Venturio trubice s ooronou osou ri rutoku okonale kaalin. Dale naıs eme ronici sojitosti ; Pro iferencialnı manometr latı, e roıl ou tlaku - je urcen taem g ( ) m Res enım tšcto trı ronic ro strenı rclost ostaneme ra g 4 m K ( 7.33 ) Pro rutok latı ronice Q π π 4 g 4 4 m K Q ( 7.34 ) Obr. 7.3 cema clon Obr. 7.4 cema

48 48 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı Pri rutoku skutecne tekutin bue naslekem raulickc ooru skutecna rclost mensı. Tento li se arne soucinitelıc K, K Q. Prakticke roeenı Venturio trubice se roaı ole C N IO 567-, ke jsou ueen onot soucinitelu K, K Q aislosti na ň enı / m a elikosti Renolsoa cısla Re. Vele Venturio trubice se castšji ro mšrenı strenı rclosti nebo rutoku ouıa clona Ú obr.7.3 nebo a Ú obr- 7.4, jejic orobn ocet uaı C N IO tacionarnı rouů nı iealnı tekutin otrubım konstantnıo Pri toku kaalin uarene nare otrubım rureu je treba ocıtat tokoou rclost. Tato se urcı Bernoullio ronice. Kineticka energie na lainš tlakoe naobš je nuloa, co mue bti slnšno a ou reoklau. Buť o naob riteka stejne mnostı jako oteka, nebo je naoba tak rolela, e tekle mnostı kaalin usobı raktick anebateln okles lain. Potencialnı energie se tauje uci oorone roinš, rocaejıcı tšis tšm tokoeo otoru. To ma ou, e ro tento rure je otencialnı s ka nuloa. (jinak je mono olit liboolnou ooronou roinu a lainu nuloeo otencialu). U Na lainš nari je tlak rclost. Ve tokoem rureu je rclost, tlak ousı a olooa s ka Obr.7.5 Vtok tekutin u uarene nare. Pro rure a naıs eme Bernoullio ronici g Z oslenı ronice je mono ocıst tokoou rclost g g Za tlak a se osaı retlak nebo absolutnı tlak. K tlako roıl bue roen nule, je tokoa rclost ana raem g ( 7.35) ( 7.36) co je Torricellio orec, kter je las tnım rıaem Bernoullio ronice a bl ooen rıe ne obecnšjsı ronice Bernoullio. Z ronice kontinuit se ucı objemo nebo motnostnı rutok kaalin otrubım Q ; Q m Q ( 7.37) Ponamka: ueenem rıaš je uaoana okonala kaalina (be nitrnıo trenı Ú akost). U skutecne kaalin se usleku akosti sotrebuje cast energie kaalin na trecı raci. kutecna tokoa rclost bue roto mensı. Blıe je o tom ojenano alsı stati o toku skutecnc kaalin naob.

49 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin Prouů nı ake tekutin 8.. Naieroa-tokesoa ronice Ronoaa sil ri roušnı skutecne tekutin je jarena Naieromi-tokesomi ronicemi. Kromš sil nšjsıc, tlakoc a setracnc sojenc s lastnım obem castic tekutin, ristuujı u skutecne tekutin trecı sıl, ktere jsou usoben iskoitou tekutin. Pro matematicke jarenı trecıc sil se ouije Newtonu ta τ η. Ronoaa sil ri roušnı skutecne tekutin le asat e taru s t Pri ajemnem obu castic nikajı e skutecne tekutinš tecna naštı, ktera usobujı ňloou eformaci castic. Na elementarnı objem skutecne tekutin oobnš ranolku o stranac,, usobı na jeo locac smkoa i normaloa naštı Ú obr. 8. τ τ τ σ τ σ τ τ σ τ τ σ τ τ τ σ σ τ τ τ τ τ τ σ σ τ σ Obr. 8. Naštı na elementarnım objemu tekutin tanoı-li se ronoaa sec sil usobıcıc na elementarnı objem, ostane se Naieroa- tokesoa ronice, ktera e ektoroem aise ro nestlacitelnou tekutinu raoňlem souranem sstemu ma tar. a t gra gra υ Tato ronice se o Eulero ronice ronamik lisı oslenım clenem na rae stranš. Tento clen restauje sılu otrebnou k rekonanı iskonıo trenı tekutin. Pri res enı rouoeo ole se raila urcuje roloenı rclostı a tlaku. Vele oboe ronice (8.) se ulatnı i ronice sojitosti. ( 8.)

50 5 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı V sstemu iferencialnıc Naieroc-tokesoc ronic a ronice sojitosti jsou ctri nename elicin, tj. slok rclosti,,, a tlak. Pro res enı tšcto ronic musı bt name nšjsı rclenı a o, ustota tekutin a okrajoe omınk. Naiero-tokeso ronice atrı mei arcialnı iferencialnı ronice nelinearnı a nejsou obecnš res itelne. Analticke res enı je ostune ro jenoussı rıa laminarnıo roušnı. V soucasne obš i sloite rıa laminarnıo roušnı jsou res itelne numerickmi metoami nar. metoou konecnc objemu (metoa sıtı). 8.. Bernoullio ronice ro skutecnou kaalinu energetick oriont g g g g 3 3 g 3 g 3 3 cara energie H 3 U Obr. 8. Bernoullio ronice ro skutecnou tekutinu Ronoaa sil ri roušnı skutecnc kaalin je jarena Naieroou-tokesoou ronicı gra t a ( 8.) gra υ Vnasobıme-li tuto ronici skalarnš ektorem ra a o grau, ronice energie ma tar s gra. s a. s gra. s υ. s t t s i j k a a reoklau e Jejı integracı obrıme ro ustalene roušnı, k Bernoullio ronici ro skutecnou tekutinu Vra U. s konst. ν n. D. s e ( 8.3) restauje raci trecıc sil na jenotku motnosti rouıcı tekutin, co je rotlena (isioana mšrna energie, nebo te mšrna tratoa energie sotreboana na rekonanı raulickc ooru na

51 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 5 ňseku Ú rouoe trubice. Tato mšrna tratoa energie (tlakooukinetickouolooou) kaalin a mšnı se telo. mens uje mecanickou energii Bernoullio ronice ro roušnı skutecne kaalin, na kterou usobı oue tıoe rclenı - U-g. ma te tar g g Mšrna tratoa energie energii e e se mue jarit jako nasobek kineticke energie e, orıaš tratoou s kou e g e ζ nebo tlakoe. ronanım ueenc tau se ostane g ζ ( 8.4) Poslenı ronice jaruje raulick oor tlakom roılem, kteremu se traicnš rıka tlakoa trata. Poobnš elicina, je onacena jako tratoa s ka i k neje o tratu, ale neaanou remšnu mecanicke energie teelnou. Obš elicin a jsou mırou rotlene (tratoe) energie. oucinitel ζ je trato soucinitel a aisı na ruu raulickeo ooru ci trat. Bernoullio ronice ro skutecnou kaalinu sana ro rure, rouoe trubice (obr. 9.) omocı mšrne tratoe energie e g je g g g Kaalina rouı o rureu k rureu. Ztratoa s ka trat na ňseku mei rure -. ( 8.5) arnuje secn raulicke Poobnš jako ri roušnı okonale tekutin (obr. 6.5) je mone naornit grafick take Bernoullio ronici ro skutecnou tekutinu. Oectenım tratoe energie ro jenotlie rure o konstant Bernoullio ronice Y o ( gh ) se urcı mecanicka energie kaalin, tj.soucet tlakoe, kineticke a olooe energie uaoanc rureec, ktera je naornšna iagramu (obr.8.) rıslus nou carou. Roıl mei carou celkoe energie a carou mecanicke energie restauje rotlenou (tratoou) energii. V teelnš ioloane rouoe trubici se es kera rotlena energie jako teelna reaa tekutinš, cım rusta jejı nitrnı energie a stoua telota tekutin. C len se tratoou s kou ronici ( 8.5) narus uje smetrii ronice. Pro srane nasanı Bernoullio ronice ro skutecnou kaalinu je treba se rıit ronš tremi rail (ost. 6.3), k nim riba als ı: 4. mšrna tratoa energie e g arnuje soucet sec raulickc trat na ňseku mei rure -, ro nš se ıs e Bernoullio ronice, a ricte se na te stranš ronice, ktera latı ro rure rouoe trubice e smšru roušnı alenšjsı.

52 5 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı 9. Laminarnı rouů nı Laminarnı roušnı je ostatnš jenoussı ne turbulentnı, tecnicke rai se sktuje tam, ke jsou male rutocne kanal, štsı iskoita kaalin a mensı rutokoe rclosti. Laminarnı roušnı le res it integracı Naieroc-tokesoc ronic, sloitšjsı rıa roušnı se resı numerickmi metoami. Jenoussı rıa roušnı se ajı res it eaktnš a jsou robran alsıc kaitolac. Pri res enı laminarnıo roušnı se ulatnuje Newtonu ta skutecnosti, a roto se osauje obra soa s eerimentalnımi slek. τ η, kter ooıa 9.. Laminarnı ruů nı kruoem otrubı kter na rae se mšnı na (). Tšmto tlakum ooıa tlakoa sıla. π. r a ( ) π.r Na las ti alecku usobı trecı sıla. t τ. π. r. Ve ooronem kruoem otrubı olıme elementarnı objem e taru souoseo alecku, i obr. 9.. Na takto olen objem kaalin usobı sıl los ne a to trecı a tlakoe. Objemoe sıl se neulatnı, rotoe otrubı je oorone a roušnı je ustalene. Na celnı locu oleneo alecku usobı tlak,. Vsecn ueene sıl musı bt a ustaleneo roušnı ronoae, nebo setracna sıla je nuloa. Pro ronoau sil latı r r t () τ f (r) τma f (r) s ma R Obr.9. Laminarnı roušnı otrubı Dosaenım rau a jenotlie sıl ostaneme. π. r ( ) πr πτ. r Z ceo τ r Preoklaa se,e latı L r L ( 9. ) Z oslenı ronice je rejme, e smkoe naštı je u laminarnıo roušnı roloeno linearnš i obr. 9..

53 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 53 Dosaenım Newtonoa tau ro smkoe naštı iferencialnı ronici rclostnıo rofilu L r.r η a o integracı obrıme ronici ro rclost 4η L r K τ η o recaejıcı ronice ooıme r Integracnı konstanta se urcı okrajoc omınek na stšnš trubice, ke rclost castic kaalin je nuloa. Pro r je, ceo integracnı konstanta K 6η Po osaenı o obecneo res enı je rclostnı rofil laminarnıo roušnı kruoe trubici jaren taem 4η L r Maimalnı rclost je ose otrubı (r ), a to ma 6η L Graficke naornšnı ronice rclostnıo rofilu roinš reu rocaejıcıo osou trubice je karaticka arabola. V rostotu restauje rclostnı rofil rotacnı araboloi. Ú obr. 9. Prutok trubicı se urcı integracı elementarnıo rutoku kaalin L ( 9. ) ( 9.3 ) Q πrr, kter roteka elementarnım meikruım na olomšru r o sırce r tlakom roılem na elce trubice L Q π π η L 8. πr.. r r r. r Tuto ronici ooil roce Poiseuille, francousk lekar, kter stuoal roušnı kre ılac. Ueen ra latı resnš ro laminarnı roušnı. Eerimentalnš ošril tento akon roušnım o e sklenšnc kalilarac. Neaisle na nšm ooil ueen ra te Nšmec ηl Hagen roce 839. Proto se onacuje tato ronice osti casto jako Hagen-Poiseuilleoa. Q trenı rclost ole rutoku se ocıta e tau V ceo s π π.. s 4 8 3ηL ηl Poronanım strenı rclosti (9.5) a maimalnı (9.3) la ta s ma 4, 4 ( 9.4 ) ( 9.5 )

54 54 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı Je treba riomenout, e laminarnı roušnı otrubı nastane ri Re Re k 3, co je soucasnš r Obr.9. Robšoa raa laminarnıo rofilu omınkou latnosti Hagen-Poiseuilloa akona. Zakon Poiseuilleu latı jen ro ustalenı laminarnı roušnı, k rclostnı rofil jenotlic rureec je stejn, co nastaa o urcite rae o ocatku trubiceobr.9..tekutina o stuu o trubice ma rclostnı rofil ooıajıcı okonale tekutinš. V rem okamiku majı casteck kaalin u stšn rclost stejnou jako ostatnım rouu kaalin. Tere stkem kaalin se stšnou jsou casteck bršn, cım nikajı roıl rclostec castic a nikajı tecna naštı o akosti mei jenotlimi rstami rouu. Tak jsou ostunš brťoan alsı castice, jaru rouu jsou castice naoak urcloan. Draa na nı se ıjı rclostnı rofil, se naa robšoou raou laminarnıo rouu. Pro robšoou rau uaı Boussinesq ra r,65re, ciller r, 5 Re. Je rejme, e k ustalenı rclostnıo rofilu oje osti aleko o stunıo rureu, take kratkc trubkac se laminarnı rclostnı rofil neine, a roto u nic akon Hagen-Poiseuilleu nelatı. 9.. Laminarnı rouů nı mei ronobů nmi eskami τ L () ττ τ f () τma b. ( )b R ma f () s Obr.9.3 Laminarnı roušnı mei eskami Mei ronobšnmi stšnami je tlakom saem olano laminarnı roušnı e ooronem smšru (obr. 9.3). Preoklaa se iotermicke roušnı (t konst), a te i ioiskonı (η konst.). Vertikalnı alenost esek je. Ronoaa sil je jarena obobnš jako recaejıcım rıaš tlakomi a trecımi silami. Na ranolek o jenotkoe sırce b a romšrec, usobı elementarnı tlakoa sıla. a elementarnı trecı sıl t τ. b ( τ τ )b Ronoaa sil je jarena ronicı, take o osaenı a sıl se ostane b b τ a o ňraš je t

55 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 55 τ i Z Newtonoa tau η τ se urcı erioanım ( η konst. ) τ η i Poronanım oslenıc ou rau obrıme iferencialnı ronici ro rclostnı rofil η ( 9.6 ) Tlako ňbtek bue rımo ňmšrn elce L, roto latı i L L L Po ojı integraci ronice( 9.6) se ostane ηl K K Integracnı konstant se urcı okrajoc omınek. Na stšnac esek castice kaalin lı, a roto majı nuloou rclost. Pro a je, too K Po osaenı a K o ronice (9.7) ostaneme K ηl oku ro K latı K ηl Po osaenı o obecneo res enı se ro rclost ostane ( ) η L Rclostnı rofil je karaticka arabola. Maimalnı rclost se urcı omınk ro maimum, tj.. Maimalnı rclost je urostre alenosti esek, cili ma los kou b. Q 8η L Prutok se urcı integracı elementarnıo rutoku b b 3 ( ) b η L trenı rclost ole rutoku je η L Q b ( 9.7 ) ( 9.8 ) ( 9.9 ), kter roteka elementarnı

56 56 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı s Q Q b η L Pomšr strenı a maimalnı rclostı je s ma 3 Proušnı meere mue bt olinšno kromš tlakoeo sau te obem jene e stšn rclostı ±u (obr. 9.4). Pro tento rıa se ooı rclostnı rofil ronice (9.7) ro okrajoe omınk K u,,, ± u. Pak integracnı konstant jsou u 8ηL ±, K ± a o osaenı o ronice (9.7) je rclostnı rofil urcen taem ηl 4 ± u Rclostnı rofil jsou naornšn ro oba smsl unas ie rclosti u na obr ( 9.) ( 9. ) () u (-) u Obr.9.4 Rclostnı rofil sloeneo roušnı Jestlie je roušnı olano jen unas enım, ak rofil je linearnı ± u L a rclostnı ( 9. ) Rclostnı rofil sloeneo roušnı (olaneo tlakom saem a unas enım stšn) urcen ronicı (9.) je sectenım rclostnıc rofilu ro ılcı roušnı.- ro (9.8) a (9.) Prutok ri sloenem roušnı, jeo rclostnı rofil je urcen ronicı (9.9), se urcı integracı Q / b L η ± ub L 3 η / trenı rclost sloeneo roušnı meere je s Q b ηl ± u ± ub ( 9.3 ) ( 9.4 ) 9.3. Laminarnı rouů nı e alcoe meere-meikruı V raulickc strojıc a arıenıc se casto setkaame s rıa, k kaalina rouı alcoou meerou (rutocn rure je meikruı)-obr.9.5. Tak je tomu u cerael, turbin, s ouatek, entilu, klunc loisek ao. Proušnı e alcoe roinš le res it ro male onot s / jako roinutou alcoou meeru o roin, cım se rıa riee na roušnı mei šma ronobšnmi.- i ka. 9.. Valcoe meer slouı k tšsnšnı nejrunšjsıc castı raulickc stroju

57 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 57 a arıenı, nic jena kona uci rue relatinı ob. Nejjenoussı rıa nastane, k obš casti jsou relatinım kliu. Vajemna oloa obou castı mue bt buť souosa nebo strenı. Prutok alcoou meerou le urcit jako rutok mei šma eskami. ırka meer tomto rıaš se rona obou krunice, te b π a alenost esek ooıa tlous ka alcoe meer, cili s. Po osaenı se ostane rutok: L Obr.9.5 Valcoa meera Q a strenı rclost Q. L L s, ke rutocna loca alcoe meer je 3 ( 9.5 ) ( 9.6 ) πs. Protekle mnostı alcoou meerou aisı na tretı mocninš jejı tlous k, roto je snaou konstrukteru ocılit co nejmensı ule, ab objemoe trat bl minimalnı. Poobn li ma strenost. Na rutok ma te li strenost meer, ktera nastane, jestlie os obou alcoc loc o rumšrec a nebuou totone. Maimalnı strenost je e ma. Prutok meerou s maimalnı strenostı je,5 štsı ne u souose alcoe meer tekanı o sisle stů nů Viskonı kaalina, ktera ulıa na sisle stšnš, steka o nı liem tıoeo rclenı (obr. 9.6). Preoklaa se iotermicke roušnı (t konst), ktere je take ioiskonı (η konst). Na elementarnı casticı kaalin o sırce b a romšrec, usobı tıoe a trecı sıl e smšru os. Preoklaa se ustalene ronomšrne roušnı. Vslenice sil e smšrec os, jsou nuloe. Na roranı stekajıcı rst kaalin o tlous ce s ousım je tlak ousı je konstantnı. Ronoaa sil na olen elementarnı ranolek je jarena ronicı gb τb ( τ τ ) b o. Tlak e stekajıcı rstš a o ňraš se ostane iferencialnı ronice τ g jejı res enı je τ g K o

58 58 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı Tecne naštı na roranı kaalin s ousım je temšr nuloe, te ro je τ, cili g. Prubš smkoeo naštı e stekajıcı rstš je an ronicı ( ) K o τ g ( 9.7 ) Tecne naštı se jarı Newtonom taem rclostnı rofil g K τ η a integracı se urcı Na stšnš je rclost nuloa, ak ro je a integracnı konstanta K. Rclostnı rofil stekajıcı rst kaalin o stšnš je urcen ronicı g Prubš rclosti e rstš je arabolick (9.6). Maimalnı rclost je na roranı rst s ousım a octe se omınk ro g ma ν je ma, cili Prutok rstou kaalin o sırce b se urcı integracı elementarnıo rutoku los kou le ronice (9.6) Q τ gb gb b 3 Pro an rutok Q se urcı tlous ka rst 3 ττ f() Obr. 9.6 tekanı o sisle stšnš 3Q gb 3 ( 9.8 ) ( 9.9 ) b rclostı ( 9. ) ( 9. ) trenı rclost e rstš je s Q b g 3 Poronanım strenı rclosti s maimalnı rclostı la ta s 3 ma ( 9. ) ( 9.3 )

59 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 59. Turbulentnı rouů nı.. Vnik turbulence Ji oloinš minuleo stoletı Renols jistil a formuloal, e se tekutina mue oboat šma kalitatinš cela olis nmi t roušnı, ktere ak bl naan laminarnı a turbulentnı. Roranı mei obšma ru roušnı nam uaa Renolsoo kriticke cıslo. Jeo onota je aisla na raš arametru nar. na geometrii rouu, tlakoem sau, at. Pro otrubı kruoeo rureu je sonı me asi. Pro ustalene laminarnı roušnı je carakteristicke, e se castice tekutin obujı o aralelnıc raac, jenotlie rst se naajem nemısı (neuaujeme molekularnı ifui). Laminarnı rou tekajıcı ooou ma lak orc jako sklenšna tc. Pro turbulentnı roušnı jsou ticke ulsace sec elicin nar. rclostı. Trajektorie castic tekutin jsou neraielne, ocaı k inteninımu romıcaanı celeo objemu rouıcı tekutin. Porc turbulentnıo rouu o tekajıcıo ooou je roto neraieln, "rsn" a rou je nerulen. Okamite onot s ec elicin neustale kolısajı kolem strenı onot. Pro tecnicke oct rai jsou štsinou uleite strenı onot jis tšne a ostatecnš lou caso interal jako nar. rclostnı rofil - tj. aislost strenı rclosti na alenosti o stšn otrubı - ro ocet rutoku. Oclk okamitc onot o strenıc mueme rošlit na erioicke a naoile, ktere naame fluktuace. Nar. fluktuace rclosti ri inutem turbulentnım roušnı otrubı osauje asi % strenı rclosti. Preco laminarnio roušnı o turbulentnıo je jes tš stale stuoan, neuaren roblem. Za rıcinu niku turbulentnıo roušnı se oauje nestabilita laminarnıo roušnı ri ssıc Renolsoc cıslec. Je-li Renolsoo cıslo rouu Re štsı ne Re, kriticke nenamena to s ak jes tš, e b laminarnı roušnı nemolo eistoat, ale je nestabilnı a i male oruc roušnı, nikajıcı nar. e stunım rureu temšr neustale, moou bt rıcinou roucenı laminarnıo rouu (analogick je je s tıla tc namaana na šr), nebo tto oclk o strenı onot eonencialnš narustajı. Je-li Renolsoo cıslo mensı ne Re kriticke, jsou tto oruc iskoitou tekutin utlumen. Pri ostunem s oanı Renolsoa cısla, nar. s oanım rclosti roušnı otrubı, neocaı raila ke mšnš roušnı nale Ú skokem, nbr urcitem, i k relatinš malem interalu Renolsoc cısel - otrubı kruoeo rureu asi o o 4. Pri urcitc onotac Renolsoa cısla se otrubı objeujı ru kratke ňsek turbulentnıo rouu strıane elsımi ňsek laminarnıo roušnı (turbulentnı atk).tento t roušnı se naa intermitentnı roušnı. rostoucım Re jsou ňsek turbulentnıo rouu stale elsı a laminarnıo kratsı a ostunš laminarnı ňsek cela miı. Pri rutoku otrubım se celo turbulentnı atk obuje rcleji ne jejı tl a atka se s rostoucı alenostı o stunıo rureu stale ıce roluuje, a se ostatecne alenosti o stuu o otrubı objeuje jen turbulentnı roušnı, i k se Renolsoo cıslo roušnı nemšnı. Pri turbulentnım roušnı je ak roustnost otrubı mensı ne b mola teoretick bt ri laminarnım reimu. As ak turbulentnı roušnı je stabilnšjsı.

60 6 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı laminarnım a turbulentnım roušnım se setkame nejen ri rutoku tekutin otrubım, tj. ri nitrnıc ňloac mecanik tekutin, nbr i ri obtekanı tšles, tj. ri nšjsıc ňloac mecanik tekutin... Carakteristik turbulentnıo rouů nı loo turbulence namena matek, neokoj, neukanšnost, neraielnost, naoilost, iokost, bourliost. Zatım nenı jenotna efinice turbulentnıo roušnı, jenotlic efinicıc se uranujı raila jen nšktere nak. Turbulentnı roušnı je trojromšrn, casoš romšnn ob tekutin, n nšm kaa elicina nar. rclost, tlak, ustota, telota a. (oku nenı nškterc uou konstantnı) se mšnı ıce menš naoile. Naone (caoticke, stocasticke) rs turbulentnıo roušnı jsou ominantnı. Nele s ak asi efinoat turbulentnı roušnı a "cela naoile", jenak i turbulentnı roušnı je oisoano aklanımi ronicemi ro rostoroe roušnı, i ka. 9, jenak turbulentnı roušnı obsauje usoraane skuin ıru ane "koerentnı struktur". K tšmto onatkum se osšlo bšem oslenıc nškolika esıtek let, ık stale se okonalujıcım eerimentalnım metoam. Vstaa nnı otaka, a je naoilost fluktuacı ostacujıcı k tomu, ab turbulentnı roušnı blo oisoano statistickmi metoami, nebo a Ie najıt, jine onšjsı meto. V rai se moou sktnout roušnı, u kterc bueme na roacıc, a je arait o kategorie turbulentnıo nebo neturbulentnıo roušnı. Perioicka roušnı (nar. ln na onı lainš) se neoaujı a turbulentnı roušnı. Pro turbulentnı roušnı jsou, strucnš srnuto, carakteristicke: ) luktuace rclosti, tlaku a rıanš alsıc elicin. ) Vır o runc elikostec, o nejštsıc s romšr sronatelnmi s elikostı rouu tekutin jako nar. olomšrem otrubı, je se eformujı, romıcaajı a roaajı a o nejmensı o rumšru setin mm, je jsou silnš tlumen iskoitou tekutin a jejic kineticka energie se remšnuje e nitrnı teelnou energiı. 3) Naoilost (stocasticnost, caoticnost) mšn je ominantnı, i k i e inutem turbulentnım roušnı blo rokaano, e eistujı usoraane skuin ıroc struktur, nacujıcı se naonmi fluktuacemi faoeo osunu. 4) amobuenı. Jenou nikle turbulentnı roušnı se ale uruje samo tım, e tarı noe ır, ktere naraujı ır, je jsou liem iskoit isioan. 5) Promıcaanı (ifuiita) je mnoem intensinšjsı ne ri laminarnım roušnı (smšs oanı usobene obem molekul), nebot' turbulentnı smšs oanı je usobeno elkmi ır, obujıcımi se e s ec trec smšrec na mnoem štsı alenosti, ne je strenı olna raa molekul. Pro mšrenı casoš romšnnc elicin blo treba inout secialnı rıstroje s malou setracnostı, nebo sektrum fluktuacı se obuje o H o kh. Nar. ro mšrenı okamitc rclostı, res. sloek, nele ouıt Prantlou trubici (mšrı strenı onotu), nbr termoanemometr se aenm ratkem, nebo lasero anemometr. Tto rıstroje reašjı rclost na elektrick mšritelne elicin. Na oscilografu ak ıskame nar. anam okamitc onot sloek rclostı e smšru a urcitem mıstš jako funkci casu. Prubš a oaujeme a naon Ú obr.. a mueme o carakterioat tšmito elicinami:

61 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 6 á trenı onotou res. a cas T nar. T T t (.) rona strenı onotš T t T Okamitou onotu le ak jarit jako soucet onot strenı a fluktuacnı sloku ronu nule) (nnı oaujeme erioickou. (. ) Z ronice (.) lne, e strenı onota strenı onot je a ak strenı onota fluktuacı je rona nule (.3 ) Intenita turbulence carakteriuje relatinı elikost amlitu fluktuacı rclosti leem ke strenı onotš rclosti nar. ro smšr ε. T Obr.. C aso rubš rclosti (.4 ) Intenita turbulence ri inutem roušnı otrubı kruoeo rureu je aisla na smšru - oelne fluktuace jsou štsı ne rıcne, ose majı minimum, maimum je tšsne blıkosti stšn a na stšnš jsou ron nule. Intenita turbulence je efinoana stejnš jako ariacnı koeficient matematicke statistice Ú obr... ε [%] stena ε ε r t osa otrubı Obr.. Roloenı turbulence otrubı, -oa sloka je oelna Ú aialnı, -oa je raialnı U stocastickc jeu nenı jenonacna aislost mei šma nebo ıce elicinami, jako je tomu u eterministickc aislostı, co se rojeuje jako etailec olis ne slek oakoanc eerimentu. Eistuje sak urcita rašoobnost, e onotš jene elicin ooıa urcita onota rue elicin. Tato aislost mue bt tšsna nebo olna, rıanš ana. tuen aislosti uaa korelacnı soucinitel. Z rubšu korelacnıc soucinitelu le ak urcit runa mšrıtka turbulence. Nar. elkoe makromšrıtko carakteriuje efektinı romšr ıru, at..3. Matematick ois turbulentnıo rouů nı Prıme moeloanı s uitım Naier-tokesoc ronic, i ka. 9, bue jes tš louo kabinetnı aleitost. Pro rakticke ouitı se uıajı ) tatisticke teorie. Prenosoe je turbulentnım rouu majı ominantnı naon carakter a blo riroene ouıt k jejic oisu nastroje matematicke statistik. Ji minulem stoletı

62 6 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı Renols urail Naiero - tokeso ronice ro turbulentnı roušnı tak, e narail okamite onot elicin jejic strenımi onotami a fluktuacemi. Dostal tak tri noe ronice, naane o nšm Renolso ronice, se s esti nomi nenammi tu τ ij i j ke ine i a j ostunš naraıme smbol ro sourane os,, ŽVra ( ) i j (.5 ) je strenı onota soucinu fluktuacnıc sloek rclostı. Prae stran ronice (.5 ) majı romšr naštı a naajı se Renolsoa (anlia) turbulentnı naštı. Protoe nnı ocet nenamc res uje ocet ronic, nenı soustaa ronic uarena, a leajı se stale noe monosti uarenı sousta. Tımto smšrem se e nebueme ıce abat. ) emiemiricke moeloanı strenıc turbulentnıc elicin. Tento smšr se soustreťuje na stanoenı elicin je majı nam ro inenrskou rai, jako nar. ole strenıc rclostı, tecna naštı, a. Prnı okus res enı turbulentnıo roušnı reloil Boussinesq (877), kter ael anliou (ıroou) iskoitu A, je je analogiı namicke iskoit tekutin. Na roıl o nı nenı anlia iskoita latkoou lastnostı, nbr je funkcı souranic a je aisla na geometrii a alsıc carakteristikac rouoeo ole. Pro roinne turbulentnı roušnı le ak anlie tecne naštı jarit ronicı τ A t a slene tecne našti turbulentnım rouu bue rono souctu ( A) τ η. (.6 ) Ve se obš mšl elk nam moel renosu bnosti (Prantl, 95), caejıcı analogie s kinetickou teoriı lnu. Analogiı strenı olne ra molekul bla t. smšs oacı elka, kterou blo nutno urcit eerimentalnš. I tato elicina bla funkcı souranic, res. geometrie rouoeo ole. luktuace rclostı, res. anlie tecne naštı, blo ňmšrne soucinu smšs oacı elk a mıstnıo graientu strenı rclosti. I res elmi rube reokla bl ıskan namn a ones unaan sleek - logaritmick rclostnı rofil, obr..3. * ln K, κ (.7 ) ke konst ro an rıa roušnı. τ je tecne naštı na stšnš, je ustota tekutin. * τ Drua omocnina oılu tšcto ou elicin ma romšr rclosti a naa se trecı rclost *, je olelost o stšn otrubı, κ je t. Karmanoa konstanta, jejı onota se obuje kolem,4 a K je integracnı konstanta. Tento t. logaritmick akon nelatı blıkosti stšn, nebo na stšnš, ro, aa nekonecnš elikou rclost. Ani integracnı konstantu nemueme jako obkle stanoit omınk, e na stšnš tekutina lı a rclost je nuloa. Prantl a Karman roto ošji rošlili turbulentnı rou blıkosti stšn na tri oblasti, t.j.- obr. 3.. a) akou orstu, tšsne blıkosti lake stšn, ke reauje iskonı tecne naštı na anlim turbulentnım naštım, nebot' rıcne slok fluktuacnıc rclostı jsou stšnou tlumen.

63 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 63 Tato rsta bla uonš naana laminarnı orstou, ale eeriment blo rokaano, e se nı sktujı fluktuace. Tato rsta je elmi tenka, lomk milimetru, ale ma elk nam ri restuu tela. Rclostnı rofil je rımko. b) turbulentnı jaro rouu, urcite alenosti o stšn u tecne naštı usobene iskoitou tekutin je anebatelnš male e sronanı se anlim turbulentnım naštım. V teto oblasti latı logaritmick akon, teto formš an akon stšn. c) recooa rsta je ta cast rouu, ke obš tecna naštı usobena iskoitou nebo turbulentnım smšs oacım obem jsou raoš stejnš elika a rclost lnule recaı rımkoeo na logaritmick akon. Na aklaš eerimentu roeenc lakc trubicıc bl stanoen i nename konstant logaritmickem akonš:. * * 5,75log 5,5 ν V literature abajıcı se turbulencı se aaı beromšrna rclost * (.8 ) (.9 ) a beromšrna olelost o stšn * Logaritmick akon ma ak tar. 5,75log 5,5 (. ) 5 5 laminarnıorsta f( ) ma r 5,75log * recooa rsta turbulentnıjaro log 5.5. log Obr..3 Turbulentnı rclostnı rofil * a je naornšn semilogaritmickc souranicıc na obr..3. Jestlie integracnı konstantu K ronici (.7 ) urcıme omınk ro osu trubice, ro nı je olelost o stšn rona olomšru trubice r a rclost je e rona maimalnı rclosti ma, ostaneme o ňraš ronici ro t. eficit rclosti (take efekt rclosti) ma co je ňbtek rclosti leem k rclosti ose: Z ronice iıme, e eficit rclosti neaisı na rsnosti, co blo otreno i eerimentalnš. (. ) Zname-li ronice rclostnıo rofilu strenıc rclostı ( r) a okaeme-li integracı o rureu stanoit objemo rutok Q, strenı objemoou rclost o rureu * * ν τ Q a omšr maimalnı rclosti na ose rureu ku strenı objemoe rclosti, tj. rclost, kterou jsme osaoali o ronice kontinuit a o Bernoullio ronice a stejnš jako rıe ji bueme onacoat rostm

64 64 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı ısmenem, ak mueme teoretick ooit i soucinitele trecıc trat ri turbulentnım roušnı. Z omınk ronoa sane ro elementarnı castici tekutin e taru alecku o rumšru ronem rumšru otrubı a elce. π τ π 4 4 (. ) (oku mueme ocıtat i trecı rclost jako funkci tlakoeo sau /) a uraeneo Weisbacoa orce λ, (.3 ) ke je strenı objemoa rclost o rureu, obrıme ra uaajıcı aislost soucinitele trecıc trat na elicinac je aisı na taru rclostnıo rofilu τ 8 λ * 8 (.4 ) Ponamka: Mısto logaritmickeo akona se turbulentnım roušnı ouıa take starsıo emirickeo mocninoeo akona, obr..4 ke ma r n, (.5 ) ma je maimalnı rclost tj. rclost ose otrubı, jeo olomšr je r o. Eonent n nenı konstanta, ale mšnı se s Renolsom cıslem o 7 o a s rsnostı otrubı. [m] str.8 ma ma osa r [m/s] stena Obr..4 Turbulentnı rclostnı rofil obcejnc souranicıc. Vs e ueene a moel turbulence moou osktnout oue strenı onot sloek rclostı, rıanš soucinitel turbulentnıc trecıc trat. Neokaı stanoit alsı uleite elicin, je carakteriujı turbulenci jako jsou nar. Renolsoa naštı, kineticka energie turbulentnıc fluktuacı ( ) k / at. Tto elicin s ak sıs e saajı o roblematik statistickc moelu a bue o nic ojenano ka. 9.

65 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 65. Hraulick ocet otrubı Hraulick ocet otrubı je aloen na alikaci ronice kontinuit, Bernoullio ronice ro skutecnou kaalinu na urcenı raulickc ooru, neboli raulickc trat... Hraulicke oor (trat) Pri roušnı skutecnc tekutin nikajı naslekem iskoit raulicke oor, tj. sıl, ktere usobı roti obu castic tekutin. Mecanismus raulickc ooru je sloit je, kter se osu neoarilo eaktnš res it a na jenoussı rıa laminarnıo roušnı. Proto se raulickc octec ulatnuje raa oloemirickc meto. taujeme obkle na jenotku motnosti, tı nebo objemu a latı ta e τ τ Y k g ζ Prace trecıc sil (tecnc naštı o iskoit) ri roušnı skutecnc tekutin usobuje rotl (isiaci) energie, co sniuje mecanickou energii rouıcı tekutin. Rotlena energie se mšnı telo (štsı se nitrnı energie tekutin, orıaš okolı), co je neratna mšna. Traicnš se roto rotlena energie naa tratoa, i k nae neooıa akonu o acoanı energie. Rotlenou (tratoou) energii (. ) Po ojem raulicke oor arnujeme ri roušnı skutecne tekutin secn ňc ink, ktere usobujı rotl energie. Rotlena (tratoa) energie na raulickc oorec se rojeı buť jako tlako ňbtek (nucene roušnı otrubı ao.), nebo ňbtkem kineticke energie (tok naob otor ao., anebo snıenım olooe energie (roušnı kortec, graitacnı otrubı ao.) Ú obr... τ l Hraulicke oor se šlı na oor trecı a mıstnı. Trecı oor jsou carakteristicke tım, e aisı na elce otrubı, kanalu, ao. Ztrato soucinitel trecıo ooru je rımo ňmšrn elce otrubı L. Mıstnı oor nikajı mıstec, ke se mšnı elikost rclosti (mšna rutocneo rureu), smšr rclosti (akriene otrubı), orıaš elikost i smšr rclosti (armatur) a ocaı ritom k otrenı rouu a niku ırie oblasti. - Obr.. Tlako sa a tecne naštı Ztrato soucinitel ζ mıstnıo ooru aisı na geometrii uaoaneo mısta (mšn rureu, akrienı ao.) a na roušnı (ru kaalin, rclost). Tlakoa trata je roıl tlaku na elce otrubı l (u trecıo ooru) nebo roıl re mıstnım oorem a a nım. ikalnš restauje rotlenou energii objemoe jenotk rouıcı tekutin. Ztratoa s ka restauje rotlenou energii taenou na tıoou jenotku rouıcı tekutin.

66 66 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı.. Trecı trat otrubı Laminarnı rouů nı. U laminarnıo roušnı ro Re<3 se elikost tlakoe trat ci tratoe s k a ooit analtick. Pri res enı jeme ronice (9.) ro strenı rclost s 3η. L Z ronice ocıtame tlakoou tratu a roeeme ňrau ke 3ηL 64 L ν Re ; η ν ν Potom tlako sa je urcen ronicı λ L ke trecı soucinitel je urcen taem λ 64 Re Pro tratoou s ku latı L g λ g 64 Re L (. ) (.3 ) (.4 ) Vs e ueene ronice latı ro newtonske tekutin a s ostatecnou resnostı i ro otrubı s omšrnou rsnostı o ε, 5. Jak okaal eeriment je oclka o octenc onot mensı ne %. To os em reoklaa inut ronomšrn rclostnı rofil. Pri neronomšrnem rclostnım rofilu, kter je usoben nar. mıstnım oorem, jsou trecı trat štsı, a to o a 3%, ro trecı soucinitel latı moifikoana ronice λ A Re ke A 7 a 85. V tšcto rıaec je Re k 6. (.5 ) Turbulentnı rouů nı. U turbulentnıo roušnı je tecne naštı štsı a roto jsou trat trenım štsı ne u laminarnıo roušnı. Vjaruji se stejnm usobem, tj. tratoou s kou nebo tlakoou tratou jako u laminarnıo roušnı ( t. Darc-Weisbacoa ronice) λ L L g λ g oucinitel trenı λ je aisl na elikosti Renolsoa cısla Re a relatinı rsnosti e k (.6 ) (.7 )

67 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 67 ke ( ) l f Re,e Re - Renolsoo cıslo k e - relatinı rsnost stšn k Ú je absolutnı rsnost stšn otrubı (.8 ) Ronice ro trecı soucinitel se nea res it analtick, roto musela bt stanoena eerimentalnš. Pro lake otrubı k, roce 93 ooil Blasius emirick ta,364 4 Re λ ( Re Re 8. 4 k ) (.9 ) Nikurase ro lake otrubı uaa ole sleku okusu orec 4 λ ( Re 6. ) [ log( Re λ ),8] (. ) Vli rsnosti otrubı s etroal Nikurase letec 93 a 933. V eerimentec ouil bronoe otrubı kruoeo rureu o runc rumšrec. Nejre roel mšrenı lakem otrubı. Potom mšnil rsnost otrubı naleenım trıšnc ıskoc rn. Vslek mšrenı jsou ueen iagramu na obr... Krik ro rune omšrne rsnosti k r se ooutaajı o rımk Blasio, ktera restauje rubš soucinitele trenı ro lake otrubı. rostoucım Renolsom cıslem recaejı soustau car ronobšnc s ooronou osou. Z obr. je atrne, e o urciteo Renolsoa cısla, ktere aisı na omšrne rsnosti, ma soucinitel trenı onotu stalou a nealeı na Re. taem Obr.. Nikuraseo iagram λ (Re,ε) V teto oblasti Ú ane inute turbulentnı roušnı Ú jaril Nikurase soucinitel trenı λ Re λ 9, log,38 k k (. ) Mei oblastı raulickc lakc otrubı a oblasti inuteo turbulentnıo roušnı je oblast recooa, nı soucinitel trenı λ aisı jak na Renolsoš cısle, tak na omšrne rsnosti. Pro tuto oblast blo runmi autor ooeno nškolik esıtek ronic, nejcastšji se sak ouıa orec, kter ooil Colebrook

68 68 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı l,5 log,7 Re l k,5 ; log, 7 l Re l k (. ) Tato ronice je imlicitnı a λ se musı res it iteracı. Proto bl oslenıc letec mnoa autor ooen ro λ elicitnı orce. Jako rıkla je ueena ronice ooena Curcillem λ 8 8 Re ( a b),5 (.3 ), ,457 ln a,7 e b Re Re 6 6 Absolutnı rsnost otrubı k aisı na ruu materialu, racoanı a roonıc omınkac (koroe, eroe). Pole kus enostı runc autoru jsou tab. ueen rsnosti branc materialu. Tabulka. Absolutnı rsnost materialu otrubı Absolutnı rsnost otrubı k Material otrubı Puonı sta (mm) Korooan sta (mm) Taene trubk mosane, mššne, linıkoe,5 a,3,3 a, Bees e trubk oceloe,4 a,, a,9 Taene trubk oceloe,3 a,, a,9 aroane trubk oceloe,5 a,, a,9 Poinkoane trubk oceloe,5 a,5,5 a 3,5 Vooonı otrubı o -ti a ıce letec roou,6 a 3, klenšne trubk, trubk lastu, 5 a, Proe aice, a,3 Betonoe otrubı,3 a 6, Zrsnšnı nitrnıc stšn otrubı tarel Nikurase umšle trıšnm ıskem. Tato umšla rsnost, ktera je temšr ronomšrna, se s ak lisı o skutecne rsnosti, ktera je neronomšrna. Proto rubš soucinitele trenı recooe oblasti se u riroene rsnosti olis uje o rubšu ro umšlou rsnost, jak to otril Colebrooko eeriment. Ú obr..3.

69 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 69 log λ e k konst riroena rsnost lakč otrubı umela ostra rsnost lnit a rsnost log Re Obr..3 Trecı oor otrubı s riroenou a Obr..4 Dru rsnostı umšlou rsnostı Kromš absolutnı elikosti stuku neronosti k ma elikost soucinitele trenı ostatn li te tar tšcto stuku. Rolis ujı se š rsnosti, a to rsnost, ktera je usobena ostrmi a kratkmi stuk a rua lnita rsnost, ktera je usobena aoblenmi neronostmi taru louc ln Ú obr..4. U rsnosti rnıo ruu aisı soucinitel trenı ıce na omšrne rsnosti a menš na Re-cısle. U lnite rsnosti aisı soucinitel ıce na Re-cısle a menš na omšrne rsnosti. Vslek mšrenı trecıo soucinitele λ runmi autor, reesım Colebrooka, jsou na obr.5. Z iagramu f ( Re, ) Obr..5 Moo-Colebrook iagram λ f(re, k r ) λ je atrne, e ro turbulentnı roušnı se krik ro rune rsnosti k r rimkajı ri nisıc cıslec Re k Blasioš rımce. O urcite onot Re se ooutaajı a ribliujı se oorone rımce. V turbulentnım roušnı se u stšn otrubı torı aka orsta, ktera rikra neronosti orcu Ú obr..6.

70 7 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı Z leiska liu rsnosti na soucinitel trenı λ se rošluje turbulentnı roušnı na tri oblasti 3. Hronamick laka stšna Ú tomto rıaš aka orsta akrje neronosti orcu, tto nemajı li na tratu trenım a otrubı jsou raulicke oor trenı jako lakem otrubı. Tako obtekan orc se naa ronamick lak (obr..6) - k δ.. Oblast recooa Ú nı neronosti orcu acınajı cnıat ake orst. Tato oblast je carakterioana tım, e soucinitel trenı je aisl na Re a omšrne rsnosti -( l f ( Re,e) ).Tato oblast ole obr..5 leı mei Blasioou rımkou a ooronmi rımkami ro rune rsnosti. 3. Oblast inuteo turbulentnıo rušnı Ú tomto rıaš je tlous ka laminarnı orst mala, take neakrje neronosti obtekaneo orcu. Trecı soucinitel λ je aisl na omšrne rsnosti ε. V obr..5 je tato oblast carakterioana ooronmi rımkami ro runou omšrnou rsnost. Nekruoe ru tocne ru re. Laminarnı roušnı (leem k latnosti Newtonoa akona ro tecne naštı o iskoit) nekruoc otrubıc se a res it matematick. U laminarnıo roušnı se trenım o stšn otrubı brı castice celem rutocnem rureu. Menı rstaú lnuje cel rutocn rure a jeo tar ma li na roloenı rclosti neboli rclostnı rofil. Proto je nutno ro ka rure ooit ta ro trecı trat a nele je reocıtat jenoo rureu na ru. U turbulentnıo roušnı otrubı se li trecıc sil na obtekanc stšnac omeı na ostatnš mensı rstu, ktera e sronanı s carakteristickmi romšr rutocneo rureu je elmi mala. Tlous ka menı rst u turbulentnıo rouu aisı reesım na Re cısle. Jestlie tar rutokoeo rureu otrubı nema ostatš li na soucinitel trenı, jsou trat trenım turbulentnıo roušnı otrubı nekruoeo rureu urcen stejnmi orci jako ro kruoe otrubı. Mısto rumšru kruoeo otrubı je s ak treba osait ekialent ro nekruoe rure, omocı nšo se octe Re-cıslo, soucinitel trenı a tratoa s ka. Tento ekialent se naa raulick rumšr Ú a je urcen taem konst O Konstantu ňmšrnosti je mono olit. Vonš se stanoı omınk, ab raulick rumšr kruoeo otrubı bl roen jeo rumšru cili. Protoe rutocn rure Z ronosti π 4 π 4 k k π 4 f () δ >k k Obr..6 Hronamick lak orc a omocen obo O π je k a u kruoeo otrubı je O la konstanta k 4. Je te raulick rumšr efinoan taem

71 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 7 4 O (.4 ) Ve rau je rutocna loca a O je omocen obo rureu. Hraulick rumšr te ekialent nekruoeo rureu a restauje kruoe otrubı o sštlosti je, nšm jsou stejne raulicke trat jako nekruoem rureu. Hraulick rumšr se mue osait o rau ro omšrnou rsnost, o Renolsoa cısla a o rau ro tratoou s ku λ ; λ f ( Re, kr ); Re ; kr g k (.5 ) Z too je atrne, e ocet trat trenım nekruoem otrubı (turbulentnı roušnı) je son s octem tee trat kruoem otrubı. Pro reco laminarnıo roušnı turbulentnı nekruoc rureec se uauje Re k stejne jako u kruoeo otrubı..3. Mıstnı oor (trat) V kaem otrubı bajı ele ronc ňseku i runa kolena, obock, armatur, mšrıcı arıenı, cistice, claice ao., kromš too se mue mšnit rure otrubı. V tšcto castec otrubı ocaı ke mšnš elikosti i smšru rclosti roušnı, co ola ırenı, orıaš otrenı rouu kaalin sojene s rotlem energie. Energie rouıcı kaalin se rotluje mıstš otrubı, ke ocaı ke mšnš ektoru rclosti, roto je rotl naan mıstnımi tratami. soucinitelem Velikost mıstnıc trat se jaruje obobnš jako trata trenım rclostnı s kou a tratom m ζ m g nebo jako mšrnou tratoou energiı e g ζ m Ztrato soucinitel (.6 ) (.7 ) ζ m aisı na ruu mıstnı trat, konstrukcnıc arametrec, rsnosti stšn, taru rclostnıo rofilu a na reimu roušnı. Vli Re-cısla se rojeuje Ú obobnš jako u trecıc ooru Ú reesım ri malc onotac Re-cısla. Pri elkc Re-cıslec je trato soucinitel ooru konstantnı. loitost jeu sojenc s ırenım mıstnıc oorec usobuje to, e teoreticke stanoenı tratoeo soucinitele mıstnıc ooru je neostune (kromš jenoucc rıau). Proto se trato soucinitel ζ urcuje eerimentalnš. Takto urcena aislost tratoeo soucinitele latı jen e stejnc omınkac, a nic bl mšren, nebo e fikalnš oobnc rıaec. Mıstnı oor otrubı se moou jarit ekialentnı elkou trenım stejna jako mıstnı trata. Z ronosti tratoc s ek le ζ λ g g le otrubı, nšm je trata

72 7 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı se urcı ekialentnı elka otrubı l e ζ λ (.8 ) Za soucinitel trenı a rumšr se osaı onot latne ro ron ňsek otrubı. Pri mšnac rureu se mšnı rutocna rclost a mıstnı trat se moou jarit aislosti na rıtokoe nebo otokoe rclosti - obr..7. ζ ζ g g Z teto ronice la ta ro reocet tratoc soucinitelu ζ ζ ζ Uraen omocı ronice kontinuit ζ 4 ζ ; ζ ζ 4. Pro kruoe rure latı (.9 ) (. ) (. ) Ztrata nalm rosırenım ru reu. t ( ) Obr..7 Nale rosırenı rureu Pri nalem rosırenı rureu se otrne rou kaalin o stšn a torı se ır obr..7. Na elce rosıreneo otrubı se rou kaalin rosırı nou o celem rureu. e mšnou rclostı je ojena mšna tlaku. Pri rosırenı rureu klesa strenı rclost, a roto musı stounout tlak. Pro okonalou tekutinu, ktera b nemšla trat trenım ani ırenım, je an tlako roıl Bernoullio ronicı Teoretick tlak rureu je onacen t a je mensı o tlakoou tratu sojenou s rosırenım rureu. Pri roušnı skutecne tekutin otrubı a kanalec nenı roloenı o rureu ronomšrne, a roto kineticka energie takoeo rouu je štsı, ne ooıa onotš ocıtane e strenı rclosti ole rutoku, jak blo ooeno rıe. Pri neronomšrnem rošlenı rclostı jsou trat ri nalem rosırenı rureu štsı ne ri ronomšrnem. Nasleujıcı ocet se roee ro ronomšrn rclostnı rofil. K octu bnosti je treba sranš olit kontrolnı objem, kter musı arnoat celou oblast, nı se mšnı rclost rouu. V uaoanem rıaš torı kontrolnı objem alec omeen rure a. Bricı sıla e smšru rouu je ana roılem tlakoc sil rureec a. Protoe tlak rureu je konstantnı, je bricı sıla, ktera ola mšnu bnosti, ana raem ( )

73 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 73 Tlak rureu tšsnš a rosırenım je stejn jako tšsnš re rosırenım, rotoe rou kaalin se nerosıril, a tım i tlak se te nemšnil. Bricı sıla se rona mšnš bnosti kaalin rotekle jenotce casu. Hbnost rureu je ana raem H, oobnš rureu je H. Prutok kaalin rure a je stejn. Hbnostnı šta Q m ma tar ( ) ( ) Tlako roıl je urcen Bernoullio ronicı ro skutecnou kaalinu, ( ) g Oectenım oslenıc ou ronic se ostane o ňraš ra ro tratou s ku nalm rosırenım rureu ri uitı ronice sojitosti g Dalsı raou ostaneme ( ) g g g (. ) Tento orec ba naan Boru (766) nebo Carnotu. Ztrato soucinitel ro nale rosırenı je urcen ro rutokoou rclost (onacen ξ ) a otokoou rclost (onacen ξ ) tšmito ra: ζ ζ (.3 ) Ztrata nalm rosırenım rureu je usobena ır oblasti mei otrenou rounicı a stšnami. Pri elkem omšru rureu je trata štsı ne octena onota, nebo se mue rotlit cela rclostnı s ka. Vteka-li kaalina rclostı otrubı o elke nare, nı je rclost anebatelna, rotlı se cela kineticka energie kaalin. Ztrata nalm ň enım ru reu. K teto tratš ocaı mıstš naleo ň enı rureu, ke se ň enım ola rclenı kaalin. Prou kaalin nemue naslekem setracnosti sleoat tar stšn otrubı. Matematicke res enı trat ň enım caı e mšn bnosti kaalin. Postu ooenı je obobn jako ro nale rosırenı. Pro tratoou s ku se ooı ronice

74 74 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı A C ' B m B A C Obr..8 Nale ň enı rureu ζ ζ g g g g g g (.4 ) Ztrato soucinitel ζ taen na rıtokoou rclost nebo otokoou rclost je ζ ζ Ztrat ifuorec. Pri tratš nalm rosırenım blo okaano, e ocaı ke nacnm tratam usobenm otrenım rouu a ırenım. Ztrat moou bt ostatnš mens en, jestlie reco mensıo rureu na štsı bue ooln, jak je tomu u ifuoru. Difuor se ouıa lanš tam, ke je treba remšnit kinetickou energii rouu na tlakoou (u oukoc rclostı) s nejmensımi tratami. Je namo, e elmi malm rosırenım rureu se mšnı natelnš roušnı, a to ejmena rclostnı rofil, kter je tım ıce rotaen e smšru roušnı, cım je ňel rosırenı štsı (obr..9). Do ňlu rosırenı o α 6 a 8 o ustaa rotaen rclostnı rofil smetrick k ose ifuoru. Pri alsım šts enı ňlu se rou ňc inkem tlakoeo graientu otrne o stšn a smetrie rouu se orusı. torenı ıru. l k α Pri ňlec rosırenı α o a 5 o nastaa otrenı rouu raila o jene stšn, na nı je rclost mensı. Proto nemue ojıt k otrenı rouu na rotšjsı stšnš. Rclostnı rofil se stane nesmetrickm. Nesoumšrnost rouu je casto oroaena nestabilnım otraanım, co ola kmitanı rouu (ulsace) a V ifuorec s štsımi ňl rosırenı ne 5 o a 6 o nemue rou sleoat stšn ifuoru a otraa se o celem rureu. Otraanı o stšn je oroaeno mensımi ulsacemi rouu. V ros irujıcı se troubš nebo kanale rusta smkoe naštı naslekem s enı turbulence, co usobuje s enı trat. Ronš ulsace risıajı ke s enı trat. Nastaa-li otrenı rouu ifuoru, jsou trat usoben reanš niklmi ır. Vsecn trat moou oroaet tratu trenım ifuoru. Celkoe trat ifuoru je mono roesat na tratu trenım a tratu sojenou se mšnou rureu, take. t r kutecn tlako roıl na ifuoru je an roılem tlaku rosırenem a ocatecnım rureu a musı slnoat Bernoullio ronici ro skutecnou tekutinu cili l Obr..9 Kueloe otrubı (ifuor)

75 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 75 g g Protoe tratoa s ka se a jarit rclostnı s kou rureu, je trato soucinitel ifuoru an raem g ζ Poobnš se urcı trato soucinitel ifuoru taen na otokoou rclost : g ζ Pro okonalou tekutinu (be trat) je tlako roıl mei rure a štsı, Ucinnost ifuoru, s nı se mšnı kineticka energie na tlakoou, je ana omšrem skutecneo roılu tlaku k teoretickemu, to je η (.5 ) Hraulicke trat ifuoru jsou sojen se mšnou rureu, a roto je le jarit omšru ke tratš nalm rosırenım Ú ro... ( ) g n r ζ oucinitel r ζ se naa stuen rau. Pri rostoucım ňlu roerenı ifuoru, k mšna rureu recaı nalou mšnu, se stuen rau blıı onotš jena. Hraulicke trat ifuorec se ajı jarit tremi usob: ( ) g g g r ζ ζ ζ (.6 ) Ztratoe soucinitele, ζ ζ a stuen rau r ζ se urcı mšrenım. Pro ajemn reocet soucinitelu, ζ ζ, r ζ slouı ronice r ζ ζ ζ (.7 ) nebo

76 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı 76 r ζ ζ ζ (.8 ) Kueloe otrubı. Pri uoanı rureu je raulicka trata usobena ronš trenım a le ji urcit integracı na elementarnı elce kueloeo otrubı. Ú obr... Ztrata trenım na elementarnım ňseku urcena taem g λ Celkoa trata se urcı integracı iferencialnı ronice, ricem je nutno uaoat mšnu rumšru a rclosti o elce kueloeo otrubı. Ronš soucinitel trenı λ se mšnı s Re-cıslem, as ak malem romeı, take se uauje strenı onota s λ jako konstanta. Prumšr se mšnı se souranicı ole tau l l ; ; l l l l kter la oobnosti trojňelnıku (obr..). Z ronice kontinuit la ro rclost l Dosaenım o rau ro se ostane 5 5 l l s g l λ a o integraci je tratoa s ka kueloem otrubı l l g l s λ g g l s λ ζ (.9 ) Z oslenı ronice la ra ro trato soucinitel trat kueloem otrubı tg l s a l l (.3 ) Zmů na smů ru rouů nı. V kaem otrubnım sstemu se raila sktuje rek, nšm se mšnı smšr rclosti tekutin. Tento rek torı akriene otrubı, oblouk, kolena a take kombinace oblouku. V tšcto rcıc ocaı k rotlu energie, ktera se jaruje mıstnı tratou mšnou smšru roušnı. α l l l Obr.. Kueloe otrubı (konfuor)

77 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 77 c s r r r r R ϕ s ϕ Obr.. ıl na elementarnı casti rouu akrienem otrubı K torenı resta roušnı akrienem otrubı je uitecne si os imnout roušnı okonale kaalin kruoem oblouku. Preoklaa se, e kaalina riteka ke kolenu konstantnı rclostı roloenou o celem rureu Ú ronomšrnš (obr..). Naslekem akrienı ra usobı na castice kaalin ostreia sıla, ktera musı bt ronoae s tlakoou silou. Ab nikla tlakoa sıla usobıcı o streu kriosti, musı na štsım olomšru r usobit štsı tlak. Toto le osanout soulau s Bernoullio ronicı tım, e se rclost castice snıı. Pro elementarnı casticı kaalin o romšrec s, r, ktera se obuje e oorone roinš na olomšru r a ma jenotkoou sırku, je ronoaa tlakoe a ostreie sıl c jarena ronicı s r m Hmotnost elementarnı castice je m s r. Pro s ecna lakna na runc olomšrec r, ktera caejı rureu -, ke rclosti a tlak jsou ronomšrnš roloen, latı Bernoullio ronice ceo konst. Dosaenım rau ro iferencial a m o ronice jarujıcı ronoau sil se o ňraš ostane r r Integracı se ostane ln ln r ln k neboli r konst. To je akon otencialnıo ıru. Zaislost rclosti a olomšru r je grafick naornšna ronoosou erbolou. Ú obr... V roeene ňae a octec nejsou arnut trecı sıl o iskoit, ktere se buou ulatnoat ri rutoku skutecne kaalin. Z erbolickeo roloenı rclostı je atrne, e mei casticemi kaalin jsou relatinı rclosti, ktere u skutecnc kaalin olaajı tecne naštı ňmšrne roılum rclostı. kutecna tekutina nemue te rotekat kolenem jako okonala kaalina, ro ni bl ooen ueene ra. C astice omalejsı buou brit castice

78 78 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı r Obr.. Rclostnı rofil oblouku rclejsı, ricem u skutecne kaalin se castice remis ujı na štsı nebo mensı olomšr. Vnika sloit (siralo) rostoro ob. oucastı tooto roušnı je ırie roušnı rıcnem reu, carakteristicke šma ır oacneo smslu. Prou na nitrnı ranš kanalu se mue otrnout, take nikajı ır i u stšn (obr..3). Prubš tlaku na nitrnı a nšjsı stšnš kolena je nacen na obr..3. Carkoana rımka naornuje rubš tlaku rımem otrubı. V iagramu je nacena tlakoa trata a jejı slok ooıajıcı trecım tratam ( t ) a ırenı ( ). A-A č lka kolena nejsı stena R A ϕ nitrnı stena t l Obr..3 Proušnı akrienem otrubı Obecnš je te aislost tratoeo soucinitele jarena funkcı R o f, e,re, geom. t ar OUPA TKO VENTIL KOHOUT KLAPKY δ δ δ Obr..4 cema armatur C etne slek mšrenı tratoeo soucinitele jsou ueen literature. Jejic slek se osti rocaejı, rotoe akrienem otrubı ma li mnoo arametru, ktere nejsou stejnš oren e s ec eerimentec. Oor armaturac. Armatur (entil, s ouatka, koout a klak) slouı k uarenı otrubı nebo k regulaci rutoku ci tlaku (obr..4). Pri cela oterenc uašrkac majı bt trat co nejmensı. Pri lnem oterenı majı nejmensı oor s ouatka a koout. U entilu jsou trat štsı (a 5 krat) a aisı na akrienı rounic e entiloem tšlese. Hraulick oor je usoben jenak trenım, ale

79 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 79 lanš ırenım. Deskou s ouatka, entilu, klak nebo tšlesem kooutu se uuje rutocn rure. Prou kaalin nesleuje okrajomi rounicemi resnš mšn rureu a ocaı k otrenı rounic a niku ıric oblastı. Tto je olaajı raulick oor sojen s rotlem energie. Ztrato soucinitel se jis uje mšrenım. Obecnš aisı na konstrukcnım roeenı armatur, na jejım omšrnem oterenı a na Re-cısle. Carakteristick rubš tratoeo soucinitele je naornšn iagramu na obr..5. ro s ouatko. ξ l λ g Pomšrn sa je urcen omšrem i l λ Protoe armatur restaujı romšnn oor Ú obr..5, ouıajı se elmi casto tecnicke rai ro regulaci rutoku tekutin..4. Graitacnı otrubı Graitacnı otrubı obr..6 sojuje š nare A,B se saem. Potrubı se reoklaa loue, a roto relaajı raulicke trat trenım, trat mıstnı se anebajı. Uauje se otrubı jenouce s konstantnım rumšrem a elk l. Nare jsou rolele, rclosti na lainac jsou elmi male, sa je te konstantnı. Obš nare a graitacnı otrubı torı rouoou trubici, ro kterou mueme nasat Bernoullio ronici, ktera nasana ro rure a ma tar neboli λ Q 8λ Q 5 g g π g Protoe omšrn sa je mal, roto latı aıs e e taru obč lnıko kruo rure Obr..5 Ztrato soucinitel A s ouatka l L α g o g Toto je ronice ro graitacnı otrubı, u ktereo se otencialnı energie sotrebuje na rekonanı raulickc trat. Protoe relaajı raulicke trat trenım, s uitım Darc-Weisbaco ronice se recaejıcı ronice uraı i &, nebo ro male ňl α je tg α & sinα & α. L l (.3) Poku nenı li mıstnıc trat anebateln, otom Bernoullio ronice mei rure a se l l l g.. B Obr..6 Graitacnı otrubı ( l l ) e g Ze l e je ekialentnı elka otrubı naraujıcı mıstnı trat (i ka..3)

80 8 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı.5. Jenouce otrubı s narı Pro jenouce otrubı Ú (obr.. 7) elk l, rumšru, ro rure a a reoklau, e nar je romšrna Ú latı Bernoullio ronice l Obr..7Jenouce otrubı l g g λ ζ ( ζ ) c (.3) V ronici jsou uaoan trat trenım i trat mıstnı - ζ. Celko trato soucinitel c l l l l l e arnuje trat trenım a s ecn trat mıstnı (tok o otrubı, oblouk, armatur ao). Mıstnı trat je mone jarit take omocı ekialentnı elk Ú l ek. Jenouce otrubı je urceno ro raulick ocet ctrmi elicinami: elkou otrubı l, rumšrem otrubı, saem a rclostı nebo rutokem Q. oucasnš jsou name fikalnı lastnosti tekutin, mıstnıc trat. Jena e ctr elicin absolutnı rsnost stšn otrubı, trecı soucinitel λ a trato soucinitel sec l nebo Q mue bt urcena res enım ronice (.33) ri cem ro trecı soucinitel je one olit elicitnı ronici, ab neblo nutne λ ocıtat iteracı. Pri naru otrubı je nutne leem ke solelie cinnosti otrubı oret uleitou omınku a sice, e osa otrubı leı o carou tlaku. Pro efinoanı car tlaku reoklaejme oorone otrubı s narı Ú obr..8. sojnici lain nari s koncem otrubı Ú obr..9. Oecteme-li o lain nari rclostnı s ku g a sojıme-li takto nikl bo s koncem otrubı ostaneme caru tlaku. Protoe u otrubı obkle g ak caru tlaku ostaneme, jako Obr..8 uaı caru tlaku u otrubı s mıstnı tratou nar. armaturou situoanou obecnem mıstš otrubı. g cara tlaku cara energie cara tlaku g Obr..8 C ara tlaku ro jenouce otrubı

81 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 8.6. loene otrubı cara tlaku g Obr..9 C ara tlaku otrubı s armaturou A B Pro ka okru latı ζ 3 4 C 5 8 Diagonala 6 G Obr.. cema otrubnı sıtš D 7 H V tecnickc alikacıc se uıa elmi casto i otrubnı sloenı Ú t. otrubnı sı - obr... loenı otrubı moou bt štena nebo okrunı. Okrunı otrubı nikne tak, e e štene sıti se a ul sojı t. iagonalou. U otrubnı sıtš se reoklaa, e obšr buou oue ulec sıtš. Pro ka uel sloeneo otrubı musı latit ronice sojitosti - Q i. ro ka ňsek (šte) je mone nasat ronici ro tlako sa (ro jenoucost se uaujı s ecn ňsek ooronš) ζ c Li g λ i ζ g. Ma-li otrubnı sı i ňseku, j ulu a k okruu, otom celko ocet ronic oisujıcıc otrubı je n i j k (.33 ) Jena se o soustau linearnıc a karatickc ronic. Jejic res enı je nutne roest numerick s uitım ocıtace. Je one riomenout, e ro numericke res enı se leajı one algoritm, ktere arucujı rclou konergenci res enı..7. Carakteristika otrubı H U jenoucc rıau octu otrubı je one ouıt graficke res enı omocı carakteristik,- f ( ) Q, ktere ro roinute turbulentnı roušnı jsou jaren karatickou arabolou. U sloitc otrubnıc sıtı bue naoak one uitı numerickc meto omocı ocıtace. L Obr.. cema ooroneo otrubnıo ňseku Uaujeme oorone otrubı staleo rureu obr... Pro ocatecnı rure a konecn rure naıs eme Bernoullio ronici g rotoe reoklaame otrubı konstantnıo rureu, otom ronice sojitosti latı a ronice se jenousı. Po ňraš ostaneme. c 4 H c Q kqq rg g g k Q Q Q (.34 )

82 8 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı ke ζ c L λ ζ Tlakoa s ka H uaa roıl tlakoc s ek na ocatku a na konci otrubı, kter je otrebn ro rutok Q. Zaislost f ( ) H je karaticka arabola a jejı graficke naornšnı je carakteristika Q otrubı Ú obr.. H H Q H H Q H Q Q -Q etna Q klaka -H -H Obr.. Carakteristik ooroneo otrubı Je-li na acatku otrubı štna klaka, ktera branı rutoku oacnem smslu, otom carakteristika otrubı e tretım karantu slne se aornou osou H. Pro otrubı se stouanım (se saem)- obr..3 obobnm usobem ooıme ronici ro tlakoou s ku. H ± kqq ± k rg Q Q Q (.35) cema otrubnıo ňseku se stouanım cema otrubnıo ňseku se saem Obr..3 Carakteristika otrubı se stouanım (klesanım) je ronš karaticka arabola, ktera ma rcol arabol osunut naoru (olu) o s ku.-obr..4. H -Q Q -H H Q -H etna klaka Carakteristik otrubı se stouanım Obr..4 - H -H Q - H -H Q etna klaka Carakteristik otrubı se saem Usek otrubı moou bt raen serioš (a sebou) nebo aralelnš (ele sebe). Pri serioem raenı otrubnıc ňseku je rutok kaeo ňseku stejn, tlakoe s k sec ňseku se scıtajı. Pri aralelnım raenı otrubnıc ňseku jsou tlakoe s k ro s ecn ňsek stejne a rutok e sec ňsecıc se scıtajı.

83 JANALIK,J. - TA VA,P.: Mecanika tekutin 83. Vtok kaalin naob, rea.. Vtok malm otorem n Obr.. Vtok naob otorem e nš Uaujeme tok kaalin otorem e nš ole obr.. Protoe olooa s ka je ro cel otor konstantnı, otom rclost otoru je ronomšrnš roloena. Vtokoa rclost tomto rıaš se ocıta Bernoullio ronice. V obecnem rıaš se uauje nari tlak, kter je olis n o tlaku ousı, o nšo teka kaalina otorem o rureu. Naoba ma konstantnı rure n (alec, ranol) a je nalnšna o s k (obr..). Pro skutecnou kaalinu latı Bernoullio ronice sana ro lainu nari a ro toko rure r g g (.) r Preoklaame, e rure tokoeo otoru je e sronanı a rureem nare elmi mal otom rclost oklesu lain n Pro tratoou s ku latı nama ronice ζ. g Potom ronice (.) ro tokoou rclost latı g ϕ g ζ Pro teoretickou tokoou rclost ( ζ ) ostaneme t g Pomšr skutecne a teoreticke rclosti je rclostnı soucinitel ϕ t ζ Pri stejnem tlaku nari a e tokoem otoru je tokoa rclost urcena ronicı ϕ g Pro ϕ je teoreticka rclost t g o (.) (.3) (.4) (.5) co je nam Torricellio ra.

84 84 VB-TU Ostraa, katera romecanik a raulickc arıenı Pri toku naob nelnuje rou kaalin raila cel toko otor, nebo rounice se nemoou nale akriit ole ran otoru. etracnosti castic kaalin je usobeno ň enı nebo kontrakce arsku. Vjaruje se soucinitelem kontrakce ε (.6) oucinitel ň enı aisı obecnš na taru tokoeo otoru, jeo umıstšnı uci bocnım stšnam a na Re-cısle. kutecn tok kaalin otorem o osaenı ronice (.4) a (.6) je ke Q. e. j. g mo g Q m e. j Q t je toko soucinitel, kter ronš aisı na taru otoru ci natrubku a Re-cısle. Zaislost, ε, µ f ( Re) ϕ ro ostrorann otor ole sleku mšrenı je ueen na obr... (.7).. Vtok elkm otorem bocnı stů nů b Obr.. Rclostnı, kontrakcnı a toko soucinitel maleo otoru Obr..3 Vtok elkm otorem obecneo taru Pri relatinš elkem otoru e sisle stšnš je nutno resektoat aislost tokoe rclosti kaalin na loubce uaoaneo mısta o lainou tlaku ousı. kutecna tokoa rclost kaalin je urcena taem (.) nebo (.4). Vtok kaalin naob se urcı integracı. Elementem tokoeo otoru b (obr..3) teka elementarnı skutecn rutok kaalin Q µ.. µ. b g. Vtok romšrnm otorem je urcen obecnš integralem Q Q µ b g (.8)