Západočeská univerzita v Plzni Fakulta strojní

Transkript

1 Zápaočeská unierita Plni Fakulta strojní Semestrální práce přemětu Matematické moeloání (FAV / KMA / MM ) - Straoání Mene 4 Bor - Vpracoal: Datum: 6.1.8

2 Obsah 1. Úo a popis řešené problematik Pojm Řešení Část 1 Řešení teplot jíla Část Řešení maximální možné rchlosti atáčce Část 3 - Řešení maximálního možného rchlení na počátku cest s ohleem na sklenici část 4 - Řešení maximálního rchlení s ohleem lití pití Shrnutí počtených fakt Záěr... 16

3 1. Úo a popis řešené problematik Semestrální práce, jejíž problematika a ýsleek je pracoán násleujícím okumentu se abýá teplotou jíla áaného a konumoaného Mene 4, Unieritní 1, Pleň. Práce se abýá řešením násleujících otáek: - opoíá teplota jíla při ýeji teplotě, jíž žauje norma? - le optimalioat cestu stráníka ke stolu ( pohleu rchlosti a rchlení)? Práce cháí situace: Běžný stráník, si bere jílo. Jeho alší krok eou k automatu s pitím a násleně k poklaně, ke a akoupené proukt platí. Poté se á na cestu ke stolu. Vhleem ke kušenostem je uažoáno, že stol prní části jsou obsaené či naměrně aplněné a stráník je nucen obsait stůl až části ruhé ( te u karuselu pro oběr práných táců). Obráek 1 - schéma popisující roložení men Cílem práce je jistit, a teplota jíla po usenutí stráníka a stůl, cháí teplot le norm a te teplot, kterou b jílo mělo mít okamžiku ýeje, čímž b alespoň části bla aručena teplota eoucí k chutnému požíání pokrmu. V alších části práce jsou pak ěnoán optimaliaci cest stráníka o poklaen ke stolu, te určení možného rchlení a rchlosti, kterou si stráník může oolit inout a to na áklaě násleujících okrajoých pomínek: - stráník nechce připustit lití pití atáčce - stráník nechce připustit pohb sklenice s pitím po tácu - stráník nechce připustit lití pití při rchloaní a pomaloání chůe 3

4 . Pojm Běžný stráník stráník baující se k oběu ponosem (tácem), příborem, hlaním jílem a pitím Sklenice jená se o sklenice masiního skla s uchem, kalibroaným obsahem,4 l. - oměr nitřní álcoé ploch (určené k uchoání kapalin) jsou 65 x 13 mm. Normoaná teplota je teplota jíla aná českou hgienickou normou o proou ýejen jíla a je rona 63 C. 3. Řešení 3.1. Část 1 Řešení teplot jíla - V části 1 se bueme abýat teplotou jíla při ýeji, po usenutí ke stolu a během požíání. Definice problému: Běžný stráník po akoupení pokrmu, aplacení, chůi ke stolu a usenutí, apočne konumaci. Ptáme se, bla teplota jíla okamžiku ýej oprau 63 C? Měl te stráník možnost chutnat si akoupené jílo teplé až mírně horké? Řešení: K řešení tohoto problému užijeme paralel mei chlanutím koumaného jíla a těles. Zákon (ákonitost): Newtonů ákon ochlaoání. Speciální přípa energetické bilance (tepelné bilance). - Sloní formulace: Okamžitá časoá měna teplot je úměrná roílu teplot ně a unitř tělesa. - Matematické jáření: T ( t) t k ( t) ( T ) T ( ) T t Ke: T (t ) teplota tělesa čase t k teplotní koeficient charakteriující tepelné lastnosti tělesa a okolí ( k > ) teplota okolí T teplota čase Dáno: t sec.. tomto okamžiku je jílo položeno stráníkem na stůl T 53 C.. teplota naměřená okamžiku usenutí ke stolu C.. teplota okolí t c min 4 sec. Čas naměřený o okamžiku ýeje o okamžiku měření T 4

5 T ( t) t k ( t) ( T ) t Metoou integračního faktoru jistíme k: T ( ) 53 k * e 31 k * e 31 k *1 k 31 ( ) k * e λt λt λ T t 31* e Koeficient k není nám, je proto nutné empirické jištění alší teplot a te proeení nebtného měření aném časoém interalu t 3min. Měření blo proeeno třech přípaech, ýslek jsou apsán násleující tabulce. kt č. měření Pokrm T (3) [ C] 1 oto 5,9 ajská omáčka 5,5 3 Segeínský guláš 5, T (3) je roíl teplot o T 53 C, naměřený po 3 minutách chlanuti okolí o teplotě 3 C Průměrná honota honot roíloých je: 5,9 5,5 5, Ø 5,53 C T ( 3) T( ) T( 3) 53 5,53 47, 47 C 3 Dosaíme: t3; T (t) 47,47 C T ( t ) 31* e 47,47 31* e 5,47 31* e k3 kt 5,47 k3 e ,47 k *ln 3 31 k,655 k3 5

6 Známe te honotu koeficientu k a můžeme pětně osait: T t 31* e ( ),655t Nní se ptáme, pře jakou obou mělo jílo teplotu 63 C? Te: T(t)63 C; t? T ( t ) 63 31* e t ( 63) 31* e e,655t( 63),655t( 63),655t( 63) 1 41 *ln, t( 63) 4,7 4min16sec Vhleem k tomu, že cesta s jílem ke stolu a te k prnímu měření čase t (53 C) trala min a 4 sec je řejmé, že teplota okamžiku ýeje bla nižší nežli teplota aná normou. Bohužel i přesto, že náme skutečnost a íme o nižší teplotě, racionálně si uěomujeme bemocnost této ěci něco uělat a jenat náprau. Bueme se te ěnoat tomu, jak si opřát jílo o šší teplotě naor henikepu počáteční teplot. Pokusíme se te o optimaliaci cest (max. rchlost a rchlení), kterou stráník absoluje o poklaen ke stolu. Obráek - Schéma men - Vnačen počátek a cíl cest stráníka 6

7 Popis schématu: - schéma a efinice ráh cháí přepoklau že stol jsou prní části men obsaen ( což je elmi častý je) a stráník je te nucen usenout až části ruhé ( u karuselu pro použité tác ) - stráník ačíná cestu boě start - absoluje nejříe cestu po přímce, poté atáčí o leého směru a opět pokračuje přímo 3.. Část Řešení maximální možné rchlosti atáčce Definice problému: V řešení prní úloh optimaliace rchlosti a rchlení stráníka se objeují prní problém a to maximální možná rchlost, kterou si stráník může oolit při průchou atáčkou. Stráník nechce opustit lití pití e sklenice. Jakou nejšší možnou rchlostí může stráník projít atáčkou, ab se hlaina pitia otkla maximálně okraje sklenice (te boe B i. schéma) Zákon ( ákonitost): Statika tekutin - Euleroa ronice statik tekutin: - ke: V. objem S. porch ρ. hustota. setračné rchlení Hmotnostní síla o rchlení a porchoá síla o tlaku musejí být ronoáe: S V p S V grapv ρ V V ρ V Euleroa ronice statik tekutin: grap ρ 7

8 Eulerou ronici le přeést na t. ronici tlakoou, která je honější pro praktické užití: p p p i j k ρ i x p ρx x x x j k p p ρ ρ p p p x ρ x ( x ) x Tlakoá ronice: p ( xx ) p k k ρ Řešíme te násleující úlohu: - Při jaké rchlosti se hlaina otkne boě B? Dáno: g 9,81 m / s - graitační rchlení 3 m - poloměr atáčk L p 15 mm - ýška neaplněná pitím D 65 mm - průměr sklenice Obráek 3 - Schéma sklenice s nakloněnou hlainou liem atáčk 8

9 9 Obráek 4 - Pohle na rátěný moel sklenice C g g g x x k k ω r r r * * ω ϖ ω Určíme konstantu: [ ] ;; : C A C g Nní již spočteme rchlost, při které se hlaina otkne boě B: Víme že, ; ; D L B p D gl D gl g p p

10 oměroá analýa: - jenotk souhlasí m s m * m * m s m 3 m s m m s Dopočteme osaením: gl D *9,81*,15*3,65 p max 3,68m / s Maximální rchlost, kterou může stráník atáčce, aniž b hlaina jím akoupeného pití přesáhla okraje sklenice, jest 3,68m/s, což je rono 13,48 km/h, což je rono 1,3 1-8 c. Je te řejmé, že rchlost atáčce nebue oliňoat ásaně optimaliaci ráh stráníka. 1

11 3.3. Část 3 - Řešení maximálního možného rchlení na počátku cest s ohleem na sklenici Popis problému: Na áklaě kušeností táaných stráníku je řejmé, že alší ěc, jenž může ásaně olinit rchlost chůe s tácem rukách je okrajoá pomínka otáce rchlení, které si stráník může oolit, to je áno přeeším stabilitou sklenice s pitím. Přesněni stráník je ohrožen možný pohbem sklenice po tácu. Víme: - íme, že sklenice bla naplněna pitím asi 9/1 sého celkoého objemu - ále blo nutné jistit koeficient tření, který bue nebtný k ýpočtu, ten jsme jistili jenouchým experimentem, i obrák níže. Obráek 5 - Kolega Bc. Kušnír během experimentu Obráek 6 - Experiment okamžiku apočetí pohbu sklenice Experimentem jsme jistili, že sklenice se ačíná pohboat při naklonění φ 15. Te: f tgϕ f, 68 11

12 Úlohu bueme řešit na áklaě ponatků o relatiním pohbu hmotného bou: Absolutní pohb se skláá pohbu relatiního a unášiého: Absolutní elatiní Unášiý Platí: i F D i, ke: D setračná síla m. a 1

13 Řešení: Obráek 7 - Schématické obraení řešeného problému Dáno: f,68 g 9,81 m / s Součet sil e směrech: x u : ma fn ma 3 : N mg ma a a 3 u u f * mg a a u 3 fg fg ma 3 Pomínka, ab se sklenice neačala pohboat te je: a u < fg Dosaíme: a < 9,81*,68 a,6m / s u umax 13

14 3.4. část 4 - Řešení maximálního rchlení s ohleem lití pití Nní je nutné určit nejšší možné rchlení takoé, ab se hlaina pitia neostala přes okraj sklenice při apočetí chůe přímém směru, to pak poronáme se rchlením, jenž jsme spočetli přechoí části. Zákon (Zákonitost): i. část. Obráek 8 - Schématický obráek problému Dáno: 9 - íme že sklenice je naplněna 9/1 sého celkoého objemu: V k Vc 1 k x k x ax g ax g ax g C - Je řejmé, že hlainu bue možné proložit přímkou: - Určení konstant C: a * x g C g - Užijeme bo hlain A; B [ D L] B [ ; L ] A ; 1 14

15 - Bohužel nenáme souřanici L1, nicméně můžeme efinoat alší ronici, 9 cháející počáteční pomínk V k Vc. 1 πd 1 πd * L1 * * L1 ( L L1 ) L L1 L L1 L L L1 L L1 L L 1 1 L1 L 5 4 L1 L 5 ( L L ) πd * 4 * L Te: Dosaíme: [ D L] A ; 4 B ; L 5 ax g C A: ad gl C 4 4 B: gl C C gl ad gl gl 5 ad 4 L L g 5 ad g 1 Lg a 5 D 1 L 5 Dosaíme: 1 Lg 1,13 *9,81 a 3,94m / s 5 D 5,65 15

16 Je řejmé že maximální možné rchlení áislosti na pohbu sklenice po tácu ( i. Část 3) má honotu a umax,6m / s a je te nižší než rchlení áislé na naklonění hlain (i. Část 4), které má honotu a 3,94m / s a umax,6m / s počtené části.. Dále te bue rohoující rchlení 4. Shrnutí počtených fakt Část 1: - čas potřebný k chůi o ýeje ke stolu: t ch min 4 sec - čas, pře kterým mělo jílo teplotu 63 C ( po usenutí ke stolu) t 63 4min 16 sec Část : - maximální možná rchlost stráníka atáčce 3,68 m/s Část 3: - maximální možné rchlení na počátku cest ( tak ab se sklenice neačala pohboat) a p,6 m/s Část 4: - maximální možné rchlení na počátku cest (tak ab se nelilo pití) a 3,94 m/s 5. Záěr Bohužel jsme se přesěčili o tom, že teplota jíla není 63 C okamžiku ýeje, a proto jsme se abýal tím, co nás omeuje rchlení a rchlosti chůe, čímž se při náštěě men můžeme pokusit o konumaci jíla s co možná nejšší teplotou. Proeenou moelaci a proeenými ýpočt jsme jistili, že stráník může ihne po aplacení rait rchlením a p,6 m/s, pak se může pokusit o nabrání rchlosti tak, ab nebla šší nežli 3,68 m/s při průchou atáčkou a při pomalení u cíloého stolu se opět říit maximálním pomalením a p,6 m/s. Dobrou chuť, neakopněte a nespalte se. 16