Objemové procesy v plynu

Transkript

1 Objemoé rocesy lynu Z termoynamiky íme, že neronoážné termoynamické soustaě, ke jsou naříkla různé teloty nebo tlaky, robíhají makroskoické rocesy, které mohou soustau řiést o stau termoynamické ronoáhy yto rocesy lze obecně fyzikálně charakterizoat jako řenos hmoty, energie a imulzu a jejich charakter ýrazně záisí na ztahu stření olné ráhy molekul lynu a lineárního rozměru systému, e kterém roces řenosu robíhá Často se oužíá eličina : Kn Knusenoo číslo l Jestliže je za yšších tlaků stření olná ráha molekul elmi malá - tak, že e sronání s lineárním rozměrem systému latí neronost: l << nebo-li Kn >> tz iskózní omínky otom řenos fyzikální eličiny, naříkla tela, robíhá unitř lynu ouze zájemnými srážkami nejbližších molekul a lyn se oobá sojité iskózní látce (řenos tela na stěny se samozřejmě ěje srážkami molekul a stěny) Jestliže naoak za nižších tlaků bue stření olná ráha molekul elmi malá - tak, že e sronání s lineárním rozměrem systému bue latit neronost: l >> nebo-li Kn << tz molekulární omínky otom řenos fyzikální eličiny, naříkla tela, robíhá téměř ýlučně srážkami molekul se stěnami, řičemž kažá molekula lynu interaguje zcela iniiuálně Přechooé omínky, ky stření olná ráha molekul je sronatelná s rozměrem systému: l nebo-li Kn lze označit jako iskózně molekulární omínky eelná transirace (efúze) lynu Ze zkušenosti íme, že kyž roojíme ě tlakoé náoby s lynem (naříkla lnou a ráznou), lyn se řemístí tak, že tlaky se náobách o určité obě žy yronají K tomuto ošem oje ouze za yšších tlaků, ky se lyn oobá sojité iskózní látce, kežto za nízkých tlaků ři molekulárních omínkách ozorujeme elmi zajímaý je neyronání tlaku obou náobách (efúzní araox) : Přeokláejme ě uzařené náoby (objemy), sojené otorem lochy S (iz obr) Za molekulární omínky l >> se částice lynu zájemně rakticky nesrážejí, jejich srážky jsou rakticky ouze s okolními stěnami

2 Přeokláejme nejre, že obou náobách je na očátku stejná telota i koncentrace lynu (ronoážný sta) - ak z leé náoby oaá na lochu S (a niká o raé náoby) za jenotku času očet molekul jinak řečeno rou (tok) molekul : J SZ S n S n 8k πm konst n a samozřejmě - z raé strany oaá na lochu S (a niká o leé náoby) rou stejný: J SZ S n S ey naišme ro názornost : J konst n n 8k πm konst n konst n J A uažme : jestliže nyní zahřejeme naříkla leou náobu na telotu yšší než je telota raé náoby >, ak bue J konst n > konst n J a zlea oraa bue řecházet íce molekul než směrem oačným - tey raé náobě se bue zětšoat jejich koncentrace až na nějakou honotu ětší než leé náobě n > n, ři které se rouy molekul oět yronají (a nastane oět ronoážný sta): J Bue tey latit : nebo-li : n konst n konst n J n n n Při rozílných telotách buou tey raé a leé náobě za ronoážného stau různé koncentrace, tey i tlaky lynu (ole staoé ronice): Po osazení : nk nk

3 k k Dostaneme ztah ro tlaky obou náobách: o je rakticky elmi ůležité ro měření tlaku oboru ysokého akua Naříkla: Máme akuoou ec o telotě 000K a chceme změřit tlak unitř (?) lakoměr umístíme mimo ec o malé komůrky, ke je telota 9K, a ten bue ošem měřit olišný tlak : 000,6 9 Difúze lynu Na rozíl o řechozího jeu je ifúze lynu tyickým jeem ři yšších tlacích, ky molekuly konají elké množstí srážek a jejich stření olná ráha je malá, tey ři iskózních omínkách l << Nechť očátečním čase t 0 jenorázoě zaeeme o určitého místa ( x 0 ) jenoho lynu nějaké množstí ruhého lynu (říměsi), tak, že tomto místě znikne očáteční nenuloá koncentrace n o S ostuem času - jako ůsleek neusořáaného ohybu - ronikají molekuly říměsi ál a ál o očátečního místa x 0, jejich koncentrace bue nenuloá i mimo očátek a neustále roste (ale očátku je samozřejmě stále nejětší) a tento roces nazýáme ifúzí ruhého lynu (říměsi) lynu rním Po určité obě (relaxační) se koncentrace šue yroná - ifúze skončí, nastane ronoážný sta, charakterizoaný šue stejnou koncentrací říměsi

4 Je tey záklaní charakteristikou robíhající ifúze nějakého lynu (říměsi) jiném lynu, že koncentrace říměsi je funkcí místa: r n n( ) n( x,y,z ) Pro jenouchost rozkoumáme ouze jenorozměrný říkla, e kterém bue koncentrace říměsného ifunujícího lynu funkcí jeiné souřanice: n n( x ) Při ýočtu yužijme nejjenoušší řestau lynu tz jenorozměrný rstoý moel lynu : ) Všechny molekuly se ohybují stejnou rychlostí, ronou stření rychlosti - a jenorozměrném říau se naíc šechny molekuly ohybují jen ronoběžně s osou x ( klaném, nebo záorném směru osy) ) Všem molekulám lynu také řiřaíme stejnou élku ráhy mezi ěma srážkami, ronou stření olné ráze l jejich ráha se tey skláá ze stále stejných úseček, ronoběžných s osou x Na obrázku je yznačena koncentrace ifunujícího lynu (narao o místa x 0 ) - jako klesající funkce n (x) Pro stanoení rouu lynu si řestame lochu S místě x o, kolmou na souřanou osu x (iz obr) Pole ztahu ro částicoý éšť na tuto lochu oaá za jenotku času zlea ětší očet molekul než ze strany raé Uažme ále, z jakých míst ocházejí tyto molekuly, oaající na lochu S zlea i zraa? Letí jistě z míst jejich osleních srážek a tato místa jsou různě zálená o lochy S - maximálně šak jsou e zálenosti roné stření olné ráze tey na lochách ronoběžných s lochou S, na souřanicích ( x o l ) a ( x o l ) Vzájemné srážky molekul mají obecně ro objemoé rocesy lynu zásaní ýznam, rotože nich ochází ke změnám rychlostí molekul mění se tey také hybnosti a energie molekul Jako ůsleek neusořáaného ohybu molekul robíhají zájemné srážky liboolných místech objemu, ale rstoý moel efinuje třetí zjenoušující řeokla choání lynu : ) Molekuly se zájemně srážejí ouze roinách, které jsou zálené o stření olnou ráhu, tey našem říaě se jená o roiny na souřanicích x-oé osy : K, xo l, xo, xo l,k, a e rstách mezi těmito roinami se molekuly ohybují zcela beze srážek stření rychlostí,

5 ento řeokla umožní řiřait šem oaajícím molekulám jeinou honotu koncentraci : Z leé strany oaají na lochu S molekuly, které ocházejí z míst ( ifunujících molekul : n( x o l ) x o l ), ke je koncentrace Počet molekul oaajících za jenotku času zlea na lochu S tj rou molekul z leé strany na lochu S můžeme roto yjářit omocí částicoého eště jako : J n( xo l ) S Analogicky z raé strany oaá na lochu S rou molekul : J n( xo l ) S < J Celkoý rou molekul řes lochu S - ifúzní rou, směřující zlea oraa bue án jejich rozílem (současně uraíme ytknutím, ynásobením a yělením stejným ýrazem) : J if J J l l ( n( x l ) n( x l )) S o V záorce znikl rozíl koncentrací, který můžeme yjářit iferenciálním řírůstkem koncentrace molekul e směru osy x (řírůstek je záorný) : ( ( x l ) n( x l )) n n 0 0 ento řírůstek zniká mezi místy zálenými na x-oé ose o élku: x l Po osazení tak ostaneme ýraz : J if n x Jestliže označíme konstanty lynu: S l D l koeficient ifúze Dostááme záklaní zákon ifúze : J if n D S x Ficků zákon o n l S x Po yělení lochou S znikne ztah ro lošnou hustotu ifúzního rouu (skalár) : j if n D x Vektoroý záis ro třírozměrný řía ifúze by znikl zobecněním na alší souřané osy y a z 5

6 Protože jsou šechny osy ronocenné, ostali bychom stejné ýrazy, jen s eriacemi ole y a z a byly by to souřanice ýsleného ektoru rouoé hustoty : r j if D gra n lošná hustota ifúzního rouu (ektor) Přestože rstoý moel lynu, s jehož omocí jsme stanoili ifúzní rou, se zá být elmi rimitiní, ýslený ztah je kalitatině okonalý a elmi složitý řesný ýočet ee ouze k jeiné korekci - e ztahu ro ifuzní koeficient bue místo Se zaočtením této změny osaďme o ifuzního koeficientu známé ztahy a urame ro aný lyn, koncentraci a konstantní telotu : D n σ 8k πm konst Difúzní koeficient a tey i ifúzní tok ři aném graientu koncentrace klesá s rostoucí hmotností molekul m - nejlée tey ifunují nejlehčí lyny H a He, což obře osětluje užití helia ři hleání netěsností e stěnách akuoých aaratur m Pozn: Ficků zákon stanoí časoou změnu koncentrace neustáleném stau (je úměrná rostoroé změně graientu koncentrace) : n t n D x eelná oiost lynu (řenos tela) ento je nastane říaě, že části akuoého systému mají různé teloty 6

7 Zkoumejme ě ronoběžné lochy P a P o telotách a, e zálenosti a < Molekuly lynu mezi těmito lochami se ohříají o telejší lochy P a ochlazují se o chlanější lochy P a telota lynu tey zřejmě stouá o teloty k telotě a je funkcí souřanice z : ( z ) Sleujeme lochu S kolmou na osu z místě z 0 a oužijeme rstoý moel lynu: molekuly, které na S oaají shora, roletěly ráhu l a ocházejí tey z místa ( z 0 l ), tomto místě má lyn telotu ( z l ) tey shora na lochu S oane za času očet částic: k( z 0 l ) 0 a molekuly tey mají energii: k( z l ) ns Potom celkoá energie, kterou tyto molekuly nesou, má honotu: ns k( z 0 l ) Analogicky molekuly oaající na S zola nesou menší energii: ns k( z 0 l ) 0, a kažá z nich má energii: Celkem tey řes lochu S teče shora olů tok (rou) energie, tj teelný tok (současně ynásobíme a yělíme stejným číslem) : ns k l [ ( z l ) ( z l )] Q 0 0 l Analogicky jako u ifuzního rouu označíme telotní sá (graient) (inex znamená nitřní): z A zbýající konstanty označíme : l [ ( z l ) ( z l )] 0 0 λ n kl nkl koeficient teelné oiosti (nitřní) Potom ostááme ro teelný tok jenouchý ztah : Q λ S z 7

8 Můžeme také yjářit lošnou hustotu teelného toku j Q λ z V rostoroém říaě bue lošná hustota oět ektor: r j Q λ gra lošná hustota teelného toku (ektor) ento teelný tok musí být zřejmě stejný kažém místě z ro stejné lochy S (zákon zachoání energie) : Q konst Z toho ošem lyne: z konst ey telota je unitř lynu lineární funkcí souřanice z Stejný tok energie teče ale také na soní lochu P (a z horní lochy P ) - konkrétně: na P oaají molekuly z místa oslení srážky, tj z rsty z l, tyto molekuly mají telotu (l ) a z lochy P ošem letí zátky nahoru oražené molekuly Uažme ale : kyby tyto molekuly byly jen ružně oražené, měly by stejnou rychlost jako molekuly oaající tey také stejnou telotu (l ) a stejnou energii ak by se na lochu P ale nemohlo řeáat žáné telo! Oraz molekul o lochy P tey musí být neružný, molekuly ři něm řeají loše P řebytečnou energii, tím se ochlaí z teloty (l ) na telotu Pak energie řeaná na lochu P by byla : ns k( ( l ) ) Ale roces orazu (ochlazoání) molekul je jistě náhoný - některé molekuly se mohou orazit ružně, jiné se ochlaí jen částečně (řeají jen část energie) Nechť N celk je celkoý očet molekul oalých na lochu Dále označme N ak očet molekul, které se ři neružném orazu ochlaily na telotu lochy (okonale se akomooaly, řizůsobily se) a zbytek molekul N N ) se orazil ružně ( celk ak Pak efinujeme eličinu koeficient akomoace (raěoobnost akomoace energie) jako oměrné zastouení akomooaných molekul: N N ak celk Velikost tohoto koeficientu záisí na ruhu lynu a materiálu a stau lochy Obecně jistě latí : 0 < < 8

9 naříkla: N na čisté Pt 0,77 ; O na čisté Pt 0,79 ; H na čisté Pt 0,9 Pokračujme e ýočtu : tey ouze část molekul na P bue: QP ns k( ( l ) ) řeá soji energii loše P, tj teelný tok Analogicky z lochy P otéká energie (koeficient na této loše by mohl být jiný): QP ns k Poronejme tyto teelné toky s tokem Q Dosaíme: P Q ns Zkrátíme a ostááme: k ( ( l )) Q, naříkla : ( ( l ) ) ns kl l ( l ) z z Stejným zůsobem ostaneme z ronosti Q Q : l ( l ) z P A ještě jenu ronici získáme yjářením lineární záislosti teloty ( z ), která latí unitř lynu tey mezích (l ) až ( l ) : z ( l ) ( l l ) Máme tak ronice o třech neznámých: z () () (), (l ) a ( l ) Pokuste se je yřešit za omácí cičení, ýsleky by měli být : 9

10 0 l z l l ) ( l l l ) l ( Dále je možno znázornit ronici římky: ) z ( Pole horního obrázku: římka začíná na ose z boě z z a končí boě l z z, telotní skok místě loch: s z l Urame ále formálně ztah ro telotní sá unitř lynu : G l l z ke jsme označili: l G faktor osuu (skluzu) Dosaďme o ztahu ro teelný tok: G S z S Q Q Q Q P P λ λ Jestliže nakonec zaeeme : G λ λ koeficient teelné oiosti (ýslený, nější) Pak bue ro telo řenášené z lochy P na lochu P latit ztah :

11 Q S λ ýslený teelný tok Pozn: zlomek můžeme cháat jako nější graient teloty Oráněnost a efektinost rstoého moelu oět okláá fakt, že řesný ýočet řenosu tela ouze změní e ýrazu ro λ konstantu na 0,8 Rozlišme nyní a mezní říay: ysoké tlaky - iskózní omínky, ky Pak zřejmě: G l A nější koeficient teelné oiosti bue : λ λ G λ Dosaíme za n : nkl λ kl l k l <<, otimálně aby latilo l << Protože součin l nezáisí na tlaku (iz říe) ak ani koeficient teelné oiosti a roněž teelný tok Q nemůže na tlaku záiset (jen na telotě a ruhu lynu), ři ysokých tlacích bue tey konstantní nízké tlaky - molekulární omínky, ky Pak bue: λ λ G n k l l l >> aby latilo l >>

12 k k 8 Koeficient teelné oiosti záisí na telotě a ruhu lynu a je římo úměrný tlaku a zálenosti loch, analogicky ostaneme o osazení o teelného toku : λ S 8 S Q eelný tok tey je také římo úměrný tlaku a naíc iíme, že se ykrátí zálenost loch tj teelný tok nezáisí na zálenosti loch o je ošem ochoitelné, neboť za nízkého tlaku se molekuly zájemně rakticky nesrážejí, ouze yletují z jené lochy a oaají na ruhou lochu Graficky: celkoá záislost na tlaku echnické alikace yužíají nalezených záislostí ro nízké tlaky: Q m ) teelné akuometry ) teelná izolace (yžauje nízký tlak, těžký lyn) ření lynu Je analogické jeu eení tela, ale místo energie se řenáší imuls (hybnost) Zkoumejme oět ě ronoběžné lochy: P ohybuje se rychlostí ( 0) e směru osy x, P ohybuje se rychlostí ( 0) e směru osy x /

13 Molekuly lynu mezi lochami získáají e srážkách s lochou P říanou (riftoou, unášiou) rychlost e směru osy x, (a hybnost m ), a e zájemných srážkách si ji ak ále řeáají, se roto mění o 0 záislosti na souřanici z : ( z ) o Použijeme stejný rstoý moel jako u eení tela - lyn je rozělen o rstiček zálených o stření olnou ráhu l, nich se ohybují molekuly beze srážek, srážky se konají ouze na hraničních lochách Počítají se oět toky molekul lochou S liboolném místě z o : molekuly oaající shora ocházejí z místa ( m ( zo l ), z o l molekuly oaající zola mají hybnost m ( zo l ) Plochou S tey za času rochází tok hybnosti: I nsm ( ( z l ) ( z l )) o o l l ) a mají tey říanou hybnost Analogicky s teelným tokem označíme jako nitřní sá (graient) unášié rychlosti : z l ( ( z l ) ( z l )) A zbýající eličiny a konstanty ytoří : 0 0 η nm l nml koeficient ynamické iskozity (nitřní) (také koeficient nitřního tření)

14 Potom ostááme ro tok hybnosti jenouchý ztah, analogický teelnému toku Uažme ještě, že tok hybnost znamená současně změnu hybnosti (za času) molekul srážejících se na okrajoých lochách rste (tj mezi jenotliými rstami lynu) tato změna je ale ole Newtonoa zákona rona síle ůsobící na molekuly na těchto lochách a je to celkoá síla ůsobící na lochách S jejich tečném směru (osy x ) - tey to je třecí síla : F t I η S třecí síla (mezi rstami lynu) z Pozn : Vrstoý moel lynu je lastně nejnázornějším moelem ro ois tohoto jeu nitřního tření, rotože analogii s klasickou mechanikou si kažý lehce řestaí rstu lynu jako těleso, které se ohybuje o hraniční loše S ruhé rsty, za ůsobení tečné třecí síly ok hybnosti musí být oět stejný kažé ýšce z (zákon zachoání hybnosti) : z konst A teče i na lochu P : na lochu P oaají molekuly o hybnosti m (l ), a z P yletují molekuly s hybností m 0, ale (analogie s eením tela) - jen jejich určitá relatiní část - akomoační koeficient hybnosti ey tok hybnosti na P : I P a oobně ro tok z P : Z roností: nsm ( ( l ) 0) IP nsm( ( l )) I P I P lynou ě ronice: I nsm( l ) nmls z A obobně ostaneme : l ( l ) z ( l l ) řetí ronice znikne ýočtem sáu unášié rychlosti unitř lynu: z

15 z ( l ) ( l ) l Oět tey ostááme tři ronice ro tři neznámé: Řešení jsou obobná : z l at z, (l ) a ( l ) Přímka ( z) má stejný růběh jako u eení tela: začíná na ose z boě z z místě loch je rychlostní skok l z Řešení ro sá unášié rychlost urame stejně jako ro telotní sá : G z l ke jsme oět označili: G l l faktor osuu (skluzu) Dosaďme o ztahu ro teelný tok: F I I I S SG t P P η η z Jestliže nakonec zaeeme : η η G koeficient ynamické iskozity (tření) (nější, ýslený) Pak bue ro tok hybnosti řenášený z lochy P na lochu P - tey ro třecí sílu ůsobící na rstičky lynu a také na lochy P a P - latit jenouchý ztah : 5

16 6 S F t η třecí síla Oět lze rozlišit říay: ysoké tlaky - iskózní omínky, ky l << aby l << Pak zřejmě: l G ey bue: l k m ml k nml η η A otom η i t F nezáisí na tlaku, ouze na telotě a ruhu lynu Pozn: Za yšších tlaků existuje objemu lynu sojitá funkce graientu unášié rychlosti z, je tey o tyický je tření unitř lynu - tz nitřní tření nízké tlaky - molekulární omínky, ky l >> aby l >> Pak: l nml G η η k m m k ey η záisí na telotě a ruhu lynu a je římo úměrný tlaku a zálenosti loch, analogicky ostaneme o osazení o třecí síly :

17 η S m k S F t řecí síla tey je také římo úměrná tlaku a naíc oět iíme, že se ykrátí zálenost loch tj nezáisí na zálenosti loch o je oět ochoitelné, neboť za nízkého tlaku se molekuly zájemně rakticky nesrážejí, ouze yletují z P a oaají na P a oačně Pozn: Za nízkých tlaků neexistuje lynu sojitá funkce graientu unášié rychlosti je o tz nější tření z Graficky : celkoá záislost na tlaku: echnické alikace yužíají nalezených záislostí ro nízké tlaky: F t ) teelné akuometry (konec kaitoly) K Rusňák, erze 0/0 7