Integrace pomocí substituce. Obsah. 1. Úvod 2 2. Integrace substitucí u = ax + b Nalezení. f(g(x)) g (x) dx pomocí substituce u = g(x) 6

Transkript

1 Integrce pomocí sbstitce Existjí p ípdy, kdy je moºné vypo ítt zdánliv t ºké integrály pokd nejprve provedeme sbstitci. To má z následek zm n prom nné integrnd v p ípd r itých integrál se zm ní i jejich meze. V tomto leták se setkáme s n kolik p íkldy integrál, kterých je vhodné poºít sbstitci. Z ú elem zvládntí zde vysv tlené metody je d leºité projít mnoh prktickými cvi eními, by se tto metod stl n²í drho p irozeností. Po p e tení tohoto text, shlédntí p ísl²ného vide sovisejícího s tímto témtem, bychom m li být schopni: provád t integrci pomocí sbstitce nlézt vhodno sbstitci z ú elem vypo tení integrál Obsh. Úvod. Integrce sbstitcí = x + b. Nlezení f(g(x)) g (x) pomocí sbstitce = g(x) 6 Mtemtik III. kpitol

2 Mth & Stts I Úvod Dovednost zvládno integrci pomocí sbstitce je schopnost, která se vyvíjí so sn s prxí zk²eností. Z tohoto d vod bychom m li projít v²emi prktickými cvi eními. Uv domme si, ºe n kdy zdánliv rozmná sbstitce nevede k integrál, který jsme schopni vypo ítt. Msíme proto být p iprveni vyzko²et lterntivní sbstitce. II Integrce pomocí sbstitce = x + b P edstvme technik n jednodchých p íkldech, pro které je vhodná lineární sbstitce. P íkld. P edpokládejme, ºe chceme vypo ítt integrál (x + 4) 5 () Jiº jsme obeznámeni s podobným integrálem 5 d víme, ºe se tento integrál rovná 6 + c, kde c je integr ní konstnt. To protoºe víme, ºe prvidlo pro integrování mocnin 6 prom nných nám íká, bychom zvý²ili exponent o poté tto prom nno vyd lili nov vzniklým exponentem. Integrál dný rovnicí () je tké n páto, le integrnd je více komplikovný kv li p ítomnosti výrz x + 4. Pro vy e²ení tohoto problém poºijeme sbstitci = x + 4. D láme to proto, bychom zm nili integrnd n mnohem jednod²²í 5. Nicmén se msíme postrt o to, bychom vhodn nhrdili i výrz. V e i diferenciál máme Nyní, protoºe v n²em p ípd je = x + 4, okmºit dostáváme, ºe tedy. Tkºe sbstitcí z x + 4 v rovnici () obdrºíme (x + 4) 5 = 5 d Výsledný integrál m ºe být okmºit vypo ítán dává výsledek 6 + c. M ºeme se vrátit k 6 výrz obshjící p vodní prom nno x v dom ním si, ºe = x + 4, pk dostneme (x + 4) 5 (x + 4)6 = + c 6 Tímto jsme dokon ili integrci pomocí sbstitce. P íkld. P edpokládejme, ºe si p ejeme nlézt integrál cos(x + 4) () V²imn me si, ºe pokd nhrdíme z = x+4, potom bde integrnd obshovt mnohem jednod²²í podob cos, coº jsme schopni zintegrovt. Hndot Mtemtik

3 Mth & Stts tedy Stejn jko p edtím následje s = x + 4 = d = Tkºe sbstitcí z x + 4 s = d v rovnici () máme cos(x + 4) = cos() d = sin() + c M ºeme se vrátit k výrz obshjící p vodní prom nno x zp tným doszením z = x+4, tj. cos(x + 4) = sin(x + 4) + c Tímto jsme dokon ili integrci pomocí sbstitce. Je velice jednodché zobecnit výsledek p ede²lého p íkld. Chceme-li nlézt integrál fnkce cos(x + b) podle x, pk sbstitce = x + b vede k cos() d, coº je rovno sin() + c po návrt k sbstitci sin(x + b) + c. Podobný rgment, který bychom m li vyzko²et, kzje, ºe sin(x + b) = cos(x + b) + c. Poznámk. sin(x + b) = cos(x + b) + c P íkld. P edpokládejme, ºe chceme nlézt x. cos(x + b) = sin(x + b) + c Provedeme sbstitci = x z ú elem zjednod²ení integrnd n. P ipome me si, ºe integrál fnkce, vzhledem k, je p irozený logritms, tj. ln. Stejn jko d íve tedy Potom d s = x = = Hndot Mtemtik

4 Mth & Stts Integrál se zm ní n ( ) d = d = ln + c = ln x + c Výsledek p ede²lého p íkld lze zobecnit: chceme-li nlézt, pk poºití sbstitce x+b = x + b vede k d coº je rovno ln x + b + c. To znmená, ºe pokd elíme np íkld integrál, m ºeme okmºit npst odpov ve tvr ln x c. x+7 Poznámk. x + b = ln x + b + c Troch více msíme dávt pozor, kdyº prcjeme s mezemi r itých integrál. Uvºjme následjící p íkld. P íkld. P edpokládejme, ºe hledáme (9 + x) Provedeme sbstitci = 9 + x stejn jko d íve tedy Pk následje Integrál se zm ní n s = 9 + x d = = x= x= d zd rzn me, ºe jsme meze integrál zpsli jko hodnoty prom nné x nikoli. Tyto meze m ºeme zpst jko hodnoty poºitím sbstitce = 9 + x. P esn, pro x = je = 0 pro x = je =. Tedy Hndot 4 Mtemtik

5 Mth & Stts = =0 [ ] 0 = ( 0 ) = 78 V²imn me si, ºe v tomto p ípd není ntné p evád t výsledek z nzp t do p vodní prom nné x. Je to proto, ºe jsme p evedli meze integrál z p vodní prom nné x do nové prom nné. Cvi ení.. V kºdém p ípd poºijte sbstitci k nlezení integrál: () (x ) (b) (x + 0 5)4 (c) (x ) 7 (d) ( x).. V kºdém p ípd poºijte sbstitci k nlezení integrál: () sin(7x ) (b) e x (c) π 0 cos( x) (d) 7x+5. P íkld. P edpokládejme, ºe chceme nlézt integrál x + x () V tomto p íkld provedeme sbstitci = +x z ú elem zjednod²ení rgment drhé odmocniny. M ºeme vid t, ºe o zbytek integrnd x se tomticky postrá proces sbstitce, protoºe výrz x je derivcí n²í sbstitce, tj. fnkce = + x. tedy Potom Stejn jko d íve = + x d = x = x Tkºe sbstitcí z + x x = d v rovnici () obdrºíme x + x = d = d = + c Hndot 5 Mtemtik

6 Mth & Stts M ºeme se vrátit k vyjád ení obshjící p vodní prom nno x zp tným doszením = + x, coº nám dává x + x = ( + x ) + c Tímto jsme dokon ili integrci pomocí sbstitce. Poj me znlyzovt tento p íkld troch více srovnáním integrnd s obecným p ípdem f(g(x)) g (x). P edpokládejme, ºe zpí²eme g(x) = + x f() = Potom ozn me sloºením fnkcí f g fnkci f(g(x)) = + x. Dále pokd ozn íme g(x) = + x pk g (x) = x. Tedy integrál x + x je ve tvr f(g(x)) g (x) Aby bylo moºné provést integrci, poºijeme sbstitci = + x. V tomto obecném p ípd by bylo vhodné se poksit poloºit = g(x). Potom ( d ) = g (x). Po provedení sbstitce se výsledný integrál stává integrálem d v obecném p ípd f() d. Z p edpokld, ºe lze nlézt tento kone ný integrál, je problém vy e²en. Pro srovnání jso zde vedle sebe prezentovány konkrétní obecný p ípd: x + x f(g(x)) g (x) nech = + x nech = g(x) ( ) ( d = x d ) = g (x) x + x = d f(g(x)) g (x) = f() d Poznámk. Pro výpo et = + c = ( + x ) + c f(g(x)) g (x) je vhodná sbstitce = g(x) g (x), to nám dává f() d Integrce je pk proveden s ohledem k prom nné, º poté se nvrátíme k p vodní prom nné x. p i skládání fnkcí f g se postpje tk, ºe výstp vnit ní fnkce g sloºí so sn jko vstp pro vn j²í fnkci f, coº vede k výsledk f(g(x)) Hndot 6 Mtemtik

7 Mth & Stts Je t eb zd rznit, ºe integrce pomocí sbstitce je n co jko m ní v²e dovednost se zlep²í s prxí. Krom toho, sbstitce, která n první pohled vypdá rozmn, nemsí vést nikm. Pokd np íkld zksíme nlézt + x, jko sbstitci poºijeme = + x, ocitli bychom se ve slepé li ce. B me tedy p iprveni vytrvt zko²et odli²né p ístpy. P íkld. P edpokládejme, ºe si p ejeme vypo ítt 4x x + P epsáním integrnd n 4x x + si v²imneme, ºe nbývá podoby f(g(x)) g (x), kde f() =, g(x) = x + g (x) = 4x. Sbstitce = g(x) = x + zm ní integrál n f() d Ten vypo teme získáme d = + c Nkonec poºitím = x + se vrátíme k p vodní prom nné x 4x x + = (x + ) + c nebo po úprv x + + c P íkld. sin( x) P edpokládejme, ºe chceme nlézt x. Uvºjme sbstitci = x. Potom = x = = x x tedy sin( x) = x sin() d z ehoº plyne sin() cos() + c = cos( x) + c Hndot 7 Mtemtik

8 Mth & Stts M ºeme tké provést následjící pozorování: integrnd m ºeme zpst ve tvr sin x x. Zpsáním f() = sin() g(x) = x potom pltí g (x) = x = Dále f(g(x)) = sin( x). Proto zpí²eme dný integrál jko sin( x) x, x = x. který odpovídá tvr f(g(x)) g (x) s fnkcemi f g zdnými vý²e. Stejn jko d íve, sbstitce = g(x) = x vytvo í integrál f() sin() d, ze kterého sin() cos() + c = cos( x) + c Cvi ení.. V kºdém p ípd m ºe být integrnd zpsán jko f(g(x)) g (x). Ur ete fnkce f g poºijte obecný výsledek ze strny 6 k výpo t integrál. () x e x 5 (b) x sin( x ) (c) cos(x) +sin(x).. V kºdém p ípd vypo ítejte integrál pomocí zdné sbstitce: () xe x, = x. (b) x sin(x ), = x. 5 (c) x x 0 4 +, = x V kºdém p ípd poºijte vhodno sbstitci k výpo t integrál. () (d) (g) 5x x (b) x(+ x) x x 4 +6 (e) cos(x) (5+sin(x)) 5x x (h) e cos(x) sin(x) Odpov di ke cvi ením Cvi ení.. () (c) (x ) c (b) = (x ) 8 + c (d) 4. 6 (c) (f) (i) x 4 ( + x 5 ) 0 x x 4 + e sin(x) cos(x).. () cos(7x ) + c (b) ex + c (c),8 (d) ln 7x c 7 7 Hndot 8 Mtemtik

9 Mth & Stts Cvi ení.. () f() = e, g(x) = x 5, e x 5 + c, (b) f() = sin(), g(x) = x, cos( x ) + c (c) f() =, g(x) = + sin(x), ln + sin(x) + c.. () e x +c (b) cos(x ) 4 + c (c) 60.. () 5 ( x ) + c (b) + x + c (c) 0 ( + x5 ) 4 + c (d) (x4 + 6) + c (e) + c (f) 0, sin(x) (g) 0 9 ( x ) + c (h) e cos(x) + c (i) e sin(x) + c. Hndot 9 Mtemtik