MATEMATICKÁ ANALÝZA II

Transkript

1 MATEMATICKÁ ANALÝZA II JAN MALÝ Obsh 1. Integrální po et funkcí jedné prom nné 1 2. Eukleidovský prostor 5 3. Topologické pojmy 7 4. Derivce funkcí více prom nných 9 5. Diferenciální rovnice Lokální extrémy Globální extrémy Vázné extrémy Vícerozm rné integrály Integrální po et funkcí jedné prom nné 1.1. Integrál. Integrál je mtemtický pojem popisující úhrn prom nné veli iny. Diskrétní nlogií integrálu je sum. Speciáln zd rzn me dv plikce integrálu: 1. Pr m r. Jelikoº sumu pouºíváme k po ítání pr m r v diskrétní mtemtice, integrál vyuºíváme k po ítání pr m r v nlýze prvd podobnosti. Pr m r = integrál/mír deni ního oboru. Pr m r v prvd podobnosti se nzývá st ední hodnot. 2. Obsh obrzce pod grfem funkce. Nech f : [, b] R je nezáporná spojitá funkce. Potom její integrál, který zn íme f(x) dx, má geometrický význm obshu obrzce {[x, y] R 2 : 0 < y < f(x)}. Obecn ji, funkci f st ídjící znménk rozloºíme n f = f + f, kde f + = mx{f, 0} je kldná ást f f = mx{ f, 0} je záporná ást f. Pozor: záporná ást f je kldná (p esn ji, nezáporná) funkce! Je-li f : [, b] R spojitá funkce, pk f(x) dx je obsh obrzce {[x, y] R2 : 0 < y < f + (x)} minus obsh obrzce {[x, y] R 2 : 0 < y < f (x)}. Tto interpretce se nedá pouºít k denici integrálu, nebo by to bylo h neº denice kruhem: pojem obsh, má-li se vyloºit precizn, je sloºit j²í neº pojem integrál. V tomto okmºiku mluvíme o obshu, le je²t nevíme, co to je D lení související pojmy. Symbolem [, b] zn íme uzv ený omezený intervl, pokud výslovn nebude e eno jink. Nopk u otev eného intervlu (, b) p ipou²tíme i krjní body ±. D lením intervlu [, b] rozumíme mnoºinu intervl tvru D = {[x i 1, x i ]: i = 1,..., m}, kde = x 0 < x 1 < < x m = b. Zn kové d lení je mnoºin uspo ádných dvojic (intervl, bod), tvru D = {([x i 1, x i ], ξ i ): i = 1,..., m}, kde {[x i 1, x i ]: i = 1,..., m} je oby ejné d lení ξ i [x i 1, x i ], i = 1,..., m. Je-li δ > 0 íslo, ekneme, ºe zn kové d lení D je δ-jemné, jestliºe pro kºdé i = 1,..., m pltí x i x i 1 < δ. Je-li D = {[x i 1, x i ]: i = 1,..., m} d lení intervlu [, b] f : [, b] R je funkce, íslo (1) S(f, D) := m i=1 (x i x i 1 ) sup f(x) x [x i 1,x i] nzveme horním riemnnovským sou tem k integrálu funkce f p es d lení D. íslo m (2) S(f, D) := (x i x i 1 ) inf f(x) x [x i 1,x i] i=1 1

2 nzveme dolním riemnnovským sou tem k integrálu funkce f p es d lení D. Kone n, je-li D zn kové d lení intervlu [, b] f : [, b] R je funkce, íslo m (3) s(f, D) := f(ξ i )(x i x i 1 ) nzveme riemnnovským sou tem k integrálu funkce f p es D. i= Riemnn v integrál. Uvºujme funkci f : [, b] R. Budeme denovt integrály funkce f p es intervl [, b], nebo tké íkáme od do b. Horní Riemnn v integrál R(f) funkce f denujeme jko inmum v²ech horních riemnnovských sou t k integrálu funkce f. (Tedy jedná se o inmum výrz tvru 22) p es v²echn d lení intervlu [, b].) Podobn dolní Riemnn v integrál R(f) funkce f denujeme jko supremum v²ech dolních riemnnovských sou t k integrálu funkce f. V p ípd, ºe R(f) = R(f) spole ná hodnot je reálné íslo (tj. kone ná), nzveme tuto spole nou hodnotu Riemnnovým integrálem funkce f (podle Drbouxovy denice) zn íme ji f(x) dx. P vodní Riemnnov denice vychází ze zn kových d lení. ekneme, ºe íslo I je Riemnn v integrál funkce f (podle Riemnnovy denice), jestliºe ke kºdému jestliºe ke kºdému ε > 0 existuje δ > 0 tk, ºe pro kºdé δ-jemné d lení D intervlu [, b] je s(f, D) I < ε. Lze dokázt, ºe tyto dv denice Riemnnov integrálu vyjdou nstejno, tedy pro výsledný integrál pouºíváme stejné zn ení. Tké pojem Riemnn v integrál zkrcujeme n R integrál Numerická integrce. Numerická integrce funkce f je p ibliºný výpo et integrálu f(x) dx. Spo ívá nej st ji v nhrzení integrálu sou tem (3) Poznámk. Sou ty (3) pouºíváme k vy íslení i odhdu integrálu zejmén v následujících p ípdech: Funk ní závislost je dán m ením veli iny nemáme ²nci zjistit více neº kone n mnoho jejích hodnot, Funk ní závislost je dán vzorcem, le výsledek nepot ebujeme ur it p esn, st í nám numerická proximce, Funk ní závislost je dán vzorcem, le výsledek se ned í spo ítt p esn. Pro p esný výpo et se zprvidl pouºívá následující v t V t (Newton-Leibnizov formule). Nech f : [, b] R má R integrál existuje spojitá funkce F : [, b] R tk, ºe F = f v (, b). Potom (4) f(x) dx = F (b) F () Poznámk. Nep íjemným rysem p edchozí v ty je to, ºe je t eb ov it jk existenci primitivní funkce, tk existenci Riemnnov integrálu. Proto v t²inou pouºíváme následující speciální verzi V t. Nech f : [, b] R je spojitá. Potom existuje R-integrál f(x) dx existuje spojitá funkce F : [, b] R tk, ºe F = f v (, b). P itom pltí f(x) dx = F (b) F () Poznámk. Hloubk v ty 1.6 spo ívá v tom, ºe dává do vzthu dv pojmy, které spolu zdánliv nesouvisejí. Nzn uje ov²em tké moºnost denovt integrál pomocí primitivní funkce (viz. následující denice). Pro tkovýto integrál je ov²em p íslu²ná vrint v ty 1.6 tutologií Newton v integrál. Nech F, f : (, b) R jsou funkce. ekneme, ºe funkce F je primitivní k f, jestliºe F = f v (, b). Lze ukázt, ºe primitivní funkce k f se mohou li²it mximáln o ditivní konstntu. Nech nyní f, F jsou denovány n [, b] F je spojitá. Je-li F primitivní k f, íslo F (b) F () se nzývá Newtonovým integrálem nebo N-integrálem zn í f(x) dx. 2

3 Nyní, kdyº máme dv význmy pojmu integrál, je n kdy t eb rozli²it, k jkému pojmu se integr ní symbol vzthuje. V tom p ípd pouºíváme symboly (R) f(x) dx, (N) f(x) dx podobn pro modikce pojmu integrál, které zvedeme pozd ji Neur itý integrál. Nech f, F : (, b) R jsou funkce. ekneme, ºe funkce F je neur itý Riemnn v integrál funkce f, jestliºe pro kºdá A, B (, b), A < B, pltí F (B) F (A) = B A f(x) dx. Podobn denujeme neur itý Newton v integrál, to pk není nic jiného neº primitivni funkce. Neur- itý integrál funkce f ozn ujeme symbolem f(x) dx. Jelikoº neur itý integrál je ur en º n ditivní konstntu, nmísto f(x) dx = F (x) pí²eme rd ji f(x) dx = F (x) + C Integrál p es neomezený i otev ený intervl. Pojmy integrálu lze roz²í it n situci, kdy funkce f je denovná jen n otev eném intervlu ten m ºe být i neomezený. K tomu je ov²em zpot ebí, by integrály limity, o nichº bude níºe e, existovly. P ír stkem funkce F : (, b) R od do b nzveme íslo Potom denujeme [F ] b = lim F (B) lim F (A). B b A + f(x) = [F ] b, kde F je neur itý integrál funkce f n (, b). Denice se vzthuje jk n Riemnn v, tk n Newton v integrál. Integrál, který tkto dostneme z Riemnnov integrálu, se nzývá nevlstní Riemnn v, krátce R -integrál, pro Newton v integrál je tento zp sob roz²í ení p irozený tudíº ponecháváme jméno zn ení N-integrál. Máme tedy (5) f(x) dx = lim A + B b B A f(x) dx Poznámk. Kºdý pojem integrálu má svou t ídu integrovtelných funkcí. Nech f(x) = sgn x. Integrál 1 f(x) dx existuje jko Riemnn v, le neexistuje jko Newton v. Kdyby funkce F byl primitivní funkcí k f, musel by být spojitá n ( 1, 1), spl ovt F (x) = 1 pro x > 0 F (x) = 1 pro 1 x < 1. Tková funkce je (º n konstntu) jedin F (x) = x, le F (0) neexistuje. Integrál 1 dx 0 x existuje jko Newton v, le neexistuje jko Riemnn v, protoºe R-integrál integruje jen omezené funkce. Je-li F (x) = x 2 sin 1 x dodenovná jko F (0) = 0, pk F (x) dx existuje jko Newton v, le ne jko ER. Pokud chceme hodn dobrý pojem integrálu, sáhneme k níºe uvedené denici Kurzweilov integrálu V t. Nech f : [, b] R je spojitá. Potom f(x) dx existuje jko R-integrál i jko N-integrál V t. Nech f : (, b) R má jk ER-integrál, tk N-integrál. Potom se tyto integrály rovnjí Kurzweil v integrál*. Pokud pon kud zjemníme denici Riemnnov integrálu, dostneme profesionální pojem integrálu, který vyhovuje i nejnáro n j²ím poºdvk m. Jeho hlvní p edností je hodn ²iroká t íd funkcí, které umí zintegrovt. Rozdíl spo ívá v tom, ºe íslo δ, vyskytující se v denici Riemnnov integrálu, nhrdíme funkcí δ : [, b] R, která je v²ude kldná (tzv. m rk). ekneme, ºe zn kové d lení D = ( ) m [x i 1, x i ], ξ i je δ-jemné, jestliºe pro v²echn i = 1,..., m pltí i=1 x i x i 1 < δ(ξ i ). Uvºujme funkci f : [, b] R. ƒíslo I nzveme Kurzweilovým integrálem nebo K-integrálem funkce f od do b zn íme (6) I = f(x) dx, jestliºe ke kºdému ε > 0 existuje m rk δ > 0 tk, ºe pro kºdé δ-jemné zn kové d lení D intervlu [, b] je s(f, D) I < ε. 3

4 Pomocí (5) lze i Kurzweil v integrál roz²í it n p ípd integrce p es otev ený i dokonce neomezený intervl V t*. Nech f : (, b) má R -integrál nebo N-integrál. Potom má i K-integrál tyto integrály se rovnjí V t. Nech funkce f má integrál f(x) dx < c < b. Potom f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx V t (Per prtes). Nech u v jsou diferencovtelné funkce n (, b). Potom u (x)v(x) dx = [uv] b u(x)v (x) dx, pokud integrál p ír stek n prvé strn existují. Integrály chápeme jko Newtonovy V t (Substitu ní metod). Nech funkce g je monotonní, zobrzuje intervl (, b) n intervl (c, d) g 0 n (, b). M jme funkci f : (c, d) R. Potom pokud spo jeden z integrál existuje. f(g(x)) g (x) dx = d c f(y) dy, Poznámk. Pro substituci v neur itém integrálu m ºeme téº pouºít následující tvrzení, které je triviální p eformulcí v ty o derivování sloºené funkce: Je-li F primitivní k f n (c, d), g je diferencovtelná n (, b) g((, b)) (c, d), potom F (g(x)) je primitivní k f(g(x))g (x) n (, b) Vzorce. (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx z p edpokldu existence integrál vprvo. Je-li λ konstnt, λf(x) dx = λ f(x) dx z p edpokldu existence integrálu vprvo. x n dx = xn+1 n+1 + C, n = 0, 1, 2,.... x n dx = x1 n 1 n + C, x (0, ) nebo x (, 0), n = 2, 3, 4,.... x dx = x C, x (0, ), 1. dx x = ln x + C, x (0, ). dx x = ln( x) + C, x (, 0). dx 1+x = rctg x + C. 2 dx 1 x = rcsin x + C, x ( 1, 1). 2 e x dx = e x + C. sin x dx = cos x + C. cos x dx = sin x + C. dx cos 2 x = tg x + C, x ( π/2, π/2) Jednoduché zlomky. Zlomky tvru 1 (x + b) k, 2x + b (x 2 + bx + c) k, 1 (x 2 + bx + c) k kde b, c R, k N, se nzývjí jednoduché zlomky. Výrzy x 2 + bx + c st í studovt kdyº diskriminnt b 2 4c je záporný. N intervlech, kde mjí smysl, se první dv typy integrují podle vzorc dx (1 k) (x + b) k = 1 + C, k = 2, 3,..., (x + b) k 1 dx = ln(x + b) + C, x + b 2x + b (1 k) (x 2 + bx + c) k dx = 1 (x 2 + C, k = 2, 3,..., + bx + c) k 1 2x + b (x 2 + bx + c) dx = ln x2 + bx + c + C. 4

5 1.24. Jednoduché zlomky-dokon ení. Zbývjí jednoduché zlomky tvru 1 (x 2 + bx + c) k, kde b 2 4c < 0. Pomocí substituce x = 2x+b nejprve p evedeme jmenovtel n tvr 1 + 4c b 2 x2. Pro k = 1 je primitivní funkce rctg. Je-li k > 1, dá se integrováním per prtes p evést n zlomky niº²ího ádu. Ukáºeme si to n k = 2: dx (x 2 + 1) 2 = x (x 2 + 1) 2 dx x 2 (x 2 + 1) 2 dx 1 = (x 2 + 1) dx + 1 ( 1 ) x dx 2 x = (1 1 2 ) dx 1 + x x 2 x = 1 ( rctg x + x ) 2 x V t (O rozkldu n jednoduché zlomky). Má-li rcionální funkce R tvr P (x)/q(x), kde P, Q jsou polynomy, stupe P je men²í neº stupe Q, pk ji lze n svém deni ním oboru rozloºit n lineární kombinci jednoduchých zlomk. P itom st í brát v úvhu tkové jednoduché zlomky, jejichº jmenovtel d lí polynom Q Metodik po ítání integrál z rcionálních funkcí. Provedeme d lení polynom se zbytkem, tím p evedeme n tvr, který lze rozloºit n lineární kombinci jednoduchých zlomk. Tvr t chto zlomk získáme rozkldem jmenovtele n ireducibilní polynomy. Rozkld si npí²eme s neur itými koecienty, které vypo ítáme jko e²ení soustvy lineárních lgebrických rovnic. Poté spo teme primitivní funkce jednotlivých s ítnc Integrování p es k ivky. Zobrzení ϕ : [, b] R 2, které se dá popst prmetrickými rovnicemi ϕ(t) = [u(t), v(t)], kde u, v : [, b] R jsou spojit diferencovtelné, se nzývá rovinná k ivk. Derivce podle t se zn í te kou. Integrál ( u(t))2 + ( v(t)) 2 dt má geometrický význm délky k ivky. Speciáln pro u(t) = t je 1 + ( v(t))2 dt délk grfu funkce v. Zobrzení ϕ : [, b] R 3, které se dá popst prmetrickými rovnicemi ϕ(t) = [u(t), v(t), w(t)], kde u, v, w : [, b] R jsou spojit diferencovtelné, se nzývá prostorová k ivk. Integrál ( u(t))2 + ( v(t)) 2 + (ẇ(t)) 2 dt má geometrický význm délky k ivky. N obrzu k ivky m jme dáno silové pole Integrál f(x, y, z) = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)]. ( P (ϕ(t)) u(t) + Q(ϕ(t)) v(t) + R(ϕ(t))ẇ(t) ) dt má fyzikální význm práce vykonné pohybem po k ivce ϕ v silovém poli f. Aby tento integrál m l smysl, je t eb klást n které omezující poºdvky n pole f. 2. Eukleidovský prostor K vy²et ování funkcí více prom nných nás motivuje p edev²ím pot eb zkoumt funkce závislé n více veli inách (np. n se teplot ). pot eb zkoumt funkce závislé n více m eních jedné veli iny (tkové úlohy mohou vést k práci n prostorech velké dimenze). pot eb zkoumt funkce závislé n prostorové prom nné. 5

6 Prostorová prom nná je formáln po ád jedn prom nná, le pokud chceme popst závislost n poloze bodu v prostoru vzorcem, nejefektivn j²í moºnost je vyuºít vyjád ení bodu v n jké sou dnicové soustv. Popis závislosti je pk funkce závislá n sou dnicích bodu, kterých je jiº více. Sou dnice m ºeme volit nekone n mnoh zp soby. Ov²em, pokud zdání úlohy, kterou e²íme, nezávisí n volb sou dnic, výsledek by n ní tké nem l záviset. Pokud má tedy obecný bod x sou dnice [x 1, x 2, x 3 ], m ºeme uvºovt np. funkci f(x) = x 1 sin(x 2 x 3 ). N tkovou funkci pohlíºíme jko n funkci jedné vektorové prom nné f(x) i t í reálných prom nných f(x 1, x 2, x 3 ), podle toho, který p ístup nám momentáln lépe vyhovuje. Prostor R n, denovný jko lineární prostor, který vznikne krtézským sou inem reálných os, se nzývá eukleidovský prostor. Prvky eukleidovského prostoru se nzývjí body nebo vektory. Sklár bude pro nás reálné íslo. Pokud pot ebujeme zd rznit vektorový chrkter objektu, zn íme jej jiným fontem, np. u v ti²t ném textu nebo nebo u v ru n psném textu. Hrnice mezi pouºitím pojm bod vektor není p esná ur uje se spí²e citem. Termín vektor up ednost ujeme, pokud zcházíme s prvky R n jko s prvky vektorového lineárního prostoru. Intuitivn, bod je veli in, která má polohu, ztímco vektor má sm r velikost (nebo délku? Stejn této veli in budeme íkt norm). Typická vektorová veli in je rychlost, uv domte si, ºe nulová rychlost i s ítání (skládání) rychlostí má dobrý názorný smysl, le nulový bod s ítání bod p sobí um le. V dl²ím budeme prvky prostoru R n zn it oby ejn jko x i tu n jko x, podle toho, zd bude p evºovt význm x jko bodu nebo x jko vektoru. Nulový prvek vektorového prostoru budeme zn it oby ejn 0, i kdyº formáln by bylo správn j²í 0. N vektory lze pohlíºet i jko n mtice o jednom ádku nebo jednom sloupci. Z primární budeme povºovt sloupcový zápis, který vede k svislým vektor m. Abychom odli²ili n²e vektory od vodorovných vektor neztrtili typogrckou výhodu psní do ádku, domluvíme se, ºe vektor, jehoº so dnice jsou npsány vodorovn v hrntých závorkách, je ve skute nosti svislý, tedy mticí bychom ho násobili zlev. P ipome me, ºe v R n, jkoº v kºdém lineárním prostoru, m ºeme vektory s ítt násobit sklárem. Od nepm ti mtemtiky vzru²ovl otázk násobení vektor mezi sebou. V dvourozm rném prostoru n²li operci sou inu, p i níº sou inem dvou dvourozm rných vektor je op t dvourozm rný vektor R 2 s touto opercí spl uje xiomy komuttivního t les. Tyto vlstnosti totiº spl uje lgebrická struktur komplexních ísel. Ve vy²²í dimenzi nic tk dokonlého neexistuje. Vektory m ºeme násobit po sloºkách, to le není p íli² zjímvé pro vektory jko prvky prostoru to nemá fyzikální význm. Uºite n j²í jsou vektorový sou in v dimenzi 3, kvterniony v dimenzi 4, mticové sou iny v dimenzi n 2, kuriozitou je Cleyov lgebr v dimenzi 8. Kºdý z t chto sou in postrádá spo n kterou z vlstností komuttivního t les. Pk se jest pouºívjí sou iny, jejichº výstup má vy²²í dimenzi neº vstupy (tenzorové, vn j²í). Sou in, který brzy zvedeme, má nprosto fundmentální význm. Jeho výstup má dimenzi niº²í neº vstupy, totiº je to sklární sou in, neboli výstup má dimenzi jedn Denice (Sklární sou in). Stndrdní sklární sou in n-rozm rných vektor x = [x 1,..., x n ] y = [y 1,..., y n ] R n denujeme jko íslo n x y = x i y i. ekn me, ºe vektory x y jsou nvzájem kolmé, jestliºe x y = Denice (Vzdálenost, norm). Vzdálenost bod x = [x 1,..., x n ] y = [y 1,..., y n ] R n (téº zvná eukleidovská vzdálenost ) je dán vzorcem i=1 ρ(x, y) = (y 1 x 1 ) (y n x n ) 2. Normu vektoru x = [x 1,..., x n ] R n denujeme p edpisem x = x x2 n. (Norm bodu je vlstn jeho vzdálenost od po átku.) Pk zápis vzdálenosti bod x y m ºeme zjednodu²it n ρ(x, y) = y x. V dimenzi jedn se norm redukuje n oby ejnou bsolutní hodnotu Poznámk. Vzorec pro vzdálenost bod se nedá odvodit, není z eho! D leºité je, ºe kdyº m íme vzdálenost podle tohoto vzorce, dostáváme výsledky v souldu s n²imi zku²enostmi z reálného sv t. 6

7 2.4. V t (Vlstnosti sklárního sou inu). Pro v²echn x, y, z R n, λ R pltí (1) x y = y x, (2) (λx) y = λ(x y), (3) (x + y) z = x z + y z, (4) x 0 = x x > V t (Vzth normy sklárního sou inu). (1) x = x x, (2) x y = 1 2( x + y 2 x 2 y 2) = 1 4( x + y 2 x y 2), (3) 2 x y x 2 + y 2, (4) x y x y (Cuchy-Bu kovského nerovnost) V t (Vlstnosti normy). Pro v²echn x, y R n, λ R pltí (1) x = 0 x = 0, (2) λx = λ x, (3) x + y x + y V t (Vlstnosti vzdálenosti). Pro v²echn x, y, z R n pltí (1) ρ(x, y) = 0 x = y, (2) ρ(x, y) = ρ(y, x), (3) ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z, y) (trojúhelníková nerovnost) Denice (Úhel). Úhel mezi vektory x = [x 1,..., x n ] y = [y 1,..., y n ] R n denujeme jko íslo α [0, π] které vyhovuje rovnici x y = x y cos α Poznámk. Op t, jko v p ípd vzdálenosti, vzorec pro úhel mezi vektory je denice nemá smysl se ho pokou²et odvodit. V²imn te si, ºe vektory svírjí prvý úhel α = π/2 podle denice 2.8, práv kdyº jsou nvzájem kolmé podle denice 2.1! 3. Topologické pojmy 3.1. Denice (Hrnice). Kºdé mnoºin A R n p i díme její hrnici A. ekneme, ºe bod z je hrni ním bodem k A, jestliºe libovoln blízko bodu z njdeme jk bod z A, tk bod z dopl ku A. (Dopln k mnoºiny A budeme zn it A c.) Tedy p esn : z A, jestliºe ke kºdému δ > 0 existují x A x A c tk, ºe x z < δ x z < δ. (Úlohu x nebo x m ºe plnit i smotný bod z.) Hrnice A mnoºiny A je denován jko mnoºin v²ech hrni ních bod mnoºiny A Denice (Otev ená, uzv ená mnoºin). ekneme, ºe mnoºin A R n je otev ená, jestliºe ºádný bod A není hrni ní (k A), tedy A A =. ekneme, ºe mnoºin A R n je uzv ená, jestliºe obshuje svou hrnici, tedy A A. Mnoºiny, R n jsou jk otev ené, tk uzv ené ( ºádné jiné tkto obojetné mnoºiny nejsou). Je mnoho mnoºin, které nejsou ni otev ené, ni uzv ené. Je-li mnoºin otev ená, pk dopln k je uzv ený nopk, dopln k uzv ené mnoºiny je otev ený. Otev enost uzv enost mnoºiny jsou reltivní pojmy, vzthují se k prostoru, v n mº je vy²et ujeme (v n²em p ípd R n ) P íkldy. Hrnice kruhu je kruºnice. Otev ený kruh je otev ená mnoºin. Uzv ený kruh je uzv ená mnoºin. Hrnice mnoºiny Q v²ech rcionálních ísel v R je celé R. Mnoºin Q není ni uzv ená, ni otev ená. Hrnice úse ky (=uzv eného intervlu) v R je mnoºin krjních bod. Hrnice úse ky v R 2 je sm tto úse k. Úse k je uzv ená. Intervl (0, 1] v R není ni uzv ený, ni otev ený V t. () Jestliºe F i R n jsou uzv ené je jich kone n mnoho, pk i F i je uzv ená. (b) Jestliºe G i R n jsou otev ené je jich kone n mnoho, pk i G i je otev ená. (c) Jestliºe F i R n jsou uzv ené je jich by nekone n mnoho, pk i F i je uzv ená. (d) Jestliºe G i R n jsou otev ené je jich by nekone n mnoho, pk i G i je otev ená Denice (Koule, okolí). Koulí v R n o st edu x polom ru r rozumíme mnoºinu B(x, r) = {y R n : y x < r}. ekneme, ºe mnoºin U R n je okolí bodu x R n, jestliºe existuje δ > 0 tk, ºe B(x, δ) U. Pltí, ºe mnoºin je otev ená, práv kdyº je okolím kºdého svého bodu. ekneme, ºe U R n je redukovné okolí bodu x R n, jestliºe {x} U je okolí x. Bod x tedy v tomto p ípd do U nemusí pt it. 7

8 3.6. Spojitost limit. V dl²ím se budeme zbývt chováním zobrzení (funkcí) více prom nných. Nech n, d N Ω R n. Zobrzení f : Ω R d se tké nzývá vektorová funkce nebo vektorové pole. Pro d = 1 íkáme st ji funkce, m ºeme pouºívt i sklární funkce i sklární pole Denice (Limit funkce). Nech Ω R n R n. Nech f : Ω R d je zobrzení M Ω. ekneme, ºe zobrzení f má v bod limitu L R d vzhledem k mnoºin M, pí²eme jestliºe je spln no: ε > 0 δ > 0 x M lim f(x) = L, x x M [ ] 0 < x < δ = f(x) L < ε. Vsuvku vzhledem k mnoºin M vynecháváme, jestliºe Ω je spo redukovné okolí bodu M = Ω. Pk tké zn íme jednodu²e lim x f(x) Pozorování. () Zobrzení nemusí mít nutn limitu. Pokud ji le má, je ur en jednozn n z p edpokldu, ºe M protíná kºdé redukovné okolí. (b) Má-li zobrzení limitu L vzhledem k M, má ji i vzhledem ke kºdé M M. (c) Limit sou tu je sou et limit. Limit sou inu je sou in limit (pro d = 1 nebo sklární sou in). (d) lim x f(x) = L, práv kdyº pro v²echn i = 1,..., d pltí lim x f i (x) = L i, tj. zobrzení má limitu po sou dnicích. (e) Jestliºe g : Ω R má limitu 0 v bod vzhledem k M f : Ω R d, f g n pr niku M s redukovným okolím, pk f má limitu 0 v bod vzhledem k M Denice (Spojitost). ekneme, ºe zobrzení f : Ω R d je spojité v bod Ω vzhledem k M Ω, jestliºe lim f(x) = f(). x x M Obecn ji, podmínku M Ω lze oslbit n existuje okolí U bodu tk, ºe M U Ω. Vsuvku vzhledem k M vynecháváme, je-li Ω okolí M = Ω. ekneme, ºe zobrzení f je spojité n Ω, jestliºe f je spojité v kºdém bod Ω vzhledem k Ω; v tom p ípd nepoºdujeme, by Ω bylo okolí svých bod Poznámk. Podle n²í denice je np. funkce spojitá n uzv eném intervlu [, b], pokud je spojitá v kºdém vnit ním bod oboustrnn, v bod zprv v bod b zlev. Uvºujte Dirichletovu funkci D : R R, která p i dí kºdému rcionálnímu íslu x hodnotu 1 kºdému ircionálnímu íslu x hodnotu 0. Potom D je spojitá n mnoºin Q v²ech rcionálních ísel, le není spojitá v ºádném bod mnoºiny Q. To proto, ºe spojitost n mnoºin se rozumí vzhledem k této mnoºin, le spojitost v bod se rozumí vzhledem k okolí Pozorování. () Sou et nebo sou in spojitých funkcí je spojitá funkce. (b) Zobrzení je spojité, práv kdyº je spojité po sou dnicích. (c) Funkce, která bodu x p i dí jeho i-tou sou dnici x i, je spojitá. (d) Funkce x x je spojitá. (e) Jestliºe f : Ω R d má v limitu L, E R d obshuje f(ω) {L} g je funkce spojitá n E, pk sloºená funkce g f má v limitu g(l) Poznámk. Podle pozorování 3.11(c) pltí np íkld toto: Jestliºe f je nezáporná funkce n Ω lim f(x) = L, pk lim f(x) = L. x x V t. () Jestliºe f je spojitá funkce n uzv ené mnoºin F α R, pk mnoºiny {x F : f(x) α}, {x F : f(x) α} jsou uzv ené. (b) Jestliºe f je spojitá funkce n otev ené mnoºin G α R, pk mnoºiny jsou otev ené. {x F : f(x) > α}, {x F : f(x) < α} 8

9 3.14. Metodik po ítání limit funkcí více prom nných. Po ítáme-li limitu lim f(x), x kde f je funkce dvou prom nných denovná n redukovném okolí, zkusíme nejprve spo ítt limitu funkce jedné prom nné L = lim f(x 1, 2 ), x 1 1 která je totéº jko lim f(x) pro M = {x : x x 2 = 2 }. x M Pokud tto limit neexistuje, nem ºe ni existovt zdná limit. Pokud limit L existuje, máme dv moºnosti. Chceme-li dokázt, ºe f má v limitu L = L, snºíme se odhdnout f L funkcí g, o níº víme, ºe má v limitu 0. Np íkld pro limitu njdeme odhd lim f(x), f(x) = x 1x 2 2 x 0 x x2 2 f(x) x 2 x pouºijeme znlost, ºe lim x 0 x = 0. Pokud nopk chceme dokázt, ºe funkce nemá limitu, zkusíme njít mnoºinu M tk, ºe lim f(x) L x x M (nebo neexistuje). Tké se m ºe stát, ºe funkce má limitu nekone no (zkuste denovt!) Pk smoz ejm nemá ºádnou limitu L R Cvi ení. Njd te deni ní obor funkce x x 1 x 2 zd vodn te její spojitost (n deni ním oboru) Cvi ení. Pro jsou následující funkce nespojité? () (b) f(x) = f(x) = { 1, x 1 > 0, 0, x 1 0. { x1 x, x 0, 0, x = Derivce funkcí více prom nných 4.1. Zn ení. Vektory knonické báze prostoru R n budeme zn it e i, i = 1,..., n. Tedy e 1 = [1, 0,..., 0], e 2 = [0, 1, 0,..., 0],..., e n = [0,..., 0, 1]. Prostor v²ech mtic o d ádcích n sloupcích budeme zn it R d n. Speciáln pro d = 1 dostáváme (R n ), prostor v²ech vodorovných n-rozm rných vektor Denice (Derivce). Nech Ω je okolí bodu x f : Ω R d je zobrzení. () Prvek b R d nzveme prciální derivcí f v bod x podle i-té prom nné zn íme D i f(x) nebo f x i (x), jestliºe b je oby ejná derivce v x i zobrzení Tedy s f(x 1,..., x i 1, s, x i+1,..., x n ). f(x + te i ) f(x) D i f(x) = lim. t 0 t (b) Prvek A R d n nzveme totálním diferenciálem f v bod x zn íme f (x), jestliºe f(x + h) f(x) Ah lim = 0. h 0 h V této denici jde o limitu funkcí více prom nných, protoºe h R n. ekneme, ºe funkce f je diferencovtelná v bod x, jestliºe má v x totální diferenciál. 9

10 4.3. Dl²í terminologie zn ení. Totální diferenciál se tké nzývá derivce, silná derivce nebo Fréchetov derivce. P esn ji m ºeme rozli²ovt, ºe derivce je lineární zobrzení totální diferenciál je mtice, která toto zobrzení reprezentuje. Pro d = 1 je totální diferenciál vodorovný vektor, ztímco v t²inou prcujeme s prostorem svislých vektor Vodorovný vektor m ºeme postvit opercí trnspozice. Trnsponovný totální diferenciál funkce f v bod x se nzývá grdient zn í f(x) Pozorování. Nech f je diferencovtelná v bod x. Potom f má v²echny prciální derivce v bod x D i f(x) je i-tý sloupec mtice f (x) (resp. pro d = 1 je to i-tá sou dnice vodorovného vektoru f (x)). Tedy D i f(x) = f (x)e i Pozorování. Pro derivování sklární funkce f : Ω R pltí vzorce (1) D i (f + g) = D i f + D i g, (2) D i (λf) = λd i f, (3) D i (fg) = fd i g + gd i f V t. Nech Ω je okolí bodu R n. Nech f : Ω R má v bod totální diferenciál. Pk f je spojitá v V t. Nech Ω je okolí bodu R n. Nech f : Ω R má v bod spojité prciální derivce. Pk f má v totální diferenciál P íkldy. Funkce f(x) = x1x2 x dodenovná nulou v po átku má v nule prciální derivce, le není 2 v nule spojitá nemá tm totální diferenciál. Funkce { x 2 f(x) = 2, x 1 > 0, 0, x 1 0 má v nule totální diferenciál, le není spojitá n ºádném okolí nuly n ºádném okolí nuly nemá prciální derivce. (Tyto výroky je t eb chápt následovn : pro kºdé okolí nuly U pltí, ºe není prvd, ºe by f byl spojitá n U). Funkce f(x) = x je spojitá v nule, le nemá tm prciální derivce. Funkce f(x) = x1x3 2 dodenovná nulou v po átku má v nule v²echny derivce ve sm ru nulové, p esto nemá x 2 1 +x6 2 v nule totální diferenciál není tm spojitá. Funkce f(x) = x1x3 2 dodenovná nulou v po átku má x 2 1 +x4 2 v nule v²echny derivce ve sm ru nulové je tm spojitá, p esto nemá v nule totální diferenciál V t (O derivování sloºené funkce neboli etízkové prvidlo). Nech Ω R n je okolí x R n, f : Ω R d má v x totální diferenciál A, U R d je okolí bodu y = f(x) g : U R m má v y totální diferenciál B. Potom sloºené zobrzení g f má v x totální diferenciál BA (mticový sou in). Speciáln, pro kºdé i = 1,..., m, j = 1,..., n pltí (g i f) x j (x) = d k=1 g i y k (y) f k x j (x). 5. Diferenciální rovnice 5.1. Obecný tvr rovnice. Budeme se zbývt diferenciálními rovnicemi tvru (7) u (n) (t) = f(t, u(t), u (t),..., u (n 1) (t)), kde f je dná funkce n+1 prom nných (t, x 0, x 1,..., x n 1 ). ƒíslo n je ád rovnice. Cílem je njít funkci u : (α, β) R vyhovující rovnici, tzv. e²ení rovnice. Rovnici (7) v t²inou zpisujeme v úsporném zn ení u (n) = f(t, u, u,..., u (n 1) ). Soustv diferenciálních rovnic se dá zpst v obdobném tvru, nhrdíme-li symboly u (k) symboly u (k) symbol f symbolem f. Zde hledná funkce je vektorová funkce u : (α, β) R n funkce f má tké hodnoty v R n. Np. pro n = 2 u(t) = soustv dvou rovnic prvého ádu má tvr ( ) u1 (t), u (t) = u 2 (t) u 1(t) = f(t, u 1 (t), u 2 (t)), u 2(t) = f(t, u 1 (t), u 2 (t)). 10 ( ) u 1 (t) u 2 (t),...

11 Rovnice je zvlá²tním p ípdem soustvy pro n = 1. Nyní p edvedeme, jk rovnici (7) lze p edvést n soustvu prvého ádu. To nás osprvedl uje soust edit se n prvý ád rovnice vy²²ích ád uvºovt jen v p ípdech, kde p evedení n soustvu je nevýhodné Redukce. Uvºujme rovnici (7). Hledejme vektorovou funkci v = (v 1,..., v n ), kde Potom rovnice (7) je ekvivlentní soustv v 1 = u, v 2 = u,... v n = u (n 1). v 1 = v 2, v 2 = v 3,... v n = f(t, v 1,..., v n ). Tím jsme zredukovli úlohu vy²²ího ádu n úlohu prvého ádu z cenu, ºe nová úloh je soustv, i kdyº výchozí úloh byl jedn rovnice. Díky redukci se m ºeme v teoretických úvhách omezit n první ád Po áte ní úloh. V prxi obvykle hledáme pomocí diferenciální rovnice jednu konkrétní funkci. Abychom up esnili výb r, zdáváme tzv. po áte ní úlohu { u (t) = f(t, u(t)), (8) u(t 0 ) = x 0, kde x 0 je dný vektor. Tto úloh znmená, ºe ze v²ech e²ení rovnice nás zjímjí jenom t e²ení, které v bod t 0 nbývjí hodnoty x 0. V ideálním p ípd je pk tkové e²ení jen jedno Soustvy prvého ádu. Pro nelineární rovnice soustvy prvého ádu nejprve vyslovíme v ty o existenci jednozn nosti V t o existenci. Nech vektorová funkce f = (f 1,..., f n ) reálných prom nných t (α 0, β 0 ) x R n je spojitá n okolí bodu [t 0, x 0 ] (α 0, β 0 ) R n. Potom n n jkém okolí (α, β) bodu t 0 existuje e²ení u : (α, β) R n po áte ní úlohy (8) V t o existenci jednozn nosti. Nech vektorová funkce f = (f 1,..., f n ) reálných prom nných t (α 0, β 0 ) x R n je spojitá n okolí bodu [t 0, x 0 ] (α 0, β 0 ) R n prciální derivce fi x j jsou tm tké spojité. Potom n n jkém okolí (α, β) bodu t 0 existuje práv jedno e²ení u : (α, β) R n po áte ní úlohy (8) Metod seprce prom nných. Uvºujme rovnici prvého ádu tvru (9) u (t) = g(t) h(u(t)), kde g h jsou dné spojité funkce. Nech H je primitivní funkce k 1 h n intervlu (A, B), kde h nenbývá hodnoty 0, G je primitivní funkce ke g. Jestliºe funkce u má hodnoty v (A, B) spl uje implicitní rovnici (10) H(u(t)) = G(t) + C, pk zderivováním získáme u (t) h(u(t)) = g(t), tedy u je e²ení rovnice. P evedli jsme tedy diferenciální rovnici n zprvidl snº²í implicitní rovnici. Pokud z implicitní rovnice neumíme vyjád it u, spokojíme se s tvrem (10). Úsklím metody je, ºe p ípdná e²ení n nichº h(u(t)) = 0 se musí hledt zvlá² P íkld. Uvºujme po áte ní úlohu (11) { u (t) = 2tu 2 (t) u(0) = 1. 11

12 e²íme seprcí prom nných: u u 2 = 2t, 1 u = t2 + C, u = 1 t 2 + C. Tímto zp sobem ncházíme tzv. obecné e²ení. Protoºe e²ení hledáme vºdy n (mximálním moºném) intervlu, m ºe i jedné hodnot konstnty C odpovídt více e²ení, np. pro C = 1 s deni ními obory (, 1), ( 1, 1), (1, + ). Doszením zdné po áte ní úlohy u(0) = 1 zjistíme 1 = C, C = 1. Hledné e²ení po áte ní úlohy je u(t) = 1, t ( 1, 1). 1 t2 V²imn me si, ºe e²ení existuje n men²ím okolí bodu t 0 = 0 neº n jkém jsou zdán dt úlohy (funkce f(t, x) = 2tx 2 ). Rovnice (11) je nelineární V dl²ím se budeme zbývt lineárními úlohmi, pro které dostneme globální výsledky o existenci jednozn nosti Denice. Lineární rovnice budeme uvºovt i ve vy²²ím ádu. Lineární diferenciální rovnice n-tého ádu n otev eném intervlu I je rovnice (12) u (n) + n 1 u (n 1) u + 0 u = f, kde 0,..., n 1 jsou spojité funkce prom nné t I (koecienty), f : I R je spojitá funkce prom nné t (jen t!), f je tzv. prvá strn, u : I R je neznámá funkce. Nekdy se k lenu u (n) p idává koecient n, le pk se stejn p edpokládá, ºe je nenulový, tkºe jím lze celou rovnici vyd lit V t. Nech funkce i, f jsou spojité n I. Potom existuje e²ení u p rovnice (12) n I (tzv. prtikulární e²ení) lineární prostor W dimenze n (podprostor prostoru v²ech spojitých funkcí n I) tk, ºe mnoºin v²ech e²ení rovnice (12) je nní prostor {u p + w : w W }. Speciáln, pro prvou strnu f = 0 je mnoºinou v²ech e²ení lineární prostor W V t. Nech funkce i, f jsou spojité n I, dále m jme bod t 0 I ísl x 0, x 1,..., x n 1 R. Potom existuje práv jedno e²ení po áte ní úlohy u (n) + n 1 u (n 1) u + 0 u = f, u(t 0 ) = x 0, u (t 0 ) = x 1,... u (n 1) (t 0 ) = x n e²ení lineárních rovnic. Rovnice (13) u (n) + n 1 u (n 1) u + 0 u = 0 vznikne z rovnice (12), zm níme-li prvou strnu f nulovou prvou strnou. Je moºné osvojit si následující dovednosti: vy e²it rovnici (13) pro n = 1 obecný (prom nný) koecient vy e²it rovnici (13) pro n > 1 konstntní koecienty Ze znlosti e²ení (13) odvodit e²ení rovnice (12) (metod vrice konstnt). Úloh njít e²ení (13) pro n > 1 prom nné koecienty m ºe být bez ²nce Lineární rovnice prvého ádu. Rovnici (14) w + w = 0 vy e²íme seprcí. Je-li A(t) primitivní funkce k (t), pk w = e A(t) je e²ení (14). Rovnici (15) u + u = f vy e²íme vricí konstnt. Je-li w e²ení (14) v e²í v w = f (primitivní funkce k f/w), pk wv e²í (15). 12

13 5.14. P íkld. u u t = 1 n (0, ). Nejprve vy e²íme seprcí w w = 1 t, ln w = ln t, w = t, tedy (t) (seznm délky 1 obshující identickou funkci u(t) = t) je báze prostoru e²ení rovnice w w t = 0. Dále hledáme funkci v tk, by pltilo tv (t) = 1, tedy v(t) = ln t. Prtikulární e²ení je u(t) = w(t)v(t) = t ln t. Mnoºin v²ech e²ení dné rovnice je nní prostor {t ln t + ct : c R} Lineární rovnice druhého ádu: vrice konstnt*. Nech (w 1, w 2 ) je báze prostoru e²ení rovnice (16) w + w + bw = 0 (ne e²íme otázku, jk jsme k této bázi p i²li). Soustv rovnic (17) w 1 v 1 + w 2 v 2 = 0, w 1v 1 + w 2v 2 = f je pro pevné t soustvou lgebrických rovnic, dostneme e²ení v 1, v 2. Njdeme primitivní funkce v 1, v 2. Potom u = w 1 v 1 + w 2 v 2 je prtikulární e²ení rovnice u + u + bu = f. Název vrice konstnt pochází od toho, ºe vezmeme obecné e²ení c 1 w 1 + c 2 w 2 e²ení rovnice (16) konstnty c 1, c 2 nhrdíme funkcemi v 1, v 2. Hledáme-li e²ení rovnice (16) ve tvru u = w 1 v 1 + w 2 v 2, jkousi úvhou lze odvodit vý²e uvedený postup Lineární rovnice druhého ádu s konstntními koecienty. Uvºujme rovnici (18) w + w + bw = 0, kde, b jsou tentokrát konstnty. Hledáme ko eny tzv. chrkteristického polynomu (19) λ 2 + λ + b. Mohou nstt následující moºnosti: Polynom (19) má dv reálné ko eny λ 1 λ 2. Potom (e λ1t, e λ1t ) je báze prostoru e²ení (18). Polynom (19) má dvojnásobný reálný ko en λ. Potom (e λt, te λt ) je báze prostoru e²ení (18). Polynom (19) má nvzájem komplexn sdruºené ko eny µ + iω, µ iω. Potom báze prostoru e²ení (18) je (e µt cos ωt, e µt sin ωt). Podobným zp sobem se e²í i lineární rovnice n-tého ádu s konstntními koecienty. Chrkteristický polynom má stupe n bázi prostoru e²ení tvo í funkce t k e λt, kde k je nezáporné celé íslo λ je ko en chrkteristického polynomu násobnosti > k. Speciáln se tm vyskytne funkce e λt = t 0 e λt, kdyº λ je ko en chrkteristického polynomu P íkld*. e²me rovnici (20) u + u = t. Nejprve vy e²íme obdobu s nulovou prvou strnou: (21) w + w = 0 Chrkteristická rovnice λ = 0 má e²ení i, i, báze prostoru e²ení (21) je (cos t, sin t). Soustv (17) má tvr cos t v 1(t) + sin t v 2(t) = 0, Odtud sin t v 1(t) + cos t v 2(t) = t. v 1(t) = t sin t, v 2(t) = t cos t, 13

14 tkºe t eb prtikulární e²ení bude Mnoºin v²ech e²ení dné rovnice je nní prostor v 1 (t) = t cos t sin t, v 2 (t) = t sin t + cos t. u(t) = (t cos t sin t) cos t + (t sin t + cos t) sin t = t. {t + c 1 cos t + c 2 sin t : c 1, c 2 R} Poznámk. N kdy se pouºívá následující pom ck: je-li 0 m-násobný ko en chrkteristického polynomu prvá strn je konstnt, pk prtikulární e²ení lze hledt ve tvru ct m, kde konstntu c zjistíme doszením do rovnice. Obecn ji, je-li prvá strn polynom q-tého stupn, prtikulární e²ení bude t m krát (obecn jiný) polynom q-tého stupn. Np íkld v p edchozí úloze 5.17 je m = 0 prtikulární e²ení hledáme ve tvru u(t) = c 1 t + c 0, po doszení do rovnice vyjde c 1 = 1, c 0 = 0. Je-li prvá strn polynom krát e γt, potom prtikulární e²ení hledáme ve tvru u = ve γt po úprvách dostneme p edchozí p ípd P íkld. e²me w +w = cos t. Prtikulární e²ení budeme hledt jko reálnou ást prtikulárního e²ení rovnice u + u = e it. Poloºme u = ve it. Potom po doszení do rovnice dostneme v e it + ive it + ve it = e it, po vykrácení v + (i + 1)v = 1. Prtikulární e²ení bude v = 1 1+i = 1 i 2 prtikulární e²ení p vodní rovnice bude reálná ást funkce u = ve it = 1 i 2 (cos t + i sin t) = 1 2 (cos t + sin t) + i (sin t cos t), 2 tedy w = 1 2 (cos t + sin t) Lineární soustvy s konstntními koecienty. Pro soustvy lineárních rovnic pltí obdobné v ty jko pro lineární rovnice, zejmén pltí, ºe mnoºin v²ech e²ení tvo í vektorový prostor (v p ípd nulové prvé strny) i nní prostor (v p ípd obecné prvé strny). Dimenze prostoru v²ech e²ení soustvy n rovnic prvního ádu je n. V dl²ím se omezíme n první ád, konsttní koecienty nulovou prvou strnu. Zjímá nás e²ení soustvy u 1 = 1,1 u 1 + 1,2 u ,n u n, u 2 = 2,1 u 1 + 2,2 u ,n u n,... u n = n,1 u 1 + n,2 u n,n u n, kde A = ( i,j ) je dná mtice konstntních reálných koecient. Úlohu m ºeme zpst ve vektorovém tvru u = Au. I zde pouºíváme chrkteristický polynom, totiº det(a λe), kde E je jednotková mtice. Kºdá sou- dnice vektoru e²ení je lineární kombincí funkcí tvru t k e λt, kde k {0, 1, 2,... } λ je ko en chrkteristického polynomu násobnosti > k. Ko en λ m ºe být komplexní, pk víme, ºe pro µ, ω R je e (µ+iω)t = e µt (cos ωt + i sin ωt). Hledáme-li bázi prostoru e²ení, vyjdeme z báze prostoru R n, kºdé po áte ní podmínce e 1,..., e n odpovídá jedno bázové e²ení. St í tedy um t e²it po áte ní úlohu. Tu e²íme tk, ºe npí²eme kºdou sou dnici vektoru jko lineární kombinci (viz. vý²e) koecienty ur íme z po áte ních podmínek. Metodu oz ejmíme n následujícím p íkldu P íkld. e²me po áte ní úlohu x = y y = x + 2y, x(0) = 1, y(0) = 0. 14

15 Mtice A je Chrkteristická rovnice má tvr A = ( 0 ) ( ) λ 1 0 = det = λ 2 2λ λ Tto rovnice má jeden dvojnásobný ko en λ = 1, tedy sou dnice vektoru e²ení budou lineární kombince funkcí e t te t. Z rovnice spo teme po áte ní podmínku pro derivci x (0) = y(0) = 0, Hledejme konstnty A, B,, b e²ení ve tvru tedy y (0) = x(0) + 2y(0) = 1. x = Ae t + Bte t, y = e t + bte t, x = (A + B)e t + Bte t, y = ( + b)e t + bte t. Doszením do po áte ních podmínek pro t = 0 dostneme odtud A = 1, B = 1. Podobn odtud = 1, b = 1. Tedy e²ení úlohy je A = x(0) = 1, A + B = x (0) = 0, = y(0) = 0, ( + b) = y (0) = 1, x = e t te t, y = te t Poznámk. Ztímco v metod 5.18 se neur ité koecienty hledjí doszením do rovnice, zde se hledjí doszením do po áte ních podmínek. 6. Lokální extrémy 6.1. Denice (Extrémy, stcionární bod). Nech Ω R n je okolí bodu f : Ω R je funkce. ekneme, ºe f má v lokální minimum, jestliºe existuje okolí U bodu tk, ºe f(x) f() pro v²echn x U. ekneme, ºe f má v ostré lokální minimum, jestliºe existuje okolí U bodu tk, ºe f(x) > f() pro v²echn x U r zná od. Podobn denujeme lokální mximum ostré lokální mximum, pouze zm níme orientci nerovnosti. (Ostrý) lokální extrém je (ostré) lokální minimum nebo (ostré) lokální mximum. ekneme, ºe funkce f má v stcionární bod (tké se íká kritický nebo singulární), jestliºe f () = V t (Eulerov nutná podmínk). Nech funkce f má v bod lokální extrém. Potom () v²echny prciální ( i sm rové) derivce, které existují, jsou nulové, (b) pokud je f v diferencovtelná, pk je stcionární bod f Denice (Kvdrtické formy jejich klsikce). Bilineární form n prostoru R n je zobrzení A : R n R n R, které je lineární v prom nných x y. To znmená, ºe pro pevné x je lineární zobrzení y A(x, y) : R n R pro pevné y je lineární zobrzení x A(x, y) : R n R. Kvdrtická form n R n je zobrzení Φ : R n R, které vznikne z n jké bilineární formy p edpisem Φ(x) = A(x, x). Je-li A R n n mtice, pk zobrzení n (x, y) Ax y = ij x j y i 15 i,j=1

16 je bilineární form n R n obrácen, kºdou bilineární formu n R n lze reprezentovt tímto zp sobem. Pokud pouºijeme A pouze jko kvdrtickou formu, tedy x Ax x, ztrát informce se projeví tím, ºe reprezentující mtici m ºeme volit symetrickou. Pokud nebude hrozit nedorozum ní, nebudeme rozli²ovt mezi kvdrtickými formmi n R n symetrickými mticemi n n. Kvdrtickou formu (symetrickou mtici) A R n n nzveme () indenitní, jestliºe jko kvdrtická form nbývá kldných i záporných hodnot, (b) pozitivn denitní, jestliºe Ax x > 0 pro kºdé x R n, x 0, (c) pozitivn semidenitní, jestliºe Ax x 0 pro kºdé x R n. Pojmy negtivn denitní, negtivn semidenitní denujeme nlogicky se znménky <, Poznámk. Nech E je jednotková mtice. Ko eny λ i chrkteristické rovnice det(a λe) = 0 se nzývjí vlstní ísl mtice A. Pltí: kvdrtická form A je () pozitivn semidenitní, práv kdyº v²echn vlstní ísl jsou nezáporná, (b) pozitivn denitní, prv kdyº v²echn vlstní ísl jsou kldná, (c) indenitiní, práv kdyº existuje kldné vlstní íslo záporné vlstní íslo. V mnohých p ípdech se v²k dá uhodnout chování kvdrtické formy. Np íkld kvdrtická form, která má n digonále záporný prvek, nem ºe být pozitivn semidenitní. Kvdrtická form v dimenzi 2 je pozitivn denitní, práv kdyº 11 > 0 det A > Denice (Druhý diferenciál). Nech Ω R n je okolí bodu funkce f : Ω R je diferencovtelná v Ω. Potom (p ípdný) diferenciál funkce f (p ipome me: f = (f ) T ) v se nzývá druhý diferenciál funkce f v zn í f (). Druhý diferenciál funkce je výhodné brát jko kvdrtickou formu. Jestliºe f má v spojité prciální derivce druhého ádu, potom má v grdient [ f b = (),..., f ] (), x 1 x n druhý diferenciál Tylor v polynom druhého ádu A : h n i,j=1 2 f x i x j ()h i h j p(x) = f() + b (x ) A(x ) (x ). Zkoumání extrém funkce f v bod lze do jisté míry p evést n zkoumání extrém jejího Tylorov polynomu druhého ádu v V t (Lgrngeov nutná podmínk). Nech funkce f má v bod lokální minimum spojité prciální derivce druhého ádu. Potom f () je pozitivn semidenitní V t (Lgrngeov post ující podmínk). Nech funkce f má n okolí bodu spojité prciální derivce druhého ádu f () = 0. () Jestliºe f () je pozitivn denitní, pk f má v ostré lokální minimum. (b) Jestliºe f (x) je pozitivn denitní n redukovném okolí bodu, pk f má v ostré lokální minimum. (c) Jestliºe f (x) je pozitivn semidenitní n redukovném okolí bodu, pk má f v lokální minimum. 7. Globální extrémy 7.1. Denice (Globální extrémy, omezenost). Nech M je libovolná mnoºin. ekneme, ºe funkce f : M R nbývá minim v bod M, jestliºe f(x) f() n M. Hodnot f() (nikoli bod ) se pk nzývá minimum funkce f n M. Bod se v této situci nzývá minimizér. Podobn se denují mximum, nbývání mxim mximizér. Mximum minimum funkce f n M jsou tzv. globální extrémy, pokud chceme zd rznit, ºe nejsou jen lokální, íkám globální minimum (mximum). ekneme, ºe funkce f : M R je omezená, jestliºe existuje C R tk, ºe f(x) C n M. ekneme, ºe mnoºin A R n je omezená, jestliºe funkce x je omezená n A P íkldy. () Funkce f(x) = x nbývá minim n R n v bod 0, v²k nenbývá mxim. Je neomezená. 16

17 (b) Funkce f(x) = rctg x je omezená n R nenbývá tm mxim ni minim. (c) R n je neomezená mnoºin, je omezená mnoºin. (d) Mnoºin {x R 2 : x 1 + x 2 < 1} je omezená. (e) Mnoºin {x R 2 : x 1 x 2 < 1} je neomezená V t. Kºdá spojitá funkce n uzv ené omezené mnoºin K R n je omezená nbývá mxim minim Poznámk. V t 7.3 bývá sto jedinou rozumnou moºnosti jk ov it, ºe funkce f nbývá globálního minim n M v bod. Np. funkce f(x) = x 3 3x má v bod 1 jediné lokální minimum n R, le to není záruk, ºe jde o globální minimum. Ve skute nosti tto funkce ºádné globální minimum n R nemá. Nopk, uvºujeme-li stejný funk ní p edpis n mnoºin A = (0, ), m ºeme postupovt následujícím zp sobem: 1. f musí nbývt minim n mnoºin M = [0, 2], protoºe M je uzv ená omezená. Podez elý bod je = 1, protoºe je tm f () = 0. V²imn me si, ºe f() = Body 0, 2 nemohou být body minim f n M, protoºe je v nich f Body x (0, 1) (1, 2) nemohou být body minim f n M, protoºe je v nich f Tedy f nbývá minim n M v bod = 1. Tedy f(x) f() n A M. 5. Je-li x > 1, pk x 2 > 3, tedy f(x) = x(x 2 3) > 0 > f(). Tedy f(x) f() n A \ M. 6. Záv r: f(x) f() n A, f nbývá minim n A v. 8. Vázné extrémy V této kpitole budeme vy²et ovt extrémy funkce více prom nných vzhledem k mnoºin M R n. V situci, kterou budeme vy²et ovt, bude zdná soustvou nelineárních lgebrických rovnic, p jde tedy o implicitní vrietu Denice. Nech Ω, M R n. ekneme, ºe funkce f : Ω R nbývá n M lokálního minim v bod M Ω, jestliºe existuje okolí U bodu tk, ºe U M Ω pro v²echn x U M pltí f(x) f(). Podobn se denuje lokální mximum n mnoºin. Mnoºin M, vzhledem k níº extrémy vy²et ujeme se íká vzb, proto mluvíme o vázných extrémech V t (O Lgrngeových multiplikátorech). Nech G R n je otev ená mnoºin. Nech M G zdná soustvou rovnic g 1 (x) = = g k (x) = 0, kde g j jsou spojit diferencovtelné. Nech funkce f : G R nbývá lokálního minim n M v bod, je v bod diferencovtelná Jcobiho mtice g () má hodnost k. Potom existují λ 1,..., λ k R (tzv. Lgrngeovy multiplikátory) tk, ºe k f() = λ j g i (). j= Poznámk. Prkticky se bod, v n mº se nbývá lokálního minim nebo mxim n M, hledá jko e²ení soustvy n+k nelineárních lgebrických rovnic o n+k neznámých x 1,..., x n, λ 1,..., λ k. První skupinu rovnic tvo í n-tice k Druhou skupinu rovnic tvo í k-tice f x i (x) = j=1 λ j g j x i (x), i = 1,..., n. g j (x) = 0, j = 1,..., k Poznámk. N kdy se pod í mnoºinu M n okolí bodu popst jko ϕ(g), kde G R n k je otev ená ϕ : G R n je spojit diferencovtelná. Pk m ºeme podez elé body n M hledt jko obrzy ϕ(y), kde y G jsou podez elé z extrému pro f ϕ. 17

18 9. Vícerozm rné integrály 9.1. D lení související pojmy. Intervl v R n je krtézský sou in jednorozm rných intervl. Uzv ený, resp. otev ený intervl je krtézský sou in uzv ených, resp. otev ených intervl. Kºdému intervlu Q = [ 1, b 1 ] [ n, b n ] p i díme jeho pr m r objem dim Q = (b 1 1 ) (b n n ) 2 Q = (b 1 1 ) (b n n ) Pr m r je nejv t²í moºná vzdálenost dvou bod z Q. Víme-li, ºe n = 2, pk místo objem spí²e íkáme obsh. Je-li Q = [ 1, b 1 ] [ n, b n ] uzv ený intervl, pk otev ený intervl ( 1, b 1 ) ( n, b n ) se nzývá vnit ek intervlu Q. íkáme, ºe intervly se nep ekrývjí, mjí-li disjunktní vnit ky. D lením intervlu Q R n rozumíme systém nep ekrývjících se uzv ených intervl D = (Q i ) m i=1, jejichº sjednocení dává Q. Je-li D = (Q i ) m i=1 d lení intervlu Q f : Q R je funkce, íslo (22) S(f, D) := m i=1 Q i sup x Q i f(x) nzveme horním riemnnovským sou tem k integrálu funkce f p es d lení D. íslo m (23) S(f, D) := Q i inf f(x) x Q i i=1 nzveme dolním riemnnovským sou tem k integrálu funkce f p es d lení D. Zn kovým d lením intervlu Q R n rozumíme systém uspo ádných dvojic D = ( (Q i, x i ) ) m i=1, kde (Q i ) m i=1 je d lení x i Q i. Je-li δ > 0 íslo, ekneme, ºe d lení D je δ-jemné, jestliºe pro kºdé i = 1,..., m pltí dim Q i < δ. Je-li D zn kové d lení intervlu Q f : Q R je funkce, íslo m s(f, D) := f(x i ) Q i nzveme sou tem k integrálu funkce f p íslu²ným zn kovému d lení D. i= Riemnn v integrál. Nech Q R n je intervl. Uvºujme funkci f : Q R. Horní Riemnn v integrál R(f) funkce f p es Q denujeme jko inmum v²ech horních riemnnovských sou t k integrálu funkce f. (Tedy jedná se o inmum výrz tvru 22) p es v²echn d lení intervlu Q.) Podobn dolní Riemnn v integrál R(f) funkce f p es Q denujeme jko supremum v²ech dolních riemnnovských sou t k integrálu funkce f. V p ípd, ºe R(f) = R(f) spole ná hodnot je reálné íslo (tj. kone ná), nzveme tuto spole nou hodnotu Riemnnovým integrálem funkce f (podle Drbouxovy denice) zn íme ji f(x) dx. Q ƒíslo I nzveme Riemnnovým integrálem (podle Riemnnovy denice) nebo R-integrálem funkce f p es Q zn íme I = f(x) dx, Q jestliºe ke kºdému ε > 0 existuje δ > 0 tk, ºe pro kºdé δ-jemné zn kové d lení D intervlu Q je s(f, D) I < ε. Lze dokázt, ºe tyto dv denice Riemnnov integrálu vyjdou nstejno, tedy pro výsledný integrál pouºíváme stejné zn ení. Tké pojem Riemnn v integrál zkrcujeme n R integrál V t. Nech Q R n je uzv ený intervl f : Q R je spojitá. Potom integrál f(x) dx existuje jko Riemnn v. Q 18

19 9.4. Vnit ní R-integrál p es otev enou mnoºinu. Sjednocení F = Q 1 Q m kone n mnoh nep ekrývjících se intervl se nzývá gur. Nech Ω R n je otev ená mnoºin f : Ω R je funkce. Jestliºe F = Q 1 Q m Ω je gur, denujeme m f(x) dx = f(x) dx F Q j i=1 v p ípd, ºe integrály p es Q j existují. ekneme, ºe íslo I je vnit ní R-integrál funkce f p es Ω, jestliºe f je integrovtelná p es kºdou guru F Ω ke kºdému ε > 0 existuje gur E Ω tk, ºe pro kºdou guru F Ω pltí F E = f(x) dx I < ε. Zn íme I = V dl²ím se budeme zbývt pouze t mito integrály. F Ω f(x) dx 9.5. Denice ( ezy). Nech Ω R d R n je otev ená mnoºin. Pro x R d ozn me Podobn pro y R n ozn me Ω x, = {y R n : [x, y] Ω}. Ω,y = {x R d : [x, y] Ω}. Tyto mnoºiny se nzývjí ezy, jsou to otev ené mnoºiny Denice (Dvojný integrál). Symbol dx u integrálu funkce vícerozm rné prom nné m ºeme rozepst do jednotlivých prom nných jko np. dx 1 dx 2. V tom p ípd tké zprvidl zdvojujeme (i t í prom nných ztrojujeme) znménko integrálu, np. v zápisu f(x) dx = f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2. Ω Ω je prvá strn jen rozpisem levé strny do sou dnic. Podobn m ºeme párovt i vícerozm rné prom nné Fubiniov v t. Nech Ω R d R n je otev ená mnoºin f : Ω R je funkce. Nech existují integrály f(x, y) dx dy, Ω g(x) = f(x, y) dy, x R d, Ω x, g(x) dx. R d Potom pltí rovnost ( ) (24) f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx. Ω R d Ω x, 9.8. Poznámky. 1. M ºeme zm nit roli x y dostt vzorec ( ) f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy. Ω R n Ω,y 2. Iterováním Fubiniovy v ty m ºeme p evést vícerozm rné integrály n sled jednorozm rné integrce, np. 1 ( ) f(x, y, z) dx dy dz = f(x, y, z) dx dy dz {x 2 +y 2 +z 2 1} = {x 2 +y 2 1 z 2 } ( 1 z 2 ( 1 z 2 y 2 ) f(x, y, z) dx 1 z 2 1 z 2 y 2 19 ) dy dz

20 nebo {x 2 +y 2 +z 2 1} f(x, y, z) dx dy dz = = 1 1 {x 2 +y 2 1} ( 1 x 2 y 2 ) f(x, y, z) dz dx dy 1 x 2 y 2 ( 1 x 2 ( 1 x 2 y 2 ) ) f(x, y, z) dz dy dx. 1 x 2 1 x 2 y V t (V t o substituci, zám n prom nných v integrálu). Nech G R n je otev ená mnoºin Φ : G R n je prosté spojit diferencovtelné zobrzení. Nech u je funkce n mnoºin M Φ(G). Potom u(x) dx = u(φ(t)) det Φ (t) dt, pokud ob integrály dávjí smysl. M Φ 1 (M) Denice (Polární sou dnice). Nech { } G = [r, α] R 2 : r > 0, π < α < π. Zobrzení Φ : G R 2 dné p edpisem ( ) x(r, α) Φ(r, α) :=, y(r, α) x(r, α) := r cos α, y(r, α) := r sin α se nzývá zobrzení polárních sou dnic. Body mnoºiny (25) N = (, 0] {0} z stávjí nepokryty, tto mnoºin je v²k mlá m ºeme ji p i integrci znedbt V t o polárních sou dnicích. Nech Φ : G R 2 je zobrzení polárních sou dnic. Potom Φ je prosté spojit diferencovtelné zobrzení, det Φ (r, α) = r Φ(G) = R 2 \ N, kde N je mnoºin z (25). Je-li M R 2 u funkce n M, potom (26) u(x, y) dx dy = u(r cos α, r sin α) r dr dα, M pokud ob integrály dávjí smysl. G Φ 1 (M) Denice (Sférické sou dnice). Nech tentokrát { } G = [r, α, β] R 3 : r > 0, π < α < π, π/2 < β < π/2. Zobrzení Φ : G R 3 dné p edpisem x(r, α, β) Φ(r, α, β) := y(r, α, β), z(r, α, β) x(r, α, β) := r cos β cos α, y(r, α, β) := r cos β sin α, z(r, α, β) := r sin β se nzývá zobrzení sférických sou dnic. Body mnoºiny (27) N = (, 0] {0} R z stávjí nepokryty, tto mnoºin je v²k mlá m ºeme ji p i integrci znedbt V t o sférických sou dnicích. Nech Φ : G R 3 je zobrzení sférických sou dnic. Potom Φ je prosté spojit diferencovtelné zobrzení, det Φ (r, α, β) = r 2 cos β Φ(G) = R 3 \N, kde N je mnoºin z (27). Je-li M R 3 u funkce n M, potom (28) u(x, y, z) dx dy dz = u(r cos β cos α, r cos β sin α, r sin β) r 2 cos β dr dα dβ, M pokud ob integrály dávjí smysl. G Φ 1 (M) 20