Kapitola 4. Limity a spojitost reálných funkcí Úvodní definice

Transkript

1 Kapitola 4. Limity a spojitost reálných funkcí 4.1. Úvodní definice Definice 4.1: Funkce fjeshoraomezenánamnožině M R,jestližeplatí,že K R x M: f(x) K(tj.je-limnožina {f(x);x M}shoraomezená). Funkce fjezdolaomezenánamnožině M,jestližeplatí,že L R x M: f(x) K(tj.je-limnožina {f(x);x M}zdolaomezená). Funkce fjeomezenánamnožině M,je-lisoučasněshoraomezenáazdolaomezená na M. Definice 4.2: Funkce fjeklesajícínamnožině M R,jestliže x,y M,x < y: f(x) > f(y). Funkce fjerostoucínamnožině M,jestliže x,y M,x < y: f(x) < f(y). Funkce fjeneklesajícínamnožině M,jestliže x,y M,x < y: f(x) f(y). Funkce fjenerostoucínamnožině M,jestliže x,y M,x < y: f(x) f(y). Funkce fjemonotonnína M,jestližejena Mnerostoucíneboneklesající. Funkce fjeryzemonotonnína M,jestližejena Mrostoucíneboklesající. Definice 4.3:(Okolí bodu, jednostranná okolí) Buď a R,ǫ (0, ).Pakdefinujeme (1) U(a,ǫ)=(a ǫ,a+ǫ)={x R; x a < ǫ}okolíbodu aopoloměru ǫ, (2) P(a,ǫ)=(a ǫ,a) (a,a+ǫ)prstencovéokolíbodu aopoloměru ǫ, (3) P + (a,ǫ)=(a,a+ǫ)pravéprstencovéokolíbodu aopoloměru ǫ, (4) P (a,ǫ)=(a ǫ,a)levéprstencovéokolíbodu aopoloměru ǫ. Dálepro a=,ǫ (0, )definujeme (5) U(,ǫ)=P(,ǫ)=P + (,ǫ)=(, 1 ǫ )okolíbodu opoloměru ǫ,prstencovéokolíapravéprstencovéokolíbodu opoloměru ǫ (levé okolí nedefinujeme). apro a=,ǫ (0, )definujeme (6) U(,ǫ) = P(,ǫ) = P (,ǫ) = ( 1 ǫ, )okolíbodu opoloměru ǫ, prstencové okolí a levé prstencové okolí bodu o poloměru ǫ(pravé okolí nedefinujeme) Definice limity a spojitosti, základní vlastnosti Definice 4.4:(Limita funkce) Buďte a,l R.Řekneme,žefunkce fmávbodě alimitu L (značíme lim f(x)=l),jestliže ǫ >0, δ >0, x P(a,δ):f(x) U(L,ǫ). Má-lifunkce f vbodě alimitu,pakexistujekladné δtak,žedefiničníobor D f funkce fobsahuje P(a,δ). 1

2 2 Definice 4.5:(Spojitost funkce v bodě) Buď a R.Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a, jestliže existuje limita lim f(x)=f(a). Definice 4.6:(Jednostranné limity) Buď a R. Řekneme,že fmávbodě alimituzprava(zleva)rovnou L,jestliže platí ǫ >0 δ >0 x P + (a,δ):f(x) U(L,ǫ), ( ǫ >0 δ >0 x P (a,δ):f(x) U(L,ǫ)). Značímelim + = L(lim + = L). Věta 4.1:(L)(Jednoznačnost limity) Jestliže lim f(x)=lasoučasnělim f(x)=k,pak L=K. Věta 4.2:(L)(Existence vlastní limity a omezenost funkce) Je-li L Ralim f(x)=l,pakexistuje δ >0tak,že fjeomezenána P(a,δ). Věta 4.3:(T)(Heine) Buďte a,l R.Předpokládejme,že P(a,δ) D f.pakjsouekvivalentnítvrzení (*),(**),kde (*)lim f(x)=l (**)prokaždouposloupnost(x n ) P(a,δ),prokterou x n a,platí f(x n ) L. Věta 4.4:(T)(Aritmetika limit) Jestliže lim f(x)=l,lim g(x)=k,pakplatí (i) lim(f(x)+g(x))=l+k,je-lisoučet L+Kdefinován; (ii) lim(f(x).g(x))=l.k,je-lisoučin L.Kdefinován; f(x) (iii) lim g(x) = L K,je-lipodíl L K definován. Poznámky 1. Připomeňme,ženenídefinovánsoučettypu,součintypu0. apodíl typu L 0 nebo. 2.Větu 4.4 je možné v několika směrech zobecnit. Často budeme používat tato tvrzení: 1.Je-li fomezenázdolana P(a,δ),lim g(x)=,paklim f(x)+g(x)=. 2.Je-li fomezenána P(a,δ),lim g(x)=0,paklim f(x).g(x)=0. 3. Je-li f omezenázdolana P(a,δ)kladnoukonstantou K, lim g(x)=,pak lim f(x).g(x)=. 1 4.Je-li fkladnána P(a,δ),lim f(x)=0,paklim f(x) =. Důsledek:(Aritmetika spojitých funkcí) Jsou-lifunkce fa gspojitévbodě a,pakjsouif+ g,f.gspojitévbodě a. Je-li navíc g(a) 0,jeifunkce f g spojitávbodě a. Věta 4.5:(L)(Limita a nerovnosti) Nechť K,L R,lim f(x)=l,lim g(x)=k.pakplatí 1.Jestliže δ >0 x P(a,δ):f(x) g(x),pak L K. 2.Jestliže L < K,pak δ >0 x P(a,δ):f(x) < g(x).

3 Věta 4.6:(L)(Věta o dvou policajtech) Nechť δ >0 x P(a,δ): f(x) h(x) g(x)asoučasně lim f(x)=l,lim g(x)=l. Pak existuje lim h(x)=l. Je-li Lnevlastní,platíobdobněvětao jednom policajtovi: Nechť δ >0 x P(a,δ): f(x) h(x)asoučasnělim f(x)=.pakexistujelim h(x)=. Věta 4.7:(T)(Limita složené funkce) Nechť lim f(x)=l,lim g(y)=k.je-linavícsplněnjedenzpředpokladů y L (P1)existuje δ >0tak,že x P(a,δ):f(x) L, (P2) gjespojitávbodě L, pak existuje lim g(f(x))=k. Důsledek: Je-li fspojitávbodě aagspojitávbodě L,jesloženáfunkce g fspojitávbodě a. Věta 4.8:(BD)(Limita monotonní funkce) Buď fmonotonnínaintervalu(a,b).pakexistují lim f(x)a lim f(x). + x b 4.3 Elementární funkce Věta 4.9:(BD)(Zavedení exponenciální funkce) Existuje jediná funkce φ splňující požadavky (i) φjerostoucína R, (ii) x,y R:φ(x+y)=φ(x).φ(y), (iii) φ(0)=1, φ(x) 1 (iv)lim x 0 x =1. Tuto funkci nazveme exponenciální funkce(se základem e) a budeme značit φ(x) = e x resp. φ(x)=exp(x). Věta 4.10:(BD)(Zavedení logaritmu) Existuje jediná funkce ψ splňující požadavky (i) ψjedefinovánaarostoucína(0, ), (ii) x,y R:ψ(x.y)=ψ(x)+ψ(y), (iii) ψ(1)=0, ψ(x) (iv)lim x 1 x 1 =1. Tutofunkcinazvemelogaritmus(sezákladem e)abudemeznačit ψ(x)=lnxresp. ψ(x)=log x. Definice 4.7:(Definice obecné mocniny) Buď a (0, ),b R.Pakdefinujememocninu a b = e bln a. Věta 4.11:(Zavedení sinu a kosinu) Existují jednoznačně určené funkce sinus a kosinus(budeme je značit sin, cos) definovanéna Račíslo πin(0, ),kterésplňujípožadavky (i)sinjerostoucína[0, π 2 ], (ii)provšechna x,y Rplatí sin(x+y)=sin xcos y+cos xsiny,cos(x+y)=cos xcos y sinxsin y 3

4 4 (iii)sin0=0,cos0=1, (iv)lim x 0 sin(x) x =1. Důsledek Funkcesinusjelichá,rostoucína[ π 2, π 2 ],2π-periodická,sin π 2 =1,sin(x+π)= sin x,cos x=sin( π 2 x). Definice 4.8:(Definice dalších goniometrických a cyklometrických funkcí) Funkcetangens: x R,x (2k+1) π sin x 2,k Z:tgx= cos x, funkcekotangens: x R,x kπ,k Z:cotgx= cos x sin x, funkcearkussinus(značímearcsin)jeinverznífunkcíkfunkcisinus,kdesin x= sin x,x [ π 2, π 2 ], funkce arkuskosinus (značíme arccos) je inverzní funkcí k funkci kosinus, kde cos x=cos x,x [0,π], funkcearkustangens(značímearctg)jeinverznífunkcíkfunkcitangens,kdetg x= tg x,x ( π 2, π 2 ), funkcearkuskotangens(značímearccotg)jeinverznífunkcíkfunkcikotangens, kdecotg x=cotg x,x [0,π]. Věta 4.12:(BD)(Spojitost elementárních funkcí) Exponenciální funkce, logaritmus, sinus, kosinus, tangens, kotangens, arkussinus, arkuskosinus, arkustangens a arkuskotangens jsou spojité na definičních oborech. 4.4 Vlastnosti spojitých funkcí na intervalu Definice 4.9:(Spojitost na intervalu) Řekneme, že f jespojitánaintervalu I, je-lispojitávkaždémvnitřnímbodě intervalu I,spojitázpravavlevémkrajnímbodě aintervalu I(pokud a I)a spojitázlevavpravémkrajnímbodě bintervalu I(pokud b I). Ekvivalentně lze definici spojité funkce na intervalu I vyslovit takto: Funkce f jespojitána I,je-lispojitázpravavkaždémboděintervalu I,kterýneníjeho koncovýmbodemajespojitázlevavkaždémboděintervalu I,kterýneníjeho počátečním bodem. Věta 4.13:(T)(Darbouxova věta) Buď f spojitána[a,b],f(a) < f(b). Pakprokaždé d (f(a),f(b))existuje c (a,b)tak,že f(c)=d. Věta 4.14:(L)(Zobrazení intervalu spojitou funkcí) Buď fspojitánaintervalu I.Pakje f(i)jednobodovámnožinanebointerval. Definice 4.10:(Maximum a minimum funkce na množině) Řekneme,žefunkce fnabývánamnožině Mmaximavbodě a M,jestliže x M: f(x) f(a). Řekneme,žefunkce fnabývánamnožině Mostréhomaximavbodě a M,jestliže x M,x a:f(x) < f(a). Řekneme,žefunkce fnabývánamnožině Mminimavbodě b M,jestliže x M: f(x) f(b).

5 Řekneme,žefunkce fnabývánamnožině Mostréhominimavbodě b M,jestliže x M,x b:f(x) > f(b). Maximaaminimafunkce fnazvemeextrémyfunkce fnamnožině M. Řekneme,žefunkce f nabývánamnožině M lokálníhomaximavbodě a M (ostréholokálníhomaximavbodě a M),jestližeexistujeokolí Ubodu atak,že fnabývámaxima(ostréhomaxima)namnožině M Uvbodě a. Obdobněřekneme,žefunkce f nabývánamnožině M lokálníhominimavbodě b M(ostréholokálníhominimavbodě b M),jestližeexistujeokolí Ubodu b tak,že fnabýváminima(ostréhominima)namnožině M Uvbodě b. Věta 4.15:(T)(Spojitost a nabývání extrémů) Buď f spojitánauzavřenémintervalu I=[a,b]. Pak f nabývána Imaximai minima.pak fjena Iomezená. Věta 4.16:(L)(Spojitost a omezenost funkce) Buď fspojitánauzavřenémintervalu I=[a,b].Pak fjena Iomezená. Lemma 4.3:(BD) Buď fspojitáaprostánaintervalu I.Pakje fna Iryzemonotonní. Věta 4.17:(BD)(Spojitost inverzní funkce) Buď fspojitáaprostánaintervalu I.Pakje f 1 spojitánaintervalu f(i). 5