Zadání zkoušky z konvexní optimalizace dne
|
|
- Aneta Hájková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Zadání zkoušky z konvexní optimalizace dne Termín odevzdání: do 9,00 hodin dne , buď mailem nebomnědorukounakatedřealgebryvsobotumezi8,45-9,00 Celkově je ze zkoušky možné získat 52 bodů. Správné řešení příkladů 1,2,3 a správná formulace příkladu 4 jako úlohy lineárního programování jsou nutné podmínky pro složení zkoušky(nikoliv však postačující). Další nutnou podmínkou je získání aspoň 26 bodů. Všechny uvedené nutné podmínky jsou dohromady také postačující. Dlouhé a složité výpočty nebudu luštit. Pište řešení jasně a přehledně. Zkoušku řešte zcela samostatně, bez vzájemných konzultací. Používat můžete jakoukoliv literaturu. Případné dotazy k formulacím úloh mi pošlete mailem na adresu tumaatkarlin.mff.cuni.cz do 11 hodin dne Odpovím pokud možno obratem. Budete-li odevzdávat řešení mailem, pošlete každý příklad jako samostatný soubor s názvem KO prijmeni cislo, pozor na pořadí stránek! Všechny soubory pošlete zazipované v jednom balíku. Budete-li odevzdávat osobně na katedře algebry, naskenované odpovědi si také uložte do svého počítače. Vřešeníbytakémělybýtvšechnyprogramy,kteréuněkterýchúlohnapíšetea použijete. Budu-lisněkýmzváschtíthovořitvpondělí poobědě,napíšuVámčas mailem nejpozději v neděli večer. 1
2 2 Příklad1.1bod Pro a = (a 1,a 2,...,a k ) R k označíme f(t) = a 1 + a 2 t +...,a k t k 1. Jemnožina {a R k : p(0) = 1, p(t) < 1prokaždé t > 0}konvexní?Odpověď dokažte. Příklad2.1bod Dokažte,žemnožina D R n jekonvexníprávěkdyžplatí αd + βd = (α + β)d prokaždádvěreálnáčísla α,β 0. Příklad 3. 3 body Logaritmická bariéra pro kužel druhého řádu Dokažte,žefunkce f(x,t) = log(t 2 x T x)definovanánamnožinědom f = {(x,t) R n R : t > x 2 },tj.nakuželudruhéhořádu,jekonvexní.můžete toudělatnapříkladtak,žespočítátehessiánfunkce fadokážete,žejevkaždém bodě definičního oboru f pozitivně semidefinitní. Nebo to můžete také udělat pomocí následující posloupnosti jednoduchých kroků. Každý z nich ale musíte pečlivě odůvodnit. (1) Funkce (u T u)/tdefinovanána R n R ++ jekonvexní, (2) funkce t (u T u)/tdefinovanánadom fjekonkávní, (3) funkce log ( t (u T u)/t ) definovanánadom fjekonvexní, (4) funkce f je konvexní. Příklad 4. 6 bodů Optimalizace spotřeby energie Uvažujemelineárnídynamickýsystémsestavovýmivektory x(t) R n avnějšími vstupy u(t) Rpro t = 0,1,...,N.Jehovývojjedanýrekurentníformulí x(t + 1) = Ax(t) + bu(t), t = 0,1,...,N 1, kde A R n n jedanámaticeab Rjedanéreálnéčíslo. Mezivšemimožnýmiposloupnostmivstupů u = (u(0),u(1),...,u(n 1)) T R N najdětetakovou,kteráminimalizujespotřebuenergiedefinovanoujako E = N 1 i=0 f(u(t)) zapodmínek,žepočátečnístav x(0) = 0acílovýstav x(n) = z R n.
3 3 Funkce f : R Rudáváenergetickounáročnostvstupu a Rpředpisem { a je-li a 1, f(a) = 2 a 1 je-li a > 1. Napřed úlohu zformulujte jako úlohu lineárního programování(lp) a potom ji pomocí CVX vyřešte pro konkrétní hodnoty vstupních dat A = 1 0 0, b = 0, z = 2, N = Nakreslete hodnoty vstupů u(t) do grafu, vodorovná osa je t, svislá u(t). Třeba pomocí příkazu plot nebo něčeho podobného. Příklad 5. 7 bodů Volba rychlostí praotce Janečka Pračlověk Janeček potřebuje postupně roznést vzkazy mezi spřátelené tlupy pralidí, se kterými se snaží vytvořit celoevropskou protineandrtálskou unii. Tlupy se nacházejína n + 1různýchmístechoznačených 0,1,2,...,n.Vzdálenostmezitlupami i 1aije d i.potrasedélky d i sejanečekpohybujekonstantnírychlostí v i.vzhledem k různým obtížnostem terénů mezi různými tlupami jsou možné konstantní pro i = 1,2,...,n. Začínáu0-tétlupyvčase t = 0.Ktlupě 1dorazívčase t 1 = d 1 /v 1.Zařvevzkaz abezzastávkypokračujevcestěktlupě 2.Knídorazívčase t 2 = t 1 + d 2 /v 2,atd. Kposlední n-tétlupětakdorazívčase t n = t n 1 +d n /v n.vzhledemktomu,žejde okočovnétlupy,každáznichsenacházínamístě ipouzevčasech t i,kterémusí rychlosti v i omezenénaintervaly v min i býtvintervalech t min i < v i < v max i < t i < t max i,jinaksetlupavydánadalšípochod,anižbyji pan Janeček zastihnul. Během svých přesunů pan Janeček spotřebovává potraviny v závislosti na rychlosti svého pohybu, tato závislost je popsána nějakou rostoucí konvexní funkcí f : R + R ++. Vstupnídataproúlohujsou n,vektorvzdáleností d = (d 1,d 2,...,d n ) T,vektory v min, v max omezujícívektorrychlostí v = (v 1,v 2,...,v n ) T,vektory t min, t max omezujícímožnéčasy t = (t 1,t 2,...,t n ) T,afunkce f.vašímúkolemjenavrhnout panujanečkovirychlosti v i tak,abysepohybovalpovolenýmirychlostmivkaždém úseku,nakaždémístodorazilvčase,kdysenaněmpříslušnátlupavyskytuje,a aby jeho celková spotřeba potravin během cesty byla co nejnižší. (1) Formulujte tuto úlohu jako úlohu konvexní optimalizace. Pokud zavedete nové optimalizované proměnné, vysvětlete jak z nových proměnných dostaneteproměnné v 1,v 2,...,v n.pečlivěodůvodnětekonvexituúčelovéfunkce a všech omezujících podmínek, (2) vyřešte úlohu s konkrétními daty, která najdete v souboru janecek data.txt afunkcí f(v) = v 2 + 6v + 10, (3) uveďte jaká je celková spotřeba potravin pro optimální řešení nalezené v bodu(2), (4) nalezený optimální vektor v znázorněte graficky např. pomocí funkce step z knihovny mathplotlib v Pythonu.
4 4 Příklad6.4body Máme(primární) optimalizační úlohu minimalizujte f 0 (x) kde x R n zapodmínek f i (x) < 0, i = 1,2,...,m l i < x i < u i, i = 1,2,...,n. Označíme µ R n +vektorlagrangeovýchmultiplikátorůpříslušnýchnerovnostem x i < u i a ν R n +vektorlagrangeovýchmultiplikátorůpříslušnýchomezujícím nerovnostem l i < x i.potomlagrangiánúlohyje m L(x,λ,µ,ν) = f 0 (x) + λ i f i (x) + µ T (x u) + ν T (l x), i=1 kde u = (u 1,u 2,...,u n ) T a v = (v 1,v 2,...,v n ) T. (1) Dokažte,žeprokaždé x R n akaždývektor λ = (λ 1,λ 2,...,λ m ) T R m existujívektory µ R n ++ a ν R n ++ takové,že xminimalizujefunkci L(x, λ, µ, ν), a pomocí tohoto tvrzení popište množinu všech přípustných bodů pro duální úlohu(i.e. dual feasible points), (2) sestrojte přípustný bod (λ, µ, ν) pro duální úlohu(i.e. dual feasible point) svyužitímvýsledkuzbodu(1)pomocívolby x = (l +u)/2aλ=0.odtud odvoďtedolnímezprooptimálníhodnotu f primárníúlohy.ukažte,že tuto dolní mez můžete vyjádřit ve tvaru f > f 0 ((l + u)/2) ((u l)/2) T f 0 ((l + u)/2) kde a provektor a = (a 1,a 2,...,a n ) T R n označujevektorabsolutníchhodnot ( a 1, a 2,..., a n ) T.Umělibystetutodolnímeztakédokázat přímo? Příklad7.2body Uvažujeme optimalizační úlohu minimalizujte log detx +trace (SX) kde X S n ++ za podmínky X je tridiagonální sdanoumaticí S S n.matice A = (a ij ) S n jetridiagonální,pokudobsahuje nenulové prvky pouze na hlavní diagonále, těsně nad hlavní diagonálou, a těsně pod hlavnídiagonálou.dokažte,žeoptimálníhodnotamatice X opt splňuje (X 1 opt) ij = S ij,pokud i j < 1. Příklad 8. 8 bodů Po částech lineární regrese Jsou-lidánareálnáčísla a 0 < a 1 < < a K,pakreálnoufunkci f definovanou nauzavřenémintervalu [a 0,a K ]nazývámepočástechlineárnísuzlovýmibody a 0,a 1,...,a K,je-lilineární(nebopřesnějiafinní)nakaždémuzavřenémintervalu [a i,a i+1 ]pro i = 0,1,...,K 1.Nynímámedánadata (x i,y i ) R 2, i = 1,2,...,m, splňující a 0 x i a K prokaždé i.chcemenajítkonvexnípočástechlineárnífunkci
5 5 fsuzlovýmibody a 0,a 1,...,a K,kterátatodataconejlépeaproximujevesmyslu metody nejmenších čtverců, tj. která minimalizuje reziduum m (f(x i ) y i ) 2. i=1 Návod. Je třeba najít vhodné optimalizované proměnné, které parametrizují funkci f, a omezující podmínky, které zajistí její konvexitu. Úlohu pak vyřešte pro data uložená v souboru PL data fitting.txt. Všechna čísla x i jsouzuzavřenéhointervalu [0,1].Úlohuvyřeštepostupněpro K = 1,2,3,4 spravidelněrozmístěnýmiuzlovýmibodyvintervalu [u 0 = 0,u K = 1].Například pro K = 4jsouuzlovébody u 0 = 0,u 1 = 0.25,u 2 = 0.5,u 3 = 0.75au 4 = 1. Uveďte vždy hodnotu rezidua nejlepší aproximace a nakreslete data v rovině spolu s optimální po částech lineární funkcí f, kterou jste našli. Příklad 9. 6 bodů Nejširší pás oddělující dvě množiny JsoudánydvěpodmnožinyvR n :polyedr C = {x R n : Ax b}, kdematice A R m n avektor b R m,adáleelipsoid D = {P u + q : u 1} definovanýmaticí P R n n avektorem q R n.předpokládáme,žemnožiny C,D jsou neprázdné a disjunktní. Zajímá nás optimalizační problém maximalizujte inf{a T x : x C} sup{a T x : x D} zapodmínky a 2 = 1, vzhledemkproměnné a R n. Vysvětlete, např. obrázkem, geometrickou interpretaci této úlohy. Zformulujte tento problém jako nějaký standardní optimalizační problém, např. LP(lineární programování), QP(kvadratické programování), SOCP(second-order cone programming), SDP(semidefinitní programování)... Příklad bodů Efektivní numerická metoda pro regularizované nejmenší čtverce Řešíme úlohu na regularizované nejmenší čtverce s vyhlazováním(smoothing) k minimalizujte i=1 (at i x b i) 2 + δ n 1 i=1 (x i x i+1 ) 2 + η n i=1 x2 i, kde x R n jeoptimalizovanáproměnná, a i R n jsoudanévektory,aδ,η > 0jsou regularizační parametry. (1) Vyjádřete podmínku optimality pro tuto úlohu ve tvaru soustavy lineárních rovnic v proměnné x(říká se jí také soustava normálních rovnic).
6 6 (2) Nyní budeme předpokládat, že k n. Navrhněte efektivní metodu jak vyřešit soustavu normálních rovnic pro tuto úlohu, spočítejte přibližný odhad počtu aritmetických operací(flops) pro vaši metodu a porovnejte jej s odhadem počtu aritmetických operací v případě, že matice soustavy normálních rovnic je obecná regulární matice. (3) Dobrovolné. Budete-li mít čas a chuť, vygenerujte si náhodně instanci tétoúlohysparametry k = 100, n = 4000, δ = η = 1.Vyřeštesoustavu normálních rovnic pro vygenerovanou instanci problému pomocí vámi navrženého efektivního algoritmu a porovnejte časovou náročnost s řešením téže soustavy pomocí standardního algoritmu fungujícího pro jakoukoliv regulární matici řádu n(např. Gaussovo eliminací). Příklad bodů Steganografická síť Náš nepřítel si vytvořil steganografickou síť sestávající z n uzlů(vrcholů) a m steganografických kanálů(hran), každý spojuje vždy dva různé uzly(vrcholy). Celou nepřítelovu síť tedy lze popsat jako orientovaný graf bez smyček s n vrcholy a mhranami.pomocítétosítěchcepředatzprávuzezdrojovéhouzlu 1docílovéhouzlu n.prokaždýkanál(hranu) jznápravděpodobnost p j,žezprávanebude při přenosu kanálem j odhalena. Odhalení zpráv v různých kanálech jsou nezávislé události, takže pravděpodobnost, že nepřítel nebude odhalen při přenášení zprávy zpočátečníhouzlu 1docílovéhouzlu n,serovná j P p j,kde Pjemnožinapoužitýchkanálůnacestěod 1do n.nazákladěznámýchpravděpodobností p j sitak můžespočítatmaximálníhodnotupravděpodobnostineodhalenízprávy F max přes všechny možné cesty z 1 do n v jeho steganografické síti. Pravděpodobnost neodhalení zprávy při přenosu kanálem j závisí na tom, kolik investujeme do stegoanalýzy tohoto kanálu. Použijeme jednoduchý model, kde investice x j R + dostegoanalýzykanálu jznamenápravděpodobnost p j = e ajxj, žezprávuprocházejícíkanálem jneodhalíme,přičemž a j R ++ pro j = 1,2,...,m do stegoanalýzykanálu jacelkovýrozpočet B,dokteréhosemusímevejít,tj.pronaše investicedostegoanalýzykanálůvsítimusíplatit m j=1 x j B. (1) Vysvětlete, jak vyřešit problém volby investic x do stegoanalýzy kanálů v sítitak,abypravděpodobnost F max,žezprávuneodhalíme,bylaconejmenší. Oceníme, když použijete nějaký postup, který bude založený na vyčíslenívšechmožnýchcestz1do nvgrafusítě.můžetetonapříkladzkusit tak,ženajdetemaximálníhodnoty F i součinů j P i p j,přesmnožinu P i všechmožnýchcestzezdrojovéhouzlu 1douzlu i.tj. F max = F n. (2) Cesty v orientovaném grafu bez smyček lze dobře popsat pomocí matice C = (c ij ),kde jsoudanáčísla.dálemámeomezenínamaximálnímožnouinvestici x max j 1 pokud i je počáteční vrchol hrany j c ij = +1 pokud i je koncový vrchol hrany j 0 v ostatních případech Vkaždémsloupcimatice Cjetedyprávějedenprvek 1,právějeden 1a ostatníprvkyjsou 0.Čemuserovná j-tásložkasoučinu C T zprovektor z R m?
7 (3) Použijtesvojimetoduknalezenívektoru x R m,kterýminimalizujehodnotu F max vpřípaděkonkrétnísítěsn=10uzly(vrcholy) 1,2,...,10 a m = 20hranami (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(2,6),(3,5),(3,6),(4,6), (4,7),(5,7),(5,8),(6,7),(6,8),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10).Hodnotuvektoru a R m ++sizvoltenáhodnětak,abyjehojednotlivésložkybyly vybrány uniformně z otevřeného intervalu (0, 1). Podobně vygenerujte vektor x max R n ++vetvaru x max = 1 + b R n ++,kde 1 R m jevektor, který má všechny složky rovné 1 a b je opět náhodný vektor, jehož jednotlivé složky jsou vybrány uniformně z otevřeného intervalu (0, 1). Nakonec položte B = m/2.porovnejteoptimálníhodnotu F max shodnotou F max v případě, kdy zvolíme vektor x = (B/m)1, tj. když do stegoanalýzy každého kanálu investujeme stejnou částku. 7
Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
Vícee-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Více13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceFIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
VíceLineární programování(optimalizace) a soustavy lineárních nerovností
Lineární programování(optimalizace) a soustavy lineárních nerovností 2017 tuma@karlin.mff.cuni.cz 0-1 Příklad úlohy lineárního programování najdětemaximálníhodnotufunkce x 1 +x 2 přesvšechnyvektoryx =
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceNelineární optimalizace a numerické metody (MI NON)
Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON) Magisterský program: Informatika Obor: Teoretická informatika Katedra: 18101 Katedra teoretické informatiky Jaroslav Kruis Evropský sociální fond Praha
VíceDnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceNALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceNumerické metody optimalizace - úvod
Numerické metody optimalizace - úvod Petr Tichý 16. února 2015 1 Organizace přednášek a cvičení 13 přednášek a cvičení. Zápočet: úloha programování a testování úloh v Matlabu. Další informace na blogu
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceLinearní algebra příklady
Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VícePozn. 1. Při návrhu aproximace bychom měli aproximační funkci vybírat tak, aby vektory ϕ (i) byly lineárně
9. Řešení typických úloh diskrétní metodou nejmenších čtverců. DISKRÉTNÍ METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ použití: v případech, kdy je nevhodná interpolace využití: prokládání dat křivkami, řešení přeurčených
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceMetody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1 OÚLP = obecná úloha lineárního
VíceNumerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
VícePřijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
VíceMatematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
Více3. ledna list a odevzdejte tento zvláštní list (listy) i všechny ostatní listy, které jste při řešení
Jméno a příjmení: Písemná část zkoušky z předmětu AN1E 3. ledna 2019 Skutečná písemná práce bude obsahovat 5 příkladů. Zvolte si pořadí, v jakém budete příklady řešit. Vaše řešení nemusí být kulturně zapsané,
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceBudeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1
ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu
Více4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
Více2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám
MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu
VíceFunkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,
Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (
VíceMatematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
Vícestránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceRegresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel
Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23
VíceK oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory
ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceDMA Přednáška Rekurentní rovnice. takovou, že po dosazení odpovídajících členů do dané rovnice dostáváme pro všechna n n 0 + m pravdivý výrok.
DMA Přednáška Rekurentní rovnice Rekurentní rovnice či rekurzivní rovnice pro posloupnost {a n } je vztah a n+1 = G(a n, a n 1,..., a n m ), n n 0 + m, kde G je nějaká funkce m + 1 proměnných. Jejím řešením
VíceKapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Základní pojmy Definice: Rovnice tvaru = f(t, x, y) = g(t, x, y), t I nazýváme soustavou dvou diferenciálních rovnic 1. řádu. Řešením soustavy rozumíme
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
VíceLineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.
Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceSemestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň
Více0 0 a 2,n. JACOBIOVA ITERAČNÍ METODA. Ax = b (D + L + U)x = b Dx = (L + U)x + b x = D 1 (L + U)x + D 1 b. (i) + T J
6 Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda pro řešení systémů lin rovnic Kateřina Konečná/ ITERAČNÍ METODY PRO ŘEŠENÍ SYSTÉMŮ LINEÁRNÍCH ROVNIC Budeme se zabývat řešením soustavy lineárních rovnic
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceObecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
VícePříklady pro cvičení 22. dubna 2015
Úvod Předběžná verze (015) 1 1 Normy vektorů a matic, vlastnosti matic Příklad 1.1 Pro dané vektory x = ( 1; ; 1) T, y = (; 3; 1) T určete x =? x =? x 1 =? y =? y =? y 1 =? Příklad 1. Je dán vektor x =
Více13. cvičení z PSI ledna 2017
cvičení z PSI - 7 ledna 07 Asymptotické pravděpodobnosti stavů Najděte asymptotické pravděpodobnosti stavů Markovova řetězce s maticí přechodu / / / 0 P / / 0 / 0 0 0 0 0 0 jestliže počáteční stav je Řešení:
VíceFunkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf
VíceAPLIKACE. Poznámky Otázky
APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy
Více4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceNumerická stabilita algoritmů
Numerická stabilita algoritmů Petr Tichý 9. října 2013 1 Numerická stabilita algoritmů Pravidla v konečné aritmetice Pro počítání v konečné aritmetice počítače platí určitá pravidla, která jsou důležitá
Víceem do konce semestru. Obsah Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda
Zápočtové problémy Na následujících stránkách naleznete druhou sérii zápočtových problémů věnovanou nosníkům. Ti, co ještě nemají žádný problém přidělený, si mohou vybrat libovolný z nich. Řešení můžete
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceNumerické metody a programování. Lekce 8
Numerické metody a programování Lekce 8 Optimalizace hledáme bod x, ve kterém funkce jedné nebo více proměnných f x má minimum (maximum) maximalizace f x je totéž jako minimalizace f x Minimum funkce lokální:
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
VíceMatematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceAplikovaná matematika I
Metoda nejmenších čtverců Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 1 / 8 Obsah 1 Formulace problému 2 Princip metody nejmenších čtverců 3
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
Více6 Simplexová metoda: Principy
6 Simplexová metoda: Principy V této přednášce si osvětlíme základy tzv. simplexové metody pro řešení úloh lineární optimalizace. Tyto základy zahrnují přípravu kanonického tvaru úlohy, definici a vysvětlení
VíceU Úvod do modelování a simulace systémů
U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení
VícePříklad 1/23. Pro rostoucí spojité fukce f(x), g(x) platí f(x) Ω(g(x)). Z toho plyne, že: a) f(x) Ο(g(x)) b) f(x) Θ(g(x)) d) g(x) Ω(f(x))
Příklad 1/23 Pro rostoucí spojité fukce f(x), g(x) platí f(x) Ω(g(x)). Z toho plyne, že: a) f(x) Ο(g(x)) b) f(x) Θ(g(x)) c) g(x) Θ(f(x)) d) g(x) Ω(f(x)) e) g(x) Ο(f(x)) 1 Příklad 2/23 Pro rostoucí spojité
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceNumerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským
VíceFP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
VíceSlajdy k přednášce Lineární algebra I
Slajdy k přednášce Lineární algebra I Milan Hladík Katedra Aplikované Matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze, http://kammffcunicz/~hladik 22 října 203 Intro Nejstarší zaznamenaná
Více11MAMY LS 2017/2018. Úvod do Matlabu. 21. února Skupina 01. reseni2.m a tak dále + M souborem zadané funkce z příkladu 3 + souborem skupina.
11MAMY LS 2017/2018 Cvičení č. 2: 21. 2. 2018 Úvod do Matlabu. Jan Přikryl 21. února 2018 Po skupinách, na které jste se doufám rozdělili samostatně včera, vyřešte tak, jak nejlépe svedete, níže uvedená
Více