MASARYKOVA UNIVERZITA

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Porovnání specifikací a variant průběhu důchodových trajektorií u Samuelson-Hicksova a Phillipsova modelu akcelerátoru-multiplikátoru bakalářská práce Brno, 1. května 2006 Zdeněk Rosenberg

2 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracoval samostatně pod vedením RNDr. Dalibora Moravanskeho a uvedl v seznamu literatury všechny použité zdroje. 2

3 Děkuji RNDr. Daliboru Moravanskemu za jeho cenné rady a trpělivost při korektuře. Dále děkuji Prof. Janu Saxlovi za zájem a povzbuzení. Za psychickou podporu a účast děkuji své rodině a přátelům. 3

4 Obsah 1 Úvod 6 2 Dynamické modely Diskrétní případ a časové zpoždění Spojitý případ a časové zpoždění 9 3 Základy makroekonomických modelů Statický multiplikátor Dynamický multiplikátor Rozšíření dynamického multiplikátoru 15 4 Akcelerace Autonomní a vyvolané investice Zavedení akcelerátoru Spojitý případ akcelerátoru Nespojitý případ akcelerátoru 17 5 Phillipsovy modely Phillipsuv model multiplikátoru Phillipsuv model akcelerátoru-multiplikátoru Analýza Phillipsových výsledků 21 6 Samuelsonův-Hicksův model akcelerátoru-multiplikátoru Speciální případ s geometricky rozloženým zpožděním Interpretace Samuelson-Hicksova modelu 26 7 Závěr 29 4

5 Anotace Práce začíná uvedením různých druhů zpoždění, představením základů makroekonomických modelů a sestrojením multiplikátoru a akcelerátoru. Tyto jsou následně využity při formování modelů akceleratoru-multiplikatoru, které jsou důkladně popsány a jejich možné výstupy analyzovány. Klíčová slova: zpoždění, akcelerátor, multiplikátor, model, cyklický vývoj, důchodová trajektorie Abstract The work begins with introduction of various types of time-delay and basics of macroeconomical models. Then multiplicator and accelerator are constructed. These are used for formalization of accelerator-multiplicator models, which are thoroughly described and their possible outcomes analysed. Key words: time-delay, accelerator, multiplicator, model, cyclical development, income trajectory 5

6 Kapitola 1 Úvod Samuelsonův-Hicksův (1939) a Phillipsův (1954) model akcelerátoru-multiplikátoru jsou dynamické důchodové modely pocházející z keynesianskeho prostředí sloužící k určení trajektorie důchodu v závislosti na počátečních podmínkách a strukturálních konstantách dané ekonomiky. 1 Cílem bakalářské práce je podat systematický, ucelený a srozumitelný rozbor složitější problematiky aplikující diferenciální a diferenční rovnice v makroekonomické teorii. Práce spočívá v zavedení všech v modelch využívaných postupů, jejich syntéze do modelů a následné analýze výsledků důchodových trajektorií, což sebou přináší několik obtíží. První obtíží je výběr podstatných prvků modelů a jejich vysvětlení, k tomu jsou využity převážně potřebám přizpůsobené části učebnice R.G.D Allena Matematická ekonomie. Nejdříve se jedná o základní typy zpoždění a geometricky rozložené zpoždění ve spojitém i nespojitém případě. Navazuje multiplikátor zpracovávající vztah důchodu a autonomních investic a akcelerátor zabývající se vztahem důchodu a vyvolaných investic v prostředí makroekonomických agregátů pro oba přístupy (tedy spojitý i diskrétní). Posléze se s využitím předchozích poznatků sestrojí spojitý Phillipsův model akcelerátoru-multiplikátoru a Samuelsonův-Hicksův nespojitý model, řešící poněkud odlišně stejný problém. Druhá obtíž se objevila při analýze důchodových trajektorií, zde bylo třeba odůvodnit oprávněnost některých tvrzení a podrobněji vysvětlit náročnější kroky. Vzhledem ke stáří dané tematiky, jež se stala keynesiánskou klasikou, byl omezen ekonomický výklad matematického postupu na pro porozumění nutné minimum. těmito konstantami jsou například mezní sklon k úsporám s či investiční koeficient v. 6

7 Kapitola 2 Dynamické modely V dynamických modelech hraje zpoždění, čili způsob jakým jsou hodnoty současných veličin ovlivňovány jejich minulými hodnotami, klíčovou roli. Tato zpoždění mohou být různých typů a forem v závislosti na použitém modelu a samotném typu zpoždění. 2.1 Diskrétní případ a časové zpoždění Pro jednoduchost budeme brát takové období, které je základem analýzy, pak můžeme sledované proměnné přiřadit k času indexy t (t =0, 1, 2,...). Nechť proměnná Y závisí na X lineárně, potom v případě, že neexistuje zpoždění, platí Y t = a + ax t (2.1) Zpoždění je odklad o pevnou dobu T, dobu T nazýváme časová konstanta zpožděni a je to dané celé číslo, když platí vztah Y t = a + ax t _ T (2.2) udávající hodnotu proměnné Y závisející na hodnotě X o T období dříve. Tak pro T = 1 se jedná o posun o jedno období, tedy Y t = a + ax t -\. Realitě bližší je obecnější případ rozloženého zpoždění, které je vyjádřeno vztahem Y t = a + aix t _i + a 2 X r _2 + a 3 X t (2.3) přičemž platí a = a\ + a 2 + a 3 + Koeficienty a^, a 2, a 3,... představují časový tvar zpoždění, lze je také nazvat váhovými koeficienty Může jich být konečný či nekonečný počet, což znamená, že afc a následující prvky posloupnosti jsou od jisté hodnoty k nulové, nebo se jedná o konvergující nekonečnou řadu. Velmi důležitým případem pak je geometricky rozložené zpoždění Y t = a + a(í- r)(x r _! + rx ( _ 2 + r 2 X r _ ) (2.4) 7

8 kde váhové koeficienty jsou prvky geometrické poslouonosti klesající s kvocientem r (0 < r < 1). Počáteční koeficient klademe roven a(l-r), aby byla splněna podmínka o součtu geometrické posloupnosti a(l -r)(l +r+ r ) = a(l -r); 1 r Vysoce užitečné je zavedení pomocné proměnné Z t Zt = a -\- axt Proměnná Z t značí potenciální hodnotu závisle proměnné, která by se realizovala nebýt zpoždění. Skutečná odnota Y t pak vzniká z hodnot proměnné X zpožděním, je to tedy Z t za níž se Y t opožďuje. Substitucí získáváme v případě pevného časového odkladu Y t = Z t _ T při rozloženém zpoždění kde platí Yt = \\Z t -\ + \2Zt-2 + A3X r _ Ai + A 2 + A = 1 a při geometricky rozloženém zpoždění Y t = (1 - r){z t -x + rzt-2 + r 2 Z t ) Zavedením první diference AY t = Yt+i Yt dostaneme AY ^ = (Z t +rz t - 1 +r 2 Z t -2+r 3 Z t -3+ )-(Zt-i + rzt-2+r 2 Z t -3+ ) = í r Zt-(l- r)(z t _! + rzt-2 + r 2 Z t -z +...) = Z t -Y t Zavedeme novou proměnnou rychlost reakce označenou A = 1 r (tudíž vzhledem k r platí 0 < A < 1), potom AY t = -X(Y t - Z t ) Budeme-li s A zacházet jako s operátorem, lze geometrické rozložení Y t psát jako (A + X)Y t = XZt tedy Y t = -^-^Z t (2.5) Výše uvedené platí pro pevnou délku období, kterou jsme hned na začátku položili jako časovou jednotku. Aby bylo možné připustit, že se délka období mění, je třeba za ni vzít At. Potom platí AY ± = -\(Y t -Z t ), kde Zt = a + ax t (2.6) což je geometricky rozložené zpožděni s délkou ohdohi At a přírůstkem AY t = Yt +Í -Yt. 8

9 Takto definovanované zpoždění vystihuje situaci, kdy váhové koeficienty klesají podle geometrické posloupnosti s kvocientem r. AY t /At vyjadřuje průměrné tempo růstu za období At. Y t se snaží dohnat svoji nezpožděnou hodnotu Z t úměrně zbývajícímu rozdílu. Koeficient úměrnosti A = 1 r vyjadřuje rychlost reakce. 2.2 Spojitý případ a časové zpoždění Ve spojitém případě jsou proměnné Xít) 1 a Y(t) funkcemi času. Jejich vztah bez zpoždění je tvaru Y(t) = a + ax(t) (2.7) Pokud existuje zpoždění, zavedeme opět pomocnou proměnnou, s tomto případě pak Z(t) = a + ax(t), která vyjadřuje potenciální hodnotu, za kterou se Y opožďuje. V nejjednoduším případě odkladu o pevnou dobu (tentokrát ale pevná doba znamená libovolnou kladnou dobu) je Y určeno následovně Y(t) = Z(t-T) = a + ax(t-t) (2.8) Spojitá obdoba geometricky rozloženeného zpoždění nespojitého postupu je exponenciálně rozložené zpožděni. Nekonečná posloupnost koeficientů se zde nahradí klesající exponenciální funkcí /(T), jejíž argument se mění spojitě. /(T) = Ae~ T, kde A je kladná konstanta Je snadné ověřit, že podmínka jednotkového součtu je zachována. Součet geometrické řady z nespojitého přístupu zde nahradíme integrálem o />oo f(r)dt = / Xe- XT dr = [-e- AT ]g = -(0-1) = 1 Jo Nyní přejdeme k proměnné Z a zavedeme substituci x = t T. Tyto kroky spolu s následným derivováním nám umožní získat diferenciální rovnici tohoto druhu zpoždění. Zapíšeme ve tvaru />oo Y(t) = A / e- XT Z(t - r)dr = A / e- x( - t '- x) Z(x)dx JO J-oo Dále derivujeme podle t pt e XT Y(t) = X í e Xx Z(x)dx (2.9) J oo XY{t)e xt + 7p = A^- ( / e Xx Z(x)dx J = Xe xt Z(t) 1 Ve spojitém případě se proměnná X(t) bude někdy značit pouze X, v nespojitém případě je užíváno indexového značení Xt- 9

10 tedy ^ =-\(Y(t) - Z(t)) (2.10) Což je diíerenciální rovnice exponenciálně rozloženého zpožděni, kterou s využitím oprátoru D a přihlédnutím k tomu, že Z(t) = a + ax(t), můžeme též vyjádřit (D + X)Y(t) = XZ(t) tedy Y{t) = ^ ) Z{t) (2.11) V rovnici (2.10) je zřejmá obdoba s rovnicí (2.5) a (2.6) u nespojitého případu. Vskutku, tento vztah se také dal odvodit zavedením limity At > 0 v rovnici (2.6). Rovnice (2.10) se dá interpretovat zcela stejně jako její nespojitá varianta v rovnici (2.6), rychlost růstu Y je zde opět úměrná výrazu (Y Z), koeficient této úměrnosti A, byl už dříve označen jako rychlost reakce. Místo A můžeme také použít T, což je jeho převrácená hodnota (T = l/a). T je časová konstanta zpoždění, což souhlasí s tím, že T jsme označili pevnou dobu odkladu (samotnou délku zpoždění) v obou předchozích případech. Zde je vhodné si povšimnout extrémních případů, je-li T = 0 (tedy A > oo), pak platí Y = Z a neexistuje zpoždění, kdežto pro T > oo je změna Y za časvou jednotku nulová a reakce neproběhne, Y zůstává konstantní. 10

11 Kapitola 3 Základy makroekonomických modelů Tyto modely pracují s makroekonomickými agregáty z nichž nejužívanější jsou důchod a produkce 1 Y, spotřeba C\ úspory S a investice I. V tomto textu se vždy jedná o reálné veličiny takže od peněžní stránky ekonomiky se abstrahuje (počítá se s inflací 0% a také z reality známé změny směnných relací pramenící z nerovnoměrného růstu inflace v jednotlivých odvětvích se zanedbávají), třebaže například inflaci jako přiblížení realitě lze do modelů samozřejmě zahrnout. Určující podmínky ex post 2 jsou Y = C + S a Y = C + I (3.1) Z definice ex post je tedy vidět, že co se nespotřebuje, to se uspoří (tato podmínka je integrující i pro další modely a bývá označována jako podmínka rovnováhy) a dále vyplývá, že S = I, tedy co se uspoří, se použije na investice. Z pohledu ex ante 3 je situace složitější. Není důvod, proč by se úspory a investice měly vyrovnat. Ukážeme základní funkce vystihující povahu spotřeby a úspor. Jedná se o spotřební a úsporovou funkci. C = C (Y) =~f + cy S = Y -Y (C) = (l-c)y-7 Konstantou 7 zde rozumíme tu část spotřeby, která nezávisí na velikosti produktu. Bývá označována jako autonomní spotřeba. Předchozí vztahy jsou ex ante a udávají tedy plánovanou spotřebu a úspory. Nyní se dopustíme velkého zjednodušení a budeme předpokládat, že investice jsou konstantní a dané 4, jinými slovy budeme předpokládat, že výše investic s Vzhledem k povaze modelů lze k těmto hodnotám přiřadit stjnou hodnotu. Považujeme je za identické již z definice. 2 Zde ex post označuje pohled na již uskutečněné transakce. 3 Třansakce ex ante jsou teprve plánovány či zamýšleny. 4 Toto zjednodušení překonáme později zavedením "akcelerátoru". 11

12 výší důchodu nijak nesouvisí a ani se s časem nemění. Takové investice nazýváme autonómni investice a značíme A. Tedy ex ante platí 5 I = A (autonomní investice) K doplnění této základní formulace modelu budeme předpokládat, že se uskuteční plánovaná spotřeba i investice, tedy co platí ex ante, bude platit i ex post. Toto ovšem nevztáhneme k úsporám, ty se v modelu objeví jako ex post zůstatek rovný investicím (ty jsou ex ante i ex post totožné). Úspory ex post však nejsou v žádném vztahu k úsporám ex ante, mohou tedy vzniknout neplánované úspory. 3.1 Statický multiplikátor Z výše stanovených podmínek statický multiplikátor, vyjadřující závislost změny důchodu na změně autonomních výdajů, jak označujeme součet autonomních investic A a autonomní spotřeby 7, přímo vyplývá. Vyjdeme-li z podmínky rovnováhy Y = C + I, dostáváme Y - C (Y) = A (A je dáno) (3.2) Vyjdeme z této rovnice vyjadřující důchod pomocí autonomních investic, jejichž změnu v dalším kroku připustíme, a pokusíme se najít rovnovážnou hodnotu. Rovnici (3.2) budeme derivovat podle A a získáme vyjádření multiplikátoru v lineárním případě tedy dy dcdy ČL4 ~ď ČL4 ~ dy da ' ' (3.3) s c = c(y) = ^Y je mezní sklon ke spotřebě a s = s(y) = ^p je mezní sklon k úsporám. Platí vztah c + s = 1, nadále budeme také předpokládat, že jsou to kladná čísla. Nahrazením diferenciálů z rovnice (3.3) konečnými malými přírůstky dostaneme, že přibližně platí AY = AA = -AA (3.4) 1 c s Což je vyjádřením obecného multiplikátoru. Nyní lze tedy říci, že při změně investic o určitou malou částku AA se změní rovnovážný důchod o součin této změny a čísla vyššího než 1. 5 Zde / (přesněji I(t)) představuje veškeré investice a my je pokládáme rovny konstantě pro všechny í. V par. (4.1) vysvětlíme, že investice se ve skutečnosti dělí na investice autonomní, které jsou na důchodu nezávislé (zde konstantní 4), a 11a investice vyvolané. 12

13 Budeme-li navíc předpokládat, že c a s jsou konstanty (čili sklon ke spotřebě se s rostoucím důchodem nemění 6 ), pak se celá situace zjednodušší a platí C = ~f + cy a S = Y-Y{C) = (í-c)y-j Zde je vhodné upozornit, že při nízkém důchodu způsobí 7, že úspory budou záporné. Podmínka rovnováhy (3.1) je tedy nyní tvaru tedy Y - (7 + cy) = A y = = (3.5) 1 c s Toto je multiplikátor v lieárním případě, který se od obecného odlišuje tím, že vyjadřuje vztah důchodu a autonomních veličin (investic i spotřeby), nikoli vztah změn důchodu a změn v investicích. V následujícím textu považujeme za vhodné autonomní veličiny sečíst a A tak značit celkové autonomní výdaje. Toto pojetí vytvoří nový tvar podmínky rovnováhy Y=C+I+A Tedy C = cy a I jsou čistě neautonomní výdaje. Pokud 1 = 0, pak získáme nový tvar lineárního multiplikátoru tedy Y = cy + A Y= A=- (3.6) 1 c s Z tohoto tvaru je zřejmá podstatná skutečnost, že výše rovnovážného důchodu je součinem autonomních výdajů a čísla většího než jedna (čísla 1/(1 c), kde OO). 3.2 Dynamický multiplikátor Nyní zavedeme do modelu zpoždění, čímž se statický chrakter změní na dynamický. Použijeme východiska spojená s makroekonomickými modely z úvodu této kapitoly. Zde ukázaný model vychází z předpokladu, že spotřebitelé očakávají neměnný důchod. Takže v období t je očekávaný důchod roven Yí-i V období t spotřebitelé plánují ex ante C t = C(Yt_i); ex ante S t = Yt-i C(^t-i) (3-7) Dalšímy předpoklady jsou uskutečnění plánované spotřeby a konstantní autonomní investice. ex post C t = C(Y t _i) a I t = A 6 Ve skutečnosti se s rostoucím důchodem tyto konstanty mění, zvyšuje se sklon k vytváření úspor. Proto, jak poukázal už Samuelson, je toto vyjádření jen marginální analýzou pro zkoumání menších oscilací. 13

14 Zde se sluší upozornit, že reálně není důvod předpokládat shodu hodnot ex ante a ex post žádné veličiny. Čím více takovýchto zjednodušení model používá, tím více problém obchází a vzdaluje se ekonomické realitě. Podmínkou rovnováhy je Y t = C t + It, což vede k diferenční rovnici prvního řádu Y - C(y t _i) = A (3.8) Známe-li tedy hodnotu YQ a také konstanty A&c, jsme schopni z této rovnice jednoduše rekurentně určit hodnoty Y t pro t = 1, 2, 3,... Zbývá určit úspory ex post, očekávané úspory jsou již vyjádřené vztahem (3.7), uskutečněné úspory ex post vyplynou ze vztahu Y t = C t + S t, tedy Úspory ex post S t = Y t - C(Y t -i) (3.9) Je zřjmé, že změní-li se mezi obdobími důchod, budou se lišit očekávané a uskutečněné úspory, vyskytnou se nezamýšlené úspory. Dále budeme uvažovat lineární případ, kdy autonomní spotřebu 7 zahrneme do A a pro neautonomní spotřebu platí C = cy. Z celkové rovnováhy Y t = C t + I t + At v situaci, kdy C t = cy t -\, It = 0 a A t = A (veškeré autonomní výdaje) dostaneme diferenční rovnici Yt-cYt^=A (3.10) Dosadíme-li nyní do rovnice Y t = Y pro všechna t, dostaneme Y-cY = A čili Y = 1 -c což je přesné vyjádření rovnovážného důchodu pro statický multiplikátor. Takto jsme též jedno získali partikulární řešení této rovnice. Když nyní zavedeme substituci y = Y t Y a dosadíme do rovnice (3.10) získáme jí odpovídající homogenní diferenční rovnici, tato rovnice je tedy tvaru její řešení je V t = q/t-i V t = ž/o c* Dosadíme-li nyní za yo ze substituce a sečteme-li partikulární řešení rovnice (3.10) a řešení jí odpovídající homogenní rovnice, dostaneme obecné řešení rovnice (3.10). Y = Y + (Y 0 -Y)c t (3.11) Protože platí 0 < c < 1, směřuje s rostoucím t důchod monotónně ke své rovnovážné úrovni Y, lze tedy říci, že při statickém multiplikátoru je rovnováha stabilní. Nastane li nějaké vychýlení z rovnovážné polohy, bude modelem mírněno až se opět přiblíží rovnovážné poloze. Rychlost s jakou se to stane závisí na délce období (zvolenou jednotkou může být rok či například čtvrtletí) a na velikosti s, mezního sklonu ke spotřebě. 14

15 3.2.1 Rozšíření dynamického multiplikátoru V lineárním případu se předpokládá, že A je konstantní. Model však lze zobecnit na případ, kdy A se v čase určeným způsobem mění, v tom případě je značíme A t. Jedním ze způsobů, jakým se mohou autonomní výdaje vyvíjet, je, že tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem (1 + r), což odpovídá míře růstu r, (r > 0). Situace pak vypadá Diferenční rovnice má nyní tvar A t = A 0 (í + ry y t -0^-1=^0(1+0* (3.12) Za daného stavu již nelze očekávat statickou rovnováhu, místo ní budeme předpokládat, že důchod roste stejnou měrou, jako autonomní výdaje, tedy Y t = YQ(Í + r)*, a tento předpoklad dosadíme do předcházející rovnice pak Fo(l + r) r - cfo(l + r)*" 1 = +o(l + r) r Je-li nyní počáteční hodnota dána vzorcem (3.13), předpokládaný růst důchodu vyhovuje modelu. V případě, že model vychází z počáteční polohy (spíše výchilky), kdy se YQ liší od Y o, je řešení diferenční rovnice prvního řádu tvaru Y t =Yo(l+r) t + (Yo-Y 0 )c t (3.14) Toto řešení je obdobné řešení v (3.11), druhý člen se také monotónně blíží k nule. Podstatný rozdíl je ale v prvním členu, zatímco dříve byl konstantní, tak nyní směřuje k rostoucí úrovni Yo(l+ry, která je sama určena předpokládaným růstem autonomních výdajů. Dalším zobecněním prostého multiplikátoru může být rozložené spotřební funkce, která je potom tvaru kde zpožděni Ct = 7 + CíYt-i + c 2 y r _ 2 + c 3 y r _ (3.15) Cl +c 2 + c = c Pro rozšíření modelu multiplikátoru však postačí, budeme-li brát spotřební funkci ve tvaru C t = 7 + c-\y t -\ + C2^r-2 a c\ + c 2 = c. Diferenční rovnice, která odpovídá tomuto tvaru je Yt - ciy t _i - c 2 y r _ 2 = A Tato rovnice má opět řešení Y t = Y = ^zj- Položíme-li y t = Y t Y, dostaneme jí odpovídající homogenní rovnici ve tvaru Vt = cij/t-i + c 2 y t -2 Podobnou diferenční rovnicí druhého řádu a jejím řešením se budeme podrobně zabývat později. 15

16 Kapitola 4 Akcelerace 4.1 Autonomní a vyvolané investice Zatím jsme v modelech počítali převážně s autonomními investicemi značenými A a zjišťovali jsme jejich vliv na důchod. Tento přístup obsahoval hrubé zjednodušení oproti skutečnému stavu, kde nejen investice vyvolávají produkci, ale také produkce a její růst vyvolává investice. Tyto investice zapříčiněné změnami produkce nazýváme vyvolanými investicemi a značíme I. Multiplikátor, a to i ve své dynamické podobě, má tendenci směřovat k rovnovážné poloze, je to dáno jeho konstrukcí, která využívá závislost ex ante pouze u spotřební funkce. Obohacení modelu multiplikátoru se proto provádí vnesením dalších závislostí do modelu. Klasicky se tento problém řeší pomocí akcelerace zavedené do modelu přes koncept akcelerátoru. 4.2 Zavedení akcelerátoru Podobným způsobem, jako jsme v předchozí kapitole zavedli lineární závislost do spotřební funkce, i zde nahradíme funkční vztah mezi vyvolanými investicemi a důchodem jistou lineární závisostí, která je aproximací v jistém oboru hodnot proměných. Akcelerátor můžeme vyjádřit ve spojitém i nespojitám tvaru, nejdříve si tedy ukážeme ten spojitý Spojitý případ akcelerátoru d m = i{^y(t)} (4.1) V tomto vztahu je Y(t) rychlost produkce důchodu a I(t) rychlost vyvolaných investic, obě tyto veličiny jsou veličiny tokové a to v čase t. V případě lineární závislosti dostáváme vztah I(t) = v±y(t) (4.2) Kladná konstanta v zvaná koeficient investic zde vyjdřuje sílu akcelerátoru. 16

17 V tomto vztahu nevystupuje žádný konstantní člen. Je to tím, že autonomní (tedy konstantní) část investic je samostatná část celkových investic. Chceme-li zavést do spojitého případu akcelerátoru zpoždění, je nejsnazší použít spojitě rozložené exponenciální zpoždění, se kterým jsme se již důkladněji seznámili dříve (viz par 2.2). Je-li rychlost reakce K (tedy časová konstanta zpožděni je T = 1/K), potom závisí rychlost toku vyvolaných investic I na produkci takto: ^m = - K { m - v ± m } (4.3) Tento důležitý vztah můžeme interpretovat následovně: Označíme-li J(t) potenciální (tedy nezpožděný) tok investic, pak J(ť) = v^y(ť). Skutečný tok investic se za ním opožďuje a jeho přírůstek je tedy přímo úměrný rozdílu {I(t) J(t)}. Dosazením za J(t) a přidáním konstatnty určující rychlost reakce pak získáme právě vztah (4.3). Výraz pro akcelerátor můžeme snadno získat z (4.3) využitím operátoru D = é tedy DI= -K(I-VDY) Nespojitý případ akcelerátoru I = ^ vdy (4.4) Použijeme-li lineární tvar, můžeme v nespojitém případě vyjádřit akcelerátor následovně It = I{(Y t -Y t - 1 )} = v(y t -Y t - 1 ) (4.5) Tento vztah je analogií k rovnici (4.2). Vyvolané investice opět závisí na změně důchodu s koeficientem investic v. Pokud do tohoto výtahu začleníme zpoždění, což provedeme prostým přeorientováním na změnu v důchodu mezi obdobími o jedno období dříve, tedy již kompletně uskutečněnou, dostaneme it = im-! - y t _ 2 )} = «(y t _! - y t _ 2 ) (4.6) Dále jen pro ilustraci uvedeme, že je pochopitelně možné tento vztah snadno rozšířit na zpoždění rozložené do libovolného počtu období. V lineárním tvaru posléze dostaneme kde It = «i(y t -i - y t - 2 ) + v 2 (Y t -2 - Yts) +... (4.7) V = V-l + V

18 Kapitola 5 Phillipsovy modely V předchozím textu jsme se seznámili se základy makroekonomických modelů a s koncepty multiplikátoru a akcelerátoru. Zatímco multiplikátor má tendence model vést ke stabilní rovnováze, tak akcelerátor se projeví spíše v exponenciální růstové tendenci. Otázkou, co se stane, skloubíme-li v jednom modelu akcelerátor s multiplikátorem, se zabýval již Lundberg (1937). Ten také vyslovil tezi, že takový model povede k stálému a progresivnímu růstu. Modelem, který situaci skloubení akcelerátoru a multiplikátoru zkoumá, je například Harrod-Domarův model růstu. Tento model ale skutečnou hloubku problému spíše obchází vypuštěním zpoždění, a proto se mu v následujícím textu věnovat nebudeme Phillipsův model multiplikátoru Úplnému modelu akcelerátoru-multiliplkátoru se zpožděním, který jako první sestrojil Phillips (1954), se budeme věnovat až po seznámením se s značně jednodušším Phillipsovým modelem multiplikátoru se zpožděním. Phillipsovy modely jsou spojité 2 a vedou k diferenciálním rovnicím, a proto se ukázalo nejúčelnější využívat v nich spojité exponenciální zpoždění (probrané v par. 2.2). Pro tento případ budeme předpokládat, že na straně poptávky Z zpoždění není. Plánovaná spotřeba je C = cy a součet autonomní spotřeby s autonomními investicemi označíme písmenem A (autonomní spotřeba je daná a konstantní). Z = C + A = cy + A Využijeme také konstanty s, mezního sklonu k úsporám (podle Pihliipse je tato konstanta interpretovatelná v širším smyslu jako "mezní úbytek"), raději než mezního sklonu ke spotřebě c. V par. (3.1) jsme ukázali, že s + c = 1, potom celková (nezpožděná) poptávka bude 1 První z výhrad, totiž že tento nespojitý model používá pouze dvě jednoduché konstanty k přiblížení reálného prostředí (jsou jimi výše hojně využívané c a v), lze ještě tolerovat. Druhou ale již nikoli, Harrod-Domarův model totiž předpokládá, že se úspory i investice ex ante rovnají svým hodnotám ex post, čili že neexistuje žádné zpoždění. 2 Zde jen připomeňme, že spojité veličiny, například Y(t), někdy značíme pouze Y. 18

19 Z=(l-s)Y + A (5.1) Na straně nabídky už předpokládáme zpoždění, nechť A je rychlost reakce, T = l/a je časová konstanta zpožděni. Změna produkce v čase potom má tvar d^ = -X(Y-Z) (5.2) ze kterého je vidět, že velikost změny produkce závisí na rozdílu skutečného a celkového poptávaného množství. Multiplikátor (5.2) přesně odpovídá (2.10) odvozeném v par. (2.2). Když do rovnice (5.1) dosadíme za Z z rovnice (5.2), dostaneme diferenciální rovnici pro produkci Y, která vyjadřuje Phillipsův model multiplikátoru. d^ = -X(Y-(l-s)Y-A) tedy dy + \sy = XA v(5.3) dŕ ' Je evidentní, že rovnovážná poloha statického multiplikátoru Y = Y = A/s vyhovuje jako řešení této rovnice, máme tedy parciální řešení. Při položení y = Y Y a po následném dosazení za Y do diferenciální rovnice z této substituce dostaneme ^L+\sy = 0 (5.4) Což je homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, kterou vydělíme y a upravíme s pomocí vztahu --^ = ^(ln y) následovně tedy tedy In y = Ast + k', y = ke~ Xst, A(l nž/) = _ As kde k' je konstanta kde k je konstanta Dosadíme-li nyní za t = 0, dostaneme y(tí) = k (protože y(0) = ke~ Xs0 = ke 0 ), což ze zavedení y odpovídá k = Y(0) Y, můžeme tedy napsat obecné řešení rovnice (5.3), přičemž pamatujme, že Y = Aj s Y(t) = Y + (Y(0) -Y) e - Xst (5.5) Máme-li danou počáteční hodnotu důchodu pro čas t = 0 (tedy Y(0)), pak rovnice (5.5) ukazuje průběh produkce, který s t > oo směřuje monotónně k rovnovážné úrovni Y = Aj s. Průběh této funkce je obdobný průběhu funkce e~*, součin kladných konstant s a A tvar funkce neovlivní, roli hrají pouze v rychlosti přizpůsobení. To že model opět směřuje k rovnovážnému stavu není vzhledem k tomu, že jsme užili pouze multiplikátor, který takovou tendenci má, nikterak překvapivé. 19

20 5.2 Phillipsuv model akceleratoru-multiplikatoru Nyní do modelu uvedeném v par. (5.1), kde vystupovaly pouze autonomní investice, přidáme akcelerátor s exponenciálně rozloženým zpožděním, jak ho známe z par. (4.1) rovnice (4.3). Shodné bude i značení, čili v pro investiční koeficient, K pro rychlost reakce a I bude značit čisté vyvolané investice, tedy investice vzniklé v souvislosti se změnami v důchodu (zde rozumíme v produkci). Opět se jedná o spojitý model a hodnoty veličin se mění v čase 3. dí ( dy\, N = -4 I - v^7) dí V dí / ( 5-6 ) I v tomto případě se na straně poptávky nepočítá se zpožděním. Tvar poptávky je tedy následující Z = C + I + A, kde C = cy = (1 s)y a A představuje veškeré autonomní výdaje. Tedy Z=(í-s)Y + I + A (5.7) Na poptávkové straně je situace stejná jako u Phillipsova modelu multiplikátoru, tedy rozložené zpoždění ^ = -X(Y-Z) (5.8) Předchozí tři rovnice kompletně popisují Phillipsuv model akceleratoru-multiplikatoru. Obsahují dva druhy spojitě rozloženého zpoždění, na straně nabídky reaguje produkce na poptávku s rychlostí A a vyvolané investice na změny produkce s rychlostí K. Nyní se budeme snažit z těchto tří rovnic získat jednu diferenciální rovnici popisující chování produkce v čase í. V prvním kroku dosadíme za poptávku z rovnice (5.7) do (5.8) upravíme ^Ĺ = -XY + A{(1 - s)y +1 + A} dy + XsY -XA = XI dí vyjádříme vyvolané investice a derivujeme podle t 1 dy I=- = A dí + sy-a (5.9) dí i d 2 y dy dŕ A dí 2 s (5.10) dí Když nyní dosadíme do (5.6) z (5.9) a (5.10), dostaneme tedy ld 2 y dy ((\ \dy ^ k A dí 2 s - dí = -K{ V \ VA - - V ) J ^ dt + SY-A 3 Tedy i zde například I(ť) značíme pouze I. 20

21 respektive l d Y ( «\ d Y s + - KÍ; h «si = KA A dt 2 V A y* dt d 2 y / Ndy dí 2 V y dt Zavedením substitucí + { AS -\- K KÁV h K. XsY = K\A a = As + K(1 A-y) a b = KÁS (5-11) dostaneme diferenciální rovnici druhého řádu popisující produkci tvaru Analýza Phillipsových výsledků á 2 Y áy ^r + a + by = n\a (5.12) dt 2 v dŕ ' Je zřejmé, že i pro tento model, tedy rovnici (5.12), vyhovuje Y = A/s jako rovnovážné řešení. Řešení odpovídající homogenní rovnici ^jf + a-^ + by = 0 najdeme ve tvaru 4 Y(t) = -+B 1 ep lt + B 2 e P2t (5.13) s kde p\ a p2 jsou kořeny p 2 + ap + b = 0 a ßi2 jsou libovolné konstanty, které je možné získat z počátečních hodnot produkce (tedy Y = YQ a ^j = ^-) v t = 0. Jelikož koeficienty a a 6 závisí pouze na strukturálních konstantách s, v, K, A, není problém s určením pí & p2, tyto kořeny však dramaticky ovlivňují průběh produkce. Ta se vyvíjí monotónně či oscilačné podle toho, zda pí & p2 jsou reálné či komplexně sdružené 5. Dále je trend produkce explozivní či tlumený podle toho, zda jsou p\ a p2 kladné či záporné 6 (v případě komplexních kořenů se míní reálná část). V následující úvaze položíme K = 1, čímž se v akcelerátoru jedná vždy o situaci, kdy časová konstanta zpoždění je právě základní období, a s budeme spolu s v považovat za dané (pro konkrétní ekonomiku a její zvyklosti neměnné). Pozornost budeme tedy věnovat vlivu A (tedy spíše T = l/a, což je časová konstanta), která charakterizuje zpoždění na straně nabídky. Přestože s a» mohou nabývat teoreticky neomezených hodnot (kde omezení 0<s<la»>0 jsou daná z definice), je smysluplné brát v potaz pouze ty hodnoty, které připadají v úvahu v praxi. Tím se intervaly omezují na 0 < s < j pro sklon k úsporám a (1 A/S) 2 < v < (1 + A/S) 2 pro investiční koeficient. Poslední podmínku můžeme zapsat ve tvaru 7 Předpokládáme, že rovnice p + ap + b = 0 má dva různé kořeny. V dalších úvahách řešíme i případ s dvojnásobným kořenem p, tomu by odpovídala produkce tvaru ^(í) = f +BieP É +B 2 tep t. 5 Z vlastností kvadratické rovnice s reálnými koeficienty je samozřejmé, že jiný případ nepřipadá v úvahu 6 Z tvaru kvadratické rovnice víme, že p\p2 = b a b je součinem kladných čísel, tudíž p\ a P2 musejí mít stejné znaménko. 7 Že tak skutečně můžeme učinit je zřejmmé z hodnot s a monotónnosti mocninné funkce na daném intervalu. 21

22 1-A/Š< VV < 1 + A/Š (5.14) Nyní se budeme zabývat situací, kdy jsou kořeny rovnice p 2 + ap+b = 0 komplexně sdružené, v tom případě je průběh produkce oscilační. S přihlédnutím k tomu, že T = l/a a konstantu K jsme položili rovnu jedné, dostaneme dosazením za a a 6 tedy p 2 + {Í-X(v-s)}p + Xs = 0 (5.15) p 2 + ^(T-v + s)p+^=0 (5.16) Aby kořeny byly komplexně sdružené, musí platit, že diskriminant této kvadratické rovnice je menší než nula tedy po úpravě T 2-2(v + s)t + (v - s) 2 <0 Budeme se i dále věnovat řešení této nerovnice, tedy hledání intervalu (Ti, T2), kde předchozí kvadratický trojčlen nabývá záporných hodnot. Trojčlen vyřešíme jako kvadratickou rovnici Tl,2 = (v + s) ± y/{v + sf -(v- s) 2 =v± 2^ľs + s = (AA ± A/Í) 2 Řešení Y t má tedy oscilační průběh 8 v případě, že T leží v intervalu 9 (v^-v / i) 2 <T<(v /^+v / i) 2 Poznamenejme, že podle vztahu (5.14) je zcela evidentně dolní mez intervalu menší než jedna a horní mez větší než jedna. Tímto se nám tedy podařilo určit, za jakých přesně podmínek se bude jednat o průběh oscilační a neoscilační. Zbývá zkoumat, za jakých podmínek bude explozivní cl Zel jakých tlumený. Rovnice (5.16) má řešení tvaru pi^ = a±iuj. Pro rozlišení tlumených oscilací (platí a < 0) od oscilací explozivních (a > 0), zjistíme z rovnice (5.16) velikost a Z tohoto vztahu je zřejmé, že oscilace jsou explozivní, je li T < (v s), a tlumené v případě, že T > (v s). Ještě se vrátíme k situaci, kdy má rovnice p 2 + ap + b = 0 reálné kořeny. Víme už, že v tom případě jsou buď oba kladné, či naopak oba záporné, a tím 8 Jen připomeneme, že důchod se v ekonomické realitě též vyvíjí oscilačné, zpravidla kolem růstového trendu. 9 Ze tomu tak je, je zřejmé z kladného koeficientu u kladného členu (zde jedničky) a tvaru kvadratické funkce 22

23 pádem vzhledem k vztahu pro vývoj produkce z rovnice (5.13) je tvar produkce neoscilační. Také víme, že k tomu dochází právě, neplatí-li (y/v A/Š) 2 < T < (v^ + v^) 2 - Rozebereme případ, kdy T < (\/v A/S) 2 ; ze vztahu (5.14) je zřejmé, že platí Dosazením za T získáme (AA-A/Í) < 1 < (AA+A/Í) Po úpravě 1<(AA-AA) 2 i < A/X(AA - Vš) Jelikož platí (y/v A/S) < (AA + A/S) a A > 0, vidíme z předchozího vztahu, že též platí 1 < A/A(AA + A/S). Součin dvou čísel větších než 1 je zcela jistě též vyšší než jedna tedy 1 < A/X(AA - A/Í)A/X(AA + A/Í) 1 <X(v- s) (5.17) Nyní si připomeneme, že a = 1 X(v s), tedy v tomto případě je a < 1. Dále z charakteristické rovnice platí a = pí + P2 a je tedy zřejmé, že pro T < (A/V A/S) 2 jsou kořeny pí, p2 kladná čísla a tudíž v průběhu produkce, jak je zachycen v (5.13), dochází k explozivnímu růstu, který je bez oscilací. Případ T > (A/W + A/S) 2 se řeší zcela stejným postupem (s otočeným znaménkem nerovnosti) a vyjde, že kořeny jsou záporná čísla a tudíž je průběh produkce tlumený a též bez oscilací. Aby byla analýza možných případů kompletní, dosadili jsme do rovnice (5.15) 10 nevyřešené hodnoty T, tedy l/a = (A/V i A/S) 2 a l/a = v s, a určili kořeny. Získané výsledky: Strukturální konstanty Kořeny pi2 Průběh Y(t) T<(AA-AA) 2 dva různé kladné neoscilující, explozivní T=(AA-AA) 2 A > (dojitý) neoscilující, explozivní (AA-AA) 2 <T <V-S a ± iw, a > 0 oscilující, explozivní T = v s ±A/ rovnoměrně oscilující Í;-S<T<(AA+AA) 2 a ± iui, a < 0 oscilující, tlumený T=(AA+AA) 2 -'O Mvniitvl ^A-^AJ ^ U l > m J lt >- ) neoscilující, tlumený (AA + AA) 2 <T dva různé záporné neoscilující, tlumený ^s Je to pro dosazování vhodnější tvar než následující rovnice. 23

24 Kapitola 6 Samuelsonův-Hicksův model akcelerátoru-multiplikátoru Tento model formulovaný Samuelsonem (1939) a doplněný Hicksem (1950) představuje nejkomplexnější řešení dané problematiky při nespojitém postupu. Klíčovým předpokladem je, že se uskuteční plány spotřeby. Předpokládaným zpožděním ve spotřební a úsporové funkci (tedy ex ante) se nechává prostor pro neplánované úspory. Další podmínkou je, že se uskuteční plány investic, takže investice ex ante se rovnají součtu úspor a investic ex post. Vztah ex ante pro investice je akcelerátor se zpožděním. Spotřební funkce tohoto modeluje v lineárním tvaru s rozloženým zpožděním a předpokládáme, že 0 < c < 1 (c je mezní sklon ke spotřebě). Akcelerátor, který očekáváme lineární s rozloženým zpožděním, by v obecném případě Samuelson- Hicksova modelu nabýval tvaru kde h = fi(ií-i - it-2) + v 2 (Y t _ 2 - y r _ 3 ) + v 3 (Y t _ 3 - y r _ 4 ) +... V = V-1+V2+V Všechny dílčí investiční koeficienty ví lze považovat za kladné, proto i v je kladný. My se ale budeme zabývat jednodušším Samuelson-Hicksovým modelem, který počítá pouze s prvním členem ve tvaru akcelerátoru, tedy j t = *(y t -i-y t - 2 ) (6.1) Adekvátně k tomu i spotřební funkci, která by v obecném případě byla C t =7 + c 1 Y t _ 1 +c 2 y ŕ _2 + c 3 y ŕ _ kde c x + c 2 + c = c zjednodušíme na tvar C, ŕ = 7 + c 1 y ŕ _ 1 + c 2 y ŕ _ 2 kde c x + c 2 = c (6.2) 24

25 Podmínka modelu předpokládá všechny veličiny realizované ex post a je v klasickém tvaru Yt = C t + I t + A t Dosazením do podmínky získáme diferenciální rovnici druhého řádu Y t = 7 + dyt-! + c 2 y r _ 2 + v(yt-! - Y t - 2 ) + A t tedy Yt = (ci + v)y t -í -(v- c 2 )Y t -2 + (7 + A t ) Zavedeme nyní novou veličinu A t = 7+^4*, nazvme ji autonomními S její pmocí a využitím vztahu c = c\ + c 2 získáme rovnici ve tvaru vydáními. tedy Yt = (c - c 2 + v)y t -! -(v- c 2 )Yt-2+A t Yt = cyt-í + (v- C2)(y t _i - Yt- 2 ) + At (6.3) Tato rovnice tedy vystihuje vývoj produkce a jejím řešením se budeme nadále zabývat. Budeme-li brát A t (autonomní výdaje) jako neměnné v čase, získáme veličinu A t jako konstantní, tedy A t = A. V tomto případě bude jedním řešením rovnice (6.3) konstanta Y = A/(í c), což snadno ověříme jejím dosazením zpět do rovnice. Položíme-li nyní y t = Y t Y, získáme rovnici ve tvaru Vt = cyt-i + (v - c 2 )(y t -i - yt-2) (6.4) Obecným řešením této rovnice se budeme zabývat později a zjistíme, že obvyklý průběh Y t je explozivní oscilace kolem hodnoty Y = A/(í c). Nyní si ještě uvedeme Hicksův elementární případ, který je dán stejnými předpoklady a stejným akcelerátorem jako předchozí verze, jen spotřební funkce je ještě více omezena, a to na vztah pouze k jednomu předchozímu období, tedy C t = cy t - 1 a I t = v(yt- 1 -Yt- 2 ) Diferenční rovnici pro tento případ můžeme odvodit stejně, jako jsme to udělali v předešlém případě, nebo dojít k totožnému výsledku prostě dosazením c 2 = 0 do předchozí výsledné rovnice. Získáme tedy tvar Vt = cyt-i + v(y t -i - yt-2) (6.5) Zde je patrné, že jediná změna, ke které došlo je tedy zvýšení síly operátoru z (v C2) v případě rozloženého zpoždění nativ jednodušším případě. 6.1 Speciální případ s geometricky rozloženým zpožděním Poslední zajímavý případ (který ale nebyl zkoumán Hicksem), který si u Samuelson- Hicksova modelu uvedeme je verze se zavedením geometricky rozloženého zpoždění investic, v tomto případě, jsou-li Z t = v(y t Yí-i) = vay t -i nezpožděné investice, bude platit 25

26 It = A (Vi + (1 - A)Z ŕ _ 2 + (1 - A) 2 Z ŕ _3 +...) V tomto vztahu, jehož odvození je uvedeno v par. (2.1), je A rychlost reakce. Tamtéž jsme také ukázali, že platí Yt = -i^ Zt = -^-(«Aľi_i) A + A A + A v ' Když nyní dosadíme tyto výrazy spolu s C t = cy t -\ do základní podmínky tohoto modelu s konstantními autonomními vydáními (tedy podmínky tvaru Y t = Ct + It + A), dostaneme tato rovnice lze zapsat též jako Yt = cy t _! + ÄTÄ^1*- 1 ) + A AY t + XY t = cayt-í + XvAYt-í + XA Dosadíme za diference (tedy AY t = Y t+ i Y t & A7 (+ i = Y t+ 2 ^t+i) a seskupíme podle období Y t+1 = (1 + c - A + Xv)Y t - (c - Ac + Xv)Y t XA Pro přehlednost posuneme o období Y t = (1 + c - A + Xv)Y t -í - (c - Ac + Xv)Y t -2 + XA I pro tuto rovnici je Y = A/(í c) partikulárním řešením. Dosazením za Y t z obvyklé substituce y t = Y t Y dostaneme homogenní rovnici tvaru tedy Ut = (1 + c - A + Xv)y t -i - (c - Ac + Xv)y t -2 + XA kde yt = c'y t -i-v'(y t -i-y t -2) (6.6) c' = (l-a) + Ac a v' = (1 - A)c+ Xv Jelikož c' je vážený průměr čísel 1 a c s váhami (1 A) a platí 0 < A < 1, tak c < c' < 1, dále v je vážený průměr čísel v a c a z reálného prostředí je nanejvýš pravděpodobné, že c < v, tak c < v' < v. Z posledního poznatku a srovnání rovnic (6.5) a (6.6) zřetelně plyne, že zavedení geometricky rozloženého zpoždění ještě více tlumí účinek akcelerátoru. 6.2 Interpretace Samuelson-Hicksova modelu Vrátíme se nyní k rovnici (6.4), což je homogenní rovnice odpovídající obecné rovnici (6.3) s konstantními autonomními výdaji, jejíž vyřešení nám ukáže to nejpodstatnější u Samuelson-Hicksova modelu, totiž jak se vlastně chová produkce v čase v závislosti na konstantách, kterými jsou investiční koeficient v > 0, mezní sklon ke spotřebě c = c\ + c 2 (všechny kladné) a mezní sklon k úsporám s > 0. Zda Y t osciluje či neosciluje kolem rovnovážné polohy Y t, a v případě, že 26

27 ano, tak o jaký druh oscilací se jedná, zda o tlumené či explozivní. Zavedeme do ní substituci w = v ci a využijeme c = 1 s, takže je tvaru y t - (w - s + 1) y r _i +w y t -2 = 0 (6.7) Z rovnice (6.7) je patrné, že po zavedení substituce jsou ve skutečnosti podstatné pouze konstanty saw. Účinek rozloženého zpoždění redukuje konstantu v, konstantu w pak nazveme redukovaný investiční koeficient. Rovnici (6.7) odpovídá charakteristická rovnice /(A) = A 2 - (w- s+í)x + w = 0 (6.8) jejíž kořeny pak udávají tvar řešení pro průběh produkce 1 y t = A l X\+A 2 X t 2 (6.9) kde A\ t 2 jsou libovolné konstanty určené počátečními výchylkami. Nás nejvíce zajímá vývoj produkce pro vysoká t, zde se produkce chová dle dominantního kořene rovnice (6.8), kterým je ten v absolutní hodnotě větší. Jeli jeho absolutní hodnota větší než jedna, pak půjde o explozivní průběh (ať už monotónní či oscilační), a je-li menší než jedna (tím pádem je menší než jedna v abs. hodnotě i druhý kořen), pak se utlumí a průběh se blíží k Y (oscilačně či monotónně). Dále platí Xi -\- X2 = w s -\- í = v -\- ci > 0 a A1A2 = w (6.10) Z charakteristické rovnice je také zřejmé, že pro A > ±00 je /(A) kladné, pro A = 1 je 2(v + c\) + s (čili kladné), pro A = 1 je /(A) = s (tedy opět kladné) a pro A = 0 je hodnota charakteristické funkce rovna w. Hledejme dále derivací extrém (přesněji minimum) charakteristické funkce -j^/(a) = 2A - (w - s + 1) = 0 potom A = ij(w s + 1) = ^(v + Cí) > 0 je souřadnicí, kde /(A) dosahuje svého minima, hodnoty f{x) = -\[w-{l + V~sf][w-{l-V~sf] Je-li w < 0, pak jeden kořen (označme ho Ai) bude kladný a menší než 1 a druhý záporný a v absolutní hodnotě menší než kořen první. Je to patrné ze symetrického tvaru kvadratické funkce s minimem v bodě vyšším než 0 a současně nabývající záporné hodnoty w v bodě 0 a kladné hodnoty s v bodě 1. Mnohem častěji je ovšem w > 0 (kořeny s různým znaménkem nepřipadají v úvahu); pak budou oba kořeny, jsou-li reálné, ležet v jednom z intervalů (0,1), (l,oo). Víme totiž, že v A = 1 je chararakteristická funkce /(A) kladná. x Zde se předpokládá, že kořeny jsou různé. Má-li charakteristická rovnice dvojnásobný kořen A, což je případ, se kterým se v dalším textu počítá, je rovnice produke tvaru yt = A\\ l + A2t\ t. Přičemž v obou případech nesmíme zapomenout přičíst partikulární řešení Y = A/(l-c). 27

28 Abychom rozlišili, ve kterém z intervalů (0,1) a (l,oo) leží reálné kořeny, stačí znát jejich součet. Je-li w < (1 A/S) 2, pak Ai + A2 = w zřejmé, že Ai i A2 náleží intervalu (0,1). Naopak, je-li w > (1 + A/S) 2, pak Ai + A2 Ai, A2 náleží intervalu (l,oo). + 1 < 2(1 - A/S) < 2, Z čehož je = w-s + l>2(l + y/š) > 2, tedy Je-li (1 A/S) 2 < w < (1 + A/S) 2, tak charakteristická rovnice nemá reálné kořeny, protože její minimum je větší než 0. Kořeny jsou komplexně sdružená čísla, která zapíšeme jako r(cosß ± isinß), a je zřejmé, produkce má oscilační průběh. Z charakterustické rovnice (6.8) vyjádříme reálnou (rcosß) a imaginárn (rsinß) část kořenů následovně rcosß = (w s + 1) a rsinß = \J Aw (w s + l) 2 (6-H) Umocníme-li obě rovnice na druhou a následně sečteme, získáme tedy r 2 (cos 2 ß + sin 2 ß) = - ((w - s + l) 2 + Aw - (w - s + í) 2 ) (6.12) w, unß = y/aw - (w - s + l)2 (6.13) Čímž jsme nové strukturální konstanty vyjádřili v w a s. Vidíme, že cosß i sinß jsou kladné, můžeme tedy ß vzít z intervalu (0, - J. Pro tento případ má rovnice produkce (6.7) tvar y t = Ar t cos{ßt - e) (6.14) ve kterém jsou A i e libovolné konstanty určené počátečními hodnotami. V řešení (6.13) jsou oscilace tlumené pro r < 1 a explozivní pro r > 1 (tedy je-li w větší či menší než jedna). V hraničním případě r = w = 1 jsou oscilace rovnoměrné. Pro doplnění analýzy možných případů zbývá do rovnice (6.8) dosadit nevyřešené hodnoty w, tedy w = (1 ± A/S) 2 a w = 1, a určit kořeny. Na závěr můžeme získané pozantky shrnout: Strukturální konstanty Kořeny Ai 2 Průběh Yt w < 0 kladný a záporný neoscilující, tlumený w = 0 0, 1 - s neoscilující, tlumený 0 < w < (1 - A/?) 2 dva různé z intervalu (0,1) neoscilující, tlumený w=(l-v^) 2 A/Š - 1 (dvojitý) neoscilující, tlumený (1-A/^) 2 <W< 1 A/W(COSÖ ± isinß) oscilující, tlumený w = 1 cosß ± isinß rovnoměrně oscilující 1 < w < (1 + A/^) 2 A/W(COSÖ ± isinß) oscilující, explozivní W=(l + v^) 2 A/Š + 1 (dvojitý) neoscilující, explozivní (1 + A/^) 2 < w dva různé z intervalu (l,oo) neoscilující, explozivní 28

29 Kapitola 7 Závěr Z poznatků získaných ze studia modelů akcelerátoru-multiplikátoru za vyzdvihnutí určitě stojí Samuelsonův postřeh, vyplývající z jeho modelu, že velký nárůst vyvolaný rozsáhlými investicemi při expanzi je spojen s hlubším propadem v následné recesi. Tato práce se pokouší systematicky projít cestu od zavedení různých druhů zpoždění, představení základů makroekonomických modelů, přes sestrojení multiplikátoru a akcelerátoru, až k složitějším ekonomickým modelům zabývajících se důchodovou trajektorií. Jádrem je rozbor důchodových trajektorií; podmínek, za jakých se důchod v daném modelu bude vyvíjet monotónně a za jakých oscilačné. Kdy se bude tlumeně blížit rovnovážné poloze a kdy naopak bude mít explozivní tendenci. Tyto podmínky jsou v práci pro oba modely rozebrány a výsledky znázorněny tabulkami. Za hlavních přínos práce považuji čtenáři vstřícné a ucelené zpracování netriviální problematiky. Dalšími drobnými přínosy práce snad je doplnění některých pro plynulost výkladu vynechaných či čtenáři k procvičení ponechaných možností v Matematické ekonomií R.G.D. Allena 1, přidání vysvětlení případu dvou kladných kořenů charakteristické rovnice Phillipsova modelu a přepracování rozboru výsledků Samuelson-Hicksova modelu. Posledním přínosem práce snad bude precizní rozebrání možných průběhů důchodové trajektorie u dvou hlavních modelů v závislosti na strukturálních konstantách. Některé hraniční případy nejsou v dostupné literatuře rozebírány, a proto jsem doplnil jejich řešení i s odvozením, čímž, jak doufám, práce splnila svůj cíl. 1 Například u kvadratických charakteristických funkcí ponechává autor bez upozornění případ dvojnásobného kořene na čtenáři. 29

30 Literatura [1] Allen, R.G.D., Matematická ekonomie, Academia, Praha, 1971 [2] Phillips, A.W. (1954), Stabilisation Policy in Closed Economy, Economic Journal, 64, [3] Samuelson, P.A. (1939), Interaction between the Multiplier Analysis and the Principle of Acceleration, Review of Economic Statistics, 21, [4] Samuelson, P.A. (1939), A Synthesis of the Principle of Acceleration and the Multiplier, The Journal of Political Economy, 47,