Matematické metody v kartografii. Jednoduchá kuželová zobrazení. Křovákovo zobrazení. (8.+9.)

Transkript

1 Matematické metody v kartografii Jedodchá kželová zobrazeí. Křovákovo zobrazeí. 8.9.)

2 . Jedodchá kželová zobrazeí Společé vlastosti: Jedodchá zobrazeí, zobrazjí a plášť kžele. Požita pro velkoměřítkové mapy kželové koformí zobrazeí) Obrazem poledíků úsečky, svírají meší úhly ež ve sktečosti ω <ω Obrazy poledíků se stýkají se v obraz pól. Obrazy rovoběžek: části kocetrických kržic, střed v obraz pól. Symetrie vzhledem k poledík, ikoliv vzhledem k rovík. Ekvideformáty: obrazy zeměpisých/kartografických rovoběžek Délkové zkresleí roste v obo směrech od ezkresleé rovoběžky, a to esymetricky. Vhodá pro protáhlá území kolem dotykové rovoběžky. Obraz pól: bod, část kržice, ezobrazí se.

3 . Sořadicový systém Typ sořadicového systém: Polárí Pravoúhlý Počátek sořadicového systém: a) V obraz pól b) V průsečík obraz základí rovoběžky a místího poledík. c) Ad a), b) postí o adičí kostaty Orietace sořadicových os x,y: a) Matematický systém x>v, y>s). b) Matematický systém: x y c) Speciálí orietace: x>j, y>z, JTSK.

4 3. Počátek v průsečík obraz poledík a dotykové rovoběžky Orietace os: x y Symbolika:...poloměr obraz rovoběžky v bodě P ε... úhel mezi obrazem zákl. a místího poledík. poloměr základí rovoběžky x obraz základího poledík y kolmice k obraz základího poledík Vztah mezi polárími a pravoúhlými sořadicemi: x ε y si ε x ) y ε arctg x y

5 4. Počátek v obraz kartografického pól Orietace os: x k jih y a západ Požití: JTSK Vztah mezi polárími a pravoúhlými sořadicemi: x ε y si ε x ε arctg y x y

6 5. Zobrazovací rovice Jedodché zobrazeí, každá zobrazovací rovice fkcí poze jedé proměé: je fkcí, ε fkcí v. Obecý tvar zobrazovacích rovic: f ) f ) ε v Kostaty zobrazeí:,,). Důsledek: rozestpy mezi obrazy rovoběžek meší ež ve sktečosti. Pro > kželové zobrazeí přechází v azimtálí, vziká kžel s lovo výško, tj. rovia. poloměr ezkresleé dotykové) rovoběžky se zeměpiso šířko. Pro přechází kželové zobrazeí ve válcové. Vziká kžel s ekočo výško, tj válec. Hledáme fkci f, ktero lze odvodit a základě požadavk, co se emá zkreslovat.

7 6. Kartografická měřítka a zkresleí Měřítko délek v poledík: Záporé zaméko vyjadřje protichůdý růst hodot σ a. Měřítko délek v rovoběžce: m p m m r r d d dε dv Měřítko ploch: P m p m r Maximálí úhlové zkresleí: ω si ) m m p p m r m r

8 7. Kželové zobrazeí ekvidistatí v poledících Vlastosti: Zámo již ve starém Řeck, Ptolemaiovo zobrazeí. stol. p..l). Ekvidistatí v poledících, ezkresleá dotyková rovoběžka. Vzdáleosti obrazů rovoběžek stejé. Pól se zobrazí jako bod ebo část kržice Měřítka a zkresleí: Často požito v atlasové kartografii. m r d Podmíka: m p d P d d ω si ˇ d c c ) Zobrazovací rovice: ) ε v

9 8. Ukázka Ptolemaiova zobrazeí

10 9. Volba kostat zobrazeí, N Nejčastěji požíváy tři variaty: ezkresleá rovoběžka ezkresleé rovoběžky, Stejé zkresleí a severí a jiží okrajové rovoběžce až a zaméko) a) ezkresleá rovoběžka Podmíka: měřítko délek a zvoleé rovoběžce, tj. miimálí. Drhá kostata: ezkresleá rovob. cotg si ] ))si [ si )) )) m m m m r r r r si cotg m r Ptolemaiovo zobrazeí

11 . Volba základí rovoběžky, N ) jde středem území: m rs >m rj Zkresleí roste a sever rychleji ež a jih. Proto je vhodé volit ezkresleo rovoběžk severěji. ) Stejé zkresleí a okrajových rovoběžkách m rs m rj iteračí výpočet cotg )) cotg si )) cotg si )) )) ) ) s j s j j s j j s s j j s s j j s s j j s s s j De l Islerovo zobrazeí

12 . Volba kostat zobrazeí, N b) ezkresleé rovoběžky a Dáy a Podmíka: m r m r. Určeí kostat zobrazeí: Jak zvolit hodot?: jde středem území Stejé zkresleí ve střed území a a okraji až a zaméko) ) ) [ ] ) ) ). )] [. )] [. ) ) m m r r

13 . Volba základí rovoběžky, N ) jde středem území: Zkresleí roste a sever rychleji ež a jih. Zkresleí a této rovoběžce ebde miimálí. Miimálí zkresleí a rovoběžce severě od. ) Stejé zkresleí a okrajových rovoběžkách m rs m rj Zkresleí a okraji území: m rs m rj c. Zkresleí ve střed území: m r m rj -c. m m m rs r rs s c m m s r s rj c s s

14 3. Volba základí rovoběžky, N Další kostaty: cotg [ ) ) ] j s j j s s j Zeměpiso šířk elze rčit jako.5 s j ), ve střed eí miimálí zkresleí!!! Šířky, eí možé volit, vyplyo z výpočt. s s Určíme je z podmíek stejého zkresleí m r m r. s j j )) ))

15 4. Volba kostat zobrazeí, pólbod c) Pól jako bod Ve většiě případů se pól zobrazí jako kržicový oblok. Můžeme požadovat, aby se pól zobrazil jako bod, tj. krhový oblok o lovém poloměr. Poloměr pólové kržice: p. Platí: k 9 k 9 ) Drhá kostata: ezkresleá rovoběžka 9. Délkové zkresleí v pól: m r 9 p p

16 5. De l Issleovo zobrazeí Atorem fracoský hvězdář J. N. de l Isle. Požito v milosti pro map ska. Nyí požíváo pro mapy větších územích celků kotiety). Dvě ezkresleé rovoběžky. Pól zobraze jako část kržice. Zkreslje úhly méě ež Ptolemaiovo zobrazeí. Zobrazovací rovice: ) ε v [ ) ) ]

17 6. Ukázka De l Issleova zobrazeí

18 7. Ukázka evideformát m r kželového ekvidistatího zobrazeí, N Geografická síť ekvideformáty. Normálí poloha, N.: 45. Ekvideformáty m r, krok.5, Iterval <,3.5>.

19 8. Ukázka idikatrix kželového ekvidistatího zobrazeí Geografická síť Tissotovy idikatrix. Normálí poloha, N.: 45.

20 9. Ukázka evideformát m r kželového ekvidistatího zobrazeí, N Geografická síť ekvideformáty. Normálí poloha, N.:, 4. Ekvideformáty m r, krok.5, Iterval <,3.5>.

21 . Ukázka evideformát m r kželového ekvidistatího zobrazeí, N Geografická síť ekvideformáty. Normálí poloha, pólbod.: 9. Ekvideformáty m r, krok.5, Iterval <,3.5>.

22 . Kželové koformí zobrazeí zobrazeí Atorem Joha Heirich Lambert, tzv.lambertovo zobrazeí. Vlastosti: Vzdáleosti obrazů rovoběžek se směrem k pól zvětšjí Severí pól se zobrazí jako bod, jiží se ezobrazí. Často požíváo pro mapy států/kotietů. Pro celý svět se epožívá, začé úhlové zkresleí. Požito v Křovákově zobrazeí. Podmíka: d mp mr d d d l ltg 45) c l ltg 45) c l l ltg 45) ltg 45) tg 45 l l tg 45 Zobrazovací rovice: tg tg ε v 45 ) 45 ) Kartogr. zkresleí: m p m P m ω r

23 . Volba kostat zobrazeí, N a) ezkresleá rovoběžka Délkové zkresleí a zvoleé rovoběžce, tečý kžel. cotg si ) jde středem území: m rs >m rj Zkresleí roste a sever rychleji ež a jih. Proto je vhodé volit ezkresleo rovoběžk severěji. ) Stejé zkresleí a okrajových rovoběžkách m rs m rj s s j tg 45) tg 45) s j tg 45) s tg 45) log s log j log j tg 45 )) log tg s 45 )) j j

24 3. Volba kostat zobrazeí, N b) ezkresleé rovoběžky a Dáy a Podmíka: m r m r. tg tg tg tg tg tg ) 45 ) 45 ) 45 ) 45 )) 45 log )) 45 log log log r r tg tg tg tg tg tg m m ) 45 ) 45 ) 45 ) 45 ) 45 ) 45 Jak zvolit hodot?: jde středem území Stejé zkresleí ve střed území a a okraji až a zaméko)

25 4. Volba kostat zobrazeí, N ) jde středem území: Zkresleí roste a sever rychleji ež a jih. Zkresleí a této rovoběžce ebde miimálí. Miimálí zkresleí a rovoběžce severě od. ) Stejé zkresleí a okrajových rovoběžkách m rs m rj Zkresleí a okraji území: m rs m rj c. Zkresleí ve střed území: m r m rj -c. m m rs r c m c rj mrs mr s s log log log tg 45 )) log tg 45 )) tg 45) tg 45)) tg 45))

26 5. Ukázka zeměpisé sítě kželového koformí zobrazeí, N Geografická síť. Normálí poloha, N.: 45, <-8,8>.

27 6. Ukázka evideformát m r kželového koformího zobrazeí, N Geografická síť ekvideformáty. Normálí poloha, 45, <-8,8>. Ekvideformáty m r, krok, Iterval <,7>.

28 7. Ukázka evideformát m r kželového koformího zobrazeí, N Geografická síť ekvideformáty. Normálí poloha,, 4, <-8,8>. Ekvideformáty m r, krok, Iterval <,7>.

29 8. Kželové koformí zobrazeí, N Ukázka zobrazovacích rovic: X *)/ log))-log)))/logtg/45))- logtg/45))))*tg/45)/tgarcsilog))- log)))/logtg/45))-logtg/45)))))/45))^ log))- log)))/logtg/45))-logtg/45))))*-tgarcsilog))- log)))/logtg/45))- logtg/45)))))/45)/tg/45)))^log))-log))) /logtg/45))-logtg/45))))*log))-log))) /logtg/45))-logtg/45))))*v)) Y*)/ log))-log)))/logtg/45))- logtg/45))))*tg/45)/tgarcsilog))- log)))/logtg/45))-logtg/45)))))/45))^ log))- log)))/logtg/45))-logtg/45)))) *tgarcsilog))- log))) /logtg/45))- logtg/45)))))/45)/tg/45)))^log))-log))) /logtg/45))-logtg/45)))) *silog))- log)))/logtg/45))-logtg/45))))*v)

30 9. Kželové ekvivaletí zobrazeí Vlastosti: Vzdáleosti obrazů rovoběžek se směrem k pól zmešjí Vzdáleosti obrazů poledíků stejé Pól se zobrazí jako část kržice/bod Zobrazovací rovice: Často požíváo pro zázorňováí kotietů Podmíka: m p m r d d d d si c si c si si si si ) si si ) ε v Měřítka: m m p r

31 3. Volba kostat zobrazeí, N, N a) ezkresleá rovoběžka Délkové zkresleí a zvoleé rovoběžce, tečý kžel. cotg si b) ezkresleé rovoběžky, Vziká sečý kžel, jde přibližě středem území, a sever větší zkresleí ež a jih. Podmíka: m r m r. Tzv. Albersovo zobrazeí. [ si si )] [ si si )] si si si si )

32 3. Volba kostat zobrazeí, pólbod c) Pól jako bod Ve většiě případů se pól zobrazí jako kržicový oblok. Můžeme požadovat, aby se pól zobrazil jako bod, tj. krhový oblok o lovém poloměr. Volíme ezkresleo rovoběžk. Platí: si k si 9 k k si si ) Volba : m r si si si ),

33 3. Ukázka Lambertova kželového zobrazeí.

34 33. Ukázka evideformát m r kželového ekvivaletího zobrazeí, N Geografická síť ekvideformáty. Normálí poloha, 45. Ekvideformáty m r, krok.5, Iterval <,3.5>.

35 34. Ukázka evideformát m r kželového ekvivaletího zobrazeí, N Geografická síť ekvideformáty. Normálí poloha,, 4. Ekvideformáty m r, krok.5, Iterval <,>.

36 35. Ukázka evideformát m r kželového ekvivaletího zobrazeí, PB Geografická síť ekvideformáty. Normálí poloha, 45. Ekvideformáty m r, krok.5, Iterval <,3.5>.

37 36. Křovákovo zobrazeí Pojmeováo po miisterském radovi ig. Josef Křovákovi. Nejedá se o jedo zobrazeí, ale o kombiaci dvo zobrazeí Vlastosti: Koformí zobrazeí Kžel v obecé poloze Návrh odráží tvar území: protáhlý a mírě zakřiveý Dvojité zobrazeí: elipsoid->kole: Gassovo koformí zobrazeí z elipsoid a koli. kole->rovia: Lambertovo koformí kželové zobrazeí. Základem S-JTSK Požití: Státí mapa odvozeá SMO-5 Základí mapa Č v měřítk :, :5, :, : ZABAGED DKM v měřítk : Poze Č a S.

38 37. Schéma Křovákova zobrazeí Postp zobrazeí: ) Besselův elipsoid zobraze koformě a Gassov koli ) Zeměpisé sořadice přetrasformováy a kartografické vzhledem ke Křovákem zvoleém kartografickém pól. 3) Koformí zobrazeí Gassovy kole a plášť kžele. 4) Trasformace polárích sořadic a pravoúhlé.

39 38. Křovákovo zobrazeí, postp eferečí plochy: Besselův elipsoid: a ,55 m b ,9633 Gassova kole: 63873,65m Zobrazeí: ) Koformí zobrazeí referečího elipsoid a Gassov koli Požito Gassovo koformí zobrazeí elipsoid/kole. Hodotě ezkresleé rovoběžky ϕ 49 3 s.š. odpovídá a koli ,8465 s.š. tg 45) v αλ λ λ F F ϕ esiϕ tg 45) k si e ϕ Zeměpisá délka odečítáa od Ferra. Pokd eí λ ke Grewichi, pos o ,. e α Kostaty zobrazeí: α, k, m N: ϕ 49 3 s.š.

40 39. Křovákovo zobrazeí, postp ) Trasformace zeměpisých sořadic a koli a sořadice kartografické Kartografický pól rče z bod A, který představoval ejvýchodější bod zázorěý a mapě :75. Elipsoid: ϕ A [48 5 s.š.], λ A [4 3 v.d.f]. Kole: A [48 4,6969 s.š.], v A [4 3 3,475 v.d.f]. Kartografický pól leží a stejém poledík, ale severěji. k [59 4 4,6969 s.š.], v k [4 3 3,475 v.d.f]. Pro převod požity vztahy sférické trigoometrie: si š si si k si d si vk v) š k v k v)

41 4. Křovákovo zobrazeí, postp 3. Koformí zobrazeí Gassovy kole do roviy Požito Lambertovo koformí kželové zobrazeí s jedo ezkresleo kartograficko rovoběžko š. Kartografický pólobraz vrchol kžele. Vrchol kžele ízko ad teréem, cca 3 km. Kostaty zobrazeí: 9839,46 m š 78 3 sišo) Zobrazovací rovice: tg tg ε d š š 45 ) 45 )

42 4. Křovákovo zobrazeí, postp 4. Trasformace polárích sořadic a pravoúhlé. Počátek sořadicového systém v obraz vrchol kžele, pade do Estoského záliv. Českoslovesko v prvím kvadrat, obě sořadíce kladé. Osa x: Obraz základího poledík λ 4 3 Orietace a jih. Osa y: Kolmá a x, Orietace a západ. x ε y siε y<x a celém území Orietace os ikátí, problém při práci se zahraičím software.

43 4. Křovákovo zobrazeí a Českoslovesko Saha miimalizovat délkové zkresleí: Kžel v ormálí poloze: zkresleí 4 cm/km, pás široký 3, 4 km Kžel v obecé poloze: zkresleí 4 cm/km, žší pás 3, 8 km Požití mltiplikačí kostaty k.9999, sížeí délkového zkresleí a 4 cm/km okraje, -cm km a ezkresleé rovoběžce.

44 43. Křovákovo zobrazeí a Českoslovesko Volba pás v ormálí a obecé poloze Kartografický pól byl rče Křovákem empiricky, kržítkem.

45 44. Křovákovo zobrazeí, zkresleí Zobrazeí je koformí, plošé zkresleí je kvadrátem délkového zkresleí. Délkové zkresleí vziká při zobrazeí elipsoid a koli zaedbatelé) a při zobrazeí kole do roviy. Délkové zkresleí roste a sever a a jih od ezkresleé rovoběžky. Zmešeí vliv délkového zkresleí: Aby se miimalizoval vliv délkového zkresleí, požil křovák mltiplikačí kostat k Přeásobeí poloměr kole emá a zkresleí vliv v literatře mylě váděo), zkresleí ivariatí vůči poloměr, Zkresleí a základí rovoběžce klese o /. Důsledek: Vziko ezkresleé rovoběžky, ačkoliv ejde o sečý kžel. Původí ávrh: absoltí hodota zkresleí a celém území cm/km se epodařilo dodržet. Výpočet zkresleí řado:,9999 cotg š 9839,46m š m r,9999 cotg š š m, [km] 3 4,35,8

46 45. Meridiáová kovergece Důsledek sbíhavosti poledíků. Úhel mezi obrazem poledík a rovoběžko s oso x. Severí směr a mapě eí totožý se sktečým severem. c ε ξ ε polárí sořadice bod ξ úhel mezi obrazem zeměpisého a kartografického poledík. Vzhledem k tom, že je zobrazeí koformí úhel se v zobrazeá ezkreslí), lze s požitím sférické trigoometrie psát: siξ si8 d) siξ k k si8 d) Výpočet lze realizovat i pomocí řady: c,857 y,373 Hodoty meridiáové kovergece pro Č kolem 7 stpňů!!! y x [km]