Aplikovaná matematika IV (NMAF074) LS 2014/15
|
|
- Tomáš Michal Pravec
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Aplikovaná matematika IV (NMAF74) Mirko Rokyta (KMA MFF UK) LS 24/5 2 Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 2. Základní termíny 2.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar 3 22 Základní vlastnosti distribucí Temperované distribuce Derivování distribucí, násobení distribuce funkcí Lineární transformace distribucí 9 23 Fourierova transformace 23. Fourierova transformace funkcí 23. Fourierova transformace distribucí 4 24 Parciální diferenciální rovnice Rovnice vedení tepla Vlnová rovnice Laplaceova-Poissonova rovnice Transportní rovnice, metoda charakteristik Fourierova metoda rozdělení proměnných Laplaceova transformace Laplaceova transformace funkcí Laplaceova transformace distribucí 29 Tabulka nejběžnějších Laplaceových transformací Aplikace L.T. na řešení ODR 3 26 Některé speciální funkce Gamma funkce Beta funkce Besselovy funkce Hypergeometrická řada 36
2 Tento učební text vznikl jako doplněk k přednášce Aplikovaná matematika IV (NMAF74), kterou jsem v letním semestru akademického roku 24/5 vedl na MFF UK a vychází z textu, který vznikl v akademickém roce 2/2, kdy jsem tuto přednášku měl poprvé. Text rozhodně není úplným záznamem přednášky, obsahuje pouze definice a znění všech vět a tvrzení a některé příklady a poznámky. Neobsahuje komentáře, podrobnější poznámky a příklady a zejména důkazy vět a tvrzení, apod. Text rovněž neprošel podrobnějším korekturním čtením, proto je možné, že obsahuje překlepy či chyby. Upozornění na jakýkoli nedostatek bude vítáno na adrese rokyta@karlin.mff.cuni.cz Text je možno nalézt v elektronické podobně na M. Rokyta, 2-25
3 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 2: Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 2 Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 2. Základní termíny Definice. Vektor tvaru α = (α,...,α m ), kde α j N {}, j =,...,m, nazvu m-dimenzionálním multiindexem výšky (někdy též řádu) α, kde α := α + + α m. Definice. Pro multiindex α = (α,...,α m ) a funkci u C α (Ω), kde Ω R d je neprázdná otevřená množina, definujeme derivaci u dle multiindexu α, v bodě x Ω, D α u(x) := x α α u(x)... xαm m, x = (x,...,x d ) Ω. () Pro k N {} zavádíme množinu (často se říká "formální vektor") všech parciálních derivací řádu k funkce u C k (Ω), v bodě x Ω, pro f : G R m R s píšeme podobně jako výše D (k) u(x) := {D α u(x); α = k}, D α f(x) := ( D α f (x),...,d α f s (x) ) T, D (k) f(x) := {D α f(x); α = k}. Definice. Bud te d,n N, d 2. Bud dále Ω R d neprázdná otevřená množina. Parciální diferenciální rovnicí (dále PDR) pro neznámou funkci u : Ω R nazvu výraz tvaru F ( x,u(x),du(x),,d (n ) u(x),d (n) u(x) ) =, (2) kde je daná funkce. F : Ω R R d R dn R dn R (3) Poznámka. Řádem rovnice (2) rozumíme řád nejvyšší derivace u, která "se vyskytuje" v (2). BÚNO: řád (2) je n. Definice. Bud te s,d,n N, s,d 2. Bud dále Ω R d neprázdná otevřená množina. Systémem s parciálních diferenciálních rovnic pro neznámou vektorovou funkci u : Ω R s nazvu výraz tvaru F ( x, u(x),d u(x),,d (n ) u(x),d (n) u(x) ) =, (4) kde F : Ω R s R sd R sdn R sdn R s (5) je daná funkce. Poznámka. Jedna ze složek proměnné x hraje často význačnou roli tzv. časové proměnné, t. V takové situaci píšeme u = u(x,t), x = (x,...,x d ), abychom tuto význačnou časovou proměnnou t oddělili od prostorové proměnné x. Někdy však také pro úsporu času ponecháváme časovou proměnnou jako jednu ze složek časoprostorové proměnné x, tedy například u = u(x), x = (x,...,x d,t), (t x d+ ).
4 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 2: Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 2 Terminologie: Říkáme, že PDR (nebo systém PDR) je stacionární: hledané řešení není závislé na čase; nestacionární (evoluční): hledané řešení závisí na čase. Definice. tvaru Parciální diferenciální rovnici (dále jen "rovnici") (2) nazveme lineární, lze-li ji psát ve α n a α (x)d α u(x) = f(x), x Ω, (6) pro dané funkce a α, f. Rovnici (6) nazveme homogenní, pokud f. V opačném případě jí říkáme nehomogenní, případně "s pravou stranou". Jsou-li všechny funkce a α konstantní, nazýváme rovnici (6) lineární rovnicí s konstantními koeficienty. Definice. Rovnici (2) nazveme semilineární, lze-li ji psát ve tvaru a α (x)d α u = f, x Ω, (7) α =n pro dané funkce a α, f = f(x,u,du,...,d (n ) u). Rovnici (2) nazveme kvazilineární, lze-li ji psát ve tvaru a α (x,u,du,...,d (n ) u)d α u(x) = f, x Ω, (8) α =n pro dané funkce a α, f = f(x,u,du,...,d (n ) u). Definice. Rovnici (2) nazveme nelineární, pokud není lineární. Rovnici (2) nazveme ryze nelineární, je-li funkce F v (2) nelineární funkcí v některé z proměnných, do kterých dosazujeme nějakou derivací u nejvyššího řádu. Příklad. Bud u = u(x,t), t (, ), x R d. Potom následující evoluční PDR lze charakterizovat takto: ( ) u t + x 2 x + cos u = je lineární (homogenní) rovnice 2. řádu, s nekonstantními koeficienty; x 2 + u t + ( x 2 + sin ( u 2 + u x ) 2 ) u = je nelineární, a přitom kvazilineární rovnice 2. řádu; u t + x2 u + sin ( u 2 + u x) 2 = je nelineární, a přitom semilineární rovnice 2. řádu; u t + ( u)2 = je ryze nelineární rovnice 2. řádu; u t + d a j (x,t,u) u x j = f(x,t,u) je nelineární, a přitom kvazilineární,. řádu. j= Příklad 2 (Základní lineární PDR). Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Laplaceova rovnice: u = ; Laplaceova-Poissonova rovnice: u = f(x);
5 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 2: Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 3 Helmholtzova rovnice: u = λu; Neznámá funkce u = u(x,t), t (, ), x Ω R d : Rovnice vedení tepla: u t a2 u = f(x,t); a > ; Vlnová rovnice: c 2 2 u t 2 u = f(x,t); c > ; Rovnice lineárního transportu: u t + a(x,t) u = f(x,t); Příklad 3 (Některé nelineární PDR). Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Nelineární Poissonova rovnice: u = f(u); ( ) u Rovnice minimální plochy: div = ; + u 2 Neznámá funkce u = u(x,t), t (, ), x Ω R d : Rovnice reakce-difuse: u t a2 u = f(u); a > ; Rovnice porézního média: u t a2 (u γ ) = ; a > ; Nelineární vlnová rovnice: c 2 2 u t 2 div( a( u)) = f(x,t); c > ; 2.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar Uvažujme lineární diferenciální rovnici druhého řádu, s konstantními koeficienty d i,j= a ij 2 u + x i x j d j= b j u x j + cu = f(x), (9) x Ω (neprázdná otevřená množina), a ij,b j,c R. Uvažujeme-li u C 2 (Ω) je,...,d, lze proto BÚNO předpokládat a ij = a ji i,j,=,...,d. 2 u x i x j = 2 u x j x i i,j,= Matice A = (a ij ) d i,j,= je proto reálná a symetrická, a tedy diagonalizovatelná (přičemž její vlastní čísla jsou reálná). Proto existují regulární (a ortogonální) matice P a diagonální matice D = diag(γ j ) d j= takové, že P A P T = D. () Zavedeme-li nyní novou proměnnou y substitucí přejde (9) v d j= γ j 2 u y 2 j + y = P x, () d j= β j u y j + αu = f(y), (2) přičemž podle zákona setrvačnosti kvadratických forem je počet prvků γ j na diagonále matice D, které jsou rovny nule, resp. kladné, resp. záporné, invariantní, tedy nezávisí (až na pořadí) na konkrétní transformaci (). Rozložení znamének prvků γ j na diagonále matice D tedy určuje typ studované rovnice. Tvar (2) nazýváme kanonickým tvarem rovnice (9).
6 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 2: Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 4 Definice (Klasifikace diferenciálních rovnic druhého řádu). Bud matice D = diag(γ j ) d j= jako výše a N počet nenulových γ j. Řekneme, že rovnice (9) je:. eliptická, jestliže N = d a znaménka všech prvků matice D jsou stejná. Typickým zástupcem je Poissonova rovnice: u = f. 2. hyperbolická, jestliže N = d a všechna znaménka prvků D jsou stejná až na jedno. Typickým zástupcem je vlnová rovnice: 2 u t 2 u = f. 3. parabolická, jestliže je N = d, (BÚNO γ d = ), všechna znaménka nenulových prvků D jsou stejná a koeficient rovnice (9) u u x d je nenulový a má znaménko opačné. Typickým zástupcem je rovnice vedení tepla: u t u = f. Poznámka. Pro úplnost doplňujeme někdy výše zmíněnou klasifikaci i o následující dva typy rovnic (pak jsou všechny rovnice druhého řádu klasifikovány): Řekneme, že rovnice (9) je: parabolická v širším slova smyslu, jestliže N d. ultrahyperbolická, jestliže N = d a alespoň dvě znaménka prvků D jsou kladná a alespoň dvě záporná. Poznámka. Transformační matici P lze volit tak, aby na diagonále matice D byla pouze čísla {,, }. Matici P pak již nelze nalézt ortogonální, bude pouze regulární. Cvičení. Ukažte: bud au xx + bu xy + cu yy + αu x + βu y + γu = f (3) lineární rovnice s konstantními koeficienty v R 2, pro kterou je alespoň jedno z čísel a,b,c, nenulové. Potom je rovnice (3) eliptická b 2 4ac < ; parabolická (v širším slova smyslu) b 2 4ac = ; hyperbolická b 2 4ac >. Poznámka. Existují také transformace, které z rovnice (2) umějí odstranit některé členy nižšího řádu. Pomocí těchto postupů (včetně vytvoření čísel,, na diagonále) se lze vždy pomocí sady transformací dopracovat k následujícímu typickému představiteli jednotlivých základních typů rovnic druhého řádu: Eliptický případ: u + ku = f; Hyperbolický případ: 2 u t 2 u + ku = f; Parabolický případ: u t u = f. V eliptickém a hyperbolickém případě nelze obecně zaručit, že k =. Nelze tedy například převést Helmholtzovu rovnici na rovnici Laplaceovu a naopak.
7 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22. Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající (v nekonečnu), pokud pro libovolný multiindex α a libovolné q N := N {} platí sup ( + x 2 ) q D α ϕ(x) <. () x R m Prostoru těchto funkcí říkáme Schwartzův prostor (nebo prostor rychle klesajících funkcí) značíme S (R m ), resp. pouze S, není-li hodnota m podstatná. Poznámka. e x 2 S (R m ); S (R m ) L (R m ). Definice. Řekneme, že posloupnost ϕ n S (R m ) konverguje v prostoru S (R m ) k funkci ϕ S (R m ), pokud ( + x 2 ) q D α (ϕ n (x) ϕ(x)) (2) pro libovolný multiindex α a libovolné q N. V této situaci píšeme ϕ n S ϕ. Poznámka. Pro q N lze na S (R m ) definovat normu řádu q předpisem ϕ q := Tedy např. ϕ = sup x R m ϕ(x). Platí: ϕ ϕ ϕ 2 Platí: ϕ n S ϕ ϕn ϕ q q N. sup ( + x 2 ) q D α ϕ(x). x R m, α q Definice. Temperovanou (Schwartzovskou) distribucí na R m nazveme libovolný spojitý lineární funkcionál na S (R m ), tedy zobrazení T : S (R m ) C, které je lineární a navíc pro libovolnou posloupnost ϕ n S (R m ) splňuje Prostor temperovaných distribucí na na R m značíme S (R m ). ϕ n S ϕ = T(ϕn ) T(ϕ). (3) Poznámka. Díky linearitě T je podmínka (3) ekvivalentní podmínce ϕ n S = T(ϕn ). Definice. Bud te T,T 2 S (R m ). Řekneme, že T = T 2 v S (R m ), pokud T (ϕ) = T 2 (ϕ) pro všechna ϕ S (R m ). Poznámka. Zvažte tuto analogii: Funkce f je zobrazení; informaci o něm získáváme např. tak, že funkci vyčíslíme v bodech x (hodnoty f(x) jsou čísla). Distribuce T je zobrazení; informaci o něm získáváme např. tak, že distribuci vyčíslíme v "bodech" ϕ (hodnoty T(ϕ) jsou čísla). Definice. Řekneme, že funkce f : R m C je pomalu rostoucí (v nekonečnu), pokud: K f dx < pro každý kompakt K Rm ; existuje R > a polynom p(x) takový, že f(x) p(x) pro všechna x R m, x > R.
8 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 6 Tedy jde o tzv. lokálně integrovatelné funkce s nejvýše polynomiálním růstem (v nekonečnu). Příklad (Důležitý!). Je-li f pomalu rostoucí v nekonečnu a ϕ S (R m ), potom T f (ϕ) := f(x)ϕ(x) dx (4) R m je (temperovaná) distribuce. Říkáme jí distribuce generovaná funkcí f. Každou takovou distribuci nazýváme regulární distribuce. Poznámka. Vztah (4) ukazuje způsob, jakým je možné na každou funkci (pomalu rostoucí v nekonečnu) pohlížet jako na (regulární) temperovanou distribuci. Pro regulární distribuce často ztotožňujeme T f f. Další příklady (temperovaných) distribucí Diracova (resp. posunutá Diracova) distribuce: δ(ϕ) := ϕ(), resp. δ a (ϕ) := ϕ(a), a R m. Distribuce "v.p. x " S (R): v.p. ϕ(x) x (ϕ) := lim ε + x ε x dx. Plošná distribuce ν r S (R m ), r > : ν r (ϕ) := ϕ(x) ds, S r() kde S r () = {x R m ; x = r}. Uvedené tři distribuce jsou neregulární Derivování distribucí, násobení distribuce funkcí Definice. Bud T S a α multiindex. Potom definujeme α-tou derivaci T ve smyslu distribucí jako distribuci D α T splňující D α T(ϕ) := ( ) α T(D α ϕ). (5) Poznámka. Každá distribuce má všechny derivace všech řádů a všechny smíšené parciální derivace jsou si rovny (jsou záměnné). Je-li T f regulární distribuce a funkce f, která ji generuje, má ve všech bodech x R m vlastní klasickou derivaci f (x), platí (T f ) = T f, tedy je "derivace ve smyslu distribucí rovna klasické derivaci". Příklad 2. Funkce sgn má klasickou derivaci rovnou nule pro všechna x, a derivace v nule neexistuje vlastní. Ve smyslu distribucí platí (sgn) = 2δ. Poznámka. Je-li T f f regulární distribuce generovaná funkcí f a funkce f má vlastní klasickou derivaci f (x) ve skoro všech bodech x R m, označujeme tuto klasickou derivaci [f ], zatímco pro distributivní derivaci zůstane vyhrazen symbol f. V předchozím příkladu tedy lze psát (sgn) S = [(sgn) ] + 2δ = [] + 2δ = 2δ.
9 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 7 Věta 22.. Bud a R, f C n( (,a) (a, ) ), přičemž všechny její derivace až do řádu n včetně jsou pomalu rostoucí na R. Necht dále existují vlastní Potom s k := [f (k) ](a+) [f (k) ](a ), k =,,...,n. f (n) S = [f (n) ] + s n δ a + s n 2 δ a + s δ (n ) a. Definice. Bud te T,S S, bud te dále α,β C. Pak definujeme (αt + βs)(ϕ) := T(αϕ) + S(βϕ), ϕ S. (6) Definice. Bud T S, f C, jejíž všechny derivace jsou pomalu rostoucí funkce. Pak lze definovat součin funkce f a distribuce T předpisem Poznámka. Obecně nelze definovat násobení dvou distribucí. Cvičení. Ukažte, že platí: xδ S = x v.p. x xδ S = δ S = e iax δ S = δ iaδ (Tf)(ϕ) = (ft)(ϕ) := T(fϕ), ϕ S. (7) Poznámka. Pokud by bylo definováno (asociativní a komutativní) násobení dvou distribucí, muselo by platit δ = δ = δ (x v.p. x ) = (x δ) v.p. x = v.p. x =. Věta Bud L obyčejný lineární diferenciální operátor n-tého řádu s konstatními koeficienty, tj. Ly := a n y (n) + + a y + a y, a j C, a n. (8) Bud y C n( (,) (, ) ), s pomalu rostoucími derivacemi. Necht y = y R pro x > a y = y L pro x <, přičemž L(y R ) = pro x > a L(y L ) = pro x <. Necht dále existují vlastní limity y (k) (+) = y(k) ( ) pro k =,...,n 2, a navíc necht y(n ) (+) y (n ) ( ) = s. Potom Ly S = a n sδ. Definice. Bud L (jakýkoli, tj. i parciální) lineární diferenciální operátor n-tého řádu. Distribuci y S (R m ) nazýváme fundamentálním řešením operátoru L, pokud platí Ly S = δ. Poznámka. Předchozí věta umožňuje nalézt fundamentální řešení operátoru L z (8) nalezením funkce y, splňující podmínky skoků v nule pro s = /a n. S Později uvidíme, že pokud je Ly = δ a y := y f (pokud operace " ", tzv. konvoluce, má smysl), bude y splňovat rovnici Ly S = f. Poznámka. Postup hledání fundamentálního řešení operátoru L z (8):
10 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 8 nalezneme klasické řešení úlohy Ly =, separátně pro x > a x < ; na x > resp. x < vybereme obecná řešení y R resp. y L, která jsou pomalu rostoucí spolu se všemi svými derivacemi; tato řešení "slepíme" v nule tak, aby y (k) R y (n ) R (+) y (n ) L ( ) = /a n ; (+) = y(k) L ( ) pro k =,...,n 2, a navíc aby y := y R pro x > resp. y := y L pro x < je potom fundamentálním řešením operátoru L. Cvičení. Nalezněte y S (R) splňující rovnici y + k 2 y = δ, k >. Ukažte, že funkce y := x n (n )! x > x < je fundamentálním řešením operátoru Ly = y (n), n N. Lemma 22.3 (Laplaceův operátor pro sféricky symetrické funkce). Bud f(x) = R( x ) = R(r) sféricky symetrická funkce, f C 2 (R m ), m N. Potom pro všechna x R m, x, platí f(x) = R (r) + m R (r). (9) r Chování v nule popisuje následující věta. Věta Necht v situaci předchozího lemmatu platí navíc, že funkce R,R,R jsou pomalu rostoucí na R a necht dále existuje vlastní limita Potom kde klasický Laplaceův operátor [ f] je dán vztahem (9) pro x, a je povrch jednotkové sféry v prostoru R m. lim r + rm R (r) = A. () Poznámka. Mějme k N. Pro m = 2k je Γ( m 2 ) = Γ(k) = (k )!, a tedy f S = [ f] + Aκ m δ, () κ 2k = κ m = 2π m 2 Γ( m 2 ) (2) 2πk (k )!, k N. Pro m = 2k+ je Γ( m 2 ) = Γ(k + 2 ) = (k 2 )(k 3 2 ) 2 Γ( 2 ) = = (2k)! 2 2k k! π, a tedy κ 2k+ = 22k+ k!π k (2k)! Odtud κ 2 = 2π, κ 3 = 4π, κ 4 = 2π 2, κ 5 = 8 3 π2, κ 6 = π 3,..., k N.
11 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 9 Příklad 3 (Důležitý!). Ukažte, že pro m N, m > 2 platí ( ) S x m 2 = (2 m)κ m δ, zatímco pro m = 2 je (ln x ) S = 2πδ. Odvod te odtud tvar fundamentálních řešení Laplaceova oparátoru v dimenzích 2, 3, 4,... Definice (distribuce s kompaktním nosičem). Řekneme, že T S (R m ) má kompaktní nosič, pokud existuje kompakt K R m takový, že ϕ S (R m ), ϕ = na K = T(ϕ) =. (3) Množinu distribucí s kompaktním nosičem značíme S K (Rm ). Nejmenší kompaktní množinu s vlastostí (3) nazveme nosičem distribuce T a značíme supp (T). Příklad 4. δ a S K (Rm ) pro všechna a R m, supp (δ a ) = {a}; T := δ 3 + δ 4 S K (R), supp (T) = { 4,3}; je-li Y (x) Heavisideova funkce, je Y (x)y ( x) (regulární) distribuce s kompaktním nosičem, Lineární transformace distribucí Motivace: Pro x R m uvažujme lineární transformaci y := A x, kde A M m m je regulární matice. Uvažujme regulární distribuci T, generovanou funkcí f = f(x), tj. T(ϕ) = R f(x)ϕ(x) dx, a dále m transformovanou regulární distribuci T, generovanou funkcí f(y) = f(a y), tj. T f(ϕ) = T(ϕ) = f(y)ϕ(y) dy = f(a y)ϕ(y) dy. R m R m Pomocí věty o substituci (y=a x, dy= det A dx) je T(ϕ) = f(a y)ϕ(y) dy = R m f(x)ϕ(ax) deta dx. R m To nás motivuje k následující definici. Definice (lineární transformace distribucí). Bud T S (R m ) a A M m m bud regulární matice. Definujeme ÃT S (R m ), distribuci lineárně transformovanou maticí A, předpisem ÃT(ϕ) := deta T(ϕ(Ax)), ϕ S (R m ). (4) Poznámka. Ãδ = deta δ, nebot pro všechna ϕ S je: Ãδ(ϕ) = δ(ϕ(ax)) det A = ϕ() deta = deta δ(ϕ). Odtud plyne, že je-li A M m m regulární matice splňující deta =, pak Ãδ = δ. Protože taková matice reprezentuje otočení, plyne odtud, že Diracova distribuce je invariantní vůči otočení souřadné soustavy. Definice. Řekneme, že T S (R m ) je sféricky symetrická distribuce, pokud platí ÃT = T pro všechny regulární matice A M m m, splňující deta =.
12 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí Cvičení. Nalezněte fundamentální řešení jednorozměného vlnového operátoru, tj. u S (R 2 ), u = u(x,t), splňující c 2 u tt u xx = δ, c >. Návod: pomocí transformace souřadnic ξ = ct x, η = ct + x převed te rovnici na u ξη = c 2 δ; ukažte, že rovnici u ξη = c 2 δ řeší funkce, která je rovna c 2 pro {ξ & η } a jinde je nulová; odvod te odtud, že fundamentálním řešením jednorozměného vlnového operátoru je funkce u, která je rovna c 2 pro { ct x ct} a jinde je nulová.
13 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 23: Fourierova transformace 23 Fourierova transformace 23. Fourierova transformace funkcí Fourierova transformace funkcí je jednou z takzvaných intergrálních transformací, které přiřazují jedné funkci jinou funkci prostřednictvím integrálu s parametrem: f f(x) K(x, ξ) dx M }{{} integrační jádro Fourierova transformace funkcí je charakterizována integračním jádrem typu c exp(±c 2 i(x, ξ)), kde c >, c 2 > jsou reálné konstanty a (x, ξ) = m j= x jξ j je skalární součin v R m. Konkrétní tvary Fourierovy transformace se liší volbou znaménka a konstant c, c 2 (různí autoři používají různé volby). Nejběžnější volbou je exp( i(x, ξ)) nebo exp( 2πi(x, ξ)). (2π) m Definice (F.T. a zpětná F.T.). Bud f L (R m ). Definujeme Fourierovu transformaci (někdy též přímou nebo "dopřednou") Fourierovu transformaci funkce f předpisem F[f](ξ) f(ξ) := f(x)e 2πi(x,ξ) dx; () R m zpětnou Fourierovu transformaci funkce f předpisem F [f](ξ) f (ξ) := f(x)e 2πi(x,ξ) dx. (2) R m Poznámka. Je vidět, že f(ξ) = f ( ξ), resp. f( ξ) = f (ξ). POZOR! Obecně F [F[f]] f! Tento vztah platí jen pro některé třídy funkcí (časem budeme specifikovat pro jaké). Funkci f nazýváme též Fourierovým obrazem funkce f, funkci f nazýváme též Fourierovým vzorem funkce f. Ve smyslu předchozí poznámky tedy ne vždy platí, že vzor obrazu nějaké funkce je tatáž funkce. Poznámka. Obecně lze ukázat, že pokud 2πAB = c, tvoří transformace f(ξ) := A m R m f(x)e ci(x,ξ) dx (3) a f (ξ) := B m R m f(x)e ci(x,ξ) dx (4) vzájemně kompatibilní dvojici dopředné a zpětné Fourierovy transformace. (Napište jako cvičení některé z nich: nejběžnější volby jsou (a) A = B =, c = 2π, (b) A = B = 2π, c =, resp (c) A = c =, B = 2π.) Věta 23. (vlastnosti symetrie pro F.T.). lichá) v proměnné ξ j.. Je-li f sudá (resp. lichá) v proměnné x j, je f i f sudá (resp. 2. Je-li m =, je f(ξ) = f(ξ) = i cos(2πxξ)f(x) dx pro f sudou, (5) sin(2πxξ)f(x) dx pro f lichou. (6)
14 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 23: Fourierova transformace 2 3. Je-li f sféricky symetrická, je f i f sféricky symetrická a platí f = f. Věta 23.2 (F.T. v R 3 ). Bud f L (R 3 ) sféricky symetrická funkce, f(x) = R(r), r = x. Potom f(ξ) = 2 ξ Věta 23.3 (posunutí a škálování). Platí: r R(r) sin(2πr ξ )dr, ξ. (7) f(x+z)(ξ) = e 2πi(ξ,z) f(ξ) f(αx)(ξ) = f( ξ ) α m α z R m (8) α R, α. (9) Cvičení. Bud χ, (x) charakteristická funkce intervalu,, tj. funkce, která nabývá na tomto intervalu hodnoty, a mimo něj nabývá hodnoty. Ukažte, že χ, (x)(ξ) = sin(2πξ) πξ. Pomocí tvrzení o škálování (9) ukažte dále, že χ n 2π, n 2π (x)(ξ) = sin(nξ) π ξ. Fourierovy obrazy takto "rozpínajících se charakteristických funkcí" (pro zvětšující se n) jsou tedy tlumeně a "stále více kmitající" sinusovky, které v nule (ve smyslu limity) nabývají hodnoty n. Cvičení. Ukažte, že ê πx2 = e πξ2, tedy že Fourierova transformace (tak, jak jsme ji definovali) zobrazuje funkci e πx2 samu na sebe. [Návod: je ê πx2 (ξ) = e πx2 e 2πixξ dx = e πξ2 e π(x+iξ)2 dx. } {{ } =:A(ξ) Pro výpočet A(ξ) využijte residuovou větu: integrujte funkci e πz2 přes obvod obdélníka o vrcholech R, R, R + iξ, R + iξ a ukažte, že po R dostanete identitu A(ξ) = A(), přičemž víme, že A() =.] Poznámka. Mějme f integrabilní na ( 2, 2 ) a -peridickou. Potom její komplexní Fourierův koeficient je definován jako c n = 2 2 f(x)e 2πinx dx. Pokud tutéž funkci f integrabilní na ( 2, 2 ) dodefinujeme nulou mimo interval ( 2, 2 ), dostaneme pro její Fourierovu transformaci f(ξ) = a tedy s uvedenou konvencí platí c n = f(n). 2 2 f(x)e 2πiξx dx, Poznámka. Uvedená analogie pokračuje takto: pro jisté funkce platí, že jsou rovny své komplexní Fourierově řadě: f(x) = c n e 2πinx, stejně tak bude pro jisté funkce platit f(x) = f(ξ)e 2πixξ dξ = ( f) (x).
15 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 23: Fourierova transformace 3 Věta 23.4 (Věta o inverzi I). Bud S (R m ) prostor rychle klesajících funkcí. Potom Fourierova transformace i zpětná Fourierova transformace zobrazují prostor S (R m ) prostě a na S (R m ): Navíc platí tzv. inverzní formule pro F.T., neboli F(S (R m )) = F (S (R m )) = S (R m ). ( f) (x) = (f )(x) = f(x) x R m, f S (R m ) F [F[f]](x) = F[F [f]](x) = f(x) x R m, f S (R m ). Věta 23.5 (Věta o inverzi II). Je-li f L (R m ), pak existuje f(ξ) ve všech bodech ξ a platí: f C(R m ), f(ξ) f, lim ξ f(ξ) =. Obecně ale nemusí být f prvkem prostoru L (R m ). Je-li f L (R m ) taková, že i f L (R m ), pak inverzní formule pro F.T. platí pro skoro všechna x: neboli ( f) (x) = (f )(x) = f(x) pro s.v. x R m F [F[f]](x) = F[F [f]](x) = f(x) pro s.v. x R m. Definice (konvoluce funkcí). Bud te f, g L (R m ). Pak definujeme jejich konvoluci jako (f g)(x) := f(x y)g(y) dy. () R m Věta 23.6 (základní vlastnosti konvoluce). Pro f, g L (R m ) je f g L (R m ), g f L (R m ), a navíc Věta 23.7 (konvoluce a F.T.). f g = g f. Pro f, g L (R m ) platí f g = f ĝ. Pokud je f, g, f,ĝ, f g L (R m ), platí i f g = f ĝ. Věta 23.8 (vztah F.T., konvoluce a derivace na S ). Bud te f, g S (R m ). Potom i f g S (R m ), g f S (R m ), D α f, D α g S (R m ) (pro jakýkoli multiindex α); navíc platí D α (f g) = (D α f) g = f (D α g) D α xf(ξ) = (2πi) α ξ α f(ξ) Dξ α f(ξ) = ( 2πi) α xα f(x)(ξ) kde pro x = [x,...,x m ], α = (α,...,α m ), definujeme x α := x α xαm m. Cvičení. Nalezněte metodou Fourierovy transformace (jedno, partikulární) řešení ODR y y = e x2. Ukažte, že jediné řešení rovnice y = v prostoru S (R) je identicky nulové řešení. Uvědomte si omezení, které tedy vynucuje metoda Fourierovy transformace, uvažovaná pouze v prostoru S (R).
16 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 23: Fourierova transformace Fourierova transformace distribucí Lemma Bud te f, g S (R m ), potom f(x)g(x) dx = f(x)ĝ(x) dx. () R m R m Definice. Bud T S (R m ). Definujme Fourierovu transformaci resp. zpětnou Fourierovu transformaci distribuce T jako T(ϕ) = T( ϕ), ϕ S (R m ), (2) resp. T (ϕ) = T(ϕ ), ϕ S (R m ). (3) Věta 23.. Fourierova (resp. zpětná Fourierova) transformace je na S (R m ) dobře definovaná, tj. je-li T S (R m ), pak i T, T S (R m ). Fourierova transformace je prosté zobrazení prostoru S (R m ) na prostor S (R m ). Totéž tvrzení platí o i zpětné Fourierově transformaci. Pro všechna T S (R m ) platí ( T) = T = T. Cvičení. Ukažte, že pro T S (R m ) platí T(ϕ(x)) = T (ϕ( x)) a tedy pokud je T(ϕ(x)) = T(ϕ( x)) (těmto distribucím se někdy říká sudé distribuce), pak T = T. Cvičení. Spočtěte: δ = δ =, = = δ, δ a = e 2πiaξ, ê2πiax = δ a, sin x = 2i ( δ δ 2π 2π ). Věta 23. (vztah F.T. a derivace na S ). Bud T S (R m ) a α multiindex; pak resp. D α T = (2πi) α ξ α T, D α T = ( 2πi) α xα T, (D α T) = ( 2πi) α ξ α (T), D α (T) = (2πi) α (x α T). Poznámka (parametrické distribuce). V případě, že T S (R m ) a ϕ = ϕ(x, y), kde x R m, y R k, píšeme místo T(ϕ(x, y)) často pro upřesnění T x (ϕ(x, y)), abychom zvýraznili skutečnost, že "distribuce T působí pouze na proměnnou x funkce ϕ". Výraz T x (ϕ(x, y)) pak obsahuje ještě "volnou proměnnou y". Takovému výrazu se někdy také říká distribuce s parametrem, stejně jako bychom integrálu T(x)ϕ(x, y) dx (pokud by T byla funkce) říkali integrál s parametrem. M
17 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 23: Fourierova transformace 5 Tvrzení Bud T S K (Rm ), tj. distribuce s kompaktním nosičem. Potom T je regulární distribuce, tj. distribuce reprezentovaná funkcí f(ξ), kde f(ξ) ( T(ξ)) = T x (e 2πixξ ). Navíc, f C (R m ) je pomalu rostoucí v nekonečnu. Definice (Tenzorový součin funkcí a distribucí). Tenzorový součin funkcí f L (R m ), g L (R k ), resp. distribucí S S (R m ), T S (R k ) je definován takto: ( ) ( ) f g (x, y) := f(x)g(y), S T (ϕ) := S(T(ϕ(x, y))). x y Věta Pro f L (R m ), g L (R k ), resp. S S (R m ), T S (R k ) platí f g(ξ, η) = f(ξ) ĝ(η), Ŝ T = Ŝ T. Definice (Konvoluce funkcí a distribucí). Konvoluce funkcí f, g L (R m ) (pro zopakování) a distribucí S S, T S K je definována takto: ( ) f g (x) := f(x y)g(y)dy, R ( ) m S T (ϕ) := S(T(ϕ(x + y))). x y Věta 23.4 (Vztah F.T. a konvoluce v distribucích). Bud te S S, T S K. Potom Ŝ T = Ŝ T. Cvičení. Ukažte, že pro T S (R m ) platí: T = ; δ T = T ; D α δ T = D α T. Poznámka. Platí, že pokud studujeme konvoluci n distribucí T,...,T n S (R m ), přičemž alespoň (n ) z nich má kompaktní nosič, je konvoluce T T n komutativní a asociativní. Obecně však nemusí platit ani asociativita: ukažte, že (δ Y ) = Y = δ = zatímco ( δ ) Y = Y =. Věta Bud te S, T S (R m ), přičemž alespoň jedna z nich má kompaktní nosič. Potom (D α S) T = D α (S T) = S (D α T). Věta Bud L lineární diferenciální operátor (obyčejný nebo parciální) s konstantními koeficienty. Necht u je fundamentální řešení operátoru L, tj. necht platí L(u ) S = δ. Bud f S taková, že konvoluce je dobře definovaná v S. Potom u := u f L(u) S = f.
18 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 6 24 Parciální diferenciální rovnice 24. Rovnice vedení tepla Definice (Rovnice vedení tepla). Parciální diferenciální rovnici c(x)ρ(x) u t div(k(x,t,u) u) = f(x,t) () nazýváme obecnou rovnicí vedení tepla. Zde c(x) má význam (bodové) měrné tepelné kapacity, ρ(x) je bodová hustota látky, k(x, t, u) je koeficient tepelné vodivosti a f(x, t) vyjadřuje hustotu tepelných zdrojů. Hodnota řešení u(x, t) pak vyjadřuje hodnotu teploty v čase t a bodě x. Poznámka. Zjednodušený model je charakterizovaný volbami c = ρ =, k = konst. = a 2 >. Potom má rovnice () tvar u t a2 u = f(x,t). (2) Rovnici () resp. (2) často doplňujeme tzv. počáteční podmínkou kde g představuje rozložení počáteční teploty v čase t =. Věta 24. (Fundamentální řešení operátoru vedení tepla). Bud operátor vedení tepla. Potom funkce (viz obrázek) u(x,) = g (x), x R m, (3) L(u) = u t a2 u, a >, (4) G(x,t) := (4πa 2 t) m 2 e x 2 4a 2 t, x R m,t >, (5) je fundamentálním řešením operátoru L. Fundamentální řešení operátoru vedení tepla. Věta 24.2 (Řešení RVT). G(x,t) C (R m (,+ )), lim t + G(,t) = +, lim t + G(x,t) = pro všechna x. R G(x,t) dx = pro všechna t >. m
19 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 7 Je-li g spojitá a omezená na R m, a f spojitá a omezená na R m (,T), pak u(x,t) := g(y)g(x y,t) dy (6) R m t + f(y,τ)g(x y,t τ) dy dτ, R m řeší na R m (,T) rovnici (2), a navíc splňuje počáteční podmínku lim (x,t) (x,+) u(x,t) = g(x ) pro všechna x R m. Poznámka. Úloze, kdy řešíme nějakou evoluční PDR na celém prostoru a pro t >, s počáteční podmínkou (nebo počátečními podmínkami) pro t =, říkáme Cauchyova úloha. Poznámka. S využitím explicitniho tvaru funkce G lze (6) psát jako u(x, t) = g(y)e x y 2 (4πa 2 t) m 4a 2 t dy (7) 2 R m t + f(y,τ)e x y 2 (4πa 2 ) m 2 (t τ) m 4a 2 (t τ) dy dτ, 2 R m případně s využitím operátoru konvoluce jako u(x,t) = g(x) (x) G(x,t) + (f(x,t)y (t)) (x,t) (G(x,t)Y (t)), kde Y je Heavisideova funkce, a index u operátoru konvoluce vyjadřuje, podle kterých proměnných konvoluce probíhá. Poznámka. V jednodimenzionálním případě se často řeší speciální úlohy vedení tepla s tzv. okrajovými podmínkami (a také s počáteční podmínkou pro t = ). Úlohu pro RVT v prvním kvadrantu s počáteční podmínkou g, zadanou pro x >, a okrajovou podmínkou u(, t) = pro t > (tzv. Dirichletova okrajová podmínka, tj. okrajová podmínka předepisující hodnoty funkce), tj. tzv. Dirichletovu úlohu, řešíme tak, že funkci g rozšíříme liše na R a řešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) s takto rozšířenou počáteční podmínkou. Výsledná funkce u splňuje díky lichosti g podmínku u(,t) = pro t >. Poznámka. Úlohu pro RVT v prvním kvadrantu s počáteční podmínkou g, zadanou pro x >, a okrajovou podmínkou u x (,t) = pro t > (tzv. Neumannova okrajová podmínka, tj. okrajová podmínka předepisující derivace funkce), tj. tzv. Neumannovu úlohu, řešíme tak, že funkci g rozšíříme sudě na R a řešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) s takto rozšířenou počáteční podmínkou. Výsledná funkce u splňuje díky sudosti g podmínku u x (,t) = pro t >. Poznámka. Úlohu pro RVT na omezeném intervalu a, b s počáteční podmínkou g, zadanou pro x a,b, a s nulovými okrajovými podmínkami Dirichletova a/nebo Neumannova typu jako výše, řešíme tak, že funkci g rozšíříme sudě vzhledem ke krajnímu bodu, v nemž je předepsána Neumannova podmínka, a liše vzhledem ke krajnímu bodu, v nemž je předepsána Dirichletova podmínka. Poté ji rozšíříme periodicky na celé R a řešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) s takto rozšířenou počáteční podmínkou. K vyřešení této úlohy využijeme následující tvrzení. Tvrzení 24.3 (vedení tepla na tyči). Necht g(x) = n Z b ne 2π p inx je p-periodická, po částech hladká omezená funkce na R. Potom funkce u(x,t) := n Z b n e 4π 2 p 2 a2 n 2 t 2π e p inx je řešením Cauchyovy úlohy pro rovnici vedení tepla s počáteční podmínkou g. Navíc, je-li g lichá (resp. sudá) vzhledem k bodu a R, je u(a,t) = pro t > (resp. u x (a,t) = pro t > ).
20 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 8 Cvičení. Řešte úlohu vedení tepla na R m, m 2, s nulovou počáteční podmínkou a s pravou stranou f = δ x Y (t) (ve všech kladných časech je v počátku jednotkový bodový zdroj tepla). Studujte chování řešení této úlohy pro t +, konkrétně ukažte: pro m = 2 je lim t + u(x,t) = +, prostor R 2 se působením vytrvalého bodového zdroje tepla "přehřívá"; pro m > 2 je lim t + u(x,t) = (m 2)κ m x m 2, v prostoru R m pro m > 2 je dosaženo rovnovážného rozložení teploty, které je rovno fundamentálnímu řešení Laplaceova operátoru v R m Vlnová rovnice Definice (Vlnová rovnice). Parciální diferenciální rovnici c 2 2 u t 2 u = f(x,t), x Rm, t >, (8) nazýváme lineární vlnovou rovnicí. Zde c > má význam rychlosti šíření vlny a f(x,t) vyjadřuje hustotu vnějších sil. Hodnota řešení u(x, t) pak vyjadřuje hodnotu výchylky vlny v čase t a bodě x. Poznámka. Rovnici (8) často doplňujeme dvěma počátečními podmínkami: u(x,) = g (x), x R m, (9) a u t (x,) = g (x), x R m. () Zde g má význam hodnoty počáteční výchylky a g má význam rychlosti počáteční výchylky. Poznámka. Díky linearitě rovnice (8) i podmínek (9), () lze snadno ukázat tzv. princip superpozice řešení: úlohu (8) () řeší funkce u = u + u + u 2, kde u resp. u resp. u 2 jsou řešení (8) () postupně s daty f =,g = resp. f =,g = resp. g =,g =. Poznámka. Dále lze (již ne tak jednoduše) ukázat, že u = E (x) g, u = E (x) g, u 2 = E 2 (x,t) f Y (t), kde Y (t) je Heavisideova funkce, a E (x,t), E (x,t), E 2 (x,t) splňují Ê(ξ,t) = Ê(ξ,t) = sin(2πc ξ t), 2πc ξ Ê (ξ,t) = cos(2πc ξ t) = d dtê(ξ,t), Ê 2 (ξ,t) = c 2sin(2πc ξ t) Y (t) = c 2 Ê(ξ,t) Y (t), 2πc ξ přičemž symbol značí Fourierovu transformaci vzhledem k proměnné x. sin(2πc ξ t) Věta Bud Ê(ξ,t) = 2πc ξ a E(x, t) bud její vzor ve Fourierově transformaci podle proměnné x. Potom u(x,t) := d ( ) E (x) g + E (x) g + c 2 ( E Y (t) dt (x,t) f Y (t) ) je řešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f, které splňuje počáteční podmínky (9), () s funkcemi g, g. Pozn. Mlčky předpokládáme, že funkce (případně distribuce) g, g, f jsou takové, že všechny uvedené operace jsou dobře definovány. Funkci (resp. obecně distribuci) E nazýváme fundamentálním řešením vlnového operátoru.
21 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 9 Věta 24.5 (Vlnová rovnice v R, d Alembertův vzorec). Bud te g C 2 (R), g C (R), f C (R (,T)). Potom u(x,t) := g (x + ct) + g (x ct) + 2 2c + c 2 t x+c(t τ) x c(t τ) f(y,τ) dy dτ x+ct x ct g (y) dy je řešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f v R, které splňuje počáteční podmínky (9), () s funkcemi g, g. Věta 24.6 (Fundamentální řešení vlnového operátoru v R 2 a R 3 ). Pro fundamentální řešení vlnového operátoru v R m platí m = 2 = E(x,t) = 2πc (c 2 t 2 x 2 ) + m = 3 = E(x,t) = 4πc 2 t ν ct kde symbolem (... ) + rozumíme: "funkce E je dodefinovaná nulou všude tam, kde by výraz pod odmocninou byl nulový nebo záporný", a ν ct je plošná distribuce na sféře s poloměrem ct, působící přes proměnnou x R m. Věta 24.7 (Vlnová rovnice v R 2 ). Bud te g C 3 (R 2 ), g C 2 (R 2 ), f C (R 2 (,T)). Potom u(x,t) := d g (x y) 2πc dt y ct c 2 t 2 y dy 2 + g (x y) 2πc y ct c 2 t 2 y dy 2 + c t f(x y,t τ) dy dτ 2π c 2 τ 2 y 2 y cτ je řešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f v R 2, které splňuje počáteční podmínky (9), () s funkcemi g, g. Věta 24.8 (Vlnová rovnice v R 3 ). Bud te g C 3 (R 3 ), g C 2 (R 3 ), f C 2 (R 3 (,T)). Potom ( g u(x,t) := 4πct S ct() ct + g ) (x y)ds(y) n + 4πc 2 g (x y)ds(y) t + 4π S ct() ct S r() f ( x y,t r ) c ds(y) dr r je řešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f v R 3, které splňuje počáteční podmínky (9), () s funkcemi g, g Laplace-Poissonova rovnice Definice. Bud Ω R m oblast s dostatečně hladkou hranicí. Laplace-Poissonovou rovnicí v Ω rozumíme rovnici u = f, x Ω, ()
22 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 2 kde f je daná funkce. (Je-li f =, mluvíme o () jako o Laplaceově rovnici.) Rovnici () často doplňujeme o okrajové podmínky, a to Dirichletova typu (u = g na Ω), Neumannova typu ( u n = h na Ω), nebo smíšeného typu, kdy je na části Ω zadána Dirichletova a na části Neumannova okrajová podmínka. Podle toho mluvíme o Dirichletově, Neumannově nebo smíšené úloze. Věta 24.9 (Řešení Poissonovy rovnice v R m ). řešení Laplaceova operátoru, tedy Bud f S (R m ), m 2 a bud U fundamentální U(x) =, m > 2, (m 2)κ m x m 2 U(x) = 2π ln x, m = 2. Potom funkce u := U f řeší rovnici u = f v prostoru S (R m ) (vždy, když je daná konvoluce dobře definovaná). Řešení rovnice u = f v prostoru S (R m ) je určeno jednoznačně až na harmonický polynom, tedy polynom P splňující rovnici P =. Věta 24. (Řešení Dirichletovy úlohy v Ω). Řešení rovnice u = na oblasti Ω s (Dirichletovou) okrajovou podmínkou u = g na Ω je jednoznačné, pokud. Ω R m, m 2 je omezená oblast, nebo 2. Ω R 2 je (obecně i neomezená) oblast a předpokládáme omezenost řešení u, nebo 3. Ω R m, m > 2 je neomezená oblast a předpokládáme, že existuje koule B R () a konstanta c > takové, že u(x) c/ x m 2 vně koule B R (). Poznámka. Omezenost řešení ve druhém bodě je podstatná. Například funkce u(x,y) = y, u(x,y) = řeší Laplaceovu rovnici na horní polorovině s okrajovou podmínkou u(x, ) =. Bod tři je vyjádřením skutečnosti, že řešení Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici na neomezené oblasti je jednoznačné ve třídě funkcí, které "v nekonečnu klesají stejně rychle jako elementární řešení". Věta 24. (Dirichletova úloha na horní polorovině). Bud u (x,y) = π y x 2 + y 2. Bud dále g = g(x) omezená lokálně integrovatelná funkce taková, že pro všechna (x,y) R (, ) existuje vlastní konvoluce u(x,y) := g( ) (x) u (,y) = y π g(t) (x t) 2 dt. (2) + y2 Potom funkce u(x,y) definovaná předpisem (2) je omezená, řeší rovnici u = v horní polorovině {(x,y) R 2 ; y > }, a přitom splňuje okrajovou podmínku u(x,) = g(x) ve smyslu limity ve všech bodech spojitosti funkce g. Příklad. Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici na horní polorovině s podmínkou u(x, ) = g(x) = χ a,b (x). Ukažte, že řešením je funkce u(x,y) = π ( arctg b x arctg a x ). y y
23 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 2 Řešení Příkladu Věta 24.2 (Dirichletova úloha na kruhu - řešení řadou). Bud K R R 2 kruh o poloměru R > a bud g(α) = n Z a ne inα funkce, rovnající se součtu své Fourierovy řady pro α R. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r,ϕ) := n Z a n ( r R) n e inϕ, (3) r (,R), ϕ (,2π), řeší (po spojitém dodefinování) rovnici u = na K R a splňuje okrajovou podmínku u(r, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g. Řešení Dirichletovy úlohy na kruhu, u(r, α) = 4 n= rn ( ) n cos(3nα) n Věta 24.3 (Dirichletova úloha na kruhu - řešení integrálem). Bud K R R 2 kruh o poloměru R > a bud g(t), t π,π) funkce, zadaná na hranici kruhu, tj. v bodech tvaru [R cos t,rsint]. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r,ϕ) := π R 2 r 2 g(t) 2π π R 2 dt, (4) 2rRcos(ϕ t) + r2 r (,R), ϕ (,2π), řeší (po spojitém dodefinování) rovnici u = na K R a splňuje okrajovou podmínku u(r, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g.
24 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 22 Věta 24.4 (Dirichletova úloha na vnějšku kruhu - řešení řadou). Bud K R R 2 kruh o poloměru R > a bud g(α) = n Z a ne inα funkce, rovnající se součtu své Fourierovy řady pro α R. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r,ϕ) := n Z a n ( R r ) n e inϕ, (5) r > R, ϕ (,2π), řeší (po spojitém dodefinování) rovnici u = na vnějšku kruhu K R a splňuje okrajovou podmínku u(r,ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g. Navíc u je omezená na svém definičním oboru. Věta 24.5 (Dirichletova úloha na vnějšku kruhu - řešení integrálem). Bud K R R 2 kruh o poloměru R > a bud g(t), t π, π) funkce, zadaná na hranici kruhu, tj. v bodech tvaru [R cos t, R sin t]. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r,ϕ) := 2π π π g(t) r 2 R 2 R 2 dt, (6) 2rRcos(ϕ t) + r2 r > R, ϕ (,2π), řeší (po spojitém dodefinování) rovnici u = na vnějšku kruhu K R a splňuje okrajovou podmínku u(r,ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g. Navíc u je omezená na svém definičním oboru. Zajímavá otázka: je-li zadáno g na hranici kruhu K R R 2 o poloměru R > jako v předchozích dvou větách, a definujeme-li u uvnitř a vně kruhu řadami (3) a (5), případně integrály (4) a (6), bude pak u řešením Laplaceovy rovnice na celém R 2? Z následující věty plyne, že odpověd je záporná. Věta 24.6 (Liouville). Bud u C 2 (R m ), u = v R m, která je alespoň jednostranně omezená v R m. Potom u je konstantní v R m. Z Liouvilleovy věty tedy plyne, že v bodech kružnice bud nemůže být u třídy C 2 nebo v nich nemůže splňovat Laplaceovu rovnici. Věta 24.7 (o řešení Dirichletovy úlohy na kouli). Bud g spojitá na sféře S R () R m a definujme funkci u(x) předpisem u(x) = g(y) R2 x 2 ds(y), x < R. κ m R S R () x y m Potom u C 2 (B R ()) C(B R ()), u = v B R () a u = g na S R (). Věta 24.8 (o řešení Dirichletovy úlohy vně koule). Bud g spojitá na sféře S R () R m a definujme funkci u(x) předpisem u(x) = g(y) x 2 R 2 ds(y), x > R. κ m R S R () x y m Potom u C 2 (R m \ B R ()) C(R m \ B R ()), u = v R m \ B R () a u = g na S R (). Navíc existuje koule B() a konstanta c > takové, že u(x) c/ x m 2 vně koule B(). Věta 24.9 (o průměru). Bud Ω R m omezená oblast, u C 2 (Ω), u = v Ω. Potom pro všechna x Ω a všechny koule B R (x) Ω platí u(x) = u(y)ds(y) = u(y)dy. S R (x) S R (x) B R (x) B R (x) Věta 24.2 (princip maxima a minima). Bud Ω R m omezená oblast s dostatečně hladkou hranicí, u C 2 (Ω) C(Ω), u = v Ω. Potom u nabývá svého maxima a minima na hranici Ω. Věta 24.2 (o regularitě). Bud Ω R m omezená oblast, u C 2 (Ω), u = v Ω. Potom u C (Ω).
25 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice Transportní rovnice, metoda charakteristik V této sekci budeme uvažovat rovnici lineárního transportu u t + a(x,t) u = f(x,t), x Rm, t >, (7) kde a je dané spojité vektorové pole a f je daná spojitá pravá strana, resp., pro f = ("bez vnějších sil"), u t + a(x,t) u =, x Rm, t >. (8) Rovnici (7) resp. (8) doplňujeme o počáteční podmínku tvaru u(x,) = g(x), x R m. (9) Řešení úlohy (8) (9) (s f = ) lze hledat tzv. metodou charakteristik. Definice. Rovnici (8) přiřadíme systém obyčejných diferenciálních rovnic (zvaný též charakteristický systém rovnice (8)) pro neznámé funkce t = t(s), x j = x j (s), j =,...,m, d t(s) =, ds (2) d ds x ( ) j(s) = a j x(s),t(s)), j =,...,m, (2) s (α,β) R, kde a = (a,...,a m ) jsou funkce z (8). Každé klasické řešení (x,t) : (α,β) R m (, ) systému rovnic (2) (2) nazvu charakteristikou (charakteristickou křivkou) rovnice (8). Poznámka. Charakteristika je tedy křivka v R m (, ), jejíž parametrizace je dána zobrazením z (x,t) : (α,β) R m (, ). Vzhledem k tomu, že systém (2) (2) je systém se spojitými pravými stranami a j, existuje podle teorie ODR řešení tohoto systému alespoň lokálně v okolí každé počáteční podmínky typu t(s) = t, x j (s) = x j, (x,t) R m (, ), (22) kde s (α, β) je hodnota parametru, odpovídající počáteční podmínce. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že s = (α,β). Studujme nyní chování funkce u C (R m (,T)) na charakteristice ( x(s),t(s)), přiřazené (8). Derivováním podle s (a s uvážením, že x = x(s), t = t(s)) dostaneme: d ds u(x,t) = = m j= m j= u x j (x,t) d ds x j(s) + u t (x,t) d ds t(s) = a j ( x,t) ) u x j (x,t) + u t (x,t). Je-li levá strana této identity nulová, znamená to, že funkce u je konstantní na charakteristice ( x(s), t(s)). Nulovost pravé strany pak znamená, že funkce u je klasickým řešením rovnice (8) v bodech, které leží na charakteristice. Odtud plyne následující lemma. Lemma Uvažujme funkci u C (Ω T ), kde Ω T (,T) R m je neprázdná oblast.. Bud u konstantní na charakteristice ( x(s),t(s)), s (α,β), ležící v Ω T, a přiřazené rovnici (8). Potom funkce u řeší v klasickém smyslu rovnici (8) v bodech charakteristiky, ležících v Ω T.
26 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice Necht naopak u je klasické řešení rovnice (8) v oblasti Ω T. Potom u je konstantní na libovolné charakteristice, ležící v oblasti Ω T. Nepřesně, ale poněkud výstižněji lze uvedené lemma vyjádřit sloganem: u řeší (8) u je konstantní na charakteristikách. Příklad 2. Řešte rovnici u t + x u x = s obecnou počáteční podmínkou u, a poté s konkrétní počáteční podmínkou u (x) = e x2, x R. Řešení: Charakteristika, procházející bodem [x, t], x, t >, má rovnici t = ln x + (t ln x ), jde tedy o "logaritmický vějíř", viz obrázek. Na základě toho lze explicite vyjádřit řešení uvedené rovnice pro data u C (R), a sice u(x,t) = u (xe t ). Pro u (x) = e x2, x R, dostaneme u(x,t) = exp( x 2 e 2t ), x R, t, viz obrázek y x Charakteristiky rovnice u t + xu x = t x 4 Funkce u(x, t) = e x2 e 2t pro x 5, 5, t, Fourierova metoda rozdělení proměnných Fourierova metoda rozdělení proměnných slouží k hledání řešení okrajových resp. počátečně-okrajových úloh pro některé PDR (například pro Laplace-Poissonovu rovnici, rovnici vedení tepla, vlnovou rovnici...) na oblastech, které lze psát jako kartézský součin jednorozměrných intervalů. Postup budeme ilustrovat na následujících úlohách:
27 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 25 Příklad 3. Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici u(x,y) = na obdélníku (,a) (,b), s okrajovými podmínkami (pro g C(,a ), g() = g(a) = ): Postup při řešení. u(x,) = g(x), x,a, u(x,b) =, x,a, u(,y) =, y,b, u(a,y) =, y,b. Hledáme u ve tvaru u(x, y) = X(x) Y (y) (s tzv. rozdělenými proměnnými), předpokládáme X, Y. Po dosazení do Laplaceovy rovnice dostaneme u(x,y) = X (x) Y (y)+x(x) Y (y) =, odkud X X = Y Y = λ = const. (jde o rovnost funkce proměnné x a funkce proměnné y, proto obě musí být konstantní.) Má-li být u(,y) = X() Y (y) =, y,b, musí být X() =, podobně X(a) =. Okrajová úloha pro X(x) tvaru X = λx na (,a), X() =, X(a) =, má nenulové řešení jen pro λ = λ n = ( nπ a )2, potom X n (x) = sin( nπ a x) (až na násobek libovolnou konstantou). Podmínku u(x,b) = X n (x) Y (b) =, x,a lze splnit volbou Y (b) =, podmínku u(x,) = X n (x) Y () = g(x), x,a, však obecně splnit nelze, budeme ji muset řešit jinak. Řešíme tedy úlohu pro Y n (x) tvaru Y = λ n Y n na (,b) jen s podmínkou Y n (b) = (s již spočtenými konstantami λ n ), a hledáme nenulové řešení. Dostaneme Y n (y) = 2e nπ a b sinh( nπ a (y b)) (až na násobek libovolnou konstantou). Abychom splnili i poslední okrajovou podmínku (s funkcí g), hledáme u ve tvaru s neznámými konstantami c n. u(x,y) = c n X n (x)y n (y) n= Víme, že g() = g(a) =, a předpokládejme, že g lze rozvinout na x,a do Fourierovy řady v systému X n (x), tj. g(x) = n= γ nx n (x). Pak z okrajové podmínky u(x,) = g(x), tedy n= c nx n (x)y n () = n= γ nx n (x) dostaneme γ n = c n Y n (), odkud spočteme dosud neznámé kostanty c n. Proved te celý výpočet a ukažte, že kde u(x,y) = n= a n = 2 a sinh( nπ a (b y)) ( nπ ) a n sinh( nπ a b) sin a x, a ( nπ ) g(x) sin a x dx. Příklad 4. Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici u(x,y) = na obdélníku (,a) (,b), s okrajovými podmínkami u(x,) = g (x), x,a, u(,y) = g 3 (y), y,b, u(x,b) = g 2 (x), x,a, u(a,y) = g 4 (y), y,b. Přitom předpokládáme, že funkce g j (x), j =,2,3,4 jsou spojité na svých definičních intervalech a jsou nulové v krajních bodech těchto intervalů.
28 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 26 Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u = u + u 2 + u 3 + u 4, kde u j (x,y) = na obdélníku (,a) (,b) pro všechna j =,2,3,4, a přitom u j = g j na odpovídající části hranice obdélníku a na ostatních částech hranice je u j nulová. Tímto stojíme před čtyřmi úlohami předešlého typu, které vyřešíme jako v předcházejícím příkladě. Příklad 5. Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici u(x,y) = na obdélníku (,a) (,b), s okrajovými podmínkami u(x,) = g (x), x,a, u(,y) = g 3 (y), y,b, u(x,b) = g 2 (x), x,a, u(a,y) = g 4 (y), y,b. Přitom předpokládáme, že funkce g j (x), j =,2,3,4 jsou spojité na svých definičních intervalech, mají v rozích obdélníka obecně nenulové hodnoty, přičemž ovšem okrajová podmínka je spojitá na obvodu celého obdélníka, tedy g () = g 3 (), g (a) = g 4 (), g 2 () = g 3 (b), g 2 (a) = g 4 (b). Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u(x,y) = v(x,y) + c(x,y), kde c(x,y) = c + c x + c 2 y + c 3 xy. Potom c(x,y) = na obdélníku (,a) (,b) a vhodnou volbou konstant c,c 2,c 3,c 4 lze dosáhnout toho, aby funkce c(x,y) měla v rozích obdélníka stejné hodnoty jako funkce g j. Tím jsme úlohu převedli na úlohu pro neznámou funkci v(x,y), splňující v(x,y) = na obdélníku (,a) (,b) s novou okrajovou podmínkou na všech čtyřech stanách obdélníka, která má však v rozích nulové hodnoty, tj. na úlohu předešlého typu. Příklad 6. Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplace-Poissonovu rovnici u(x, y) = f(x, y) na obdélníku (, a) (, b), s nulovými okrajovými podmínkami. Přitom předpokládáme, že funkci f lze (alespoň pro skoro všechna y (, b)) rozvinout do sinové Fourierovy řady vzhledem k proměnné x, tj. f(x,y) = n= ( nπ ) f n (y)sin a x, kde tedy f n (y) = 2 a a ( nπ ) f(x,y)sin a x dx. Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u(x,y) = n= c n(y)sin ( nπ a x). Dosazením u a f do původní rovnice a porovnáním koeficientů ve Fourierových řadách dostaneme rovnice pro neznámé funkce c n ( nπ c n(y) a a okrajové podmínky, které mají splňovat: ) 2 cn (y) = f n (y) c n () = c n (b) =. Dořešte úlohu.
29 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 27 Poznámka. Z uvedených příkladů je jasné, že libovolnou Dirichletovu úlohu pro Laplace-Poissonovu rovnici na obdélníku, s pravou stranou f a spojitou okrajovou podmínkou g, lze řešit rozdělením na šest úloh: () úlohu s pravou stranou a nulovou okrajovou podmínkou, (2) úlohu s nulovou pravou stranou a s okrajovou podmínkou, která vynuluje hodnoty původní o.p. v rozích obdélníka, (3) čtyři úlohy s nulovou pravou stranou a okrajovou podmínkou nulovou na třech stranách obdélníka. Poznámka. Podobně (rozdělením proměnných, nalezením rovnic pro takto separované funkce a jejich opětovným spojením přes nekonečnou řadu) lze řešit i úlohu pro Laplace-Poissonovu rovnici na kvádru, úlohu pro rovnici vedení tepla a vlnovou rovnici na časoprostorovém obdélníku nebo kvádru, atd. Tyto úlohy zde však z časo-prostorových důvodů už nebudeme podrobněji rozebírat a tuto dlouhou kapitolu zde ukončíme.
22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
Více24. Parciální diferenciální rovnice
24. Parciální diferenciální rovnice Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2011/12 24.1 Rovnice vedení tepla Definice (Rovnice vedení tepla) Parciální diferenciální rovnici c(x)ρ(x)
Více21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic
21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j
VíceAplikovaná matematika IV (NMAF074) LS 2011/12
Aplikovaná matematika IV (NMAF74) Mirko Rokyta (KMA MFF UK) LS 211/12 21 Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 1 21.1 Základní termíny 1 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
Vícenazvu obecnou PDR pro neznámou funkci
Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R
VíceZS: 2018/2019 NMAF063 F/3 Josef MÁLEK. Matematika pro fyziky III
ZS: 2018/2019 NMAF063 F/3 Josef MÁLEK Matematika pro fyziky III OBECNÉ INFORMACE A SYLABUS Přednášející: Cvičící: Josef Málek Tomáš Los, Michal Pavelka, Michal Pavelka, Vít Průša Termíny přednášek: čtvrtek
Více16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceÚvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce
Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
VíceMatematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
VíceKomplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
VíceMATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu
MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zápočtová písemná práce B Termín pro odevzdání 4. ledna 2019
Jméno: Příklad 2 3 4 5 Celkem bodů Bodů 20 20 20 20 20 00 Získáno Zápočtová písemná práce určená k domácímu vypracování. Nutnou podmínkou pro získání zápočtu je zisk více jak 50 bodů. Pravidla jsou následující:.
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Více12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy
12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 121 Úvod - opakování Opakování z 1 ročníku (z kapitoly 5) Definice 121 Rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru Návod k řešení: Pokud g(c)
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
Více2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.
Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VícePARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Základní pojmy Řešení rovnice je hledání neznámé, která po dosazení do této rovnice vytvoří rovnost. V případě ODR byla neznámou funkce jedné proměnné obvykle ji označujeme
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Více17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceFOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA
FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA V kapitole o Fourierových řadách byla dokázána Fourierova věta (připomeňte si, že f(x = (f(x + + f(x /2: VĚTA Necht f je po částech hladká na R a R f konverguje
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceFOURIEROVA TRANSFORMACE
FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA V kapitole o Fourierových řadách byla dokázána (připomeňte si, že f(x) = (f(x + ) + f(x ))/2): VĚTA. Necht f je po částech hladká na R a R f konverguje. Potom f(x)
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
VíceDrsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP pondělí 23. března
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Více12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
Vícekteré charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic.
1. Přednáška Obsah: Úvod do tvorby matematických modelů jako okrajové úlohy pro diferenciální rovnici. Příklad 1D vedení tepla a lineární pružnost. Diferenciální, variační, energetická formulace úloh.
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceParciální diferenciální rovnice
Parciální diferenciální rovnice Obsah kurzu Co bude obsahovat... úvod do PDR odvození některých PDR klasická teorie lineárních PDR 1. a 2. řádu řešení poč. a okraj. úloh vlastnosti řešení souvislost s
VíceTeorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceRovnice matematické fyziky
Rovnice matematické fyziky cvičení 1 Rovnice matematické fyziky cvičení Michael Krbek Obsah Opakování ze známé matematické analýzy Parciální diferenciální rovnice metoda charakteristik Okrajová úloha pro
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
Více