CVIČNÝ TEST 56. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 56 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 7 IV. Záznamový list 9

2 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Vrchol komína Kocourkovské elektrárny vidí pozorovatel z roviny, na níž komín stojí, pod výškovým úhlem 0 ze vzdálenosti 680 m. V 35,6 m výšky komína je zakreslen úzký červený pruh.. Určete výšku komína. (Výsledek zaokrouhlete na celé metry.).2 Určete úhel, pod kterým vidí pozorovatel část komína od červeného pruhu k vrcholu. (Výsledek zaokrouhlete na celé úhlové stupně.) 2 Určete reálné číslo M tak, aby se funkce f: y = 3 x + M a g: y = 3 9 x 2 pro všechna reálná čísla x rovnaly. Do záznamového archu uveďte celý postup řešení. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 V Kocourkově mají zvláštní strom se 68 větvemi, z jehož kmene vychází tři větve, z každé z nich pět větví, z každé z nich sedm větví a tak dále. 3 Určete, kolik větví vychází z každé poslední rozvětvené větve. 2 Maturita z matematiky 0

3 4 Řešte pro přípustné hodnoty reálných proměnných soustavu rovnic I. 4x + 8 y = 2 II. 3x 4 y = 4. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány dvě kolmé přímky p a q, které se protínají v bodě Y[0; 4]. Přímka p protíná osu x v bodě P, přímka q protíná osu x v bodě Q[6; 0]. 5 Určete vzdálenost bodů P a Q. bod 6 Zjednodušte výraz bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV o hraně podstavy a délky 6 cm. Výška v jehlanu je 6 cm. 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7. 7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7. Odchylka boční hrany CV od podstavy ABC jehlanu je větší než Odchylka boční stěny BCV od podstavy ABC jehlanu je větší než Odchylka boční hrany CV od hrany BC podstavy je větší než Objem jehlanu je 26 cm 3. ANO NE Maturita z matematiky 0 3

4 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Pan Kocourek je archeolog a během prozkoumávání staré hrobky se dostal do čtyřúhelníkové místnosti. Dle dochované mapy z ní vedou dvě cesty, jedna vpravo, jedna vlevo. Cesta vpravo vede na rozcestí, odkud jedna ze tří cest vede do místnosti s cenným pokladem. Druhé dvě ústí do prázdných místností. Z místnosti, kde se pan Kocourek nachází, vede ještě cesta vlevo, která se po chvíli opět rozdvojuje. Kdyby si pan Kocourek v tomto případě vybral možnost jít vlevo, rovněž by do místnosti s pokladem dorazil. Naopak odbočením vpravo by skončil v prázdné místnosti. 2 body 8 Která z možností A E přesně určuje pravděpodobnost, že pan Kocourek dorazí do místnosti s pokladem, vydá-li se jednou z cest, aniž by se vracel? A) B) 6 C) 5 D) E) Maturita z matematiky 0

5 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Je dán čtverec tak, že tři z jeho vrcholů vymezují čtvrtkruh o poloměru 6 cm. U posledního vrcholu čtverce je naopak středový úhel menšího čtvrtkruhu o poloměru 2 cm, jehož oblouk má koncový i počáteční bod na stranách čtverce, které z tohoto jeho posledního vrcholu vychází. Plochy obou čtvrtkruhů vymezují ve čtverci plochu označenou v obrázku černě. 9 Která z možností A E určuje obsah této vymezené plochy? A) (36 0π) cm 2 B) (36 32π) cm 2 C) (36 π) cm 2 D) (0π) cm 2 E) (π) cm 2 2 body Maturita z matematiky 0 5

6 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 0 V obchodě mají v regálu m kg jablek. Cena za kg jablek je r Kč. Pan Kocourek si koupil 20 % objemu jablek, které byly v regálu. Z ceny jablek mu byla na pokladně odečtena jednorázová sleva n Kč. 0 Přiřaďte výrazu (0. 0.4) jeho slovní zadání (A F). 0. m r 0.2 0,8m 0.3 0,2m r n (0,2m r n) 0,2m r max. 4 body A) Cena za jablko. B) Cena jablek v regálu poté, co část pan Kocourek odkoupil. C) Cena celkového množství jablek v regálu před nákupem pana Kocourka. D) Počet procent, které tvořila cena nákupu s uplatněnou slevou z celkové ceny všech jablek v regálu před nákupem. E) Skutečná cena, kterou pan Kocourek za nákup jablek po uplatnění slevy zaplatil. F) Počet procent, o které byl nákup levnější tím, že pan Kocourek uplatnil jednorázovou slevu. KONEC TESTU 6 Maturita z matematiky 0

7 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Vrchol komína Kocourkovské elektrárny vidí pozorovatel z roviny, na níž komín stojí, pod výškovým úhlem 0 ze vzdálenosti 680 m. V 35,6 m výšky komína je zakreslen úzký červený pruh.. Určete výšku komína. (Výsledek zaokrouhlete na celé metry.) Výšku v komína určíme z pravoúhlého trojúhelníka. K výpočtu výšky v užijeme funkci tangens. v 680 m = tg0 v = (680 m) tg0 v 20 m. Výška komína je přibližně 20 m. Řešení: 20 m.2 Určete úhel, pod kterým vidí pozorovatel část komína od červeného pruhu k vrcholu. (Výsledek zaokrouhlete na celé úhlové stupně.) Úhel 0 φ dopočteme tak, že odečteme od zadaného výškového úhlu výškový úhel červeného pruhu φ. 35, 6 m = tgφ φ m Hledaný úhel dopočteme: 0 3 = 7. Část komína od červeného pruhu k vrcholu je vidět pod úhlem 7. Řešení: 7 Maturita z matematiky 0 7

8 2 Určete reálné číslo M tak, aby se funkce f: y = 3 x + M a g: y = 3 9 x 2 pro všechna reálná čísla x rovnaly. Do záznamového archu uveďte celý postup řešení. Funkce se rovnají jen tehdy, když mají stejný definiční obor a jejich předpisy jsou pro každý bod společného definičního oboru shodné. Stačí tedy vyjádřit předpis funkce g vhodným způsobem. Úplným definičním oborem obou funkcí jsou všechna reálná čísla. 3 9 x 2 = 3 (3 2 ) x 2 = x 2 = 3 3 x = 3 + x. Aby předpis funkce g byl stejný jako předpis funkce f, musí být číslo M rovno. Řešení: M = VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 V Kocourkově mají zvláštní strom se 68 větvemi, z jehož kmene vychází tři větve, z každé z nich pět větví, z každé z nich sedm větví a tak dále. 3 Určete, kolik větví vychází z každé poslední rozvětvené větve. Větve stromu splňují konečnou aritmetickou posloupnost, jejíž první tři členy jsou 3, 5 a 7, tj. jejíž první člen je 3, diference 2 a součet s n všech členů je 68. Určíme n a a n. s n = (a + a n ) n a 2 n = a + (n ) d a n = 3 + (n ) 2 = 3 + 2n 2 = + 2n 68 = ( n) n 68 = (4 + 2n) 2 68 = (2 + n)n 68 = 2n + n2 n 2 + 2n 68 = 0 (n 2)(n + 4) = 0 n = 2 Nyní určíme a n. a n = = 25. Z každé poslední rozvětvené větve vychází 25 větví. Řešení: 25 větví n 2 8 Maturita z matematiky 0

9 4 Řešte pro přípustné hodnoty reálných proměnných soustavu rovnic I. 4x + 8 y = 2 II. 3x 4 y = 4. Soustavu budeme řešit pro libovolné reálné x a nenulové y. K řešení můžeme použít substituci a nahradit neznámou za výraz 4. y Lze ale řešit soustavu i přímo, kombinovanou metodou. Vynásobíme druhou rovnici 2 a přičteme ji k rovnici první, eliminujeme tak neznámou y. I. 4x + 8 = 2 y II. 3x 4 = 4 2 y I. 4x + 8 = 2 y II. 6x 8 = 8 + I. y I. + II. 0x = 20 : 0 I. + II. x = 2 Druhou neznámou y dopočteme dosazovací metodou. II = 4 y II. 6 4 = y y II. 2 = 4 y y 2 II. y = 2 Řešením soustavy je [2; 2]. Řešení: [2; 2] VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány dvě kolmé přímky p a q, které se protínají v bodě Y[0; 4]. Přímka p protíná osu x v bodě P, přímka q protíná osu x v bodě Q[6; 0]. 5 Určete vzdálenost bodů P a Q. bod Maturita z matematiky 0 9

10 Bod P leží na ose x, tj. P = [x, 0]. Pro vektor PY a vektor QY platí, že jsou kolmé, tj. jejich skalární součin je roven nule. Určíme souřadnice těchto vektorů a platnost podmínky prověříme. YP = P Y = (x 0; 0 4) = (x; 4) YQ = Q Y = (6 0; 0 4) = (6; 4) YP YQ = (x; 4) (6; 4) = 6x + ( 4) ( 4) = 6x + 6 = 0 x = Víme tedy, že bod P = [, 0]. Nyní určíme vzdálenost PQ vzorcem, nebo jednodušeji rozdílem jejich x-ových souřadnic. PQ = 6 = 7 = 7. Vzdálenost PQ je rovna 7. Řešení: 7 bod 6 Zjednodušte výraz = = = = 3 2 = 9 = 9 Řešení: 9 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV o hraně podstavy a délky 6 cm. Výška v jehlanu je 6 cm. 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7. 7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7. Odchylka boční hrany CV od podstavy ABC jehlanu je větší než Odchylka boční stěny BCV od podstavy ABC jehlanu je větší než Odchylka boční hrany CV od hrany BC podstavy je větší než Objem jehlanu je 26 cm 3. ANO NE 7. Využijeme rovnoramenného trojúhelníka ACV, u kterého víme, že výška na základnu je výškou v jehlanu a je délky 6 cm a základna je úhlopříčkou podstavy, tedy má délku a 2 tj. 6 2 cm. Nyní určíme velikost ostrého úhlu ACV, který je odchylkou boční hrany CV od podstavy ABC. ACV = arctg v ( a 2 2 ) = arctg 6 cm ( ) 54, cm Odchylka je tedy menší než 63. Tvrzení je nepravdivé. 0 Maturita z matematiky 0

11 7.2 Odchylka boční stěny BCV od podstavy ABC je reprezentována odchylkou ramene a základny rovnoramenného trojúhelníka S AD VS BC, kde body S AD a S BC jsou po řadě středy hran AD a BC. Víme, že výška na základnu je výškou v jehlanu a je délky 6 cm a základna má délku hrany podstavy, tedy má délku a, tj. 6 cm. Nyní určíme velikost ostrého úhlu S AD S BC V, který je odchylkou boční stěny BCV od podstavy ABC. S AD S BC V = arctg ( v a 2 ) = arctg ( 6 cm ) 63,4. 3 cm Odchylka je tedy větší než 63. Tvrzení je pravdivé. 7.3 Odchylka boční hrany CV od hrany BC je reprezentována odchylkou ramene a základny rovnoramenného trojúhelníka BVC. Víme, že výška na základnu je výškou stěny jehlanu, použijeme tedy k určení odchylky rameno CV, jehož délku spočteme s použitím trojúhelníka ACV z úvodního příkladu. Naopak základna je známa její délka je podstava, tedy má délku a, tj. 6 cm. CV = v 2 ( a 2 2 ) 2 = (6 cm) 2 + (3 2 cm) 2 = 3 6 cm. Nyní určíme velikost ostrého úhlu BCV, který je odchylkou boční hrany CV od hrany BC. a BCV = arccos( 2 arccos 6 cm ( ) 65, cm ) v 2 ( a 2 2 ) = 2 Odchylka je tedy větší než 65. Tvrzení je pravdivé. 7.4 Jehlan má podstavu čtverec o ploše (6 cm) (6 cm) a výšku délky 6 cm. Objem 26 cm 3 by byl objem hranolu s týmiž parametry, jehlan má objem třetinový. Tvrzení je nepravdivé. Řešení: NE, ANO, ANO, NE Maturita z matematiky 0

12 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Pan Kocourek je archeolog a během prozkoumávání staré hrobky se dostal do čtyřúhelníkové místnosti. Dle dochované mapy z ní vedou dvě cesty, jedna vpravo, jedna vlevo. Cesta vpravo vede na rozcestí, odkud jedna ze tří cest vede do místnosti s cenným pokladem. Druhé dvě ústí do prázdných místností. Z místnosti, kde se pan Kocourek nachází, vede ještě cesta vlevo, která se po chvíli opět rozdvojuje. Kdyby si pan Kocourek v tomto případě vybral možnost jít vlevo, rovněž by do místnosti s pokladem dorazil. Naopak odbočením vpravo by skončil v prázdné místnosti. 2 body 8 Která z možností A E přesně určuje pravděpodobnost, že pan Kocourek dorazí do místnosti s pokladem, vydá-li se jednou z cest, aniž by se vracel? A) B) 6 C) 5 D) E) Pan Kocourek si ve vstupní místnosti může vybrat cestu vpravo (tu si vybere s pravděpodobností ) 2 a poté si na rozcestí musí vybrat levou cestu (s pravděpodobností ). Dle kombinatorického pravidla 3 součinu je pravděpodobnost této volby P =. Pan Kocourek ale může jít také vlevo (tu si vybere opět s pravděpodobností 2 3 ) a poté si na rozcestí vybere cestu vpravo (s pravděpodobností ). 2 2 Dle kombinatorického pravidla součinu je pravděpodobnost této volby P 2 =. Protože obě tyto 2 2 pravděpodobnosti jsou pravděpodobnostmi disjunktních jevů, je celková pravděpodobnost, že pan Kocourek dorazí do místnosti s pokladem, P = P + P 2 = + = + = = Správně je možnost D. Řešení: D 2 Maturita z matematiky 0

13 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Je dán čtverec tak, že tři z jeho vrcholů vymezují čtvrtkruh o poloměru 6 cm. U posledního vrcholu čtverce je naopak středový úhel menšího čtvrtkruhu o poloměru 2 cm, jehož oblouk má koncový i počáteční bod na stranách čtverce, které z tohoto jeho posledního vrcholu vychází. Plochy obou čtvrtkruhů vymezují ve čtverci plochu označenou v obrázku černě. 9 Která z možností A E určuje obsah této vymezené plochy? A) (36 0π) cm 2 B) (36 32π) cm 2 C) (36 π) cm 2 D) (0π) cm 2 E) (π) cm 2 2 body Vypočteme plochy obou čtvrtkruhů (P a P 2 )a jejich součet odečteme od plochy P 0 čtverce. P = π (6 cm) 2, P 4 2 = π (2 cm) 2 a P 4 0 = (6 cm) 2. P 0 (P + P 2 ) = (6 cm) 2 ( π (6 cm) 2 + π (2 cm) ) = [36 π ( )] cm 2 = (36 0π) cm 2. Obsah vymezené plochy je (36 0π) cm 2. Správně je tedy možnost A. Řešení: A Maturita z matematiky 0 3

14 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 0 V obchodě mají v regálu m kg jablek. Cena za kg jablek je r Kč. Pan Kocourek si koupil 20 % objemu jablek, které byly v regálu. Z ceny jablek mu byla na pokladně odečtena jednorázová sleva n Kč. 0 Přiřaďte výrazu (0. 0.4) jeho slovní zadání (A F). 0. m r 0.2 0,8mr 0.3 0,2m r n (0,2m r n) 0,2m r max. 4 body A) Cena za jablko. B) Cena jablek v regálu poté, co část pan Kocourek odkoupil. C) Cena celkového množství jablek v regálu před nákupem pana Kocourka. D) Počet procent, které tvořila cena nákupu s uplatněnou slevou z celkové ceny všech jablek v regálu před nákupem. E) Skutečná cena, kterou pan Kocourek za nákup jablek po uplatnění slevy zaplatil. F) Počet procent, o které byl nákup levnější tím, že pan Kocourek uplatnil jednorázovou slevu. Vyhodnocování může probíhat oběma směry, ukážeme zde rozbor zadání výrazem. 0. Součin m r vyjadřuje cenu r kg jablek vynásobenou vahou m všech jablek v regálu před nákupem. Výraz tedy vyjadřuje cenu za všechna jablka v regálu. Řešení: C 0.2 Dělíme-li tuto cenu pěti, získáme cenu za pětinové množství jablek, tj. 20 % objemu jablek, které jsou v regálu před nákupem. Získáme tak cenu mr za to množství, které si pan Kocourek koupil. Zbylé 5 čtyři pětiny ceny je tedy částka, kterou zaplatíme za zbylá jablka v regálu. Řešení: B 0.3 Odečteme-li tedy od ceny mr za zakoupená jablka jednorázovou částku n získáme skutečnou cenu, 5 kterou pan Kocourek zaplatil. Výraz jen upravíme: mr n = 0,2mr n. 5 Řešení: E 4 Maturita z matematiky 0

15 0.4 Pokud bychom nyní částku 0,2mr n, kterou pan Kocourek zaplatil, vydělili částkou 0,2mr, kterou by zaplatil bez uplatnění slevy, získáme údaj, jakou část nová cena nákupu tvoří z ceny původní. Nyní stačí údaj vynásobit sty procenty, budeme mít část vyjádřenu v procentech. Když získaný údaj nyní odečteme od 00 %, uvidíme, o kolik % byla cena s uplatněnou slevou nižší než cena původní. Řešení: F Pro úplnost: Cenu za jablko vyčíslit nelze, nevíme celkový počet jablek v regálu. Počet procent, kolik tvořila cena nákupu s uplatněnou slevou z celkové ceny všech jablek v regálu před nákupem, by vyjadřoval výraz 00 (0,2m r n). m r KONEC TESTU Maturita z matematiky 0 5

16 6 Maturita z matematiky 0

17 III. KLÍČ ) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 0 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 20 7 výborně 6 4 chvalitebně 3 dobře 0 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů. 20 m bod.2 7 bod 2 Funkce se rovnají jen tehdy, když mají stejný definiční obor a jejich předpisy jsou pro každý bod společného definičního oboru shodné. Stačí tedy vyjádřit předpis funkce g vhodným způsobem. Úplným definičním oborem obou funkcí jsou všechna reálná čísla. 3 9 x 2 = 3 (3 2 ) x 2 = x 2 = 3 3 x = 3 + x. Aby předpis funkce g byl stejný jako předpis funkce f, musí být číslo M rovno. Řešení: M = 3 25 větví 4 [2; 2] 5 7 bod 6 9 bod 7 4 podúlohy 2 b. 7. NE 3 podúlohy b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 ANO podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 ANO 7.4 NE Maturita z matematiky 0 7

18 8 D 2 body 9 A 2 body 0 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 0. C 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 0.2 B podúloha b. 0 podúloh 0 b. 0.3 E 0.4 F 8 Maturita z matematiky 0

19 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST ) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 2 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 0 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 20 7 výborně 6 4 chvalitebně 3 dobře 0 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů. bod.2 bod bod 6 bod 7 4 podúlohy 2 b podúlohy b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 0 9

20 8 2 body 9 2 body 0 max. 4 body 4 podúlohy 4 b podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 0.2 podúloha b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 0