Balkónové nosníky a rošty

Transkript

1 Stavební mechanika 3 132SM3 Přednášk Balkónové nosník a rošt řešení silovou metodou Desk ákladní předpoklad, proměnné a rovnice

2 Vnitřní síl obecně atížených prutů - opakování Obecně atížený prut (vi SM02) Souřadnicové sstém globální lokální (směr a orientace vnitř. sil) lokání (funkční ávislost vnitřních sil na poloe průřeu, často ) s s 2

3 Vnitřní síl obecně atížených prutů - opakování Obecně atížený prut (vi SM02) Vnitřní síl Lokální os:... tečna ke střednici,... hlavní těžišťové os c b 3

4 Balkónové nosník a rošt Balkónový nosník Podepřený lomený rovinný prut atížený kolmo na svou rovinu. Nosník umístíme do rovin, atížení působí ve směru. Předpokládáme. Pravoúhlý nosník... os prutů () rovnoběžné s nebo. 4

5 Balkónové nosník a rošt Rošt Rovinná soustava vájemně se křížících prutů atížená kolmo na svou rovinu. Rošt umístíme do rovin, atížení působí ve směru. Předpokládáme. Pravoúhlý rošt... os prutů () rovnoběžné s nebo. 5

6 Balkónové nosník a rošt Vnitřní síl a přemístění Konstrukci umístíme do rovin, atížení působí ve směru. Pak vnitřní síl a přemístění v rovině konstrukce budou nulové: (vhledem k lokálním i globálním osám) Obecně nenulové mohou být:

7 Balkónové nosník a rošt Řešení silovou metodou 1) Ze statick neurčité konstrukce vtvoříme uvolněním vaeb statick určitou ákladní soustavu (ZS). Účink těchto vaeb nahradíme nenámými reakcemi,, (Uvažujeme poue reakce, které mohou být nenulové s ohledem na atížení působící kolmo na rovinu konstrukce, vi předchoí snímek). Př. 1: Možné ákladní soustav: Daná konstrukce: 7

8 Balkónové nosník a rošt Př. 2: Daná konstrukce: Možné ákladní soustav: válcový kloub (přenáší, ) 2 oddělené osnov prutů 8

9 Balkónové nosník a rošt 2) Rovnovážný stav vnitřních a vnějších sil na ZS vjádříme jako lineární kombinaci atěžovacích stavů od skutečného atížení (stav 0) a od jednotkových sil nebo momentů odpovídajících nenámým reakcím (stav 1, 2,...) 3) Zajistíme splnění spojitosti - kompatibilit (spojitosti prutů a vaeb), čímž obdržíme podmínečné rovnice. Př. 1: 0: :

10 4 Balkónové nosník a rošt 4) Koeficient podmínečných rovnic $% odpovídají přemístění v místě a směru nenámé $ od atěžovacího stavu &. Tato přemístění určíme pomocí PVs. $% '( $ % (* +, $ % (* -,. + $ % (* -/ 0 3 vliv ohbu bývá dominantní vliv kroucení při jednodušení anedbáváme, vi dále vliv smku výnamný u krátkých vsokých prutů, jinak anedbáváme,. moment tuhosti průřeu v kroucení, (vi PRPE) pro masivní průře:, : 2 10

11 Balkónové nosník a rošt 5) Poté, co vpočteme koeficient $%, nenámými v podmínečných rovnicích ůstávají poue síl a moment,, =0: =0 =0: =0 Řešením rovnic obdržíme hodnot sil a momentů,, 6) Výsledné vnitřní síl na statick neurčité konstrukci určíme jako kombinaci: = = =

12 Balkónové nosník a rošt Příklad 3: Určete průběh vnitřních sil. Uvažujte vliv kroucení, ale vliv smku anedbejte = >?@ - 8, = >?@, =1, D9 E 9,. =1, D9 E 9 Základní soustava: 12

13 Balkónové nosník a rošt Průběh momentů na ZS: 13

14 Balkónové nosník a rošt Průběh momentů na ZS: 14

15 4 Balkónové nosník a rošt Výpočet koeficientů $% '( $ % (* +, $ % (* -,. 3 15

16 Balkónové nosník a rošt Podmínečné rovnice ,130 > =4,805 > =7,826 >E 9 = 0,193 >E 16

17 Balkónové nosník a rošt Průběh momentů na dané konstrukci:

18 Balkónové nosník a rošt Řešení silovou metodou be vlivu kroucení (jednodušený výpočet) Předpokládáme, že v prutech nevnikají krouticí moment (tuhost v kroucení 0). V křížení vájemně kolmých prutů se pak mei prut přenáší poue svislá síla vaba ajišťuje poue společný průhb. Vabu nahraujeme kvným prutem, např.: 18

19 Balkónové nosník a rošt Statick určitou ákladní soustavu vtvoříme tak, že rošt rodělíme na jednotlivé nosník přetnutím vnitřních kvných prutů a úpravou vnějších vaeb, např. 19

20 Balkónové nosník a rošt Příklad 4: Určete průběh vnitřních sil. Zanedbejte vliv kroucení i smku = >?@, 1, D9 E 9 Základní soustava: 20

21 Balkónové nosník a rošt Průběh momentů na ZS Výpočet koeficientů 21

22 Balkónové nosník a rošt Podmínečné rovnice Průběh vnitřních sil Srovnejme s řešením př vliv kroucení je v tomto případě v řádu jednotek procent. 22

23 Desk Deska vs. stěna (vi PRPE) Plošné konstrukční prvk s rovinnou střednicovou plochou. Deska... atížení a reakce od podepření působí na kolmo na střednicovou rovinu. Stěna... atížení a reakce od podepření působí ve střednicové rovině. 23

24 Desk Desk ákladní předpoklad Kirchhoffova hpotéa: úsečk, které jsou kolmé ke střednicové rovině v nedeformovaném stavu desk, ůstávají kolmé ke střednicové ploše i v deformovaném stavu. 24

25 Desk Rodělení deformace po objemu desk V důsledku Kirchhoffov hpoté jsou nenulové poue složk deformace L,L,M. Tto složk mají po tloušťce desk lineární průběh a můžeme je vjádřit v ávislosti na 2. derivacích průhbu (, ) (křivostech) (, ) L,, = O, O L,, = O, O M,, = 2 O, OO = P = P = P L M L 25

26 Desk Rodělení napětí po objemu desk Za složk napětí můžeme vjádřit pomocí materiálových rovnic (de předpokládáme lineárně elastického chování materiálu): Q + 1 S L +SL Q + 1 S L +SL R -M I napětí je pak roděleno po tloušťce desk lineárně: Q Q R 26

27 Desk Vnitřní síl v desce Podobně jako u prutu vjádříme vnitřní síl jako výsledné účink napětí po tloušťce desk. Měrné ohbové moment: m h 2 = h 2 σ d m h 2 = σ d h 2 σ m τ τ m σ m m m m Měrné krouticí moment: m h 2 = h 2 τ d m h 2 = τ d h ( m = m ) 2 m m Měrné ohbové a krouticí moment vjadřují intenit vtažené na jednotku šířk desk. 27

28 Desk S vužitím materiálových rovnic a vtahů mei deformacemi a průhbem můžeme vjádřit vnitřní síl: VW E ( + 1 S L +SL 3 U O O +SO O DVW VW E ( + 1 S L +SL 3 U O O +SO O DVW VW E ( -M 3 1 S U O OO DVW U +h 12 1 S... desková tuhost 28

29 Desk Z podmínek rovnováh v bodě kontinua ve směrech os a vplývá, že v desce musí vnikat i smková napětí R a R, jejichž výslednicemi jsou měrné posouvající síl. VW Y R 3 D VW VW Y R 3 D VW v m v m m Tto podmínk vedou i na vtah m m mei měrnými posouvajícími m v sílami a moment: m m v OE O +OE O OE O +OE O 29

30 Desk Desková rovnice Ze bývající podmínk rovnováh ve směru os a eliminací měrných posouvajících sil obdržíme statickou rovnici desk: 2 m m f = m f (, ) Substitucí dříve odvoených vtahů do statické rovnice ískáme tv. deskovou rovnici... diferenciální rovnici pro průhb desk: U O9 O 9 +2 O9 O O +O9 O 9 Z 0 30

31 Desk Okrajové podmínk Desková rovnice je parciální diferenciální rovnice 4. řádu. Pro naleení partikulárního řešení je třeba v každém bodě na obvodě desk definovat 2 okrajové podmínk. Např.: vetknutí n w n = 0 w = 0 kloubové podepření t n mn = 0 w = 0 volný okraj t n m n mnt = 0 + vn = 0 t t 31

32 Desk Shrnutí řídících rovnic Průhb Vnější síl Geometrické rovnice Statické rovnice Křivosti Materiálové rovnice Měrné moment 32

33 Desk Shrnutí řídících rovnic D w w w f = Z P = O O P = O O P = 2 O OO 2 m m f = m P,P,P E =U P +SP E =U SP +P E =U 1 S P E,E,E 33

34 Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám předmětu Stavební mechanika 3 pro student Stavební fakult ČVUT v Prae. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualiován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chb. Autor srdečně děkuje kolegům prof. Milanovi Jiráskovi a doc. Jitce Bittnarové a to, že mu laskavě posktli své přednáškové materiál jako droj nejen inspirace, ale i některých formulací, obráků a příkladů. Datum poslední revie: