Zlatý řez nejen v matematice

Transkript

1 Zltý řez nejen v mtemtice Zltý řez ve stereometrii In: Vlst Chmelíková (uthor): Zltý řez nejen v mtemtice. (Czech). Prh: Ktedr didktiky mtemtiky MFF UK, 009. pp Persistent URL: Terms of use: Chmelíková, Vlst Institute of Mthemtics of the Czech Acdemy of Sciences provides ccess to digitized documents strictly for personl use. Ech copy of ny prt of this document must contin these Terms of use. This document hs been digitized, optimized for electronic delivery nd stmped with digitl signture within the project DML-CZ: The Czech Digitl Mthemtics Librry

2 67 4 Zltý řez ve stereometrii Poměr ϕ se nezřídk objevuje i u prostorových útvrů, to zejmén u prvidelných mnohostěnů. Proto jim věnuji smosttnou podkpitolu. 4.1 Prvidelné mnohostěny Než si ukážeme, kde všude můžeme n prvidelných mnohostěnech zlté číslo njít, trochu si tto těles předstvíme. Prvidelným mnohostěnem rozumíme konvexní mnohostěn, jehož stěny jsou shodné prvidelné mnohoúhelníky jehož vrcholy jsou všechny téhož typu (to znmená, že z kždého vrcholu vychází stejný počet hrn). Těmto tělesům lze opst i vepst kulovou plochu, přičemž obě kulové plochy mjí tentýž střed. Tomuto středu se tké říká střed prvidelného mnohostěnu. Opsná kulová ploch prochází všemi vrcholy mnohostěnu, vepsná kulová ploch se dotýká kždé stěny mnohostěnu v jejím středu. Prvidelných mnohostěnů je právě pět. Prvidelný čtyřstěn, prvidelný šestistěn (též krychle), prvidelný osmistěn, prvidelný dvnáctistěn prvidelný dvcetistěn (obr. I v příloze B). Jednoduché zdůvodnění, proč právě pět ne více, je uvedeno npříkld v učebnici [5] n strně 19. Zákldní informce o těchto tělesech jsou vypsány v následující tbulce. název s h v n h v čtyřstěn krychle osmistěn dvnáctistěn dvcetistěn Vysvětlivky k tbulce: s... počet stěn mnohostěnu h... počet hrn mnohostěnu v... počet vrcholů mnohostěnu n... počet strn jedné stěny h v... počet hrn vycházejících z jednoho vrcholu

3 68 V dlší tbulce je přehled vzorců pro výpočet povrchu (P ), objemu (V ) poloměru opsné (r) i vepsné ( ) kulové plochy všech mnohostěnů. název P V r čtyřstěn krychle osmistěn 3 dvnáctistěn 3 5(5 + 5) dvcetistěn ( ) (3 + 5) 3 4 (1 + 5) (5 + 5) ( ) (3 + 5) Prvidelné mnohostěny se též nzývjí pltónská (nebo Pltónov) těles podle řeckého filosof Pltón. 1 Ten tto těles povžovl z symboly živlů (obr. II v příloze B). Krychle podle jeho učení předstvovl zemi, osmistěn vzduch, čtyřstěn oheň dvcetistěn vodu. Dvnáctistěn oznčil z symbol vesmíru, veškerého jsoucn pod. Zlté číslo nlezneme u prvidelných mnohostěnů hned několikrát, zejmén při různém vepisování jednoho mnohostěnu do druhého. Uvedu zde několik zjímvostí, kde všude se tedy můžeme s poměrem zltého řezu u těchto těles setkt. Nejzjímvější je zřejmě dvnáctistěn. Jeho stěny jsou prvidelné pětiúhelníky, které se zltým řezem souvisí velmi úzce (viz podkpitol 3.4). Většinu vzthů pro výpočet délek různých význmných úseček v tomto tělese, velikostí úhlů dlších vlstností lze jednoduše zpst užitím zltého čísl ϕ. Npříkld poloměr koule opsné je roven 3 ϕ, délk tělesové úhlopříčky je 3ϕ, ) = 1 ϕ 3 nebo pro odchylku tělesových úhlopříček α pltí sin ( α. V knize [16] n strně 67 se uvádí, že pro délku hrny dvnáctistěnu rovnou jedné je povrch dvnáctistěnu 15ϕ 3 ϕ objem. Ob vzthy můžeme sndno ověřit. 5ϕ3 6 ϕ Dosdíme-li z ϕ hodnotu 1+ 5, vyjde po ptřičných úprvách totéž, jko kdybychom dosdili do výše uvedených vzorců = 1. Dlší výpočty související s prvidelným dvnáctistěnem s dlšími prvidelnými mnohostěny, ze kterých vyplývjí zde uvedené vzthy pro výpočet délky tělesové úhlopříčky j., jsou podrobně provedeny v [14]. V téže práci jsou odvozeny všechny vzorce pro výpočty povrchů, objemů poloměrů vepsných i opsných kulových ploch. Do dvnáctistěnu lze vepst krychli tk, že všechny hrny krychle splývjí s některou stěnovou úhlopříčkou dvnáctistěnu. Díky tomu je poměr délek hrny krychle hrny dvnáctistěnu zlté číslo. Těchto vlstností lze využít pro konstrukci prvidelného dvnáctistěnu ve volném rovnoběžném promítání. 1 Pltón (vlstním jménem Aristoklés, si př. n. l.) zložil v Athénách filosofickou školu Akdémi, kde se vyučovl i mtemtik. Více viz Pltónův spis Timios.

4 69 Obrázek 4.1: Prvidelný dvnáctistěn opsný krychli Popis konstrukce (obr. 4.1): Nejprve sestrojíme krychli ABCDEF GH tk, že její střed splývá s počátkem soustvy souřdnic stěny leží v rovinách rovnoběžných s rovinmi určenými souřdnicovými osmi. Strnou si zkonstruujeme prvidelný pětiúhelník M N GP F zdný délkou úhlopříčky (totožná s délkou hrny krychle). Tento pětiúhelník umístíme ke krychli tk, že jeho úhlopříčk F G splývá s hrnou krychle F G střed X strny MN leží n ose x. Ptu kolmice z bodu P k ose z oznčíme Z. Průsečík kldné poloosy x se stěnou krychle oznčme X, průsečík kldné poloosy z se stěnou krychle oznčme Z průsečík kldné poloosy y se stěnou krychle oznčme Y. Dále vyznčme n kldné poloose y bod Y tk, že OY = OX = OZ (vzdálenosti se sobě rovnjí ve skutečnosti, při volném rovnoběžném promítání dochází smozřejmě ke zkreslení podle zvolených prmetrů promítání). Body X, Y, Z leží vždy ve středu nějké hrny dvnáctistěnu délku těchto hrn známe. Kždý vrchol krychle je součsně vrcholem dvnáctistěnu dvnáctistěn je středově souměrný podle počátku. Nvíc pltí: OX OX = OY OY = OZ OZ = ϕ.

5 70 Bude-li délk hrny krychle v nší konstrukci dvě jednotky délky, potom lze dopočítt souřdnice všech vrcholů sestrojeného dvnáctistěnu: [±1; ±1; ±1] (vrcholy krychle celkem 8), [±ϕ; ± 1ϕ ; 0 ] (vrcholy vlevo vprvo celkem 4), [ 0; ±ϕ; ± 1 ] (vrcholy vpředu vzdu celkem 4), ϕ [± 1ϕ ] ; 0; ±ϕ (vrcholy nhoře dole celkem 4). Obrázek 4.: Jehln n dvcetistěnu Dlší pro nás zjímvý mnohostěn je prvidelný dvcetistěn. Tké n něm můžeme njít prvidelný pětiúhelník, stčí, když si předstvíme pětiboký jehln, jehož plášť tvoří pět stěn dvcetistěnu se společným vrcholem. Podstvou tohoto jehlnu je prvidelný pětiúhelník (obr. 4.). V knize [16] je n strně 67 jko zjímvost uvedeno, že objem dvcetistěnu s jednotkovou hrnou je roven výrzu 5ϕ 5 6. Zřejmě se všk jedná o omyl, protože objem tohoto dvcetistěnu je roven 5(3+ 5) 1, což je si,18, ztímco výrz 5ϕ5 6 má přibližně hodnotu 9,4. Ovšem můžeme njít jiný vzth pro dvcetistěn, který lze zpst pomocí ϕ, npříkld pro odchylku sousedních stěn ω prvidelného dvcetistěnu pltí sin ( ) ω = 3 ϕ. Dvcetistěn lze zkonstruovt pomocí dulity s dvnáctistěnem 3 nebo opět pomocí krychle. Dvcetistěn totiž lze vepst do krychle tkovým způsobem, že některé hrny dvcetistěnu leží ve stěnách krychle (v kždé stěně leží jedn hrn) rovnoběžně s hrnmi krychle nvíc středy těchto hrn dvcetistěnu splývjí se středy stěn krychle (podle [38]). Dejme tomu, že krychli, jejíž hrnu zvolíme z jednotku délky, umístíme do soustvy souřdnic tk, že střed krychle splývá s počátkem soustvy souřdnic. Hrnu dvcetistěnu oznčíme x. Souřdnice bodů A, B, C jsou tedy: A [ x ; 1 ; 0 ], B [ x ; 1 ; 0 ], C [ 0; x ; 1 Nyní vypočteme délku x tk, by byl trojúhelník ABC rovnostrnný. Pro x tedy musí pltit, že AB = BC = AC = x. Oznčíme-li střed strny AB 3 Dvě těles jsou duální, lze-li je nvzájem (při vhodném poměru velikostí) do sebe vepst tk, že vrcholy jednoho těles leží ve středech stěn druhého. Jelikož dvnáctistěn dvcetistěn jsou duální těles, získáme vrcholy dvcetistěnu tk, že zkonstruujeme středy stěn dvnáctistěnu ( nopk). Více o dulitě těles v [14]. ].

6 71 Obrázek 4.3: Dvcetistěn v krychli výpočet jko S ptu kolmice spuštěné z bodu C do roviny os x, y jko M (obr. 4.3), potom ( ) 1 x SC = SM + CM = + AC = AS + SC, tedy ( x ) ( ) 1 x x = + + Po úprvě poslední rovnice obdržíme rovnici 0 = x + x 1, ( ) 1. ( ) 1, jejíž kořeny jsou 1 ( ϕ). V úvhu vezmeme pouze první kořen, jelikož délk ϕ hrny nemůže být záporné číslo. Poměr délek hrn krychle dvcetistěnu je tedy ϕ. Nyní můžeme dvcetistěn nrýsovt, stčí jen rozdělit hrnu krychle zltým řezem zjistit tk délku hrny dvcetistěnu (obr. 4.4). Zjistili jsme, že do prvidelného dvcetistěnu lze vepst tři zlté obdélníky se společným středem ležící v nvzájem kolmých rovinách tk, že krtší strny obdélníků splývjí s hrnmi dvcetistěnu. Delší strny obdélníků mjí stejnou délku jko hrn krychle, do které jsme dvcetistěn vepisovli (obr. 4.5). Díky dulitě dvcetistěnu s dvnáctistěnem lze tytéž obdélníky vepst do prvidelného dvnáctistěnu tk, že vrcholy těchto obdélníků splývjí se středy stěn dvnáctistěnu. Bude-li mít krychle, od které vycházíme, hrnu dlouhou ϕ, potom souřdnice vrcholů dvcetistěnu budou

7 7 Obrázek 4.4: Dvcetistěn v krychli Obrázek 4.5: Zlté obdélníky vepsné do dvcetistěnu [±ϕ; 0; ±1], [0; ±1; ±ϕ], [±1; ±ϕ; 0]. Hrn dvcetistěnu je v tomto přípdě dlouhá dvě jednotky délky. Do krychle lze vepst i prvidelný dvnáctistěn. Potom poměr délek hrny dvnáctistěnu hrny krychle je 1 ϕ (obr. 4.6) [38]. Dvnáctistěn dvcetistěn lze vepst pro nás zjímvým způsobem i do prvidelného osmistěnu. Vepíšeme-li dvcetistěn do osmistěnu tk, jk je vidět n obrázku (4.7), budou vrcholy dvcetistěnu dělit hrny osmistěnu zltým řezem. Pokud do osmistěnu vepíšeme (nejde o skutečné Obrázek 4.6: Dvnáctistěn v krychli vepsání, protože některé vrcholy dvnáctistěnu jsou vně osmistěnu) dvnáctistěn tk, jk je vidět n obrázku (4.8), budou vrcholy dvnáctistěnu dělit hrny osmistěnu v poměru 1 : ϕ [38].

8 73 Obrázek 4.7: Dvcetistěn v osmistěnu Obrázek 4.8: Dvnáctistěn v osmistěnu Nkonec upozorním n jedno nedoptření uvedené v knize [4]. Autor zde píše, že souřdnice vrcholů prvidelného osmistěnu jsou [±ϕ ; 0; 0], [0; ±ϕ ; 0], [0; 0; ±ϕ ]. Ne, že by to nebyl prvd, le z ϕ můžeme dosdit libovolnou kldnou konstntu k získáme tké souřdnice vrcholů prvidelného osmistěnu. Tento osmistěn má střed v počátku soustvy souřdnic, jeho vrcholy leží n souřdnicových osách jeho tělesová úhlopříčk má délku k (obr. 4.9). 4. Dlší těles prostorové úlohy Obrázek 4.9: Osmistěn Zltý řez se objevuje n mnoh dlších tělesech. Význmnou skupinu mnohostěnů tvoří poloprvidelné mnohostěny 4, mezi které ptří Archimédov těles. 5 Některé vzorce pro výpočet povrchu, objemu td. těchto těles lze jednoduše přepst pomocí zltého čísl. Npříkld poloměr kulové plochy opsné tělesu nzývnému ikosidodekedr 6 (obr. 4.10) je roven zltému číslu ϕ nebo 4 Poloprvidelné mnohostěny jsou mnohostěny, jejichž stěny jsou tvořeny prvidelnými mnohoúhelníky dvou nebo tří typů jejichž vrcholy jsou všechny stejného typu (v kždém vrcholu se setkávjí tytéž hrny v dném pořdí). 5 Třináct mnohostěnů, které objevil popsl řecký mtemtik fyzik Archimédés (87 1 př. n. l.). Vznikjí ořezáváním hrn nebo vrcholů prvidelných mnohostěnů. 6 Názvy Archimédových těles se většinou do češtiny nepřekládjí. Bývjí odvozeny od prvidelného mnohostěnu, ze kterého těleso vzniklo. Ikosidodekedr lze získt z prvidelného dvnáctistěnu nebo z prvidelného dvcetistěnu.

9 74 poloměr kulové plochy, která se dotýká hrn těles zvného zkosený ikosedr 7 (obr. 4.11) je roven 3 ϕ (v obou přípdech je hodnot poloměru uveden pro jednotkovou délku hrny). N obou zde zmíněných tělesech jsou některé stěny tvořené prvidelnými pětiúhelníky [14]. Obrázek 4.10: Ikosidodekedr Obrázek 4.11: Zkosený ikosedr Dlší zjímvou skupinu těles tvoří konvexní mnohostěny, jejichž stěny jsou kosočtverce. Ve speciálním přípdě jsou všechny stěny tvořeny tkzvnými zltými kosočtverci. Zltý kosočtverec je tkový kosočtverec, pro jehož úhlopříčky e, f, e > f pltí: e f = = ϕ. Obrázek 4.1: Keplerův třicetistěn Tkové mnohostěny známe čtyři. Prvním prvděpodobně nejdříve objeveným je tkzvný Keplerův třicetistěn (rhombic triconthedron). Tento mnohostěn popsl Johnnes Kepler ve své práci Hrmonices Mundi (1619). Jde o konvexní těleso, jehož povrch se skládá z třiceti shodných zltých kosočtverců (obr. 4.1). Z třicetistěnu lze postupným odebíráním stěn vytvořit dlší tři těles, jejichž stěny jsou shodné zlté kosočtverce: Kosočtverečný dvcetistěn (rhombic icoshedron), kosočtverečný dvnáctistěn druhého druhu 8 (rhombic dodechedron of the second kind) zltý klenec (golden rhombohedron), což je speciální rovnoběžnostěn, jehož stěny (je jich šest) jsou zlté kosočtverce (obr. 4.13). Z dvceti zltých klenců lze sestvit kosočtverečný šedesátistěn (rhombic hexeconthedron). Toto těleso je už le nekonvexní. Pro zjímvost si ještě ukážeme výskyt zltého řezu jinde než n mnohostěnech. V knize [5] je n strně 111 tučným písmem uveden tto vět: Rovinou podstvy kulové úseče, jejíž objem je polovicí objemu příslušné výseče, je rozdělen poloměr koule zltým řezem, přičemž je vzdálenost d větším úsekem poloměru r. 7 Zkosený ikosedr získáme odříznutím vrcholů prvidelného dvcetistěnu. Toto těleso svým tvrem připomíná fotblový míč. 8 Existuje ještě kosočtverečný dvnáctistěn prvního druhu (nzývný jen kosočtverečný dvnáctistěn).

10 75 Obrázek 4.13: Kosočtverečný dvcetistěn, dvnáctistěn zltý klenec Vět je v knize důsledkem úlohy, kterou zde uvedu včetně řešení. V zájmu srozumitelnosti sndné čitelnosti všk nebudu doslov citovt utor. V jké vzdálenosti od středu koule musí být podstv kulové úseče, by její objem byl polovinou objemu příslušné kulové výseče? Řešení (obr. 4.14): Hlednou vzdálenost oznčme d, přičemž d = r v, kde r je poloměr koule v je výšk kulové úseče. Objem kulové úseče se vypočítá podle následujícího vzorce: V = πv (3 + v ), 6 kde je poloměr podstvy kulové úseče. Tento objem má být polovinou objemu příslušné výseče. Protože objem výseče je součtem objemu úseče objemu kužele s vrcholem S (S je střed koule) podstvou, jko má úseč, musí být objem úseče stejný jko objem zmíněného kužele. Proto πv (3 + v ) = 1 π d, 6 3 πv (3 + v ) = 1 π (r v)/ π, 3 v + v 3 = r v, 5 v + v 3 r = 0. Do poslední rovnice dosdíme z výrz v(r v), protože podle Eukleidovy věty o výšce pltí v prvoúhlém trojúhelníku ABC vzth = v(r v). Obdržíme tedy: 5v (r v) + v 3 rv(r v) = 0 1v r 4v 3 4vr = 0/ : ( 4v) v 3rv + r = 0,

11 76 Obrázek 4.14: Určení vzdálenosti kulové úseče od středu koule což je kvdrtická rovnice pro v. Její kořeny jsou v 1 = r (3 + 5); v = r (3 5). Nyní můžeme dopočítt vzdálenost d postupným doszením výsledků v 1, v do rovnice d = r v: d 1 = r r (3 + 5) = r ( 5 + 1), d = r r (3 5) = r ( 5 1). Jelikož d 1 < 0, vyhovuje pouze výsledek d. Tedy d = r ( 5 1). Určeme ještě poměr r d : r d = r r ( 5 1) = = = ϕ. 5 1 Hodnot poměru r d tvrzení. je zlté číslo, což odpovídá výše uvedenému

12 77 V téže knize [5] je n strně 0 uveden ještě jedn zjímvá úloh. Jk veliký je středový úhel kulové výseče, jejíž objem je půlen rovinou hrnového kruhu? Úloh je té předchozí velmi podobná. Hlvní myšlenk zůstává stejná, jen místo vzdálenosti podstvy úseče od středu koule hledáme příslušný středový úhel kulové výseče (obr. 4.15). Výsledek vychází přibližně Obrázek 4.15: Určení středového úhlu kulové výseče