Kinematika příklad. Robotika. Vladimír Smutný. Centrum strojového vnímání. České vysoké učení technické v Praze

Transkript

1 Kinematika příklad Robotika Kinematika příklad Vladimír Smutný Centrum strojového vnímání České vysoké učení technické v Praze ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide, Page

2 Příklad praktické úlohy D měřicí stroj s kamerou, případně kuličkou. Příkladem úlohy, kterou byste měli být schopni řešit, je úloha analýzy kinematického řetězce a koncepční návrh jeho kalibrace. Ukážeme si na příkladě, jak by takový proces mohl vypadat. Mějme konkrétní zařízení, měřicí stroj. Při jeho vývoji byste byli pravděpodobně už u jeho konstrukce, můžete ale dostat jeho mechanickou část již ve finálním, neměnném stavu. Nejdříve je třeba nalézt jednotlivé stupně volnosti a zjistit, v jaké jsou vzájemné poloze. Zavedeme si jednotlivé souřadné soustavy např. v souladu s Denavitovou-Hartenbergovou notací. Souběžně kreslíme graf reprezentující kinematické vztahy ve stroji. V tomto grafu uzly reprezentují souřadné soustavy, hrany reprezentují vzájemnou polohu souřadných soustav popsanou například transformační maticí. Je třeba si uvědomit, že konkrétní mechanická soustava může být popsána grafem s libovolným počtem uzlů, protože nám nic nebrání, abychom si zvolili libovolné množství souřadných soustav. Graf je také v principu úplný, protože mezi libovolnými souřadnými systémy existuje transformace polohy. V praxi ale budeme do grafu zakreslovat jen takové hrany, které můžeme způsobem určit:. souřadné soustavy jsou pevně spojeny a jejich vzájemná poloha je známa z výkresu,. souřadné soustavy jsou pevně spojeny a jejich vzájemnou polohu umíme změřit vhodným externím přístrojem nebo postupem,. souřadné soustavy jsou na ramenech spojených řízeným nebo alespoň měřeným kloubem, transformační matice je pak funkcí této kloubové proměnné,. vzájemnou polohu souřadných soustav jsme schopni měřit nějak jinak, například kamerovým systémem,. vzájemnou polohu souřadných soustav jsme schopni určit jako posloupnost transformací, určenými některými z výše uvedených postupů. Při úlohách analýzy a kalibrace takového stroje můžeme úlohu polohování objektu nebo měření polohy formulovat jako sestrojení takového grafu, kde mezi uzly = souřadnými soustavami, jejichž vzájemnou polohu máme měřit, je cesta (posloupnost hran), která se skládá jen z hran, jejichž transformace známe. V grafu tak můžeme všechny uzly, které jsou spojeny cestou (v grafové terminologii je taková množina označena jako klika), doplnit na úplný podgraf (třídu ekvivalence), protože relace mezi souřadnými systémy je známá transformace je reflexivní, symetrická a tranzitivní. ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide, Page

3 Příklad praktické úlohy C C C C C8 C7 C6 C Při volbě souřadných soustav se snažíme volit souřadné soustavy tak, aby vztahy mezi nimi byly jednoduché, osobně dávám přednost raději zvolit více souřadných soustav, mezi kterými jsou jasné vztahy. Souřadné soustavy můžeme zvolit například takto: C Souřadná soustava pracovního stolu. C Souřadná soustava hlavního pojezdu. C Souřadná soustava hlavního pojezdu, posunutá. Hlavním důvodem pro zavedení této souřadné soustavy je její jednoduchý vztah k souřádným soustavám C a C. C Souřadná soustava vedlejšího pojezdu. C Souřadná soustava vedlejšího pojezdu, posunutá. C6 Souřadná soustava kamery nebo dotyku. C7 Souřadná soustava měřeného výrobku. C8 Souřadná soustava objektu zájmu na měřeném výrobku, např. otvoru obdélníkového tvaru. ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide, Page

4 T6 Příklad praktické úlohy C T / C6 C T68 T67 T C7 T6 C T78 T7 T C C C C8 C C T C C8 C7 C6 C. Kamera měří v souřadné soustavě C6, předmětem měření jsou body, úsečky, kruhové oblouky, kružnice a jiné geometrické objekty. Cílem měření je poloha těchto objektů v souřadné soustavě C7. Protože měříme v C6 a chceme znát výsledky měření v C7, musíme najít cestu přes známé hrany z C8 do C7. Vztah mezi souřadnými soustavami je dán následujícími transformacemi: T Transformace je dána pevným posunutím, které lze vyčíst z výkresu a posuvným kloubem, který je odečítán snímačem. T Transformace je dána pevným posunutím, které lze vyčíst z výkresu. T Transformace je dána posuvným kloubem, jehož poloha je odečítána snímačem. T Transformace je dána pevným posunutím, které lze vyčíst z výkresu. T6 Transformace je dána posuvným kloubem, jehož poloha je odečítána snímačem. T68 Poloha souřsouřadná soustava kamery nebo dotyku. T7 Transformace je dána založením výrobku na pracovní stůl. Na začátku měření je neznámá, ale předpokládá se neměnná po dobu měření. T78 Tato transformace je předmětem měření. Při měření transformace T78 změříme kamerou několik referenčních bodů na výrobku (souřadná soustava C7). Tím určíme T67. Pak změříme několik bodů na hledaném objektu (souřadná soustava C8). Výpočtem určíme T68. Násobením transformačních matic najdeme hledanou transformaci T78. V praxi nás nejčastěji zajímají polohy bodů nebo objektů v souřadném systému výrobku C7, takže nemusíme určovat polohu souřadného systému C8, ale tuto skutečnost neumíme zachytit konzistentně v uvedeném grafu. V příkladu je nutné určit polohu založení výrobku (resp. s ním spojené souřadné soustavy C7) v souřadné soustavě stroje C, tedy transformaci T7. Tu můžeme určit například tak, že změříme několik referenčních bodů na výrobku v soustavě souřadné stroje C. Mějme na výrobku referenční body P j, jejichž souřadnice P j 7 v souřadném systému výrobku známe například z výkresu výrobku. Změřme (kamerou, dotykovým čidlem,...) jejich souřadnice P j v souřadném systému C. Protože měření kamerou není náplní tohoto předmětu, nahraďme ho měření se záměrným křížem. Změření těchto bodů vlastně znamená P j = T (q j )T T (q j )T T 6(q j )Pj 6, () kde kloubové souřadnice q j určují polohu optiky se záměrným křížem ( chapadla robotu) v okamžik měření bodu P j a P j 6 ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide, Page

5 je poloha záměrného kříže v C6, například [,,, ] T. Tedy P j = T (q j )T T (q j )T T 6(q j ) = T 6( q j ) = () () Vzájemný vztah mezi souřadnicemi těchto bodů je pak dán známým vztahem P j 7 = T 7 P j [, () P 7... P j ] 7 = T 7 [ P... P j ]. () Tento vztah použijeme pro výpočet matice T 7. Při řešení soustavy si musíme dát pozor na řešitelnost soustavy. Ta je dána počtem a vzájemnou polohou měřených bodů P j. Můžeme rozlišit následující situace. Bodů je málo, pokud máme méně než tři body, poloha souřadného systému výrobku není dostatečně určena.. Body leží na přímce, poloha souřadného systému je nedourčená.. Body leží skoro na přímce, poloha souřadného systému je špatně podmíněná.. Bodů je dost, nejsou kolineární, jsou změřeny absolutně přesně. Existuje právě jedno řešení. Takováto situace je ale v praxi neuskutečnitelná a kromě toho numerické řešení nám skoro jistě nedá přesný výsledek.. Bodů je dost, nejsou ani přibližně kolineární, nejsou ale změřeny přesně. Nepřesnost může být v souřadnicích P j 7 (nesouhlasí skutečná poloha bodů s výkresem) nebo P j (stroj nezměřil přesně polohy bodů). V praxi je nepřesnost v obou vektorech. Toto je realistická situace, o kterou usilujeme. Více bodů nám přináší více informace, ale není to prostý počet bodů, ale také jejich vzájemná poloha, co rozhoduje o přesnosti odhadu parametrů transformační matice. Druhým problémem, se kterým se musíme vyrovnat, je to, že transformační matice ma vnitřní strukturu, jinými slovy, ačkoliv má 6 prvků, má jen 6 stupňů volnosti. Prvky jsou svázány nelineárními (kvadratickými) podmínkami, neboť levá horní x podmatice má být rotační. Dále pak poslední řádek je [,,, ]. Principielně chceme, aby kvadratické podmínky byly splněny přesně (v kontextu numerické matematiky) a lineární soustava rovnic byla vyřešena s minimální chybou (například ve smyslu nejmenších čtverců). Řešení takovýchto soustav je netriviální problém, který má ale řadu řešení popsaných v literatuře. Kromě bodů můžeme učit polohu výrobku např. přímkou, rovinou a podobně. Takto se v praxi usazují například strojní součásti. Po určení transformační matice T7 můžeme přímo měřit v souřadnicích výrobku P 7 = T 7 T 6( q). (6) Měřit tedy znamená najet záměrným křížem na měřený bod, odečíst kloubové souřadnice q a vypočítat souřadnice bodu v souřadném systému výrobku P 7. ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide, Page

6 Praktické poznámky k návrhu Jestliže stavíme zařízení, které má být velmi přesné, často nevystačíme s přesností, která je daná přeností výroby a přesností montáže. Přesnost, s jakou známe vzájemnou polohu dvou smontovaných dílů vzrůstá v následujícím seznamu:. Díl nebo díly jsou jen standardně vyrobeny.. Styčné plochy dílů jsou specielně upraveny a jejich vzájemná poloha je tolerována, tedy výroba kontroluje přesnost, s jakou jsou plochy vyrobeny. Specální úprava může spočívat v broušení, leštění, kolíkování a podobně.. Díly jsou vzájemně tzv. justovány, tedy jejich vzájemná poloha je v rámci vzájemné vůle před závěrečnou fixací (např. před utažením šroubů, zalepením,... ) nastavována pomocí přípravků například na kolmost, rovnoběžnost, na správnou vzdálenost a podobně.. Po smontování nebo výrobě jsou skutečné rozměry nebo tvary dílů změřeny a v modelu (např. přímé kinematické úloze) jsou použity ne nominální, ale skutečné rozměry.. V provozu jsou periodicky prováděny kalibrace rozměrů nebo tvarů, takže skutečné rozměry jsou upřesňovány periodicky. Technik například zkontroluje vzájemné polohy nebo něco dostaví. 6. V provozu jsou online prováděny kalibrace rozměrů nebo tvarů, takže skutečné rozměry jsou upřesňovány periodicky. Stroj sám doměřuje při provozu své parametry např. najetím do referenční polohy a jejím změřením. Operace uvedené pod body?? a?? jsou typicky drahé. V minulosti, zhruba do poloviny minulého století nebyly k dispozici jiné metody než vyjmenované v prvních třech bodech. S rozvojem počítačů a řídicích systému bylo možné používat i body??,?? a??. V principu je možné použít i např. jen body?? a?? a výrobu velmi zlevnit odstraněním drahých operací. Pro velmi přesná zařízení to ale není možné, protože operace broušení a podobně také zajišťují stálost vzájemné polohy a tak umožňují dotlačit dosaženou přesnost dále. U pevných transformací bývají výkresové hodnoty jen odhadem skutečných parametrů. Přeměření stroje externími pomůckami nebo kalibrace speciálními kalibry a postupy, které jsou standardními součástmi stroje a jeho provozu, udává skutečné hodnoty. Například vyrobit dostatečně přímé vedení pro stroj, který měří s přesností na µm je skoro nemožné. Je ale možné offline změřit skutečný průběh přímosti za pomoci laseru a naměřené hodnoty vložit formou opravné tabulky do kinematického modelu stroje. Jiná možnost je vybavit stroj kalibrem přímosti a provádět pravidelné kalibrace přímosti. Takto naměřené hodnoty pak reflektují i například tepelné deformace stroje, průhyby a podobně. Jestliže jsou kalibrační body např. mm od sebe, mechanika stroje musí zaručit, že nelinearity přímosti budou mezi kalibračními body mnohem menší než požadovaná přesnost. ROBOTICS: Vladimír Smutný Slide, Page 6