Michaela Tichá. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Michaela Tichá Vícekriteriální hry Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. Studijní program: Matematika Studijní obor: Pravděpodobnost, matematická statistika a ekonometrie Praha 2012

2 Poděkování: Chtěla bych poděkovat vedoucímu diplomové práce, doc. RNDr. Petru Lachoutovi, CSc., za poskytnuté rady a připomínky a především za poskytnutou volnost ve výběru tématu i způsobu jeho zpracování. Dále bych chtěla poděkovat mamince, tatínkovi a partnerovi za mnohé rady při práci i do života.

3 Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracovala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona. V Praze dne Podpis autorky

4 Název práce: Vícekriteriální hry Autor: Michaela Tichá Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Petr Lachout, Csc., Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Abstrakt: Diplomová práce pojednává o konceptech řešení vícekriteriálních her. Vícekriteriální hra je speciální případ z teorie her, kdy výplatní funkce alespoň jednoho hráče je vektor, a hráč chce maximalizovat všechna kritéria zároveň. Práce je rozčleněna do čtyř kapitol. Nejprve je předloženo několik motivačních příkladů. Poté je nastíněna historie vícekriteriálních her. Následuje teoretická kapitola, která obsahuje 5 podkapitol - zavedení nových pojmů; rovnovážné body v jistém smyslu omezených příkladů her dvou hráčů; hledání rovnovážných bodů pomocí skalarizace vektorové výplatní funkce; koncept hledání tzv. ideálních rovnovážných bodů; srovnání metod. Dále je poslední koncept řešení názorně demonstrován na reálném příkladě. Nakonec je zařazena kapitola s novými teoretickými poznatky týkajícími se řešení v čistých strategiích. Klíčová slova: vícekriteriální hry, teorie her, vektorová výplatní funkce Title: Multicriteria games Author: Michaela Tichá Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Doc. RNDr. Petr Lachout, Csc., Department of Probability and Mathematical Statistics Abstract: The concern of this thesis is to discuss different multicriteria games solution concepts. Multicriteria game is a special case from the game theory if the payoff function of at least one player is a vector and the player wants to maximize all the criteria at the same time. The thesis is divided into four chapters. In the first instance a few motivation examples are introduced. Subsequently the history of the multicriteria games is mentioned. The theoretical chapter follows. It contains five sections - introduction of new definitions; the structure of the set of equilibria for two person multicriteria games; searching equilibria points by the help of scalarization of the vector-valued function; introduction of ideal equilibria points and ways how to find them; the comparison of used methods. The last solution concept is demonstrated by the real example. Finally a theoretical chapter with new results is included. Keywords: multicriteria games, game theory, vector payoff

5 Obsah Úvod 2 1 Motivace Konkurence mezi organizacemi Veřejné statky Volební boj Historie 9 3 Teoretické koncepty Základní pojmy Struktura řešení hry dvou hráčů Skalarizace výplatní funkce Ideální rovnovážné body Srovnání Aplikace Sestavení úlohy Řešení Analýza výsledků Teoretické výsledky Řešení v čistých strategiích Závěr 66 Seznam použité literatury 68 1

6 Úvod Každý den se ocitáme v situacích, v nichž se musíme rozhodnout pro jednu z možností tak, abychom získali co nejvíce. Pokud je výsledek závislý pouze na nás či nějakých nepředvídatelných vlivech, bývá rozhodování snazší než v situacích, kdy výsledek ovlivní i někdo jiný. Bývá ovšem velmi časté, že oproti nám rozhoduje závoveň další člověk či lidé, které zase zajímá co největší prospěch z jejich strany. Zde pak přichází ke slovu teorie her. Teorie her se zabývá množstvím rozhodovacích situací, v nichž proti sobě stojí více hráčů a každý se snaží maximalizovat svůj prospěch. Mohou to být hry v pravém slova smylu, ale také různé konfliktní situace například mezi obchodními společnostmi, politickými stranami, biologickými druhy apod. Kromě běžných standardních konfliktů, ve kterých hráči maximalizují jedno kritérium (nějaký zisk - finanční či jiný), se však často setkáváme se situacemi, kdy alespoň jeden z hráčů rozhoduje na základě více kritérií, jež chce maximalizovat zároveň. Někdy lze zisk z kritérií jednoduše sečíst (např. prodává-li firma dva produkty a chce maximalizovat zisk z nich, lze vytvořit jediné kritérium jako součet zisků z jednotlivých produktů), většinou to však nelze. Proto zde byla aplikována teorie vícekriteriální optimalizace do teorie her a vznikla tak nová teorie vícekriteriálních her. Ta se zabývá hledáním v určitém smyslu rovnovážných bodů her, kdy alespoň jeden hráč má více než jednu výplatní funkci. Z tohoto důvodu se vícekriteriálním hrám také často říká hry s vektorovou výplatní funkcí. Cílem práce je seznámit čtenáře s poměrně novou a v ČR dosud nepublikovanou problematikou vícekriteriálních her. Jsou zavedeny nové pojmy a definice a představeny některé ze zajímavých konceptů řešení. Jeden z konceptů je pak předveden na konkrétním příkladě. Nakonec je prezentován nový způsob řešení, který rychlou cestou nalezne většinu řešení v čistých strategiích. Předpokládá se, že se čtenář orientuje v základech teorie her a optimalizace. Práce je rozdělena do několika částí. Nejprve se čtenář seznámí s několika motivačními příklady, které demonstrují, proč se zabývat touto problematikou. Následně je zařazen stručný historický úvod, ze kterého je zřejmé, jak velice mladým tématem vícekriteriální hry jsou - až teprve v posledních deseti letech se jim věnuje trochu větší pozornost. Dále je zpracována teoretická část, která představí některé publikované koncepty řešení. Následuje aplikační část, která obsahuje vlastní sestavení příkladu, jeho vyřešení na základě konceptu z teoretické kapitoly a analýzu dosažených výsledků. Na závěr je zařazena kapitola s vlastními výsledky. Čtenář se seznámí se snadným způsobem hledání řešení v čistých strategiích. 2

7 Z odborné literatury byly použity výhradně nově publikované články, nebot žádné jiné zdroje doposud nejsou dostupné. Základní informace jsem čerpala z článků The Structure of the Set of Equilibria for Two Person Multicriteria Games autorů P. Borma, D. Vermeulena a M. Voornevelda a Ideal Equilibria in Noncooperative Multicriteria Games autorů M. Voornevelda, S. Grahnové a M. Dufwenberga. 3

8 Kapitola 1 Motivace Teprve více než deset let poté, co byla vytvořena ucelená teorie her, začali matematici zkoumat možnost více kritérií. Nyní se podíváme na pár motivačních příkladů, které je k tomu mohly vést. Oblastí, kde lze využít hry s více kritérii, je v běžném životě velmi mnoho. Ukážeme si možnost využití v konfliktu dvou organizací, v projektování veřejných statků a v boji volebních stran o voliče. 1.1 Konkurence mezi organizacemi Konkurenční boj mezi organizacemi, firmami či obchodními společnostmi je jedním z největších cílů zkoumání v rámci teorie her. Nejčastěji se jedná o jednu výplatní funkci - zisk. Možností je však mnohem více a mnohdy chtějí organizace optimalizovat více cílů zároveň. Ve větších firmách se obvykle objevují dva částečně protichůdné cíle. Majitelé chtějí co největší zisk, protože ten jde do jejich kapsy a stává se pro ně prioritou. Manažeři zase chtějí co největší obraty, protože mají pevný plat a jejich prestiž závisí na tom, jak firma expanduje a jak je známá. Tyto dva cíle jdou však velmi často proti sobě. Další možností je, že firmy mají více sekcí, pracují v různých oblastech. Jednotlivé sekce fungují samostatně, je nutno je zachovat všechny, nejsou-li vysloveně prodělečné. Není tedy možné rozhodovat pouze na základě maximalizace celkového zisku, ale firma se snaží maximalizovat zisky ve všech oblastech zvlášt. V těchto příkladech se berou jako hráči firmy a jejich výplatní funkce jsou hodnoty jednotlivých kritérií. Prostory strategií jsou obecně různé, může to být volba vyrobeného množství jednotlivých produktů, volba dodavatelů, rozhodnutí, do čeho budou investovány finance firmy apod. 4

9 1.2 Veřejné statky Vícekriteriální hry se uplatňují také v projektování veřejných statků. Předpokládáme několik subjektů. Každý subjekt vkládá stejné finance do společné kasy. Z té je pak financováno a uskutečňováno několik projektů. Přitom každý subjekt má jiný užitek a zájem o různé projekty. Jednotlivé subjekty se přitom snaží maximalizovat dvě výplatní funkce - jednak veřejné blaho, které je rovno součtu užitků jednotlivých subjektů, a zároveň vlastní zisk, který je roven vlastnímu užitku zmenšenému o částku zaplacenou do společného rozpočtu vyjádřenou v ekvivalentu užitku. Jako konkrétní ukázku si představíme tři města, která mezi sebou obchodují. Chtějí zjednodušit a urychlit dopravu a postavit mezi sebou dálnice. Každé dá do rozpočtu určitou částku, ze které se budou financovat dálnice mezi městy. Každé město má daný užitek z dálnice mezi každými dvěma městy. Ten závisí jednak na tom, s kterými městy nejvíce obchoduje, jednak na tom, která cesta je pro něj nejkratší. Bude-li například realizována dálnice mezi městy A a B a mezi městy B a C, ale nikoli přímo mezi městy A a C, budou mít města A a C z trasy A C menší užitek, než kdyby byla postavena přímá dálnice. Tento užitek bude o to menší, o kolik bude trasa A-B-C delší než A-C. Zároveň každé město vyjádří částku, kterou dává do společné kasy, v užitku, který by z té částky mělo. Nyní se města musí dohodnout, kolik dají do společné kasy a které dálnice budou realizovat. Zohledňovat přitom budou dvě výplatní funkce - veřejné blaho a vlastní užitek. Tento příklad je ukázka kooperativní vícekriteriální hry. 1.3 Volební boj Dalším zajímavým příkladem je předvolební boj politických stran. Jedná se v podstatě o speciální případ konkurenčního boje dvou organizací. Organizacemi jsou v tomto případě politické strany. Obvykle má každá politická strana dvě kritéria - jednak se samozřejmě snaží maximalizovat počet voličů, ale zároveň se snaží co nejvíce přiblížit základní politické ideologii své strany. Prostorem strategií je pak zvolený volební program. U tohoto příkladu si ukážeme, jak konkrétně by mohlo vypadat sestavení volebního boje jako vícekriteriální hry. Budeme předpokládat souboj 5 hlavních politických stran, jak je v posledních letech na naší politické scéně zvykem (byt se trochu střídají). Mějme tedy množinu pěti hráčů n = 5, N = {1, 2, 3, 4, 5}. Zvolíme 8 základních oblastí, podle nichž se rozhoduje nejvíce lidí: zdravotnictví, sociální politika, školství, daně, doprava, ekonomika státu, podpora podnikání a životní prostředí. Pro každou oblast určíme stupnici 1-10, každá volební strana pak volí u každé oblasti stupeň. Vektor těchto osmi stupňů je pak zvolená strategie. 5

10 Ve zdravotnictví stupnici stanovíme takto: 1 znamená, že vše platí zdravotní pojišt ovny, nezbývá pak mnoho peněz na financování nových výzkumů a zařízení; 10 znamená, že většinu úkonů si platí pacient sám a peníze se investují do nových drahých strojů pro léčbu těžkých nemocí. Sociální politika: 1 znamená vysoké sociální platby, tj. vysoké důchody, mateřské, podpory v nezaměstnanosti, sociální dávky atd.; 10 naopak znamená nízké sociální platby. Školství: 1 znamená zcela bezplatné školství, školní pomůcky k půjčování, příspěvek na školní potřeby pro prvňáčky apod.; 10 znamená zavedení školného na vysokých školách, samostatné financování učebnic apod., peníze do školství jdou naopak např. na nové počítače a podobná zařízení, moderní školní pomůcky atd. Daně: 1 znamená vysoké zdanění, vysokou míru progresivity, vysoká cla; 10 znamená nízké zdanění, tzv. rovnou daň, nízká cla. Doprava: 1 znamená nízké investice do dopravy, 10 naopak vysoké investice do dopravy. Ekonomika: 1 znamená vysoké investice státního rozpočtu a tím i větší zadlužování; 10 znamená malé investice, ale menší zadlužování. Podpora podnikání: 1 znamená malou podporu podnikání; 10 naopak vysoké investice do podpory podnikání. Životní prostředí: 1 znamená nezájem o životní prostředí; 10 naopak velké ohledy na životní prostředí, investice apod. Máme tedy prostor strategií kde X i = , X n =, n X i, i=1,..., , Každá politická strana tedy může zvolit jednu množinu strategií X i, jejich celkový počet je Nyní upřesníme výplatní funkce. Každá strana má dvě výplatní funkce. 6

11 Pod první výplatní funkcí si představíme počet voličů, kteří ji s takovým programem (za předpokladu zvolených programů ostatních stran) zvolí. Budeme brát ČR - aktuální počet obyvatel je něco málo přes 10,5 milionu obyvatel, z toho přibližně 8,5 milionu zletilých - přibližný počet voličů (jak uvádí ČSÚ k ). Předpokládejme 60% volební účast. První výplatní funkce tak může nabývat hodnot z intervalu [0; 5, 1. Politická strana se snaží dosáhnout co největšího počtu voličů. Pod druhou výplatní funkcí si představíme míru zachování ideologie. Budeme předpokládat, že každá strana má svou základní ideologii, s níž byla založena a ze které vychází. Označíme ji id x = id x i, kde i {1, 2,..., 8} je oblast a x {1, 2,..., 5} politická strana. Označíme ještě zvolenou strategii str x = stri x, kde opět i je oblast a x politická strana. Míru zachování stranické ideologie politické strany x budeme měřit součtem kvadratických odchylek zvolené strategie od základní ideologie: 8 (id x i stri x ) 2, i=1 kde suma běží přes 8 základních oblastí. Tuto výplatní funkci se politická strana snaží naopak minimalizovat. Nyní je ještě nutné specifikovat, jak volí voliči. Potřebujeme algoritmus, podle něhož na základě zvolených strategií pěti stran získáme počty voličů každé strany. Agentury zabývající se průzkumy trhu standardně rozdělují voliče na základě shlukové analýzy do několika kategorií (obvykle např. důchodci, studenti apod.). Poté se předpokládá, že jednotlivci z kategorie volí stejně. Každá kategorie má vlastní osobní preference v každé oblasti. Osobní preference se určují na základě průzkumů veřejného mínění. Předpokládejme, že tedy máme daných k kategorií voličů, množství voličů v každé kategorii w j, j {1, 2,..., k}, a osobní preference každé kategorie v 8 oblastech. Osobní preference označíme pref j i, kde i značí oblast a j značí kategorii voličů. Budeme předpokládat, že voliči volí pouze na základě shody volebního programu se svými osobními preferencemi. Voliči kategorie j tedy volí tu stranu x, pro níž bude výraz 8 ( pref j i ) 2 strx i i=1 nabývat minima. Předpokládáme, že nenastane situace, že by výraz byl minimální pro více stran. U každé kategorie je tedy jasné, kterou stranu by zvolili. Každá politická strana x tedy chce maximalizovat výraz k w j I (j volí stranu x), j=1 7

12 kde j jsou kategorie a I značí identifikátor. Tedy přesněji ( k 8 ) ( w j I pref j i ) 2 8 ( strx i < pref j i ) 2 stry i. j=1 y={1,2,3,4,5}\{x} i=1 Nyní bychom měli přesně zadanou vícekriteriální hru - 5 hráčů, každý má 100 milionů možných strategií a dvě přesně zadané výplatní funkce, přičemž jednu chce maximalizovat a druhou minimalizovat. Pokud bychom potřebovali obě funkce maximalizační, je možné k druhé přidat minusové znaménko, pak bude úloha ekvivalentní s původní. Nyní bychom měli najít rovnovážné body této hry. K tomu je nejprve nutné zavést definici takového rovnovážného bodu. Ve třetí kapitole si ukážeme, že existuje několik možných definic. Na tomto místě ještě poznamenáme, že v tomto příkladu bylo uděláno množství předpokladů, které v praxi nejsou zcela splněny. To je ovšem údělem toho, že realita jde málokdy převést do matematické řeči bez určitých zjednodušení. i=1 8

13 Kapitola 2 Historie Moderní teorie her byla zavedena prací Neumann and Morgenstern: The Theory of Games and Economic Behavior v roce Už dřívější studie se zabývaly tématy okolo teorie her, ale žádná netvořila precizní ucelenou teorii jako tato. Práce byla především kompilací předchozích tezí a neobsahovala žádné nové poznatky. Byly v ní však dokázány některé dříve formulované věty. Druhé vydání v roce 1947 přineslo ještě navíc rozvoj teorie užitku. V 50. letech vývoj směle pokračoval. Přispělo velké množství autorů, nejvýznamnějšími osobami se však stali J. F. Nash a L. S. Shapley. Nash v roce 1950 představil svou teorii rovnovážného bodu v nekooperativních hrách ve strategické formě. Neomezoval se pouze na hry s nulovým součtem jako mnozí jeho kolegové. Zobecnil též minimaxové teorémy i na hry s nenulovým součtem. V roce 1953 prezentoval i své výsledky v řešení kooperativních her. Jeho koncepty byly v té době převratné a dodnes se z nich vychází při studiích různých nových situací v teorii her. V roce 1953 publikoval Shapley svou studii, kde dokázal existenci a jednoznačnost kooperativních modelů her n hráčů. Prezentoval také spoustu dalších výsledků jako analýzy volebních modelů, stochastické hry a další. Shapley byl také velmi důležitou postavou v teorii vícekriteriálních her. Nejprve však v roce 1956 přišel D. Blackwell se svou tezí Analog of the Minimax Theorem for Vector Payoffs, v níž zobecnil minimaxovou větu na vícekriteriální hry. Ten také jako první použil pojem vícekriteriální hra (resp. hra s vektorovou výplatní funkcí). Nezávisle na něm pak v roce 1959 předvedl svou definici Shapley ve své studii Equilibrium Points in Games with Vector Payoffs. V této práci zároveň představil koncept hledání rovnovážných bodů, z něhož pak vycházeli další autoři, kteří se začali zabývat hrami s více možnými nesrovnatelnými kritérii. Zejména v 60. letech pak bylo prezentováno velké množství studií týkajících se teorie her, ale hrám s vektorovou výplatní funkcí příliš mnoho autorů pozornost nevěnovalo. Za zmínku z pozdějších let stojí několik prací. M. Zelený v roce 1976 prezentoval svůj koncept vícekriteriálních her Game with Multiple Payoffs, kde se zabýval hrami proti přírodě a hrami dvou hráčů s nulovou výplatní funkcí. V roce 1985 přišel H. W. Corley se svou prací Games with Vector Payoffs, v ní dokázal větu o existenci rovnovážného bodu pro vícekriteriální hru dvou hráčů. 9

14 Dále se teorií vícekriteriálních her zabýval D. B. Ghose. Ten napsal v roce 1989 společně s U. R. Prasadem tezi Solution Concepts in Two-Persons Multicriteria Games, v níž představil nový koncept řešení za předpokladu hry o dvou hráčích a srovnal ho s předchozími. V roce 1991 ještě publikoval práci A Necessary and Sufficient Condition for Pareto-Optimal Security Strategies in Multicriteria Matrix Games, ve které dokázal, že určitou skalarizací hry vytvoříme hru s jednou vektorovou funkcí, jejíž rovnovážné body jsou v určité definici rovnovážnými body původní vícekriteriální hry. Na druhou uvedenou práci Ghoseho navázali v roce 1998 autoři F. R. Fernandez, L. Monroy a J. Puerto ve své studii Multicriteria Goal Games. Zkoumají v ní problémy skalarizace hry a vytvořili tak obecnější koncept řešení. O čtyři roky později ještě publikovali ve složení F. R. Fernandez, M. A. Hinojosa, J. Puerto práci Core Solutions in Vector-Valued Games. Zabývají se zde kooperativními hrami a aplikují teorii standardních kooperativních her na ty s vektorovou výplatní funkcí. Teprve v posledních deseti letech se vícekriteriálním hrám dostalo větší pozornosti. Ze standardní teorie her byly již hlavní studie vytvořeny, a tak mnozí autoři zaměřili svou pozornost na vektorové výplatní funkce. S různými články s novými řešeními, specifickými řešeními i možnými aplikacemi se doslova roztrhl pytel. Zkoumají se různé aproximace, užití v soupeření organizací či firem, ve volebních modelech, dále různé specifické případy, které mají jednodušší řešení apod. Část z nich je i obsahem této práce. 10

15 Kapitola 3 Teoretické koncepty 3.1 Základní pojmy Nejprve zformulujeme nekooperativní vícekriteriální hru více hráčů, poté zavedeme nerovnosti dvou vektorů a následně zadefinujeme rovnovážné body vícekriteriální hry. Definice 3.1. Necht n N a N = {1, 2,..., n} je množina n hráčů, X i je množina čistých strategií hráče i N a pro každého hráče i N máme výplatní funkci u i : X j R r(i), j N která přiřazuje každé kombinaci strategií hráčů bod v r(i)-dimenzionálním Euklidovském prostoru, kde r(i) je počet kritérií hráče i N. Množinu nazveme vícekriteriální hra. G = N, (X i ) i N, (u i ) i N Obdobně provedeme rozšíření na smíšené strategie. Označme (X i ) množinu smíšených strategií hráče i N. Pro smíšenou strategii x i (X i ), j X i označíme x ij pravděpodobnost, že hráč i odpoví čistou strategií j. Definice 3.2. Necht G = N, (X i ) i N, (u i ) i N je vícekriteriální hra z definice 3.1. Nyní pod množinou strategií (X i ) i N uvažujeme množiny smíšených strategií (X i ) a hru G nazveme smíšené rozšíření vícekriteriální hry. Dále budeme uvažovat pod pojmem vícekriteriální hra její smíšené rozšíření a množinu všech smíšených rozšíření vícekriteriální hry označíme Γ. Ještě připomeňme, že hru s konečnou množinou čistých strategií nazveme konečnou vícekriteriální hrou a pokud jsou zisky jednoho vždy kompenzovány ztrátami jiných, nazýváme hru hrou s nulovým součtem. 11

16 V další části práce budeme potřebovat porovnávat vektory, zavedeme tedy vektorové nerovnosti: Definice 3.3. Necht a, b R m. Pak a b pokud a j b j pro všechna j {1,..., m}, a b pokud a b a a b, a > b pokud a j > b j pro všechna j {1,..., m}. Řekneme, že a dominuje b, pokud a > b. Konečně se dostáváme k definici rovnovážného bodu vícekriteriální hry. Budeme používat obvyklé označení x i pro množinu strategií všech hráčů kromě hráče i: x i = (x 1,..., x i 1, x i+1,..., x n ). V jednokriteriální hře pro Nashův rovnovážný bod platí, že je to strategický profil x i N (X i), pokud žádný hráč nemá alternativní strategii y j (X j ), pro kterou by jeho výplatní funkce byla (za předpokladu stejných strategií protihráčů) vyšší, tj. u j (y j, x j ) > u j (x). Ve vícekriteriální hře platí stejná definice. Výplatní funkce jsou vektorové, ale už máme zadefinovány vektorové nerovnosti, a tak můžeme přejít přímo k definici. Standardně se používají dvě definice - silný rovnovážný bod a slabý rovnovážný bod. Definice 3.4. Slabým rovnovážným bodem nazveme strategický profil x i N (X i ), pokud pro žádného hráče i N neexistuje strategie x i (X i ) taková, že u i ( x i, x i ) > u i (x i, x i ). Definice 3.5. Silným rovnovážným bodem nazveme strategický profil x (X i ), i N pokud pro žádného hráče i N neexistuje strategie x i (X i ) taková, že u i ( x i, x i ) u i (x i, x i ). Silný rovnovážný bod je v jistém smyslu analogie eficientního bodu ve vícekriteriální optimalizaci. Pro hráče je mnohem lepším rovnovážným bodem, protože říká, že pro žádného hráče neexistuje jiná strategie, při které by měl za daných strategických profilů protihráčů alespoň jednu výplatní funkcí vyšší a ostatní stejné. Přirozeně i když je jediné kritérium lepší, je pro hráče vektor výplatních funkcí lepší. Hledání silného rovnovážného bodu bývá ovšem mnohem náročnější, a tak se využívá definice slabého rovnovážného bodu. Slabý rovnovážný bod je narozdíl od silného rovnovážného bodu mnohem slabší 12

17 definice, kterou bychom nejspíš přirozeně nepoužili. Říká nám pouze to, že pro žádného hráče neexistuje alternativní strategie, při které by měl za daných strategických profilů protihráčů všechny výplatní funkce vyšší. Pokud však např. při strategii x i má při daném strategickém profilu protihráčů x i vektor výplatních funkcí (2,2), zatímco při strategii x i by měl vektor výplatních funkcí (2,100), patří do množiny rovnovážných bodů, jak bod (x i, x i ), tak bod ( x i, x i ). Poznamenejme, že rovnovážných bodů může být a také často bývá velmi mnoho. Ještě si ukážeme ilustrační příklad. Příklad 3.6. Uvažujme maticově zadanou hru dvou hráčů. Každý hráč má dvě výplatní funkce. Hráč 1 má strategie M a N, hráč 2 má strategie P a Q. Hodnoty výplatních funkcí hráče 1 jsou zobrazeny v matici A, hodnoty výplatních funkcí hráče 2 v matici B. [ (1, 1) (0, 3) A = (3, 5) (2, 4) [ (2, 4) (3, 1) B = (2, 0) (2, 1) To tedy znamená následující tabulku výplatních funkcí prvního hráče P Q M (1,1) (0,3) N (3,5) (2,4) a tabulku výplatních funkcí druhého hráče P Q M (2,4) (3,1). N (2,0) (2,1) Zajímá nás, jak je to s rovnovážnými body. Podíváme-li se na tabulku výplatních funkcí hráče 1, vidíme, že strategie N dominuje strategii M. To znamená, že at hráč 2 zvolí jakoukoli strategii, vždy bude pro hráče 1 nejlepší zvolit strategii N, hodnota obou výplatních funkcí je v takovém případě nejlepší. Strategie hráče 1 v rovnovážném bodě tedy musí být nutně čistá strategie N. Kdyby měl nenulovou pravděpodobnost zvolení strategie M, vždy by existovala lepší smíšená strategie (vektor (0, 1)), pro niž by byla výplatní funkce větší ve všech smyslech definice 3.3. Nesplňovala by tedy ani jednu definici rovnovážného bodu. Hráč 1 má tedy v rovnovážném bodě smíšenou strategii (0, 1). U hráče 2 je situace zajímavější. Hledáme rovnovážný bod, a proto se nemusíme zabývat hodnotami jeho výplatní funkce v případě zvolení strategie M hráčem 1 (zvolí ji s nulovou pravděpodobností). Zajímají nás tedy pouze vektory (2, 0) při strategii P a (2, 1) při strategii Q. Na první pohled vidíme, že je pro hráče 2 13

18 výhodnější strategie Q. Ta splňuje definici 3.4 i definici 3.5. Je to ale jediný rovnovážný bod? Vektor smíšených strategií (0, 1) hráče 2 je silný rovnovážný bod skutečně jako jediný. Pokud by hráč 2 zvolil jakoukoli jinou smíšenou strategii, pak by existovala strategie (vektor (0, 1)), pro kterou by byla hodnota vektoru výplatních funkcí větší ve smyslu (viz definice 3.3), tj. hodnota jedné výplatní funkce by byla stejná a hodnota druhé výplatní funkce by byla vyšší. Ovšem podle definice 3.4 je slabým rovnovážný bodem jakákoli smíšená strategie hráče 2. Protože at hráč zvolí libovolnou strategii (α, 1 α), nikdy nebude vektor výplatních funkcí větší ve smyslu >, hodnota první výplatní funkce bude stále 2 a nikdy vyšší. Hra má tedy jeden silný rovnovážný bod ((0, 1), (0, 1)) a nekonečně mnoho slabých rovnovážných bodů {((0, 1), (α, 1 α)), α [0, 1}. Závěrem této podkapitoly ještě zmíníme obvyklé značení pro konvexní polyedr, které budeme používat v podkapitole 3.2. Definice 3.7. Pro neprázdnou množinu S R n definujeme konvexní obal jako { conv(s) = λ(s)s : λ(s) 0 s I, } λ(s) = 1, I S konečná. s I s I Pro prázdnou množinu definici rozšíříme: conv( ) =. Definice 3.8. Množinu A R n nazýváme konvexní polyedr, existuje-li konečná množina S R n taková, že A = conv(s). 14

19 3.2 Struktura řešení hry dvou hráčů Tato podkapitola je převzata z [2. Nyní předpokládejme konečnou vícekriteriální hru pouze dvou hráčů. Označíme si tedy množinu čistých strategií prvního hráče X := X 1, množinu čistých strategií druhého hráče Y := X 2, množinu smíšených strategií prvního hráče (X) := (X 1 ) a množinu smíšených strategií druhého hráče (Y ) := (X 2 ). Množinu r(1) kritérií prvního hráče označíme S, množinu r(2) kritérií druhého hráče T. Pro každou dvojici čistých strategií x X, y Y dostaneme vektor hodnot výplatní funkce hráče i: u i (x, y). Pro každé kritérium s S si označíme (A s ) xy := e s.u i (x, y), kde e s.u i (x, y) značí skalární součin vektoru výplatních funkcí a jednotkového vektoru, který má jedničku na s-tém místě a nuly jinde. Je to tedy hodnota s-tého kritéria prvního hráče při čistých strategiích x a y. Obdobně označíme (B t ) xy := e t.u i (x, y), kde e t.u i (x, y) značí skalární součin vektoru výplatních funkcí a jednotkového vektoru, který má jedničku na t-tém místě a nuly jinde. Tedy obdobně jako v případě prvního hráče to je hodnota t-tého kritéria druhého hráče při čistých strategiích x a y. Vícekriteriální hra je jednoznačně zadána posloupnostmi matic A a B: A := (A s ) s S a B := (B t ) t T, A s := [(A s ) xy (x,y) X Y a B t := [(B t ) xy (x,y) X Y. Matice A a B budeme chápat jako matice vektorů. Rozměr těchto matic: X Y. Za předpokladu smíšených strategií p (X) a q (Y ) nazveme vektorem výplatních funkcí výraz paq := (pa s q) s S a pbq := (pb t q) t T. Nyní si připomeneme definici nejlepší odpovědi. Definice 3.9. Necht q (Y ) je strategie druhého hráče. Strategie p (X) prvního hráče se nazývá nejlepší odpovědí prvního hráče proti q, pokud neexistuje strategie p (X) taková, že vektor výplatních funkcí paq dominuje vektor výplatních funkcí paq. Množinu nejlepších odpovědí prvního hráče proti q budeme značit BR 1 (q). Obdobnou definici uvažujeme i pro druhého hráče. Jeho množinu nejlepších odpovědí proti p pak budeme značit BR 2 (p). 15

20 Definici 3.4 lze pak ekvivalentně vyjádřit tak, že strategický pár (p, q) je rovnovážným bodem právě tehdy, když p BR 1 (q) a q BR 2 (p). Necht nyní druhý hráč přiřadí každému kritériu t T váhu λ t. Potom vektor λ = (λ t ) t T ), λ t 0, t T λ t = 1, jehož t-tá složka přiřadí váhu t-tému kritériu druhého hráče, nazveme vektor vah kritérií druhého hráče. Poté můžeme vyjádřit zisk druhého hráče při smíšených strategiích (e i, e j ), e i X, e j Y (tedy hráč 1 volí čistou strategii i s pravděpodobností 1 a hráč 2 volí čistou strategii j s pravděpodobností 1) jako reálné číslo ( ) λ t e i B t e j = e i λ t B t e j. t T t T Při daném vektoru vah λ hráče 2 označíme matici B(λ) := t T λ t B t pro výpočet jeho zisku. Nyní můžeme formulovat výsledek Shapleyho [12. Lemma Necht p je strategie prvního hráče a necht q je strategie druhého hráče. Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní. (i) q je nejlepší odpovědí druhého hráče proti p (ii) existuje vektor vah λ := (λ t ) t T takový, že q je nejlepší odpovědí druhého hráče proti p, uvažujeme-li pro druhého hráče jediné kritérium dané maticí B(λ). Důkaz. Důkaz lze nalézt v [12. Jinými slovy lemma říká, že q je nejlepší odpovědí druhého hráče proti p tehdy a jen tehdy, může-li druhý hráč ohodnotit každé kritérium t T nezápornou váhou λ t tak, že výsledné kritérium je maximální pro q, hraje-li první hráč strategii p. Nyní zkonstruujeme dekompozici množiny rovnovážných bodů hry zadané maticemi A, B na konečný počet množin, tj. rozložíme množinu řešení na disjunktní sjednocení podmnožin. Předpokládejme, že máme hru dvou hráčů a podmnožinu V X čistých strategií prvního hráče. Označíme (V ) množinu smíšených strategií prvního hráče na podmnožině čistých strategií V. Dále označíme U(V ) množinu smíšených strategií druhého hráče, která reprezentuje množinu nejlepších odpovědí proti (minimálně) všem strategiím z (V ). Takovou množinu U(V ) nazveme region stability. Obdobně označíme (W ) množinu smíšených strategií druhého hráče, kde W Y, a U(W ) množinu smíšených strategií prvního hráče, které jsou nejlepší odpovědí proti (minimálně) všem strategiím z (W ). Rozhodující pro nás je, že všechny tyto množiny (V ), (W ), U(V ), U(W ) jsou 16

21 konvexní polyedry a pro každý konvexní polyedr je možné najít systém lineárních nerovností, které jej popisují. Z toho zároveň plyne, že množina ( (V ) U(W )) ( (W ) U(V )) je také konvexní polyedr. Kromě toho máme pouze konečný počet takových množin a lze ukázat, že jejich sjednocení je právě množina rovnovážných bodů dané hry dvou hráčů. Nakonec ještě uved me definici: Definice Necht m R n a necht P je konvexní polyedr v R n. Pro dva vektory k, l R n necht k, l := n i=1 k i.l i je skalární součin k a l. Vektor m dosahuje svého maxima na P v bodě k P, pokud m, k m, l pro všechna l P. Následně zformulujeme známé lemma (důkaz lze nalézt v [11). Lemma Necht m je vektor v R n. Dále necht P je konvexní polyedr v R n a F je stěna konvexního polyedru P. Pokud m dosahuje svého maxima na P v nějakém bodě l relativního vnitřku F, pak dosahuje svého maxima na P také v jakémkoli dalším bodě F. Poznamenejme dále, že (V ) je vlastně množina strategií p (X), jejichž nosič je podmnožina V. (Nosičem smíšené strategie nazýváme soubor čistých strategií, které mají pozitivní pravděpodobnost v této dané smíšené strategii.) Definujeme region stability U(V ) druhého hráče takto: U(V ) := {q (Y ) (V ) BR 1 (q)}. Obdobně označíme (W ) množinu strategií q (Y ), jejichž nosič je podmnožinou W a definujeme region stability U(W ) prvního hráče takto: U(W ) := {p (X) (W ) BR 2 (p)}. Konečně můžeme zformulovat klíčovou větu. Věta Množina rovnovážných bodů hry zadané maticemi A, B se rovná sjednocení množin přes všechny V X a W Y. ( (V ) U(W )) ( (W ) U(V )) Důkaz. Nejprve ukážeme, že je-li strategický pár (p, q) prvkem množiny ( (V ) U(W )) ( (W ) U(V )), pak je to rovnovážný bod. Poté ukážeme, že je-li (p, q) rovnovážný bod, pak je prvkem ( (V ) U(W )) ( (W ) U(V )) pro nějaké množiny V X a W Y. (i) Předpokládejme tedy, že strategický pár (p, q) je prvkem ( (V ) U(W )) ( (W ) U(V )) pro nějakou podmnožinu V X a podmnožinu W Y. Ukážeme pouze, že p je nejlepší odpovědí proti q. Tedy je-li q prvkem U(V ), víme, že jakákoli strategie z (V ) je nejlepší odpovědí proti q. Avšak p je prvkem (V ) dle předpokladů. Tedy p je nejlepší odpovědí proti q. Že i q je nejlepší odpovědí proti p, by se ukázalo analogicky. 17

22 (ii) Naopak, necht (p, q) je rovnovážný bod. Vezměme množinu V jako lineární obal vektoru p: V = C(p) a W jako lineární obal vektoru q: W = C(q). Ukážeme, že p je prvkem ( (V ) U(W )). Zřejmě p je prvkem (V ). Takže stačí ukázat, že p je také prvkem U(W ). Jinými slovy, potřebujeme ukázat, že každá strategie q (W ) je nejlepší odpovědí proti p. Vezměme tedy nějakou strategii q (W ). Jelikož q je nejlepší odpovědí proti p, víme z lemmatu 3.10, že existuje vektor vah λ = (λ t ) t T takový, že q je nejlepší odpovědí proti p podle kritéria daného maticí B(λ). Jinými slovy, vektor pb(λ) dosahuje maxima na (Y ) v bodě q. Avšak protože q je prvkem relativního vnitřku (W ), tak pb(λ) musí dosahovat svého maxima podle lemmatu 3.12 také v bodě q (W ). Tedy q je nejlepší odpovědí proti p podle kritéria daného maticí B(λ). Proto opět dle lemmatu 3.10 je q nejlepší odpovědí proti p, a tedy p ( (V ) U(W )). Že q je prvkem ( (W ) U(V )), by se opět dokázalo analogicky. Množiny (V ) a (W ) jsou konvexní polyedry pro všechny podmnožiny V X a W Y. Proto z předchozí věty plyne, že množina rovnovážných bodů hry zadané maticemi A, B je konečné sjednocení konvexních polyedrů tehdy a jen tehdy, jsou-li množiny U(V ) a U(W ) konvexní polyedry. Bohužel to však neplatí vždy. Ukážeme si názorný protipříklad, na němž si zároveň předvedeme způsob řešení vícekriteriální hry. Příklad Mějme dva hráče, oba mají tři čisté strategie. Čisté strategie prvního hráče pojmenujeme T, M a B, čisté strategie druhého hráče pojmenujeme L, C a R. První hráč má dvě kritéria a druhý hráč pouze jedno kritérium. Výplatní funkce druhého hráče je stále nula. Výplatní matice A prvního hráče je A = (1, 1) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (4, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 4) Připomínáme, že první hráč volí řádkové strategie a druhý hráč volí sloupcové strategie. Jelikož druhý hráč je zcela nestranný - jeho kritérium je stále stejné, je jakákoli jeho strategie q nejlepší odpovědí na jakoukoli strategii p prvního hráče. Je tedy zřejmé, že strategický pár (p, q) je rovnovážným bodem právě tehdy, když p BR 1 (q). Jinými slovy, množina rovnovážných bodů se rovná grafu nejlepších odpovědí BR 1. Abychom mohli nakreslit výsledný graf, musíme nejprve spočítat regiony stability druhého hráče. Nejprve poznamenejme, že hraje-li druhý hráč strategii q = (q L, q C, q R ) a první hráč čistou strategii e T = (1, 0, 0), pak výplatní funkce prvního hráče je vektor e T Aq = (q L, q L ). To je zřejmé, nebot i bez násobení vektorů snadno nahlédneme, že hodnota jeho první výplatní funkce bude 1 s pravděpodobností q L a 0 jinak, stejně tak i jeho druhá výplatní funkce bude 1 s pravděpodobností q L a 0 jinak. Podobně hraje-li první hráč čistou strategii e M = (0, 1, 0), je jeho výplatní funkce vektor e M Aq = (4q C, 0), a hraje-li čistou strategii e B = (0, 0, 1), je jeho výplatní 18.

23 funkce vektor e B Aq = (0, 4q R ). Vidíme, že bod (q L, q L ) leží na přímce x = y, bod (4q C, 0) leží na ose y = 0 a bod (0, 4q R ) leží na ose x = 0. Můžeme tak snadno znázornit 5 situací, které mohou nastat: Situace I Z obrázku 3.1 vidíme, že e T Aq = (q L, q L ) dominuje e M Aq = (4q C, 0) i e B Aq = (0, 4q R ). Obrázek 3.1: Situace I Situace II a III Z obrázku 3.2 vidíme, že v situaci II e T Aq = (q L, q L ) dominuje e B Aq = (0, 4q R ), Obrázek 3.2: Situace II a III ale nedominuje e M Aq = (4q C, 0). Situace III je symetrická s tím, že e T Aq = 19

24 (q L, q L ) dominuje e M Aq = (4q C, 0), ale nedominuje e B Aq = (0, 4q R ). Situace IV Z obrázku 3.3 vidíme, že v situaci IV e T Aq = (q L, q L ) nedominuje e B Aq = (0, 4q R ), ani e M Aq = (4q C, 0). Obrázek 3.3: Situace IV Situace V Z obrázku 3.4 vidíme, že v situaci V je pak e T Aq = (q L, q L ) dominován nějakou Obrázek 3.4: Situace V konvexní kombinací e B Aq = (0, 4q R ) a e M Aq = (4q C, 0). Když poté dáme dohromady všech pět situací, které mohou nastat, získáme regiony stability druhého hráče, které vidíme na obrázku

25 Obrázek 3.5: Regiony stability druhého hráče Regiony stability na obrázku 3.5 určíme přímočaře následujícím způsobem. Spočteme, pro jaké hodnoty q = (q L, q C, q R ) vypadá situace jako v situaci I. Zjistíme, že při situaci q L 4q C, q L 4q R, což je přesně znázorněno zakreslenými dvěma úsečkami. Římské číslice v oblastech obrázku právě korespondují s výše popsanými situacemi. Hranice mezi oblastmi I a II a oblastmi III, IV a V jsou dány rovností q L = 4q R. Podobně q L = 4q C určuje hranici mezi oblastmi I a III a mezi oblastmi II, IV a V. Konečně nejvíce nás zajímá hranice mezi oblastí V a ostatními. Hranice je přesně tam, kde e T Aq je prvkem úsečky mezi e M Aq a e B Aq. To znamená, že se jedná o množinu strategií (q L, q L ) splňující lineární rovnici q R x + q C y = 4q C q R. Proto to musí být množina strategií splňující kvadratickou rovnici q L q R + q L q C = 4q C q R (kromě řešení (q L, q C, q R ) = (1, 0, 0)). Nyní z obrázků 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 a 3.5 snadno můžeme popsat regiony stability druhého hráče. Stačí si uvědomit, že v situaci I je dle obrázku 3.1 nejlepší odpovědí čistá strategie T, tedy situace I patří do regionu stability U ({T }). V situaci II je dle obrázku 3.2 nejlepší odpovědí smíšená strategie přisuzující veškerou váhu na strategie T a M, tedy situace II patří do regionu stability U ({T }), U ({M}) a U ({T, M}). Situace III symetricky patří do regionu stability U ({T }), U ({B}) a U ({T, B}). V situaci IV je pak dle obrázku 3.3 nejlepší odpovědí bud smíšená strategie přisuzující veškerou váhu na strategie T a M nebo na strategie T a B, tedy situace IV patří do regionu stability U ({T }), U ({M}) a U ({B}), U ({T, M}) a U ({T, B}). V situaci V je dle obrázku 3.4 nejlepší odpovědí smíšená strategie přisuzující veškerou váhu na strategie M a B, tedy situace V patří do regionu stability U ({M}), U ({B}) 21

26 a U ({M, B}). Specifický je region stability U ({T, M, B}). Smíšená strategie libovolně rozložená mezi strategie T, M, B je nejlepší odpovědí pouze, pokud jsou všechny body na jedné přímce. To je však pouze v případě průniku situací IV a V. Regiony stability tedy vypadají následovně: U ({T }) = I II III IV U ({M}) = II IV V U ({B}) = III IV V U ({T, M}) = II IV U ({T, B}) = III IV U ({M, B}) = V U ({T, M, B}) = IV V Konečně se dostáváme k tomu, co jsme chtěli ukázat na tomto příkladě. Jak můžeme vidět, množina U ({T, M, B}) je kvadratická křivka. To znamená, že podmnožinu ({T, M, B}) U ({T, M, B}) množin rovnovážných bodů nelze vyjádřit jako konečné sjednocení konvexních polyedrů. Příklad nám ukázal, že pokud alespoň jeden hráč má více kritérií, neplatí automaticky, že množina rovnovážných bodů je konečné sjednocení konvexních polyedrů. Může obsahovat kvadratickou složku právě tehdy, když oba hráči mají alespoň tři čisté strategie. Pokud se však omezíme na případ, kdy alespoň jeden hráč má nejvýše dvě čisté strategie, pak budeme mít zaručeno, že množina rovnovážných bodů bude vskutku nutně konečným sjednocením konvexních polyedrů. Důkaz, že nutnou a postačující podmínkou, aby množina rovnovážných bodů vznikla konečným sjednocením konvexních polyedrů, je, aby alespoň jeden hráč měl nejvýše dvě čisté strategie, můžeme nalézt v [2. Tento koncept řešení je ještě o něco podrobněji rozebrán a aplikován ve čtvrté kapitole. 22

27 3.3 Skalarizace výplatní funkce Nyní se podíváme na přímočaré řešení, které nás pravděpodobně napadne při střetnutí s vícekriteriální hrou, aniž bychom znali jakékoli koncepty řešení. Zjednodušeně řečeno, výplatní funkce oceníme, přiřadíme-li jim váhy podle toho, které kritérium preferujeme, a poté je sečteme. Ve výsledku máme jedno kritérium, které chceme maximalizovat, stejně ostatní hráči. Dostali jsme tedy standardní jednokriteriální hru, u které můžeme nalézt Nashův rovnovážný bod. Pokud váhy máme, či je získáme, můžeme hru poměrně snadno převést na známou a probádanou úlohu a nepotřebujeme k tomu znát žádné další více či méně obtížné způsoby specifického hledání rovnovážných bodů vícekriteriální hry. Za předpokladu konečné hry máme i zaručenu existenci Nashova rovnovážného bodu. Jediným problémem se může zdát, že dané preference nemusíme mít k dispozici a dokonce nemusíme mít možnost, jak se k nim nějakým způsobem dostat, či je odhadnout. Pak tento koncept použít nemůžeme a musíme zkusit jiný. Nejprve představme základní větu převzatou z literatury, poté si prakticky ukážeme na příkladě, jak takové řešení probíhá. Pro zjednodušení zápisu ještě označíme intuitivně X := j N X j a (X) := j N (X j ) Nyní pro danou vícekriteriální hru G = N, (X i ) i N, (u i ) i N, kde u i : j N X j R r(i), přitom jednotlivé složky vektoru u i hráče i odlišíme: u i = (u 1 i,..., u r(i) i ), definujeme klasickou jednokriteriální hru G = N, (X i ) i N, (v i ) i N, kde v i : j N X j R, kde v i (x) := λ 1 i u 1 i (x) λ r(i) i λ := (λ i ) i N, u r(i) i (x), 23

28 je soubor vah jednotlivých hráčů. r(i) λ i := (λ 1 i,..., λ r(i) i ), λ j i = 1, λj i 0 Konečně můžeme vyslovit stěžejní větu převzatou z [9. Obdobnou verzi už však předvedl Shapley v [12. j=1 Věta Necht x (X) je slabý Nashův rovnovážný bod klasické jednokriteriální hry G = N, (X i ) i N, (v i ) i N, tj. pro všechna i je x i nejlepší odpovědí na strategický profil x i protihráčů. Pak x je slabý rovnovážný bod příslušné vícekriteriální hry G = N, (X i ) i N, (u i ) i N. Důkaz. Důkaz je snadný a přímočarý. Předpokládáme, že x je Nashův rovnovážný bod klasické hry. To znamená, že pro všechny hráče i N platí tvrzení: Pro všechny strategie y (X) takové, pro něž platí, že všichni hráči kromě hráče i mají strategii x i (tedy můžeme psát y = (y i, x i )) platí nerovnost v i (x) v i (y). Nyní pro spor předpokládejme, že x není slabý rovnovážný bod vícekriteriální hry. To znamená, že existuje hráč i N, pro něhož platí: Existuje taková strategie y (X) splňující předpoklad, že všichni hráči kromě hráče i mají strategii x i (tedy můžeme psát y = (y i, x i )), že u i (y) > u i (x). Pak ovšem musí platit vztah v i (y i, x i ) = v i (y i ) = λ 1 i u 1 i (y) + λ 2 i u 2 i (y) λ r(i) i > λ 1 i u 1 i (x) + λ 2 i u 2 i (x) λ r(i) i u r(i) i (y) u r(i) i (x) = v i (x) To ovšem neplatí, protože jsme předpokládali, že x je Nashův rovnovážný bod. Poznámka Povšimněme si analogie s lemmatem Věta nám tedy jinými slovy říká, že pokud jednotlivým kritériím přiřadíme váhy a převedeme tak vícekriteriální hru na klasickou jednokriteriální, nalezneme podmnožinu slabých rovnovážných bodů původní vícekriteriální hry odpovídající preferencím hráčů. 24

29 Ted si předvedeme příklad, na kterém si ukážeme praktickou aplikaci výše uvedeného postupu. Příklad Představme si standardní hru kámen, nůžky, papír. Předpokládejme, že hráči A a B mají dvě různé výplatní funkce, které chtějí maximalizovat zároveň a které jdou proti sobě. Tj. pokud hráč vyhraje dle standardních pravidel, jeho první výplatní funkce vzroste (resp. neklesne), kdežto druhá klesne (resp. nevzroste). Jinými slovy, při maximalizaci první výplatní funkce by se snažil vyhrát, ale při maximalizaci druhé výplatní funkce by se snažil prohrát. Předpokládejme hru s nulovým součtem. Hra je zadaná maticí A (B je pak určena vztahem B = A): (0, 0) (2, 1) ( 1, 0) A = ( 2, 3) (0, 0) (3, 1) (2, 3) ( 1, 4) (0, 0) Nyní předpokládejme, že známe preference hráčů. Hráč A volí váhy hráč B volí váhy Chceme najít slabé rovnovážné body. λ 1 = (λ 1 1, λ 2 1) = (0, 25; 0, 75), λ 2 = (λ 1 2, λ 2 2) = (0, 65; 0, 35). Nejprve uvažujme hráče A. Jeho matice hodnot první výplatní funkce U 1 1 : a matice druhé výplatní funkce U 2 1 : K N P K N P K N P K N P Nyní vytvoříme skalarizovanou výplatní funkci v 1, resp. její matici V 1 = 0, 25 U , 75 U1 2 : 0 0, 25 0, 25 V 1 = 1, , 75 2,

30 Obdobně uvažujme hráče B. Jeho matice hodnot první výplatní funkce U 1 2 : a matice druhé výplatní funkce U 2 2 : K N P K N P K N P K N P Opět vytvoříme skalarizovanou výplatní funkci v 2, resp. její matici V 2 = 0, 65 U , 35 U2 2 : 0 0, 95 0, 65 V 2 = 0, , 6. 0, 25 0, 75 0 Nyní tedy máme standardní jednokriteriální hru - dva hráče, každý má tři strategie a jednu výplatní funkci. Můžeme známými způsoby nalézt Nashův rovnovážný bod. Standardní maticovou hru vyřešíme pomocí dominantních strategií. Vidíme, že v matici V 1 druhý řádek ostře dominuje první řádek. Odtud víme, že platí p 1 = 0, a můžeme tedy první řádek - strategii kámen - z matice vypustit a uvažovat matici bez něj. Dále vidíme, že v matici V 2 první sloupec ostře dominuje druhý sloupec. Odtud opět víme, že platí q 2 = 0, a můžeme z matice vypustit druhý sloupec - strategii nůžky. Zůstanou nám tak výplatní matice: V 1 = [ 1, , 75 0, V 2 = [ 0, 25 1, 6 0, Nyní bychom mohli hru snadno řešit graficky, ale řešení je zřejmé. Uvědomíme si, že skalarizací dvou funkcí antagonistického konfliktu nám vznikla hra, která však již antagonistická není. Hráči mají různé výplatní funkce a zisk nebo ztráta protihráče je nijak nezajímá. Vidíme, že hráč A má nejvyšší hodnotu výplatní funkce v bodě (N, K) (v označení původních strategií) a hráč B má nejvyšší hodnotu výplatní funkce také v bodě (N, K). Ani jeden z hráčů nemůže v žádné jiné 26

31 dvojici strategií získat více, a proto je bod (N, K) rovnovážným bodem této hry. Hra tedy má řešení v čistých strategiích. Hodnota výplatní funkce prvního hráče je 1,75 a hodnota výplatní funkce druhého hráče je 0,25. Nyní se můžeme vrátit k původní vícekriteriální hře. Při čistých strategiích (N, K) je vektor výplatních funkcí prvního hráče (-2,3) a vektor výplatních funkcí druhého hráče (2,-3). Dle věty 3.15 víme, že je to slabý rovnovážný bod zadané vícekriteriální hry. 27

32 3.4 Ideální rovnovážné body Tato podkapitola je převzata z [13. V předchozí podkapitole jsme si ukázali možnost řešení pomocí skalarizace výplatní funkce. Obvykle však neznáme preference hráčů, které k řešení potřebujeme. Proto byl zkonstruován koncept hledání ideálních rovnovážných bodů. Ideální rovnovážné body jsou robustní vůči preferencím hráčů, jsou stejné pro jakékoli váhy. Jejich existence bohužel není zaručena. Uvedeme však některé případy, kdy existují. Na rozdíl od některých jiných konceptů řešení nalezení ideálních rovnovážných bodů je poměrně snadné. Přesná horní hranice pro počet provedených skalarizací je maximum z počtu kritérií jednotlivých hráčů. Definice Předpokládejme vícekriteriální hru G = N, (X i ) i N, (u i ) i N. Ideální rovnovážný bod je strategický profil x (X) takový, že pro každého hráče i N a každou strategii x i (X i ) platí dle definice 3.3. u i (x i, x i ) u i ( x i, x i ) Příklad Je snadné ukázat, že ideální rovnovážný bod nemusí existovat, stačí uvažovat hru jednoho hráče o dvou kritériích: [ (1, 0) A =. (0, 1) Vidíme, že zvolí-li hráč první strategii, jeho zisk bude (1, 0), zvolí-li druhou strategii, jeho zisk bude (0, 1) a zvolí-li smíšenou strategii (p, 1 p), jeho zisk bude (p, 1 p). Žádné p nesplňuje definici ideálního rovnovážného bodu, protože se zvyšováním p roste první výplatní funkce, ale klesá druhá výplatní funkce. Ukážeme si také dva příklady, které ideální rovnovážný bod mají. Příklad Nyní uvažujme dva hráče A a B, každý má dvě čisté strategie a dvě kritéria. [ (1, 1) (0, 1) A = (1, 0) (1, 1) [ (1, 1) (1, 0) B = (0, 1) (1, 1) Hra má dvě řešení v čistých strategiích: zvolí-li oba hráči první strategii nebo zvolí-li oba hráči druhou strategii. Jejich výplatní funkce pak budou (1, 1) a (1, 1). 28

33 Příklad Ještě si ukážeme, že ideální rovnovážný bod nemusí ležet nutně v prostoru čistých strategií. Uvažujme následující hru dvou hráčů zadanou výplatními maticemi [ (1, 0) (0, 1) A = (0, 1) (1, 0) B = [ (0, 1) (1, 0) (1, 0) (0, 1) V tomto příkladě hrá nemá ideální rovnovážný bod v čistých strategiích, ale existuje ideální rovnovážný bod ve smíšených strategiích. Hra má jediné řešení, a to ( ( 1, 1), ( 1, 1)). Pokud totiž jeden hráč hraje strategii ( 1, ), pak nejlepší odpovědí druhého hráče je jakákoli smíšená strategie a druhý hráč bude mít vždy stejný zisk. Totéž platí naopak. Je to tedy ideální rovnovážný bod. Pokud zvolí jeden z hráčů jinou strategii, pak už druhý hráč nemůže zvolit strategii tak, aby byli v ideálním rovnovážném bodě. Bod ( ( 1, 1), ( 1, 1)) je tedy jediný ideální rovnovážný bod hry. Pokud si vezmeme běžnou vícekriteriální hru, každý hráč má několik kritérií. Všechna se snaží maximalizovat zároveň. V podstatě si nejdříve spočítá optimální hodnotu každé výplatní funkce zvlášt a poté se snaží přiblížit tomuto ideálnímu bodu u všech výplatních funkcí zároveň. Pokud hra ideální rovnovážný bod má, hráči mohou ideálního bodu dosáhnout. Ideální rovnovážné body jsou přesně ty strategické profily, při nichž každý hráč dosáhne svého ideálního bodu za předpokladu daného strategického profilu jeho oponentů. Uvažujme vícekriteriální hru G = N, (X i ) i N, (u i ) i N. Ideální bod pro hráče i N za předpokladu strategického profilu oponentů x i j N\{i} (X j) je definován jako ψ i (x i ) R r(i) s vlastností k {1,..., r(i)} : ψ k i (x i ) =. max x i (X i ) uk i (x i, x i ). Pokud se jedná o hru jednoho hráče, je ideální bod jednoduše definován jako ψ i R r(i) s vlastností k {1,..., r(i)} : ψ k i = max x i (X i ) uk i (x i ). Dále označme množinu vah vektorů symbolem Λ a pojmenujeme ji reprezentativní, pokud pro každého hráče a každou jeho výplatní funkci obsahuje takový vektor, který dané výplatní funkci přiřadí váhu rovnu jedné, tj. pro které: i N, k {1,..., r(i)}, λ = (λ j ) j N : λ i = e k, myšleno λ i = e k (λ j k = 1; λj κ = 0 pro k κ), κ {1,..., r(i)}. Nyní si představíme větu, která nám přiblíží charakteristiku ideálních rovnovážných bodů: 29