pozor - zkrácený zápis se shoduje (graficky) se zápisem rozkladem na cykly

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "pozor - zkrácený zápis se shoduje (graficky) se zápisem rozkladem na cykly"

Transkript

1 Permutace Definice 1. Permuntací množiny {1, 2,, n} rozumíme zobranení p: {1, 2,, n} {1, 2,, n}, které je prosté a na. zápis permutace tabulkou: x p(x) zkrácený zápis: (4, 1, 3, 2, 6, 5) grafem: (šipky) rozkladem na cykly: (1, 4, 2), (5, 6), (3) zkráceně se cykly délky 1 vynechávají pozor - zkrácený zápis se shoduje (graficky) se zápisem rozkladem na cykly Notace 2. s n množina všech permutací množiny {1, 2,, n} S n = n! skládání permutací - binární operace na S n!není komut. př:(1, 3, 2) (2, 1, 3)=(3, 1, 2) p 1 inverzní permutace p(i) = j p 1 (j)=i Definice 3. Transpozice je permutace s pouze jedním cyklem délky 2 a ostatní cykly mají délku 1. Každá permutace lze složit z transpozic indukcí podle cyklů délky 3 Bůno - cyklus délky k probíhající postupně čísla 1, 2,, k můžu složit jako transpozici (1, k) a cyklus délky k 1 cyklus délky k lze rozložit na k 1 transpozici pozn.: rozložení není jednoznačné Definice 4. Nechť p je permutace množiny {1, 2,, n} potom inverzí permutace p rozumíme dvojici prvků i, j {1, 2,, n} takovou, že i < j &p(i) > p(j) Příklad 5. pro p = (4, 1, 3, 2, 6, 5) tvoří (1, 4) inverzi jsou to ty šipky, které se kříží počet inverzí perm utace p Definice 6. znaménko permutace p nazveme veličinu sgn(p)=( 1) znaménko je jednoznačné určení počtu inverzí ze zápisu tabulkou: pro každé číslo se dívám, kolik je před ním větších čísel; všechna tato čísla sečtu znaménko permutace (4, 1, 3, 2, 6, 5)=( 1) 5 = 1 sgn(q p) = sgn(p) sgn(q) #křížení(q p) =#křížení(p) +#křížení(p) 2 {(i, j): i < j&p(i)> p(j)&q(p(i)) < q(p(j))} tento člen se neprojeví v argumentu nad (-1)

2 2 Sekce 2 Každá transpozice má znaménko -1 každá šipka protne všechny šipky mezi nimy + navíc se protnou spolu Důsledky: Znaménko permutace lze určit jako: sgn(p) =( 1) #transpozic nebo jako: #cyklů sudé délky sgn(p) =( 1) Důsledek: sgn(p 1 )=sgn(p) p p 1 = id sgn(id)=1 1.2 Determinant Definice 7. Nechť A je čtvercová matice řádu n nad tělesem T. Potom Determinant matice A je dán výrazem det(a)= n sgn(p) a i,p(i) p S n dá se dobře násobit z definice - horní trojůhelníková, 2x2, 3x3, 1x Vlastnosti determinantu det(a T ) = det(a) kde det(a T )= p S n sgn(p) n (A T ) i,p(i) = p S n sgn(p) n q = p 1 p(i) = i q(i ) = i a p(i),i = q S n sgn(q) Korolár 8. přerovnání sloupců matice A podle permutace Q { nezm ění znam énko determ inantu n i =1 a i,q(i ) = det(a) sgn(q)=1 zm ění znam énko determ inantu sgn(q)= 1 det(a ) = sgn(q) p S n sgn(p) sgn(p)sgn(q 1 ) p S n =sgn(p q 1 ) n (A ) ij = a i,q(j) ; a ij =(A ) i,q 1 (j) (A ) i,p(q(i)) = sgn(p)sgn(q)sgn(q 1 ) p S n n a i,(p q 1 )(i)= sgn(q)det(a) n a i,p(q 1 (i)) = Důsledky: přerovnání řádků se chová stejně, jako přerovnání sloupců

3 záměna dvou řádků změní znaménko determinantu (odpovídá transpozici... ta má znaménko -1). -jsou-li 2 řádky shodné, potom je determinant roven nule. A po záměně dvou stejných řádků => A = A det(a)= det(a ) = det(a) 2 det(a) =0 det(a)=0 -tato úvaha platí pouze v tělesech charakteristiky 2 Tvrzení 9. Determinant je lineární funkcí každého sloupce (i řádku) dané matice. búno se omezíme jen na řádky. 1. Linearita vůči skalárnímu násobku. Buď A T n n, t T, označím A matici, která vznikne z A vynásobením i-tého řádku skalárem t. det(a ) = t p S n sgn(p) p S n sgn(p) n A= n a j,p(j) = t det(a) 2. Linearita vůči sčítání A = a 11 a 1n a i1 a in i A = a n1 a nn a 11 a 1n ta i1 a n1 a nn ta in (A ) j,p(j) = ( ) sgn(p) a 1,p(1) a 2,p(2) tai,p(i) a n,p(n) = p S n ( A ) i,p(i) a 11 a i1 a n1 a 1n a in = a 11 a 1n b i1 + c i1 b in + c in a nn a n1 a nn řádku a ij =b ij + c ij pro j = 1,, n B = a 11 a 1n b i1 b in a n1 a nn C = a 11 a 1n c i1 c in det(a) = p S n sgn(p) n a j,p(j) = p S n sgn(p)a 1,p(1) b i,p(i) a n,p(n) + a n1 a nn mějme rozklad i-tého p S n sgn(p) a 1,p(1) (b i,p(i) +c i,p(i) ) ai,p(i) a n,p(n) = p S n sgn(p)a 1,p(1) c i,p(i) a n,p(n) = det(b)+det(c) Důsledek: Přičtení t-násobku j-tého řádku (nebo sloupce) k i-tému (i j) nezmění determinant A...původní matice A...pozměněná det(a )=[matice ij] +tdet[matice jj] = det(a) det(a) Výpočet determinantu: převedením matice na odstupňovaný tvar využitím elem. operace - přičtení t-násobku j- tého řádku k i-tému....podobně jako Gaussovou eliminací NESMÍME: řádky násobit t T ; zaměňovat dvojice řádků ALE: můžeme provádět elementární operace i na sloupcích Úkol: spočtěte determinant Vandermondovy matice.

4 4 Sekce 3 pro různá x 1,, x n x 1 x 1 n 1 x x 2 x 2 n 2 x 2 1 x 3 1 x n x n 2 x n n Geometrický význam determinantu matic z R n n... det(a) udává objem rovnoběžnstěnu z R n jehož hrany jsou určeny řádky (sloupci) matice A V = {x R 3 : x =α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 : α 1, α 2, α 3 0, 1 Také: je-li f lineární zobrazení f: R n R n a A je matice tohoto zobrazení (A=[f] xx ) potom se objemy těles mění podle předpisu: vol(f(v)) = det(a) vol (v) v R n Teorém 10. Nechť A a B jsou čtvercové matice stejného řádu nad tělesem T. Potom platí: det(a B)=det(A) det(b) Je-li A nebo B singulární singulární matice A... alespoň 1 řádek je lineární kombinací ostatních n úpravami které nemění determinant lze získat nulový řádek det(a)=0 součin A B je též singulární det(a B)=0 Předpokládejme, že A i B jsou regulární, rozložíe A jako součin elementárních matic A = E 1 E 2 E k det(a B) = det((e 1 E 2 E k )B) = det(e 1 (E 2 E k B)) = det(e 1 ) det(e 2 E 3 E k B) iterace = det(e 1 ) det(e 2 ) det(e k ) det(b) = inverzním postupem = det(e1 E 2 E k ) det(b) Pokud provedeme elementární operaci E n (vynásobíme) na matici (E n+1 E k B), projeví se na determinantu jako 1 násobek, pokud byla úprava vynobení nějakého řádku číslem t t 1násobek, pokud úprava byla prohození dvou řádků jinak se determinant nezmění Teorém 11. Čtvercová matice A je regulární det(a) Důsledek: det(a 1 )= 1 det(a) Značení: sloupce Nechť A ij je matice, která vznikne z matice A vypuštěním i-tého řádku a j-tého Pro libovolné i platí: det(a) = n rozvoj determinantu podle i-tého řádku a) vytýkáním prvků a ij ze vzorce pro det. ( 1) i+j det(a ij )a ij b) využitím linearity - i-tý řádek rozložím jako lin. kombinaci řádků z kanonické báze (a i1, a i2,,a in )=a i1 (1, 0,, 0)+a i2 (0, 1, 0, 0)+ + a in (0, 0,, 0, 1)

5 potom: det ( A ) = a i1 det( A (1) na i-tém řádku je a i1 a in a i2 det( A (2) )+ + a in det(a (n) ) na i-tém řádku je na i-tém řádku je ) + Definice 12. Pro čtvercovou matici A definujeme adjungovanou matici adj(a) předpisem (adj(a)) ij =( 1) i+j det(a ji )!!!! Teorém 13. Pro libovolnou regulární matici A nad tělesem T platí: A 1 = 1 det(a) adj(a) ( 1 prozkoumáme součin A adj(a) = det(a)i n A )= adj(a) I det(a) n i-tý řádek A i-tý sloupec adj(a) = rozvoj det(a) podle i-tého řádku n a ij ( 1) i+j det(a ij )=det(a) k-tý řádek A i-tý sloupec adj(a) = rozvoj determinantu v matici, kde i-tý řádek byl nahrazen k-tým řádkem...t.j. má 2 stejné řádky n a kj ( 1) i+j det(a ij )=0 Důsledek: Dcv: A R n n, celočíselná: det(a)=±1 A 1 celočíselná Určete det(adj(a)), zkuslosti na det(a) & pro regulární matice Teorém 14. (Cramerovo pravidlo) Nechť A je regulární matice. Potom řešení soustavy Ax = b lze psát jako x i = det(ai b), kde det(a) A i b je matice, která vznikne z matice A nahrazením i-tého sloupce vektorem b odtud Ax =b x =A 1 b= 1 det(a) adj(a)b x i = 1 n adj(a) ij b j = 1 det(a) det(a) det(a i b) 3.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Definice 15. Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T a f: V V je lineární zobrazení. Potom λ T pro nějž existuje nenulový vektor x V t.ž. f(x) = λx se nazývá vlastní číslo zobrazení f. Vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ je libovolné x V t.ž. f(x)=λx Poznámka 16. Je-li dim(v ) < potom V T n a f lze reprezentovat maticí T n n. Odtud můžeme definici rozšířít a hovorit o vlastních číslech matic & vlastních vektorech matic. Ax=λx Vlastní vektory příslušné stejnému λ tvoří podprostor V. f(cx) =cf(x)=cλx=λ(cx) f(x+ y)= f(x)+ f(y)=λx + λy = λ(x+ y)

6 6 Sekce 4 DÚ ( ) 1 1 [f] kk = 1 0 Teorém 17. Nechť f je lineární zobrazení a λ 1, λ 2,, λ n jsou navzájem různá vlastní čísla zobrazení f a x 1,, x n jsou příslušné nenulové vlastní vektory. Potom platí, že x 1, x 2,, x n jsou lineárně nezávislé. Důsledky a) různá vlastní čísla mají různé vl. vektory b) #vlastních čísel dim(v ) indukcí & sporem nechť x 1,, x k & λ 1,, λ k tvoří nejmenší protipříklad (tzn. λ 1,, λ k jsou různá, x 1,, x k LZ) k a1,,a k T a i x i =0 0= f(0)= f ( k a i x i ) 0=λ k 0 = λ k k = k a i x i = k a i f(x i ) = k a i λ k x i a i λ i x i 0 =0 0= k a i λ i x i k a i λ k x i = k (λ i λ k ) =0 pro i=k k 1 a i x i = (λ i λ k ) x 1,,x k 1 jsou LZ - spor s minimalitou a i x i Vlastnosti vlastních čísel matic f: V V ; dim(v )=n; x V ; f(x) =λx [f(x)] B = [f] BB [x] B lze vzít bázi X & nalézt matici A = [f] BB [x] B vektor x V [λx] B = λ[x] B [f] BB [x] B = λ[x] B přeznačením [f] BB A [x] B x dostaneme maticovou rovnici A T n n Ax = λx x T n x λ T n Co platí pro 2 matice téhož zobrazení (vůči různým bazím) Označme báze X, Y [f] XX = A platí [f] XX = [id] YX [f] YY [id] XY matice přechodu jsou regulární označíme R = [id] XY [f] YY = B rovnost přepíšu A =R 1 BR Definice 18. Čtvercové matice A a B řádu n se nazývají podobné, pokud existuje regulární R taková, že A=R 1 BR. Teorém 19. Jsou-li matice A a B podobné a λ je vlastní číslo matice A a x je příslušný vlastní vektor. Potom λ je také vlastní číslo matice B a y = R x je příslušný vlastní vektor (pro R: AR 1 BR)

7 BÚNO x je netriviální By = (RAR 1 ) B (Rx) y = R(Ax)=R(λx)=λy λ je vl. číslo B (x netriv Rx = y je také netriv.) Y je vl. vektor příslušný x Cíl k dané matici hledáme co nejjednodušší matici, která je jí podobná, pokud možno diagonální. Dcv Nalezněte vl. čísla & vektory diagonální matice Definice 20. Matice se nazývá diagonalizovatelná, pokud je podobná nějaké diagonální matici. Užití diagonalizovatelných matic A=R 1 DR a) výpočty součinu matic A n = (R 1 DR) n =R 1 DRR 1 DR R = R 1 D n R lze použít i výpočet inverze n = Určete vlastní čísla a vlastní vektory diagonální matice vlastní vektory... e 1,, e n d 11 0 D = d 22 kanonické báze De i = d ii e i d 11,, d nn jsou vlastní čísla. 0 d n n (0,, 0, 1, 0, 0,, 0) Vlastní čísla matice ( ) A =R 1 DR A prostá, D diagonální. potom λ i =d ii je i-té vlastní číslo matice A (A a D jsou podobné vlastní čísla) i-tý sloupec R 1 je vlastní vektor příslušný λ i n různých vlastních čísel, potom je diagonalizova- Tvrzení 21. Pokud má matice A T n n telná. Vlastní čísla λ 1,, λ n příslušné vlastní vektory x 1,, x n sestavím matici R = x 1 x n LN R je regulární Ax i = λ i x i AR=RD matice A=RDR 1 x xn t.j. různá vlastní čísla... postačující podmínka na diagonalizovatelnost. Nutná & postačující podmínka (charakterizace diagonalizovatelných matic): Tvrzení 22. Matice A T n n je diagonalizovatelná existuje n lineárně nezávislých vlastních vektorů.. existuje R: R 1 AR = D neboli AR = RD potom sloupce R jsou LN vlastní vektory. z LN vlastních vektorů sestavíme R a ta splňuje AR =RD

8 8 Sekce Charakteristický mnohočlen Definice 23. Nechť A je čtvercová matice řádu n nad T. Potom charakteristický mnohočlen matice A v proměnné t je dán výrazem P A (t)=det(a t I) Příklad 24. A = ( ) P A (t) = det ( 1 t t ) =t 2 t 1 Pozorování je vždy stupně n Teorém 25. Pro matici A T n n platí: číslo λ je vlastním číslem matice A λ je kořenem charakteistického polynomu matice A - t.j. P A (λ) =0 λ je vlastní číslo matice A netriv. x takové, že Ax=λx ( netriviální x takové, že (A λi)x =0 hom. soustava x je neriv. řešení hom. soustavy s maticí A λi matice A λi je regulární det(a λi)=0 P A(λ) ) x = Ix λx = (λi)x Příklad 26. osová souměrnost A= ( rotace o 90 : A = ) ; PA (t)= t 1 1 t =t2 1 kořeny jsou λ 1 = 1; λ 2 = 1 Tvrzení 27. Podobné matice mají stejná vlastní čísla, protože mají shodné charakteristické mnohočleny. A=R 1 BR I P A (t) = det(a ti) = det(r 1 BR t(r 1 IR )) = det(r 1 (B ti)r) = det(r 1 ) det(b ti) det(r)=p B (t) Tvrzení 28. Pro libovolné čtvercové matice A a B stejného řádu mají matice AB a BA stejná vlastní čísla Dcv: Nalezněte jednoduchý důkaz, jsou-li A, B regulární Opakování: ( I )( J P Q K L R S T Zn Zn ) ( ) = IP + JR IQ + JS KP + LR KQ + LS I,J,K,L,P,Q,R,S T ( )( ) ( ) n n AB 0 I A B 0 0 I = AB ABA B BA ( )( ) ( ) I A I B BA = AB ABA B BA t.j matice ( ) ( AB 0 B 0 a 0 0 B BA Teorém 29. (Cayley-Hamilton) ) jsou si podobné protože ( I A 0 I ) je regulární (má hodnost Zn )

9 Nechť A T n n a P A (t) = ( 1) n t n + a n 1 t n a 1 t + a 0 je charakteristický mnohočlem matice A Potom platí: ( 1) n A n + a n 1 A n a 1 A +a 0 I =0 an využijeme faktu: M adj(m)=det(m)i, za M dosadíme A ti prvky adj(a ti) jsou determinanty minorů matice A ti a to jsou mnohočleny stupně nejvýše n 1 lze adj(a ti) rozepsat jako adj(a ti) = t n 1 B n 1 + t n 2 B n tb 1 + B 0 kde B i je matice koeficientů u t i z prvků v adj(a ti) (rovnost polynomů... musí mít stejné koeficienty) (A ti)(t n 1 B n 1 + t n 2 B n tb 1 + B 0 )=det(a ti)i = P A (t)i = ( 1) n t n I +a n 1 t n 1 I + +a n ti +a 0 I ut n : B n 1 = ( 1) n I vynásobíme zleva A n ut i pro,, n 1 AB i B i 1 = a i I vynásobíme zlevaa i ut 0 AB 0 = a 0 I & sečtu vše dohromady na levé straně dostanu 0 0 = A n B n 1 + A n 1 (AB n 1 B n 2 + = ( 1) n A n + a n 1 A n 1 + +a 1 A+a 0 I Dcv: dokažte sami a jednoduše pro diagonalizovatelné A Pro dnešní přednášku se omezíme na těleso C... tzv. algebraicky uzavřené těleso... zde platí tzv. základní věta algebry Teorém 30. Každý mnohočlen stupně 1 má v tělese komplexních čísel alespoň 1 kořen Důsledek: Každý komplexní mnohočlen stupně n 1 lze rozložit na součin n jednočlenů. kde λ 1,, λ n jsou kořeny daného mnohočlenu (důkaz indukcí) p(t)=a n (t λ 1 )(t λ 2 ) (t λ n ) Idea důkazu: p(t)=a n t n + a n 1 t n a 1 t +a 0 i=0,,n a i C chceme λ C p(λ)=0 búno a 0 0 (jinak t = 0 je kořen) a n 0 n 1 & techn. předp. a 1 0 označme si D r = {t C: t = r} pro r R je r 0 Jak vypadá p(d r ) pro { a)r b)r 0 b) pro r 0 je p(p r ) v okolí a 0 a) r max {a i } obraz p(d r ) pro r hodně velké Zvážíme-li spojitý přechod od r 0 k r musí obraz D r pro nějaké r R obsahovat 0 kořen pokud máme A C n n, víme, že p A (t) lze rozložit na jednočleny p A (t) = (λ 1 t) r1 (λ 2 t) r2 (λ k t) rk

10 10 Sekce 6 λ 1,, λ k různé kořeny r i algebraickou násobností vlastního čísla λ i r 1 + r 2 + +r k =n p A (t)=a n t n + +a 1 t + a 0 a n = ( 1) n a 0 = det(a) dosazením 0 do P A(t) r = λ 1 r 1 λ 2 r 2 λ k k prvky na diag. A a n 1 = ( 1) n 1 (r 1 λ 1 +r 2 λ r k λ k ) =( 1) n 1 (a 1,1 +a 2,2 + + a n,n ) Jaký člen získáme u ( t) n 1 v součinu (λ 1 t)(λ 1 t) (λ 1 t) (λ 2 t) (λ k t) tento koe- r1x ficient = λ 1 + λ λ 1 + λ λ n =r 1 λ 1 + r 2 λ 2 + +r k λ k r1x Jaký koef. získáme u ( t) n 1 v det(a ti)= p A (t) t n 1 lze získat pouze ze součinu odpovídající identické permutaci t.j. (a 1,1 t)(a 2,2 t) (a n,n t) (ostatní permutace p S n dají součin n který je stupně n 2 v t) koef n( t) n 1 je (a 1,1 + +a n,n ) a i,p(i) Tvrzení 31. Matice A C n n je diagonalizovatelná každé vlastní číslo λ i splňuje rank(a λ i I)=n r i (neboli dim(ker(a λ i I))=r i ) A diagonalizovatelná báze C n složená z vlastních vektorů A součty dimenží prostorů vlastních vektorů t.j. ker(a λ i I) dají dohromady n. Fakt: každá čtvercová komplexní matice je podobná matici ve tvaru Jordanovy buňky Jordanův normální tvar matice λ 1,, λ k jsou (ne nutně různá) vl. čísla Příklad 32. matice která není diagonalizovatelná A = ( ) 1 1 λ1 = λ = 1 kdyby A měla být podobná nějaké D potom D = ( ) R: R 1 AR = D neboli A=R I2 D R 1 =RR 1 = I 2 A spor Cíl: každá reálná symetrická matice má všechna vl. čísla Definice 33. Nechť A je komplexní matice, potom matici A H pro níž platí (A H ) ij = a ji nazýváme Hermitovskou transpozicí k matici A. (Někdy se značí A, konjungovaná matice) platí (AB) H = B H A H pokud je součin def. pro standardní skalární součin x y na C n platí

11 x y = n x i y ī = Y H x zde sloupcové vektory vnímáme jako matice užití: ON (ortonormální) báze C n x 1,, x n sestavíme A= A H = A H A =I x 1 x n x 1 x n Definice 34. Komplexní čtvercová matice A se nazývá unitární pokud splňuje A H A=I Definice 35. komplexní čtvercová matice se nazývá Hermitovská, pokud je rovna své Hermitovské transpozici, t.j. A H = A Teorém 36. Tvrdím, že každá hermitovská matice A má všechna vlastní čísla reálná a dokonce existuje unitární matice R taková, že R 1 AR je diagonální příště Teorém 37. Každá Hermitovská matice má všechna vlastní čísla reálná, a exitstuje unitární matice R taková, že R 1 AR je diagonální Indukcí podle n (řád matice) A C n n označím A n zádladní věta algebry... vlastní číslo λ (kořen ch. polynomu) & příslušný vl. vektor x. búno vezmu x =1 & doplním x na ON bázi C n P n je unitární z těchto vektorů sestavíme pomocnou matici P n = A n P n 1 sloupecλ nás. x x (P H n A H n P n ) H =P H n A H n (P H n ) H = P H n A n P n = λ 0 0 A n 1 P H n A np n je Herm λ R & použijeme ind. předp na A n 1 tzn. unitární R n 1 : R 1 n 1 A n 1 R n 1 = D n 1 vezmu R n 4 P n R n 1 označ. Sn Pozorování P n, S n unitární R n =P n S n je také unitární I R n H R n =(P n S n ) H P n S n = S n H P n H P n I S n Zbývá ověřit R H n AR n = (P n S n ) H AP n S n = S H n P H n AP n S n = 1 0 H 0 R n 1 λ = λ 0 =D n 0 A n 1 0 R n 1 0 D n 1 Poznámka 38. větu lze sesílit pro tzv normální matice AA H = A H A

12 12 Sekce 7 interpretace v R Důsledek: Každá reálná symetrická matice má n vl. čísel (počítáno vč. násobnosti) a navíc ortogonální R t.ž. R 1 AR je diagonální...třeba ukázat reálných vlastních vektorů, ale ty jsou řešením soustavy (A λi) x = 0 reálná matice reálné řešení 7.1 SVD rozklad (singular value decomposition) Definice 39. SVD rozkladem matice A C m n nazveme součin A = SDR H kde R C n n, S C m m jsou unitární a D je nezáporná reálná (částečně) diagonální matice. Geometrický význam: Je-li f: C n C m lineární zobrazení s maticí A = [f] KK tak hledáme ON báze x = {x 1,, x n } prostoru C n a Y = {y 1,, y m } prostoru C m tak, že pro i = 1,, r f(x i )=d ii y i & f(x i )=0 jinak D = S H AR A =SDR H [f] XY = [id] KY [f] KK [id] XK [id] XK = x 1 x 2 = R [id] YK =S x n Teorém 40. Pro libovolnou A C m n vždy existuje SVD rozklad. dokonce pro A R m n vždy existuje reálný SVD rozklad Důkaz pokud by existoval A=SDR H AA H = (SDR H )(SDR H )=SDR H RD H S H = S DD H A H A =(SDR H ) H (SDR H ) =RD H DR H diagonální diagonální Konstrukce R, S: AA H.Hermitovská.podobná diag. unit. S: S D S H = AA H A H A..Hermitovská... podobná diag unit R: R D RH = A H A Konstrukce D odmocněním D nebo D Třeba ještě ukázat A=SDR H S H Užití: r = rank(a) prvních r řádků v R H (= prvních r sloupců v R)... ON báze R(A) zbylých n r řádků = zbylých n r sloupců v R... ON báze Ker(A) prvních r sloupců S... ON báze S(A) pseudoinverze A + = RD + S H kde (D + ) ii = 1 d ii pro,, r další užití... přibližná řešení soustav, statistika, numerika, komprese obrazu (!jiná než F. transf. - jpeg) 7.2 Vztah skalárního součinu & unitárních matic pozorování Nechť V je vekt. prostor se skalárním součinem konečné dimenze a X = {x 1,, x n } je jeho ON báze.

13 Potom pro u,v V platí u = n v = n u v = n u v = n α i x i α i =([u] x ) i = u x i β i x i β i = ([v] x ) i = v x i α i x i n β j x j = n n α i β j x i x j u x i x i v =[v] x H [u] x u +v z = u z + v z αu v = α u v { a)=1pokud i= j b) =0pokud i j = n α i β j = n u x i x i v Tvrzení 41. Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem konečné dimenze a X = {x 1,, x n } je jeho ortonormální báze a f: V V je lineární zobrazení. Potom f zachovává skalární součin (t.j. f(u) f(v) = u v ) právě když matice [f] XX je unitární u v =[v] X H [u] X f(u) f(v) =[f(v)] H X [f(u)] X =([f] XX [v] X ) H H [f] XX [u] X = [v] X [f] XX [f] XX [u] x =I n [f] XX je unitární u v = f(u) f(v) u,v [f] XX je unit Pozitivně definitní matice Skalární součin na konečnědimenzionálním prostoru X...ON báze u v =[v] x H [u] x Pozorování n Nechť V C n je prostor se skalárním součinem (ne nutně tím standardním x i y ) i potom existuje matice E taková, že u v =v H Eu vezmeme kanonickou bázi k: u=[u] k = (u 1, u 2,, u n ) T v = [v] k = (v 1,, v n ) T k = e 1, e 2,, e n e i = (0,, 0, 1, 0,, 0)

14 14 Sekce 8 u = n u i e i ; v = n v j e j n n n u, v = u i e i, n v j e j = u i v j e i e j =v H Eu Jaké vlastnsti musí E splňovat, aby j. bylo možné použít pro výpočet v H Eu DCV Ukažte, že pro libovolnou bázi X prostoru V konečné dimenze matice E: u v =[v] X H E[u] X Pozorování (E) ij = (E) j i Definice 42. Splňuje-li Hermitovská matice A řádu n, že pro každé x C n {0} platí x H Ax > 0 potom se A nazává pozitivně definitní matice. Poznámka 43. x H Ax 0 - pozitivně semidefinitní <, - negativně semidefinitní x1 : x H 1 Ax 1 > 0 x2 : x H 2 A 2 < 0 - indefinitní Užití pozitivně definitních matic: ve výpočtu sk. součinu (vůči různým bazím) Analýza: vyšetřování funkcí více proměnných... lokální extrémy Teorém 44. Pro Hermitovskou matici A jsou následující podmínky ekvivalentní: a) A je pozitivně defininí (tzn. x H Ax > 0 x 0 x C n ) b) A má všechna vlastní čísla kladná. c) existuje regulární matice U taková, že A =U H U (dokonce lze vzít U horní trojůhelníkovou) a) b). A Hermitovská všechna vlastní čísla jsou R nechť x C n vlastní vektor příslušný vl. číslu λ Ax = λx potom x H Ax > 0 x H Ax=λx H x x H x = n x i x i > 0 λ > 0 b) c). A Hermitovská A = R H DR kde R je unitární ^ má vl. čísla na diag. rozložím D =D D t.j A=R H D HD R = U H U pro U 4 D R... regulární protože D, R jsou také reg. c) a). netriviální x: x H Ax = x H U H Ux = (Ux) H (Ux)... součin 2 netriviálních komplexně sdružených vektorů

15 Ux Ux pro std. skalární součin Dcv: Rozšiřte tvrzení pro p. semidefinitní matice,... Tvrzení 45. Pro pozitivně definitní matici existuje jediná horní trojúhelníková matice s kladnými prvky na diagonále... tzv. Choleského rozklad, která splňuje A = U H U Algoritmus pro výpočet Choleského rozkladu: vstup: Hermitovská matice A výstup: Choleského rozklad, nebo odpověď, že A není poz. definitní pro i 4 1 do n opakuj i 1 u ii = a ii u ki u ki k=1 pokud není reálná STOP A není pozitivně definitní pro j =i+1 do n projdi ( u ij = 1 a ij ) i 1 u ki u kj u ii k=1 Dcv: Ukažte, že pro pozitivně definitní matice A, B platí -A+B je pozitivně definitní -A 1 je pozitivně definitní Pozitivně definitní matice mají kladný determinant. Tvrzení 46. (Jacobiho podmínka) Hermitovská matice A řádu n je pozitivně definitní pravě když mají matice A = A 0, A 1,, A n 1 kladný determinant, A i vznikne z A umazáním posledních i sloupců a řádků. (Bez důkazu) ( ) α a Tvrzení 47. Bloková matice A = H je pozitivně definitní tehdy a jenom tehdy když α > 0 a à a matice à 1 α aah je pozitivně definitní. vezmeme libovoné x C n označíme x= x H Ax = ( x 1 x 1 x 1 x C C n 1 ) α a x H H ( a A x = x 1 α + x Ha x 1 a H + x Hà ) x 1 x = x 1αx 1 + x Hax x 1 a H x + x HÃx + 1 α x Haa H x 1 α x Haa H x x H(à 1 α aah )x >0 pokud x netriv > = (x 1 α + x Ha)(x 1 α + a H x) α α komplexně sdr. >0 pokud netriv e 1 H Ae 1 = α > 0

16 16 Sekce 9 2. nechť x C n 1 je lib. netriv. x 1 = 1 α ah x & položím x = ( ) x 1 x Potom 0 < x H Ax =x H(A 1 α aah )x + ( α x1 + 1 x Ha)( α x1 + 1 x )=0 volbou x α α ah Bilineární a kvadratické formy Definice 48. Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T a f: V V T je zobrazení splňující: potom se f nazývá bilineární forma na V. Bilineární forma je symetrická, pokud: α T u,v V f(αu, v)=αf(u, v) u,v,w V f(u +v, w)= f(u, w) + f(v, w) α T u,v V f(u, αv)=αf(u, v) u,v,w V f(u, v + w) = f(u, w) + f(u, w) u,v V f(u, v)= f(v, u) Zobrazení g: V T se nazývá kvadratická forma, pokud existuje bilineární forma f t.ž. g(u) = f(u, u) u V. Definice 49. Nechť V je vektorový prostor nad T konečné dimenze a X = {u 1,, u n } je jeho báze. Pro bilineární formu f: V V T definujeme matici B formy f vůči bázi X předpisem b ij = f(u i, u j ) Maticí kvadratické formy g: V T rozumíme matici symetrické formy f, která g vytvořuje (pokud f existuje, je určeno jednoznačně, ovšem takové f nemusí existovat nad tělesem char. 2) Cauchy Počítání s maticí formy u V, [u] x =(α 1,, α n ) T g(u)= f(u, u) = f ( n Podobně f(u, v)=[u] x T B[v] x α i u i n α j u j ) = n n α i α j f(u i, u j )= n n α i α j b ij =[u] x T B[u] x Definice 50. Analytické vyjádření bilineární formy f: V V T vůči konečné bázi X je polynom f(u, v) = n n b ij x i y j kde x i, resp y j jsou souřadnice vektorů u a v vůči bázi X. (tzn. b ij jsou koeficienty z matice formy) Podobně pro kvadratickou formu dostaneme g(u)= n n j=i a ij x i x j kde a ij = { 2b ij pro i j b ii pro i= j dcv g(αu) =α 2 g(u) Lemma 51. Nechť g: V T je kvadratická forma s maticí B vůči bázi X potom B [id] T YX B[id] YX je její matice vůči bázi Y.

17 [u] x = [id] YX [u] Y g(u)=[u] T X B[u] X = [u] T Y [id] T YX B B[id] YX [u]y Pozorování Matice kv. formy musí být symetrická. Teorém 52. Sylvesterův zákon setrvačnosti kvadratických forem Nechť V je vektorový prostor nad R konečné dimenze a g: V R je kvadratická forma. Potom existuje báze X prostoru V taková, že matice B této formy je diagonální a prvky na diagonále splňují b ii { 1, 0, 1}. Navíc počet kladných prvků a počet záporných prvků nezávisí na volě X (tudíž je pro všechny vhodné X stejný) Poznámka 53. vektoru (#1, #0, # 1) se říká signatura formy. Příslušná báze je tzv. polární báze. a) existence. Zvolme X 0...libovolná báze V vůči ní máme matici B 0... reálná, symetrická věta o diag. unitární (ortogonální) R: Herm. matic RT B 0 R = D < diagonální. D : (D ) ii = =D TB D B je dagonální ± 1, 0 matice které určují znaménka d ii D = D TBD ( ) TB B 0 = D R 1 (D R 1 ) matice přechodu od X 0 k hledané X aby součin byl regulární dodefinuji: D ii =1pro a ii = 0 b) Důkaz jednoznačnosti značení X = {v 1,, v n }, Y = {w 1,, w n }, příslušné matice jsou B, B ve tvaru i) #0 v B = #0 v B T B = [id] XY B [id] XY obě regulární pro reg. R platí rank(a) = rank(ra) čili rank(b)=rank(b ) #0 v B = n rank(b) =n rank(b ) =#0 v B ii) sporem #1 v B #1 v B g(u)= { x x x r x r+1 x n pro [u] x = (x 1,, x n ) T &n = rank(b) y y y s y s+1 y n pro [u] y = (y 1,, y n ) T &n = rank(b) búno r >s potom lze vzít z Z(v 1, v 2,, v r ) Z(w s+1,, w n ) z 0 g(z) >0protože některá z prnvích r složek [z] x je nenulová & poslední n r složek jsou nulové. 0protože některá z prnvích r složek [z] y je nenulová & poslední s r složek jsou nulové.

18 18 Sekce 10 spor s r > s r =s Lineární programování Literature: skripta Tůma-Matoušek J.Rohr:Lineární algebra a optimalizace (karolinum 2004) L. Grygarová: Úvod do lineárního programování (SPN 1975) J. Dupačová: Lineární programování (SPN 1982) Úloha LP - optimalizovat hodnotu lineární účelové funkce přes množinu vymezenou lineárními podmínkami Lineární účelová funkce o proměnných x 1,, x n omezující podmínky c 1 x 1 + c 2 x c n x n { max min a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n b 2 nerovnost může být i nebo = Definice 54. Úloha LP zní: Nalezněte vektor x R n jež maximalizuje účelovou funkci c t x za podmínek Ax b (provnávání vektorů je po složkách x y i x i y i ) kde c R n, b R m, A R m n Každý vektor, který splňuje Ax b se nazývá přípustné řešení. Optimální řešení úlohy LP je libovolné přípustné řešení x pro nějž platí, že každé jiné přípustné řešení x splňuje c T x c T x. Geometrická interpretace prostor všech řešení... R n (podmínka nezápornosti nezáporný ortant) 1 podmínka... podprostor vymezený nadrovinou všechny podmínky... průnik těchto podprostorů... t.j. mnohostěn přípustných řešení účelová funkce... udává gradient. t.j. směr ve kterém se mění hodnota účelové funkce optimum... takový bod x, že celý mnohostěn přípustných řešení leží pod nadrovinou c T x=z, kde z = c T x (tzn. leží v poloprostoru c T x z) 1. x x x 1 x x 1 + x x 1 +x 2 7 max x 1 +2x 2 k oboru hodnot... proč jen R C, Z P nelze... nejsou uspořádané Q (stejně jako R)

19 šlo by Z... přísloušné úlohy jsou tzv. celočíselné programovíní ILP Rozdíl mezi LP (lze v polinomiálním čase) a ILP (je NP těžký) geometricky Z n jsou mřížové body v R n a zaokrouhlování nemusí pomoci ( př: u proměnných x 1,, x n max x 1 + x x n LP: i x i 0, 1... optimum x 1 =, 1 ), 2 2, T tzn c T x= n 2 za podmínky i j : x i + x j 1 ILP: i x i {0, 1}... optimum x = ( 1, 0, 0,, 0) T tzn c T x=1 Pomocí ILP lze spočítat velikost max nezávislé množiny v grafu (což je NP těžká) Převod na ILP: vrchol n i x i {0, 1} 0...nepatří do nez. 1...patří max x 1 + x x n (u i, u j ) E ϕ : x i + x j 1 nez. množina: vrcholy, které nejsou spojeny hranou x 1 + x 2 1 x 2 + x 3 1 optimum(1, 0, 1) Různé tvary uloh LP: (neboli jak dostat tvar max c T x, Ax b) min -> max min c T x max c T x a i1 x 1 +a i2 x a in x n b i a i1 x 1 a i2 x 2 a in x n b i = = & = & nezápornost a i1 x 1 +a i2 x a in x n b i a i1 x 1 + +a in x n + x n+1 =b i &x n+1 0 neom. nezáp. prom. substituce x i R xi x i x i, x i 0 Dcv: nezáporné prom nekladné prom Jaké mohou být výsledky úloh LP a) Úloha nemá optimum, protože neexistuje žádné přípustné řešení. b) Úloha nemá optimum, protože úč. funkce není omezena na mnohostěn příp. řešení Pozn: neomezenost mnohostěnu neznamená vždy nemonezenost účelové funkce c) Úloha má jednoznačné řešení d) Úloha má mnoho optimálních řešení (každý bod na úsečce je optimem) Konvexita Definice 55. Množina A R n je konvexní pokud u,v A α 0,1 α u+(1 α)v A. Množina přípustných řešení je konvexní.... plyne z libovolný průnik konvexních množin je konvexní Množina optimálních řešení je konvexní.

20 20 Sekce 11 Definice 56. Konvexní mnohostěn... průnik konečně mnoha poloprostorů. Hraniční nadroviny... hranice poloprostorů které vymezují mnohostěn Př: R 2... Vrchol mnohostěnu P... průnik n lineárně nezávislých hraničních nadrovin, x P...jednoznačné řešení soustavy Ax = b kde A je sestavena z rovnic vybraných n hraničních nadrovin Teorém 57. Má-li úloha LP ve tvaru Ax b optimální řešení a matice A má hodnost rovnu # proměnných, potom se optima nabývá v nějakém vrcholu mnohostěnu přípustných řešení Simplexová metoda: -postup řešení úlohy LP takový, že se prochází množina vrcholů mnohostěnu přípustných řešení tak, že účelová funkce neklesá. pozn: může trvat i exp. dlouho (klee-mintyho krychle) Motivační příklad: řešte úlohu LP: max x 1 + 2x 2 za podmínek: x 1 x 2 2, x 1 + x 2 1, 2x 1 + x 2 7, x 1, x 2 0 Výchozí tvar pro simplexovou metodu je Ax=b x 0 x 1 x 2 +x 3 = 2 x 1 + x 2 +x 4 = 1 2x 1 + x 2 +x 5 = 7 výchozí pozice... zvolím hodnoty 2 volných proměnných tak, aby zbylé byly nezáporné. nabízí se x 1, x 2 =0, vyjádřím bázické proměnné pomocí volných. -> x 3 = x 1 + x 2 +2 x 1 2 x 4 = x 1 x x 1 neomezuje x 5 = 2x 1 x x z = x 1 + 2x 2 -snažím se ho maximalizovat vybereme jednu z proměnných na které úč. fce závisí v přímé úměrnostni s kladným koeficientem a určím, která ze stávajícíh rovnic nejvíce omezuje hodnotu této proměnné z podmínky, která nejvíce omezuje x 1 vyjádřím x 1 pomocí x 3 a dosadím -> x 1 = x 3 +x x 4 = x 3 +3 x 5 = 2x 3 3x 2 +3 z = x 3 +3x 2 +2 Výchozí tvar pro simplexovou metodu: max c T x za podmínek Ax =b, x 0 kde A je matice řádu m n m n a rank(a) =m

21 pokud n m proměnným přiřadíme hodnotu 0 a sloupce odpovídající zbylým proměnným jsou LN (n m... volné prom., m... bázické), potom jsou hodnoty zbylých m proměnných určené jednoznačně. Definice 58. Nechť max c T x, Ax = b, x 0 je úloha LP, kde A R m n, b R m, c R n a rank(a) = m. Nechť dále B {1, 2,, n} je množina indexů velikosti B = m taková, že matice A B sestává ze sloupců matice A určených indexy z množiny B je regulární. Jestliže existuje přípustné řešení x takové, že x i = 0 pro i B tak potom x se nazývá bázické přípustné řešení určené bází indexů B. A A B B {1,, n} { xb.(x 1, x 3, x 5 ) chceme 0 x N.(x 2, x 4 )=0 B = {1, 3, 5} B = {3, 4, 5} X B = (2, 1, 7) T 0 (x 3, x 4, x 5 ) X N = (0, 0) T =0 (x 1, x 2 ) x = (0, 0, 2, 1, 7) bázické přípustné řešení pro B = {3, 4, 5} B = {1, 3, 4} x 2 = 0 x 5 = 0 => x 3 < 0... příslušné x 1,, x 5 není přípustné řešení => B není přípustná báze Pozorování I různé báze mohou dát stejné bázické přípustné řešení Příklad 59. x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 4 = 1 x 1 +x 2 + x 5 = 2 B = {1, 2, 3} B = {1, 2, 4} -> dávají stejné bázické přípustné řešení x=(1, 1, 0, 0, 0) T úloha Ax = b x 0 odvozenou z A x b m podmínek... n proměnných... n proměnných (t.j. n=n + m) když zvolím n m volných složek ve vektoru x BÚNO zvolím jen pomocné proměnné A B je regulární...*1 x je přípustné...*2 x je přípustné bázické řešení v původní úloze si zvolím n m hraničních nadrovim & hledám jejich průnik *1...průnik je jednoznačný *2...průnik je v mnohostěnu

22 22 Sekce 12 x je vrcholem mnohostěnu přípustných řešení. Lemma 60. Báze B určuje bázické přípustné řešení A B 1 b 0 x je řešení... Ax=b A B 1 Ax=A B 1 b A B 1 A B =I n x B = I n x B =A B 1 A B x B = A B 1 b 0 x N = 0 tzn. vektor A 1 B b určuje bázické složky býzického příp. řešení určeného bází B a ty musí být nezáporné Definice 61. Pro úlohu LP a přípustnou bázi B definujeme simplexovou tabulku následovně: B A b c t z, kde matice podmínek A b je upravena elementárními úpravami tak, aby A B = I a navíc aby řádek c T z byl upraven tak, aby c B =0 (t. j. c i =0 pro i B ) Příklad 1. B = {3, 4, 5} A B = I c B T b 3 Značení: řádky simplexové tabulky budeme indexovat prvky báze B kolik je hodnota účelové funkce za f(x) =c T x dáme na začátku do simplexové tabulky řádek c T 0 c T x= f(x)=0 co se stane, když elementární úpravou získáme c T z c T x= f(x) z = 0 f(x)=z c B = 0...tak počítáme s.t. x N =0...to je volba báz. příp. řešení } >c T x=0 Simplexový algoritmus 0. Nalezni nějaké bázické přípustné řešení a sestav simplexovou tabulku. opakuj: 1. Jestliže c j 0 pro j B potom STOP...bázické řešení je optimální, jinak zvol j B: c j > 0 2. Jestliže a kj 0 pro k B potom STOP...účelová fce je neomezená b jinak zvol i B: i = min { bk, kde a a ij a kj > 0,k B} kj 3. Polož B 4 B {j}\{i} a uprav simplexovou tabulku vzhledem k nové bázi. Příklad

23 Pozorování elementární úpravy nemění prostor řešení t.j. simplexová tabulka popisuje stále stejnou úlohu LP Lemma krok je korektní, neboli nová báze je opět přípustná. B půl báze B nová báze podobně A, A, b, b stačí ukázat b 0: pro i: b i 0&a ij > 0 b i = bi a ij 0 pro k B, b i: b k = b k a kj b i a ij 0 protože bk bi volbou i. a kj a ij Lemma krok jee korektní, neboli úloha LP je neomezená jakmile c j >0 a a kj 0 pro k B nechť x je bázické příp. řešení k akt. bázi zvol y: y j = 1 y k = a kj pro k B y l=0jinak 1. y 0 x+ty 0 pro t 0 2. A(x +ty)=ax+t (A y ) 0 volbou y. na kterém řádku dostaneme a kj1+1a kj=0 =b+t0=b x +ty je příp. řešení 3. f(x +ty) =z +c T x =0 + tc T y = z + tc j + Lemma krok je korektní, neboli jakmile c 0 tak potom příslušné bázické řešení je optimální. Pro všechna x 0 musí platit c T x 0 f(x) =z +c T x z = f(x ) Dokončení: 0. krok lze vyřešit simplexovou metodou na pomocnou úlohu. Původní úloha: max c T x: Ax=b, x 0 búno b 0 jinak vynásobíme přísl. řádek 1 pomocná úloha min y i : Ax + I y = b, x, y 0 pokud opt=0 y = 0& přípustná báze vybírá jen indexy vektoru x opt>0 žádné příp. řešení x. Poznámka 66. různá pravidle jak vybrat nejlepší i a j např. tzv. Blandovo pravidlo (nejmenší možné i& j)... ukazuje konečnost simpl. metody Dualita lineárního programování x 1 x 2 2 příklad LP(P) max x 1 +2x 2 : x 1 + x 2 1 ; x 1, x 2 0 2x 1 + x 2 7 lze nějak odhadnout hodnotu účelové funkce 2x 1 + x 2 7 4x 1 + 2x 2 14 f(x) =x 1 + 2x 2

24 24 Sekce 12 lépe: 2. a 3. nerovnost dohromady f(x)=x 1 +2x 2 x 1 + x 2 + 2x 1 + x =8 Obecně: pro úlohu LP max c 1 x 1 + +c n x n a 11 x 1 + +a 1n x n b 1 y 1 a m1 x a mn x n b m y m takové, aby c j a 1j y a mj y m pro,,n a navíc aby y 1 b y m b m bylo co nejmenší protože pro libovolné přípustné x získáme odhad: ( ) e T x= n c j x j n m a ij y i x j = m ( n a ij x j ) y i m b i y i = b T y Definice 67. Pro úlohu LP: max c T x, Ax b, x 0, tzv. primární úlohu (p) definujeme tzv. duální úlohu jako min b T y: A T y c, y 0. Příklad 68. k (p) dostáváme (d) min 2y 1 + y y 3 : y 1 y 2 +2y 3 1 y 1 + y 2 + y 3 2 y 1, y 2, y 3 0 x =(2, 3) T y =(0, 1, 1) T c T x = b T y =8 Teorém 69. Nechť (P) a (D) jsou vzájemě duální úlohy LP potom platí BUĎ obě mají přípustná řešení a potom platní c T x =b T y pro optima x, y. NEBO jedna z úloh nemá příp. řešení a druhá je pak neomezená nebo také nepřípustná. Bez Důkazu

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh   1. cvičení ( ) 2. cvičení ( ) Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic [1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

p, q dvě permutace na množině X, pak složené zobrazení, tj. permutaci, q p : X X nazýváme složení permutací p a q (v tomto pořadí).

p, q dvě permutace na množině X, pak složené zobrazení, tj. permutaci, q p : X X nazýváme složení permutací p a q (v tomto pořadí). Kapitola 10 Determinanty Začneme pomocnou definicí Definice 101 Vzájemně jednoznačné zobrazení p : X X nazýváme permutace na množině X Je-li p permutace na množině X, pak inverzní zobrazení p 1 : X X nazýváme

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Numerické metody a programování. Lekce 4

Numerické metody a programování. Lekce 4 Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.

(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus. (1 [B] Nechť A : R 6 R 6 je lineární zobrazební takové, že A 26 = I. Najděte lineární prostory V 1, V 2 a V 3 takové, že R 6 = V 1 V 2 V 3 dim V 1 = dim V 2 = dim V 3 AV 1 V 1, AV 2 V 2 a AV 3 V 3 (2 [B]

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Obecná úloha lineárního programování

Obecná úloha lineárního programování Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro

2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:

Více

AVDAT Vektory a matice

AVDAT Vektory a matice AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

10. DETERMINANTY " # $!

10. DETERMINANTY  # $! 10. DETERMINANTY $ V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru nad pevným tělesem, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16

11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.

Více

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici [1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule. Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté

Více

1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11

1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11 LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23

Více

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity) 4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

1 Projekce a projektory

1 Projekce a projektory Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Podobnostní transformace

Podobnostní transformace Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Definice : Definice :

Definice : Definice : KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více