PDR. Na levé straně použijeme vícerozměrné per-partes (důsledek z Gauss-Ostrogradského věty)

Transkript

1 PDR 1. Pojem slabého řešení 1.1. Homogenní Dirichletova úloha pro Laplaceovu rovnici. Nechť R d, d, je otevřená omezená množina. Uvažujeme úlohu 1.1 u = f, u =, x x. Klasické řešení 1.1 je u C C splňující 1.1 ve všech bodech. Okamžitě dostáváme, že toto jde jen pro f C. Odvození definice slabého řešení. Předpokládejme, že f L. Vynásobíme první rovnici v 1.1 testovací funkcí ϕ D a integrujeme u ϕ dx = fϕ dx. Na levé straně použijeme vícerozměrné per-partes důsledek z Gauss-Ostrogradského věty Věta 1.1. Nechť R d je omezená otevřená množina s konečnou plochou hranice a v každém bodě hranice existuje její vnější normálový vektor. Nechť funkce U, V jsou spojité na a mají spojité první parciální derivace na a tyto derivace se dají spojitě rozšířit na. Pak pro všechna i = 1,..., d platí U V x i dx = V U x i dx + Díky kompaktnosti nosiče ϕ dostáváme 1. u ϕ dx = fϕ dx. UV ν i ds. Poznámka 1.. V předchozím výpočtu jsme se dopustili jisté nekorektnosti. Odstraněna bude na cvičení. Definujme Sobolevův prostor { W 1, := v L v } : L pro všechna i = 1,..., d, x i kde derivace bereme v distributivním smyslu, opatřený normou d v W 1, = v L + v x i i=1 L Dále definujeme W 1, jako uzávěr D v normě výše. Slabé řešení 1.1 je funkce u W 1, splňující 1. pro všechna ϕ W 1,. 1 1.

2 PDR Poznámka 1.3. Zatím nejsme dostatečně vybaveni, abychom ukázali, že klasické řešení 1.1 je zároveň řešení slabé. Problém je ukázat, že u W 1, ověřit integrovatelnost derivací. Pak už stačí jen otestovat 1. funkcí ϕ W 1,. Můžeme psát ϕ = ψ + η, kde ψ D a testování vyhazuje nulu, η W 1, a η W 1, < ε. Pak z Hölderovy nerovnosti fη dx f L η L Cε a u η dx u L η L Cε. Poznámka 1.4. Testování řešením u ϕ dx = a tedy z Hölderovy nerovnosti fu dx u L f L u L. Časem se dozvíme, že pro funkce z W 1, obecně platí Pak tedy budeme mít apriorní odhady u L Cd, u L. u L C f L a u L C f L. Poznámka 1.5. Kdy nestačí klasické řešení: nehladká vstupní data, metoda s použitím Fourierovy transformace fundamentální řešení pro Diraca napravo, pak konvoluce, metody z variačního počtu Věta o horském sedle či Ekelandův variační princip. 1.. Nutné podmínky ve variačním počtu. Zkoumáme lokální extrémy zobrazení F : Y R, kde Y je prostor funkcí C 1 a, b, C 1 C, W 1,,.... Definice 1.6 Lokální minimum. Funkcionál F : Y R má v y Y lokální minimum, jestliže existuje δ > takové, že y y Y < δ = F y F y. Definice 1.7 Gateauxova derivace. Funkcionál F : Y R má v y Y Gateauxovu derivaci ve směru h Y \ {}, jestliže existuje konečná limita F y + th F y df y ; h = lim. t t Pokud je y Y bodem lokálního minima funkcionálu F, pak jsou zřejmě všechny existující Gateauxovy derivace nulové. Bod s nulovými Gateauxovými derivacemi se nazývá extremála. Tvrzení 1.8 Variační formulace Laplaceovy rovnice. Funkce u W 1, je slabým řešením úlohy 1.1 právě tehdy, když je extremálou funkcionálu F u = 1 u dx fu dx. Navíc se v takovém případě jedná o lokální minimum.

3 PDR 3 Důkaz. Platí F u + tϕ = 1 tedy 1.3 u dx fu dx + t u ϕ fϕ dx + t ϕ dx, F u + tϕ F u t = u ϕ fϕ dx + t ϕ dx a limita pro t zřejmě existuje pro libovolné pevné ϕ W 1, a rovná se 1.4 df u; ϕ = u ϕ dx fϕ dx. Tedy u je slabým řešením úlohy 1.1 právě tehdy, když df u; ϕ = pro všechna ϕ W 1,, což znamená, že u je extremálou. Dále, je-li u je slabým řešením úlohy 1.1 a volíme-li t = 1 v 1.3, pak F u F u + ϕ pro všechna ϕ W 1, a tedy u je bodem lokálního minima.. Sobolevovy prostory.1. Sobolevovské funkce. V dalším je otevřená souvislá. Definice.1 Slabá derivace. Nechť α = α 1,..., α d je multiindex a funkce u, v α L 1 loc. Pak v α je slabá derivace u podle x α, jestliže v α ϕ dx = 1 α ud α ϕ dx pro všechna ϕ D. Tedy slabá derivace je distributivní derivace, která je navíc funkce z L 1 loc. Definice. Sobolevův prostor. Nechť k N a p [1, ]. Pak definujeme W k,p := {u L p : D α u L p pro všechny multiindexy α, kde α k}. Na prostoru W k,p zavedeme normu { α k u k,p := u W k,p := Dα u p L p 1 p pokud p [1, max α k D α u L pokud p =. Tvrzení.3 Vlastnosti slabé derivace. Nechť u, v W k,p, k N a α k. Pak i D α u W k α,p a D α D β u = D β D α u = D α+β u kdykoliv α + β k ii λu + µv W k,p a D α λu + µv = λd α u + µd α v kdykoliv λ, µ R iii je-li otevřená, pak u W k,p iv je-li η D, pak ηu W k,p a D α ηu = α D β ηd α β u. β β α V předchozím tvrzení je třeba dát pozor na význam symbolů β α a α β pro multiindexy. Tvrzení.4 Základní vlastnosti Sobolevových prostorů. Nechť k N. Pro p [1, ] je W k,p Banachův, pro p = Hilbertův, pro p [1, separabilní a pro p 1, reflexivní.

4 4 PDR Důkaz. Skalární součin se zavede podobně jako na L. Separabilita plyne ze separability odpovídajícího Lebesguea a skutečnosti, že Sobolev se dá vnořit do kartézského součinu Lebesgueů jednotlivě derivace bereme jako další funkce z Lebesguea. Reflexivita přes stejné zanoření, kartézský součin reflexivních je zřejmě reflexivní, uzavřený podprostor reflexivního je reflexivní. Zajímavá je úplnost. Úplnost L p dává pro libovolný multiindex splňující α k, že D α u n u α. Potřebujeme ukázat, že u α = D α u. Máme 1 α ϕd α u = ud α ϕ u n D α ϕ = 1 α ϕd α u n 1 α ϕu α, kde relace postupně plynou z definice slabé derivace, konvergence funkcí v Lebesgueovi, definice slabé derivace, postup získání u α. Věta.5 ACL. Je-li R d otevřená, p [1, ] a u W 1,p, pak po případné změně na množině míry nula je u absolutně spojitá na skoro všech přímkách rovnoběžných se souřadnými osami a slabá derivace se shoduje s klasickou skoro všude. Navíc na uvedených přímkách platí Newtonova formule částečný výsledek z důkazu předešlé věty v Mazyově knize. Definice.6 Prostor W k,p. Nechť k N a p [1, ]. Pak definujeme W k,p = D W k,p. Tvrzení.7 Základní vlastnosti prostorů W k,p. Nechť k N. Pro p [1, ] je W k,p Banachův, pro p = Hilbertův, pro p [1, separabilní a pro p 1, reflexivní. Obecně platí W k,p W k,p. Obráceně Tvrzení.8. Nechť k N a p [1,. Pak W k,p R d = W k,p R d. Důkaz. Vně jistého BR se už vyintegruje jen málo, přenásobíme hladkou radiálně symetrickou seřezávací funkcí ψ takovou, že ψ = 1 na BR, ψ = na R n \BR+1 a ψ. Zbývá použít hustotu DBR+1 ve W k,p BR+1, teprve bude... Hölderovsky spojité funkce. Pro k N {} a λ [, 1] definujeme prostor C k,λ = {u C k D α ux D α uxuy : sup x y x y λ < kdykoliv α k} s normou u C k,λ = u C k + sup x y α k D α ux D α uy x y λ. Spojité funkce C nebo C,, lipschitzovské funkce C,1. Dá se ukázat C,β C,α, kdykoliv α < β 1. Definice.9 Množiny třídy C k,λ. Nechť k N {} a λ [, 1]. Omezená otevřená množina R d je třídy C k,λ, jestliže existuje m N souřadných systémů,

5 PDR 5 čísla α, β > a funkce a n C k,λ [ α, α] d 1 takové, že platí při značení x = x 1,..., x d 1, x d = x, x d v n-tém souřadném systému a + n : = {x R d : x < α, a n x < x d < a n x + β}, n : = {x R d : x < α, a n x β < x d < a n x } R d \, n : = {x R d : x < α, a n x = x d } R d \ m n =. n=1.3. Konvoluční zhlazování. Definice.1 Zhlazovací jádro. Funkce η : R d R je zhlazovací jádro, jestliže η DR d, supp η B1, η, x = y = ηx = ηy, η = 1. R d Příklad.11. To splňuje například { C exp 1 x ηx = 1 pro x < 1 pro x 1, kde C = Cd je volena tak, aby platila poslední podmínka v předchozí definici. V dalším považujme η za pevně danou funkci. Pro ε > definujeme funkci η ε předpisem η ε x = 1 ε d η x ε x Rd. Definice.1 Zhlazení funkce. Nechť R d je omezená a otevřená, u L 1 loc, ε > a η je zhlazovací jádro. Zhlazením funkce u příslušejícím ε a η nazýváme funkci u ε : ε R, kde ε = {x : distx, > ε}, definovanou předpisem Tedy u ε x = η ε x yuy dy = R d u ε = η ε u. Bx,ε η ε x yuy dy = ux yη ε y dy. R d Věta.13 O vlastnostech zhlazení. Nechť R d je omezená otevřená, p [1,, u L 1 loc a u ε je její zhlazení. Pak i u ε C ε ii lim ε + u ε x = ux pro skoro všechna x iii je-li u C, pak u ε u na každé kompaktní množině K iv je-li u L p loc, pak u ε u v L p loc v je-li u L p R d, pak u ε L p R d u L p R d pro p [1, ] a u ε u v L p R d pro p [1,. Případ v v sobě zahrnuje i u L p díky rozšíření nulou.

6 6 PDR.4. Aproximace hladkými funkcemi. Pro sobolevovské funkce se pokusíme získat podobné výsledky, jako jsme získali pro lebesgueovské. Nárážíme na dva problémy. Jednak potřebujeme zjistit, zda zhlazené funkce dobře aproximují nejen funkční hodnoty, ale i derivace, což se ukáže, že je v jistém smyslu pravda. Druhý problém spočívá v tom, že zatímco funkce z Lebesgueova prostoru po rozšíření nulou v uvedeném prostoru zůstávají, pro sobolevovské funkce toto neplatí. U hranice oblasti tedy nelze tvrdit, že derivace je zhlazenými funkcemi dobře aproximována. Věta.14 O lokální aproximaci hladkými funkcemi. Nechť k N, p [1, a u W k,p. Pak i D α u ε = D α u ε na ε, ii u ε u ve W k,p loc tedy ve W k,p kdykoliv, iii jestliže u W k,p R d, pak D α u ε = D α u ε na R d a u ε u ve W k,p R d. Důkaz. i Stačí ověřit platnost následující řetězové rovnosti pro x ε D α u ε x = D α Bx,ε η ε x yuy dy = = = Bx,ε Bx,ε Bx,ε = D α u ε D α x η ε x yuy dy 1 α D α y η ε x yuy dy η ε x yd α uy dy První a pátá rovnost jsou jen definice zhlazení, třetí je derivace složené funkce funkce je radiálně symetrická, čtvrtá plyne z definice distributivní derivace testovací funkce ϕ = η ε x DR d. Druhá rovnost je postupná aplikace věty o záměné derivace a integrálu předpoklady: měřitelnost integrandů před zderivováním, vlastní derivace integrandů, konvergence integálů pro jedno x - vždy omezená funkce s kopaktním nosičem násobená L p -funkcí, tedy součin vždy v L 1, L 1 - majoranta zderivovaného integrandu nezávislá na x - vyrobí se podobně jako pro třetí předpoklad. ii Nyní stačí aplikovat část iv věty o vlastnostech zhlazení na jednotlivé derivace a máme D α u ε = D α u ε D α u v L p loc. iii Vlastnost D α u ε = D α u ε se získá jako výše, konvergenci dokážeme aplikací části v věty o vlastnostech zhlazení na jednotlivé derivace. Lemma.15 První lemma o rozkladu jednotky. Nechť R d je otevřená množina a { i } i I je její otevřené pokrytí. Pak existuje spočetný systém funkcí {ξ j } j J takový, že platí i ξ j DR d pro všechna j J ii pro každé j J existuje i I, že supp ξ j i iii ξ j 1 pro všechna j J iv pro každé x je j J ξ jx = 1 a navíc pro každý kompakt K je ξ j pouze pro konečně mnoho j.

7 PDR 7 Věta.16 O globální aproximaci. Nechť R n je otevřená a omezená, k N, p [1, a u W k,p. Pak existují funkce u n C W k,p takové, že Důkaz. Máme = i=1 i, kde u n u ve W k,p. i = {x : distx, > 1 i }, i N. Položme V i = i+3 \ i+1, i N. Zvolme ještě V, aby = i= V i stačí vzít V = j pro j N, dost velké, aby j byla neprázdná. Nechť {ξ j } je hladký rozklad jednotky podřízený systému {V i }, tedy ξ j DV i, ξ j 1, ξ j = 1 na. Podle věty o vlastnostech slabé derivace máme ξ j u W k,p, navíc suppξ j u V i každé j má své i. Definujme ještě množiny W i = i+4 \ i V i. Nyní zvolme n N. K němu najdeme posloupnost {ε j,n }, tak malých, aby pro funkce u j,n = ξ j u εj,n platilo supp u j,n W i a u j,n ξ j u W k,p < 1 n j+1 Konečně, položme u n = j= uj,n. Pak u n C, neboť ke každému bodu z máme okolí, kde se sčítá jen konečně mnoho nenulových funkcí. Pro libovolné pevně zvolené i N pak máme j= j i 1 u n u W k,p i = u j ξ j u W k,p i j= j i 1 j= u j ξ j u W k,p 1 n. Z tohoto odhadu, faktu, že = i=1 i, a Leviho věty aplikované na jednotlivé integrály uvnitř sobolevovské normy dostáváme u n u W k,p 1 n. V předchozím důkazu jsme nechtěli počítat způsobem u n u W k,p = u j ξ j u j= W k,p. To bychom nejprve museli ukázat konvergenci sumy a v obecném případě není na první pohled jasné, že nekonečný součet sobolevovských funkcí je sobolevovská funkce, třebaže kontrolujeme normy sčítanců. Ještě dodejme, že nekontrolujeme normy ξ j u. Lemma.17 Druhé lemma o rozkladu jednotky. Nechť R d je omezená otevřená množina a { i } k i=1 je otevřené pokrytí. Pak existuje systém funkcí {ξ i } k i=1 takový, že platí i ξ i D i pro všechna i {1,..., k} ii ξ i x 1 pro všechna i {1,..., k} a x iii k i=1 ξ ix = 1 pro všechna x. Věta.18 O spojitosti translace v L p. Nechť u L p, kde R d otevřená a p [1,. Pak ux + h ux p dx h Rd, h.

8 8 PDR Idea důkazu. Vně veliké koule BR je už příspěvek do normy malý. Na BR + 1 díky Luzinovi najdeme kompakt K, aby \ K < ε a u je stejnoměrně spojitá na K. Nyní přes {x K : x + h K} BR vyintegrujeme pro malé h malé číslo, v opačném případě integrujeme přes malinkatou množinu a použijeme absolutní spojitost integrálu. Věta výše neplatí pro p =, stačí vzít χ,1. Věta.19 O aproximaci až do hranice. Nechť k N, p [1,, R d je oblast třídy C a u W k,p. Pak existuje posloupnost {u n } C taková, že u n u ve W k,p. Důkaz. Díky C máme okolí pokryto m r=1 r, kde r = + r r r. Vezměme ještě otevřenou, aby m r= r. Nechť {ξ r } m r= je rozklad jednotky podřízený systému { r } m r= podle předchozího lemmatu. Označme u r = uξ r. Nyní funkce u má kompaktní nosič uvnitř, stejně tak zhlazená funkce u,ε := u ε pro ε dost malé a tedy jako v konstrukci v důkazu věty o lokální aproximaci - konvoluční zhlazení dobře aproximuje funkci i její slabé derivace u u,ε W k,p = u u,ε W k,p supp u supp u,ε ε +. Teď k aproximaci zbývajících funkcí u r, r {1,..., m}. Zafixujme r, dále vezměme δ > velmi malé a definujme u δ rx = u r x, x d + δ vysunutí funkce o δ ven z hranice a teď zhladíme u r,ε := u δ r ε. Máme u r u r,ε W k,p u r u δ r W k,p + u δ r u r,ε W k,p. Díky větě o spojitosti translace v L p umíme vhodnou volbou δ udělat první sčítanec na pravé straně tak malý, jak potřebujeme u r je pevně zvolená funkce. Druhý sčítanec je zase malý díky tomu, že jsme si zakázané okolí hranice, kde konvoluční zhlazení obecně neaproximuje dobře viz Věta o vlastnostech zhlazení iv, vysunuli ven a tak jsme mohli použít konstrukci z Věty o lokální aproximaci..5. Operátor rozšíření. Věta.. Nechť R d je omezená oblast třídy C,1 a p [1, ]. Pak existuje spojitý lineární operátor E : W 1,p W 1,p R d takový, že i Eu = u na ii Eu má kompaktní nosič v R d iii existuje C = Cd, taková, že Eu W 1,p R d C u W 1,p. Důkaz. Nejprve vyřešíme speciální případ p <, = 1, 1 d 1, 1 horní půlka krychle a u C 1, supp u 1, 1 d 1 {}. Později ukážeme, jak se obecný případ na tento převede. Stačí položit ux pro x Eux = 3ux, x d + 4ux, x d pro x 1, 1 d 1, v ostatních případech Pro C 1 -hladkost Eu je rozhodující jen chování v okolí 1, 1 d 1 {}. Platí Eux, = 3ux, + + 4ux, + = ux, +,

9 PDR 9 dále pro i = 1,..., d 1 Eu x, = Eu x, + = Eu x, + x i x i x i a Eu x, = x Eu x, + = Eu x, +. d x d x d Navíc zřejmě platí Eu W 1,p R d C u W 1,p a C nezávisí ani na d ani na p je to vidět z trojúhelníkové norovnosti, přechod k argumentu x, x d se sice projeví v dvakrát větší množině, přes kterou integrujeme, ale integračního oboru se v definici normy týká mocnina 1 p. První zobecnění: u C 1 nahradíme u W 1,p. Využije se aproximace hladkými funkcemi až do hranice z předchozí věty funkce u n, díky linearitě operátoru E je zřejmě {Eu n } cauchyovská v W 1,p R d, její limita bude Eu. Druhé zobecnění: narovnání hranice vše jako výše, jen = {x 1, 1 d 1, x d ax, ax + 1}, kde a je lipschitzovská funkce. Použijeme bi-lipschitzovskou transformaci souřadnic x, x d x, x d + ax. Podle věty o substituci tato transformace zachovává Sobolevovy prostory a norma se nemění díky jednotkovému Jakobiánu matice derivací má na diagonále jedničky, obecně nenulový jen poslední řádek. Třetí zobecnění: krychle výše klidně mohla být kvádrem. Čtvrté zobecnění: rozsekání hranice. Stačí použít vhodný rozklad jednotky. Díky omezenosti velikosti gradientu funkcí z rozkladu pak zřejmě platí ξ i v W 1,p C v W 1,p skutečně ξ i v = ξ i v + v ξ i a požadované nerovnosti se dají vysčítat až na multiplikativní konstantu nezávislou na p. Případ p =. Provedeme předchozí postup pro všechna p <. Dostaneme kde používáme lemma níže. Eu W 1,p R d C u W 1,p C u W 1, Poznámka.1. Důkaz výše byl převzat ze skript pěti autorů a má dvě slabiny. Jednak je to užití netriviálního výsledku, že složenina lipschitzovského zobrazení se sobolevovským je sobolevovské integrovatelnost je zřejmá z věty o substituci, ale není jasné, že transformovaná slabá derivace zůstává slabou derivací a pak zbytečná péče o to, zda rozšířená funkce je stále C 1 stačilo by to jen přezrcadlit. Evansův přístup předpokládá C 1 -hranici, první krok je rošíření jako u nás, druhý narovnání hranice při němž pracuje se složeninou C 1 -zobrazení, tedy s klasickou derivací a k sobolevovským funkcím přechází až v posledním kroku. Lemma.. Nechť R d je měřitelná a omezená. Jestliže u L, pak pro všechna p [1, platí u L p a u L p C u L, speciálně C nezávisí na p. Naopak, jestliže u L p pro všechna p [1, a existuje C > takové, že u Lp C pro všechna p [1,, pak u L a u L C tatáž konstanta.

10 1 PDR Důkaz. Pokud u C skoro všude na a p [1,, pak 1 p u L p C p = C 1 p C max{1, }. Druhá část sporem: nechť u L p C, existují δ > a kladné míry takové, že u > C + δ na. Pak u L p C + δ 1 p. Dostáváme spor, neboť pravá strana jde k C + δ pro p jdoucí k nekonečnu..6. Věty o spojitém vnoření. V následujícím značíme pro x = x 1,..., x d R d pro i =,..., d 1 x 1,..., ˆx i,..., x d = x 1,..., x i 1, x i+1..., x d. Pro i = 1 či i = d analogicky vynecháním souřednice x i. Lemma.3 Gagliardo. Nechť d a u i C 1 c R d 1, pro i = 1,....d, kde u i = u i x 1,..., ˆx i,..., x d ve smyslu, že funkce je konstantní v chybějící proměnné. Pak R d i=1 d u i dx d 1 d 1 u i d 1 dx 1... dxi ˆ... dx d. R d 1 i=1 Důkaz. V případě d = má nerovnost tvar u 1 x u x 1 dx u 1 x dx R R R u x 1 dx 1 a plyne z Fubiniho věty. Dále pokračujeme indukcí přes d. Nejprve použijeme Fubiniho a hned po něm Höldera pro d 1 činitelů a pak ještě Höldera s mocninami d 1 a d 1 d u 1... u d dx = u 1 u... u d dx 1 dx... dx d R d R d 1 R d u 1 R d 1 i= Nyní na hladké funkce d 1 1 u i d 1 dx 1 R 1 d 1 dx... dx d u 1 d 1 dx... dx d R d 1 d 1 u i d 1 dx 1 R d 1 R i= d 1 d g i := u i d 1 dx 1, i =,..., d, R dx... dx d d d 1.

11 PDR 11 aplikujeme indukční předpoklad a dostáváme u 1... u d dx R d = = R d 1 u 1 d 1 dx... dx d R d 1 u 1 d 1 dx... dx d R d 1 u 1 d 1 dx... dx d R d 1 u 1 d 1 dx... dx d a to jsme chtěli dokázat. 1 d 1 1 d R d 1 i= d 1 d 1 d 1 1 d 1 i= i= g i dx... dx d d d 1 1 g i d dx... dxi ˆ... dx d R d d d d 1 d 1 u i d 1 dx 1 dx... dxi ˆ... dx d R d R d 1 d 1 u i d 1 dx 1... dxi ˆ... dx d R d 1 Věta.4 Gagliardo-Nirenberg. Nechť p [1, d. Označme p = libovolnou u DR d platí.1 u L p R d i= d 1p d p u L p R d. dp d p. Pak pro Důkaz. Nejprve případ p = 1. Pak p = d d 1. Z důvodů patrných níže dokažme tvrzení v obecnějším případě u Cc 1 R d. Pro libovolné i = 1,..., d platí xi u ux = x 1,..., x i 1, s, x i+1,..., x s ds x i Tedy uu d d 1 d i=1 u x 1,..., x i 1, s, x i+1,..., x s ds. u x 1,..., x i 1, s, x i+1,..., x s ds 1 d 1 Teď už stačí vše jen přeintegrovat přes R d a použít Gagliardovo lemma na jednorozměrné integrály z gradientu umocněné na 1 d 1 u d d d 1 = uu L d 1 d d 1 dx R d R d d 1 d 1 u x 1,..., x i 1, s, x i+1,..., x s ds dx R d i=1 d 1 d 1 u x 1,..., x i 1, s, x i+1,..., x s ds dx 1... dxi ˆ... dx d i=1 R d 1 d 1 d 1 d d 1 = u dx = u dx = u d d 1 L 1 R d, R d R d i=1. d 1

12 1 PDR což jsme chtěli dokázat, neboť d 1p d p p=1 = 1 a tedy nerovnost je dokázána včetně správné multiplikativní konstanty. a definujme pomocnou funkci v = u γ 1 u. Zřejmě γ > 1, proto t t γ 1 t je C 1 -funkce a odtud v Cc 1 R n. Můžeme tedy aplikovat výsledek pro případ p = 1 na v a dostáváme Nyní přistupme k případu p 1, d. Položme γ = d 1p d p d 1p d p u = u γ = u γ = v L dp d p R d L dγ d d 1 R d L d 1 R d L = u γ 1 u = γ u γ 1 u R d R d γ u pγ 1 p 1 R d p 1 p R d u p 1 p v poslední úpravě jsme použili Hölderovu nerovnost. Dále platí a tedy p γ 1 = p dp 1 = dp p 1 p 1 d p d p d 1p d p u L dp d p R d d 1p d p dp p 1 u d p p u L dp Lp R. d d p R d v d 1 d R d L 1 R d Protože dále d 1p d p dp p 1 = d p d p p d p = 1, vyloučíme-li případ u, kdy je požadovaná nerovnost splněna triviálně, dostáváme d 1p u dp L d p R d d p u L p R. d Důsledek.5. i Nechť p [1, d. Pak W 1,p R d L p R d a platí.1. ii Nechť p [1, d a R n. Pak W 1,p L p a platí.1. Důkaz. Připomeňme, že W 1,p R d = W 1,p R d, tedy v obou případech lze užít hustotu funkcí z DR d respektive D DR d. Podrobně dokážeme tvrzení ii. Pokud u W 1,p R d, pak existuje {u n } C R d W 1,p R d taková, že u n u ve W 1,p R d. Pro tyto funkce platí.1, stačí tedy tedy dokázat u n Lp R d u Lp R d a u n L p R d u L p R d. První konvergence plyne z konvergence ve W 1,p R d. Dále aplikací.1 na u n u k zjistíme, že {u n } je cauchyovská v L p R d a tedy existuje v L p R d splňující u n v v L p R d. Přechodem k podposloupnosti máme u n v skoro všude. Protože máme zároveň u n u v L p R d, dostáváme u n u skoro všude, tedy v u skoro všude. Proto u n L p R d v L p R d = u L p R d. Věta.6 Vnoření pro p < d. Nechť p [1, d a R d je třídy C,1. Pak pro libovolné q [1, p ] platí W 1,p L q s konstantou vnoření C = Cd, p, q,.

13 PDR 13 Důkaz. Pokud q = p, použijeme nejprve operátor rozšíření na W 1,p R d tím vstoupí do hry i norma z funkčních hodnot, pak aplikujeme předchozí větu. Rozšíření mám trochu zhorší konstantu z Gagliardo-Nirenberga. Pokud q < p, použijeme postup výše a pak ještě zahöldeříme na levé straně. Věta.7 Vnoření pro p = d. Nechť R d je třídy C,1. Pak pro libovolné q [1, platí W 1,d L q. Důkaz. Plyne z předchozí věty, neboť je omezená, tedy W 1,d W 1,p pro všechna p [1, d. Navíc máme p pro p d. Ve třídě radiálně symetrických funkcí s logaritmickým růstem lze nalézt příklad ukazující, že neplatí vnoření do L. Věta.8 Odhady pro W 1,p, p [1, d. Nechť R d je otevřená a omezená. Nechť p [1, d a u W 1,p. Pak pro každé q [1, p ] platí u L q Cp, q, d, u L p. Důkaz. Případ q = p plyne z Gagliardo-Nirenberga a hustoty D ve W 1,p. Ostatní případy se získají pomocí Hölderovy nerovnosti. Pokud je v předchozí větě q = p, odhad se nazývá Friedrichsova nerovnost a jejím důsledkem je ekvivalence klasické sobolevovské normy a takzvané Dirichletovy normy u W 1,p := u L p. Poznámka.9. Protože pro p < d máme W 1,p R d L p R d a navíc triviálně W 1,p R d L p R d, aplikací Höldera dostáváme W 1,p R d L q R d pro všechna q [p, p ], neboť pro λ, 1 u λp+1 λp R d R d u p λ u p R d 1 λ a tedy u L λp+1 λp R d u λp λp+1 λp L p R d u 1 λp λp+1 λp. L p R d Věta.3 Morrey. Nechť p d,. Pak existuje C = Cp, d >, že pro všechna u C 1 R d platí u := u ux uy,1 d C p R d CR d + sup C u x y x y 1 d W 1,p R. d p Důkaz. Nejprve odhadneme oscilace. Volme libovolné pevné x 1, x R d různé. Nechť Q ϱ je krychle se stěnami rovnoběžnými se souřadnými osami, taková, že body x 1, x leží na protilehlých stěnách, délku hrany značíme ϱ tedy ϱ = x 1 x. Pak ϱ x 1 x dϱ.

14 14 PDR Proto pro libovolné x Q ϱ a i = 1, máme 1 d ux ux i = ds ux i + sx x i ds 1 = ux i + sx x i x x i ds 1 dϱ ux i + sx x i x x i ds 1 ux i + sx x i ds. Použijeme-li tento odhad, Fubiniho větu a lineární substituci z = x i + sx x i, "dz = s d dx", která posílá krychli Q ϱ na Q i sϱ = {z R d : z = x i + sx x i, x Q ϱ }, a pak použijeme na vnitřní integrál Hölderovu nerovnost 1 ϱ d ux dx ux i Q ϱ 1 ϱ d ux ux i dx Q ϱ d 1 ux i + sx x i dsdx = = = ϱ d 1 Q ϱ 1 d ϱ d 1 1 d ϱ d 1 1 d ϱ d 1 ux i + sx x i dxds Q ϱ s d uz dzds Q i sϱ d ϱ d 1 u L p R d s d u L p R Q i sϱ p 1 d p 1 1 ds s d sϱ p 1 p d ds = dϱ 1 d p u Lp R d s d p ds d = 1 d ϱ 1 d p u L p R. d p Odtud dostáváme ux 1 ux ux 1 1 ϱ d ux dx Q ϱ + 1 ϱ d ux dx ux Q ϱ. d 1 d ϱ 1 d p u L p R d d p 1 d x 1 x 1 d p u L p R d p z čehož plyne požadovaný odhad druhé části normy.

15 PDR 15 Nyní odhadneme supremum funkčních hodnot. Volme x R d a k němu libovolnou krychli Q 1, aby x Q 1. Pak pro libovolně y Q 1 platí podle. ux = uy + ux uy uy + C x y 1 d p u L p R d uy + C u Lp R. d Integrací přes Q 1 a aplikací Hölderovy nerovnosti dostáváme ux = ux dy uy dy + C u Lp R d Q 1 Q 1 u Lp R d + C u Lp R d C u W 1,p R. d A tentýž odhad platí i pro supremum. Důsledek.31. Nechť p d,. Pak W 1,p R d C,1 d p R d při volbě vhodného reprezentanta s konstantou vnoření C = Cd, p. Důkaz. Volme u W 1,p R d. Vezměme aproximující posloupnost hladkých funkcí takových, že u m u ve W 1,p R d. Podle předchozí věty máme u m u l C,1 d p R d C u m u l W 1,p R d, což je cauchyovskost, tedy existuje v C,1 d p R d taková, že u m v v C,1 d p R d. Pak nutně u = v skoro všude, jinak odvodíme spor z toho, že u m u v L p R d a zároveň u m v. Tedy pro vhodného reprezentanta u C,1 d p R d. Pak už se použije jen spojitost obou norem, abychom dostali Morreyho nerovnost. Věta.3 Vnoření pro p > d. Nechť p > d a R d je množina třídy C,1. Pak pro všechna α [, 1 d p ] platí W 1,p C,α. Důkaz. Nejprve použijeme operátor rozšíření, tedy z u W 1,p vyrobíme Eu W 1,p R d s kompaktním nosičem. Pak stačí kombinovat inkluzi mezi Sobolevovými prostory na omezené množině s předchozím důsledkem. Důsledek.33. Nechť R d je množina třídy C,1. Pak W 1, C,1. Důkaz. Díky omezenosti množiny dostáváme W 1, W 1,p, pro libovolné p [1, a tedy dle předchozí věty a Hölderovy nerovnosti u C,1 d p Cd, p, u W 1,p Cd, p, u W 1,. Dále konstanta v. je omezená, je-li p odraženo od d konstanta byla v důkazu Morreyho věty, tedy existuje jedna konstanta C >, že pro libovolné α [ 1, 1 a x 1, x ux 1 ux C x 1 x α. Odtud dokonce se stejnou konstantou jinak se snadno odvodí spor. ux 1 ux C x 1 x,

16 16 PDR.7. Věty o kompaktním vnoření. Věta.34 Kompaktní vnoření pro p < d. Nechť R d je množina třídy C,1 a p < d. Pak pro všechna q [1, p platí Důkaz je velmi dlouhý. W 1,p L q. Věta.35 Kompaktní vnoření pro p d. Nechť R d je množina třídy C,1. Pak i pro všechna q [1, je W 1,p L q ii pro všechna p > d a α [, 1 d p platí W 1,p C,α. Důkaz. První tvrzení zřejmě plyne z předchozí věty. Druhé plyne z faktu, že prostory Hölderovsky spojitých funkcí jsou do sebe kompatně vnořené..8. Věta o stopách. Prostor L p pro s lipschitzovskou hranicí zavádíme následovně. Je-li funkce u definována skoro všude na, na jednotlivých úsecích hranice po odpovídající rotaci souřadnic zkoumáme, zda funkce x ux, a n x patří do L p α, α d 1. Při výpočtu normy ještě přidáváme váhu 1 + an x an x d 1 1 plošný element pro plochy explicitně zadané jako graf funkce a vysčítáváme přes všechny části hranice bez rozkladu jednotky, tedy některé úseky jsou brány vícekrát, úseků je ale jen konečný počet. Věta.36 O stopách. Nechť R d je množina třídy C,1 a p [1, ]. Nechť dále [1, dp p d p ] pro p < d q [1, pro p = d [1, ] pro p > d. Pak existuje spojitý lineární operátor T : W 1,p L q takový, že pro všechna u C platí T u = u. Důkaz. Pro p > d se použije vnoření do Hölderovských funkcí na, takže u vhodného reprezentanta známe i funkční hodnoty na hranici. Musí se ale ještě ověřit linearita a spojitost tohoto přirozeně definovaného operátoru obojí je snadné. Případ p = d bude přetažen z p < d díky vzájemnému vnoření Sobolovových prostorů a dp p d p pro p d. V dalším tedy uvažujme jen p < d a značíme p # = dp p d p. Krok 1. přechod k hladkým funkcím a definice operátoru Podle věty o globální aproximaci až do hranice můžeme najít {u n } C takovou, že u n u ve W 1,p. Pokud se nám podaří pro hladké funkce dokázat nerovnost.3 v L p # Cp, v W 1,p, přetáhneme pojmy jako cauchyovskost a nezávislost na aproximující posloupnosti z W 1,p do L p# úplný prostor. Zbývá dokázat.3. Krok. S použitím rozkladu jednotky problém převedeme na jeden úsek hranice. Díky omezenosti velikosti gradientu funkcí z rozkladu pak zřejmě platí ξ i v W 1,p C v W 1,p

17 PDR 17 skutečně ξ i v = ξ i v + v ξ i a požadované nerovnosti se dají vysčítat až na multiplikativní konstantu. Krok 3. důkaz nerovnosti.3 na jednom úseku hranice Je-li rozklad jednotky zvolen tak, aby nosič rozkládající funkce ležel v pásu šířky β z definice třídy C,1, pak díky Hölderově nerovnosti provádí se jen pro p > 1, jinak je důkaz hotov po dvou řádcích následujícího výpočtu a větě o spojitém vnoření Sobolevových prostorů do prostorů Lebesgueových [ α,α] d 1 vx p # dx ax +β [ α,α] d 1 ax y ax +β Cp, d [ α,α] d 1 ax vx, y dp p d p dp 1 d p Cp, d v Lp supp v v L dp d p supp v dp 1 dp p 1+ d p Cd, p v W 1,p supp v = Cd, p v d p = Cd, p v p# W 1,p supp v. dydx vx, y vx, y dp 1 d p dydx W 1,p supp v Věta.37 Charakterizace W 1,p pomocí stop. Nechť R d je množina třídy C 1, p [1, a u W 1,p. Pak u W 1,p T u = na. Náznak důkazu. Jedna implikace je jasná. Funkci u aproximujeme funkcemi z D a využijeme toho, že operátor stop je spojitý. Druhá implikace je obtížná. Vezmeme posloupnost C -funkcí z definice T u zmodifikujeme je na funkce z D rozkladem jednotky se přehodíme na jeden kousek hranice, ten narovnáme. Pak funkce přenásobíme vhodnou seřezávací funkcí a zhladíme, dále ukážeme, že i po těchto úpravách stále konvergují k u ve W 1,p..9. Poincarého nerovnost. Pro funkci z L 1 definujeme její integrální průměr jako u = 1 u dx. Věta.38 Poincaré. Nechť R d je omezená oblast třídy C 1, 1 p. Pak pro všechna u W 1,p platí u u Lp Cd, p, u Lp. Důkaz. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že u = přičtení konstanty neovlivní, zda u W 1,p díky omezenosti - příklad na cvičení a u L p = 1. Pokud by nerovnost neplatila, šlo by najít posloupnost {u n } W 1,p s vlastnostmi uvedenými výše a navíc u n Lp 1 n. Použijeme větu o kompaktním vnoření a přechodem k vybrané podposloupnosti dostáváme i pro p = u n u v L p, u Lp = 1 a u = L p L 1. Na druhou stranu pro všechna ϕ D a i = 1,..., d máme díky u n L p 1 n u ϕ ϕ = lim u n = lim ϕ u n = x i n x i n x i

18 18 PDR a tedy u W 1,p, u = skoro všude, tedy u je konstantní příklad na cvičení a tedy u = je ve sporu s u L p = 1. Věta.39 Poincaré pro kouli. Nechť x R d, r >, 1 p a u W 1,p Bx, r. Pak u u Bx,r L p Bx,r Cd, pr u L p Bx,r. Důkaz. Nejprve uvažujeme případ Bx, r = B, 1 a použijeme předchozí větu. Obecný případ získáme posunutím nemění ani integrální průměr, ani integrál z funkčních hodnot, ani z derivace a nafouknutím pro p < : integrální průměr stejný, norma z funkčních hodnot je přenásobena r d 1 d p = r p díky Jakobiánu, norma derivace zase r p r d 1 d p = r p 1 ; pro p = : první a druhá veličina se nemění, norma derivace vyhodí r Charakterizace Sobolevových prostorů pomocí diferencí. Je-li h R a e i jednotkový vektor ve směru osy x i, značíme h i ux = ux + he i ux. h Tedy, pokud existuje i-tá parciální derivace v bodě x, platí u x = lim h i ux. x i h Věta.4. i Nechť p [1, a u W 1,p R d. Nechť i {1,..., d} a h R\{}. Pak h i u L p R d u L. x i p R d ii Nechť p 1, a u L p R d. Nechť existují h > a C i >, i {1,..., d}, takové, že pro všechna h R splňující < h < h a i = 1,..., d platí.4 h i u L p R d C i. Pak u W 1,p R d a pro každé i {1,..., d} platí u Lp x C i. i R d Důkaz. i Z hustoty stačí dokázat pro u DR n norma na pravé straně nerovnosti je část toho, vůči čemu jsme hustotu dokazovali, podobně pro levou stranu a pevné h, viz definice h i. Nechť je tedy v dalším u DRn pevné, stejně tak i = 1,..., d a h. Máme h i ux = ux + he i ux h = 1 h h Odtud díky Hölderovi opatrně, h může být záporné h i ux p = 1 h h p 1 u p x + te i dt x i 1 p h p h h p 1 p dt u x + te i p dt x i = 1 h h p h p 1 u x + te i p dt x i = 1 h u x i x + te i dt. p p h u x + te i p dt. x i

19 PDR 19 Poslední nerovnost integrujeme přes R d a použijeme Fubiniho h i ux p L p R d 1 h u x + te i p dt dx h R d x i = 1 h u x + te i p dx dt h R x d i = 1 h u p dt = u p h x i L p R d x i L p R d což jsme chtěli dokázat. ii Nechť {h n } R \ {} je posloupnost jdoucí k nule. Pak, podle předpokladu.4, je { hn i u} omezená posloupnost v L p R d a tedy díky reflexivitě pro 1 < p < lze přejít k takové podposloupnosti, že hn i u v pro nějaké v L p R d. Nejprve ukažme, že v = u x i slabá derivace. Volme testovací funkci ϕ DR d. Pak díky substituci Nyní neboť hn i hn i uxϕx dx = 1 R h d n R d ux + h n e i ϕx dx uxϕx dx R d R d = 1 uxϕx h n e i dx uxϕx dx h n R d R d ϕx h n e i ϕx = ux dx. h n R d hn i uxϕx dx n vxϕx dx, R d R d u v a ϕ DR d L p R d. Na druhou stranu ϕx h n e i ϕx ux dx n h n podle Lebesgueovy věty, neboť a ϕx hnei ϕx h n R d u L p R d L p supp ϕ L 1 supp ϕ ϕ x i xux dx jsou omezené Lagrange a spojitost derivace na kompaktu. Proto ϕ vxϕx dx = xux dx. R d R x d i Máme tedy dokázánu existenci slabých derivací a jejich příslušnost do L p R d. Podle předpokladu u L p R d, tedy u W 1,p R d. Zbývá dokázat odhad normy derivací, ale ten plyne z.4 a faktu, že každá norma je slabě polospojitá zdola. Poznámka.41. Ve druhé části předchozí charakterizace skutečně nelze připustit p = 1. Stačí volit u = χ,1. Pak u L 1 R, není to sobolevovská funkce, ale pro libovolně h, 1 platí pro h 1, je výpočet podobný { 1 h x = h pokud x h, ] [1 h, 1 jinak a tedy h L1 R =.,

20 PDR Předchozí charakterizace platí i pro obecnou R d, ale ve znění se musí ošetřit okolí hranice. Věta.4. i Nechť p [1, a u W 1,p. Nechť V je otevřená a i {1,..., d}. Pak existuje C > takové, že pro všechna h R splňující < h < 1 distv, platí h i u Lp V C u Lp. x i ii Nechť p 1, a u L p loc. Nechť V je otevřená a pro každé i {1,..., d} existuje C i > takové, že pro všechna h R splňující < h < 1 distv, platí h i u L p V C i. Pak u W 1,p V a pro každé i {1,..., d} platí u Lp C i. x i V 3. Lineární eliptické rovnice Motivační úloha. Nechť R d je omezená a otevřená. Zabývejme se rovnicí u + u = f div f na 3.1 u = na, kde f = f 1,..., f d a div f = d f i i=1 x i. Připomeňme si ještě u = div u. Předpokládejme, že f, f 1,... f d L. Slabé řešení rovnice 3.1 je dáno vztahem odvození jako na začátku semestru, tedy přenásobíme funkcemi z D, integrujeme a na vhodné integrály použijeme per-partes 3. u ϕ + uϕ = f ϕ + f ϕ kdykoliv ϕ W 1,. Připomeňme Definice 3.1 Skalární součin. Nechť V je vektorový prostor. Pak, : V V RC nazveme skalárním součinem, jestliže i x, x a x, x = x = ii x, y = y, x iii λx, y = λx, y a x + y, z = x, z + y, z kdykoliv x, y, z V a λ RC. Věta 3. Rieszova věta o reprezentaci. Nechť H je Hilbertův prostor a L H spojitý lineární funkcionál. Pak existuje právě jedno a H takové, že L, h = h, a pro všechna h H. Navíc L = a. Tvrzení 3.3. Existuje právě jedno slabé řešení úlohy 3.1. Důkaz. Označíme-li u, ϕ := u ϕ + uϕ, pak operace, má vlastnosti skalárního součinu na W 1,. Označme L, ϕ := f ϕ + f ϕ

21 a ukažme, že L W 1,. Linearita je zřejmá. Dále L W 1, = sup L, ϕ sup 1 ϕ W 1, PDR 1 ϕ W 1, 1 f ϕ + f ϕ sup f L ϕ L + f L ϕ L ϕ 1, 1 W f L + f L <, tedy L je spojitý. Konečně, 3. se dá psát jako u, ϕ = L, ϕ, kde existence a jednoznačnost u plyne z Rieszovy véty o reprezentaci. Poznámka 3.4. Díky větě o ekvivalenci norem má vlastnost skalárního součinu na W 1, i samotný první člen v definici,. Předchozí výsledky tedy umíme získat i pro obecnější rovnici u + Cu = f div f, kde C. V této kapitole budeme studovat ještě obecnější třídu PDR a budeme potřebovat univerzálnější nastroj, než je Rieszova věta o reprezentaci. Skalární součin nahradíme obecnější bilineární formou Věta 3.5 Lax-Milgramovo lemma. Nechť X je raálný Hilbertův prostor se skalárním součinem, X a normou X =, X 1. Nechť B : X X R je bilineární forma, která je X-eliptická m > : u X Bu, u m u X a X- omezená M > : u, v X Bu, v M u X v X. Pak pro každé F X existuje právě jedno u X takové, že Navíc Bu, v = F, v kdykoliv v X. u X 1 m F X. Důkaz. Nechť F X je pevně zvoleno. Dále pro zafixované u X, podle Rieszovy věty o reprezentaci, existuje w X takové, že Bu, ϕ = w, ϕ X pro všechna ϕ X. Definujme operátor A: X X předpisem Au = w kde w je získáno předchozí konstrukcí. Tedy Bu, ϕ = Au, ϕ X pro všechna ϕ X. V dalším ukážeme, že A je omezený lineární operátor, který je prostý a na. Linearita plyne z linearity B v první složce, neboť pro všechna ϕ X Aλu + µv, ϕ X = Bλu + µv, ϕ = λbu, ϕ + µbv, ϕ = λau, ϕ X + µav, ϕ X = λau + µav, ϕ X a teď už stačí jen vše převést na jednu stranu a otestovat vzniklým rozdílem. Nyní omezenost tedy spojitost. Máme Odtud Au X M u X. Dále Au X = Au, Au X = Bu, Au M u X Au X. m u X Bu, u = Au, u X Au X u X = u X 1 m Au X.

22 PDR Toto zřejmě implikuje prostotu A je lineární. Navíc AX obraz je uzavřený předchozí odhad implikuje také spojitost inverzního zobrazení. Ještě zbývá ukázat, že AX = X. Pokud by tomu tak nebylo, existoval by v X \ {}, v AX neboť AX je uzavřený podprostor. Pak ale m v X Bv, v = Av, v X =, což je spor. Konečně přistupme k hlavní části důkazu. Protože F X, podle Rieszovy věty o reprezentaci existuje w X takový, že F, v = w, v X pro všechna v X. Protože AX = X, k w existuje u X takové, že w = Au. Tedy F, v = w, v X = Au, v X = Bu, v pro všechna v X. Ještě ověřme jednoznačnost. Nechť Bu 1, ϕ = F, ϕ a Bu, ϕ = F, ϕ pro všechna ϕ X. Odečteme obě rovnosti a dosadíme ϕ = u 1 u = Bu 1 u, u 1 u m u 1 u X. Ještě získejme odhad normy u X dosazením ϕ = u m u X Bu, u = F, u F X u X = u X 1 m F X Třída eliptických úloh s obecnými okrajovými podmínkami. Nechť R d je omezená a otevřená. Řešíme úlohu 3.3 diva u + bu = f na s okrajovými podmínkami u = u na Γ 1 Dirichlet u n = g na Γ Neumann u n + σu = g na Γ 3 Newton. Zde Γ 1, Γ, Γ 3 jsou otevřené jakožto podmnožiny a existuje N splňující H d 1 N = a = Γ 1 Γ Γ 3 N. Dále f : R b: R A = a ij d i,j=1 : R d d u : Γ 1 R σ : Γ 3 R g : Γ Γ 3 R a u n = u n = d i,j=1 u x j a ij ν i, kde ν je vnější normála a n se nazývá konormála. Poznámka 3.6. Zápis rovnice 3.3 po složkách je d u a ij + bu = f. x j x i i,j=1 Pokud A je konstantně rovná jednotkové matici, jedná se o Laplaceovu rovnici a konormála splývá s vnější normálou.

23 PDR 3 Technické předpoklady A je třídy C,1 A1 α > : Aξ ξ α ξ pro všechna ξ R d a skoro všechna x A a ij, b L, σ L Γ 3 A3 f L, g L Γ Γ 3 A4 b, σ A5 ũ W 1, : T ũ Γ1 = u T je operátor stop. Poznámka 3.7. Díky předpokladu A1 máme n ν = Aν ν α ν = α > a tedy konormála vždy míří ven z oblasti. Odvození slabé formulace Definujme V := {ϕ C : ϕ Γ1 = } a V = V W 1,, tedy W 1, V W 1,. Navíc V je uzavřený podprostor Hilbertova prostoru, tedy Hilbertův. Volme ϕ V. Pak aplikací per-partes a okrajových podmínek jak pro rovnici tak pro testovačku z V Dále označme fϕ = = = buϕ buϕ + buϕ + Bu, ϕ = = d i,j=1 u a ij ϕ x j x i d u ϕ a ij x i x j i,j=1 d i,j=1 u a ij ϕν j ds x i u ϕ a ij dx gϕ ds + σuϕ ds. x i x j Γ Γ 3 Γ 3 d u ϕ buϕ + a ij dx + σuϕ ds x i,j=1 i x j Γ 3 buϕ + A u ϕ dx + σuϕ ds. Γ 3 Definice 3.8. Funkce u je slabým řešením, jestliže u ũ V a pro všechna ϕ V platí Bu, ϕ = fϕ + gϕ ds. Γ Γ 3 Vhodnější zápis slabého řešení díky linearitě B, v první složce je u = ũ +v, kde v V splňuje 3.4 Bv, ϕ = F, ϕ pro všechna ϕ V a zobrazení F je definováno předpisem F, ϕ = fϕ + gϕ ds Bũ, ϕ. Γ Γ 3

24 4 PDR Věta 3.9 O ekvivalenci skalárního součinu generovaného W 1, a B, na V. Za předpokladů uvedených výše i B, je V -omezená a bilineární. ii B, je V -elptická, pokud navíc platí alespoň jedna z podmínek α H d 1 Γ 1 > β γ b > na množině kladné Lebesgueovy míry σ > na množině kladné d 1-dimenzionální Hausdorffovy míry. iii Pokud neplatí žádná z podmínek výše pak se jedná o Neumannovu úlohu, definujme prostor W = {u W 1, : u = } a pak B, je bilineární, W -omezená a W -eliptická. Důkaz. i Bilinearita zřejmě plyne z linerity integrálu. Dále omezenost plyne z Hölderovy nerovnosti, věty o stopách dp p d p = d 1 d a A d u v Bu, v buv + a ij dx + σuv ds x i x j Γ 3 i,j=1 C u L v L + C u L v L + C u L v L C u W 1, v W 1,. ii Sporem. Pokud tvrzení neplatí, lze nalézt {v n } V takové, že v n W 1, = 1 a Bv n, v n. Protože máme omezenou posloupnost v reflexivním prostoru V a ten je dále kompaktně vnořen do L, nalezneme v V takové, že po přechodu k podposloupnosti v n v ve W 1, a v n v v L. Dále slabá zdola polospojitost normy a A1 apolu s A4 dávají v n L a v L =, tedy v = skoro všude a tedy dle jednoho z domácích úkolů v C. Zároveň dostáváme v L = 1. Pokud nyní platí α, v V implikuje v a to je spor s v L = 1. Dále lze užitím v n L = v L a Hölderovy nerovnosti snadno ověřit, že Bv n, v n Bv, v a tedy = Bv, v = bvv dx + σvv ds = bc dx + σc ds. Γ 3 Γ 3 Toto vede ke sporu v případech β a γ. iii Bilinearita a W -omezenost se dokážou jako výše. Pří důkazu W -eliptičnosti se použije konstrukce z důkazu části ii tentokrát nad prostorem W, spor získáváme opět v momentě, kdy zjistíme, že v je kostantní. Věta 3.1 O existenci a jednoznačnosti slabého řešení úlohy 3.3. Nechť platí předpoklady uvedené výše a navíc platí alespoň jedna z podmínek α, β a γ. Pak existuje právě jedno slabé řešení úlohy 3.3 a navíc u W 1, C f L + g L Γ Γ 3 + ũ W 1,.

25 PDR 5 Důkaz. Použijeme Lax-Milgramovo lemma na problém 3.4. Požadované vlastnosti B, dává předchozí věta. Zbývá ověřit, zda F V. Máme F V = sup ϕ V, ϕ W 1, 1 F, ϕ. Pro takovou ϕ tedy máme díky předpokladům úlohy a díky větě o stopách analogický výpočet jako v důkazu i z předešlé věty F, ϕ = fϕ + gϕ ds Bũ, ϕ Γ Γ 3 f L ϕ L + g L Γ Γ 3 ϕ L Γ Γ 3 + C ũ W 1, ϕ W 1, C f L + g L Γ Γ 3 + ũ W 1,. Můžeme tedy použít Lax-Milgramovo lemma a dostáváme jednoznačně určené v V řešící 3.4. Navíc máme v W 1, C f L + g L Γ Γ 3 + ũ W 1,. Konečně u = ũ +v je slabé řešení úlohy 3.3 a odhad normy plyne z trojúhelníkové nerovnosti a odhadu v W 1,. Zbývá dořešit případ b, σ a Γ 1 =. Neumannova úloha se slabou formulací A u ϕ dx = diva u = f u n = g fϕ dx + gϕ ds na na Otestováním ϕ 1 dostáváme nutnou podmínku řešitelnosti 3.5 f dx + g ds =. pro všechna ϕ W 1,. Věta 3.11 O existenci a jednoznačnosti slabého řešení Neumannovy úlohy. Nechť platí předpoklady uvedené výše v této kapitole a navíc platí 3.5. Pak existuje právě jedno slabé řešení Neumannovy úlohy v prostoru W = {u W 1, : u = } a platí pro něj u W 1, C f L + g L. Navíc všechna slabá řešení v prostoru W 1, jsou tvaru ũ = u + c, kde c R. Důkaz. Použijeme Lax-Milgramovo lemma na prostoru W. Máme už dokázanou W - omezenost a W -eliptičnost formy B,. Zbývá ověřit, zda F W, což se udělá stejně jako v předchozích třech případech odhadujeme méně členů. Tedy podle Lax-Milgramova lemmatu existuje jednoznačně určené slabé řešení Neumannovy úlohy v prostoru W a splňuje požadovaný odhad normy. Slabé řešení u W W 1, je zároveň slabým řešením vůči prostoru W 1,, neboť každou testovací funkci ϕ W 1, lze psát jako ϕ = ϕ ϕ + ϕ. První sčítanec je testovací funkce z W a druhý sčítanec je konstanta, která díky podmínce 3.5 dává při testování nulu.

26 6 PDR Dále přičtením aditivní konstanty k u zřejmě dostáváme slabé řešení v prostoru W 1,. Jsou-li v, w W 1, dvě slabá řešení, odečteme obě slabé formulace od sebe, otestujeme funkcí ϕ = v w a použijeme eliptičnost = A v w ϕ = A v w v w α v w. Tedy nutně v w = skoro všude a proto v w je konstantní. 3.. Regularita slabého řešení. Začneme motivací. Zabývejme se rovnicí u = f na R d a předpokládejme, že u W 1, R d je nejen slabé řešení, ale zároveň i klasické, hladké a dostatečně rychle mizející v nekonečnu, aby platily následující úvahy perpartes. Testujeme-li funkcí ϕ = u = f klasické řešení, máme f = u = R d R d = d i,j=1 R d u d i,j=1 x i x j R d u u x i x j u x i x j = = d i,j=1 R d u. Tedy u L R d se dá odhadnout f L R. Dále máme d f = u = u, x i x i x i tedy x i u řeší Laplaceovu rovnici s pravou stranou 3 u L R d C f L R d. R d 3 u u x i x j x j x i f a tedy dle odhadu výše Dá se derivovat dále a lepší kvalita funkce f implikuje lepší kvalitu řešení u. V dalším se budeme potýkat s problémem, že u obecně nebude klasické řešení. Dále se ukazuje, že studium regularity pro omezené oblasti je složitější než na R d. Proto se budeme zabývat jen problémem 3.6 A u ϕ + buϕ dx = fϕ dx pro všechna ϕ W 1, R d. R d R d Věta 3.1 O existenci slabého řešení na R d. Nechť a ij L R d, b L R d, b, d i,j=1 a ijξ i ξ j α ξ pro všechna x, ξ R d, kde α >. Pokud f L R d, pak existuje právě jedno řešení 3.6 a splňuje u W 1, R d C f L R. d Důkaz. Nechť {R n }, je posloupnost splňující R n. Pro zafixované n N uvažme problém 3.6 na množině BR n a v prostoru W 1, BR n. Pak podle věty o existenci v případě Γ 1 = s nulovou okrajovou podmínkou existuje jednoznačné řešení u n a u n W 1, R d = u n W 1, BR n C f L BR n C f L R d tady se musí překontrolovat předchozí důkazy, C nesmí záviset na poloměru: skutečně, podle Lax-Milgrama u n W 1, BR n 1 α F W 1, BR n a podle Höldera F W 1, BR n f L BR n. Tedy u n je omezená a přechodem k podposloupnosti u n u. Nechť ϕ W 1, R d. Díky hustotě hladkých funkcí najdeme

27 PDR 7 ψ DR d takovou, že ϕ ψ W 1, R d < ε. Pak pro všechna n dost velká, aby supp ψ BR n máme A u ϕ + buϕ dx fϕ dx R d R d A u n ψ + bu n ψ dx fψ dx BR n BR n + f ϕ ψ dx R d + buϕ ψ + bu u n ψ + A u ϕ ψ + A u u n ψ dx R d < + Cε nejsložitější byl asi odhad posledního členu, kde se použila slabá konvergence gradientů v L BR n testování gradientu L -funkcí je spojitý lineární funkcionál na W 1, BR n. Zjistili jsme tedy, že u je slabé řešení. Ještě jednoznačnost. Nechť u 1, u jsou dvě slabá řešení. Odečteme příslušné rovnice od sebe a otestujeme je ϕ = u 1 u = A u 1 u ϕ + bu 1 u ϕ dx R d = A u 1 u u 1 u + bu 1 u dx R d α u 1 u + bu 1 u dx. R d Z toho už plyne u 1 u = skoro všude, neboť b, takže se liší o konstantu, která musí patřit do W 1, R d. Věta 3.13 O regularitě na R d. Nechť a ij, b W 1, R d, f L R d, b a d i,j=1 a ijξ i ξ j α ξ pro všechna x, ξ R d, kde α >. Pak jednoznačné řešení u W 1, R d úlohy 3.6 splňuje u W, R d a u W, R d C f L R d. Důkaz. Použijeme druhou část věty o charakterizaci Sobolevových prostorů pomocí diferencí aplikovanou na u. Už víme, že u L R d neboť u W 1, R d a u W 1, R d C f L R d. Zbývá tedy ukázat, že 3.7 Rd ux + he i ux h dx C f L R d pro i {1,..., d} a h R \ {}. Volme i {1,..., d} a h R \ {}. Posunutá testovací funkce v úloze 3.6 je stále přípustná jako testovací funkce, tedy po substituci máme Ax+he i ux+he i ϕx+bx+he i ux+he i ϕx dx = fx+he i ϕx dx. R d R d Od této rovnice odečteme 3.6 a volíme ϕ = h i u W 1, R d. Ax + he i ux + he i Ax ux h i u R d + bx + he i ux + he i bxux h i u dx = fx + he i fx h i u dx. R d

28 8 PDR Tedy 3.8 h Ax h i ux h i ux + bx h i ux dx R d = Ax + he i Ax ux + he i h i ux dx R d bx + he i bxux + he i h i ux dx R d + fx + he i fx h i ux dx. R d Poslední člen ještě upravíme substitucí 3.9 fx + he i fx h i ux dx R d = 1 fx + he i ux + he i ux fxux + he i ux dx h R d = 1 fxux + he i ux ux ux he i dx h R d = h fx h i h i ux dx. R d Nyní 3.8 podělíme h, použijeme elipticitu, komutativitu gradientu a diference, b, a ij, b W 1, R d, Hölderovu nerovnost, u W 1, R d C f L R d, první část věty o charakterizaci pomocí diferencí na druhý člen pravé strany přímo, u třetího členu ve tvaru 3.9 nahradíme jen jednu z diferencí a Youngovu nerovnost ab εa + 1 4ε b α h i u L R d + C u L R d h i u L R d + C u L R d u L R d + C f L R d h i u L R d C f L R d h i u L R d + C f L R d f L R d + C f L R d h i u L R d α h i u L R d + C f L R d. Tento odhad implikuje Princip maxima pro slabá řešení. Uvažujme úlohu 3.1 diva u + bu = u = u na na s technickými předpoklady ze začátku kapitoly tam jsme zkoumali obecnější typ rovnic. Již víme, že existuje jednoznačné řešení u W 1, splňující u ũ W 1, a A u ϕ + buϕ dx = pro všechna ϕ W 1,.

29 PDR 9 Věta 3.14 Princip maxima. Jestliže u L a u W 1, je slabé řešení úlohy 3.1, pak u L a u L u L. Důkaz. Položme M := u L a ϕ = u M +. Pak podle jednoho z domácích úkolů máme ϕ W 1,. Dále tvrdíme, že ϕ W 1,. Otázku nulovosti stopy na chvíli odložíme, a všimneme si, že pokud skutečně ϕ W 1,, pak ϕ můžeme použít jako testovací funkci a s využitím M =, b a elipticity = A u M u M + + bu Mu M + + Mbu M + dx = A u M + u M + + bu M + u M + + Mbu M + dx α u M + dx. Proto u M + = skoro všude, tedy u M + je konstantní a díky nulové stopě nulová. Z toho plyne u M skoro všude. Opačná nerovnost se dokáže přechodem k u. Vraťme se k otázce nulovosti stopy funkce ϕ = u M +, která bývá v literatuře označovaná jako zřejmá. Jednak máme T ϕ skoro všude na T je operátor stop, neboť operátor stop zachovává nerovnosti je lineární a pro hladkou nezápornou funkci na je zřejmě stopa nezáporná, pro nezápornou sobolevovskou funkci máme posloupnost aproximující hladkých, které jsou nezáporné díky tomu, jak funguje konvoluční zhlazování a vysouvání hranice v důkazu věty o aproximaci až do hranice. Zbývá dokázat, že T ϕ skoro všude na. Nejprve předpokládejme, že u C a volme ε >. Pak u je stejnoměrně spojitá, tedy na jistém okolí hranice platí u < M + ε, odtud ϕ < ε na tomto okolí. Použijeme-li nyní konstrukci z věty o aproximaci do hranice, máme posloupnost {ϕ n } C, ϕ n ϕ ve W 1, a zase díky tomu, jak funguje konvoluce získáme nerovnost ϕ n < ε na jistém o něco menším okolí hranice. Tyto funkce pak nutně splňují T ϕ n < ε na a protože operátor stop je spojitý a zároveň z posloupnosti konvergentní v Lebesgueově prostoru lze vybrat konvergentní skoro všude, máme T ϕ < ε skoro všude na a protože ε > bylo libovolné, dokonce T ϕ skoro všude na. Konečně, nechť u je obecná sobolevovská. Použijeme aproximaci hladkými funkcemi až do hranice. Pro ně jsme požadované tvrzení právě dokázali. Protože operátor stop je spojitý a z lebesgueovsky konvergentní posloupnosti lze vybrat posloupnost konvergentní skoro všude, stačí ověřit platnost výroku v n v ve W 1, = v + n v + ve W 1,. Protože a + = 1 a + a, stačí dokázat v n v ve W 1, = v n v ve W 1,. Dokažme tedy poslední výrok. Protože přechod k absolutní hodnotě zachovává sobolevovskou normu v = v skoro všude, je posloupnost { v n } omezená ve W 1, a má tedy slabě konvergentní podposloupnost. Limitou musí být funkce v, díky kompaktnímu vnoření W 1, do L. Protože navíc v n v v n W 1, v W 1, v n W 1, v W 1,,

30 3 PDR díky uniformní konvexitě lebesgueovské normy dostáváme, že slabá konvergence je konvergencí v normě Souvislost s variačním počtem pro symetrický operátor. V této sekci uvažujeme speciální případ úlohy 3.3, kdy a ij = a ji pro všechna i, j = 1,..., d. Použijeme značení Bu, ϕ := A u ϕ + buϕ dx + σuϕ ds jako minule Γ 3 H, ϕ := fϕ + gϕ ds podobný F, ale nepracujeme s v = u ũ Γ Γ 3 a V := {ϕ C : ϕ Γ1 = } W 1, jako minule. Definujeme funkcionál Φ: W 1, R předpisem Φu = 1 Bu, u H, u. Věta 3.15 Vztah slabého řešení k minimu funkcionálu. Následující výroky jsou ekvivalentní i u ũ V a Bu, ϕ = H, ϕ pro každé ϕ V ii u ũ V a Φu Φu + ϕ pro každé ϕ V. Důkaz. i ii: Použijeme i, Bu, ϕ = Bϕ, u A je symetrická, Bϕ, ϕ A je eliptická, b, σ a dostáváme Φu + ϕ = 1 Bu, u + Bu, ϕ + 1 Bϕ, ϕ H, u H, ϕ = 1 Bu, u H, u + 1 Bϕ, ϕ 1 Bu, u H, u = Φu. ii i: Zafixujme h V. Přímým výpočtem získáme Φu + th Φu = 1 Bu, u + tbu, h + 1 t Bh, h H, u t H, h 1 Bu, u H, u = tbu, h t H, h + 1 t Bh, h. Tedy d dt Φu+th t= = Bu, h H, h a tato derivace je pro minimum nulová. Definice 3.16 Koercivita. Funkcionál Φ: X R, kde X je Banachův prostor, nazveme koercivním, jestliže u X Φu. Věta 3.17 Základní věta variačního počtu. Nechť X je reflexivní Banachův prostor Φ: X R je funkcionál, který je koercivní, slabě zdola polospojitý a zdola omezený. Pak nabývá svého minima. Důkaz. Omezenost zdola implikuje, že m := inf x X Φx >. Vezmeme libovolnou minimizující posloupnost funkcionálu Φ a ta je díky koercivitě omezená v normě X. Díky reflexivirě můžeme přejít ke slabě konvergentní podposloupnosti x n x. Slabá polospojitost zdola pak dává m Φx lim inf n Φx n = lim n Φx n = m.