MagnetickÈ pole elektrickèho proudu

Transkript

1 30 MgnetickÈ pole elektrickèho prouu Tkto, pomocì rket rketopl n, vysìl me v souësnè oï kosmonuty oprvujeme mteri l o kosmickèho prostoru. Je to cest velmi n roën n kvlitu konstrukënìch mteri l pliv. Aû vök ueme olovt suroviny np Ìkl n MÏsÌci neo steroiech, ueme pot eovt mènï n roën zp so oprvy. JenÌm z tkov ch eöenì mohou t elektromgnetickè ktpulty. ElektromgnetickÈ Ïlo je v souësnè oï schopnè urychlit st elu z kliu n rychlost 10 km/s Ïhem jenè milisekuny. Jk lze os hnout tk orovskèho zrychlenì?

2 774 KATOLA 30 MAGNETCKÉ OLE ELEKTCKÉHO OUDU 30.1 MAGNETCKÉ OLE ELEKTCKÉHO OUDU V čl jsme si vysvětlili, že mgnetické pole můžeme vytvořit elektrickým prouem, tey pohyujícím se náojem. o pečlivém prostuování celé násleující kpitoly ychom měli umět vypočítt mgnetické pole vytvořené nou konfigurcí elektrických prouů. ueme postupovt stejně jko v kp. 23, ke jsme určovli elektrické pole vytvořené ným rozložením náojů. Zopkujme si stručně záklní postup. Nejprve jsme myšleně rozělili celý náoj (spojitě rozložený) n infinitezimální elementy náoje Q (or. 30.1). otom jsme vypočítli infinitezimální intenzitu E elektrického pole, kterou vytvoří v ném oě náoj Q. rotože pro elektrické pole pltí princip superpozice, určili jsme intenzitu voě integrcí příspěvků E o všech elementů. Q r E spojitě rozložený náoj () s θ s r () spojitě rozložený prou o nás Or () Element náoje Q vytváří elektrické pole o intenzitě E voě. () rouový element s vytváří mgnetické pole o inukci voě. Zelený křížek vyjřuje směr (kolmo k rovině orázku, směrem o nás). řipomeňme, že velikost vektoru E vyjáříme vzthem E = 1 Q 4pε 0 r 2, (30.1) ke r je vzálenost ou o elementu náoje Q. ro klný element náoje Q je směr vektoru E stejný jko směr vektoru r, což je vektor, který má počátek v elementu náoje Q konec voě (je to tey průvoič ou vůči Q). ov. (30.1) pk můžeme přepst o vektorového tvru: E = 1 Q r. (30.2) 4pε 0 r3 Všimněte si, že rov. (30.2) je zákon převráceného čtverce (výrz E závisí n převrácené honotě r 2 nvzory exponentu 3 ve jmenovteli; ten je tm jenom proto, že jsme jenotkový vektor r 0 zpsli výrzem r/r). Anlogicky ueme postupovt při výpočtu mgnetického pole elektrického prouu. N or je tenký voič oecného tvru, kterým protéká elektrický prou. Nším úkolem je vypočítt mgnetickou inukci vliovolně zvoleném oě. Nejříve myšleně rozělíme voič n infinitezimální élkové elementy s, jejichž élk je s které mjí směr tečny k voiči jsou orientovány ve směru prouu. Je vhoné zvést pojem infinitezimálního prouového élkového elementu, ného výrzem s (ále pro stručnost pouze prouový element), určit inukci mgnetického pole vytvořenou v oě tkovým elementem. ro mgnetickou inukci pltí princip superpozice stejně jko pro elektrickou intenzitu, tj. výslené pole je rovno součtu polí ílčích. Výslené pole o inukci voě vypočteme tey integrcí příspěvků o všech prouových elementů. ozíl oproti elektrickému poli je v tom, že ztímco element elektrického náoje Q, vytvářející elektrické pole, je sklární povhy, má prouový element s, vytvářející mgnetické pole, povhu vektorovou. Výchoiskem lšího výklu ue vzorec pro velikost mgnetické inukce, vytvořené v liovolně vyrném oě prouovým elementem s: = µ 0 s sin θ 4p r 2. (30.3) Ze µ 0 je konstnt* nzývná permeilit vku neoli mgnetická konstnt, jejíž honotu efinujeme přesně: µ 0 = 4p 10 7 T m A 1. =. = 1, T m A 1. (30.4) Vektor má směr ný vektorovým součinem s r (or. 30.1), ke r je polohový vektor směřující o prouového elementu k ou. ov. (30.3) tey můžeme zpst ve vektorovém tvru: = µ 0 4p s r r 3 (iotův-svrtův zákon). (30.5) Tto vektorová rovnice, stejně jko její sklární tvr rov. (30.3), se nzývá iotův-svrtův zákon (něky též iotův-svrtův-lplceův). Je to zákon, který tké ptří mezi zákony převráceného čtverce, v nichž veličin popisující pole klesá se čtvercem vzálenosti o svého zroje (vtomto přípě prouového elementu s). V nšem výklu ue iotův-svrtův zákon výchozím zákonem při stuiu mgnetického pole, ooně jko yl Coulomůvzákon výchozím zákonem pro elektrosttické pole. * Souvislost µ 0 s ε 0 rychlostí světl c je uveen v čl

3 30.1 MAGNETCKÉ OLE ELEKTCKÉHO OUDU 775 (Mgnetické pole je vytvářeno elektrickým prouem; voič pouze vymezuje, kuy má prou téci. Čsto všk píšeme jen pole přímého voiče, resp. pole kruhového olouku neprolužujeme zytečně text zůrzňováním smozřejmosti, že je o voič ného tvru, kterým protéká prou, tj. že je to pole elektrického prouu, protékjícího voičem mjícím tvr přímky, resp. kruhového olouku.) Mgnetické pole louhého přímého voiče Vyjeme z iotov-svrtov zákon okážeme, že velikost mgnetické inukce ve vzálenosti o nekonečně louhého přímého tenkého voiče, kterým protéká elektrický prou, je vyjářen vzthem = µ 0 2p (louhý přímý voič). (30.6) (Zůrzněme, že vtomto vzthu je (kolmá) vzálenost ou, ve kterém má ýt určeno, o voiče. Nproti tomu vrov. (30.3) (30.5) které jsou záklní je r vzálenost tohoto ou o prouového elementu.) Velikost mgnetické inukce vrov. (30.6) závisí pouze n velikosti prouu vzálenosti uvžovného ou o voiče. V nšem ovození ukážeme, že inukční čáry vektoru mgnetické inukce mjí tvr soustřených kružnic kolem voiče, jk je ukázáno n or jk lze emonstrovt pomocí železných pilin (or. 30.3). Vzálenost mezi mgnetickými inukčními črmi n or s rostoucí vzáleností o voiče roste tk, jk klesá velikost vzávislosti n, tj. jko 1/. Or Železné piliny, kterými yl posypán tuhý ppír kolmý n přímý louhý voič protékný prouem. iliny se uspořály o tvru soustřených kružnic kolem voiče. Uspořáání je v soulu se směrem mgnetické inukce pole vytvořeného elektrickým prouem ve voiči. oložte plec prvé ruky ve směru prouového elementu; zhnuté prsty ukzují směr mgnetických inukčních čr. oužití tohoto prvil pro louhý přímý voič protékný prouem (or. 30.2) viíme n or v očním pohleu. Chceme-li určit směr inukce vurčitém oě, oejmeme prvou rukou voič tk, y plec yl ve směru prouu. Směr ohnutých prstů potom uává směr mgnetické inukce vtomto oě. voič protékný prouem ve směru o nás Or Mgnetické inukční čáry pole vytvořeného prouem, protékjícím louhým přímým voičem, jsou soustřené kružnice se střey ve voiči (n orázku jsou tyto čáry zorzeny v rovinném řezu, kolmém k voiči). rou ve voiči je kolmý n rovinu orázku má směr o nás, jk ukzuje křížek. ro určení směru mgnetického pole élkového elementu louhého přímého voiče používáme prvilo prvé ruky: () Or rvilo prvé ruky určuje směr pole uzeného voičem. () Situce z or vočním pohleu. Mgnetická inukce v kžém oě vlevo o voiče je kolmá k rovině ppíru má směr prstů prvé ruky. Směřuje tey o nás, jk je znázorněno křížkem. () Jestliže je směr elektrického prouu opčný, potom inukce je v kžém oě vlevo o voiče kolmá k orázku směřuje k nám, jk je znázorněno tečkou. Ovození vzthu (30.6) Or je ooou or s tím rozílem, že se nyní jená o přímý louhý voič. lustruje to, co chceme vyřešit: hleáme mgnetickou inukci voě ležícím ()

4 776 KATOLA 30 MAGNETCKÉ OLE ELEKTCKÉHO OUDU ve vzálenosti o voiče. Velikost mgnetické inukce, kterou vytvoří v oě prouový element s, jeán rov. (30.3): = µ 0 s sin θ 4p r 2. Směr mgnetické inukce n or je určen vektorovým součinem s r, tj. je kolmé n rovinu orázku másměronás. Všimněte si, že všechny prouové elementy, n které voič rozělujeme, vytvářejí v oě příspěvky ve stejném směru. Velikost mgnetické inukce vytvořené v oě prouovými elementy z horní poloviny voiče získáme integrcí příspěvků (rov. (30.3)) v mezích o nuly o nekonečn. ole rov. (30.5) má mgnetická inukce, kterou v oě vytváří symetricky umístěný prouový element z olní poloviny, tutéž velikost směr. Mgnetická inukce, vytvořená v tomtéž oě kžou z polovin voiče protékného prouem, je tey stejná. Velikost inukce mgnetického pole nekonečně louhého přímého tenkého voiče je tey = 2 0 = µ 0 2p 0 sin θ s r 2. (30.7) ( lze smozřejmě vyjářit tké integrálem =.) roměnné θ, s r v této rovnici jsou mezi seou vázány vzthy, které jsou zřejmé z or. 30.5: r = s 2 + 2, sin θ = sin(p θ) = s Tyto vzthy osíme o rov. (30.7) integrcí (otek E) ostneme = µ 0 s 2p 0 (s ) 3/2 = = µ [ ] 0 s 2p (s ) 1/2 = µ 0 2p, (30.8) což jsme chtěli ovoit. Doejme, že mgnetická inukce voě, vytvořená u horní, neo olní polovinou nekonečně louhého přímého voiče protékného prouem (or. 30.5), je rovn polovině této honoty, tj. = µ 0 4p 0 (polopřímkový voič s prouem). (30.9) Mgnetické pole kruhového olouku Chceme-li určit mgnetické pole vytvořené prouem protékjícím zkřiveným voičem, vyjeme opět z rov. (30.3). Or Výpočet mgnetického pole prouu, který protéká louhým přímým voičem o znetelném průřezu. Mgnetická inukce vliovolném oě je funkcí prouového elementu s, je kolmá k orázku másměronás. Vyjáříme nejprve příspěvek mgnetické inukce vytvořený prouovým elementem integrcí získáme výslenou mgnetickou inukci vytvořenou všemi elementy celého voiče. V závislosti n tvru voiče může ýt tto integrce znčně otížná; je všk snná, má-li voič npříkl tvr části kruhového olouku zjímá-li nás mgnetická inukce pole vjeho střeu S. S ϕ 0 () S r () Or () Voičem ve tvru kruhového olouku se střeem S protéká prou. () ro kžý élkový element voiče je úhel mezi směrem elementu s vektoremr roven 90. (c) Určení směru mgnetické inukce ve střeu S. ole směřuje kolmo k rovině orázku ve směru ohnutých prstů prvé ruky, jk je znázorněno revnou tečkou v oě S. N or je znázorněn voič, kterým protéká elektrický prou který má tvr části kruhového olouku se střeovým úhlem ϕ 0, poloměrem střeem S. V oě S vytváří kžý prouový element s mgnetickou inukci o velikosti nou rov. (30.3). Úlohu usnňuje i skutečnost, že nezáleží n tom, ve kterém místě voiče se tkový element nchází (or. 30.6). Úhel θ, který svírjí vektory s r,je90 r =. roto z rov. (30.3) ostneme = µ 0 4p s s s S θ r (c) s sin 90 2 = µ 0 s 4p 2. (30.10) říspěvek k mgnetické inukci v oě S, vytvořený kžým prouovým elementem ve tvru olouku, má stejnou velikost. omocí prvil prvé ruky (or. 30.6c) zjistíme, že všechny příspěvky mgnetické inukce o kteréhokoliv míst voiče mjí v oě S tentýž směr, jsou kolmé k rovině orázku směřují k nám. Velikost výslené mgnetické

5 30.1 MAGNETCKÉ OLE ELEKTCKÉHO OUDU 777 inukce voě S je tey rovn součtu (integrálu) všech příspěvků, ných rov. (30.10). Využijeme-li vzthu s = ϕ (čímž změníme integrční proměnnou s n ϕ), ostneme z rov. (30.10) = = ϕ0 µ 0 0 4p ϕ 2 o jenouché integrci ostneme = µ 0ϕ 0 4p = µ ϕ0 0 ϕ. 4p 0 (ve střeu kruhového olouku). (30.11) ři výpočtech je tře oszovt úhel ϕ 0 vmíře oloukové, nikoliv ve stupních. Tto rovnice uává mgnetickou inukci pouze ve střeu voiče ve tvru kruhového olouku, kterým protéká prou. ŘÍKLAD 30.1 Voičem n or protéká prou.voič je tvořen kruhovým oloukem o poloměru se střeovým úhlem (p/2) r věm přímkovými částmi, jejichž proloužení se protínjí vestřeu S olouku. Určete mgnetickou inukci voě S S () s () r S Elektrický prou, protékjící přímým úsekem 1 (levá část voiče), nevytváří tey žáné mgnetické pole v oě S: 1 = 0. Stejně je tomu i vpřípě přímého úseku 2, ky je úhel θ mezi s r roven 180 pro kžý prouový element. Tey 2 = 0. oněvž zkřivená část 3 přestvuje kruhový olouk, můžeme využít rov. (30.11) pro výpočet mgnetické inukce ve střeu kruhu. Doszením ϕ = (p/2) r ostneme 3 = µ 0(p/2) 4p = µ 0 8. K určení směru mgnetické inukce 3 použijeme prvil prvé ruky. Viíme, že je kolmá k rovině orázku směřuje o nás. Výslená mgnetická inukce vytvořená v oě S prouem protékjícím voičem má tey velikost = = µ 0 8 = µ 0 8, (Opově ) je kolmá k rovině orázku míří o nás. KONTOLA 1: N orázku jsou zkresleny tři ovoy, oshující soustřené kruhové olouky (půlkružnice neo čtvrtkružnice s poloměry r, 2r 3r) riální přímé úseky. Ovoy protéká tentýž prou. Seř te je sestupně pole velikosti mgnetické inukce ve střeu olouků (oznčeném tečkou). S (c) Or říkl () Voičem složeným ze vou přímkových částí 1 2 kruhového olouku 3 protéká prou. () ro prouový element v přímém úseku 1 je úhel mezi vektory s r roven nule. (c) Určení směru mgnetické inukce 3 voě S (prou protéká voičem v nznčeném směru, mgnetické pole je kolmé k rovině orázku směřuje o nás). ŘEŠENÍ: Aychom úlohu vyřešili co nejjenoušším způsoem, rozělíme voič myšleně n tři části: (1) polopřímku vlevo, (2) polopřímku vprvo (3) kruhový olouk. oté použijeme rov. (30.3) pro kžou z těchto tří částí. ro kžý prouový element úseku 1 je úhel θ mezi s r roven nule (or. 30.7). Z rov. (30.3) tey ostáváme 1 = µ 0 4p 3 s sin θ r 2 = µ 0 s sin 0 4p r 2 = 0. () () (c) ADY A NÁMĚTY o 30.1: rvilo prvé ruky Uváíme přehle různých vrint prvil prvé ruky: () V čl. 3.7 yl uveen postup, jk určit směr vektorového součinu vou vektorů: orientujme prsty prvé ruky tk, že plec směřuje ve směru prvního vektoru ukzováček ve směru vektoru ruhého. otom vztyčený prostřeník ukáže směr vektorového součinu. V kp. 12 jsme použili tohoto prvil k určení směru momentu (síly hynosti) v kp. 29 k určení směru síly půsoící n voič protékný prouem vmgnetickém poli.

6 778 KATOLA 30 MAGNETCKÉ OLE ELEKTCKÉHO OUDU () V některých přípech (zejmén vmgnetismu) potřeujeme át o vzájemného vzthu zkřivené prvky prvky rovné. K tomu nám nejlépe poslouží ohnuté prsty vztyčený plec prvé ruky. V čl jsme řešili příkl, ke se vyskytovl prou protékjící smyčkou (zkřivený prvek) normálový vektor n (přímý prvek) smyčky. Ohneme-li prsty prvé ruky ve směru prouu tekoucího smyčkou, pk vztyčený plec ukzuje směr vektoru n. To je tké směr mgnetického ipólového momentu µ smyčky. V tomto ostvci jsme použili vrintu (): ychom určili směr inukčních čr mgnetického pole vokolí prouového elementu, položíme vztyčený plec prvé ruky o směru elektrického prouu, tekoucího voičem. Ohnuté prsty prvé ruky potom ukzují směr inukčních čr mgnetického pole DVA OVNOĚŽNÉ VODČE Dv rovnoěžné voiče, jimiž protéká elektrický prou, n see nvzájem silově půsoí. Určeme tyto síly pro louhé tenké voiče z or. 30.8; jejich vzálenost je protékjí jimi prouy. F L L způsoená Or Dv voiče se souhlsně rovnoěžnými prouy se nvzájem přithují. nukce vmístě voiče je vytvořená prouem tekoucím voičem. Výslená síl F půsoící n voič je způsoen tím, že voičem protéká elektrický prou vmgnetickém poli o inukci. Nejprve vyjáříme sílu, kterou půsoí voič n voič (or. 30.8).Elektrický prou,který protéká voičem, vytváří kolem něj mgnetické pole o inukci.rávě toto mgnetické pole silově půsoí n voič. Aychom tuto sílu mohli vyjářit, potřeujeme znát velikost směr mgnetické inukce v místě, ke leží voič. Velikost inukce vkžém oě voiče je pole rov. (30.6) rovn = µ 0 2p. (30.12) rvilo prvé ruky nám ukzuje, že vektor vmístě voiče směřuje olů (or. 30.8). Nyní, kyž známe velikost mgnetické inukce pole, můžeme nlézt sílu, kterou půsoí toto pole n voič. ov. (29.27) určuje sílu F, kterou půsoí mgnetické pole n úsek voiče élky L: F = L. (30.13) N or jsou vektory L n see kolmé. oužitím rov. (30.12) ostneme F = L sin 90 = µ 0L. (30.14) 2p Směr vektoru F je án vektorovým součinem L. oužijeme-li prvilo prvé ruky v or. 30.8, zjistíme, že síl F míří k voiči. Oecný postup určení síly půsoící n voič s prouem je tey násleující: Sílu, kterou n see půsoí v voiče protékné prouem, zjistíme ve vou krocích: (1) určíme mgnetickou inukci 2, kterou vytváří ruhý voič v místě prvního voiče; (2) určíme sílu, kterou půsoí pole o inukci 2 n první voič. Nyní použijeme vyložený postup k výpočtu síly, kterou půsoí voič n voič. Zjistíme, že tto síl míří směrem k voiči ; otu plyne, že v rovnoěžné voiče, jimiž protékjí souhlsně orientovné prouy, se nvzájem přithují. Nopk v přípě, že prouy ve voičích jsou orientovány nesouhlsně, se voiče opuzují. Tey: Dv rovnoěžné voiče protékné souhlsně orientovnými prouy se přithují, voiče protékné opčně orientovnými prouy se opuzují. Síl půsoící mezi prouy tekoucími vrovnoěžných voičích je záklem pro efinici mpéru, který je jenou ze semi záklních jenotek soustvy S. ole efinice přijté v roce 1946 je mpér efinován jko velikost stálého elektrického prouu, který při průtoku věm přímými rovnoěžnými velmi louhými voiči znetelného kruhového průřezu vzálenými o see 1 m ve vkuu vyvolá mezi těmito voiči sílu N n jeen metr jejich élky. Tto efinice vychází z rov. (30.14) s µ 0 = 4p 10 7 T m A 1 (přesně). Elektromgnetické ělo rincip elektromgnetického ěl je znázorněn n orázku Elektrický prou prochází první kolejnicí, poté npříč voivou pojistkou (úzký pásek měi), která se nchází mezi oěm kolejnicemi, vrcí se ruhou kolejnicí zpět o zroje prouu. Střel, která má ýt vystřelen, leží n čelní strně pojistky je uložen volně mezi oěm kolejnicemi. o zpnutí prouu se pojistk okmžitě roztví

7 30.2 DVA OVNOĚŽNÉ VODČE 779 vypří, tkže v místě, ke se ncházel, vznikne elektricky voivý plyn plzm. voivá pojistk střel () voivé kolejnice F voivý plyn symetrická vůči záměně x x, (2) z (x) má mezi voiči svou minimální honotu µ 0 /p voě x = 0(3) z (x), kyž x ±. rox =± y o ležel n ose jenoho z voičů. Nše ovození rov. (30.6) všk pltí pouze pro oy vně voiče, tkže rov. (30.15) pltí jenom k povrchu voičů. (olem uvnitř voiče se zýváme v násleujícím článku.) z () x x Or () Elektromgnetické ělo vokmžiku, ky je zpojen prou. Ten nejprve roztví vzápětí vypří voivou pojistku. () Elektrický prou vytváří mezi kolejnicemi mgnetické pole. To půsoí n voivý plyn (vzniklý vypřením pojistky), který je částí voivé ráhy, silou F; plyn urychlí střelu ve směru poél kolejnic vystřelí ji. rvilo prvé ruky (or. 30.4) ukzuje, že elektrický prou v kolejnicích n or vytvoří mezi nimi mgnetické pole, které půsoí směrem olů. Toto mgnetické pole půsoí silou F n voivý plyn, jímž teče prou (or. 30.9). Z rov. (30.13) prvil prvé ruky pro vektorový součin viíme, že síl F půsoí vyznčeným směrem ven poél kolejnic. lyn vypuzený poél kolejnic tlčí střelu, přičemž jí uělí zrychlení větší než g. Její rychlost může osáhnout velikosti ž 10 km s 1 (to vše proěhne ěhem 1 ms). ŘÍKLAD 30.2 Dvěm louhými rovnoěžnými voiči, vzálenými o see 2, protéká stejný prou vopčných směrech (or ). Ovo te výrz pro z (x), tj. výslenou mgnetickou inukci v oech ve vzálenosti x o střeu spojnice oou voičů. ŘEŠENÍ: oužitím prvil prvé ruky lze z or ukázt, že mgnetická pole vytvořená prouy tekoucími v jenotlivých voičích mjí stejný směr ve všech oech mezi voiči. Z principu superpozice z rov. (30.6) ostneme pro liovolný o mezi voiči: z (x) =,z (x) +,z (x) = () µ 0 2p( + x) + µ 0 2p( x) = = µ 0 p( 2 x 2. (Opově ) (30.15) ) ozor tohoto vzthu ukzuje, že (1) závislost z (x) je z (mt) 2,0 1,0 0 1,0 2,0 () x (mm) Or říkl () Dv rovnoěžné voiče, jimiž protékjí elektrické prouy téže velikosti v opčných směrech (tj. kolmo k rovině orázku, směrem k nám o nás). V oech mezi voiči, npř. voě, směřují mgnetická pole, vytvořená jenotlivými prouy,týmž směrem.() Závislost z (x) pro = 25A vzálenost oou voičů 50 mm. N or je vynesen závislost ná rov. (30.15) pro číselné honoty = 25 A 2 = 50 mm. onecháváme jko cvičení 31 okázt, že rov. (30.15) pltí i pro všechny oy z voiči, tey pro oy, pro které pltí x >. ŘÍKLAD 30.3 N or jsou v louhé rovnoěžné voiče, jimiž protékjí elektrické prouy 1 2 vopčných směrech. Určete velikost směr výslené mgnetické inukce v oě.dos te číselné honoty 1 = 15 A, 2 = 32 A = 5,3cm. ŘEŠENÍ: N or jsou mgnetické inukce 1, resp. 2, polí vytvořených prouy 1,resp. 2, voě (pomocí prvil prvé ruky si ověřte, že jejich směry

8 780 KATOLA 30 MAGNETCKÉ OLE ELEKTCKÉHO OUDU jsou správné). Velikosti mgnetických inukcí těchto polí voě jsou ány rov. (30.6), tey 1 = µ 0 1 2p = µ 0 1 ( ) = / 2 2p 2 = µ 0 2 2p = µ 0 2 ( ) = / 2 2p 2µ0 2p 1 2µ0 2p 2, ke jsme nhrili veličinou / 2,neo / = sin 45 = = 2/2. Velikost výslené mgnetické inukce je = = 2µ p = 2(4p 10 7 T m A 1 ) (15 A) = 2 + (32 A) 2 2p(5, = m) = 1, T. = 190 mt. (Opově ) ro úhel ϕ mezi vektory 2 pole or pltí tg ϕ = 1 2. Dosíme-li z 1 2, ostneme tg ϕ = 1 (15 A) = 2 (32 A) = 0,469, oku ϕ = 25. Úhel mezi vektorem osoux je potom 1 2 () ϕ + 45 = = y () (Opově ) Or říkl () Dvěm voiči n orázku protékjí prouy 1 2 vopčných směrech (kolmo k rovině orázku, směrem k pozorovteli o něho). Všimněte si prvých úhlů v oě. () Dílčí pole s mgnetickými inukcemi 1 2 se sčítjí vektorově. ϕ 2 x KONTOLA 2: N orázku jsou tři louhé,přímé,nvzájem rovnoěžné voiče, kterými protéká stejný prou. Voič leží uprostře mezi voiči c (orázek).směr elektrického prouu je vyznčen křížkem tečkmi. Seř te voiče sestupně pole velikosti síly, kterou n kžý z nich půsoí osttní v voiče. () () (c) 30.3 AMÉŮV ZÁKON Elektrické pole E liovolně rozložených náojů lze vypočítt z rov. (30.2). T plyne z Coulomov zákon, vyjřujícího síly půsoící mezi oovými náoji. Coulomův zákon všk má i svou polní prlelu: je to Gussův zákon elektrosttiky (24.7), spojující tok intenzity E elektrického pole s náoji, které pole vytvářejí. ooně můžeme vypočítt užitím iotov-svrtov zákon (30.5) mgnetickou inukci liovolně rozložených prouů. tento zákon má všk svou polní prlelu: je to Ampérůvzákon, spojující cirkulci vektoru s prouy, které pole vytvářejí. A pooně jko Gussův zákon elektrosttiky nám i Ampérůvzákon pomůže tké zcel prkticky při řešení úloh s jistou symetrií (rovinnou, válcovou neo kulovou) v rozložení prouů. Ampérůvzákon (neo též zákon celkového prouu) má tvr s = µ 0 c (Ampérůvzákon). (30.16) Kroužek n znménku integrálu znčí, že integrujeme po uzvřené orientovné křivce (liovolného tvru); ve vzthu k Ampérovu zákonu ji nzýváme Ampérov křivk.jejíinfinitezimální element znčíme s; leží vtečně ke křivce je orientován souhlsně s ní. ntegrál n levé strně nzýváme cirkulcí vektoru. rou c n prvé strně rovnice je součtem všech prouů oepnutých křivkou. (Uvžujeme všechny prouy, tey celkový prou protékjící plochou liovolného tvru, která je ohrničená Ampérovou křivkou.) ro ilustrci použijeme nejprve Ampérůvzákon vsituci n or Jsou n něm znázorněny průřezy tří louhých přímých voičů, jimiž protékjí prouy 1, 2, 3 kolmo k rovině orázku u směrem k nám, neo o nás. Zkreslená Ampérov křivk, ležící v rovině orázku, oepíná v z prouů, le nikoliv třetí. Orientci křivky pro integrci vrov. (30.16) zvolíme proti směru otáčení hoinových ručiček.

9 30.3 AMÉŮV ZÁKON 781 Aychom mohli použít Ampérov zákon, rozělíme myšleně křivku (or ) n infinitezimální elementy s. V místě elementu s je inukce výsleného mgnetického pole, které je vytvořené třemi prouy, rovn. rotože voiče jsou kolmé k rovině orázku, uou jejich mgnetická pole vmístě elementu s ležet vrovině orázku. roto tké výslená mgnetická inukce vmístě elementu s musí ležet v této rovině. N or je vektor zkreslen voecném směru svírjícím úhel θ se směrem s Or Ampérův zákon prvilo prvé ruky pro určení znménk prouů oepnutých Ampérovou křivkou. Situce opovíá or Ampérov křivk 3 Or Ampérův zákon plikovný n (liovolně zvolenou) Ampérovu křivku, která oepíná v louhé přímé voiče, nikoli všk voič třetí. Všimněte si různých směrů prouů. Sklární součin s n levé strně rov. (30.16) je roven cos θ s. ltí tey s = cos θ s. ntegrovný výrz můžeme tké chápt jko součin infinitezimální élky s Ampérovy křivky se složkou cos θ mgnetické inukce ve směru tečny k Ampérově křivce. ntegrce potom vyjřuje součet všech tkových součinů poél celé křivky. ov. (30.16) má pk tvr cos θ s = µ 0 c. (30.17) Znménko kžého z prouů, které vytvářejí prou c oepnutý křivkou, určuje prvilo prvé ruky: 2 Ohněte prsty prvé ruky kolem Ampérovy křivky tk, y ukzovly ve směru její orientce. otom prouu, který teče ve směru vztyčeného plce, přiříme klné znménko prouu tekoucímu opčně znménko záporné. rvilo prvé ruky použijeme k určení celkového prouu c vsituci n or ři zvolené orientci n křivce (proti směru otáčení hoinových ručiček) je celkový prou oepnutý smyčkou c = 1 2. (rou 3 není oepnut křivkou). ov. (30.17) můžeme proto přepst o tvru cos θ s = µ 0 ( 1 2 ). (30.18) 1 s θ rou 3 sice tké přispívá k mgnetické inukci, le nevystupuje n prvé strně rov. (30.18). Lze totiž okázt, že příspěvek tkového prouu, který není oepnut Ampérovou křivkou, k cirkulci (tj. ke křivkovému integrálu n prvé strně rov. (30.16)), je vžy nulový. (Je to situce příuzná situci z Gussov zákon, kyž náoj ležel vně Gussovy plochy.) K cirkulci přispívjí tey pouze prouy oepnuté Ampérovou křivkou. ntegrál vrov. (30.18) y yl vsituci znázorněné n or osti složitý, výsleek integrce všk známe: integrál musí ýt roven honotě µ 0 ( 1 2 ), která je án součtem všech prouů oepnutých křivkou. Nyní použijeme Ampérov zákon pro vě situce, ve kterých nám symetrie úlohy umožňuje jenouše vypočítt integrál vrov. (30.16), resp. (30.17) z něj určit inukci mgnetického pole. Mgnetické pole vně louhého přímého voiče N or je znázorněn louhý přímý voič kolmý k rovině orázku protékný prouem směrem k nám. ole rov. (30.6) má mgnetická inukce pole vytvořeného prouem stejnou velikost ve všech oech, které jsou ve stejné vzálenosti o voiče inukční čáry mjí tvr soustřených kružnic se střeem ve voiči. Jinými slovy, povrch voiče r Ampérov křivk θ = 0 s Or oužití Ampérov zákon k určení mgnetického pole kolem louhého přímého voiče, kterým teče prou. Ampérov křivk má tvr kružnice se střeem uprostře voiče ( s poloměrem větším, než je poloměr voiče).

10 782 KATOLA 30 MAGNETCKÉ OLE ELEKTCKÉHO OUDU mgnetické pole má válcovou symetrii kolem voiče. Této symetrie můžeme využít ke zjenoušení integrálu v Ampérově zákoně (rov. (30.16)) tk, že oklopíme voič soustřenou kruhovou Ampérovou křivkou o poloměru r. Mgnetická inukce má potom stejnou velikost v kžém oě křivky. Chceme-li provést integrci vrov. (30.16), nemusíme přeem znát směr vektoru.můžeme npříkl přepoklát, že má směr souhlsný se zvolenou orientcí uzvřené křivky. Tto orientce určuje znménk prouů n prvé strně rov. (30.16) v soulu s prvilem prvé ruky. Jestliže při výpočtu vyje klná honot, zvolili jsme směr vektoru správně. Vyje-li záporná, má směr opčný, než jsme zvolili. oněvž smjí stejný směr, je integrál vrovnici (30.17) roven s = cos 0 s = s = (2pr). řipomeňme, že s v tomto vzthu znmená součet všech infinitezimálních élkových elementů s poél kružnice. To ává ovo 2pr kružnice. rvilo prvé ruky přiřzuje klné znménko prouu n or , tkže prvá strn Ampérov zákon ue rovn +µ 0. roto ostneme (2pr) = µ 0 otu = µ 0 2pr. (30.19) To je stejný výrz jko rov. (30.6), kterou jsme ovoili již říve (se znčně větší námhou) s použitím iotov-svrtov zákon. Jelikož rov. (30.19) ává klnou honotu, je směr vektoru inukce orientován tk, jk ukzuje or Mgnetické pole uvnitř louhého přímého voiče N or je průřez louhým přímým voičem o poloměru, kterým protéká vprůřezu homogenně rozložený elektrický prou směrem k nám. rotože se jená o homogenní rozložení prouu, ue tké jím vytvořené mgnetické pole válcově symetrické. Chceme-li tey určit mgnetické pole v oech uvnitř voiče, můžeme znovu s výhoou využít jko Ampérovy křivky kružnici o poloměru r<, jk je ukázáno n or Ze symetrie úlohy ále plyne, že směr vektoru inukce je tečný ke křivce. Levou strnu Ampérov zákon můžeme proto psát vetvru s = s = (2pr). (30.20) Aychom určili prvou strnu Ampérov zákon, musíme uvážit, že v ůsleku homogenního rozložení elektrického prouu (hustot prouu J je konstntní) ue prou c úměrný ploše ohrničené Ampérovou křivkou, tey c = pr2 p 2. (30.21) ole prvil prvé ruky má c klné znménko. Z Ampérov zákon tey plyne (2pr) = µ 0 pr2 p 2, otu ( ) µ0 = 2p 2 r. (30.22) Velikost mgnetické inukce uvnitř voiče protékného prouem rozloženým homogenně vjeho průřezu je tey přímo úměrná vzálenosti r o jeho osy. Je nulová v jeho střeu mximální n povrchu, ke r =. Všimněte si, že rov. (30.19) pro mgnetickou inukci vně voiče rov. (30.22) pro mgnetickou inukci uvnitř voiče ávjí tutéž honotu pro r =, tj. pro povrch voiče. r s povrch voiče Ampérov křivk Or oužití Ampérov zákon k určení mgnetické inukce, kterou uí elektrický prou uvnitř louhého přímého voiče kruhového průřezu. rou je homogenně rozložen v průřezu směřuje k nám. Ampérov křivk se nchází uvnitř voiče. KONTOLA 3: N orázku jsou tři rovnoěžné voiče se stejně velkými prouy čtyři Ampérovy křivky. Seř te křivky sestupně pole velikosti s poél kžé z nich. c

11 30.4 SOLENOD A TOOD 783 ŘÍKLAD 30.4 N or je nkreslen příčný průřez louhého utého voivého válce s vnitřním, resp. vnějším poloměrem = 2,0 cm, resp. = 4,0 cm. Válcem protéká prou kolmo k orázku, směrem k nám, s prouovou hustotou nou vzthem J = cr 2, ke c = 3, A m 4 r je vyjářeno vmetrech. Určete mgnetickou inukci voě, který se nchází ve vzálenosti 3,0 cm o poélné osy válce. o oszení číselných honot ostneme = µ 0c 4r (r4 4 ) = = (4p 10 7 T m A 1 )(3, A m 4 ) 4(0,030 m) ((0,030 m) 4 (0,020 m) 4) = = 2, T. Mgnetická inukce má tey velikost r Ampérov křivk = 2, T (Opově ) má směr proti námi zvolené orientci křivky (or ). () Or říkl () růřez voivým válcem s vnitřním poloměrem vnějším poloměrem. () Ampérov křivk o poloměru r pro výpočet mgnetického pole ve vzálenosti r o osy válce. ŘEŠENÍ: rotože rozložení prouu ( proto i mgnetické pole) má válcovou symetrii vzhleem k poélné ose válce, můžeme použít Ampérov zákon k určení mgnetické inukce. rotože chceme určit inukci ve vzálenosti 3,0 cm o osy, zvolíme z Ampérovu křivku kružnici o tomto poloměru, se střeem vose válce (or ). Do Ampérov zákon je tře ále osit prvou strnu, tj. c, což je elektrický prou oepnutý Ampérovou křivkou. Nemůžeme přepoklát přímou úměrnost mezi velikostí prouu oshem plochy, kterou prou protéká, jk tomu ylo vpřípě rov. (30.21), neo prou není vprůřezu voiče rozložen homogenně. Místo toho ueme postupovt jko v př ueme integrovt prouovou hustotu o vnitřního poloměru válce ž po poloměr křivky r: c = J S = r () cr 2 (2pr r) = r [ r = 2pc r 3 4 r = 2pc 4 = pc(r4 4 ). 2 rotože Ampérov křivk je n or orientován ve směru otáčení hoinových ručiček, přiříme prouu, který teče k nám, záporné znménko. Výpočet levé strny Ampérov zákon (30.16) s přihlénutím k or vee opět k honotě (2pr). Tím ostáváme (2pr) = µ 0 pc 2 (r4 4 ). ] r = 30.4 SOLENOD A TOOD Mgnetické pole solenoiu Nyní prostuujeme jinou situci, ve které lze s výhoou použít Ampérův zákon. Je o mgnetické pole vytvořené prouem v louhé, hustě vinuté cívce. Tkovou cívku nzýváme solenoi (or ). ueme vžy přepoklát, že élk solenoiu je mnohem větší než jeho průměr, tkže můžeme znet rušivý vliv zčátku či konce vinutí. Or Solenoi, kterým protéká prou. N or je znázorněn část tkového solenoiu. Mgnetické pole solenoiu je rovno superpozici polí vytvořených jenotlivými závity. V oech velmi lízkých k povrchu závitu má mgnetické pole pooný průěh jko pole louhého přímého voiče: inukční čáry kolem něho jsou tvrem velmi lízké soustřeným kružnicím. N or viíme, že v prostoru mezi souseními závity se mgnetická inukce znčně zeslí (vieálním přípě ž o vymizení). Tké je viět, že v oech uvnitř solenoiu osttečně vzálených o vinutí (vůči vzálenosti jenotlivých závitů o see) je mgnetické pole homogenní jeho mgnetická inukce je prkticky rovnoěžná s osou solenoiu; u ieálního solenoiu y toto pltilo přesně. V oech mimo solenoi, npř. voě n or , je výslené mgnetické pole tvořeno jenk ližšími částmi závitů solenoiu ( míří olev, jk je ukázáno v těsné

12 784 KATOLA 30 MAGNETCKÉ OLE ELEKTCKÉHO OUDU 2 1 Or nukční čáry mgnetického pole znázorněné vřezu poél osy říce vinutého solenoiu. Viíme ze poloviny pěti závitů mgnetické inukční čáry kolem kžého z nich. olíž osy solenoiu se pole jenotlivých závitů sklájí ve výslené mgnetické pole, které má směr této osy. Husté rovnoěžné inukční čáry znčí, že toto pole je silné homogenní. Vně solenoiu jsou inukční čáry o see nvzájem honě vzálené, což ukzuje, že mgnetické pole je ze velmi slé. lízkosti ou, neo prou vzávitech teče směrem k nám je znčen tečkou), jenk vzálenějšími částmi závitů ( míří oprv, neo prou v závitech teče směrem o nás je znčen křížkem). O příspěvky jsou orientovány proti soě v přípě ieálního solenoiu se vyruší; mgnetické pole vprostoru mimo solenoi je pk nulové. Tyto závěry pltí pro reálný solenoi tím lépe, čím je élk solenoiu vůči jeho průměru větší čím ále je zkoumný o o okrjů solenoiu. Orientce pole uvnitř solenoiu je určen prvilem prvé ruky: uchopíme-li solenoi o prvé ruky tk, že prsty směřují ve směru prouu v závitech, potom vztyčený plec ukzuje směr mgnetického pole. N or jsou inukční čáry reálného solenoiu. Jejich vzálenost v centrální olsti ukzuje n to, že pole uvnitř solenoiu je poměrně silné homogenní v celém jeho průřezu. ole vně solenoiu je všk velmi slé. ro výpočet velikosti mgnetické inukce použijme Ampérůvzákon s = µ 0 c (30.23) n prvoúhlou křivku c ncházející se vieálním solenoiu (or ). ři ovozování přepokláejme, že pole uvnitř solenoiu je homogenní vně solenoiu nulové. ntegrál s lze rozělit n součet čtyř integrálů, kžý pro jeen ze čtyř úseků prvoúhlé křivky: c s = s + s + + c s + s. (30.24) Or nukční čáry znázorňující mgnetické pole reálného solenoiu konečné élky. ole je silné homogenní uvnitř solenoiu (npř. voě 1 ), le poměrně slé vně solenoiu (npř. o 2 ). rvní integrál n prvé strně rov. (30.24) je roven h, ke je velikost mgnetické inukce uvnitř solenoiu h je élk křivky o o. Druhý čtvrtý integrál jsou rovny nule, protože pro kžý élkový element těchto úseků je inukce u kolmá k úseku, neo nulová, tkže sklární součin s je roven nule. Třetí integrál poél úsečky, která leží mimo solenoi, je nulový, neo ze je = 0 ve všech oech mimo solenoi. ntegrál s je tey pro celou prvoúhlou křivku roven h. h Or Ampérůvzákon pro příp louhého ieálního solenoiu, kterým protéká elektrický prou. Ampérov křivk má tvr oélník c. Výslený prou c uzvřený v prvoúhlé Ampérově křivce n or není pouze, neo uvnitř cívky se nchází více než jeen závit. Oznčíme-li počet závitů n jenotku élky n, je z Ampérov zákon plyne tey c = (nh) h = µ 0 nh, = µ 0 n (ieální solenoi). (30.25) c

13 30.5 CÍVKA JAKO MAGNETCKÝ DÓL 785 Doejme, že vsolenoiu konečné élky je pole políž konců slší rozíhá se. kyž jsme rov. (30.25) ovoili pro nekonečně louhý ieální solenoi, pltí osti oře i pro reálný solenoi, zjímá-li nás mgnetická inukce voech uvnitř solenoiu osttečně leko o jeho konců. ov. (30.25) je v orém soulu s experimentálním fktem, že nezávisí n průměru neo élce solenoiu že je konstntní vcelém jeho průřezu. Solenoiem můžeme vytvořit homogenní mgnetické pole pooně jko věm rovnoěžnými eskmi konenzátoru vytvoříme osttečně homogenní pole elektrické. Mgnetické pole toroiu N or je znázorněn toroi, který lze jenouše chrkterizovt jko solenoi stočený o tvru prstence. Mgnetickou inukci uvnitř toroiu můžeme opět určit pomocí Ampérov zákon využitím symetrie úlohy. toroiu. omocí Ampérov zákon lze snno okázt, že = 0 pro všechny oy ležící mimo ieální toroi. Směr mgnetické inukce uvnitř toroiu lze určit pomocí prvil prvé ruky: uchopíme-li toroi tk, y prsty prvé ruky směřovly ve směru prouu v závitech, pk vztyčený plec určuje směr mgnetické inukce pole. ŘÍKLAD 30.5 Solenoi má élku L = 1,23 m, vnitřní průměr = 3,55 cm protéká jím prou = 5,57 A. Je těsně nvinut v pěti vrstvách, z nichž kžá má 850 závitů n élce L. Určete velikost mgnetické inukce vjeho střeu. ŘEŠENÍ: Z rov. (30.25) ostneme = µ 0 n = (4p 10 7 T m A 1 (5 850) )(5,57 A) (1,23 m) = = 2, T = 24,2mT. (Opově ) () Ampérov křivk Všimněte si,že rov. (30.25) pltí i v přípě,kyž má solenoi více než jenu vrstvu závitů, neo nezávisí n průměru závitů. r 30.5 CÍVKA JAKO MAGNETCKÝ DÓL Or () Toroi, kterým protéká elektrický prou. () růřez toroiem. Mgnetické pole uvnitř toroiu můžeme vypočítt pomocí Ampérov zákon. Z tvru toroiu můžeme právem usuzovt n to, že inukční čáry vektoru jsou soustřené kružnice uvnitř toroiu mjí směr zkreslený n or Vyereme si jenu tkovou kruhovou inukční čáru o poloměru r jko Ampérovu křivku projeme ji ve směru otáčení hoinových ručiček. Ampérův zákon (rov. (30.16)) nám potom ává (2pr) = µ 0 N, ke je prou tekoucí toroiem (má ze klné znménko) N je celkový počet závitů. Otu oržíme = µ 0N 2p 1 r () (uvnitř toroiu). (30.26) Z tohoto vzthu viíme, že n rozíl o solenoiu není velikost mgnetické inukce konstntní vcelém průřezu Dosu jsme se zývli mgnetickým polem louhého přímého voiče, solenoiu toroiu. Nyní si všimneme poroněji pole krátké cívky, kterou protéká elektrický prou. V čl jsme ospěli k závěru,že tková cívk se chová ve vnějším mgnetickém poli jko mgnetický ipól. ue tey n ni půsoit silový moment M vyjářený vzthem (29.35), tj. M = µ, (30.27) ke µ je mgnetický ipólový moment cívky, jehož velikost je NS (N je počet závitů, je prou tekoucí kžým závitem S je plošný osh kžého závitu). řipomeňme (čl. 29.9), že směr vektoru µ je án prvilem prvé ruky: uchopíme-li cívku tk, že ohnuté prsty prvé ruky mjí směr prouu v závitech, pk vztyčený plec ukzuje směr ipólového momentu µ. Mgnetické pole cívky Jké mgnetické pole vlstně vytváří cívk v oech okolního prostoru? Tková úloh nemá osttek symetrie, y ji ylo možné vyřešit jen pomocí Ampérov zákon. roto musíme vyjít ze zákon iotov-svrtov, přičemž si úlohu co nejvíce zjenoušíme. Cívku nhríme pouze jeiným kruhovým závitem se střeem v počátku souřnic

14 786 KATOLA 30 MAGNETCKÉ OLE ELEKTCKÉHO OUDU s osou splývjící s osou z. Mgnetickou inukci ueme počítt jen n ose závitu, tj. n ose z. Ukážeme, že velikost mgnetické inukce je µ 0 2 (z) = 2( 2 + z 2, (30.28) ) 3/2 ke je poloměr závitu z je souřnice ou, vněmž počítáme inukci. Směr inukce je stejný jko směr momentu µ. ro oy znčně vzálené o cívky pltí z přecházející rovnice získá tvr (z) = µ 0 2 2z 3. o oszení oshu plochy závitu S = p 2 rozšíření výsleku pro cívku s N závity můžeme tuto rovnici přepst o tvru (z) = µ 0 NS 2p z 3. rotože µ mjí stejný směr µ = NS, pltí (z) = µ 0 2p µ z 3 (pole n ose cívky). (30.29) Máme tey v ůvoy, proč chápt cívku, kterou protéká elektrický prou, jko mgnetický ipól: (1) vložíme-li ji o vnějšího mgnetického pole, půsoí n ni moment sil; (2) cívk s prouem vytváří své vlstní mgnetické pole, které je ve vzálených oech n ose cívky áno rov. (30.29). N or je mgnetické pole cívky protékné prouem; je pooné poli tyčového mgnetu, ke jeno čelo cívky přestvuje severní pól (ve směru µ) ruhé pól jižní, jk je znázorněno zkreslením stínovného tyčového mgnetu n orázku. KONTOLA 4: N orázku jsou čtyři skupiny kruhových smyček o poloměrech r 2r. Jejich střey leží n společných osách protékjí jimi stejné prouy voznčených směrech. Seř te sestupně tyto skupiny smyček pole velikosti výsleného mgnetického pole v oě oznčeném tečkou. () () (c) () Ovození rov. (30.28) Or přestvuje oční pohle n kruhovou smyčku o poloměru, kterou protéká elektrický prou. Mgnetickou inukci ueme počítt voě n její ose ve vzálenosti z o roviny smyčky. Vyjeme z iotov-svrtov zákon vypočítáme mgnetickou inukci vytvořenou voě prouovým elementem n levé strně smyčky. Vektor s tohoto elementu je kolmý k rovině orázku směřuje k nám. Vektory s r jsou nvzájem kolmé, rovin jimi tvořená je kolmá k rovině orázku. Z iotov-svrtov zákon ( prvil prvé ruky) plyne, že mgnetická inukce vytvořená v oě prouovým elementem s je kolmá k rovině tvořené vektory r s, leží proto vrovině orázku je kolmá k vektoru r. α S µ r z J Or Smyčk protékná prouem vytváří mgnetické pole velmi pooné poli (krátkého) tyčového mgnetu. Mgnetický ipólový moment µ smyčky, ný prvilem prvé ruky, míří o jižního pólu k pólu severnímu, ve směru vektoru mgnetické inukce uvnitř smyčky. s α Or Smyčk protékná prouem má poloměr. ovin smyčky je kolmá k rovině orázku. K výpočtu mgnetické inukce pole voě n ose smyčky použijeme iotov-svrtov zákon.

15 ŘEHLED & SHNUTÍ 787 ozložme nyní mgnetickou inukci o průmětu rovnoěžného s osou z kolmého k ose z. Ze symetrie úlohy plyne, že vektorový součet všech průmětů je nulový. Zůstávjí tey pouze průměty rovnoěžné s osou z, proto můžeme psát =. ro velikost mgnetické inukce vzuzené elementem voiče s protékného prouem n or ostáváme z iotov-svrtov zákon (rov. (30.3)): = µ 0 s sin 90 4p r 2. Součsně pltí = cos α. Z těchto vou vzthů ostáváme = µ 0 cos α s 4pr 2. (30.30) Z or plyne, že veličiny r α nejsou nvzájem nezávislé. Oě vyjáříme pomocí proměnné z, tj. pomocí vzálenosti ou o střeu smyčky: r = 2 + z 2 (30.31) cos α = r = 2 + z 2. (30.32) Doszením rov. (30.31) (30.32) o rov. (30.30) ostneme = µ 0 4p( 2 + z 2 s. ) 3/2 Všimněte si, že veličiny, z mjí tytéž honoty pro všechny elementy s po celém ovou smyčky. ntegrujeme-li tey tuto rovnici, lze je vytknout pře integrál stčí vypočítt pouze velmi jenouchý integrál s, který je roven ovou kruhové smyčky 2pr.Tey otu µ 0 = = 4p( 2 + z 2 ) 3/2 (z) = µ 0 2 2( 2 + z 2 ) 3/2, což je rov. (30.28), kterou jsme chtěli ovoit. s ŘEHLED & SHNUTÍ iotův-svrtův zákon Mgnetické pole voiče, kterým protéká elektrický prou, můžeme určit pomocí iotov-svrtov zákon. ole tohoto zákon je mgnetická inukce vytvořená prouovým elementem s ve vzálenosti r o tohoto elementu án vzthem = µ 0 s r 4p r 3 (iotův-svrtův zákon). (30.5) Ze r je vektor, který směřuje o elementu s o ou, vněmž určujeme mgnetickou inukci. Veličin µ 0 je permeilit vku: µ 0 = 4p 10 7 T m A 1. = 1, T m A 1. Mgnetické pole louhého přímého voiče Velikost mgnetické inukce pole přímého louhého voiče ve vzálenosti o něj je = µ 0 (louhý přímý voič). (30.6) 2p Mgnetické pole voiče ve tvru kruhového olouku Velikost mgnetické inukce ve střeu kruhového olouku voiče se střeovým úhlem ϕ 0 poloměrem, kterým protéká elektrický prou, je = µ 0ϕ 0 4p (ve střeu kruhového olouku). (30.11) Síl mezi věm rovnoěžnými voiči protéknými prouem ovnoěžné voiče protékné souhlsně orientovnými prouy se nvzájem přithují. Mjí-li prouy opčnou orientci, voiče se opuzují. Velikost síly, která půsoí n jenotku élky L kžého z voičů, je F = F = L sin 90 = µ 0L, (30.14) 2p ke je vzálenost oou voičů, jsou prouy tekoucí voiči. Ampérův zákon Vzth mezi elektrickým prouem mgnetickou inukcí vyjřuje vele iotov-svrtov zákon tké Ampérův zákon: s = µ 0 c (Ampérůvzákon). (30.16) Křivkový integrál počítáme poél uzvřené orientovné křivky, která se nzývá Ampérov křivk. rou c je celkový elektrický prou, oepnutý křivkou (to znmená celkový prou, který prochází liovolnou plochou, mjící z hrnici tuto uzvřenou křivku).

16 788 KATOLA 30 MAGNETCKÉ OLE ELEKTCKÉHO OUDU Mgnetické pole solenoiu toroiu Uvnitř solenoiu (louhé hustě vinuté cívky), kterým protéká elektrický prou, je voech vzálených o konců solenoiu velikost mgnetické inukce rovn = µ 0 n (ieální solenoi), (30.25) ke n je počet závitů připjící n jenotku élky solenoiu. Uvnitř toroiu s N závity je velikost mgnetické inukce rovn = µ 0N 1 (toroi), (30.26) 2p r ke r je vzálenost mezi střeem toroiu oem, v němž inukci určujeme. Vně toroiu je = 0. ole mgnetického ipólu Cívk, kterou protéká elektrický prou, tvoří mgnetický ipól. V oě ležícím n ose cívky je mgnetická inukce (z) = µ 0 2p µ z 3, (30.29) ke µ je ipólový moment cívky z je souřnice ou n ose cívky (závitu). OTÁZKY 1. N or jsou 4 různá uspořáání louhých přímých voičů kolmých k rovině orázku, jimiž protékjí stejně velké, le různě orientovné elektrické prouy. Voiče procházejí vrcholy stejně velkých čtverců. Seř te tto uspořáání sestupně pole velikosti výslené mgnetické inukce ve střeu kžého ze čtverců. elektrický prou střeový úhel vymezený přímými riálními částmi voiče je stejný. Seř te ovoy sestupně pole velikosti výslené mgnetické inukce ve střeech olouků vyznčených n orázku. () () (c) () Or Otázk 1 2. N or je průřez věm louhými přímými voiči; voičem n levé strně orázku protéká prou 1 kolmo k orázku směrem k nám. Jestliže víte, že výslená mgnetická inukce vytvořená oěm prouy je v oě rovn nule, opovězte n otázky: () Teče prou 2 v prvém voiči směrem k nám, neo o nás? () Je prou 2 větší než 1, neo je mu roven? () () (c) Or Otázk 4 5. N or jsou tři části různých elektrických ovoů, z nichž kžá se skláá z voiče zkřiveného o tvru kruhového olouku (všechny mjí stejný poloměr) vou louhých přímých úseků, které mjí směr tečny k olouku. Voiče se kříží ez otyku. Kžou z těchto částí protéká stejný elektrický prou. Seř te úseky sestupně pole velikosti mgnetické inukce ve vyznčených oech (střeech olouků). 1 2 Or Otázk 2 3. N or jsou v louhé přímé voiče, které se těsně kolmo míjejí, niž se otýkjí. Ve kterém kvrntu existují oy, v nichž je výslená mgnetická inukce rovn nule? Or Otázk () () (c) Or Otázk 5 6. N or jsou tři úseky různých elektrických ovoů, z nichž kžý se skláá z kruhového olouku (všechny mjí 4. N or jsou tři smyčky, z nichž kžá se skláá ze vou soustřených kruhových olouků o poloměrech r (ke > >r) vou riálních úseček. Kžou ze smyček protéká stejný () () (c) Or Otázk 6

17 OTÁZKY 789 stejný poloměr střeový úhel) ze vou louhých přímých částí. římé části mjí vpřípě úseku riální směr vpřípě úseků c tečný směr; voiče se kříží ez otyku. Ve všech třech přípech protéká voiči stejný prou. Seř te úseky sestupně pole velikosti výslené mgnetické inukce ve střeu kžého olouku. 7. N or jsou čtyři konfigurce louhých přímých voičů kolmých k rovině orázku umístěných stejně leko o see. Voiči protéká stejný elektrický prou u směrem k nám, neo o nás. Seř te sestupně tyto konfigurce pole velikosti výslené síly, kterou půsoí n prostření voič osttní voiče. () rovnoěžný voič procházející oem protékný stejným prouem směrem o nás. 10. N or je louhý přímý voič, kterým protéká elektrický prou směrem oprv. Vele něho se ncházejí tři voivé prvoúhlé smyčky, kterými protéká stejně velký elektrický prou vnznčeném směru. Délky strn smyček jsou u L, neo2l všechny strny smyček přilehlé k voiči mjí o něho stejnou vzálenost. Seř te sestupně smyčky pole velikosti celkové síly, kterou n ně půsoí mgnetické pole přímého voiče. () (c) Or Otázk 10 c () Or Otázk 7 8. N or jsou tři konfigurce louhých přímých voičů kolmých k rovině orázku, kterými protéká stejný elektrický prou u směrem k nám, neo o nás. () Seř te sestupně jenotlivé konfigurce pole velikosti celkové síly, kterou půsoí osttní voiče n ten voič, jímž teče prou směrem k nám. () Jký je vpřípě (3) úhel mezi čárkovnou polopřímkou celkovou silou, kterou půsoí osttní voiče n voič s prouem, tekoucím směrem k nám je větší, roven, neo menší než 45? D D (1) (2) Or Otázk 8 9. N or jsou vě konfigurce louhých přímých voičů kolmých k rovině orázku, kterými protéká stejný elektrický prou u směrem o nás, neo k nám. O voiče jsou stejně vzáleny o osy y. () ro kžou z konfigurcí určete směr výslené mgnetické inukce v oě. () ro kžou konfigurci ále určete směr síly, kterou y půsoily o voiče n y (1) x Or Otázk 9 y (2) D (3) x 11. N or je voivá smyčk neprvielného tvru položená n hlkém stole tk, že její oy jsou ke stolu připevněny. Zčne-li smyčkou protékt elektrický prou, změní se její tvr. ue se smyčk vypínt o tvru olouku, neo se ue sthovt ovnitř? Or Otázk N or je znázorněno homogenní mgnetické pole o inukci čtyři přímé úseky stejné élky. Seř te je sestupně pole velikosti integrálu s poél úseků. 30 c 30 Or Otázk N or jsou čtyři Ampérovy křivky,, c. Válcovým voičem protéká elektrický prou kolmo k orázku směrem k nám. rouová hustot má stejnou velikost i směr v celém kruhovém průřezu voiče. Seř te tyto křivky sestupně pole velikosti integrálu s poél kžé z nich. 14. N or jsou čtyři Ampérovy křivky kružnice,, c, čtyři louhé válcové voiče. Voič s nejmenším poloměrem má kruhový průřez zývjící voiče jsou uté válce (křivky i voiče jsou soustřené). Elektrické prouy tekoucí voiči kolmo k rovině orázku mjí (o nejmenšího poloměru

18 790 KATOLA 30 MAGNETCKÉ OLE ELEKTCKÉHO OUDU po největší) honoty: 4 A (k nám), 9 A (o nás), 5 A (k nám) 3 A (o nás). Seř te křivky sestupně pole velikosti integrálu s poél kžé z nich. () c () Or Otázky N or jsou čtyři přímé rovnoěžné voiče protékné stejnými elektrickými prouy pět orientovných Ampérových křivek oepínjících voiče. Seř te tyto křivky sestupně pole velikosti integrálu s. 16. Násleující tulk uváí pro šest ieálních solenoiů o různých poloměrech počet závitů n jenotku élky n prou jimi tekoucí. Chceme několik z nich soustřeně zsunout o see tk, y výslená mgnetická inukce n společné poélné ose yl nulová. Je to možné uělt pomocí () vou, () tří, (c) čtyř c () pěti z nich? Které solenoiy yste použili? Určete směry příslušných prouů. Solenoi n olohový vektor částice pohyující se po kružnici o poloměru r je r. Určete honotu integrálu r s poél této kružnice. 18. Vypočtěte honotu integrálu s poél ovou () čtverce s élkou strny () rovnostrnného trojúhelník s élkou strny. () () (c) () (e) Or Otázk 15 CVČENÍ & ÚLOHY ODST Mgnetické pole elektrického prouu 1C. Velikost mgnetické inukce voě, který je vzálen 88,0 cm o osy louhého přímého voiče, je 7,30 mt. Jk velký elektrický prou protéká voičem? 2C. Neizolovným měěným voičem (průměr 2,6 mm) může ez přehřátí procházet prou 50 A. Jká je přitom mgnetická inukce n povrchu voiče? 3C. Zeměměřič určuje zeměpisnou polohu pomocí mgnetické uzoly 6,0 m po elektrickým veením, kterým protéká stejnosměrný elektrický prou 100 A. () Jká je mgnetická inukce vytvořená tímto prouem v místě, ke se nchází uzol? () ue toto veení nějk ovlivňovt její úje? Voorovná složk inukce mgnetického pole Země vmístě, ke se nchází zeměměřič s uzolou, je 20 mt. 4C. Elektronové ělo v televizní orzovce vystřeluje elektrony s kinetickou energií 25 kev vpprsku o průměru 0,22 mm. Z kžou sekunu opne n orzovku 5, elektronů. Vypočtěte mgnetickou inukci, kterou uí pprsek vmístě vzáleném 1,5mmosvéosy. 5C. N or je 3,0 cm louhý úsek voiče, kterým protéká elektrický prou 2,0 A ve směru osy y. Úsek v o- iče je umístěn tk, že se jeho stře nchází vpočátku soustvy souřnic. Určete mgnetickou inukci voech () (0; 0; 5,0m), ()(0; 6,0m; 0), (c)(7,0m; 7,0m; 0) () ( 3,0m; 4,0m; 0). Můžete k tomu použít iotov- -Svrtov zákon ve tvru = (µ 0 /4p) s sin θ/r 2,km osíte s = 3,0 cm (veličiny r θ jsou vnšem zání prkticky konstntní pro celý úsek voiče). 2,0A x z 3,0cm 2,0A Or Cvičení 5 6C. Dlouhý voič, kterým protéká elektrický prou 100 A, se nchází ve vnějším homogenním mgnetickém poli o inukci 5,0 mt je k ní kolmý. Určete oy, ve kterých je výslené mgnetické pole rovno nule. 7C. V lortoři n Filipínách má inukce mgnetického pole Země velikost 39 mt směr voorovně k severu. Ve vzálenosti 8,0 cm n louhým přímým voorovným voičem, kterým protéká elektrický prou, je výslená mgnetická inukce nulová. Určete () velikost () směr elektrického prouu. 8C. Klně nitá částice s náojem Q se nchází ve vzálenosti o louhého přímého voiče, kterým protéká prou. Částice se pohyuje rychlostí v kolmo k voiči. Určete směr velikost mgnetické síly půsoící n částici, pohyuje-li se () směrem k voiči, () směrem o voiče. y